2015年人大附中高三数学模拟三

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2015年高考模拟试题三模试题_北京市东城区2015年高考第三次模拟考试数学理科试题

10. 已知
4 3
B． 2
C．
8 3
D．
16 2 3

A.
2 3 3
B. 3 1
C.
5 2
D. 5
12.对于函数 f x ，若对于任意的 x1 , x2 , x3 R
， f x1 , f x2 , f x3 为某一三角形的三边长，
则称 f x 为“可构成三角形的函数”。已知函数 f x 取值范围是（ A． , 2 2 ）
x2 y 2 1 ( a ﹥ 0 , b ﹥ 0 ) 的离心率为 a 2 b2
。
3 ，则其渐近线方程
。
14.已知数列 an 是等差数列, a1 1, S n 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列，则 S8
·2·
15. 已知函数 f x log a
2
）
C． 0, 2
D． 2, 4
9.已知直线 l 过抛物线 C ： x 4 y 的焦点，且与 y 轴垂直，则直线 l 与抛物线 C 所围成的图形的面积为（） A．
3 ） , 2 ，满足 tan 2 tan 0 ，则 tan 的最小值是（ 2 2 2 3 2 3 2 A． B． C． D． 4 4 4 4 2 2 x y 11.设 F1 , F2 分别是双曲线 2 2 1 ( a ﹥ 0 , b ﹥ 0 )的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P ， a b 使得 OP OF 2 F2 P 0 ，其中 O 为坐标原点，且 PF1 2 PF2 ，则该双曲线的离心率为( )
A． 3 4.已知 a1 1 ， an 1 B． 5 C． 2 2

2015年高三三模试卷理科数学附答案

O ππ3π6112015年高三三模试卷理科数学一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1、设复数11221,2,z z i z ai z =+=+若为纯虚数，则实数a =（）A ．-2B ．2C ．-1D ．12、已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题:1,ln(1)x q x e x ∀>->+，则（） A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3、已知某随机变量X 的概率密度函数为P (x )=⎩⎨⎧>≤-0,0,0x e x x ,则随机变量X 在区间(1,2)内的概率为( )A ．e 2+eB ．21e e + C ．e 2-e D ．21ee - 4．下列命题中正确的是（）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线 5．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（）（A ）32,1πϕω== （B ）32,2πϕω== （C ）3,1πϕω-== （D ）3,2πϕω-==6、ABCDEF 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A,B 和C,D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( )A.72B.192C. 112D.1607、设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意∈x R 都有)()(x f x f >'成立，则（）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B.3(ln 2)2(ln 3)f f =C ．3(ln 2)2(ln3)f f < D.3(ln 2)2(ln3)f f 与的大小不确定8、过双曲线2222x y a b-=1（a >0，b >0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．x ±y =0B ．2x ±y =0C ．4x ±y =0D ．x ±2y =09、已知,40,tan 12sin sin 22πθθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值( ) A ．随着k 的增大而增大 B ．有时随着k 的增大而增大，有时随着k 的增大而减小 C ．随着k 的增大而减小 D ．是一个与k 无关的常数10、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数1()sgn(ln )(23)x f x x -=--的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.411、平面α、β、γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α内的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( ) A ． 3－ 3B ．3+ 3C ．1D ．312、定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且函数)3(-=x f y 的图像关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式22(2)(2)0f s s f t t -+-≥，则当14s ≤≤时，3t s +的取值范围是( ) A ．]10,2[- B ．[4，16] C ．]10,4[ D ．]16,2[-第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、右面程序框图中，已知f 0(x)=xe x ，则输出的结果是___ __；14、已知{x 1, x 2, x3, x 4}⊆{x >0|(x -3)sinπx =1}, 则x 1+x 2+x 3+x 4的最小值为___ __；15、ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则该ABC ∆的面积___ __；16、某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个球面上，则此球的表面积为___ __；（2sin aR A=，其中R 为三角形外接圆半径）三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中, 已知3212+=a a , 且23a ,4a ,35a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 3log =,求数列{}n n b a 的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）已知某几何体直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，60°3388主视图侧视图（1）求证：BN 11C B N ⊥平面；（2）11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值；（3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB 并求BPPC的值 19、（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

人大附中高三月考试卷数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f(x)$的图像大致为：A. 图像在y轴左侧逐渐上升，在y轴右侧逐渐下降B. 图像在y轴左侧逐渐下降，在y轴右侧逐渐上升C. 图像在y轴左侧和右侧均逐渐上升D. 图像在y轴左侧和右侧均逐渐下降2. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$对应的点在复平面上的轨迹是：A. 以点(0,0)为圆心，半径为2的圆B. 以点(0,0)为圆心，半径为1的圆C. 以点(0,0)为圆心，半径为3的圆D. 以点(0,0)为圆心，半径为2的圆的内部3. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是：A. $y=-2x^2+3x+1$B. $y=x^3-x$C. $y=\frac{1}{x}$D. $y=x^2$4. 若$a>0$，$b>0$，则下列不等式中成立的是：A. $a^2+b^2\geq 2ab$B. $a^3+b^3\geq 2ab$C. $a^2b^2\geq 2ab$D. $ab^2+ba^2\geq 2ab$5. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=10$，$S_8=24$，则$a_6$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数$y=\sin x$在区间$[0,2\pi]$上的图像与直线$y=k$有4个交点，则$k$的取值范围是：A. $[-1,1]$B. $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$C. $[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$D. $[-1,-\frac{1}{2}]$或$[\frac{1}{2},1]$7. 若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha$的值为：A. 1B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{2}$D. 28. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形的面积是：A. 6B. 8C. 10D. 129. 在极坐标系中，点$(3,\frac{\pi}{6})$对应的直角坐标是：A. $(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$B. $(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$C. $(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$D. $(-\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$10. 下列不等式中，恒成立的是：A. $x^2+y^2\geq 2xy$B. $x^2+y^2\leq 2xy$C. $x^2-y^2\geq 2xy$D. $x^2-y^2\leq 2xy$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，若$f(x)=0$的三个根分别是$a$、$b$、$c$，则$a+b+c=$12. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，若$a_1+a_4+a_7=30$，则$a_5=$13. 在$\triangle ABC$中，若$A=\frac{\pi}{3}$，$B=\frac{\pi}{4}$，$c=2$，则$BC=$14. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$对应的点在复平面上的轨迹方程是15. 若$y=\sin x+\cos x$，则$y$的最大值是16. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，若$f'(x)=0$，则$x=$17. 在极坐标系中，点$(4,\frac{\pi}{3})$对应的直角坐标是18. 若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=9$，则$a_1q^2=$19. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，则$f(-1)=\frac{1}{f(1)}$的充要条件是20. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$对应的点在复平面上的轨迹是三、解答题（本大题共4小题，共100分）21. （20分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求：（1）函数$f(x)$的单调区间；（2）函数$f(x)$的极值；（3）方程$f(x)=0$的实根个数及根的情况。

北京市昌平区2015届高三下学期第三次模拟数学(理)试卷含解析

北京市昌平区2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知=b+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b等于( )A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．42．要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象( ) A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度3．如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③4．由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为( )A．1 B．C．D．5．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则①处应填的数字可以为( )A．4 B．5 C．6 D．77．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A．m＜2 B．2＜m≤3 C．2≤m≤3 D．m＞38．如图，直线MN过△ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m＞0，n＞0），则mn的最小值是( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是__________．10．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=__________．11．设x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的概率为__________．12．已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=__________，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为__________．13．已知函数f（x）=e x（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________．14．已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0）．设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是__________；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．（Ⅰ）求tan（C﹣）的值；（Ⅱ）若c=，求S△ABC的最大值．16．在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：表1：零件某年的每月产量（个/月）月份第一季度第二季度第三季度第四季度1 2 3 4 5 产量500 400 625 625 500 表2：零件市场价格（元/个）零件市场价格8 10概率0.4 0.6（Ⅰ）请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）（Ⅱ）随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；（Ⅲ）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望．17．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．（Ⅰ）求证：CF∥平面AED；（Ⅱ）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中点，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．19．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a≥0）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值．20．已知数列{a n}满足a1=4，a2=2，a n+2=a n+2[1﹣（﹣1）n]，n∈N*，k∈N*．（Ⅰ）求a3，a4，并直接写出a n；（Ⅱ）设S k=a1+a3+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+…+a2k，分别求S k，T k关于k的表达式；（Ⅲ）设W k=，求使W k＞2的所有k的值，并说明理由．北京市昌平区2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知=b+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b等于( )A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：首先由已知利用复数相等得到a，b的值，然后计算所求．解答：解：因为=b+i即a+3i=﹣1+bi，所以a=﹣1，b=3，所以a+b=2；故选C．点评：本题考查了复数的运算以及复数相等的性质；属于基础题目．2．要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数图象之间的关系进行求解即可．解答：解：f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）﹣），即由函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位即可得到f（x）=sin（2x+），故选：A点评：本题主要考查三角函数图象之间的关系，比较基础．3．如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正四棱锥，三棱锥，圆锥的三视图形状，举出满足条件的实例，分析三个命题的真假，可得答案．解答：解：正四棱锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为棱锥的侧高，底为底面边长，故①正确；将①中正四棱锥沿两条相对的侧棱分成两个三棱锥，则三棱锥的正视图、侧视图跟①完全一致，故②正确；圆锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为圆锥的母线，底为底面直径，故③正确；故所有真命题的序号是①②③，故选：D点评：本题考查的知识点是简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图形状是解答的关键．4．由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为( )A．1 B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可解答：解：由题意封闭图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=；∴曲边梯形的面积是；故选：D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数5．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案．解答：解：当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及平面向量共线的坐标表示，属基础题．6．阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则①处应填的数字可以为( )A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=11，n=5时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11，则①处应填的数字可以为：5．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1满足条件，S=1﹣2=﹣1，n=2满足条件，S=﹣1+4=3，n=3满足条件，S=3﹣8=﹣5，n=4满足条件，S=﹣5+16=11，n=5由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11．则①处应填的数字可以为：5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A．m＜2 B．2＜m≤3 C．2≤m≤3 D．m＞3考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意知g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；从而由一次函数与二次函数的性质判断即可．解答：解：∵函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，∴g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；即有在[m，+∞）上有3≥m，在（﹣∞，m）上有x2+5x﹣12=x，解得x=﹣6或2，即有m＞2．则有2＜m≤3．故选：B．点评：本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，属于中档题．8．如图，直线MN过△ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m＞0，n＞0），则mn的最小值是( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由G为三角形的重心得到=（），再结合=m，=n（其中m＞0，n＞0），根据M，G，N三点共线，易得到m，n的关系式，即可得到结论解答：解：根据题意G为三角形的重心，∴=（），由于==（﹣m）+，=n=，因为G，M，N三点共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得，即，消去λ得m+n﹣3mn=0，m，n＞0∴m+n=3mn≥2，所以mn≥．所以mn的最小值为；故选：C．点评：本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量的基本定理和向量在几何中的应用，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是15．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：写出二项展开式的通项，取r=2即可求得含x4y2的项的系数．解答：解：由，令r=2，可得二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是．故答案为：15．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．解答：解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，又∵∠CPA=30°，R=3，∴，∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键．11．设x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：概率与统计．分析：根据古典概型的概率公式进行计算即可．解答：解：∵x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，∴共有2×3=6个坐标，不等式等价为x≥1﹣2y，当y=﹣2时，x≥5，此时没有坐标，当y=0时，x≥1，此时x=1，当y=2时，x≥1﹣4=﹣3，此时x=1，﹣1，故以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内坐标为（1，0），（1，2），（﹣1，2）共3个，则对应的概率P==故答案为：点评：本题主要考查古典概型的概率的计算，根据条件求出满足条件的坐标个数是解决本题的关键．12．已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=1，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为1．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点，可得双曲线的c=2，由双曲线的a，b，c的关系，可得m=1，由双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式计算即可得到．解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即3+m=4，解得m=1，则双曲线﹣y2=1的右焦点（2，0）到渐近线y=±x的距离为d==1，故答案为：1；1．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．13．已知函数f（x）=e x（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0立，然后求出实数a的取值范围．解答：解：因为f（x）=e x（sinx+a），所以f′（x）=e x（sinx+a+cosx）．要使函数单调递增，则f′（x）≥0成立．即sinx+a+cosx≥0恒成立．所以a≥﹣sinx﹣cosx，因为﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+）所以﹣≤﹣sinx﹣cosx≤，所以，故答案为：．点评：本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，注意当函数单调递增时，f'（x）≥0恒成立．14．已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0）．设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是（，）；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（1）由中点坐标公式得到M（3，5），由已知得到点M′的坐标是（，）．（2）求点M′的轨迹方程，根据范围确定路径的长度．解答：解：（1）∵点M是线段AB的中点，由中点坐标公式，∴M（3，5），由已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0），∴点M′的坐标是（，）．（2）设M′（x，y），则M（x2，y2），线段AB方程为：x+y=8（2≤x≤4）∴对应点M′为x2+y2=8（≤x≤2，2≤y≤），∴路径为一段圆弧，圆心角为15°，∴点M的对应点M′所经过的路线长度为8π×=．点评：主要考查轨迹问题，曲线与方程的运用，学生的灵活应用能力与计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．（Ⅰ）求tan（C﹣）的值；（Ⅱ）若c=，求S△ABC的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，确定出C的度数，代入tan（C﹣）计算即可求出值；（Ⅱ）把c的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵a2+b2=ab+c2，a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∵C为△ABC内角，∴C=，则tan（C﹣）=tan（﹣）==2﹣；（Ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3，∵S△ABC=absinC=ab，∴S△ABC≤，当且仅当a=b=时“=”成立，则S△ABC的最大值是．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：表1：零件某年的每月产量（个/月）月份第一季度第二季度第三季度第四季度1 2 3 4 5 产量500 400 625 625 500 表2：零件市场价格（元/个）零件市场价格8 10概率0.4 0.6（Ⅰ）请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）（Ⅱ）随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；（Ⅲ）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）运用给出的数据的差异可判断得出不稳定问题，可判断方差的大小问题．（II）X取值为X=400，500，625．运用表格数据可得出P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．可列出分布列．（III）确定随机变量Y的所有可能取值为Y=3200，4000，5000，6250．运用表的概率知识和则P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．求解得出P（Y=3200）=0.1，（Y=4000）=0.35，P（Y=5000）=0.4，P（Y=6250）=0.15列出分布列，求解数学期望．解答：解：（I）第四季度的月产量方差最大．（II）X取值为X=400，500，625．则P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．所以随机变量X的分布列为X 400 500 625P 0.25 0.5 0.25（III）因为400×8=3200，400×10=4000，500×8=4000，500×10=5000，625×8=5000，625×10=6250，所以随机变量Y的所有可能取值为Y=3200，4000，5000，6250．所以P（Y=3200）=0.4×0.25=0.1，P（Y=4000）=0.6×0.25+0.4×0.5=0.35，P（Y=5000）=0.6×0.5+0.4×0.25=0.4，P（Y=6250）=0.6×0.25=0.15所以随机变量Y的分布列为Y 3200 4000 5000 6250P 0.1 0.35 0.4 0.15其期望为EY=3200×0.1+4000×0.35+5000×0.4+6250×0.15=4657.5．点评：题综合考查了概率在实际问题中的应用，关键是准确求解概率，判断概率的类型，准确求解即可，熟练运用公式计算求解，仔细阅读题意．17．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．（Ⅰ）求证：CF∥平面AED；（Ⅱ）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，可得：BC∥平面ADE，BF∥平面ADE，进而由面面平等的判定定理，可得平面BCF∥平面AED，进而根据面面平行的性质得到：CF∥平面AED；（Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出直线AF的方向向量与平面ECF的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）设P（x，y，z），，根据AP⊥平面CEF，则平面CEF法向量为满足：，根据无满足条件的λ值，可得不存在这样的P点．解答：证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以BC∥AD．又BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE..…又因为BDEF是正方形，所以BF∥DE．因为BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BF∥平面ADE…因为BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF=B，所以平面BCF∥平面AED…因为CF⊂平面BCF，所以CF∥平面AED．…．…..解：（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，所以△BCD为等边三角形…取BD的中点O，所以CO⊥BD，取EF的中点G，连结OG，则OG∥DE因为DE⊥平面ABCD，所以OG⊥平面ABCD..…如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB=2．所以…所以，，．设平面CEF法向量为=（x，y，z），则有得，令y=1．则…设AF与平面ECF所成的角为θ，则，所以直线AF与平面ECF所成角的正弦值为．…．…..（Ⅲ）不存在…，设P（x，y，z），，由，得…因为平面CEF的法向量为．若AP⊥平面CEF，则，即，..…得方程组无解，不符合题意．综上，不存在λ使得AP⊥平面CEF．…．…..点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量法求线面夹角，难度中档．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中点，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过点M（1，0）为线段OA的中点可知b=2，利用，a2﹣b2=c2，计算即得结论；（Ⅱ）通过设存在点N（x0，0）满足题设条件，分EF与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题意可得b=2，又因为，a2﹣b2=c2，所以，故所求椭圆C的方程为；（Ⅱ）结论：在x轴上存在点N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．理由如下：假设存在点N（x0，0）满足题设条件，（1）当EF与x轴不垂直时，设EF的方程为y=k（x﹣1）．则消去y，整理得：（2+k2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0．可知△＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，=，（x1﹣1）（x2﹣x0）+（x2﹣1）（x1﹣x0）=2x1x2﹣（1+x0）（x1+x2）+2x0=﹣+2x0，若∠ENM=∠FNM，则k EN+k FN=0，，整理得：k（x0﹣4）=0，因为k∈R，所以x0=4；（2）当EF⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠ENM=∠FNM，满足题意；综上，在x轴上存在点N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a≥0）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调区间，根据函数f（x）在区间（0，1）上无零点，即可求实数a的最大值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=x﹣1﹣2lnx，定义域（0，+∞）…，..…令f'（x）＞0得x＞2，..…令f'（x）＜0得0＜x＜2..…因此，函数f （x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；…（Ⅱ）①当a=0时，f（x）=﹣2lnx，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，且f（x）＞f（1）=0，所以a=0时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…②当a＞0时，令f'（x）=0得，令f'（x）＞0得，令f'（x）＜0得，因此，函数f （x）的单调递增区间是，单调递减区间是…（ⅰ）当即0＜a≤2时，函数f （x）的单调递减区间是（0，1），所以f（x）＞f（1）=0，所以0＜a≤2时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…（ii）当即a＞2时，函数f （x）的单调递减区间是，单调递增区间是．所以且，所以a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上有零点，不成立，…所以0≤a≤2，综上实数a的最大值是2．…点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，正确求导是关键．20．已知数列{a n}满足a1=4，a2=2，a n+2=a n+2[1﹣（﹣1）n]，n∈N*，k∈N*．（Ⅰ）求a3，a4，并直接写出a n；（Ⅱ）设S k=a1+a3+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+…+a2k，分别求S k，T k关于k的表达式；（Ⅲ）设W k=，求使W k＞2的所有k的值，并说明理由．考点：数列递推式；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a3，a4，并直接写出a n；（Ⅱ）根据数列求和的关系进行求解即可求S k，T k关于k的表达式；（Ⅲ）求出W k的表达式，解不等式即可．解答：解：（I）因为a1=4，a2=2，所以a3=a1+4=8，..…a4=2a2=4，..……（II）当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+4，所以{a2k﹣1}是以4为首项，4为公差的等差数列，则a2k﹣1=4k，..…当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，故{a2k}是以2为首项，2为公比的等比数列，则，..…S k=a1+a3+…+a2k﹣1=4+8+…+4k=2k（k+1），，..…（III），于是，…下面证明：当k≥5时，W k＜2．事实上，当k≥5时，，即W k+1＜W k，又W5＜2，所以k≥5时，W k＜2…故满足W k＞2的k的值为2，3点评：本题主要考查数列递推公式的应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．。

