9.4平面与平面的位置关系(1)

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中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。

高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)

1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。

2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ；（2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误；直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误；一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。

高中数学选择性必修一课件：用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)

设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，则nn··GG→→EF＝＝00，. ∴－－x2－x＋y＋y＋2zz＝＝00.，∴xy＝＝yz.， ∴n＝(z，z，z)，令 z＝1，此时 n＝(1，1，1)， ∴平面 EFG 的一个法向量为(1，1，1)．
(3)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，△ PAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°， E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 DEF 的一个法向量．
1.4.1
1.4 空间向量的应用用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)
空间中点、直线和平面的向量表示
要点 1 点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量O→P来表示．我们把向量O→P称为点 P 的位置向量．
要点 2 直线的方向向量用向量表示直线 l，就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意一点．如图 1，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B＝a，设 P 是直线 l 上的任意一点，由向量共线的条件可知，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使得A→P＝ta，即A→P＝tA→B.
【解析】以点 A 为原点，AD，AB，AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， C(1，1，0)，D(12，0，0)，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 SAB， ∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝12，0，0是平面 SAB 的一个法向量．

人教版高中数学必修2《点、线、面之间的位置关系1》师用

必修2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》§ 平面【知识要点】1．平面：是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念，对平面这一概念应从以下三个方面注意理解：“平面”是平的；“平面”无厚度；“平面”无边界，可以向四面八方无限延展. 2．符号语言的记法（1）关于平面的记法平面的记法用一个希腊字母表示一个平面，如平面α、平面β用平面上的三个点来表示，如平面ABC ，平面BCD用平面上的四个点来表示，如平面ABCD（2）点、线、面位置关系的符号记法点和直线、平面的位置关系位置关系符号表示点P 在直线a 上 P a ∈点P 不在直线a 上 P a ∉点M 在平面α内 M α∈ 点M 不在平面α内 M α∉ 直线a 与直线b 交于点Aa b A =直线和平面的位置关系位置关系公共点个数符号表示图形表示直线a 在平面α内无数个a α⊂直线a 与平面α相交有且只有一个公共点a A α=直线a 与平面α平行 0a ∥α平面和平面的位置关系位置关系公共点个数符号表示图形表示两平面平行 0α∥β两平面相交斜交有无数个公共点在一条直线上a αβ=垂直有无数个公共点在一条直线上αβ⊥a αβ=3．平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面,lP P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩【补充】公理2的三条推论：【推论1】经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；【推论2】经过两条相交直线，有且只有一个平面；【推论3】经过两条平行直线，有且只有一个平面. 【例题精讲】【例题1】下列推理错误的是（）A ．l A ∈，α∈A ；lB ∈，αα∈⇒∈l B .B ．α∈A ，β∈A ；α∈B ，AB B =⋂⇒∈βαβ.C ．α⊄l ，α∉⇒∈A l A .D ．α∈C B A 、、，β∈C B A 、、，且A 、B 、C 不共线α⇒与β重合【变式1】下列说法不正确的是（）A . 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形.B . 同一平面的两条垂线一定共面.C . 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内.D . 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.【例题2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，判下列命题是否正确，并说明理由.(1) 直线1AC 在平面11CC B B 内；(2) 设正方形ABCD 与1111A B C D 的中心分别为O 、1O ，则平面11AAC C 与平面11BB D D 的交线为1OO ； (3) 由点A 、O 、C 可以确定一个平面； (4) 由A 、1C 、1B 确定的平面是11ADC B ；(5) 若直线l 是平面AC 内的直线，直线m 是平面1D C 上的直线，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；(6) 由A 、1C 、1B 确定的平面与由A 、1C 、D 确定的平面是同一平面.【变式1】如果a ⊂α，b ⊂α，l ∩α=A ，l ∩b =B 那么下列关系成立的是（）A .l ⊂αB .l 不在α内C .l ∩α=AD .l ∩a =B【变式2】平面a 、β的公共点多于两个，则正确的命题是（）A .α、β重合B .α、β至少有3个公共点C .α、β至少有一条公共直线D .α、β至多有一条公共直线【变式3】已知ABC △的两边AC 、BC 分别交平面α于点E 、F ，又设直线AB 交α于点M ，则点M与直线EF 的位置关系为 .【变式4】如下图所示，A 、B 、C 三点确定的平面与D 、E 、F 三点确定的平面相于直线l ，且AB 与l 相交，EF 与l 也相交．作出平面ABD 与平面CEF 的交线．作法：（1）连结AB 交l 于G ，连结EF 交于H ；（2）连结DG 交于；（3）连结CH 交于；（4）连结此于即为所作的交线.