货郎问题
货郎担问题讲稿
贪心算法 送报线路安排 一个送报员从送报中心出发到五个小区 送报，最后要回到送报中心。 送报，最后要回到送报中心。送报中心到各 小区的距离及各小区间的距离均已知（ 小区的距离及各小区间的距离均已知（见表 问送报员应按怎样的线路行驶较好？ 1），问送报员应按怎样的线路行驶较好？ ），问送报员应按怎样的线路行驶较好 距离单位为千米） （距离单位为千米）
阶段指标函数d : 设从城市1出发，第k-1阶段到达到城市j,
ji
则城市j与下一阶段（第k阶段）的目的地城市i之间的距离为d ji 最优指标函数 fk (S, i) ：从城市1出发，经过S中k个城市,到 达城市i的最短距离.
则动态规划的顺序递推关系为:
m { fk1(S \ j, j) + d ji} in fk (S, i) = j∈S f0 (φ, i) = d1i , i = 2,3,, n, k =1,2,, n 1.
f1(S,2) = m f0 (φ,3) + d32, f0 (φ,4) + d42} in{
= m 7 + 8,9 + 5} =14, in{
* x2 ({4},2) = 4
即从城市1出发，途经1个城市去城2，应先到4，再到2。
城 城 市 1 2 3 4 0 8 5 6 6 0 8 5 7 9 0 5 9 7 8 0 市 1 2 3 4
当k=3时，从城市1出发，途经3个城市到达城市1的最短距离
f3({2,3,4},1) = m f2 ({2,3},4) + d41, f2 ({2,4},3) + d31, f2 ({3,4},2) + d21} in{ = m 22 + 6,18 + 5,20 + 8} = 23 in{
货郎担问题 其他应用
用微分法可求得上式当x1=s1/3=3时，有最大值：f1（s1）= 3 3 3 3 因此，原问题的最优解为： x1= x2= x3= 3，最优值为：
例9 求解四个城市的推销员问题，其距离矩阵如下表所示：
i
j 1 2 3 4
1
2
3
4
0 8 5 6 6 0 8 5 7 9 0 5 9 7 8 0
解：k=0 f0(2,φ)=8, f0(3,φ)=5, f0(4,φ)=6 k=1 f1(2,｛3｝)= f0(3,φ)+d32=5+9=14; f1(2,｛4｝)= f0(4,φ)+d42=6+7=13 f1(3,｛2｝)= f0(2,φ)+d23=8+8=16; f1(3,｛4｝)= f0(4,φ)+d43=6+8=14 f1(4,｛2｝)= f0(2,φ)+d24=8+5=13; f1(4,｛3｝)= f0(3,φ)+d34=5+5=10
k=2 f2(2,｛3,4｝)=min{ f1(4,｛3｝)+ d42, f1(3,｛4｝)+d32} =min｛10+7,14+9｝=17 p2(2,｛3,4｝)=4 f2(3,｛2,4｝)=min{ f1(4,｛2｝)+ d43, f1(2,｛4｝)+d23} =min｛13+8,13+8｝=21 p2(3,｛2,4｝)=2或4 f2(4,｛2,3｝)=min{ f1(2,｛3｝)+ d24, f1(3,｛2｝)+d34} =min｛14+5,16+5｝=19 p2(4,｛2,3｝)=2 k=3 f 3(1,｛2,3,4｝) =min{f2(2,｛3,4｝)+d21, f2(3,｛2,4｝)+d31, f2(4,｛2,3}+d41) =min｛17+6,21+7,19+9｝=23 员最短路线为 1→3→4→2→1 ，最短距离为23。 实际中很多问题都可以归结为货郎担问题，如物资运输中汽车 应走怎样的路线使路程最短；工厂中机床应如何布置，可使零件所 经过的路线最短等等。
解货郎问题的填数破圈法
解货郎问题的填数破圈法填数破圈法是解货郎问题的一种有效解决方法。
填数破圈法主要是利用数字的特征进行填数，从而破解货郎问题。
下面介绍货郎问题的填数破圈法:一、定义和理解填数破圈法是指在一定的约束条件下根据数字的匹配性和特征进行填数，通过对货郎题的分析来破解。
根据货郎题给出的每个单元格内的数字，将这些数组成横纵各和，然后按照数字的特点，在规定的空格中填入数字，并且各横纵和必须相等。
二、破圈步骤步骤1.给出的货郎题形式，相信大家都很熟悉，就是一个空圆形底座，圆形底座上有若干行、列，每行每列已经填写部分数字，其余由空格表示。
2.根据给出已有的数字，先把横纵各和计算出来，要想把横向纵向总和相等，就必须在最终填入的数字中使其横向以及纵向总和均相等。
3.根据当前空格加上横纵和填入一个数字，对比横纵各和，调整填入的数字使其横纵各和都符合要求。
