变力做功问题 (2)
高中物理变力做功问题
高中物理变力做功问题 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020高中物理变力做功问题摘要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如用动能定理、功率的表达式Pt W =、功能关系、平均值、s F -图像、微元累积法、转换参考系等来求变力做功。
关键词：功 変力 动能定理 功率 功能关系 平均值 图像 微元累积法 转换参考系对于功的定义式W ＝αcos Fs ，其中的F 是恒力，适用于求恒力做功，其中的s 是力F 的作用点发生的位移，α是力F 与位移s 的夹角。
在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
求变力做功的方法很多，比如用动能定理、功率的表达式Pt W =、功能关系、平均值、s F -图像、微元累积法、转换参考系等来求变力做功。
一、运用功的公式求变力做功求某个过程中的変力做功，可以通过等效法把求该変力做功转换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式W ＝αcos Fs 求恒力的功，从而可知该変力的功。
等效转换的关键是分析清楚该変力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
例1：人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg 的物体，如图1所示，开始绳与水平方向夹角为60，当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动m s2=而到达B 点，此时绳与水平方向成 30角，求人对绳的拉力做了多少功？【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s 方向一直水平，所以无法利用W ＝αcos Fs 直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用W ＝αcos Fs 求了！设滑轮距地面的高度为h ，则：()s h =-60cot 30cot人由A 走到B 的过程中，重物上升的高度h ∆等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：60sin 30sin hh h -=∆，人对绳子做的功为：()()J J mgs h mg W 73213100013≈-=-=∆⋅=二、运用动能定理求变力做功动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少图3答案：。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
变力做功问题-高一物理举一反三系列(人教版2019必修第二册)(解析版)
变力做功问题【人教版】【题型1 微元法】 ....................................................................................................................................................... 【题型2 功能关系法】 ............................................................................................................................................... 【题型3 图像法】 ....................................................................................................................................................... 【题型4 等效替代法】 ............................................................................................................................................... 【题型5 P -t 法】 ......................................................................................................................................................... 【题型6 联系实际】 ................................................................................................................................................... 【题型7 变化的摩擦力做功问题】 ........................................................................................................................... 【题型8 涉及弹簧的变力做功问题】 .......................................................................................................................【题型1 微元法】【例1】在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R2和R 的两个半圆构成。
专题二变力功求解2图像法
专题二：变力做功的求解2—图像法目标：1.理解F—x 图像中图线与x 轴所围的“面积”表示力F 所做的功。
2.会根据函数关系式画出力F 与位移x 的图像，并能利用图像解决变力做功问题。
知识梳理：图像法求变力做功：画出变力F 与位移x 的图像，如图所示，则F —x 图线与x 轴所围的“面积”表示该过程中变力F 所做的功。
其本质就是位移取微元，把变力近似看作恒力，再累加求和。
解题方法与策略：求变力做功的思路如下： 1.找出所求力与位移的函数关系式2.画出变力F 与位移x 的图像3.求出F —x 图线与x 轴所围的“面积”，即为该过程中变力F 所做的功。
若要求不规则曲线所围的面积，可以考虑用数方格法估算面积。
典型例题例1：一物体在运动中受水平拉力F 的作用。
已知F 随运动距离x 的变化情况如图所示，则在这个运动过程中F 做的功为（ ） A .4J B.18J C.20J D.22J例2：某实践小组到一家汽车修理厂进行实践活动，利用传感器、计算机等装置进行多次实验测得，一辆质量为1.0×104kg 的汽车从静止开始沿直线运动，其阻力恒为车重的0.05倍，其牵引力与车前进距离的关系为F=103x +F f0(0＜x ＜100m)，F f0为阻力。
当该汽车由静止开始沿直线运动80m 时，g 取10m/s 2，合外力做功为（ ）A.3.2×106JB.1.04×107JC.6.4×106JD.5.36×107J练习：1.质量为2kg 的物体在水平面上，受水平拉力F 作用，沿水平方向做匀变速运动，拉力作用2s 后被撤去。
物体运动的速度图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 拉力F 做功200J B. 拉力F 做功350J C. 物体克服摩擦力做功100J D. 物体克服摩擦力做功175JFxO 024/F N246/x m1-85101/v ms -22.轻质弹簧右端被固定在墙上，左端与一质量m=0.5kg 的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数0.2μ=。
变力做功问题的求解方法
变力做功问题的求解方法1. 变力的概念嘿，大家好，今天咱们聊聊“变力做功”这个话题，听起来是不是有点高大上？其实它跟我们日常生活的联系可大了去了。
先来简单定义一下，变力就是力的大小或方向随时间而变化的力。