【数学】黑龙江省哈师大附中2015届高三第三次高考模拟考试(理)

哈師人附中2015年烏三第三次模拟考试理科数学本试卷分第I卷（选择删）和第II檳（非徙择题）胸部分，共I知分，粤试时间120分神。

尊试结枣厉■将本试推和荐题卡一并交回。

注意事项：L答童前.考生务必先将自己前姓名.准考证号码填写清楚•将条賂码准确粘贴在条緒区1（內・2. 透择迎必须便用2B铅笔填涂：非选择軀必線便期0」堡朋熙色字逝的签字笔替丐丫字体工饶、笔迹清蹩“3. 诸按擦题号颇洋程各魁日的屏題区域内作答，駁出答題IX域书写的答案无效:在疏轴纸、试题卷上答题无效.4-作團可先鰹用铅笔脚出，嵋定后必缄用黑邑字迹的签字笔描黑n5.保持卡而清旃，不耍折叠•不要界《L靑做.不准便用涂改液.烽正带*刮紙刀。

第I卷（选择题共60分）一■选择题（本大滙共12小麵』毎小題，分，在每小題给出的四牛选项中,只有一项是符舍通目要求的｝L设集合仁｛JC|暫》寺卜占=討訂|创卜9tAC\B =（）A. （ J）8.（ -t JI C [ -lj| DJ -M）2 ■ i* i —―Z复数工壽冷•则工的共範复数H的虚部是（）a e知一组数据叭宀內必內的平均数蹇；“，方差艮彳•那么另-组數据3^-2,3x2-2t3Xi ■2.旅.-23x^2的平均数和方菱分别是（）A.2t y B+2J c.4,y D.4$4.巴知-警T剿角2拆所征的象限是（）他第一筆限乩第二象舉C第三峨陶D•第四象限至过原点的程坡I与蛀T 乂0有公共点.则直线（倾斜角的脱值拖憎为（）心詔】氐善¥】C [著,打）U[0t~]D・（于‘号2（f■冷]理科敛学试题第】肚f共心贡）6"等比It 列｛%｝中,□[ ©4■刑“I 则丄+丄十…*丄工（）2 Q [叫叫乩 4 一+ 氏—^7 士D+4—^YH 有三牛命题’其中其命聽的牛敬是（）（口”两条直线无公共点”是“这两条直线为异面直线”的必要不充分簽件罩（2广条直线垂直于-•个平面内无数条直线"是*这無直线垂直于这个平鹵”的兗愛条件* （3M 上咼平囲“外的曲条葭线，且“0、吋忖是"£的充分不必要第件.A.3B.2C.1D.0乳如图，网格纸L 小正方形的边长为】■图中粗线嘶出的绘-牛几何体的三视图*则壊几何体的表團积是（）C. J5TT 4-12 D, + 12c^n卡― -------A/ I J + ® B [ |_1 + ® ] C. [ -|-, 0C j D. [£ao]】2.已知W.5为双曲线音洛"仏>0,b>0）的左、右顶点H 耳于点 S ）是讽曲线tft#- 点，记直线叽氏的蚪率分别为讣,则当艸' - In “禹）脫最小值时，职曲线算心事为（）扎找B.万 G2D.^ + i珅科数学试題第2页｛共4页）A. 12 +12TTf = f+ 19. 阅渎如图所斥时程序椎图.则该算注的功能是（A.计算数列｛町的前6项和C 计算數列订的前&坝和10. 已知破敎貞 i ） -I + jcsimf - I Wk 卷！）*则（ Q/tain?） <flc （«3）rl 亠 U-l I jre[0T 2]g 已躺数） “2"若 B +计算数列5｝的前5项和 D. if 算数列｛« + !｝的前5项和）乩卅觎）</（™2）D. f ｛ *in4） <f ｛ co»4）:>0时拓+恒城立用瞋散*的屉值范围[「如〕第U卷（非选择题共如分）本卷包括必考18和选看迥两部分.第门题•第21題为必奪題，毎牛试尊勇生都必硕作善，第22團-第24遷为透甬覆.考生桶据要求作答・二、填空題（卓大题扶4小题、毎小遷5分，）11由下面样木数据利用帰小一舉法求出的线性冋归方程实数_____________I巴一3456I r 2.534 4.5M已知向虽；珂2Q和则二圖（“K）的最小值为______________________15.如阳，用心禹4 三类不局的元件连接成一牛系统.筑4, __________ 、嘉能否正常工作相互独立，当K正常王作艮虬、為至少有一个正常工作时.果统正常工件，已知八扎、拓正常工作的概率嵌欢为0.9、69』.昭则系统正常工作的機率为 ____ ,15 MB临数列bj的通项公式为 3 2”環，若｛曲是单调递增敎列•则实数&的取疽范围是_______ .解答题（解答应写出文字说阴.证明过程戒演鼻步■）（本小题滞分12分）已知雷數/（ x） = QsinJ cuff +^P）+ CTWOK取哪-gicukgi岬（ii > 0t0 < ^ < ）是偶函收*相邻两牛零点间距离为】*（I ［求兀鼻）的单调遥增区间£（E1）已超ZUBC为锐角三角花，角仏乩f对边分别为J扒“若彳半上1卫"上二趴求黔18.（^小题満分12分）某化肥厂甲.乙车闾包談肥斜”在自动包装传递带上毎隔和皿讪抽取•包产品•称貝歳师（单位；千克）•分别记量抽卷數据如下：甲J02 JOI .99.98J03.98 .99 ：98 JW T W JO2 J01 .97,103（I ）这种抽样方法是哪一种？（H）#这两组数据用茎叶图表示；皿）根抿两组数据.茯得样本的数字特掘.对曲个车间产甜电赧进行评价19.（*小题満分12分）如Uh三棱柱磁"芒心中丿上‘丄底面ABC, A ACS » 为胡中鼠（I ）求证严面儿仞丄平面町甩（3 ）求二面角瑶-HC -€,的余弦值.理科數学试题箒3观f共4页）加(本小题満分12分)已知椭厕的中心为坐标辰点①焦点在工轴上*斜甲为I 乩过摘圆和烯点F 的直线交椭圜于儿月两点,3t+o8与；= (2t -i )共线.(1 )求椭鬪的离心率* 一(U)设駅誌于乩册为梆圆上一点■且ai/=(M+A S3 (A^W).求A 的甄2】.(本出題満分】2分)已知刃盒)二/ +21n(2-x) (ae R)(I )若找巧在区间口2｝上是减歯数■求"的取值范枫 (H)&a>0, *W/( t) =0根的个数，幷证明你的结论.睛从下面所给的22^3.24三壓中选定一嵐件菩■并用2U 铅笔在善進卡上将所选■目対应的尊号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、窑涂均按所答第一题评分;峯答按所答第一题评分。

2015年度华南师大附中高三三模理数试题含规范标准答案

2015年华南师大附中高三综合测试数学（理科）2015.5 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位,若复数()()2282i=+-+-是纯虚数,则实数m=：z m m mA ．2B ．4-或2C ．2或4-D ． 4-2．已知命题p ：∃α∈R ，cos (π－α) = cos α；命题q : ∀x ∈R ，x 2 + 1 > 0. 则下面结论正确的是：A. p ∨q 是真命题B. p ∧q 是假命题C. ¬ q 是真命题D. p 是假命题3．若 x 、y 满足约束条件 ⎩⎨⎧ 2x + 2y ≥1x ≥y 2x －y ≤1且向量 a = (3,2)，b = (x ,y )，则 a ·b 的取值范围是： A. [54 ,4]B. [72,5] C. [54,5]D. [72,4]4. 同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是： A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ． )62cos(π-=x yD ． )62sin(π-=x y5. 函数f (x )＝|log 2(x ＋1)| 的图象大致是：6. 已知点 F 是抛物线 y 2 = 4x 的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则MN 中点的横坐标为：A. 32 B. 2C. 52 D. 37. 设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩⎨⎧>≤=p x f p px f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不．成立的是： A. [](0)[(0)]p p f f f f = B. [](1)[(1)]p p f f f f = C. [][(2)](2)p p f f f f = D. [][(3)](3)p p f f f f =8. 若直角坐标平面内两相异点A 、B 两点满足：① 点A 、B 都在函数 f (x ) 的图象上；② 点A 、B 关于原点对称，则点对 (A ，B ) 是函数 f (x ) 的一个“姊妹点对”. 点对 (A ，B ) 与 (B ，A ) 可看作是同一个“姊妹点对”. 已知函数 f (x ) = ⎩⎨⎧ x 2 + 2x ，x < 0x + 1ex ，x ≥0 ，则 f (x ) 的“姊妹点对”有：A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个第二部分非选择题（110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 不等式12x x -<的解集为 *** . 10. 2612)x x-（的展开式的常数项是 *** （用数字作答）.11. 图一是一个算法的流程图，则最后输出的S 是 *** ．12．某三棱锥的三视图如图二所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 *** .13. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有 *** 个.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14 . （坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ是参数，0>a )，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 5ρθρθ+=，若曲线C 与直线l 只有一个公共点，则实数a 的值是 *** ．开始 S =0, n =1n ≤6 是否S = S －n n = n + 2输出S 结束图一图二·CO D B.15. （几何证明选做题）如图，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，且4CD =，8BD =，则⊙O 的半径等于*** .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2c =，3C π=。

北京市首都师范大学附属中学高三下学期三模数学(理)试题(解析版)

北京市首都师范大学附属中学高三下学期三模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么A B =I ( ) A ．{0,2,4} B ．{2,0,2}- C ．{0,2} D ．{2,2}-【答案】B【解析】先求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}，B ＝{x |x 2≤5}＝{x |x ≤≤}， ∴A ∩B ＝{﹣2，0，2}．故选B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z 满足112iz i-=+，则z 等于（）A ．25 B ．35C ．5D【答案】C【解析】试题分析：()()()()1121312125i i i z z i i ----==⇒=+-C ．【考点】1、复数的概念；2、复数的运算.3．执行如图所示的程序框图，若输入的m =1，则输出数据的总个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．设,x y满足约束条件2,239,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则下列不等式恒成立的是C ．20x y -+≥D ．360x y --≤【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(3,1)A -，同理可得(0,2),(0,3)B C -，设目标函数z x y =-，则()y x z =+-，当直线()y x z =+-过点B 时取得最小值，最小值min 2z =-，所以20x y -+≥恒成立，故选C ．5．,a b r r 为非零向量，“||||a bb a =r rr r ”为“,a b r r 共线”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】,a b r r 共线，,a b r r方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论. 【详解】,||||a bb a r rr r 分别表示与,a b r r 同方向的单位向量， ||||a bb a =r rr r ，则有,a b r r 共线，而,a b r r 共线，则,||||a bb a r rr r 是相等向量或相反向量，“||||a bb a =r rr r ”为“,a b r r 共线”的充分不必要条件.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（） A ．12种 B ．15种 C ．17种 D ．19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有132212C ⨯⨯=取法；第二类，有两次取到3号球，共有2326C ⨯=取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.【考点】排列组合，分类分步记数原理. 7．已知函数21()cos 22xf x x ωω=+-(0)x R ω>∈，，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的最大值是( )A ．512B ．56C ．1112D ．32【答案】C【解析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数图象，即可求解. 【详解】211()cos cos sin()2226xf x x x x x ωπωωωω=+-=+=+, 令()0,(),()66k f x x k k Z x k Z πππωπωω=+=∈=-∈，函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，6(1)26k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩解得111()6212k k k Z ω+-≤≤-∈， 50,0,012k ωω>∴=<≤，5111,612k ω=<≤ω的最大值是1112. 故选:C.本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D 【答案】A【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题9．双曲线2221y x a-=的渐近线为y =，则该双曲线的离心率为________.【解析】由双曲线方程和渐近线方程，求出,a b值，进而求出c，即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为2c，双曲线2221yxa-=得1b=，渐近线方程的斜率为aa b==2c e====.故答案为【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题. 10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是112xy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t为参数），以O 为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是24cos30ρρθ-+=.则圆心到直线的距离是________.【答案】12【解析】将直线参数方程化为普通方程，圆C极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】112xy t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数化为10x-=，24cos30ρρθ-+=化为22430x y x+-+=，即22(2)1x y-+=，圆心(2,0)C，圆心C到直线l12=.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】43【解析】根据三视图还原为底面为菱形高为2的四棱锥，即可求出结论. 【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为2，有一对角为060的菱形，高为2，所以体积为213432223⎫⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭. 故答案为43. 【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题. 12．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，214a =，且4536a a a +=.（1）数列{}n a 通项公式是________.（2）设数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值是________.【答案】42n n a -= 6-.的关系，可得{}2log n a 为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，214a =， 24533336,6,0,0n a a a a q a q a a q +=+=>>，260,2q q q +-==或3q =-（舍去）， 2422n n n a a q --∴==，24log n a n =-，当224,log 0,5,log 0n n n a n a ≤≤≥>，数列{}2log n a 的前n 项和n S 的最小值是346S S ==-.故答案为:42n n a -=；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前n 项和最小值等知识，属于中档题.13．写出一组使“,,222x y x y x y +∀∈+<R ”为假命题的一组x ，y ________. 【答案】1,1（答案不唯一）【解析】即求命题的否定“,,222xyx yx y +∃∈+≥R ”为真命题的一组,x y 值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可. 【详解】“,,222x y x y x y +∀∈+<R ”为假命题,其命题的否定“,,222x y x yx y +∃∈+≥R ”为真命题，12222x yx y +++≥=，命题的否定为真的充分条件为1,22x yx y x y ++≥++≤，取1,1x y ==.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14．血药浓度（Serum Drug Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：血药浓度的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值．（1,2,3i =）①记V i 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则123V ,V ,V 中最大的是_______；②记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则123T ,T ,T 中最大的是_______【答案】1V 3T【解析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择. 【详解】①设i i i A x y （，）,则V ii iy x =，由于1230x x x <<<,2310y y y <<<, 所以1212y y x x >,3113y y x x >,即1V 最大； ②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A 1,A 2,A 3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A 3经历的时间最长，所以123T ,T ,T 中最大的是3T . 【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =14. 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b得()214sin A B -=详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =，又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214⨯-⨯= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 16．2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A 组，从疏堵工程完成后的数据A 组：128，100，151，125，120B 组：100，102，96，101，a己知B 组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45. （1）求a 的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X ，求X 的分布列及期望；（3）试比较A ，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义. 【答案】（1）100a =；（2）分布列详见解答，期望为45；（3）详见解答. 【解析】（1）由已知中位数100，确定a 的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出a ；（2）随机变量X 可能值为0,1,2，根据每组车“正点运行”概率求出X 可能值为0,1,2的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度. 【详解】（1）B 组数据的中位数为100，根据B 组的数据100a ≤，从B 组中随机抽取一个数不小于100的概率是45， B 组中不小于100的有4个数，所以100a =；（2）从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据， “正点运行”概率分别为13,55，从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X ， X 可能值为0,1,2，428(0)5525P X ==⨯=， 124314(0)555525P X ==⨯+⨯=，133(2)5525P X ==⨯=，X 的分布列为：81434()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=， X 期望为45；（3）对比两组数据，B 组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定. 【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题.17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4=AD ，3DC =.（1）求证：//AB 平面PDC .（2）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC 垂直，并给出证明.（3）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解答；（2）PA BC ⊥，证明见解答；（3）23. 【解析】（1）由已知//AB DC ，即可证明结论；（2）根据已知条件排除,,,,AD AB CD PB PC ，只有,PA PD 可能与BC 垂直，根据已知可证PA BC ⊥；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出PC uuu r坐标和平面P AB 的法向量，即可求解. 【详解】（1）//,AB DC AB ⊄平面,PDC CD ⊂平面PDC ，//AB ∴平面PDC ；（2）PA BC ⊥，证明如下：取BC 中点E ，连,,AC AE PE ，224,3,5,A AD DC AC A D DC D DC ⊥==∴+=，,AB AC AE BC ∴=∴⊥，,PB PC PE BC =⊥，,,AE PE E AE PE =⊂I 平面,APE BC ∴⊥平面APE ，AP ⊂平面APE ，BC AP ∴⊥；（3）平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⊥平面ABCD BC =，,PE BC PE ⊥⊂平面,PBC PE ∴⊥平面ABCD ，.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4=AD ，3DC =，25,3,2BCPB PE ∴===以D 为坐标原点，以,DA DC ，过D 点与PE 平行的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则(4,0,0),(4,5,0),(0,3,0),(2,4,2)A B C P ，(2,1,2),(0,5,0),(2,4,2)CP AB AP ===-u u u r u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =r，则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即502420y x y z =⎧⎨-++=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，平面PAB 一个法向量为(1,0,1)n =r，设直线PC 与平面P AB 所成角为θ，2222sin |cos ,|32212CP n θ=<>==⋅++u u u r r，直线直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值为223.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18．已知椭圆C ：(22212x y a a +=的离心率为2，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P ．（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且∠PFQ =90°，求证：AQ ∥BM ．【答案】（Ⅰ）（，0）U （0）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）根据题意可得得c 2＝a 2﹣2，由e 2c a ==，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM 的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F 0），设Q （0，y 1），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则220042x y +=1，可得直线AM 的方程y 002y x =+（x +2），求出点Q 的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出k BM ﹣k AQ ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c 2=a 2-2，∵e=c a =2，∴a=2，∴椭圆的方程为2x 4+2y 2=1，设P （0，m ），由点P 在椭圆C 的内部，得＜m ，又∵A （-2，0），∴直线AM 的斜率k AM =m 002-+=m 2∈（-2，2），又M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，∴k AM ∈（-2，0），（0，2），（Ⅱ）由题意F 0），设Q （0，y 1），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则20x 4+20y 2=1，直线AM 的方程为y=0y x 2+（x+2），令x=0，得点P 的坐标为（0，002y x 2+），由∠PFQ=90°，可得PF u u r•FQ =0，∴（，002y x 2+）•（，y 1）=0，即2+02y x 2+•y 1=0，解得y 1=-200x 2y +， ∴Q （0，-200x 2y +）， ∵k BM =00y x 2-，k AQ =-00x 22y +，∴k BM -k AQ =00y x 2-+00x 22y +=0，故k BM =k AQ ，即AQ ∥BM 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 19．已知函数()ln f x x x =.（1）已知函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，求切点的纵坐标. （2）求函数()f x 在区间20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值；（3）证明：1,0t e ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，10,x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()f x t =.【答案】（1）1e -；（2）1e-；（3）详见解析. 【解析】（1）求()f x 的导函数()f x '，令0()0f x '=，即可求解；（2）求出()f x 在20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数1(),(0,)y f x x e =∈，与直线1,(,0)y t t e=∈-恒有交点，即可证明结论. 【详解】（1）()ln ,()ln 1f x x x f x x '==+， ()f x 在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，00001()ln 10,ln 1,f x x x x e'=+==-=，011()()f x f e e∴==-；（2）由（1）得1()0f e'=，当20,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()0,0f x x e '<<<，12()0,f x x e e '><<，()f x 递减区间是1(0,)e ，的增区间是12(,)e e，当1x e =时，()f x 取得极小值，也是最小值为1e-，函数()f x 在区间20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值1e-；（3）由（2）得()f x 递减区间是1(0,)e，110,()0,()x f x f e e →→=-，110,,()(,0)x f x e e ⎛⎫∈∈- ⎪⎝⎭令(),y f x y t ==，当1,0t e ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭时，函数()y f x =图像与直线y t =有唯一的交点，且交点的横坐标10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,0t e ⎛⎫∴∀∈- ⎪⎝⎭，10,x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()f x t =.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20．数列n A ：()12,,4n a a a n ≥L 满足：11,n a a m ==，10k k a a +-=或1（1,2,1k n =-L ）．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+．，其中,,,i j s t ∈{}12n L ，，且两两不相等． (I)若2m =．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2 (Ⅱ)记12n s a a a =++L ．若3m =，证明：20s ≥； (Ⅲ)若2018m =，求n 的最小值.【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）n 的最小值为2026【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当3m =时，1,2,3都在数列中出现，可以证明1,3至少出现4次，2至少出现2次，这样20S ≥．（Ⅲ）设1,2,,2018L 出现频数依次为122018,,,q q q L ．同（Ⅱ）的证明，可得：14q ≥，22q ≥，31q ≥，┄，20161q ≥，20172q ≥，20184q ≥，则2026n ≥，我们再构造数列：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B L ，证明该数列满足题设条件，从而n 的最小值为2026．解析：（Ⅰ）对于①，12121,2a a a a ==+=，对于2s t ≤<，3s t a a +=或4s t a a +=，不满足要求；对于②，若()2i j a a i j +=<，则552i j a a --+=，且,,5,5i j i j --彼此相异，若()3i j a a i j +=<，则993i j a a --+=，且,,9,9i j i j --彼此相异，若()4i j a a i j +=<，则994i j a a --+=，且,,9,9i j i j --彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为,,q q q 123，由题意()11,,2,3i q i ≥=．① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以14q ≥．同理可证：34q ≥．② 假设21q =，则存在唯一的{}1,2,3,,k n ∈L ，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥.综上：14q ≥，22q ≥，34q ≥，所以4143420S ≥⨯+⨯+=．（Ⅲ）设1,2,,2018L 出现频数依次为122018,,,q q q L ．同（Ⅱ）的证明，可得：14q ≥，22q ≥，31q ≥，┄，20161q ≥，20172q ≥，20184q ≥，则2026n ≥．取12018220174,2,1,3,4,5,,2016i q q q q q i ======L 得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B L下面证明n B 满足题目要求．对{},1,2,3,,2016i j ∀∈L ，不妨令<i j a a ， ① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184q q ==，所以符合条件；② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于12018220174,4,2,2q q q q ====，所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取12,s t j a a a -==；同样的，如果2017,2018i j a a <=，则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <≤<，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中{},,,1,2,3,,2026i j s t ∈L 且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026．点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．。