4.重复第三步，直到货郎题的所有空格都有数字填入，横纵各和也都符合要求，就是货郎题的破圈之后的状态。
三、填数技巧1.熟悉基本的数据识别和分析技巧。
货郎题原有的数据是已经非常有帮助的，利用这些信息可以对货郎题中的任意一个空格进行填充。
2.优先使用大数和单数。
有些小型货郎题优先使用小数进行攻击，因为小数会让货郎题显得更为复杂。
3.优先使用本行本列其他空格中没有出现过的数字。
这样会有助于快速破解货郎题，因为只有一种可行方案，所以比较容易找出正确的解法。
4.可以先给靠近出口的空格填入数字，这样会使整个空格状态更加清晰。
四、解决方案1.完成货郎题首先要搞清楚解决方案是什么，熟悉基本数据分析技巧，根据题目指定的横纵各和来确定每一个空格中应该填入的数字。
2.根据横纵各和确定货郎题中各个空格的可能数字，优先使用本行本列其他空格中没有出现过的数字，将这些数字按照可能性进行填数，根据具体情况填入这些数字，在大数和单数的情况下选择合适的方案填入空格。
3.在每一次填入数字后检查横纵各和是否符合题设要求，符合则填入下一个空格，若不符合则后退，重新从上一轮开始，直到最终横纵各和符合要求，完成货郎题解答。
TSP问题模型
一、问题描述TSP ，即Traveling Saleman Problem ，也就是旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP 问题，是最基本的路线问题。
TSP 的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP 问题指一个旅行商，n 个城市。
旅行商要从这一个出发地出发，择一条路径（哈密顿回路），对n 个城市中的每一个城市进行一次且仅一次的访问，最后回到出发地.其目标是得到所有可行路径之中的最小路径，或旅行时间最短，或旅行费用最少等。
如图1，图2所示，为一个5个城市的TSP 问题描述（仅画出两种方案），显然图1和图2的路线都满足遍及所有城市的要求，但是图2的路线长度要远小于图1的路线长度，而解TSP 问题的目的就是求出遍及所有城市的长度最短的路线方案。
该问题的模型可以表示为下述0/1整数规划模型：2 4 1 图13 5 1 24 35 图2{}(,j)A {:(,)}{j:(,)}{(,):,}min(1)..1(2)1(3)||12|U |||2(4)0,1ij ij i ij i i j A ij i j A ij i j A i U j U ij c x st x j Vx i Vx U V x ∈∈∈∈∈∈=∈=∈≤-≤≤-∈∑∑∑∑n ：所要访问的城市数目。
V ：所有访问的城市集。
.U ：所有访问的城市集的真子集，即V U ⊂。
A ：连接任意两个点的弧组成的集合。
()j i ：所要访问的第()j i 个城市，即V j i ∈,。
ij c ：相邻两个城市间距离。
如果 j i =，则0=ij c 。
()⎩⎨⎧=其他城市城市后紧接着访问如果访问01,j i j i X二、总结和展望禁忌搜索算法是对人类思维过程本身的一种模拟，其特点是采用了禁忌技术，它通过对一些局部最优解的禁忌达到接纳一部分较差解，从而跳出局部搜索的目的。
从货郎问题谈起----组合最优化简介
从货郎问题谈起----组合最优化简介 本报告简要介绍组合最优化的基本内容和学科特点。
希望通过本讲座使同学对组合最优化有个初步的认识，激发同学学习组合最优化的兴趣。
货郎问题：一个货郎从一个村庄C1出发,到村庄C2，C3，…，Cn 去卖货,然后再回到C1，如何走才是一条最短的路线（每两个村庄Ci 和Cj 之间都有长为IJ S 路）？组合最优化问题：
在最优化问题
s.t 中, S
是有限或可数的,称这样的最优化问题为组合最优化问题。
在货郎问题中,组合最优化问题的特点是：叙述简单，解决困难，应用广泛。
执行算法所用时间的多少称为算法的时间复杂性，组合最优化中的算法复杂性指的是算法的时间复杂性。
用算法所执行的运算次数来表示算法的运行时间。
把其中最坏情况的的运算次数定义为算法复杂性。
它是关于输入规模为n 的函数。
算法复杂性是多项式函数的算法为多项式（时间）算法。
其余的称为指数（时间）算法。
多项式（时间）算法是有效算法。
)
(min x f S x ∈},{π所有的路=S ∑==n j j j s f 1
)
()(ππ
有一类组合最优化问题，还没有找到求解它们的多项式算法，但也不能证明不存在求解它们的多项式算法，它们具有一些特定的性质，称这一类组合最优化问题为NP -难的。