比如说，当你用力推一辆车子，刚开始可能得使出吃奶的劲，但当车子动起来了，你的力量就可以稍微放松点。
想象一下，如果你在推车的过程中，车子因为摩擦或者地势的变化而受到不同的力影响，这时候的力就是变力啦。
1.1 变力的例子再来，咱们举几个生活中的例子吧。
比如说，弹簧。
你把一根弹簧拉长，弹簧的拉力是不断变化的，越拉越长，力越大。
还有啊，骑自行车的时候，坡度越陡，你得使出的劲儿就越大，这也是变力的一个表现。
看到这里，是不是觉得变力其实离我们并不远呢？1.2 变力的特性那么，变力的特性是什么呢？其实，变力通常是个曲线的变化，而不是简单的直线。
所以，处理起来就需要我们更聪明一些，不能用简单的公式了事。
咱们需要对这些变化进行分析，找出一个最优的方法来计算做功。
说白了，变力的路子可不是那么好走的，但只要用心，总能找到办法！2. 变力做功的计算方法好了，咱们进入重点——变力做功的计算方法。
首先，要搞清楚的是，做功这个概念，简单来说，就是力作用在物体上，并使其移动的过程。
要计算变力做功，我们得用到积分的概念。
听起来有点复杂，但其实就是把力在不同位置的大小结合起来，最终得到一个总的“功”。
2.1 积分的运用这里咱们可以这样想象：把一条路分成很多小段，每一段上的力都是不同的，计算每一小段的功，最后加起来就好了。
就像你去超市买东西，最后结账的时候，把每一件的价格加起来就行了。
哎，这样说是不是更简单明了？2.2 常用公式当然，在这个过程中，还有一些常用的公式和技巧。
比如，假设力是一个关于位置的函数，可以写成 (F(x))。
那么，功的计算公式就变成了： (W = int F(x)dx)。
你看，这个公式也不复杂吧？只要你明白变力的变化规律，代入进去就行了！3. 实际应用与案例最后，咱们来聊聊这个知识的实际应用。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
专题变力做功问题
图象法
适用各种变力做功
假如我们已知F-S图象或根据题意能够作出F-S
图象（用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表
示物体在力的方向上的位移S ），我们就可以利用
“面积法”来求此变力做的功，因此F-S图象也叫示
功图
例４、静置于光滑水平面上坐标原点处的小物
块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动
（如图2甲所示），拉力F随物块所在位置坐
F 2R
平均力法
适用力的方向不变
如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律 变化时，即力满足Ｆ＝ｋｓ＋ｂ的形式时，我们可用 平均力替代这个变力而恒力做功的公式计算。
例３、一辆汽车质量为 1105 kg，从静止开始
运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大 小与车前进的距离是线性关系且， 其中 是车所受阻力，当该车前进100m时， 求牵引力对汽车做了多少功？
由于力的大小不变而方向时刻改变，我们可以将
圆弧无限分割成n小段分别为 S1、S２、Sn，
在每一小段位移中力F可以看作恒力，而弧长也可以 看作直线长，因此，力F在整个过程中做的功等于力F 在各小段位移过程中做功的代数和，故有：
W F S1 F S2 F Sn F (S1 S2 Sn )
标x的变化关系（如图乙所示），图线为半
圆．则小物块运动到x0的过程中拉力F做的功
为（
）
例题分析
F
O
x0
x
F
图2－甲
Fm
O
A0
C 4 Fm x0
图2乙
x0
x
B
1 2
Fm
x0
D
4
x0 2
答案：C
例５、长度为 l ，质量为m的均匀绳，一段置于水
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。
下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。
1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。
2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。
3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。
通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。
4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。
功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。
5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。
根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。
6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。
万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。
通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。
这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。
变力做功的计算 (2)
答 案：（1）1.7J：（2）1.764J.
提示：（1）从A到B的过程中，对物体 应用动能定理得：
WKB W弹 W摩 其中W摩 mgx1
Ｗ弹可利用示功图求出，画出弹簧力随位移变化的图
（如图8所示），F1=kx1 弹簧做功的值等于△OAB 的面积,即
例2、子弹以速度v0射入墙壁，如射深度为h，若子弹 在墙壁中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为
2h，求子弹的速度应增大到多少？
思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6所示，由图象求 出子弹克服阻力所做的功，在由动量定理进行求解。
正确解答：解法一：设射入深度为h 时，子弹克服阻
力做功w1；射入深度为2h时，子弹克服阻力做功W2 。由图 6可知W2=4W1
F Mg mg 10 h 250 5h0 h 10
10
作出 图线如图9所示，利用示功图求解拉力的功（可用图 中梯形面积），得出
W 250 200 10J 2250J 2
发散练习：一辆汽车质量为1 ×105kg，从静止开始运 动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的 距离是线形关系，且 F=103 s ×5×104N，Ff 是车所受阻 力，当该车前进100m时，牵引力做了多少功？
变力做功的计算
公式 W Fscos适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算， 一般有以下几种方法
一、微元法
对于变力做功，不能直接用公式进行计算，但是我们可以 把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用公 式求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过 程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方 法具有普遍的使用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变， 方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题，
变力做功问题(2)(最新整理)
10m/s2）
解：物体由 A 滑到 C 的过程中，根据牛顿第二定律：
N-mgcosθ= m v2
R
所以 N= mgcosθ+ m v2 由此可看出弹力 N 是个变力，而由
R
于摩擦力 f =μN=μ（mgcosθ+ m v2 ），摩擦力也是个变力，而此力
R
所做的功显然不能用公式 W=Fscosα来做，但我们用动能定理却很
位移的乘积计算边里做的功。
例 3、用锤子把钉子钉入木块中，设每次打击时锤子对铁钉做
的功都相等，铁钉进入木块受的阻力跟钉入的深度成正比。如果钉子
第一次被钉入的深度为 4cm，则第二次打击后可再进入几 cm?