2015-2016北京海淀人大附高三上12月月考【理】数学试卷

2015-2016学年北京人大附中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“答题纸”第1-8题的相应位置上．） 1．（5分）定积分121d x x -=⎰（）．A ．0B ．23C ．1D ．2【答案】B【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：定积分12311112d (11)1333x x x-==+=-⎰，故选B ．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．2．（5分）已知全集U =R ，集合{}|M y y x =∈R ，{}11,|2x N x x -=∈R ≥，则()U M N ð等于（）．A ．[]2,2-B ．[2,1)-C ．[1,4]D ．[0,1)【答案】D【分析】求出M 中的值域确定集合M ，根据不等式的解集定出N ，根据全集U =R 求出N 的补集，找出N 补集与M 的交集即可．【解答】解：∵集合{}[0,2|]M y y x =∈=R ，∵10212x -==≥， ∴1x ≥，∴,)[1N =+∞， ∴(,1)N =-∞R ð， ∴()0,1)[U M N = ð．故选D ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）抛物线2 2x y =-的准线方程是（）．A ．12y =B ．18y =C ．14x =D ．18x =【答案】D【分析】由于抛物线22(0)y px p =->的准线方程为2p x =，则抛物线22x y =-即212y x =-的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线22(0)y px p =->的准线方程为2px =，则抛物线22x y =-即212y x =-的准线方程为18x =，故选D ．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题． 4．（5分）已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，2221122)(n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（）．A ．16B ．8C ．D ．4【答案】D【分析】由题设知222211n n n n a a a a +-=--，且数列{}2n a 为等差数列，首项为1，公差22213d a a =-=，故213(1)32n a n n =+-=-，由此能求出6a ．【解答】解：∵正项数列{}n a 中，11a =，22a =，2221122)(n n n a a a n +-=+≥， ∴222211n n n n a a a a +--=-，∴数列{}2n a 为等差数列，首项为1，公差22213d a a =-=，∴213(1)32na n n =+-=-， ∴2636216a =⨯-=， ∴64a =．故选D ．【点评】本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列的性质和应用．5．（5分）若将函数π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（）．A ．π8B ．π4C ．3π8D ．π2【答案】C【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为πsin 224y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据所得图象关于y 轴对称可得ππ2π42k ϕ-=+，k ∈Z ，由此求得ϕ的最小正值．【解答】解：将函数π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为ππsin 2()sin 2244y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭关于y 轴对称，则ππ2π42k ϕ-=+，k ∈Z ，即ππ28k ϕ=--，故ϕ的最小正值为3π8，故选C ．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．6．（5分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，31()(1)e e x f x x +=+-．那么函数()f x 的极值点的个数是（）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】求导数确定函数的单调性，即可得出函数()f x 的极值点的个数．【解答】解：当0x <时，31()(1)e e x f x x +=+-， ∴21()(4)(1)e x f x x x +'=++，∴4x <-时，()0f x '<，40x -<≤时，()0f x '>， ∴4x =-是函数的极值点，∵()f x 是定义域为R 的奇函数， ∴4x =是函数的极值点，故选A ．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值点，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的单调性是关键． 7．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选A ．【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点（含顶点），则满足11PA PC ⋅=-u u u r u u u u r的点P 的个数为（）．A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，则点(2,0,0)A ，10,(2,2)C ，考虑P 在上底面的棱上，设点P 的坐标为(,,2)x y ，则由题意可得02x ≤≤，02y ≤≤，计算2222122(1)(1)21PA PC x x y y x y ⋅=-+-=-+--=-u u u r u u u u r，即可得出结论．【解答】解：如图所示：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．则点(2,0,0)A ，10,(2,2)C ，考虑P 在上底面的棱上，设点P 的坐标为(,,2)x y ，则由题意可得02x ≤≤，02y ≤≤．∴(2,,2)PA x y =--- ，1(,2,0)PC x y =--， ∴22221(2)(2)022(1)(1)21PA PC x x y y x x y y x y ⋅=----+=+=-+----=-，∵点P 是棱上一点（含顶点），∴22(1)(1)1x y -+-=与正方形1111A B C D 切于4个点，同理P 在右侧面的棱上，也有4个点，下底面中(2,1,0)P ，1(0,1,0)(2,1,2)1PA PC ⋅=-⋅-=-，(0,1,0)P ，1(2,1,0)(0,1,2)1PA PC ⋅=-⋅=-u u u r u u u u r ，内侧面，(0,0,1)P ，1(2,0,1)(0,2,1)1PA PC ⋅=-⋅=-u u u r u u u u r ，(0,2,1)P ，1(2,2,1)(0,0,1)1PA PC ⋅=--⋅=-u u u r u u u u r，∴满足11PA PC ⋅=-u u u r u u u u r的点P 的个数为12．故选C ．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将填空题的答案写在答题纸上相应位置．） 9．（5分）函数12y x x=+的值域为__________．【答案】(,)-+U ∞∞【分析】根据基本不等式的性质通过讨论x 的范围求出函数的值域即可．【解答】解：0x >时，12y x x =+=≥x =“=”成立， 0x <时，12y x x =+-≤x =时“=”成立，故函数的值域是：(,)-+U ∞∞，故答案为：(,)-+U ∞∞．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查对勾函数的性质，是一道基础题．10．（5分）已知点(,)P x y 的坐标满足4160404x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，O 为坐标原点，记||PO 的最大值为m ，最小值为n ，则双曲线22221x y m n-=的离心率为__________．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求出m ，n 的值，再由隐含条件求出双曲线的半焦距，代入离心率公式得答案．【解答】解：由约束条件4160404x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤作出可行域如图，联立44160x x y =⎧⎨+-=⎩，解得(4,3)A ，由图可知，||PO 的最大值为5m =，最小值为n = 双曲线22221x y m n -=的实半轴长5m =，半焦距c∴双曲线22221x y m n-=．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了双曲线的简单性质，是中档题． 11．（5分）设正数a ，b 满足23log log a b =，给出下列五个结论，其中不可能成立的结论的序号是__________．①1a b <<；②01b a <<<；③a b =；④1b a <<；⑤01a b <<<．【答案】④⑤【分析】在同一坐标系中做出2log y x =和3log y x =两个函数的图象，结合图象求解即可．【解答】解：实数a ，b 满足等式23log log a b =，即2l o g y x =在x a =处的函数值和3log y x =在x b =处的函数值相等，当1a b ==时，23log log 0a b ==，此时③成立做出直线1y =，由图象知，此时23log log 1a b ==，可得2a =，3b =，由此知①成立，④不成立作出直线1y =-，由图象知，此时23log log 1a b ==-，可得12a =，13b =，由此知②成立，⑤不成立综上知不可能成立的结论的序号是④⑤．故答案为：④⑤．y 16=0【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，取特殊值法是常用的方法，属于基础题． 12．（5分）已知两点(1,0)A ，(,0)B b ，若抛物线24y x =上存在点C ，使得ABC △为正三角形，则b =__________．【答案】5或13-【分析】过点C 做x 轴垂线，垂足为D ，根据正三角形性质可知D 为A ，B 的中点，坐标为1,02b +⎛⎫⎪⎝⎭求得DC 的长，从而得到C 点的坐标代入抛物线方程即可求得b ．【解答】解：过点C 做x 轴垂线，垂足为D ，根据正三角形性质可知D 为A ，B 的中点，坐标为1,02b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，|1|2b DC -， ∴C点坐标为1,2b +⎛ ⎝代入抛物线方程得 21214324b b b +-+⨯=⨯，整理得231450b b --=，求得5b =或13-．故答案为5或13-．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出C 点的坐标． 13．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为__________．log 2x【答案】15【分析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，利用体积公式求值．【解答】解：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15．故答案为：15．【点评】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答．14．（5分）记11210011n n n n n mn n a a a a a a a m a m a m ----=+⨯++⨯+⨯ ，其中n m ≤，m 、n 均为正整数，{}0,1,2,,10,1,2,,)(k a m k n ∈-= 且0n a ≠；（1）计算72016=__________．（2）设集合{}1210(,)|n n n mA m n x x a a a a a --== ，则(,)A m n 中所有元素之和为__________．【答案】【分析】（1）37201661727699=+⨯+⨯=；（2）分别求出含有1a 、、1n a -，n a 的项共有1(1)n m m m -⋅-项及和，即可得出结论．【解答】解：（1）37201661727699=+⨯+⨯=；（2）由题意，0a 、1a 、、1n a -，各有m 种取法，n a 有1m -中取法． 00a =，1，2，1m - 时，1a 、、1n a -，各有m 种取法，n a 有1m -中取法，所以含有0a 的项共有1(1)n m m --项，和为11((1)(0121)1)(1)2n n m m m m m m m ---++++--=- ，同理10a =，1，2，1m - 时，0a 、2a 、L 、1n a -，各有m 种取法，n a 有1m -中取法，俯视图正视图侧视图C 1D 1B 1A 1CBAD所以含有1a 的项共有1(1)n m m m -⋅-项，和为11(1)(0121)1)1)2((n n m m m m m m m m ---++++--=⋅- ，，1n a =，2，1m -L 时，0a 、1a 、L 、1n a -，各有m 种取法，所以含有n a 的项共有n n m m ⋅项，和为(1)(121)2n nn nm m m m m m m -+++-=⋅⋅⋅ ，所以所有元素之和为111(1)(1)(1)()1)(122)2(n n n n n nn n m m m m m m m m m m m m m m ++---+---++++=．故答案为：699；11(1)()2n n n n m m m m +++--．【点评】本题考查新定义，考查数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，难度大．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的大小．（Ⅱ）已知2a =，设函数2()cos cos 222x x x f x =+，当x B =时，()f x 取最大值，求ABC △的面积．【答案】见解析．【分析】（I ）利用余弦定理即可得出；（II ）利用倍角公式、和差公式可得：π1()sin 62f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的单调性与值域可得B ，进而得出三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）在ABC △中， ∵222b c a bc +-=，由余弦定理222 2cos a b c bc A =+-可得1cos 2A =． ∵0πA <<， ∴π3A =．（Ⅱ）211π1()cos cos cos sin 2222262x x x f x x x x ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭，当x B =时，π1()sin 62f B B ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵π3A =， ∴2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π666B <+<， ∴当ππ62B +=时，即π3B =时，()f B 有最大值是32．又∵π3A =，∴π3C =． ∴ABC △为等边三角形．∴21πsin 23S a =【点评】本题考查了余弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性与值域、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 16．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()(010)35kC x x x =+≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【答案】见解析．【分析】（I ）由建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()(010)35kC x x x =+≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得(0)8C =，得40k =，进而得到40()35C x x =+．建造费用为1)(6C x x =，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为()f x ，我们不难得到()f x 的表达式．（II ）由（1）中所求的()f x 的表达式，我们利用导数法，求出函数()f x 的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用()f x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+．再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+．而建造费用为1)(6C x x =，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+++≤≤．（Ⅱ）22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，即224006(35)x =+．解得5x =，253x =-（舍去）．当05x <<时，()0f x '<，当510x <<时，()0f x '>，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．17．（14分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =．D 、E 分别是AC 、AB 上的点，且DE BC ∥，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A DC ．（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值．（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．【答案】见解析．【分析】（I ）由Rt ABC △中，90C ∠=︒且DE BC ∥，证出1A D DE ⊥．结合1A D CD ⊥，可得1A D ⊥面BCDE ，从而得到1A D BC ⊥．最后根据线面垂直判定定理，结合BC CD ⊥可证出BC ⊥面1A DC ．（II ）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．可得D 、E 、B 、1A 各点的坐标，从而算出CB u u u r 、1CA u u ur 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出(2,0,1)n =-r为平面1A BC 的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE 与平面1A BC 所成角的正弦值．（III ）设(,0,0)D x ，可得1,0)(,6A x x -，由此得到1AB 得当D 为AC 中点时1A B的长度最小，并且这个最小值为【解答】解：（Ⅰ）∵在ABC △中，90C ∠=︒，DE BC ∥， ∴AD DE ⊥，可得1A D DE ⊥．又∵1A D CD ⊥，CD DE D =I ， ∴1A D ⊥面BCDE ． ∵BC ⊂面BCDE ， ∴1A D BC ⊥．∵BC CD ⊥，CD BC C =I ， ∴BC ⊥面1A DC ．（Ⅱ）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得(2,0,0)D ，(2,2,0)E ，(0,3,0)B ，12,(0,4)A ．设(,,)n x y z =r为平面1A BC 的一个法向量， ∵(0,3,0)CB =u u u r ，1(2,0,4)CA =u u u r， ∴30240y x z =⎧⎨+=⎩，图1E CBAD图2A 1ECD令2x =，得0y =，1z =-．所以(2,0,1)n =-r 为平面1A BC 的一个法向量．设BE 与平面1A BC 所成角为θ，则4sin |cos |5BD n θ=⋅=u u u r r ．所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45．（Ⅲ）设(,0,0)D x ，则1,0)(,6A x x -，∴1AB 根据二次函数的图象与性质，可得当3x =时，1A B的最小值是D 为AC 的中点，即D 为AC 中点时，1A B的长度最小，最小值为【点评】本题在四棱锥中求证线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值并探索线段长度的最小值．着重考查了线面垂直的判定与性质、利用空间向量研究直线与平面所成角和二次函数的性质等知识，属于中档题．18．（13分）已知函数e ()e 1xx f x =-，(0)x >．（1）求函数()y f x =的图象在点(ln 2,(ln 2))f 处的切线方程．（2）函数()1k g x x =+，*()0,x k >∈N ，若()()f x g x >在定义域内恒成立，求k 的最大值．【答案】见解析．【分析】（1）利用导数求在该点的斜率(ln2)2k f '==-，利用点斜式求出方程；（2）不等式可转化为e (1)e 1x x x k +<-，构造函数利用导函数，设e (1)()e 1x x x g x +=-，2e (e 2)()(e 1)x x x x g x --'=-，二次求导令()e 2x h x x =--，()e 10x h x '=-＞，得出函数的最小值．【解答】解：（1）e ()e 1xx f x =-， ∴(ln 2)2f =，2e ()(e 1)xx f x -'=-， (ln2)2k f '==-，∴切线方程为22ln 22y x =-++．（2）()()f x g x >在定义域内恒成立， ∴e e 11x x k x >-+， ∴e (1)e 1x x x k +<-，设e (1)()e 1x x x g x +=-，2e (e 2)()(e 1)x x x x g x --'=-，令()e 2x h x x =--，()e 10x h x '=->，()h x 在(0,)+∞递增，∵(1)e 30h =-<，2(2)e 40h =->，∴存在0(1,2)x ∈，0)(0h x =，即0(0)g x '=，∵当0)(0,x x ∈，()0g x '<，()g x 递减，当0(),x x ∈+∞，()0g x '>，()g x 递增，∴00)()(2(3,4)g x g x x =+∈≥，∴k 的最大值为3．【点评】利用导数求切线方程是基础题型，难点是构造函数，利用二次求导，设出临界值，最后得出函数的最小值．19．（14分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为13，2F 为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）点M 在圆228x y +=上，且M 在第一象限，过M 作圆228x y +=的切线交椭圆于P ，Q 两点，判断2PF Q △的周长是否为定值并说明理由．【答案】见解析．【分析】（Ⅰ）由题意可知：26a =，13c e a ==，求得a 和c 的值，由222b a c =-，求得b ，写出椭圆方程；（Ⅱ）设11)(,P x y ，22)(,Q x y ，分别求出2||F P ，2||F Q ，结合相切的条件可得222||||||PM OP OM =-，可得21111||||3333PF PM x x +=-+=，同理2||||3QF QM +=，即可证明；【解答】解：（I ）根据已知，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∴26a =，3a =，13c e a ==，1c =； 2228b a c =-=， 22198x y +=．（II ）2PF Q △的周长是定值，设11)(,P x y ，22)(,Q x y ，则2211198x y +=，2||PF ∵103x <<， ∴12||33x PF =-，在圆中，M 是切点，∴11||3PM x ， ∴21111||||3333PF PM x x +=-+=，同理2||||3QF QM +=，∴22||||||336F P F Q PQ ++=+=，因此2PF Q △的周长是定值6．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）设有穷数列{}1,2,3,4,,;2,3,4(,,)m a m n n ==L L 满足以下两个条件：①10n i i a ==∑；②1||1ni i a ==∑；称{}m a 为n 阶“单位数列”．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“单位数列”．（Ⅱ）若某*2)1(k k +∈N 阶“单位数列”是等差数列，求该数列的通项公式．（Ⅲ）记n 阶“单位数列”的前k 项和为1,2,3,(,)k S k n =L ．求证：（1）1||2k S ≤．（2）11122ni i a i n =-∑≤．【答案】见解析．【分析】（Ⅰ）结合已知新定义即可写出符合条件的数列；（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ，由题意可得，12320130a a a a ++++=L ，结合等差数列的求和公式可求120130a a +=，从而可求得10070a =，进而可得1008a d =，分0d >及0d <两种情况可求通项公式；（Ⅲ）（1）判断k n =时，1||2k S ≤，然后证明k n <时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，即可证明11122n i i a i n=-∑≤．【解答】解：（Ⅰ）数列12-，0，12为三阶单位数列，数列38-，18-，18，38为四阶单位数列，（Ⅱ）设等差数列1a ，2a ，3a ，L ，21(1)k a k +≥的公差为d ，∵123210k a a a a +++++=L ， ∴12(21)(21)02k k d k a +++=， ∴10a kd +=，即10k a +=，∴2k a d +=，当0d =时，与单位数列的条件①②矛盾，当0d >时，据单位数列的条件①②得：232112k k k a a a ++++++=L ， ∴(1)122k k kd d -+=，即1(1)d k k =+，由10k a +=得110(1)a k k k +⋅=+，即111a k =-+， ∴*111(1)(,21)1(1)(1)n n a n n n k k k k k k k=-+-=-∈++++N ≤．当0d <时，同理可得(1)122k k kd d -+=-，即1(1)d k k =-+，由10k a +=，得110(1)a k k k -⋅=+，即111a k =+， ∴*111(1)(,21)1(1)(1)n n a n n n n k k k k k k=--=-+∈++++N ≤．（Ⅲ）证明：（1）当k n =时，显然1||02n S =≤成立；当k n <时，据条件①得1212()k k k k n S a a a a a a ++=+++=-+++L L ，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=+++=+++L L ，∴121212122||||||||||||||||1||k k k k n k k k n S a a a a a a a a a a a a ++++=++++++++++++++=L L L L ≤， ∴1||(1,2,3,,)2k S k n =L ≤．（2）31124112341ni n n i a a a a a a a i n n -==++++++-∑L ， 32431212112341n n n n S S S S S S S S S S S n n --------=++++++-L ， 311242233445(1)n n S S S S S S n n n-=++++++⨯⨯⨯-L ，311242233445(1)n S S S S S n n-+++++⨯⨯⨯-L ≤， 11111122233445(1)n n ⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯-⎝⎭L ≤， 1111111111222334451n n ⎛⎫=+-+-+-++- ⎪-⎝⎭L ， 1122n=-．【点评】本题考查新数列新定义的应用，数列求和的方法，放缩法以及绝对值三角不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大，考查计算能力，属于难题．。