【变式5】在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内（2）点1,,B C D 是否在同一平面内（3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线．解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ， ∴由公理2的推论可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ， ∴1AA 与1CC 在同一平面内．（2）∵点1,,B C D 不共线，由公理3可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D ， ∴ 点1,,B C D 在同一平面内．（3）∵ACBD O =，11D C DC E =， ∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ，又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ， ∴ 平面1AC 平面1BC D 1OC =，同理平面1ACD 平面1BDC OE =．【点评】确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）．【例题3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B C ，求证：直线,,AB BC CA 共面．证明：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α．因为A ∈α，B ∈α，所以AB α．同理BC α，AC α.所以AB ，BC ，CA 三直线共面．【解析】先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1，证三条直线在平面内．注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证．常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.【变式1】已知直线//b c ，且直线a 与,b c 都相交，求证：直线,,a b c 共面.CA AB BCD DEFGHK1111【基础达标】1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）A ．相交B ．重合C ．相交或重合D ．以上都不对【C 】2．E 、F 、G 、H 是三棱锥A-BCD 棱AB 、AD 、CD 、CB 上的点，延长EF 、HG 交于P ，则点P （）A ．一定在直线AC 上B ．一定在直线BD 上C ．只在平面BCD 内 D ．只在平面ABD 内【B 】3．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（）A ．三B ．四C ．六D ．八【C 】4．下列说法中正确的是（）A ．空间不同的三点确定一个平面B ．空间两两相交的三条直线确定一个平面C ．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D ．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【D 】5．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中说法正确的序号依次是．①④ 6．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是．4【能力提高】7．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是111DC DD A D 、、、 111A B BB BC 、、的中点．求证：这六点共面．证明：连结BD 和KF ，因为 E L 、是CD CB 、的中点，所以 //EL BD ．又矩形11BDD B 中//KF BD ，所以 //KF EL ，所以 KF EL 、可确定平面α，所以 E F K L 、、、共面α，同理 //EH KL ，故 E H K L 、、、共面β．又平面α与平面β都经过不共线的三点E K L 、、，故平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．同理可证G α∈，所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面．（证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．）8．（1）ABC ∆在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ，Q ，R 三点共线．证明：（1）根据公理2易知ABC ∆确定平面β，且与α有交线l ，根据公理3易知，P ，Q ，R 三点都在直线l 上，即三点共线.（2）已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，四条边AB ，BC ，DC ，AD （或其延长线）分别与平面α相交于E ，F ，G ，H 四点，求证：四点E ，F ，G ，H 共线．（2）AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β，易知AB ，BC ，DC ，AD 都在β内，由平面的性质可知四点E ，F ，G ，H 都在β上，因而，E ，G ，G ，H 必都在平面α与β的交线上，所以四点E ，F ，G ，H 共线.§ 空间中直线与直线之间的位置关系【知识要点】1．空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．【公理4（平行公理）】平行于同一条直线的两条直线互相平行.【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3．异面直线,a b 所成的角定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．注意：,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥．求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.【例题精讲】【例题1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解：过P 作a '∥a ，b '∥b ，若P ∈a ，则取a 为a '，若P ∈b ，则取b 为b '．这时a '，b '相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°．记a '，b '所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a '，b '都成 30°的直线．过点P 与a '，b '都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a '，b '所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l '，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B .【例题2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1C 1与EF 的交点．（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.证明：（1）∵ 正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D . 