解：力 F 与深度 s 成正比，而在本例中位移就是深度，力 F 与
位移 s 满足正比关系，故每次锤子打击铁钉时所做的功可以用公式
s s0
分析：功的公式W Fs 一般适用于恒力做功，对于变力做功我们
可以采用微元法处理，我们把位移 s 平均分成 n 等分。设每一分为 s0。
可见 n 越大 s0 就越小。在每一个单元中，s0 越小，直角梯形就越接
近矩形，所以 s0 越小，则在一个单元中的力 F0 就可以看作常力。在 每一个单元的力做功可写成：W0 F0 s0 。
经历的时间都可以用该公式求解。 例 1：质量为 m 的车在平直公路上以恒定功率 P 从静止起动，已
知：在时间 t 内发生了位移 s，最终以速度 v 行驶，起动过程中的阻
力 f 恒定。求汽车牵引力对汽车所做的功。
分析：由 P Fv ，汽车起动过程，速度越来越快（ v 增大），则在
功率 P 不变时牵引力 F 就会变小，因此牵引力对汽车做的功属于变力 做功的问题，不可用公式W Fs 求解。而公式W Pt 则不管是否为恒 力做功都可以。
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
专题二变力做的几种解题方法
1专题二：变力做功的几种解题方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。
而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。
例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。
T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。
由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为：βαsin sin 21h h S S S -=-=∆ )sin 1sin 1(.βα-=∆==Fh S F W W F T 2、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图2所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：A 、 0JB 、20πJC 、10JD 、20J.分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ=，故B 正确。
变力做功学案
变力做功学案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--变力做功的计算【例题1】如图所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为（ ）A 、 0JB 、20πJC 、10JD 、20J 【练习1】如图所示，半径为R ，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为f ，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。
【例题2】一辆汽车质量为105kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的倍。
其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f 0，f 0是车所受的阻力。
当车前进100m 时，牵引力做的功是多少？【练习2】边长为a 的立方木块浮于水面，平衡时有一半露在水面。
现用力向下压木块使之缓慢地下降，直到立方块上表面与水面齐平，水的密度为ρ。
求：R OF 【方法归纳】 【方法归纳】（1）从开始压木块到木块刚好完全没入水中的过程中，压力F与下降的位移x 的关系式？（2）在这一过程中压力做的功（3）如果水深为H，则从开始压木块到刚好把木块压到池底的过程中，力F对木块做的功。
【例题3】（2015海南高考）如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高。
质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g，质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为多少？【练习3】如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置，用水平拉力F缓慢地将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中，拉力F做的功是多少？F Lmθ【方法归纳】【巩固练习】1、如图所示，一质量为2m kg =的物体从半径为5R m =的圆弧的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）。
变力做功
4、图象法
【分析与解】由公式:F=103x+f 由此函数作出F-x图如下： ，可以作出F-x图，
该图线与横轴围成的面积就是变力F做的功 牵引力F的表达式为：F＝103x＋f 汽车所受阻力为：f=0.05mg=0.5×105N 当x1＝0m时，F1＝0.5×105 N 当x2＝100m时，F2＝1.5×105 N F1 F2 7 W ( x2 x1 ) 1.0 10 J 2
1、转变研究对象法
【分析与解】绳对物体的作用 力T的方向变化，大小等于F， 是变力，但可以等效转化为恒 力F做功，即绳对物体的作用力 T做功等于恒力F做功。
o T h
D
根据物体位移s，求恒力F的作用点C的位移sC， 较简单的做法是设滑轮到滑块的高度为h，根据题 图中的几何关系计算如下
h h sC OA OB sin sin
二、变力的方向不变，大小变化
例3、一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在 O点，小球在水平力F作用下，从P点缓慢移动到Q 点，此时绳与竖直方向的偏角为θ，如图所示，则 力F所做的功为（ ） A．mgLcosθ B．mgL(1－cosθ) θ C．FLsinθ D．FLθ
3、动能定理法
【分析与解】因小球运动过程中处于动 态平衡状态，故过程中F的方向不变，其 值在增大，是变力, F对小球做的功不等 于FLsinθ 。所以F对小球做的功可根据 动能定理计算。
变
力
做
功
黄口中学
王宇凌
大家已经知道用W=Flcosθ计算功，但 它的作用力F 须为恒力，而在解题过程中， 我们经常会遇到计算变力做功的问题，这 时就不能直接用这个公式计算。那么我们 怎样计算变力做功呢？ 下面我们分三种情况来讨论这个问题
变力做功的公式(二)