2025届北京市人民大学附属中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届北京市人民大学附属中学高三第三次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +2．设实数满足条件则的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．43．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（） A ．54B ．34C ．58D ．384．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种6．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 27．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=（） A ．12AD B ．AD C ．BCD ．12BC 8．若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）9．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<10．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京首都师范大学附属中学高三数学理模拟试卷含解析

北京首都师范大学附属中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知Ｐ是抛物线上的一个动点，则点Ｐ到直线和的距离之和的最小值是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4参考答案：C2. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则( )A. B. C. D. 与关系不确定参考答案：C略3. 已知抛物线的方程为y 2=4x ，过其焦点F 的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF（O为坐标原点），则|AB|=( )A．B．C．D．4参考答案：A考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得y A=﹣3y B，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y A+y B和y A y B，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．解答：解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴y A=﹣3y B，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2﹣4my﹣4=0，∴y A+y B=4m，y A y B=﹣4．∴+==﹣2==﹣3﹣，∴m2=，∴|AB|=?=．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．4. （5分）=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】：运用诱导公式化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin=，故选：C．【点评】：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5. 在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题是“甲射中目标”，是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为A. B. C. D.参考答案：【知识点】命题及其关系A2【答案解析】B 命题￢p：甲没射中目标，￢q：乙没射中目标；∴“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”；所以可表示为（￢p）∨（￢q）．故选B．【思路点拨】“至少一位运动员没有射中目标”就是指“甲没射中目标，或乙没有射中目标”，而￢p为：甲没射中目标，￢q为：乙没射中目标，所以便将命题“至少一位运动员没射中目标”表示为：（￢p）∨（￢q）．6. 已知下列不等式：①x2+3＞2x(x∈R)；②a(1-a)≤;③a2+b2≥2(a-b-1)④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2 ；⑤a2+b2+c2≥ab+bc+ca; ⑥≥2;.其中正确的有（）. A.3个 B.4个 C.5个 D.6个参考答案：C7. 已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且，给出以下结论：①；②S10最小；③；④．其中一定正确的结论是（）A．①②B．①③④C．①③D．①②④参考答案：B设等差数列的公差为，则，故即.①正确. 若，则且它们为的最大值，②错误.，故，③正确.，故④正确，综上选B.8. 若向量，且，则(A) (B) (C) (D)参考答案：略9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n=2018，则输出的S = （）A. B. C. D.参考答案：D10. （5分）已知sinα=，α∈（0，），则tan2α=（）A．﹣ B． C．﹣ D． 2参考答案：A【考点】：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：由同角三角函数间的基本关系先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切函数公式即可求值．解：∵sinα=，α∈（0，），∴cosα==，tanα==2，∴tan2α===﹣．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 理：已知，(其中，则.参考答案：12. 已知集合A是函数的定义域，集合B是整数集，则A∩B的子集的个数为．参考答案：4【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】列出不等式组，解出集合A，求出A∩B，写出所有的子集．【解答】解：由f（x）有意义得：，解得﹣1＜x≤1，∴A=（﹣1，1]，∵B=Z，∴A∩B={0，1}，∴A∩B={0，1}有4个子集，分别是?，{0}，{1}，{0，1}．故答案为 4．【点评】本题考查了集合的子集的定义，简单的集合运算，是基础题目．13. 已知函数f（x）=，g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是≤a≤，其中所有正确结论的序号为．参考答案：①②④【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】①分段求函数的值域，从而确定分段函数的值域，②由三角函数的性质可判断函数g（x）在[0，1]上是增函数；③g（x）∈[﹣3a+2，2﹣a]，f（x）∈[0，]，从而判断；④可判断若不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立时，﹣3a+2＞或2﹣a＜0，从而解得．【解答】解：∵0≤x≤，∴0≤﹣x+≤，=2（x+2）+﹣8，∵＜x≤1，∴＜x+2≤3，∴＜2（x+2）+﹣8≤，∴函数f（x）的值域为[0，]，故①正确；∵x∈[0，1]，∴ x+π∈[π，π+]，∴函数g（x）在[0，1]上是增函数，故②正确；∵g（x）=asin（x+π）﹣2a+2∈[﹣3a+2，2﹣a]，而函数f（x）的值域为[0，]，∴当2﹣a＜0，即a＞2时，[﹣3a+2，2﹣a]∩[0，]=?，故③错误；∵x∈[0，1]，∴ x+π∈[π，π+]，∴sin（x+π）∈[﹣1，﹣]，∴asin（x+π）﹣2a+2∈[﹣3a+2，2﹣a]，若不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴﹣3a+2＞或2﹣a＜0，解得，a＜或a＞；故实数a的取值范围是≤a≤，故正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的化简与应用．14. 不等式组表示的平面区域是三角形，则实数的取值范围是．参考答案：或略15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=， ?=，则b= ．参考答案：5【考点】向量在几何中的应用．【分析】由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函数公式化简，将cosA的值代入求出cosC的值，发现cosC的值大于0，由A和B为三角形的内角，得到A和B都为锐角，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的内角和定理及诱导公式化简cosB，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosB的值；利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式?=，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出关系式，将C=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，进而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵C=2A，cosA=＞0，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1=2×（）2﹣1=＞0，∵0＜A＜π，0＜C＜π，∴0＜A＜，0＜C＜，∴sinA==，sinC==，∴cosB=cos[π﹣（A+C）]=﹣cos（A+C）=﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=；∵?=，∴accosB=，∴ac=24，∵===，∴a==c，由解得，∴b2=a2+c2﹣2accosB=42+62﹣2×24×=25，∴b=5．故答案为：5．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16. 已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为▲．参考答案：117. 若函数的反函数为，则。

北京市人大附中2023届高三三模数学试题 (2)

一、单选题二、多选题1. 已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则的最小值为（）A ．1B．C．D ．62. 已知函数，若，恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．B．C．D．3. 已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则A．B．C．D．4. 若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（）A．B．C．D ．无法比较大5. 已知点P是曲线上的动点，则点P 到直线的距离的最大值为（）A．B．C．D．6. 已知是边长为的正方形，分别为边的中点，则的值为（）A．B．C．D．7. 复数在复平面内对应的点所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.中，,在边上，且,.当的面积最大时，则的外接圆半径为（）A．B．C．D．9.已知三棱锥的各顶点都在球上，点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是（）A．平面B．球的体积是C ．直线与平面所成角的正弦值是D ．平面被球所截的截面面积是10. 如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E ，F （E ，F 是截口椭圆C 的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（）北京市人大附中2023届高三三模数学试题 (2)北京市人大附中2023届高三三模数学试题 (2)三、填空题四、解答题A ．椭圆C 的中心不在直线上B．C ．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为D ．椭圆C的离心率为11.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．平面平面B．平面C ．异面直线与所成角的取值范围是D ．三棱锥的体积不变12.双曲线：的离心率，H的两条渐近线分别记为，，其中经过第一，三象限，P 是H 右支上一个动点，过P 作直线交于，交于；过P 再作交于，交于，记P 与坐标原点O 连线的斜率为.则下列说法中，的有（）A ．若，则，，，四点彼此相异B ．设P 的纵坐标为，记，则是关于的偶函数C ．在P变化的过程中，恒有D ．若，则正确13.的展开式中项的系数是_______．14. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数=________.15. 已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且是边长为6的等边三角形，则球面面积为__________.16. 已知函数，且．(1)讨论的单调性；(2)比较与的大小，并说明理由；(3)当时，证明：．17. 已知函数.（1）求单调递增区间；（2）中，角，，的对边，，满足，求的取值范围.18. 在中，已知点边上的中线长与边上的中线长之和为，记的重心G的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)若圆，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与曲线的另一个交点分别是点，求面积的最大值．19.如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：直线平面；(2)求证：．20. 在数列中，，（k为常数，），且，，构成公比不等于1的等比数列．(1)求k的值；(2)设，求数列的前n项和．21. 函数．(1)求证：；(2)若方程恰有两个根，求证：．。

吉林省吉林市2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1。

设全集*=N U ，集合},,,{98632=，A ，集合}N ,|{*∈3>=x x x B ，则图中阴影部分所表示的集合是（ )A ．}{2B ．}{32，C ．},{321，D ．},{986，【答案】B 【解析】试题分析:{}6,8,9A B =，所以图中阴影部分所表示的集合是{}2,3,故选B ．考点：1、集合的交集、补集运算；2、韦恩图．2。

已知i 为虚数单位,则=+12ii-( ） A ．25 B ．25 C ．217D ．210 【答案】D 【解析】试题分析：因为()()()()22122213111222i i i i i i i i i i -----+===-++-，所以2221310122i i -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故选D ．考点：1、复数的除法运算；2、复数的模．UAB3。

已知α是第四象限角,且43-=αtan ，则=αsin （ ) A ．53- B ．54- C ．53 D ．54【答案】A 【解析】试题分析：因为sin 3tan cos 4ααα==-,所以4cos sin 3αα=-，因为22sincos 1αα+=,所以2216sin sin 19αα+=，即29sin 25α=，因为α是第四象限角，所以93sin 255α=-=-,故选A ．考点：同角三角函数的基本关系．4。

已知实数y x 、满足3330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（）A ．—4B ．1C ．2D ．3 【答案】C考点:线性规划．5。

已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2）,若P （ξ〉3)＝0.023，则P （－1≤ξ≤3）等于（）A ．0。

977B ．0。

954C ．0。

628D ．0.477 【答案】B 【解析】试题分析:因为随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2)，所以()()130.023ξξP <-=P >=，因为()()()11331ξξξP <-+P -≤≤+P >=,所以()()()1311310.023ξξξP -≤≤=-P <--P >=-0.0230.954-=,故选B ．考点：正态分布． 6.xx x d )(--1⎰102等于（）A ．41B ．21 C ．41-π D ．42-π【答案】D 【解析】试题分析:)1122101112142424x dx xdx x πππ-=-=⨯⨯-=-=⎰⎰⎰，故选D ．考点：定积分． 7。