又 ∵ 111B D C 中，E 、F 为中点， ∴ EF //1112B D ． ∴ //EF BD ，即D 、B 、F 、E 四点共面. （2）∵ 1Q AC ∈平面，Q BE ∈平面，1P AC ∈平面，P BE ∈平面， ∴ 1AC BE PQ =平面平面.又 1AC BE R =平面， ∴ 1R AC ∈平面，R BE ∈平面， ∴ R PQ ∈．即P 、Q 、R 三点共线．【例题3】已知直线a 证明：因为a α,a b αα⊂⊂又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α⊂.假设c α⊄，则c C α=，在平面α内过点C 作//c b '，因为b //c c 'cc C '=c α⊂综上述，a 、b 、c 、d 四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件．此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例题4】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点.（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC 1 ， ∵DC 1∥AB 1，∴ DC 1 和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角. ∵ ∠CC 1D =45°， ∴ AB 1 和CC 1所成的角是45°. （2）如图，连结DA 1、A 1C 1，∵ EF ∥A 1D ，AB 1∥DC 1，∴ ∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角．∵ΔA 1DC 1是等边三角形， ∴ ∠A 1DC 1=60º，即直线AB 1和EF 所成的角是60º.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易．解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.【例题5】已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==. 求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．证明：（1）在△ABD 和△CBD 中，∵ E 、H 分别是AB 和CD 的中点， ∴ EH //12BD . 又 ∵ 23CF CG CB CD ==， ∴ FG //23BD ． ∴ EH ∥FG ．所以，E 、F 、G 、H 四点共面.（2）由（1）可知，EH ∥FG ，且EH ≠FG ，即直线EF ，GH 是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P ．∵ AC 是EF 和GH 分别所在平面ABC 和平面ADC 的交线，而点P 是上述两平面的公共点， ∴ 由公理3知P ∈AC ．所以，三条直线EF 、GH 、AC 交于一点.点评：一般地，证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线.【基础达标】1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能【D 】2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．异面【B 】3．两条直线a ，b 分别和异面直线c ，d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（）A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．可能是平行直线D ．可能是异面直线，也可能是相交直线【D 】4．把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（）A ． 12B ．24C ．36D ．48【B 】5．正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线'B M 与CN 所成的角是（）A ．30°B ．90°C ．45°D ．60°【B 】6．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度． 60° 7．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是．③④【能力提高】8．已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，求AB 和CD 所成的角的大小．解：分别取AC 、AD 、BC 的中点P 、M 、N ．连接PM 、PN ，由三角形的中位线性质知PN ∥AB ，PM ∥CD ，于是∠MPN 就是异面直线AB 和CD 成的角，如右图所示. 连结MN 、DN ，设AB =2，∴ PM =PN =1．而AN =DN =3，则MN ⊥AD ，AM =1，得MN =2，∴ MN 2=MP 2+NP 2，∴∠MPN =90°，即异面直线AB 、CD 成90°角.9．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、AC 三线共点．证明：∵P ∈EF ，EF ⊂面ABC ，∴P ∈面ABC ，同理P ∈面ADC ， ∴P 在面ABC 与面ADC 的交线上，又面ABC ∩面ADC =AC ， ∴P ∈AC ，即EF 、HG 、AC 三线共点.10．A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角.解：（1）证明：用反证法.设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线.（2）取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角.在Rt △EGF 中，求得∠FEG =45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.§ 直线与平面、平面与平面的位置关系EFB CMN D_P_G_H_F _E_D _C _B_AFEDCBAG【知识要点】1．直线与平面的位置关系：直线在平面内（有无数个公共点），记作：lα⊂；α=；直线与平面相交（有且只有一个公共点），记作：l P直线与平面平行（没有公共点），记作：//lα.2．两平面的位置关系：αβ；平行（没有公共点），记作：//αβ=.相交（有一条公共直线），记作：l【基础达标】1．直线与平面α不平行，则（）A．与α相交B．⊂αC．与α相交或⊂αD．以上结论都不对【C】2．正方体各面所在平面将空间分成（）个部分.A．7 B．15 C．21 D．27【D】3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（）A．有限个B．无限个C．没有D．没有或无限个【D】4．E、F、G、H是棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P点，则点P（）A．一定在直线AC上B．一定在直线BD上C．只在平面BCD内D．只在平面ABD内【B】5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（）.A．平行B．相交C．平行或垂合D．平行或相交【D】6．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是．平行、在平面内7．一个平面把空间分成部分，两个平面可以把空间分成部分，三个平面可以把空间分成部分．2；3、4； 4、6、7、8.。