变力做功的公式(二)变力做功的公式在物理学中，力是指物体之间的相互作用引起的物体运动或形变的原因，而功则是描述力对物体所做的工作或能量转移的量。
当力的大小和方向随时间变化时，我们需要使用变力做功的公式来计算功。
1. 变力做功的公式变力做功的公式可以表示为：[Variable force formula](其中，W表示做功（工作量），F(x)表示力随位置x的变化而变化。
2. 举例解释说明•例子1：弹簧伸长假设有一个弹簧，弹簧的力与伸长的位置呈线性相关，即F(x) = kx，其中k为弹簧的劲度系数。
我们将弹簧从原始位置拉伸到x处，求解变力做的功。
根据变力做功的公式，我们可以计算功：[Example 1 equation](对上式进行积分，可得：[Example 1 calculation](因此，当我们将弹簧从原始位置拉伸到x处时，所做的功为W =1/2kx^2。
从这个例子可以看出，在弹簧伸长的过程中，所做的功与伸长的距离的平方成正比。
•例子2：重力加速度下的自由落体考虑一个物体在重力加速度的作用下自由落体的情况。
重力始终垂直于物体的运动方向，并且大小恒定为mg，其中m为物体的质量，g 为重力加速度。
假设物体下落的距离为x，我们来计算物体下落过程中所做的功。
根据变力做功的公式，我们可以计算功：[Example 2 equation](对上式进行积分，可得：[Example 2 calculation](因此，物体下落过程中所做的功为W = mgx。
这个例子告诉我们，在重力加速度的作用下，物体下落的过程中所做的功与下落的距离成正比。
总结通过以上两个例子，我们可以看出变力做功的公式可以帮助我们计算力与位置之间的关系，并求解相应的功。
需要注意的是，在实际应用中，变力做功的计算通常需要使用积分等高级数学工具，因此对于复杂的力和位置关系，需要运用数学知识来求解。
但无论如何，变力做功的公式为我们理解力与位置之间的关系提供了重要的工具。
变力做功的几种解(用)
三. 平均力法
例题3：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块 对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成 正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入 木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习：一辆汽车质量为105kg,从静止开始运动,其 阻力为车重的0.05倍.其牵引力的大小与车前进的 距离变化关系为F=103x+f0,f0是车所受的阻力.当 车前进100m时,牵引力做的功是多少？
▪ 最大值和最小值。
▪ （2）此过程中力F所做的功。
练习：两个底面积都是S的圆筒,放在同 一水平面上,桶内装水,水面高度分别为 h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把 连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度 相等,则这过程中重力所做的功等于 .
h1
h2
八. 机械能守恒法
▪ 例8. 如图所示，质量m为2kg的物体，从 光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速 度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧 的弹力对物体所做的功。
N
2
∴W＝ S＝1×105×100J＝1×107J。
应用此法,要求变力与位移间须呈一次函数关系.
四. 图象法
▪ 例4. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对 铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正
比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木 块内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习:如图所示,图线表示作用在做直线运动 的物体上的合外力与物体运动位移的对应 关系,物体开始时处于静止状态,则当物体在 外力的作用下,运动30m的过程中,合外力对 物体做的功为 200 J.
九. 功能原理法
▪ 例5. 如图所示，质量为m的物体从A点沿 半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始 下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A 运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多 少？
2 习题课 求解变力做功的四种方法
习题课 求解变力做功的四种方法1．做功的两个必要因素 (1)作用在物体上的力． (2)物体在力方向上的位移．2．功的表达式：W ＝Fl cos α，α为力F 与位移l 的夹角． (1)α<90°时，W >0. (2)α>90°时，W <0. (3)α＝90°时，W ＝0.平均值法用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )A ．(3－1)dB ．(2－1)dC ．(5－1)d 2D ．22d [解析] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理．根据题意可得第一次做功：W ＝F 1d ＝kd2d .第二次做功：W ＝F 2d ′＝k ⎝⎛⎭⎫d ＋d ′2d ′. 联立解得d ′＝(2－1)d . [答案] B【通关练习】1.如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一个质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k ，处于自然状态．现用一水平力F 缓慢拉动木块，在弹簧的弹性限度内，使木块向右移动s ，求这一过程中拉力对木块做的功．解析：缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力的大小F ＝ks ′，是变力．法一：图象法力F 随位移s ′变化的关系如图所示，则力F 所做的功在数值上等于图线OA 与所对应的横轴所包围的面积，即等于△OAs 的面积．则：W ＝12s ·ks ＝12ks 2.法二：平均力法拉力F ＝ks ′，力与位移成正比，力F 为线性力，则平均力为F －＝0＋ks 2＝12ks .W ＝F －s ＝12ks 2.答案：12ks 22.如图所示，放在固定斜面上的物体，右端与劲度系数为k 的轻质弹簧相连．