吉林省吉林市2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集*=N U ，集合},,,{98632=，A ，集合}N ,|{*∈3>=x x xB ，则图中阴影部分所表示的集合是（） A ．}{2B ．}{32，C ．},{321，D ．},{986，【答案】B 【解析】试题分析：{}6,8,9A B = ，所以图中阴影部分所表示的集合是{}2,3，故选B ．考点：1、集合的交集、补集运算；2、韦恩图． 2.已知i 为虚数单位，则=+12ii-（） A ．25 B ．25 C ．217 D ．210 【答案】D 【解析】试题分析：因为()()()()22122213111222i i i i i i i i i i -----+===-++-，所以21i i -==+D ．考点：1、复数的除法运算；2、复数的模． 3.已知α是第四象限角，且43-=αtan ，则=αsin （）A ．53-B ．54-C ．53D ．54 【答案】A 【解析】试题分析：因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以4cos sin 3αα=-，因为22sin cos 1αα+=，所以2216sin sin 19αα+=，即29s i n 25α=，因为α是第四象限角，所以3sin 5α==-，故选A ．考点：同角三角函数的基本关系．4.已知实数y x 、满足3330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（）A ．-4B ．1C ．2D ．3【答案】C考点：线性规划．5.已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于（） A ．0.977 B ．0.954 C ．0.628 D ．0.477【答案】B 【解析】试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，所以()()130.023ξξP <-=P >=，因为()()()11331ξξξP <-+P -≤≤+P >=，所以()()()1311310.023ξξξP -≤≤=-P <--P >=-0.0230.954-=，故选B ．考点：正态分布． 6.x x x d )(--1⎰102等于（）A ．41 B ．21C ．41-π D ．42-π【答案】D 【解析】试题分析:)1122101112142424x dx xdx x πππ-=-=⨯⨯-=-=⎰⎰⎰，故选D ．考点：定积分．7.现有三个函数：①2+=-xx e e y ，②2-=-x x e e y ，③xx xx e e e e y --+-=的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（） A ．①②③B ．③①②C ．②①③D ．③②①【答案】C 【解析】试题分析：①2x x e e y -+=是偶函数；②2x x e e y --=是奇函数；③x xx x e e y e e ---=+是奇函数，且211x x xxxx x e e e y e e e e-----==-<++．所以从左到右图象对应的函数序号应为②①③，故选C ．考点：函数的图象．8.已知执行如下左图所示的程序框图，输出的485=S ，则判断框内的条件是（）A ．?5<kB ．?7>kC ．?5≤kD ．?6≤k【答案】C 【解析】试题分析：初始条件1S =，1k =；运行第一次，5S =，2k =；运行第二次，17S =，3k =；运行第三次，53S =，4k =；运行第四次，161S =，5k =；运行第五次，485S =，6k =．要输出的485S =，必须条件不满足，停止运行，所以5?k ≤，故选C ．考点：程序框图．9.一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（） A ．20B ．18C ．14+D ．14+【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是一个正方体截去四个三棱锥，如图所示.所以该几何体的表面积是2211242242022+⨯⨯⨯+⨯=，故选A ．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．10.边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心，1为半径作圆，点M 是圆O 上的任意一点，点N 是边AB 、BC 、CD 上的任意一点（含端点），则MN DA ⋅的取值范围是（）A ．][1818-，B ．][1616-，C ．][1212-，D ．][88-，【答案】C 【解析】试题分析：以O 为坐标原点，x 轴//AB ，y 轴//D A ，建立如图所示的平面直角坐标系：设()cos ,sin ααM ，()D 0,4A =-（1）若N 点在边AB 上，设()0,2x N -（022x -≤≤），则()0cos ,2sin x ααMN =---，所以MN DA 84sin α⋅=+，因为1sin 1α-≤≤，所以484sin 12α≤+≤，即4D 12≤MN⋅A ≤；（2）若N 点在边C B 上，设()02,y N （022y -<≤），则()02cos ,sin y ααMN =--，所以0MN DA 44sin y α⋅=-+，因为022y -<≤，1sin 1α-≤≤，所以0848y -<-≤，44sin 4α-≤≤，所以01244sin 12y α-<-+≤，即12D 12-<MN⋅A ≤；（3）若N 点在边CD 上，设()0,2x N （022x -≤<），则()0cos ,2sin x ααMN =--，所以MN DA 84sin α⋅=-+，因为1sin 1α-≤≤，所以1284sin 4α-≤-+<-，即12D 4-≤MN⋅A <-．综上所述，MN DA ⋅的取值范围是[]12,12-，故选C ．考点：1、向量数量积的坐标运算；2、不等式的性质；3、向量的坐标运算．11.已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角D AB C --的余弦值为33，若A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为（） A ．π2 B ．π328 C ．π2D ．π32【答案】D 【解析】试题分析：连结CD 和C E ，取AB 的中点H ，设点C 在平面C AB E 内的射影为O ，连结C O 、OH 和C H ，因为C C AB =B =A ，所以C H ⊥AB ，因为C O ⊥平面D ABE ，OH 是C H 在平面D AB E 内的射影，所以OH ⊥AB ，所以C ∠OH 是二面角C D -AB -的平面角，即cos C 3∠OH =，在Rt C ∆HA 中，C sin C C H ∠AH =A ，所以C C sin 602H =A =，在Rt C ∆OH 中，cos C C OH ∠HO =H ，所以1C cos C 232OH =H ∠OH ==，所以O 是正方形D AB E 的中心，所以正四棱锥C D -AB E 的外接球的球心在C O 上，记为1O ，连结AO 和1AO ，则11C R O =O A =，1R R OO ==，在Rt ∆OHA 中，2OA ==1Rt ∆O OA 中，222R R 22⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：R 2=，所以此球的体积是3344V R 3323ππ⎛==⨯= ⎝⎭，故选D ．考点：1、二面角；2、四棱锥的外接球；3、球的体积．12.若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切,则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l 使得曲线4=+221y x C :和曲线0=4+2+4-+222y x y x C :为“相关曲线”； ②曲线1+21=21x y C :和曲线1-21=22x y C :是“相关曲线”； ③当0>>a b 时，曲线ax y C 4=21:和曲线2222=+a y b x C ）（-:一定不是“相关曲线”； ④必存在正数a 使得曲线：1C x a y ln =和曲线:2C x x y -=2为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：①圆心()1C 0,0，半径12r =，圆心()2C 2,1-，半径21r =，12C C ==，因为121212C C r r r r -<<+，所以曲线1C 与曲线2C 有两条公切线，所以①正确；②假设直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，设直线l 的方程为y kx b =+，由()22410y x y y kx b⎧-=>⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得：()2241kx b x +-=，即()222418410k x kbx b -++-=，由()22410x y y y kx b ⎧-=>⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得：()2241x kx b -+=，即()222148410k x kbx b ----=，因为直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，所以()()()()()()22222284414108414410kb k b kb k b ⎧---=⎪⎨-----=⎪⎩，即2222441441k b k b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得120k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或120k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以②正确；③由()22224y axx b y a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，消去y ，得：()224x b ax a -+=，即()222420x a b x b a +-+-=，令()()22242410a b b a --⨯⨯-=得：54b a =，当54b a =时，曲线1C与曲线2C 相切，所以存在直线l 与第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.从5名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动2人，则不同安排方案的种数为 .（用数字作答）【答案】30 【解析】试题分析：第一步：从5名志愿者中选出4人参加活动，有45C 5=种选法，第二步：将选出的4人分成2组，有2242C C32=种分法，第三步：将2组进行全排列，对应两项公益活动，有222A =种情况，所以不同的安排方案的种数是53230⨯⨯=，所以答案应填：30．考点：排列组合．14.设}{n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，若534a a a ，，成等差数列，则=24S S . 【答案】5 【解析】试题分析：因为4a ，3a ，5a 成等差数列，所以3452a a a =+，因为43a a q =，253a a q =，所以23332a a q a q =+，因为30a ≠，所以22q q +=，解得：1q =（舍去）或2q =-，所以()224221q S S S S += ()221125q =+=+-=，所以答案应填：5．考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列的性质；3、等比数列的前n 项和的性质． 15.把函数21-+3=2x x x x f cos cos sin )(的图象上各点向右平移)(0>ϕϕ个单位，得到函数x x g 2=sin )(的图象，则ϕ的最小值为 .【答案】12π 【解析】试题分析：()211111cos cos 2cos 22cos 22222222f x x x x x x x x =+-=++-=+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象上各点向右平移ϕ（0ϕ>个单位，得到函数()sin 2g x x =的图象，所以()sin 2sin 26x x πϕ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦，即sin 22sin 26x x πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以26k πϕπ-+=，k ∈Z ，解得：212k ππϕ=-+，k ∈Z ，因为0ϕ>，所以当0k =时，min 12πϕ=，所以答案应填：12π．考点：1、二倍角的正弦公式；2、降幂公式；3、辅助角公式；4、三角函数的图象与性质． 16.已知直线0=1+-y x l :与抛物线y x C 2=2:交于A ，B 两点，点P 为直线l 上一动点，M ，N是抛物线C 上两个动点，若MN //AB ，|MN ||AB|<，则△PMN 的面积的最大值为 . 【答案】1 【解析】试题分析：由题意知：当直线MN 过原点时，∆PMN 的面积最大，所以直线MN 的方程是0x y -=，点P 到直线MN 的距离2d ==，由202x y x y-=⎧⎨=⎩得：00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0N ，()2,2M 所以MN ==∆PMN 的面积的最大值是111222d ⋅MN ⋅=⨯=，所以答案应填：1．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、三角形的面积公式；3、两条平行直线间的距离．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足)(222-+43=b c a S . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，设x A =，c a y 2+13=）（-，求函数)(x f y =的解析式和最大值.【答案】(I)3π；（II）4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（203x π<<），【解析】试题分析：（I）先利用三角形的面积公式和余弦定理可得1sin 2cos 2ac ac B =B ，进而可得tan B 的值，再利用角B 的取值范围即可得B 得值；（II ）先利用三角形的内角和可得角A 的取值范围，再利用正弦定理可得a 和c 的值，代入，利用辅助角公式可得()y f x =的解析式，进而利用角A 的取值范围可得()y f x =的最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得B ac B ac cos sin 2⋅43=21 ……2分 ∴3=B tan ，又)(π，0∈B ……4分所以3=πB……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3=πB ，△ABC 的内角和π=++C B A ，又0>0>C A ，得32<<0πA ．……6分由正弦定理，知x x A Bba sin sin sinsin sin 2=33==π， ……7分)sin(sin sin x C B b c -322==π……8分所以c a y 2+13=）（-22sin 4sin()3x x π=+-） x x cos 32sin 32+=2)(0)43x xππ=+<<……10分当2=4+ππx，即4=πx时，y取得最大值62……12分考点：1、余弦定理；2、三角形的面积公式；3、特殊角的三角函数值；4、正弦定理；5、两角差的正弦公式；6、辅助角公式；7、三角函数的图象与性质18.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如下直方图：（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到如下数据：根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? （Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1~50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：4.0 4.2 4.4 4.6 4.85.0 5.2))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=【答案】（I ）31；（II ）1010-；（III ）分布列见解析，1．【解析】试题分析：（I ）先利用=⨯频率频率组距组距可得第一、二组的频率，由已知条件可得第三、六组的频率，进而可得视力在5.0以下的频率，再利用=⨯频数频率样本容量可得全年级视力在5.0以下的人数；（II ）先算出2K 的值，再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（III ）先分析确定随机变量X 的所有可能取值，再计算各个取值的概率即可得X 的分布列，进而利用数学期望公式即可得数学期望．试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为),,,,,(654321=i f i ，依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故030=20⨯150=1...f ，090=20⨯450=2...f ，270==1223.f f f ……1分所以由)..()(090+030-1=24⋅+63f f 得170=6.f ， ……2分所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， ……3分故全年级视力在5.0以下的人数约为830=830⨯1000. ……4分（Ⅱ）8413>1104≈73300=27⨯73⨯50⨯509⨯32-18⨯41⨯100=22..)(k ……6分因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. ……7分（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， ……8分X 可取0,1,2,38420==0=3936C C X P )(，8445==1=391326C C C X P )(， 8418==2=392316C C C X P )(， 841==3=3933C C X P )( X 的分布列为……11分X 的数学期望1=841⨯3+8418⨯2+8445⨯1+8420⨯0=)(X E ……12分考点：1、频率分布直方图；2、独立性检验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知CD AD CD AB ⊥，//，1==AD AB ，2=CD . （Ⅰ）求证：⊥BC 平面BDE ；（Ⅱ）求直线MN 与平面BMC 所成的角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．【解析】试题分析：（I ）取CD 中点H ，连接BH ，先证C D B ⊥B ，再利用平面D F A E ⊥平面CD AB 可证D E ⊥平面CD AB ，进而可证C B ⊥平面D B E ；（II ）先建立空间直角坐标系，再求出平面C BM 的法向量，进而可得直线MN 与平面BMC 所成的角的正弦值．ABFEDC NM试题解析：（I ）在梯形ABCD 中，取CD 中点H ，连接BH ，因为AB AD =，CD AD CD AB ⊥，// 所以四边形ADHB 为正方形又2=+=222AB AD BD ，2=+=222HB HC BC 所以222+=BC BD CD 所以BD BC ⊥ ……2分又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD DE AD ⊥=，所以⊥DE 平面ABCD ……4分 DE BC ⊥，又D DE BD =故⊥BC 平面BDE ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥CD 平面ABCD ，CD AD ⊥，所以DE ,DA ,DC 两两垂直.以D 为坐标原点建立如图所示直角坐标系xyz D -，则),,(020C ，),,(011B ，),,(100E ，),,(2110M ，),,(02121N ，),,(011-=，),,(21-10=MC ……7分设),,(z y x n =为平面BMC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧0=⋅0=⋅，即⎪⎩⎪⎨⎧0=21-0=+-z y y x 可取),,(211=n ， ……9分又)(212121=--，，MN ，所以32-=<cos ……11分直线MN 与平面BMC 所成的角的正弦值为32……12分考点：1、线面垂直；2、直线与平面所成的角；3、空间向量在立体几何中的应用．20.（本小题满分12分）已知椭圆)(:0>>1=+2222b a by a x C 的左、右焦点分别为)(011，-F 、)(012，F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△2ABF 的周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)(04，作与直线l 平行的直线m ，且直线m 与抛物线x y 4=2交于P 、Q 两点，若A 、P 在x 轴上方，直线PA 与直线QB 相交于x 轴上一点M ，求直线l 的方程.【答案】（I ）2212x y +=；（II ）1x =-或10x +=或10x +=．【解析】试题分析：（I ）由已知条件可得a 和c 的值，利用222a b c =+可得2b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（II ）先设A 、B 、P 、Q 的坐标和直线l 、m 的方程，由已知条件可得3124y y y y =，再由⎪⎩⎪⎨⎧1=+21-=22y x ty x 消去x ，化简可得2+4=+1222t t -λλ)(，由⎩⎨⎧4=4+=2x y ty x 消去x ，化简可得22=+1t -λλ)(，进而可得t 的值，即可得直线l 的方程．试题解析：（Ⅰ）依题意，24=4a ，1=-22b a……2分所以2=a ，1=1-=22a b ……3分故椭圆C 的方程为1=+222y x ……4分（Ⅱ）设)()()()(44332211y x Q y x P y x B y x A ，，，，，，，直线l 的方程为：1-=ty x ，直线m 的方程为4+=ty x 依题意得||||||||||||QN BF MN MF PN AF 111== 则||||||||4231=y y y y ，可得4321=y y y y ，令)(0<==4321λλy y y y， ……5分由⎪⎩⎪⎨⎧1=+21-=22y x ty x 消去x ，得0=1-2-2+22ty y t )(， ……6分则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧2+1-=2+2=+221221t y y t t y y ，把21=y y λ代入，整理，得2+4=+1222t t -λλ)(① ……8分由⎩⎨⎧4=4+=2xy ty x 消去x ，得0=16-4-2ty y ， ……9分则⎩⎨⎧16-=4=+4343y y t y y ，把43=y y λ代入，整理，得22=+1t -λλ)(② ……10分由①②消去λ，得222=2+4t t t ，解得0=t 或2=t 或2-=t ……11分故直线l 的方程为：1-=x 或0=1+2-y x 或0=1+2+y x ……12分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系．21.（本小题满分12分）设函数1++1+2=2x x x x f )ln()(.（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有)(x f ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列}{n a 中，1=1a ，且1=+1-11+))((n n a a ，若数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：1+1+-2>n nn n a a a S ln . 【答案】（I ）函数)(x f 在)(2+21--，上单调递减，在),(+∞2+2-单调递增；（II ）2；（III ）证明见解析．当2+2-<<1-x 时，0<')(x f ，当2+2->x 时，0>')(x f ……2分所以函数)(x f 在)(2+21--，上单调递减，在),(+∞2+2-单调递增. ……3分（Ⅱ）设ax x x x x g -+++=1)1ln(2)(2，则 a x a x x x a x x x x g -2+1-1+1-=-1+1-1+2+1+=-1+2+4+='22222)()()()()()( 因为x ≥0，故0≤1-1+1-<1-2)(x ……5分（ⅰ）当2≥a 时，0≤-2a ，0)(≤'x g ，所以)(x g 在),0[∞+单调递减，而0)0(=g ，所以对所有的x ≥0，)(x g ≤0，即)(x f ≤ax ；（ⅱ）当21<<a 时，1<-2<0a ，若),(1--2+-20∈a aa x ，则0)(>'x g ，)(x g 单调递增，而0)0(=g ，所以当)122,0(--+-∈a aa x 时，0)(>x g ，即ax x f >)(；（ⅲ）当1≤a 时，1≥-2a ，0)(>'x g ，所以)(x g 在),0[∞+单调递增，而0)0(=g ，所以对所有的0>x ，0)(>x g ，即ax x f >)(；综上，a 的最小值为2. ……8分（Ⅲ）由1=+1-11+))((n n a a 得，11++⋅=-n n n n a a a a ，由1=1a 得，0≠n a ，所以1111=-+n n a a ，数列}1{n a 是以1=11a 为首项，1为公差的等差数列，故n a n =1，na n 1=，111+=+n a n ……9分 1+1+-2>n nn n a a a S ln ⇔n n n n 131211)1(2)1ln(++++<+++ 由（Ⅱ）知2=a 时，x x x x 21)1ln(22≤+++，0>x ，即x x x x <+++)1(2)1ln(2，0>x . ……10分法一：令nx 1=，得n n n n n 1)1(211ln <+++，即nn n n n 1)111(21ln )1ln(<+-+-+因为)()ln()](ln )[ln(1+2+1+=1+1-121+-1+∑1=n nn k k k k nk ……11分所以nn n n 131211)1(2)1ln(++++<+++ ……12分故1+1+-2>n nn n a a a S ln ……12分法二：1+1+-2>n nn n a a a S ln ⇔)()ln(1+2+1+>1++31+21+1n nn n下面用数学归纳法证明．（1）当1=n 时，令1=x 代入x x x x <+++)1(2)1ln(2，即得41+2>1ln ，不等式成立（2）假设)1,N (≥∈=*k k k n 时，不等式成立，即)()ln(1+2+1+>1++31+21+1k kk k 则1+=k n 时，1+1+1+2+1+>1+1+1++31+21+1k k k k k k )()ln(令11+=k x 代入x x x x <+++)1(2)1ln(2，得))((ln 2+1+21+1+2+>1+1k k k k k))((ln )()ln()()ln(2+1+21+1+2++1+2+1+>1+1+1+2+1+k k k k k k k k k k k)()ln())(()()ln(2+21++2+=2+1+21+2++2+=k k k k k k k k即)()ln(2+22+2+>1+1+1++31+21+1k k k k由（1）（2）可知不等式)()ln(1+2+1+>1++31+21+1n nn n 对任何n *∈N 都成立.故1+1+-2>n nn n a a a S ln ……12分考点：1利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n 项和；5、不等式的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在△ABC 中， 90=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC于E ，AE 交⊙O 于点F ．（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点；（Ⅱ）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅.【答案】(I)证明见解析；（II ）证明见解析．【解析】试题分析：（I ）连接D B ，由AB 是O 的直径得D C B ⊥A ，由90∠B =得D EB =E ，进而可得C D E =E ，即可证E 是C B 的中点；（II ）连接F B ，利用直角三角形的射影定理可得AF AE AB ⋅=2，AC AD AB ⋅=2，进而可证AF AE AC AD ⋅=⋅．E试题解析：（Ⅰ）证明：连接BD因为AB 为⊙O 的直径所以AC BD ⊥又 90=∠B所以CB 切⊙O 于点B ，且ED 切于⊙O 于点E因此ED EB = ……2分EDB EBD ∠=∠，C EBD EDB CDE ∠+∠==∠+∠ 90所以C CDE ∠=∠得ED EC =因此EC EB =，即E 是BC 的中点 ……5分（Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB 于是有ABAE AF AB =，即AF AE AB ⋅=2， ……8分同理可证AC AD AB ⋅=2所以AF AE AC AD ⋅=⋅ ……10分考点：1、直径所对的圆周角；2、切线长；3、直角三角形的射影定理．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为0=-2θθρcos sin ，点)(21π，M . 以极点O 为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）求点M 到A ，B 两点的距离之积.【答案】(I)2y x =，212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（II ）2．【解析】试题分析：（I ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的方程可得曲线C 的直角坐标方程，点M 的极坐标化为直角坐标，算直线l 的倾斜角，即可得直线l 的参数方程；（II ）先将直线l的参数方程代入曲线C的方程可得220t ++=，再利用参数的几何意义可得点M 到A ，B 两点的距离之积．试题解析：（Ⅰ）θρcos =x ，θρsin =y ，由0=-2θθρcos sin 得θρθρcos sin 22=．所以x y =2，即为曲线C 的直角坐标方程； ……2分点M 的直角坐标为)10(，， ……3分直线l 的倾斜角为43π故直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==43sin 143cos ππt y t x （t 为参数）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数） ……5分（Ⅱ）把直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数）代入曲线C 的方程得 t t 22)221(2-=+，即02232=++t t ， ……7分 01024)23(2>=⨯-=∆，设A 、B 对应的参数分别为21t t 、，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+2232121t t t t ……8分又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积2||||||||||2121=⋅==⋅t t t t MB MA ……12分考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程；3、参数的几何意义．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数⎪⎩⎪⎨⎧1<<011≥=x xx x x f ,)(，，||)()(2--=x x af x g ，R ∈a . （Ⅰ）当0=a 时，若b x x g +1-≤||)(对任意)(∞+0∈，x 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）当1=a 时，求函数)(x g y =的最小值.【答案】(I)[)1,-+∞；（II ）0．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题及答案(扫描版)