如果问题A 是NP-难的，那么它有一个令人生畏的性质：若A有多项式算法，则所有的NP -难问题都有多项式算法。
货郎问题是NP -难的。
求解NP-难的组合最优化问题主要用近似算法和巧妙的枚举法(动态规划算法,分枝定解算法)。
【算法复习二】货郎担（旅行售货商）动态规划
【算法复习二】货郎担（旅行售货商）动态规划一，问题由来货郎担问题也叫旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem），是数学领域中著名问题之一。
二，问题描述1）货郎担问题提法：有n个城市，用1，2，…，n表示，城i,j之间的距离为dij，有一个货郎从城1出发到其他城市一次且仅一次，最后回到城市1，怎样选择行走路线使总路程最短？2）旅行商问题的提法：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路经的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
三，问题求解1）动态规划解例题：设v1，v2，……..，vn是已知的n个城镇，城镇vi到城镇vj的距离为dij，现求从v1出发，经各城镇一次且仅一次返回v1的最短路程。
分析：设S表示从v1到vi中间所可能经过的城市集合，S实际上是包含除v1和vi两个点之外的其余点的集合，但S中的点的个数要随阶段数改变。
建模：状态变量（i，S）表示：从v1点出发，经过S集合中所有点一次最后到达vi。
最优指标函数fk（i，S）为从v1出发，经过S集合中所有点一次最后到达vi。
决策变量Pk（i，S）表示：从v1经k个中间城镇的S集合到vi 城镇的最短路线上邻接vi的前一个城镇，则动态规划的顺序递推关系为：fk（i，S）= min{ fk-1（j，S、{ j }+dji} j属于Sf0（i，空集）=d1i （k=1，2，…,n-1,i=2,3,…n)求解：K=0f0(2,空集)=d12=6f0(3,空集)=d13=7f0(4,空集)=d14=9当k=1时:从城市V1出发,经过1个城镇到达Vi的最短距离为:f1(2,{ 3 }) = f0 (3,空)+d 32 =7+8=15f1(2,{ 4 }) = f0 (4,空)+d 42 =9+8=14f1(3,{ 2 }) = f0 (2,空)+d 23 =6+9=15f1(3,{ 4 }) = f0 (4,空)+d 43 =9+5=14f1(4,{ 2 }) = f0 (2,空)+d 24 =6+7=13f1(4,{ 3 }) = f0 (3,空)+d 34 =7+8=15当k=2时,从城市V1出发,中间经过2个城镇到达Vi的最短距离.f2(2,{ 3,4 }) = min[ f1(3,{4})+d32, f1(4,{3})+ d42] =min[14+8,15+5]=20P2(2,{3,4})=4f2(3,{ 2,4 })= min[14+9,13+5]=18P2(3,{2,4})=4f2(4,{ 2,3})= min[15+7,15+8]=22P2(4,{2,3})=2当k=3时:从城市V1出发,中间经过3个城镇最终回到Vi的最短距离.f3(1,{ 2,3,4 })= min[f2(2,{ 3,4 }) + d 21,f2(3,{ 2,4})+ d31,f2(4,{ 2,3 }) + d41]=min[20+8,18+5,22+6]=23P3(1,{2,3,4})=3逆推回去,货郎的最短路线是1 2 4 3 1,最短距离为23.四，源码[html] view plaincopyprint?1.#include<iostream>2.#include<iomanip>ing namespace std;4.5.int n;6.int cost[20][20]={};7.bool done[20]={1};8.int start = 0; //从城市0开始9.10.int imin(int num, int cur)11.{12.if(num==1) //递归调用的出口13.return cost[cur][start]; //所有节点的最后一个节点，最后返回最后一个节点到起点的路径14.15.int mincost = 10000;16.for(int i=0; i<n; i++)17.{18.cout<<i<<" i:"<<done[i]<<endl;19.if(!done[i] && i!=start) //该结点没加入且非起始点20.{21.if(mincost <= cost[cur][i]+cost[i][start])22.{23.continue; //其作用为结束本次循环。