手以沿斜面向上的力拉弹簧的右端，作用点移动10 cm 时物体开始滑动，继续缓慢拉弹簧，求当物体位移为0.4 m 时手的拉力所做的功．(k ＝400 N/m)解析：整个过程分两段来分析．第一段，力随位移按线性变化，物体刚被拉动时F ＝kx 1，按平均力求功；第二段拉力恒为F ，可直接用功的定义式求解．根据题意可得W ＝F 2x 1＋Fx 2＝12kx 21＋kx 1x 2＝⎝⎛⎭⎫12×400×0.01＋400×0.1×0.4 J ＝18 J. 答案：18 J当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力对位移的平均值F －＝F 1＋F 22，再由W ＝F －l cos α计算功．但此法只适用于F 与位移成线性关系的情况，不能用于F 与时间t 成线性关系的情况．图象法一物体所受的力F 随位移l 发生如图所示的变化，求这一过程中，力F 对物体做的功为多少？[解析] 力F 对物体做的功等于l 轴上方的正功(梯形“面积”)与l 轴下方的负功(三角形“面积”)的代数和．S 梯形＝12×(4＋3)×2 J ＝7 JS 三角形＝－12×(5－4)×2 J ＝－1 J所以力F 对物体做的功为W ＝7 J －1 J ＝6 J. [答案] 6 J【通关练习】1．静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 的作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时拉力F 做的功为( )A ．0B ．12F m x 0C ．π4F m x 0D ．π4x 20解析：选C ．由于水平面光滑，所以拉力F 即为合外力，F 随位移x 的变化图象包围的面积即为F 做的功，即W ＝π2F 2m ＝π8x 20＝π4F m x 0.2．用质量为5 kg的质地均匀的铁索从10 m深的井中吊起一质量为20 kg的物体，在这个过程中至少要做多少功？(g取10 m/s2)解析：“至少要做多少功”的隐含条件是作用在铁索上的拉力等于物体和铁索的重力，使重物上升，如果不计铁索的重力，那么问题就容易解决．但是现在还要考虑铁索的重力，作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，在拉吊过程中，铁索长度逐渐缩短，因此，拉力也在逐渐减小，即拉力是一个随距离变化的变力，以物体在井底开始算起，拉力与物体上升距离s成线性变化，这是一个变力做功的问题，可以利用F－s图象求解．拉力的F－s图象如图所示，拉力做的功可用图中的梯形面积来表示，W＝(200＋250)×5 J＝2 250 J答案：2 250 J变力做的功W可用F－l图线与l轴所围成的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．微元法如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中：(1)拉力F做的功；(2)重力mg 做的功；(3)圆弧面对物体的支持力F N 做的功．[解析] (1)将圆弧AB 分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每小段上做的功为W 1、W 2、…、W n ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体所在位置的切线方向成37°角，所以：W 1＝Fl 1cos 37°，W 2＝Fl 2cos 37°，…，W n ＝Fl n cos 37°， 所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n ) ＝F cos 37°·π3R ＝20π J ＝62.8 J.(2)重力mg 做的功W G ＝－mgR (1－cos 60°)＝－50 J.(3)物体受的支持力F N 始终与物体的运动方向垂直，所以W F N ＝0. [答案] (1)62.8 J (2)－50 J (3)0【通关练习】1. (多选)如图所示，质量为m 的滑块，由半径为R 的半球面的上端A 以初速度v 0滑下，B 为最低点，滑动过程中所受到的摩擦力大小恒为F f .则( )A ．从A 到B 过程，重力做功为12mg πRB ．从A 到B 过程，弹力做功为零C ．从A 到B 过程，摩擦力做功为－14πRF fD ．从A 滑到C 后，又滑回到B ，这一过程摩擦力做功为－32πRF f解析：选BD ．从A 到B 过程，重力做功W G ＝mgR ，选项A 错误；弹力始终与位移方向垂直，弹力做功为零，选项B 正确；摩擦力方向始终与速度方向相反，利用分段求和的方法可知摩擦力做功为：W 1＝－F f s AB ＝－F f ⎝⎛⎭⎫14×2πR ＝－12πRF f ，选项C 错误；同理由A →C →B 过程，摩擦力做功W 2＝W AC ＋W CB ＝－F f ⎝⎛⎭⎫12×2πR ＋⎣⎡⎦⎤－F f ×⎝⎛⎭⎫14×2πR ＝－32πRF f ，选项D 正确．2．如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为l ，把悬线拉到水平位置后放手，设在摆球运动过程中空气阻力F f 的大小不变，求摆球从A 运动到竖直位置B 时，重力mg 、绳的拉力F T 、空气阻力F f 各做了多少功？解析：因为拉力F T 在运动过程中，始终与运动方向垂直， 故不做功，即WF T ＝0. 重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB 在竖直方向上的投影OB ，且OB ＝l ，所以W G ＝mgl .空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任意时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题，如果将AB ︵分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段弧上F f 的大小、方向可以认为不变(即为恒力)，如图所示．因此F f 所做的总功等于每一小段弧上F f 所做功的代数和．即W F f ＝－(F f Δl 1＋F f Δl 2＋…)＝－12F f πl .故重力mg 做的功为mgl ，绳子拉力F T 做的功为零，空气阻力F f 做的功为－12F f πl .答案：mgl 0 －12F f πl当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆周的切线方向的一个力F 的作用下绕圆周运动了一圈，又回到出发点．已知圆周的半径为R ，求力F 做的功时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs 1、Δs 2、Δs 3….