哈尔滨三中2015年第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C D B A B C B D C C D A 二、填空题：13. 1 14. 1y x =+ 15.6π 16. 6 三、解答题：17. (Ⅰ）21n a n =-， ………………………… 2分141,8b b ==,∴2q =, ………………………… 4分 ∴12n n b -=． ………………………… 6分(Ⅱ) 1(21)2n n c n -=-，21113252(21)2n n S n -=⋅+⋅+⋅++- 2312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-上述两式作差得231122222222(21)2n nn S n --=+⋅+⋅+⋅++⋅--12(12)12(21)212n n n S n -⎛⎫--=+-- ⎪-⎝⎭32(32)n n S n =--………………………… 12分 18. (I) 22110(40302020)60506050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 27.822K ≈ ……………………… 4分27.822 6.635K ≈>∴有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.………………………… 6分 (II)X 的可能取值为0,1,2,3 ………………… 7分271)31()0(3===X P92)31)(32()1(213===C X P 94)32)(31()2(223===C X P 278)32()3(3===X PX 0 1 2 3P 27192 94 278………………………… 10分 ()2E X = ………………………… 12分19. (Ⅰ) 平面ABCD ⊥平面ABE , AD ⊂平面ABCD , AD ⊥AB ,且平面ABCD ⋂平面ABE AB =,∴AD ⊥平面ABE ,BE ⊂平面ABE ,∴AD ⊥BE又BE AF ⊥,AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF , AD AF A ⋂=,∴BE ⊥平面ADF ………………… 4分 (Ⅱ)存在，F 为中点方法1:以AB 中点O 为原点，设DC 中点为O '，以,,OE OB OO '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面DCE 的法向量(1,0,1)m =， …………… 7分设(1)BF BEλλ=<,平面DCF 的法向量(1,0,)n λ=， …………… 10分 310c o s 10θ=，12λ=或2λ=（舍） …………… 12分方法2：过F 作FM AB ⊥交AB 于M ,过M 作MN DC ⊥交DC 于N ,连接FN F N M ∴∠为二面角F DC B --的平面角，t a n 3F M F M F N M MN ∴∠==; 同理，设二面角B DC E --的平面角为θ，tan 1θ∴=； …………… 10分 ∴二面角F DC E --的平面角为θFNM -∠，tan(θFNM -∠)=13 ∴32FM = ………………………… 12分 20. (Ⅰ)()0,1F ，1y kx =+，214y kx x y =+⎧⎨=⎩，2440x kx --=， 124x x =-，221212144x x y y =⋅=， 12123O A O B x x y y λ=⋅=+=-…………… 4分 (Ⅱ)圆O ：221x y +=，直线l 与圆O 相切时，211mk =+，2211m k =+≥， …………… 6分24y k x m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=->得221m k m <=-得 210m m -->得152m +>或152m -< 124x x k += ，124x x m =-，222121244x x y y m =⋅=， ()2121243,0O A O B x x y y m m λ=⋅=+=-∈-，01m <<或34m <<，综合以上， 34m <<， …………… 9分 ()2224321212121144A B kx x k x x x x m m m =+-=++-=+-， 432122S A B d m m m =⋅=+-， …………… 10分 34m <<时，()0S m '>，()S m 在()3,4单调递增，()()34S S S <<，即611819S <<. …………… 12分21. (Ⅰ)由x b x a x f ++-='11)(2得a b b a f -=∴=++-=',01111)1(……2分又a c a c b a f 3,221ln 111)1(=∴+=+++-=…………3分 (Ⅱ)由上知 a x a x x a x f 3ln 1)(+-+-= 得2222)1)(1(111)(x a x x x a ax x x a x a x f +--=-+-=-++-='讨论得当2=a 时)(x f 在),0(+∞上为增函数，当2>a 时)(x f 在),1(),1,0(+∞-a 上为增函数，在)1,1(-a 上为减函数当21<<a 时)(x f 在),1(),1,0(+∞-a 上为增函数，在)1,1(-a 上为减函数当1≤a 时)(x f 在),1(+∞上为增函数，在)1,0(上为减函数…………8分(III)①当2>a 时，由(Ⅱ)知)(x f 在)1,1(-a 上为减函数，不符合②当21<<a 时，由(Ⅱ)知)(x f 在(1,)+∞单调递增，则51()()4g x e f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭在 (]1,a 单调递增成立；同时需要当1=x 时32251(23656)()4x x ax ax a a e e f x ⎛⎫+++-⋅≤⋅+ ⎪⎝⎭即⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⋅≤⋅-+++451311)65632(2a a e e a a a a 得0514202≤-+a a ，解得231017≤≤-a………10分同时也需要xe a a ax ax x x g ⋅-+++=)65632()(223在区间[]1,a -上也为增函数由2322()(66623656)x g x x ax a x ax ax a a e '=++++++-⋅322(2(36)125)x x a x ax a e =++++⋅记223512)63(2)(a ax x a x x h ++++=)2)((612)2(66)(2++=+++='x a x a x a x x h 同时当312a ≤≤时，x a ≥-2x ∴>-∴()0h x '≥又3222322()2(36)125(1)0h a a a a a a a a a a -=-++-+=-=->∴()0g x '>，所以此种情况312a <≤ ………… 11分 ③当01a <≤时, 需要x e a a ax ax x x g ⋅-+++=)65632()(223在区间[],a a -为增函数，讨论同上2322()(66623656)x g x x ax a x ax ax a a e '=++++++-⋅322(2(36)125)xx a x ax a e =++++⋅记223512)63(2)(a ax x a x x h ++++=)2)((612)2(66)(2++=+++='x a x a x a x x h 同时当01a <≤时x a ≥-2x ∴>-∴()0h x '≥而32222()2(36)125(1)0h a a a a a a a a -=-++-+=-≤只有1a =时，才能使()g x 在[],a a -上为增函数.综上：312a ≤≤ …………… 12分 22. (Ⅰ) 解析：（Ⅰ）证明：AB 是直径，AC BD ∴⊥，BC DC =,ABC ∴∆≌ADC ∆,∴ABD ADB ∠=∠ …………… 5分（Ⅱ）解：DE 切⊙O 于点E ，2ED DC DB ∴=⋅()22DC DC BC DC =⋅+=, ED =24,4DC ∴=,在Rt ADC ∆中，2225163AC AD DC =-=-=.…………… 10分 23.（Ⅰ）由6cos ρθ=得26cos ρρθ=，226x y x ∴+=，即()2239x y -+=…………… 4分 ∴曲线C 表示以()3,0为圆心，3为半径的圆. …………… 5分（Ⅱ）12,232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入226x y x ∴+=得280,t t --=120t t ⋅<()2212121212414(8)33P A P B t t t t t t t t ∴+=+=-=+-⋅=-⨯-=； …………… 10分24. (Ⅰ) ()f x ()32|3132(31)|3x x x x +≥+＝＋－－－＝，……………4分当且仅当2133x -≤≤时，等号成立，故3m =. ……………5分 (Ⅱ)证明：(4422p q a b+)·22()a b + ≥ (22p q a b a b⋅+⋅)2，即(4422p q a b+)3⨯≥222()9p q += , 故4422p q a b +3≥ ………………………10分。