004货郎问题与计算复杂性
实 例
8
Algorithm + Data Structure = Programming
好的算法 提高求解问题的效率 节省存储空间 算法的研究目标 问题→建模并寻找算法 算法→算法的评价 算法类→问题复杂度估计 问题类→能够求解的边界
算法设计技术 算法分析方法 问题复杂度分析 计算复杂性理论
9
课程主要内容
6
实 例
双机调度建模
解: 0-1向量 <x1, x2, ..., xn>, xi=1表示任务 i 分 配到第一台机器，i =1,2,...,n. 不妨设机器1的加工时间 ≤ 机器2的加工时 间令T=t1+t2+...+tn, D=T/2 ，机器1的加工 时间不超过D，且达到最大.
实 例
如何对该问题建模?目标函数与约 束条件是什么？
近似算法
随机算法
NP 完全理论简介 算法分析与问题的计算复杂性
分治 策略 动态 规划 贪心 算法 回溯与 分支限界
计算复杂性理论: NP完全理论 其他算法 算法设计： 算法分析方法 算法设计技术 基础知识
10
数学基础、数据结构
算法研究的重要性
算法设计与分析技术在计算机科学与技术 领域有着重要的应用背景 算法设计分析与计算复杂性理论研究是计 算机科学技术的核心研究领域 1966-2005期间，Turing奖获奖50人, 其 中10人以算法设计, 7人以计算理论、自 动机和复杂性研究领域的杰出贡献获奖 计算复杂性理论的核心课题“P=NP?” 是本世纪 7个最重要的数学问题之一 提高学生素质和分析问题解决问题的能力， 培养计算思维 11
4
实 例
0-1背包问题建模
问题的解：0-1向量 < x1, x2, ..., xn > xi =1 ⇔ 物品 i 装入背包 目标函数 约束条件
算法分支限界法货郎担问题解法
标题：算法分支限界法在货郎担问题中的应用摘要：分支限界法是一种高效的解决组合优化问题的算法，本文将详细介绍分支限界法在货郎担问题中的应用，包括问题的描述、算法原理、实现步骤以及案例分析等内容。
一、问题描述货郎担问题，又称为旅行商问题（TSP），是一个经典的组合优化问题。
问题的描述为：有n个城市，货郎担需要从一个城市出发，经过所有的城市且只经过一次，最后回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。
这是一个NP-hard问题，传统的穷举法在城市数量较大时难以找到最优解。
二、算法原理分支限界法是一种以深度优先搜索为基础的优化算法。
其核心思想是根据当前问题状态的下界（或上界）对搜索空间进行剪枝，从而减少搜索空间，提高搜索效率。
在货郎担问题中，分支限界法通过动态规划的方式记录已经访问过的城市，从而避免重复计算，同时利用启发式信息（如最近邻居、最小生成树等）进行路径选择，不断更新路径的下界，直至找到最优解或者搜索空间被完全剪枝。
三、实现步骤1. 初始化：设置初始的城市路径、已访问城市集合、路径长度、下界等参数。
2. 搜索：利用深度优先搜索，根据当前路径确定下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。
3. 剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，对搜索空间进行剪枝。
4. 回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。
5. 结束条件：当所有城市都被访问过一次后，得到一条完整的路径，更新最优解。
四、案例分析假设有5个城市，它们的坐标为：A(0, 0)、B(1, 2)、C(3, 1)、D(5, 3)、E(4, 0)利用分支限界法求解货郎担问题，我们按照以下步骤进行计算：（1）初始化：选择一个城市作为出发点，并初始化已访问城市集合、路径长度和下界。
（2）搜索：根据当前路径选择下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。
（3）剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，进行搜索空间的剪枝。
（4）回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。
货郎担问题
以一个例题来加以说明
设有5个工件需要在机床A,B上加工,加工的顺序是先A后 B,每个工件所需加工时间(单位:小时) 如下表. 问如何安 排加工顺序可使机床连续加工完所有的加工总时间最少?