中等职业教育规划教材数学1-3册目录(人民教育出版社)

目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。

平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系【要点】一．平面与平面的位置关系两平面平行：平面与平面没有交点；两平面相交：平面和平面有一条公共直线。

二．两平面平行1．两平面平行的判定：（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线线平行，则线面平行）。

（2）垂直直于同一直线的两平面平行。

（3）平行于同一平面的两平面平行。

2．两平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。

（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。

（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。

（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。

（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。

三．两平面垂直1．两平面垂直的定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

2．平面与平面垂直的判定：（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

（2）一平面垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个。

3．平面和平面垂直的性质：（1）两平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

（2）过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这一平面（3）两相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面。

（3）过不垂直于平面的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。

【复习要求】平面与平面的位置关系两个平面的位置关系只有平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）两种情况。

（1）两个平面平行的判定和性质定理。

（2）两个平面垂直的判定和性质定理。

（3）二面角和二面角的平面角。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。

这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内，边与棱垂直是构成二面角的平面角的三个条件。

求二面角的平面角的大小步骤：首先，根据定义或其它办法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。

平面与平面之间的位置关系(附答案)

平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC ⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案 A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案 C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案 B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析如图所示，选D.2.答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案 D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案 D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案 C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案 B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案 B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案 1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。

平面位置关系及换面法

解决方法：更换投影面。
换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
c’ b’
a’
c’ b’ a’ d’ d c
c’ d’
a’
● ●
⑵ 直线为特殊位置
b m
k
a x
●
●
c
n
1(2)
b
k● 2 m(n) ● 1
●
c
a
空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。作图用面上取点法 ① 求交点 ② 判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k 2为不可见。
N
L
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
例4：求两平面的交线 MN并判别可见性。
⑴
a b e ● m(n)
空间及投影分析
平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。
f
c
d a d
●
e
●
nHale Waihona Puke 作图二、点的投影变换规律 ⒈ 更换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
V

a
a1' .
a

A
a' 1

V
P1
X
ax ax1
H P1 X1

H
ax
X

【高教版】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90o即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与1平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图9-43强化练习过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入【问题】前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？【观察】我们来看看实践中工人师傅是如何做的．如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．质疑引导分析思考带领学生分析17*动脑思考探索新知【新知识】从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．讲解说明理解带领学生分析20*巩固知识典型例题【知识巩固】例2长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？说明强调观察通过图9−44图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D 都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD 内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？。

平面与平面的位置关系

专题：平面与平面的位置关系考点梳理一、平面与平面的位置关系平面与平面平行——没有公共点.平面与平面相交——有且只有一条公共直线.二、平面与平面平行符号语言是βα//.图形语言是：（一）两个平面平行的判定定理一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号表示： β⊂a ，b β⊂，P b a = ，a α∥， b α∥αβ⇒∥（二）两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号表示为：////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭题一题面：如图，已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.（1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；（2）求S △321G G G ∶S △ABC .题二题面：如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？三、两个平面互相垂直（一）二面角1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.2. 二面角的平面角.如图,在二面角α-l-β的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB. ∠AOB是二面角α-l-β的平面角.3. 直二面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.（二）两个平面互相垂直1.定义：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.直二面角的画法：如图2. 两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β. 3. 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于两一个平面.题三题面：如图，在立体图形V -ABC 中，∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°，平面VAB 和平面VBC 有何种位置关系？请说明理由．,,,l m l m l m A l αβ⊥⊂=⊥=⇒⊥αβ，αβ题四题面：如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，求证：平面ABD⊥平面ABC.题五题面：如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBD的距离.课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行②平行于同一平面的两个平面平行③垂直于同一直线的两个平面平行④与同一直线成等角的两个平面平行A.①②B.②③C.③④D.②③④题二题面：设α, β表示平面,a表示直线,且直线a不在平面α或β内,并有①α∥β;②a⊥α;③a⊥β.以其中任意两个为条件,另一个为结论,可构造出三个命题.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.0题三题面：已知平面α∥平面β，α、β之间的距离等于d，直线a α，则β内( )A.有且只有一条直线与a的距离等于dB.有无数条直线与a的距离等于dC.所有直线与a的距离都等于dD.仅有两条直线与a的距离等于d题四题面：如图,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.（1）求证：直线MF∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.题五题面：如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且求证：平面SAD⊥平面SBC.AB=2，讲义参考答案题一答案：（1）略（2）1∶9题二答案：略题三答案：两平面垂直，证明略题四答案：略题五答案：（1）略（2）7212 课后练习题一答案：B详解：如图(1)，①错；如图(2)，④错。