2015-2017年北京市高三理科数学模拟题分类汇编第三章导数及其应用

2. （2016-2017 丰台一模理 3）定积分 ⎰ 3 (2 x - )d x =3．（2014-2015 西城一模理 8）已知抛物线 y = x 2 和 y = - x 2 + 5 所围成的封闭曲线如图（第三章导数及其应用3.1 导数和积分一、选择题1. （2016-2017 海淀一模理 5）已知 a = ⎰1 x d x ， b = ⎰1 x 2d x ， c = ⎰ 1 x d x ，则 a , b , c 的大0 0 0 小关系是A ． a < b < cB ． a < c < bC ． b < a < cD ． c < a < b1 1 x（A ）10 - ln3（B ） 8 - ln3（C ）（D ） 22364 91 1 4 16所示,给定点 A(0, a ) ,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点 A 对称,则实数 a 的取值范围是（A ） (1,3)（B ） (2,4)3 （C ） ( ,3) 25 （D ） ( ,4) 24．2014-2015 海淀二模 6）已知函数 f ( x ) 的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100 粒豆子,记下落入阴影区域的豆1/802．（2014-2015丰台一模理9）定积分⎰(x+cos x)dx=________.邻的两个极值点，且f(x)在x=3处的导数f'()<0，则f()=________.子数．通过10次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33,由此可估计⎰1f(x)dx的值约为（A）（B）（C）（D）99 100 3 10 9 10 10 11二、填空题1．（2014-2015东城一模理10）曲线y=sin x(0≤x≤π)与x轴围成的封闭区域的面积为______.π3.（2015-2016丰台二模理14）已知x=1,x=3是函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0)两个相312232/80（ 3.2 导数综合应用一、选择题1．2014-2015 海淀二模 7）已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≤ 0 时, f ( x ) = ( x + 1)3 e x +1 ．那么函数 f ( x ) 的极值点的个数是（A ）5 （B ）4 （C ）3二、解答题1．（2014-2015 丰台一模理 18）设函数 f ( x ) = e x - ax ．（Ⅰ）当 a = 2 时，求曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： f ( x ) > 0 ；（Ⅲ）当 a > 1 时，求函数 f ( x ) 在 [0, a] 上的最大值．（D ）23/80已知函数f(x)=x ln x．（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求证：f(x)≥x-1；（Ⅲ）若f(x)≥ax2+2(a≠0)在区间(0,+∞)上恒成立，求a的最小值．a4/80设函数f(x)=e ax(a∈R).（Ⅰ）当a=-2时，求函数g(x)=x2f(x)在区间(0,+∞)内的最大值；（Ⅱ）若函数h(x)=x2f(x)-1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a的取值范围.5/80（Ⅱ）对任意 x ∈[ ， ] ，都有 x ln(kx) - kx + 1 ≤ mx ，求 m 的取值范围. 已知函数 f ( x ) = ln(kx) + 1 - k (k > 0) . x（Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间；1 2 k k6/80已知函数f(x)=e x-a ln x-a.（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈(0,e)，f(x)在区间(a,1)上有极小值，且极小值大于0. e7/80已知函数f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1)，其中实数a<3.（Ⅰ）判断x=1是否为函数f(x)的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f(x)≤0在区间[0,1]上恒成立，求a的取值范围.8/80已知动点M到点N(1,0)和直线l：x=-1的距离相等.（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP 为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．9/80已知函数f(x)=e x-12x2．设l为曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线，其中00x∈[-1,1]．（Ⅰ）求直线l的方程（用x表示）；（Ⅱ）设O为原点，直线x=1分别与直线l和x轴交于A,B两点△求AOB的面积的最小值．10/80９．（2016-2017西城二模理18）已知函数f(x)=(x2+ax-a)⋅e1-x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'(x)的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f(x)存在最小值的充分而不必要条件．（Ⅲ）设 0 < a < b ，求证：ln b- ln a 10.（2016-2017 东城一模理 18）已知函数 f ( x ) = 2ln x + 1- mx (m ∈ R ) ． x（Ⅰ）当 m = - 1 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1))处的切线方程；（Ⅱ）若 f (x ) 在 (0, +∞ ) 上为单调递减，求 m 的取值范围；1 < ． b - a ab11.（2016-2017东城二模理18）设函数f(x)=(x2+ax-a)⋅e-x(a∈R)．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x)=x2-x-1，若对任意的tÎ[0,2]，存在sÎ[0,2]使得f(s)³g(t)成立，求a的取值范围．12.（2016-2017朝阳一模理18）已知函数f(x)=ln x-ax-1(a∈R),g(x)=xf(x)+12x2+2x.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若函数g(x)在区间(m,m+1)(m?Z)内存在唯一的极值点，求m的值.13.（2016-2017朝阳二模理19）已知函数f(x)=e x+x2-x，g(x)=x2+ax+b,a,b R．（Ⅰ）当a=1时，求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c)，求a,b,c的值；（Ⅲ）若f(x)≥g(x)恒成立，求a+b的最大值．,函数 g ( x ) = y 设 n ∈ N *,函数 f ( x ) = ln x e x x n x n, x ∈ (0, +∞) ．（Ⅰ）当 n = 1 时,写出函数 y = f ( x ) - 1 零点个数,并说明理由;（Ⅱ）若曲线 y = f (x) 与曲线 y = g ( x ) 分别位于直线 l ： = 1 的两侧,求 n 的所有可能取值．已知函数f(x)=x+a+ln x,a∈R．x（Ⅰ）若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;（Ⅱ）若f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a的取值范围;（Ⅲ）讨论函数g(x)=f'(x)-x的零点个数．已知函数 f (x) = a ln x + (a ≠ 0) ． 1 x（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间;（Ⅱ）若{x | f ( x ) ≤ 0} = [b , c ] （其中 b < c ）,求 a 的取值范围,并说明 [b , c ] ⊆ (0,1) ．已知函数 f (x) = a ln x + - (a + 1)x, a ∈ R ． 17.（2014-2015 朝阳一模理 18）（本小题满分 13 分）x 2 2（Ⅰ）当 a = -1 时,求函数 f ( x ) 的最小值;（Ⅱ）当 a ≤ 1 时,讨论函数 f ( x ) 的零点个数．已知函数 f (x) = ln x + 1 - 1 , g ( x ) = ．（Ⅲ）求证:直线 y = x 不是曲线 y = g ( x ) 的切线． 18.（2015-2016 海淀一模理 18）x - 1 x ln x（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小值;（Ⅱ）求函数 g ( x ) 的单调区间;．．设函数f(x)=ae x-x-1,a∈R（Ⅰ）当a=1时,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.（Ⅲ）求证:当x∈(0,+∞)时,ln e x-1x>. x2已知函数f(x)=x2-1,函数g(x)=2t ln x,其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f(x)与g(x)在x=1处的切线均为l,求切线l的方程及t的值;（Ⅱ）如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点,求t的取值范围．已知函数f(x)=x+a ln x,a∈R．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间;（Ⅱ）当x∈[1,2]时,都有f(x)>0成立,求a的取值范围;（Ⅲ）试问过点P(1,3)可作多少条直线与曲线y=f(x)相切？并说明理由．22．（2014-2015东城二模18）已知函数f(x)=x+a⋅e-x．（Ⅰ）当a=e2时,求f(x)在区间[1,3]上的最小值;（Ⅱ）求证:存在实数x∈[-3,3],有f(x)>a．00已知函数f(x)=(x2-a)e x,a∈R．（Ⅰ）当a=0时,求函数f(x)的单调区间;（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数m,n,使f(m)=f(n)成立,求a的取值范围;（Ⅲ）若函数f(x)有两个不同的极值点x,x,求证:f(x)f(x)<4e-2．1212已知f(x)=2ln(x+2)-(x+1)2,g(x)=k(x+1)（Ⅰ）求f(x)的单调区间（Ⅱ）当k=2时,求证:对于∀x>-1,f(x)<g(x)恒成立;（Ⅲ）若存在x>-1,使得当x∈(-1,x)时,恒有f(x)>g(x)成立,试求k的取值范围．00已知函数f(x)=1-ln x．x2（Ⅰ）求函数f(x)的零点及单调区间;（Ⅱ）求证:曲线y=ln x存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标y<-1．x0（Ⅰ）当 a = - 时,求 f (x) 的单调区间; 已知函数 f ( x ) = 1 - x ,其中 a ∈ R ． 1 + ax 21 4（Ⅱ）当 a > 0 时,证明:存在实数 m > 0 ,使得对于任意的实数 x ,都有 | f ( x ) |≤ m 成立．已知函数f(x)=e x(x2+ax+a)．（Ⅰ）当a=1时,求函数f(x)的单调区间;（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)≤e a在[a,+∞)上有解,求实数a的取值范围;（Ⅲ）若曲线y=f(x)存在两条互相垂直的切线,求实数a的取值范围．只需直接写出结果）．（28．（2015-2016西城二模18）（本小题满分13分）设a∈R,函数f(x)=x-a．(x+a)2（Ⅰ）若函数f(x)在(0,f(0))处的切线与直线y=3x-2平行,求a的值;（Ⅱ）若对于定义域内的任意x,总存在x使得f(x)<f(x),求a的取值范围．1221已知函数 f (x) = - x 2+ (a + 1)x +（1 - a)ln x , a ∈ R ．（Ⅱ）当 x ∈ [1,2] 时,若曲线 C : y = f ( x ) 上的点 ( x , y) 都在不等式组 ⎨ x ≤ y , 所表示的平面329．（2015-2016 朝阳二模 18）（本小题满分 13 分）1 2（Ⅰ）当 a = 3 时,求曲线 C : y = f ( x ) 在点 (1, f (1))处的切线方程;⎧⎪1 ≤ x ≤ 2, ⎪⎪⎪ y ≤ x + ⎩ 2区域内,试求 a 的取值范围．（Ⅲ）证明：当k∈N*且k≥2时，ln k30（2014-2015丰台二模理20）已知函数f(x)=ln ax+1（a>0）.x（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；（Ⅱ）如果关于x的方程ln x+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；1111<+++⋅⋅⋅+<ln k．2234k第三章导函数及其应用3.1导数和积分一、选择题题号答案1C2B3D4A二、填空题1.2; 1 3. 22.π22当a>1时，设M(a)=a-ln a，因为M'(a)=1-13.2导数综合应用1．（2014-2015丰台一模理18）18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=e x-2x，f(0)=1，所以f'(x)=e x-2．因为f'(0)=e0-2=-1，即切线的斜率为-1，所以切线方程为y-1=-(x-0)，即x+y-1=0．……………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f'(x)=e x-2．令f'(x)=0，则x=ln2．当x∈(-∞,ln2)时，f'(x)<0，f(x)在(-∞,ln2)上单调递减，当x∈(ln2,+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(ln2,+∞)上单调递增，所以当x=ln2时，函数最小值是f(ln2)=e ln2-2ln2=2-2ln2>0．命题得证．……………………8分（Ⅲ）因为f(x)=e x-ax，所以f'(x)=e x-a．令f'(x)=0，则x=ln a>0．a-1=>0，a a所以M(a)=a-ln a在(1,+∞)上单调递增，且M(1)=1-ln1=1，所以M(a)=a-ln a>0在(1,+∞)恒成立，即a>ln a．所以当x∈(0,ln a)，f'(x)<0，f(x)在(0,ln a)上单调递减；当x∈(ln a,a)，f'(x)>0，f(x)在(ln a,a)上单调递增．所以f(x)在[0,a]上的最大值等于max{f(0),f(a)}，因为f(0)=e0-a⋅0=1，f(a)=e a-a2，不妨设h(a)=f(a)-f(0)=e a-a2-1（a>1），所以h'(a)=e a-2a．由（Ⅱ）知h'(a)=e a-2a>0在(1,+∞)恒成立，所以h(a)=f(a)-f(0)=e a-a2-1在(1,+∞)上单调递增．又因为h(1)=e1-12-1=e-2>0，所以h(a)=f(a)-f(0)=e a-a2-1>0在(1,+∞)恒成立，即f(a)>f(0)．所以当a>1时，f(x)在[0,a]上的最大值为f(a)=e a-a2．……………………13分２．（2015-2016丰台一模理18）18．解：（Ⅰ）设切线的斜率为kf'(x)=ln x+1k=f'(1)=ln1+1=1因为f(1)=1⋅ln1=0，切点为(1,0)．切线方程为y-0=1⋅(x-1)，化简得：y=x-1．----------------------------4分12-a2x2+ax+2-a2(x+)(x-)ax2=所以x∈(0,-)时h'(x)<0，h(x)在(0,-)上单调递减；1当x=-1a a a（Ⅱ）要证：f(x)≥x-1只需证明：g(x)=x ln x-x+1≥0在(0,+∞)恒成立，g'(x)=ln x+1-1=ln x当x∈(0,1)时f'(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减；当x∈(1,+∞)时f'(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增；当x=1时g(x)m in=g(1)=1⋅ln1-1+1=0g(x)=x ln x-x+1≥0在(0,+∞)恒成立所以f(x)≥x-1．--------------------------------------------------------------------------10分（Ⅲ）要使：x ln x≥ax2+2在区间在(0,+∞)恒成立，a等价于：ln x≥ax+2在(0,+∞)恒成立，ax等价于：h(x)=ln x-ax-2ax≥0在(0,+∞)恒成立12因为h'(x)=-a+=a a x ax2ax2①当a>0时，h(1)=ln1-a-2<0，a>0不满足题意a②当a<0时，令h'(x)=0，则x=-12或x=（舍）．a a1a a11x∈(-,+∞)时h'(x)>0，h(x)在(-,+∞)上单调递增；a a11时h(x)=h(-)=ln(-)+1+2min当ln(-1)+3≥0时，满足题意a(2 x - ax2 )e ax所以 -e 3 ≤ a < 0 ，得到 a 的最小值为 - e 3 -----------------------------------14 分３．（2015-2016 丰台二模理 18）18.（本小题共 13 分）解：（Ⅰ）当 a = -2 时， g ( x ) = x 2e -2 x ， g '( x) = e -2 x (2 x - 2 x 2 )= - 2 x ( x - 1)e -2 x —-2 分x 与 g '( x ) 、 g ( x ) 之间的关系如下表：x(0,1) 1 (1,+∞)g '( x )+0 -g ( x )增函数极大值减函数函数在区间 (0, +∞) 内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点 x = 1 ，---4 分最大值 g (1) =1e 2.（Ⅱ）（1）当 a = 0 时， h ( x ) = x 2 - 1 ，显然在区间 (0,16) 内没有两个零点， a = 0 不合题意.(2)当 a ≠ 0 时， h( x ) =x 2 e ax- 1 ， h '( x ) = 2-ax( x - ) = a . e 2ax e ax①当 a < 0 且 x ∈ (0,16) 时， h '( x ) > 0 ，函数 h ( x ) 区间 (0, +∞) 上是增函数，所以函数 h ( x ) 区间 (0,16) 上不可能有两个零点，所以 a < 0 不合题意；⎧ 2 ⎧ 4 ⎧ 2 ⎪ a h( ) > 0, - 1 > 0, 0 < a < ,⎪ e 2a 2 e ⎪ 2 1 则 ⎨ < 16, ，所以 ⎨a > ,，化简 ⎨a > , . a 8 8 ⎪h(16) < 0 ⎪ 28 ⎪ ln 2 ⎪⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ e 16a②当 a > 0 时，在区间 (0, +∞) 上 x 与 h '( x ) 、 h ( x ) 之间的关系如下表：x2 (0, )a2 a2( , +∞) ah '( x )+-h ( x )增函数极大值减函数因为 h (0) = -1 ，若函数 h ( x ) 区间 (0,16) 上有两个零点，⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ ⎪ ⎪ - 1 < 0a > 2因为 1 ln 2< ⇔ 1 < 4ln 2 ⇔ 1 < ln16 ⇔ e < 16 ，8 22 ln 2 > ⇔ 4 > eln 2 ⇔ 4 >3 > eln 2 , e 2所以 1 ln 2 2 < < .8 2 e综上所述，当 ln 2 2 x 2 < a < 时，函数 h ( x ) =2 e f ( x )- 1 在区间 (0,16) 内有两个零点.４．（2016-2017 丰台一模理 18）18．（本小题共 13 分）（1）当 k ≥ 2 时， f ( x ) 在 [ , ] 上单调递减，所以 f ( x )k k k（2）当 0 < k ≤ 1 时， f ( x ) 在 [ , ] 上单调递增，所以 f ( x )k k k 2（3）当1 < k < 2 时， f ( x ) 在 [ ,1) 上单调递减，在 (1, ] 上单调递增，所以 f ( x)max = max ⎨ f ( ), f ( ) ⎬ .k k 2 k 2 若 f ( ) < f ( ) ，即 ln 2 - < 0 ，所以 2ln2 ≤ k < 2 ，此时 f ( x )解：由已知得， f ( x ) 的定义域为 (0, +∞) .（Ⅰ） f '( x ) = x - 1，.x 2令 f '( x ) > 0 ，得 x > 1 ，令 f '( x ) < 0 ，得 0 < x < 1.所以函数 f ( x ) 的单调减区间是 (0,1) ，单调增区间是 (1,+∞) ...………………5 分（Ⅱ）由 x ln(kx) - kx + 1 ≤ mx ，得 ln(kx) + 1- k ≤ m ，即 m ≥ f ( x ) xmax.由（Ⅰ）知，1 21= f ( ) = 0 ，所以 m ≥ 0 ；. max1 22 k= f ( ) = ln2 - ， maxk所以 m ≥ ln 2 - ；212 k k⎧ 1 2 ⎫ ⎩ kk ⎭1 2 k又 f ( ) = 0 ， f ( ) = ln 2 - ,k k 22 1 k 2 k若 f ( ) ≥ f ( ) ，即 ln 2 - ≥ 0 ，所以1 < k < 2ln2 ，此时 f ( x ) = f ( ) = ln2 - ，maxk所以 m ≥ ln 2 - .22 1 kk k 2综上所述，当 k ≥ 2ln2 时， m ≥ 0 ；k当 0 < k < 2ln2 时， m ≥ ln 2 - ...………………13 分2max= 0 ，所以 m ≥ 0在区间 ( ,1) 上是单调递增函数.…………………5 分 a因为 f '( ) = e e- e < 0 ， f '(1) = e - a > 0 ，…………………6 分所以 ∃x ∈ ( ,1) ,使得 e x 0 - =0 .…………………7 分e x所以 ∀x ∈ ( , x ) ， f '( x ) < 0 ； ∀x ∈ ( x ,1) ， f '( x ) > 0 ，…………………8 分e 故f ( x ) 在 ( , x ) 上单调递减，在 ( x ,1) 上单调递增，…………………9 分e 设 g ( x )=a( - ln x - 1) ， x ∈ ( ,1) ，即 g ( x ) 在 ( ,1) 上单调递减，所以 g ( x ) > g (1) = 0 ，- ) =-５．（2016-2017 丰台二模理 18）18.（本小题共 13 分）解：（Ⅰ） f ( x ) 的定义域为 (0, +∞) ，…………………1 分因为 a = e ，所以 f ( x ) = e x - e(ln x + 1) ，所以 f '( x ) = e x - ex.…………………2 分因为 f (1) = 0 ， f '(1) = 0 ，…………………3 分所以曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y = 0 .…………………4 分（Ⅱ）因为 0 < a < e ,所以 f '( x ) = e x -a a x ea ea a0 0a0 0a所以 f ( x) 有极小值 f ( x 0 ) .…………………10 分因为 e x 0 - a= 0,x所以 f ( x )=e x 0 - a(ln x + 1) = a( 0 0 1x- ln x - 1) .…………………11 分1 ax e则 g '( x ) = a(-11 a(1+ x)，………………12 分 x 2 x x 2所以 g '( x ) < 0 ，ae即 f ( x ) > 0 ，所以函数 f ( x ) 的极小值大于 0．………………13 分６．（2016-2017海淀一模理18）18.（本小题满分13分）解：法1：（Ⅰ）由f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1)可得函数定义域为(-1,+∞)，f'(x)=2x-2a+4(a-1) x+1=2[x2+(1-a)x+(a-2)]x+1=2(x-1)[x-(a-2)]x+1,由f'(x)=0得x=1,x=a-2.12因为a<3，所以a-2<1.当a≤1时，a-2≤-1，所以f'(x)，f(x)的变化如下表：x(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗当1<a<3时，-1<a-2<1，f'(x)，f(x)的变化如下表：++）x(-1,a - 2) a - 2 (a - 2,1) 1 (1,+∞)f '(x)f ( x )-↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗综上， x = 1 是函数 f ( x ) 的极值点，且为极小值点.（Ⅱ）易知 f (0)=0 ，由（Ⅰ 可知，当 a ≤ 2 时，函数 f ( x ) 在区间[0,1] 上单调递减，所以有 f ( x ) ≤ 0 恒成立；当 2 < a < 3 时，函数 f ( x ) 在区间[0, a - 2] 上单调递增，所以 f (a - 2) > f (0) = 0 ，所以不等式不能恒成立；所以 a ≤ 2 时有 f ( x ) ≤ 0 在区间 [0,1] 上恒成立.（Ⅱ）易知 f (0)=0 ，因为 f '(x) = 2( x - 1)[x - (a - 2)]x + 1，又因为 a < 3 ，所以 a - 2 < 1 ，所以当 a ≤ 2 时，在区间[0,1] 上 f '(x) < 0 ，所以函数 f ( x ) 单调递减，所以有 f ( x ) ≤ 0 恒成立；当 2 < a < 3 时，在区间[0, a - 2] 上 f '(x) > 0 ，所以函数 f ( x ) 单调递增，x ∈ ( ln , +∞) 时， f '(x) > 0 ，所以函数 f (x) 在 ( ln , +∞) 上递增所以 f (a - 2) > f (0) = 0 ，所以不等式不能恒成立；所以 a ≤ 2 时有 f ( x ) ≤ 0 在区间 [0,1] 上恒成立.７．（2016-2017 海淀二模理 18） 19.（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ） f '(x) = a e ax - 1 ，因为曲线 y = f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线与直线 x + 2 y + 3 = 0 垂直，所以切线 l 的斜率为 2，所以 f '(0) = 2 ，所以 a = 3 .（Ⅱ）法 1：当 a ≤ 0 时，显然有 f (1)< e a - 1 ≤ 0 < 1 ，即存在实数 x 使 f ( x ) < 1 ；当 a > 0, a ≠ 1 时，由 f '(x) = 0 可得 x = 1 ln 1 ，a a所以在 x ∈ (-∞, 1 ln 1 ) 时， f '(x) < 0 ，所以函数 f (x) 在 (-∞, 1 ln 1 ) 上递减；a a a a1 1 1 1a a a a所以 f ( 1 ln 1 ) = 1 (1+ ln a) 是 f (x) 的极小值.a a a由函数 f ( x ) = e ax - x 可得 f (0) = 1，由 a ≠ 1可得 1 ln 1 ≠ 0 ，a ax ∈ ( ln , +∞) 时， f '(x) > 0 ，所以函数 f (x) 在 ( ln , +∞) 上递增.所以 f ( ln ) < 1 ，所以 f ( 1 ln 1 ) < f (0) = 1 ，a a综上，若 a ≠ 1，存在实数 x 使 f ( x ) < 1 .（Ⅱ）法 2：当 a ≤ 0 时，显然有 f (1)< e a - 1 ≤ 0 < 1 ，即存在实数 x 使 f ( x ) < 1 ；当 a > 0, a ≠ 1 时，由 f '(x) = 0 可得 x = 1 ln 1 ，a a所以在 x ∈ (-∞, 1 ln 1 ) 时， f '(x) < 0 ，所以函数 f (x) 在 (-∞, 1 ln 1 ) 上递减；a a a a1 1 1 1 a a a a所以 f ( 1 ln 1 ) = 1 + ln a 是 f (x) 的极小值.a a a设 g ( x ) = 1 + ln x ，则 g '(x) = - ln x ( x > 0) ,令 g '(x) = 0 ，得 x = 1x x 2x(0,1)1(1,+∞)g '(x)g ( x )+ -↗ 极大值 ↘所以当 x ≠ 1 时 g ( x ) < g (1)= 1 ，1 1a a综上，若 a ≠ 1，存在实数 x 使 f ( x ) < 1 .８．（2016-2017 西城一模理 18）18．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）对 f (x) 求导数，得 f '( x ) = e x - x ，[1 分]所以切线 l 的斜率为 f '( x ) = e x 0 - x ，[2 分]由此得切线 l 的方程为： y - (e x 0 - x 2 ) = (e x 0 - x )(x - x ) ，2 0 即 y = (e x 0 - x ) x + (1- x )e x 0 + x 2 .[4 分]2 0得 y = (e x 0 - x ) + (1- x )e x 0 + x 2 = (2 - x )(e x 0 - x ) .[5 分]2 0 2 0所以 = 1 2 2 0=| (1- x )(e x 0 - x ) | ， x ∈[-1,1].[7 分]2 0 2 0 设 g (x) = (1- x)(e x - x) ， x ∈[-1,1].[8 分]则 g '(x) = - (e x - x) + (1- x)(e x - ) = - (x -1)(e x -1) .[10 分]2 2 e↘1↗1+1 0 01 0 0（Ⅱ）依题意，切线方程中令 x = 1 ，1 1 0 0 0所以 A(1,y) ， B(1,0).1△S AOB = 2 | OB | ⋅ | y |1| (2 - x )(e x 0 - x )| 01 11 12 21 1 1 1 12 2 2 2 2令 g '( x ) = 0 ，得 x = 0 或 x = 1 ．g ( x ) ， g '( x ) 的变化情况如下表：x-1(- 1,0)(0,1)1g '( x )-0 +g ( x )3 ( 1 1) 1 (e - ) 2 2所以 g ( x ) 在 (- 1,0) 单调递减；在 (0,1) 单调递增，[12 分]所以 g (x)min = g (0) = 1 ，从而△ AOB 的面积的最小值为 1．[13 分]极小值极大值９．（2016-2017 西城二模理 18）19．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由 f ( x) = ( x 2 + ax - a ) ⋅ e 1- x ，得 f '( x ) = (2 x + a) ⋅ e 1- x - ( x 2 + ax - a) ⋅ e 1- x= - [ x 2 + (a - 2) x - 2a ] ⋅ e 1- x= - ( x + a )( x - 2) ⋅ e 1- x ．[2 分]令 f '( x ) = 0 ，得 x = 2 ，或 x = -a ．所以当 a = -2 时，函数 f '( x ) 有且只有一个零点： x = 2 ；当 a ≠ -2 时，函数 f '( x ) 有两个相异的零点： x = 2 ， x = -a ．[4 分]（Ⅱ）①当 a = -2 时， f '( x ) ≤ 0 恒成立，此时函数 f ( x ) 在 (-∞ , +∞ ) 上单调递减，所以，函数 f ( x ) 无极值．[5 分]②当 a > -2 时， f '( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表：x(-∞, -a)-a(- a ,2)2 (2, +∞)所以，时， f '( x ) - 0 + 0 -f ( x ) ↘ ↗ ↘ a ≥ 0f ( x ) 的极小值为 f (-a) = -a ⋅ e 1+a ≤ 0 ．[7 分]又 x > 2 时， x 2 + ax - a > 22 + 2a - a = a + 4 > 0 ，所以，当 x > 2 时， f ( x ) = ( x 2 + ax - a) ⋅ e 1-x > 0 恒成立．[8 分]所以， f (-a) = -a ⋅ e 1+a 为 f ( x ) 的最小值．[9 分]故 a ≥ 0 是函数 f ( x ) 存在最小值的充分条件．[10 分]极小值极大值即22-m≤0在(0,+∞)上恒成立．③当a=-5时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-∞,2)2(2,5)5(5,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘↗↘因为当x>5时，f(x)=(x2-5x+5)⋅e1-x>0，又f(2)=-e-1<0，所以，当a=-5时，函数f(x)也存在最小值．[12分]所以，a≥0不是函数f(x)存在最小值的必要条件．综上，a≥0是函数f(x)存在最小值的充分而不必要条件．[13分]10.（2016-2017东城一模理18）（18）（共13分）解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,+∞)．当m=-1时，f(x)=2ln x+21所以f'(x)=-+1．x x21x+x，因为f(1)=2且f'(1)=2，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y=0．…………4分（Ⅱ）若函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减，则f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立．1-x x即2因为g(x)=2（Ⅲ）因为0<a<b，不等式ln b-ln a所以，当时0<a<b，不等式ln b-ln a1-≤m在(0,+∞)上恒成立．x x2设g(x)=21-x x2(x>0)，则m≥[g(x)]max．11-=-(-1)2+1(x>0)，x x2x所以当x=1时，g(x)有最大值1．所以m的取值范围为[1,+∞)．……………………9分1b-a<等价于ln b-ln a<．b-a ab ab即ln ba<b a b1-，令=t(t>1)，原不等式转化为2ln t<t-．a b a t1令h(t)=2ln t+-t，t由（Ⅱ）知f(x)=2ln x+1x-x在(0,+∞)上单调递减，1所以h(t)=2ln t+-t在(1,+∞)上单调递减．t所以，当t>1时，h(t)<h(1)=0．1即当t>1时，2ln t+-t<0成立．t1<成立．……………………13分b-a ab11.（2016-2017东城二模理18）（18）（共13分）解：（Ⅰ）当a=0时，因为f(x)=x2?e-x，所以f'(x)=(-x2+2x)?e-x，f'(-1)=-3e．” 由 (4 + a )壮2) 由 - a ? 1，得 a ? 1 ；由 (4 + a )壮又因为 f (- 1) = e ，所以曲线 y = f ( x ) 在点 (- 1, f (- 1)) 处的切线方程为y - e = - 3e( x +1) ，即 3ex + y +2e = 0 ．……………………4 分（Ⅱ）“对任意的 t Î [0,2] ，存在 s Î [0,2] 使得 f (s) ³ g (t ) 成立”等价于“在区间 [0,2] 上，f ( x ) 的最大值大于或等于g ( x ) 的最大值．因为 g ( x ) = x 2- x - 1 = ( x - 1 5)2 - ，2 4所以 g ( x ) 在 [0,2] 上的最大值为 g (2) = 1 ．f '(x) = (2 x + a )?e - x ( x 2 + a x - a)?e - x= - e - x [ x 2 +(a - 2) x - 2a]= - e - x ( x - 2)( x + a)令 f '(x) = 0 ，得 x = 2 或 x = - a ．①当 - a ? 0 ，即 a ³ 0 时，f '(x) ³ 0 在 [0,2] 上恒成立， f ( x ) 在 [0,2] 上为单调递增函数，f ( x ) 的最大值为 f (2) = (4 + a )? 1 e 2,1e 21 ，得 a ? e2 4 ．②当 0 < - a < 2 ，即 - 2 < a < 0 时，当 x ∈ (0, -a) 时， f '(x) < 0 ， f ( x ) 为单调递减函数，当 x ∈ (-a ，时， f '(x) > 0 ， f ( x ) 为单调递增函数．所以 f ( x ) 的最大值为 f (0) = - a 或 f (2) = (4 + a )?1e2,1e 21，得 a ? e 2 4 ．又因为 - 2 < a < 0 ，所以 - 2 < a ? 1．③当 - a ? 2 ，即 a ? 2 时，f '(x) £ 0 在 [0,2] 上恒成立， f ( x ) 在 [0,2] 上为单调递减函数，）f ( x ) 的最大值为 f (0) = - a ，由 - a ? 1，得 a ? 1 ，又因为 a ? 2 ，所以 a ? 2 ．综上所述，实数 a 的值范围是 a ? 1 或 a ? e 2 4 ．……………………13 分12.（2016-2017 朝阳一模理 18）（18 （本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由已知得 x > 0 ， f '( x ) = 1 1 - ax - a = x x.（ⅰ）当 a ≤ 0 时， f '( x ) > 0 恒成立，则函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 为增函数；（ⅱ）当 a > 0 时，由 f '( x ) > 0 ，得 0 < x < 1 a；由 f '( x ) < 0 ，得 x > 1 a；1 1所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 ( , +∞) . ……4 分a a1 1 1（Ⅱ）因为 g ( x ) = xf ( x ) + x 2 + 2 x = x(ln x - x - 1) + x 2 + 2 x = x ln x - x 2 + x ，2 2 2则 g '( x ) = ln x + 1 - x + 1 = ln x - x + 2 = f ( x ) + 3 .由（Ⅰ）可知，函数 g '( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减.又因为 g '( 1e 2 1 1) = -2 - + 2 =- < 0 ， g '(1) = 1 > 0 ，e 2 e 2所以 g '( x ) 在 (0,1) 上有且只有一个零点 x .1又在 (0, x ) 上 g '( x ) < 0 ， g ( x ) 在 (0, x ) 上单调递减；1 1在 ( x ,1) 上 g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在 ( x ,1) 上单调递增.1 1所以 x 为极值点，此时 m = 0 .1又 g '(3) = ln3 - 1 > 0 ， g '(4) = 2ln 2 - 2 < 0 ，所以 g '( x ) 在 (3, 4) 上有且只有一个零点 x .2又在 (3, x ) 上 g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在 (3, x ) 上单调递增；2 2在(x,4)上g'(x)<0，g(x)在(x,4)上单调递减.22所以x为极值点，此时m=3.2综上所述，m=0或m=3.……………………………………………………13分13.（2016-2017朝阳二模理19）、（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）F(x)=e x-2x-b，则F'(x)=e x-2.令F'(x)=e x-2>0,得x>ln2，所以F(x)在(ln2,+∞)上单调递增.令F'(x)=e x-2<0,得x<ln2，所以F(x)在(-∞,ln2)上单调递减.…………4分（Ⅱ）因为f'(x)=e x+2x-1，所以f'(0)=0，所以l的方程为y=1.依题意，-a2=1，c=1.于是l与抛物线g(x)=x2-2x+b切于点(1,1)，由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.…………8分（Ⅲ）设h(x)=f(x)-g(x)=e x-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h'(x)=e x-(a+1).（1）当a+1≤0时，因为h'(x)>0，所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.①若a+1=0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤-1；②若a+1<0，取x<0且x<001-b a+1,。

