北京中考数学反比例函数综合题
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由原抛物线的解析式为 y=x2﹣3x=（x﹣ ）2﹣ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为（ ，﹣ ）， ∴ 抛物线向左平移 个单位，再向上平移 个单位， 而平移前 A（﹣1，4），B（2，﹣2）， ∴ 平移后点 A（﹣ ， ），B（ ， ）， ∴ 点 A 关于 y 轴的对称点 A'（ ， ）， 连接 A'B 并延长交 y 轴于点 P，连接 AP，
3．如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比
例函数 y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点 D（m，2）和 AB 边上的点 E（3，
）． （1）求反比例函数的表达式和 m 的值； （2）将矩形 OABC 的进行折叠，使点 O 于点 D 重合，折痕分别与 x 轴、y 轴正半轴交于点 F，G，求折痕 FG 所在直线的函数关系式．
所以双曲线的解析式为 y=﹣ ． 设点 B 的坐标为（m，﹣m）． ∵ 点 B 在双曲线上， ∴ ﹣m2=﹣4，解得 m=2 或 m=﹣2． ∵ 点 B 在第四象限， ∴ m=2． ∴ B（2，﹣2）．
将点 A、B、C 的坐标代入得：
，
解得：
．
∴ 抛物线的解析式为 y=x2﹣3x．
（2）解：如图 1，连接 AC、BC．
令 y=0，则 x2﹣3x=0， ∴ x=0 或 x=3， ∴ C（3，0）， ∵ A（﹣1，4），B（2，﹣2）， ∴ 直线 AB 的解析式为 y=﹣2x+2， ∵ 点 D 是直线 AB 与 x 轴的交点， ∴ D（1，0）， ∴ S△ ABC=S△ ADC+S△ BDC= ×2×4+ ×2×2=6； （3）解：存在，理由：如图 2，
∴ n=﹣1， 即 B（2，﹣1）
把点 A（﹣1，2），点 B（2，﹣1）代入一次函数 y=kx+b 中，得
，
解得：k=﹣1，b=1，
∴ 一次函数的表达式为 y=﹣x+1，
答：反比例函数的表达式是 y=﹣ ，一次函数的表达式是 y=﹣x+1； （2）解：如图 1， 连接 AF，BF，
∵ DE∥ AB， ∴ S△ ABF=S△ ABD=3（同底等高的两三角形面积相等）， ∵ 直线 AB 的解析式为 y=﹣x+1， ∴ C（0，1）， 设点 F（0，m）， ∴ AF=1﹣m，
（3）设点 P（p，2），则 Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ），然后可表示出 PQ 与 QR 的长 度，最后依据 QR=2QP，可得到关于 p 的方程，从而可求得 p 的值，从而可得到点 P 的坐 标.
2．如图 1，经过原点的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为点 C；与双曲线 y= 相交
一、反比例函数
北京中考数学反比例函数综合题
1．已知一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 交于 A（﹣1，2），B（2，n），与 y 轴交于 C 点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）如图 1，若将 y=kx+b 向下平移，使平移后的直线与 y 轴交于 F 点，与双曲线交于 D， E 两点，若 S△ ABD=3， 求 D，E 的坐标．
于点 A，B；直线 AB 与分别与 x 轴、y 轴交于点 D，E．已知点 A 的坐标为（﹣1，4），点 B 在第四象限内且到 x 轴、y 轴的距离相等．
（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ ABC 的面积； （3）如图 2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线 AB 随之平移，试判断：在 y 轴的负 半轴上是否存在点 P，使△ PAB 的内切圆的圆心在 y 轴上？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把点 A 的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．
解得，p=
或 p=
，
∴P（
，2）或（
，2）或（
，2）或
wenku.baidu.com
（
，2）．
【解析】【分析】（1）把 A 的坐标代入反比例函数的解析式可求得 m 的值，从而可得到
反比例函数的解析式；把点 A 和点 B 的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析
式；
（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到 S△ ABF=S△ ABD=3，再利用三角形的面积 公式可求得点 F 的坐标，即可得出直线 DE 的解析式，即可求出交点坐标；
由对称性知，∠ APE=∠ BPE， ∴ △ APB 的内切圆的圆心在 y 轴上，
∵ B（ ， ），A'（ ， ），
∴ 直线 A'B 的解析式为 y=3x﹣ ，
∴ P（0，﹣ ）． 【解析】【分析】（1）首先将点 A 的坐标代入反比例函数的解析式求得 k 的值，然后再 求得 B 的值，最后根据点 A 的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点 B 的坐标，最后，将 点 A、B、O 三点的坐标代入抛物线的解析式，求得 a、b、c 的值即可； （2）由点 A 和点 B 的坐标可求得直线 AB 的解析式，然后将 y=0 可求得点 D 的横坐标，最 后用三角形的面积和求解即可； （3）先确定出平移后点 A，B 的坐标，进而求出点 A 关于 y 轴的对称点的坐标，求出直线 BA'的解析式即可得出点 P 的坐标.