在每一段上，可近似认为F 和位移Δs 在同一直线上并且同向，故W ＝F (Δs 1＋Δs 2＋Δs 3＋…)＝2πRF .因此功等于力F 与物体实际路径长度的乘积．即W ＝Fs .对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v 反向，故W ＝－F f ·s .转换法(2018·西安八校高一联考)某人利用如图所示的装置，用100 N 的恒力F 作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A 点移到B 点．已知α1＝30°，α2＝37°，h ＝1.5 m ，不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对物体所做的功．[解析] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所以不能直接根据W ＝Fl cos α求绳的拉力对物体做的功．由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力F 做的功和绳对物体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力F 所做的功求出绳对物体的拉力所做的功．由于恒力F 作用在绳的端点，故需先求出绳的端点的位移l ，再求恒力F 的功．由几何关系知，绳的端点的位移为 l ＝h sin 30°－h sin 37°＝13h ＝0.5 m 在物体从A 移到B 的过程中，恒力F 做的功为 W ＝Fl ＝100×0.5 J ＝50 J.故绳的拉力对物体所做的功为50 J. [答案] 50 J【通关练习】1．如图所示，在距水平地面高为0.4 m 处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P 点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P 点的右边，杆上套有一质量m ＝2 kg 的小球A .半径R ＝0.3 m 的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O 在P 点的正下方，在轨道上套有一质量也为m ＝2 kg 的小球B .用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看做质点，且不计滑轮大小的影响，g 取10 m/s 2.现给小球A 一个水平向右的恒力F ＝55 N ．求：(1)把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，重力对小球B做的功；(2)把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功．解析：(1)取竖直向上为正方向，W G＝－mgR＝－2×10×0.3 J＝－6 J.(2)如图，由几何知识可知：PB＝OB2＋OP2＝0.32＋0.42m＝0.5 mW F＝F(PB－PC)＝55×(0.5－0.1) J＝22 J.答案：(1)－6 J(2)22 J2.如图所示，一辆拖车通过定滑轮将一重为G的重物匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ的角度，求此过程中拖车对绳子所做的功．解析：拖车对绳子做的功等于绳子对重物做的功．以重物为研究对象，由于整个过程中重物匀速运动．所以绳子的拉力：F T＝G.重物上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OAl＝ssin θ－stan θ＝s(1－cos θ)sin θ所以绳子对重物做功：W ＝Gl ＝s (1－cos θ)sin θG拖车对绳子做功等于绳子对重物做功，等于s (1－cos θ)sin θG .答案：s (1－cos θ)sin θG1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功．2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功．1．以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h ，空气的阻力大小恒为F ，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )A ．0B ．－FhC ．－2FhD ．－4Fh解析：选C ．从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功．全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做的功的代数和，即W ＝W 上＋W 下＝(－Fh )＋(－Fh )＝－2Fh .故选项C 正确．2. (2018·济南高一检测)如图所示，某力F ＝10 N 作用于半径R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为( )A ．0 JB ．20π JC ．10 JD ．20 J解析：选B ．把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW ＝F Δl ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W ＝F ×2πR ＝10×2π J ＝20π J ，故B 正确．3.在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R /2和R 的两个半圆构成，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．零B ．FRC ．32πFRD ．2πFR解析：选C ．虽然拉力方向时刻改变，为变力，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以将F 看成恒力，小球的路程为πR ＋πR 2，则拉力做的功为32πFR .4.如图所示，竖直光滑杆上套有一滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升，若从A 点升至B 点和从B 点升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1、W 2，滑块经B 、C 两点时的速度大小分别为v 1、v 2，图中AB ＝BC ，则一定有( )A ．W 1>W 2B ．W 1<W 2C ．v 1>v 2D ．v 1<v 2解析：选A ．考虑拉力做功时，只考虑拉力、位移、夹角．