用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)课件-人教A版高中数学选择性必修第一册

小试牛刀
1.下列说法中正确的是(
)
A.直线的方向向量是唯一的
B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C.直线的方向向量有两个
D.平面的法向量是唯一的
答案:B
解析:由平面法向量的定义可知,B项正确.
探究新知
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点 O,空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x,y,使
{P|a·=0}.
点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:
①是非零向量;
②向量所在的直线与l平行或重合.
小试牛刀
2.若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(
1
3
A. -1, 2 ,- 2
答案:D
1 3
B. -1,- 2 , 2
1 3
· = + = 0,
取 x=1,则 y=-1,z=1,
故平面 EDB 的一个法向量为 n=(1,-1,1).
延伸探究：本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?
解:如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平
面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.
OP = OA+xAB+yAC.我们把这个式子称为空间平面 ABC 的向量表示式.由此可知,空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
4.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,
那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合

9.4+直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性

AB＝3 cm，BD＝4 cm．求CD的长．
巩解在平面内，连结AD．
固
又由于BD⊥AB，所以在直角三角形ABD中，
知
AD2 AB2 BD2 32 42 25
识
故 AD＝5（cm）．
因为，AC在平面内，且AC⊥AB，
典
AB为平面与的交线，所以AC⊥
型
因此CA⊥AD．
例
在直角三角形ACD中， CD2 AC2 AD2 122 52 169
巩固解 AB和DD1是异面直线，而BB1∥DD1，AB⊥BB1，
知
根据异面直线所成的角的定义，
识
典
可知AB与DD1成直角．
型
因此 AB DD1.
例
题
1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
运
2．在正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线
用
知 AA1的位置关系．
识
强化练习
直线与平面垂直的性质
创设
这些电线杆是平行的．这一事实启发我们得出直线与平面垂
情
直的性质．
境
兴趣导入
直线和平面垂直的性质：
动
脑思
垂直于同一个平面的两条直线互相平行． n
m
考
探
如果两条平行直线中的一条垂直于一个
索
新
平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？为
知
什么？
例3 如图，AB和CD都是平面的垂线，垂足分别为B、D，
如图所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，
创把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆设情木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角境尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条兴直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺趣的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．导入

9.2.4平面与平面的平行关系(一)