（3）如图 2，P 为直线 y=2 上的一个动点，过点 P 作 PQ∥ y 轴交直线 AB 于 Q，交双曲线 于 R，若 QR=2QP，求 P 点坐标．
【答案】（1）解：点 A（﹣1，2）在反比例函数 y= 的图象上， ∴ m=（﹣1）×2=﹣2，
∴ 反比例函数的表达式为 y=﹣ ，
∵ 点 B（2，n）也在反比例函数的 y=﹣ 图象上，
或
∴ D（﹣2，1），E（1，﹣2）；
（3）解：如图 2
由（1）知，直线 AB 的解析式为 y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为 y=﹣ ， 设点 P（p，2），
∴ Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ），
PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |， ∵ QR=2QP，
∴ |﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，
∴ S△ ABF=S△ ACF+S△ BCF= CF×|xA|+ CF×|xB|= （1﹣m）×（1+2）=3， ∴ m=﹣1， ∴ F（0，﹣1）， ∵ 直线 DE 的解析式为 y=﹣x+1，且 DE∥ AB， ∴ 直线 DE 的解析式为 y=﹣x﹣1①．
∵ 反比例函数的表达式为 y=﹣ ②，
联立①②解得，
3．如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比
例函数 y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点 D（m，2）和 AB 边上的点 E（3，
）． （1）求反比例函数的表达式和 m 的值； （2）将矩形 OABC 的进行折叠，使点 O 于点 D 重合，折痕分别与 x 轴、y 轴正半轴交于点 F，G，求折痕 FG 所在直线的函数关系式．
所以双曲线的解析式为 y=﹣ ． 设点 B 的坐标为（m，﹣m）． ∵ 点 B 在双曲线上， ∴ ﹣m2=﹣4，解得 m=2 或 m=﹣2． ∵ 点 B 在第四象限， ∴ m=2． ∴ B（2，﹣2）．
将点 A、B、C 的坐标代入得：
，
解得：
．
∴ 抛物线的解析式为 y=x2﹣3x．
（2）解：如图 1，连接 AC、BC．
令 y=0，则 x2﹣3x=0， ∴ x=0 或 x=3， ∴ C（3，0）， ∵ A（﹣1，4），B（2，﹣2）， ∴ 直线 AB 的解析式为 y=﹣2x+2， ∵ 点 D 是直线 AB 与 x 轴的交点， ∴ D（1，0）， ∴ S△ ABC=S△ ADC+S△ BDC= ×2×4+ ×2×2=6； （3）解：存在，理由：如图 2，
∴ n=﹣1， 即 B（2，﹣1）
把点 A（﹣1，2），点 B（2，﹣1）代入一次函数 y=kx+b 中，得
，
解得：k=﹣1，b=1，
∴ 一次函数的表达式为 y=﹣x+1，
答：反比例函数的表达式是 y=﹣ ，一次函数的表达式是 y=﹣x+1； （2）解：如图 1， 连接 AF，BF，
∵ DE∥ AB， ∴ S△ ABF=S△ ABD=3（同底等高的两三角形面积相等）， ∵ 直线 AB 的解析式为 y=﹣x+1， ∴ C（0，1）， 设点 F（0，m）， ∴ AF=1﹣m，
（3）设点 P（p，2），则 Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ），然后可表示出 PQ 与 QR 的长 度，最后依据 QR=2QP，可得到关于 p 的方程，从而可求得 p 的值，从而可得到点 P 的坐 标.