拉力的大小不变，但它的竖直分量在变小，位移又相同，故W 1>W 2，A 正确；绳子对滑块的拉力在竖直方向的分力与滑块重力的合力产生的加速度为零时，滑块具有最大速度，而A 、B 、C 三处在最大速度的上方、下方还是中间某一位置，不能确定，所以C 、D 错误．5．用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F ，将质量为m 的小物体沿半径为R 的固定圆弧轨道从A 点推到B 点，圆弧AB ︵对应的圆心角为60°，如图所示，则在此过程中，力F 对物体做的功为________．若将推力改为水平恒力F ，则此过程中力F 对物体做的功为________．解析：若F 的方向始终与运动方向一致，可用微元法求解，W 1＝πR 3F ；若F 保持水平，可用恒力做功的公式W ＝Fl cos 60°求解，得W 2＝32FR . 答案：πR 3F 32FR 6．一个劲度系数为k 的轻弹簧，它的弹力大小与其伸长量的关系如图所示．弹簧一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x 1过程中拉力所做的功．如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x 1增大到x 2的过程中，拉力又做了多少功？解析：在拉弹簧的过程中，拉力的大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知，拉力与拉力的作用点的位移x (等于弹簧的伸长量)成正比，即F ＝kx .F －x 关系图象如图所示：由图可知△AOx 1的面积在数值上等于把弹簧拉伸x 1的过程中拉力所做的功，即W 1＝12F 1×x 1＝12kx 1×x 1＝12kx 21梯形Ax 1x 2B 的面积在数值上等于弹簧伸长量由x 1增大到x 2过程中拉力所做的功，即W 2＝12(F 1＋F 2)×(x 2－x 1)＝12k (x 22－x 21)． 答案：12kx 21 12k (x 22－x 21) 7．如图所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的动摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动到轨道最高点的过程中，克服摩擦力做的功．解析：解答本题的难点在于利用微元法来求解变力所做的功．小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故摩擦力为变力，本题可以用微元法来求．如图所示，将小车运动的半个圆周均匀细分成n (n →∞)等份，在每段长πR n的圆弧上运动时，可认为轨道对小车 的支持力N i 不变，因而小车所受的摩擦力f i 不变．当小车运动到如图所示的A 处圆弧时，有N iA －mg sin θ＝m v 2R则f iA ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R ＋mg sin θ W iA ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R ＋mg sin θ·πR n当小车运动到如图所示的与A 关于x 轴对称的B 处圆弧时，有N iB ＋mg sin θ＝m v 2R则f iB ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R －mg sin θ W iB ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R －mg sin θ·πR n由此可知小车关于水平直径对称的轨道上的两微元段的摩擦力做功之和为W i ＝W iA ＋W iB ＝2μm v 2R ·πR n ＝2πμm v 2n于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的总功为W ＝W 1＋W 2＋…＋W n 2－1＋W n 2＝n 2·2πμm v 2n ＝πμm v 2. 答案：见解析。
求解变力做功问题的五种方法
求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。
如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。
但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。
一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。
例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。
分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。
但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。
因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。
由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。
则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。
例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。
物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。
物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。
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变力做功问题
吴云坤
玉溪市第一中学，云南玉溪，653100
[内容摘要]：变力做功问题是个难点，如果力不是一个恒定的常量，在计算力所做功的时候就不能直接用功的计算式，本文利用功率、功能关系、平均力三个方面求解变力做功的问题，通过实例讲解总结变力功的几种方法。
[内容摘要]：变力做功位移能量图像
初高中物理教材中关于力对物体做功的基本定义式为：Fs
W=。
或者θ
W=（式中θ表示力与位移之间的夹角）。
在没有学习微Fs
cos
积分之前我们只能用于解答恒力做功的问题。
可是在实际问题中变力做功的问题经常遇到，这里给出三种求解变力做功的方法：
方法一：利用功率求解（Pt
W=）
功率公式Pt
W=中没有要求恒力条件，所以只要给出功率与过程经历的时间都可以用该公式求解。
例1：质量为m的车在平直公路上以恒定功率P从静止起动，已知：在时间t内发生了位移s，最终以速度v行驶，起动过程中的阻力f恒定。
求汽车牵引力对汽车所做的功。
分析：由Fv