P
B’ A’
A
C’ D
C
E
F
B
练习1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1 练习、已知正方体
P,Q, R,分别为 1A,AB,AD的中点分别为A 分别为的中点求证：平面求证：平面PQR∥平面 1D1. ∥平面CB
分析：连结分析：连结A1B，， PQ∥ A1B ∥
P R Q
A1B ∥CD1 故PQ∥CD1 ∥ 同理可得，同理可得，……
推论: 推论 2、若一个平面内有两条相交直线分别如果一个平面内的两条相交直线分平行于另一个平面内的两条相交直线，平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行吗？那么这两个平面平行吗？别平行于另一个平面内的两条直线, 别平行于另一个平面内的两条直线那么这两个平面平行. 那么这两个平面平行
α
β
(4)过平面外一点，只可作1个平面过平面外一点，只可作1 过平面外一点与已知平面平行（√）
（5）设a、b为异面直线，则存在为异面直线，平面α 平面α、β，使 a ⊂α, b ⊂ β且 // β. α （√）
α b a
β
例１：已知空间四边形PABC，连接，已知空间四边形，连接PB， AC，且D，E，F，PA，PB，PC的中点，的中点，，，，，，，的中点求证：平面DEF∥平面求证：平面 ∥平面ABC
α
β
练习1 判断下列命题是否正确？练习1、判断下列命题是否正确？（1）平行于同一条直线的两平面平行
（×）
α a β
（2）若平面α内有两条直线都平若平面α 行于平面β 行于平面β，则α∥β. （×）
a b α β
（3）若平面α内有无数条直线都若平面α 平行于平面β 平行于平面β，则α∥β. （×）

平面与平面的位置关系

回顾旧知
直线与平面的有几种位置关系
l
•
A
•l
B
l
A •
探究1
观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1
（1）平面AC与平面A1C1有没有公共点?
（2）平面AC与四个侧面有没有公共点?有多少个公共点？
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
平面与平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种
(1) 两个平面平行——没有公共点，
若 a,b,abA,
且 a//,b//,则 //
两个平面平行的判定定理
例1 如图，两个全等的的正方形ABCD，ABEF不在同一个平面内，求证：平面ADF//平面BCE
A
D
F
B
E C
推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行
两个平面平行的性质定理
两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个
平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个平面。
Al
BC
符号表示：
若 , l,A B ,A B l,B 为垂 A足 B ，
例题
见书P 132
小结：
1、平面与平面的两种位置关系 2、二面角及二面角的平面角 3、平面与平面垂直的判定和性质
作业：课后练习
平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条
l
垂线，那么这两个平面互相垂直。
符号表示：若 l ,l ,则

(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系

■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β，即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与

平面与平面之间的位置关系解析课件

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(对应学生用书31页)
• 典例下列命题：①直线l与平面α内的无数条直线平行，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为( )
• A．1
B．2
C．3
D．4
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• 其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________．第23页/共60页
• 解析：若α与β相交，如图，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除②.容易证明①③都是正确的．
答案：①③
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• 要点二平面与平面的位置关系 • 空间中的两个平面有且只有两种位置关系：两平面平行和两平面相交． • 1．画两个平行平面时，要注意把表示平面的平等四边形画成对应边平行，如图．
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• 2．画两个相交平面时，要注意画出交线，被遮挡住的部分用虚线或者不画．第26页/共60页
• 例2 α、β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( ) • A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β • B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β • C．若直线a与平面α和平面β都成相等的角，那么α∥β
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• 对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内， • ∴a不一定平行于α，∴③是假命题． • 对于④，∵a∥b，b⊂a，那么a⊂α或a∥α， • ∴a与平面α内的无数条直线平行， • ∴④是真命题．综上，真命题的个数为1.答案为A.
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• 观察图中的吊桥，说出立柱和桥面、水面的位置关系，铁轨和桥面、水面的位置关系，两根立柱确定的平面和水面的位置关系．

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：理解线线、线面、面面垂直的概念、判定与性质能力目标：（1）画出线线、线面、面面垂直的直观图；（2）利用线线、线面、面面垂直的判定与性质，解释生活空间的一些实例；（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）经历对线线、线面、面面、几何体的垂直及对应直观图形的认知，发展空间想象思维．（2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维．（3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．（4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与1平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图9-43强化练习．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？图9−44检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人图9−45ABCD-A1B1C1D1中，侧面⊥AB，AA1⊥AD．且AB和由直线与平面垂直的判定定理知，图9−46在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．图9−48α，CD⊥α，所以AB∥CD BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面AE∥BD，直线AE与CD交于点ACE中，因为AE＝BD＝5 cm，图9−52ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面在底面正方形ABCD中，BD⊥ACAC内，所以平面B1AC与平面图9−54内，连结AD．又由于BD⊥AB 22222AD AB BD3425 =+=+=【教师教学后记】。