北京市人大附中2015届高考数学适应性试卷(文科)(5月份)

北京市人大附中2015届高考数学适应性试卷（文科）（5月份）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|﹣1≤x≤2} 2．（5分）函数f（x）=sin（x+）图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（0，1）C．（0，0）D．（﹣，0）3．（5分）若a＞0且a≠1，函数y=a x﹣3+1的反函数图象一定过点A，则A的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（2，3）D．（3，2）4．（5分）已知A，B，C三点不重合，则“”是“A，B，C三点共线”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0B．1C．D．97．（5分）若曲线y2=2px（p＞0）上有且只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f（x），一种是平均价格曲线y=g（x）（如f（2）=3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g（2）=4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图象中，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）函数f（x）=的定义域是．10．（5分）的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是．11．（5分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是．12．（5分）已知圆C：x2+y2+6x﹣8y=0内有一点A（﹣5，0），直线l过点A交圆C于P，Q两点，若A为PQ中点，则|PQ|=；若|PQ|=10，则l的方程为．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为S n（n∈N*）．若a1＞1，a4＞3，S3≤9，则通项公式a n=．14．（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→P′（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．若点M坐标为（4，4），则对应点M′的坐标为；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f （）的值；（Ⅱ）设α∈（0，π），f（）=，求cos2α的值．16．（13分）在一次百米比赛中，甲，乙等6名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道，跑道编号为1至6，每人一条跑道（Ⅰ）求甲在1或2跑道且乙不在5或6跑道的概率；（Ⅱ）求甲乙之间恰好间隔两人的概率．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=CA=，AD=CD=AA1=1，平面AA1C1C⊥平面ABCD，E为线段BC的中点，（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；（Ⅱ）求证：A1E∥平面DCC1D1（Ⅲ）若AA1⊥AC，求A1E与面ACC1A1所成角大小．18．（14分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．（Ⅲ）设c∈，在（2）的条件下，设g（n）=T n﹣cn，求g（n）的最小值．19．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1和F2，离心率e=，点F2到右准线l的距离为．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设M、N是右准线l上两动点，满足=0．当|MN|取最小值时，求证：M，N两点关于x轴对称．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=﹣恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；（Ⅲ）对于（2）中的函数f（x），若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．北京市人大附中2015届高考数学适应性试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|﹣1≤x≤2}考点：并集及其运算．分析：根据并集的求法，做出数轴，求解即可．解答：解：根据题意，作图可得，则A∪B={x|x≥﹣1}，故选A．点评：本题考查集合的运算，要结合数轴发现集合间的关系，进而求解．2．（5分）函数f（x）=sin（x+）图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（0，1）C．（0，0）D．（﹣，0）考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的图象的对称中心求得函数f（x）=sin（x+）图象的一个对称中心．解答：解：对于函数f（x）=sin（x+），令x+=kπ，k∈z，求得x=kπ﹣，k∈z，可得它的图象的对称中心为（kπ﹣，0），故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称中心，属于基础题．3．（5分）若a＞0且a≠1，函数y=a x﹣3+1的反函数图象一定过点A，则A的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（2，3）D．（3，2）考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由指数函数的性质可得原函数图象过的定点，再由反函数的性质可得．解答：解：当x=3时，y=a3﹣3+1=2，∴函数y=a x﹣3+1的图象一定过点（2，3），∴函数y=a x﹣3+1的反函数图象一定过点A（3，2）故选：C点评：本题考查指数函数的性质和反函数，属基础题．4．（5分）已知A，B，C三点不重合，则“”是“A，B，C三点共线”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：根据三点共线的向量关系，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：A，B，C三点不重合，若A，B，C三点共线”，则“=λ，λ≠0，λ为常数”故“”能推出“A，B，C三点共线”，但是“A，B，C三点共线”，λ为不等于0的常数，故A，B，C三点不重合，则“”是“A，B，C三点共线”成立的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三点关共线的等价条件是解决本题的关键．5．（5分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a⊂β或a∥β，再由b⊥β得到结论．解答：解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；D、∵a⊥α，α⊥β，∴a⊂β或a∥β又∵b⊥β∴a⊥b故选D点评：本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0B．1C．D．9考点：简单线性规划的应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．7．（5分）若曲线y2=2px（p＞0）上有且只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用曲线y2=2px（p＞0）上有且只有一个点到其焦点的距离为1，可得=1，即可得出结论．解答：解：因为曲线y2=2px（p＞0）上有且只有一个点到其焦点的距离为1，所以=1，所以p=2．故选：B．点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f（x），一种是平均价格曲线y=g（x）（如f（2）=3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g（2）=4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图象中，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确的是（）A．B．C．D．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；压轴题．分析：由股票买卖过程以及股票买卖的规律性，依次分析可得答案．解答：解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D均错误．答案：C．点评：本题考查函数及其图象的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）函数f（x）=的定义域是（﹣∞，3）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则3﹣x＞0，即x＜3，故函数的定义域为（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．10．（5分）的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是8．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数为0得到常数项，列出方程求出n值．解答：解：展开式的通项为T r+1==（﹣1）r C n r x n﹣2r展开式中的第5项为常数项，故n﹣8=0，解得n=8，故答案为：8．点评：本题考查二项展开式的通项公式，是解决二项展开式的特定项问题的工具．11．（5分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据∠A和∠C求得∠B，进而根据正弦定理求得求得BC．解答：解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60°由正弦定理可知CsinB=BCsinA∴BC==故答案为点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．12．（5分）已知圆C：x2+y2+6x﹣8y=0内有一点A（﹣5，0），直线l过点A交圆C于P，Q两点，若A为PQ中点，则|PQ|=2；若|PQ|=10，则l的方程为y=2x+10．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，若A为PQ中点，则CA⊥PQ，利用弦长公式求得|PQ|；若PQ=10为直径，则直线PQ经过圆心C，由两点式求得PQ的方程．解答：解：圆C：x2+y2+6x﹣8y=0 即圆C：（x+3）2+（y﹣4）2 =25，表示以C（﹣3，4）为圆心、半径等于5的圆．若A为PQ中点，则CA⊥PQ，|PQ|=2=2=2．若PQ=10为直径，故直线PQ经过圆心C（﹣3，4），由两点式求得PQ的方程为=，即y=2x+10，故答案为：；y=2x+10．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相交的性质，用两点式求直线的方程，弦长公式，属于基础题．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为S n（n∈N*）．若a1＞1，a4＞3，S3≤9，则通项公式a n=n+1．考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由已知可得a1+3d＞3，3a2≤9⇒d＞，a1+d≤3⇒a1≤3﹣d＜3﹣=，结合等差数首项a1及公差d都是整数可得a1=2，则＜d≤1⇒d=1，从而可得a n=2+1×（n﹣1），化简即得结果．解答：解：因为a1＞1，a4＞3，S3≤9，所以a1+3d＞3，3a2≤9，∴d＞，a1+d≤3，∴a1≤3﹣d＜3﹣==2．∵等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数，∴a1=2，则由以上可得＜d≤1，可得d=1．∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．故答案为n+1．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质、通项公式的应用，求出首项a1和公差d的值，是解题的关键，要注意方法的把握，属于基础题．14．（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→P′（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．若点M坐标为（4，4），则对应点M′的坐标为（2，2）；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．考点：映射．专题：新定义．分析：本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识，解答本题的关键是弄懂定义的本质，由定义的新法则f：P（m，n）→P′（，），（m≥0，n≥0）．点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，而不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分．然后根据弧长公式，易得答案解答：解：解：由题意知AB的方程为：x+y=8，设M（x，y），则M′（x2，y2），从而有x2+y2=8，易知A（2，6）→A′（，），B（6，2）→B′（，），不难得出∠A′OX=，∠B′OX=，则∠A′OB′=，点M的对应点M′所经过的路线长度为π．故答案为：（2，2），点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．弄懂定义的本质是解题关键；针对本题，通过阅读题意，不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f （）的值；（Ⅱ）设α∈（0，π），f（）=，求cos2α的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简解析式，然后代入自变量求值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的解析式得到f（）=，然后两边平方求出sin2α，根据平方关系以及角度范围求cos2α．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（）=sin+cos=1（Ⅱ）∵f（）=sinα+cosα=，∴1+sin2α=，sin2α=，∴cos2α=，∵α∈（0，π）∴2α∈（π，π）∴cos2α＜0．故cos2α=．点评：本题考查了三角函数式的化简、求值．注意三角函数名称和范围．16．（13分）在一次百米比赛中，甲，乙等6名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道，跑道编号为1至6，每人一条跑道（Ⅰ）求甲在1或2跑道且乙不在5或6跑道的概率；（Ⅱ）求甲乙之间恰好间隔两人的概率．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计；排列组合．分析：先求出没有限制条件的种数为720种，（Ⅰ）先安排甲，再安排乙，剩下的全排，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）先选2人放在甲乙之间，并捆绑在一起，看作一个复合元素，再和剩下的2人全排，根据概率公式计算即可，解答：解：没有限制条件的种数为A66=720种，（Ⅰ）先安排甲，再安排乙，剩下的全排，故有C21C31A44=144种，根据概率公式，故甲在1或2跑道且乙不在5或6跑道的概率P==，（Ⅱ）先选2人放在甲乙之间，并捆绑在一起，看作一个复合元素，再和剩下的2人全排，故有A42A22A33=144种，根据概率公式，故甲乙之间恰好间隔两人的概率P==．点评：本题考查古典概型的概率问题，关键是根据排列组合求出相应的种数，属于中档题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=CA=，AD=CD=AA1=1，平面AA1C1C⊥平面ABCD，E为线段BC的中点，（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；（Ⅱ）求证：A1E∥平面DCC1D1（Ⅲ）若AA1⊥AC，求A1E与面ACC1A1所成角大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用垂直平分线的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性质定理即可得到BD⊥平面AA1C1C，利用线面垂直的性质定理即可证明结论；（Ⅱ）利用△OCD的边角关系即可得到∠OCD=30°，从而得到∠BCD=90°，DC⊥BC，利用等边三角形的性质即可得到AE⊥BC，得到AE∥DC，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；（Ⅲ）过E作AC的垂线，设垂足为N，利用面ABCD⊥面AA1C1C，可得EN⊥面AA1C1C，连A1N，则A1N为A1E在面AA1C1C内的射影，∠EA1N为直线A1E与面AC1所成角，即可求A1E与面ACC1A1所成角大小．解答：（Ⅰ）证明：在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB=BC=CA，且AD=DC，取AC中点O，则BO⊥AC，DO⊥AC，∴B，O，D三点在一条直线上．又∵面AA1C1C⊥面ABCD，面AA1C1C∩面ABCD=AC，BD⊂面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥面AA1C1C，AA1⊂面AA1C1C，∴BD⊥AA1；…4分（Ⅱ）证明：连AE，在Rt△DCO中∠DCO=30°在正△BCA中，∠BCO=60°，∴DC⊥BC，又在正△BCA中，AE⊥BC，∴AE∥DC，又AE⊄面DCC1D1，DC⊂面DCC1D1，∴AE∥面DCC1D1，在四棱锥中，AA1∥DD1，AA1⊄面DCC1D1，DD1⊂面DCC1D1，∴AA1∥面DCC1D1，又AA1∩AE=A，∴面A1AE∥面DCC1D1，又A1E⊂面AA1E，故A1E∥面DCC1D1．（Ⅲ）解：过E作AC的垂线，设垂足为N，∵面ABCD⊥面AA1C1C，∴EN⊥面AA1C1C，连A1N，则A1N为A1E在面AA1C1C内的射影，∴∠EA1N为直线A1E与面AC1所成角，由已知得：，∴．点评：熟练掌握面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．18．（14分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．（Ⅲ）设c∈，在（2）的条件下，设g（n）=T n﹣cn，求g（n）的最小值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的公差为d，运用等差数列的通项和等比数列的性质，解方程可得d=2，再由等差数列的求和公式，即可得到所求；（Ⅲ）运用二次函数的对称轴和c∈，对c讨论，结合数列的单调性，即可得到所求最小值．解答：解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）又a2=2S1+1=3，∴a2=3a1故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．∴；（Ⅱ）设{b n}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，又a1=1，a2=3，a3=9，由题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2解得d1=2，d2=﹣10，∵等差数列{b n}的各项为正，∴d＞0，∴d=2，b1=3，∴；（Ⅲ）由已知得：g（n）=n2+2n﹣cn，对称轴，c∈，∴，①若c∈，此时g（n）最小值为g（2）=8﹣2c．点评：本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列的通项和求和的关系，以及数列的单调性的运用：求最值，属于中档题．19．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1和F2，离心率e=，点F2到右准线l的距离为．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设M、N是右准线l上两动点，满足=0．当|MN|取最小值时，求证：M，N两点关于x轴对称．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和准线方程，结合a，b，c的关系，可得a，b；（Ⅱ）求出椭圆的左右焦点坐标，求出右准线方程，设出M，N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得y1y2=﹣6，由基本不等式求出|MN|的最小值，即可得证．解答：解：（1）因为，F2到l的距离，所以由题设得，解得，．由．（Ⅱ）证明：由，a=2得．则l的方程为．故可设．=（2+，y1），=（2﹣，y2），由=0知，3×+y1y2=0，得y1y2=﹣6，所以y1y2≠0，，||=|y1﹣y2|=|y1+|=|y1|+，当且仅当时，上式取等号，此时y 1=﹣y2．即M，N两点关于x轴对称．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和准线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式的运用，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=﹣恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；（Ⅲ）对于（2）中的函数f（x），若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求得f（x）的导数，f'（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（x﹣1）（3x+2a+3），根据取得极大值点求得a的取值范围．（Ⅱ）将方程f（x）=﹣看作两个函数，利用导数得到函数f（x）的大体图象，而函数y=﹣为一条平行于x轴的直线，利用交点个数说明a的值（Ⅲ）依题意有：函数f（x）在区间上的最大值与最小值的差不大于m，转换思路，求最值．解答：解：（Ⅰ）f（0）=0⇒c=0，f'（x）=3x2+2ax+b，f'（1）=0⇒b=﹣2a﹣3，…2分∴f'（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（x﹣1）（3x+2a+3），由f'（x）=0⇒x=1或因为当x=1时取得极大值，所以，所以a的取值范围是：（﹣∞，﹣3）；…4分（Ⅱ）由下表：x x＜1 x=1f'（x）+ 0 ﹣0 ﹣f（x）递增极大值﹣a﹣2 递减极小值递增…7分画出f（x）的简图：依题意得：，解得：a=﹣9，所以函数f（x）的解析式是：f（x）=x3﹣9x2+15x；…9分（Ⅲ）对任意的实数α，β都有﹣2≤2sinα≤2，﹣2≤2sinβ≤2，依题意有：函数f（x）在区间上的最大值与最小值的差不大于m，…10分在区间上有：f（﹣2）=﹣8﹣36﹣30=﹣74f（1）=7，f（2）=8﹣36+30=2f（x）的最大值是f（1）=7，f（x）的最小值是f（﹣2）=﹣8﹣36﹣30=﹣74，…13分所以m≥81即m的最小值是81．…14分．点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，利用函数得极值画函数图象的能力，属于中档题，2015届高考经常涉及．。