P=，汽车起动过程，速度越来越快（v增大），则在功率P不变时牵引力F就会变小，因此牵引力对汽车做的功属于变力做功的问题，不可用公式Fs
W=则不管是否为恒
W=求解。
而公式Pt
力做功都可以。
解：由功率公式Pt
W=，可以求解牵引力所做的功。
方法二：利用功能关系
功能关系解答问题的好处是不用关心中间的过程，只要找准初末状态确定的能量值。
中间过程所有力（变力或者恒力）对物体做的功就等于做功过程初末状态的能量差。
在例1中我们对汽车运用动能定理：
解：设起动时为零时刻初态，动能为零；汽车到达最大速度时为末态，动能为2
2
1mv
E
K
=。
由动能定理有：K
E W ∆=总
列等式：2
2
1mv
W W W f
F =
-=总
变为：f
F
W
mv
W +=2
21
得：s f mv
W
F
⋅+=2
2
1
例题2、如图所示，一个质量为1kg 的物体从A 点沿半径为10 m 的粗糙半球内表面由静止开始下滑，到达最低点C 时的速度为9m/s ，求物体从A 到C 的过程中，摩擦力所做的功是多少？（g 取10m/s 2）
解：物体由A 滑到C 的过程中，根据牛顿第二定律： N-mgcos θ= m
R
v
2
所以N = mgcos θ+ m
R
v
2
由此可看出弹力N 是个变力，而由
于摩擦力f =μN =μ（mgcos θ+ m
R
v
2
），摩擦力也是个变力，而此力
所做的功显然不能用公式W=Fscos α来做，但我们用动能定理却很方便的将之求出。
根据动能定理有：mgR+W f =
2
21mv
-0 可得物体从A 滑到C 的过
F
程中，摩擦力所做的功为：W f =2
2
1mv
-mgR =
-
⨯⨯2
912
11×10×
10=-119/2J
当然此题也可以用功能关系做，根据功能关系，物体克服摩擦力所做的功等于物体减少的机械能。
-W f =mgR- 2
2
1mv
所以摩擦力
所做的功为W f =
2
21mv
-mgR=-119/2J
方法三：平均力求解（s F W
=）
对于力F 的大小改变的首要条件是均匀改变，而力F 的改变联系的参量一般有两个，时间t 和位移s 。
讨论一、力F 的大小随位移s 均匀变化之， 我们用图像法讨论。
作出F-s 图像如右图。
分析：功的公式Fs
W
=一般适用于恒力做功，对于变力做功我们
可以采用微元法处理，我们把位移s 平均分成n 等分。
设每一分为
s 0。
可见n 越大s 0就越小。
在每一个单元中，s 0越小，直角梯形就越
接近矩形，所以s 0越小，则在一个单元中的力F 0就可以看作常力。
在每一个单元的力做功可写成：0
00
s F W ⋅=。
依次可写出每一个单元中力做的功：
011s F W ⋅=，022s F W ⋅=，033s F W ⋅=， 0s F W n n ⋅=
整个过程的力F 做的功为所有单元的位移s 0内做功的总和：
n
W W W W W ++++= 321
0030201s F s F s F s F W n ⋅++⋅+⋅+⋅= ()0321s F F F F W n ++++=
由于s 是均匀分割的，所以F 的变化是按等差数列变化。
由等差
数列的前n 项和公式有：
()
()01012
2
ns F F s F F n W n
n ⋅+=
⋅+=
由三角形可知
2
1n
F F +为中位线，相当于变力的平均值F ，ns 0为整
个过程的中位线，所以：0s F W
⋅=
当力的大小随着位移均匀变化时，变力做功可以用力的平均值与位移的乘积计算边里做的功。
例3、用锤子把钉子钉入木块中，设每次打击时锤子对铁钉做的功都相等，铁钉进入木块受的阻力跟钉入的深度成正比。
如果钉子第一次被钉入的深度为4cm ，则第二次打击后可再进入几cm ?
解：力F 与深度s 成正比，而在本例中位移就是深度，力F 与位移s 满足正比关系，故每次锤子打击铁钉时所做的功可以用公式W=αcos s F 来计算。
第一次打击时锤子对钉子做的功W 1=1
F s 1，第二
次做的功W 2=2
F (s 2- s 1)，设F=ks ,有：1
F =
2
01
ks + 2
F =
2
2
1ks ks +
根据题意W 1 = W 2，解得：s 2=2s 1，Δs= s 2- s 1=(2-1) s 1=2(
2
-1)cm 。
讨论二：如果力F 的大小随时间t 做均匀 变化，作F-t 图像如图所示，设物体的质量为m ， 在变力F 的作用下物体的速度从v 0变到v t 。
由动能定理：2
2
2
121mv mv E W t K -
=
∆= ①
由动量定理：()00v v m mv mv p t F t t -=-=∆=⋅ ②
由①变形得：(
)
()()002
022
12
1v v v v m v v m W
t t t +-=
-=
③
把②式代入③式得：⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅=+⋅=
t v v F v v t F W t t 2)(21
00 ④
对于④式中的t
v v t
2
0+，在匀变速运动中是平均速度v 与位移s 的
乘积,即
s t v t v v t
=⋅=+2
0。
对于匀变速直线运动：s
F W ⋅=。
这里就有一个矛盾，力F 的大小在均匀变化时物体不可能做匀变速直线运动！对于非匀变速运动：
s
t v v t
≠+2
0。
我们可用v-t 图像直观得来了解：如右图 所示的Ⅰ线表示物体做匀速直线运动，Ⅱ线表 示物体做加速度增加的变加速度运动。
在v-t
图像中可以用“面积”表示位移。
Ⅰ线与坐标轴围成的面积为一梯形。
t
v v s S t
2
0I +=
=；
而Ⅱ线与坐标轴围成的面积与梯形面积不相同（图中I
S S <∏
，若
力F 随时间逐渐减小，物体做加速度逐渐减小的变加速度运动，则
I
S S >∏），力F 的大小随时间t 做均匀变化变力F 做功：
s
F t v v F W t
⋅≠⋅+⋅
=2
0。
所以当力F 的大小随时间t 做均匀变化时，求力F 对物体做功不能用平均力与位移的乘积来计算。
力对物体做功问题的求解，是高中阶段的一个学习主线，对这一部分知识的学习是为进一步认识功能关系，建立能量守恒思想打基础。
这里讨论了力对物体做功的部分情况，它也是高中阶段常用的解
答力对物体做功问题的主要方法，通过讨论大家可以加深对做功问题的理解认识。
而“微元法”、“动能定理”、“图像法”、“动量定理”求解力对物体做功方法的应用，能帮助我们渗透物理思想，体会物理学中的知识联系，为建立物理学系统性打下重要基础。
[参考文献]：
1 花洪平.高中物理解题重要方法:微元法[J].2009（27）.
2 徐鹏.怎样求解变力做功[J].数理化学习(初中版).2009(04).
3 邢彦君，邢星.变力做功的计算[J].物理教师.2009（01）.
[作者简介]：
吴云坤，男，云南省江川县人，学士，工作单位：云南省玉溪市第一中学高中物理组，邮编：653100。