2．如图 1，经过原点的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为点 C；与双曲线 y= 相交
一、反比例函数
北京中考数学反比例函数综合题
1．已知一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 交于 A（﹣1，2），B（2，n），与 y 轴交于 C 点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）如图 1，若将 y=kx+b 向下平移，使平移后的直线与 y 轴交于 F 点，与双曲线交于 D， E 两点，若 S△ ABD=3， 求 D，E 的坐标．
于点 A，B；直线 AB 与分别与 x 轴、y 轴交于点 D，E．已知点 A 的坐标为（﹣1，4），点 B 在第四象限内且到 x 轴、y 轴的距离相等．
（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ ABC 的面积； （3）如图 2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线 AB 随之平移，试判断：在 y 轴的负 半轴上是否存在点 P，使△ PAB 的内切圆的圆心在 y 轴上？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把点 A 的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．
解得，p=
或 p=
，
∴P（
，2）或（
，2）或（
，2）或
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（
，2）．
【解析】【分析】（1）把 A 的坐标代入反比例函数的解析式可求得 m 的值，从而可得到
反比例函数的解析式；把点 A 和点 B 的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析
式；
（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到 S△ ABF=S△ ABD=3，再利用三角形的面积 公式可求得点 F 的坐标，即可得出直线 DE 的解析式，即可求出交点坐标；
由对称性知，∠ APE=∠ BPE， ∴ △ APB 的内切圆的圆心在 y 轴上，
∵ B（ ， ），A'（ ， ），
∴ 直线 A'B 的解析式为 y=3x﹣ ，
∴ P（0，﹣ ）． 【解析】【分析】（1）首先将点 A 的坐标代入反比例函数的解析式求得 k 的值，然后再 求得 B 的值，最后根据点 A 的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点 B 的坐标，最后，将 点 A、B、O 三点的坐标代入抛物线的解析式，求得 a、b、c 的值即可； （2）由点 A 和点 B 的坐标可求得直线 AB 的解析式，然后将 y=0 可求得点 D 的横坐标，最 后用三角形的面积和求解即可； （3）先确定出平移后点 A，B 的坐标，进而求出点 A 关于 y 轴的对称点的坐标，求出直线 BA'的解析式即可得出点 P 的坐标.
（3）如图 2，P 为直线 y=2 上的一个动点，过点 P 作 PQ∥ y 轴交直线 AB 于 Q，交双曲线 于 R，若 QR=2QP，求 P 点坐标．
【答案】（1）解：点 A（﹣1，2）在反比例函数 y= 的图象上， ∴ m=（﹣1）×2=﹣2，
∴ 反比例函数的表达式为 y=﹣ ，
∵ 点 B（2，n）也在反比例函数的 y=﹣ 图象上，
或
∴ D（﹣2，1），E（1，﹣2）；
（3）解：如图 2
由（1）知，直线 AB 的解析式为 y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为 y=﹣ ， 设点 P（p，2），
∴ Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ），
PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |， ∵ QR=2QP，
∴ |﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，
∴ S△ ABF=S△ ACF+S△ BCF= CF×|xA|+ CF×|xB|= （1﹣m）×（1+2）=3， ∴ m=﹣1， ∴ F（0，﹣1）， ∵ 直线 DE 的解析式为 y=﹣x+1，且 DE∥ AB， ∴ 直线 DE 的解析式为 y=﹣x﹣1①．
∵ 反比例函数的表达式为 y=﹣ ②，
联立①②解得，