机床 加工时间 工件号码
A 3 7 4 5
B 6 2 7 3
1 2 3 4
5
7
4
(2) 在工时矩阵M中找到最小的元素(若最 小的不止一个，可任选其一);若它在上行, 则将相应的工件排在最前面的位置;若它在 下行,则将相应的工件排在最后面的位置.
最小生成树的普里姆算法
最短路径问题
Dijkstra提出了一个按路径长度递增的顺序逐步 产生最短路径的方法，称为Dijkstra算法。
这是因为：1，各城市之间可能是复线2，两地之间可能会 使用不同的交通工具从而费用不同。
实际中很多问题都可以归结为货郎担这类问题. 如: 1,物资运输路线中,汽车应该走怎样的路线使路程 最短; 2,工厂里在钢板上要挖一些小圆孔,自动焊接机的 割咀应走怎样的路线使路程最短; 3,城市里有一些地方铺设管道时,管子应走怎样 的路线才能使管子耗费最少,等等 比如说，前面曾经遇到的排序问题，以前我们 是用0-1整数规划来解决这类问题的。 在这里，我们同样可以使用动态规划的方法。 而且相对简单了很多。
决策变量Pk（i，S）表示：从v1经k个中间城镇 的S集合到vi城镇的最短路线上邻接vi的前一个城 镇，则动态规划的顺序递推关系为：
fk（i，S）= j属于S
min{ fk-1（j，S、{ j }+dji}
f0（i，空集）=d1i （k=1，2，…,n-1, i=2,3,…n)
例1： 已知4个城市间距离如下表，求从v1出 发，经其余城市一次且仅一次最后返回v1的 最短路径和距离。
货郎担问题的近似算法
货郎担问题的近似算法
货郎担问题的近似算法是一类解决复杂优化问题的方法，它主要是利用近似的
算法来解决货郎担问题，以达到最大化权值的目的。
首先，关于货郎担问题，需要注意到的是它的约束条件，货物的数量有限，可
行的货郎担路径也有限，这意味着对于一条货郎担路径，货物不能超重，大于可行路径中的限制总距离，这就涉及到了旅行商问题。
因此，为了使权值最大化，采用近似算法就可以解决此问题。
其次，除此之外，还可以使用穷举法，也就是枚举法来解决货郎担问题。
它将
所有可能的货郎担设置依次列出来，并且计算每个设置的权值，最后得出最优的方案。
但是，由于货郎担路径的可能性太多，因此这种方法的效率很低，因此需要采取近似来求解。
为此，我们可以采用基于模拟退火的算法来解决货郎担问题。
这种算法的思想是，在初始时，选定一个初始解，并不断优化权值，最后得出一个接近最优解的方案，此过程类似于模拟热力学中的退火过程。
这种方法可以获得更高的收敛精度，更快的运算速度，从而较快地解决货郎担问题。
此外，还可以采用蚁群算法来解决货郎担问题。
蚁群算法的思想是通过模拟蚂
蚁通过视觉传感器寻找最佳路径的模式，来寻找最优货郎担路径，以得到最大权值。
这种算法因其快速卓越的收敛性能而得到广泛应用于复杂优化问题中。
综上所述，货郎担问题的近似算法可以分为两大类：基于模拟退火的算法和基
于蚁群算法。
这些算法都能较快地找出最优解，而且有更高的收敛精度和计算速度，由此可以有效解决货郎担问题。
例子()
旅行售货员问题（又称货郎担问题，Traveling Salesman Problem ）有一个推销员，从城市1出发，要遍访城市2，3，…，n 各一次，最后返回城市1。
已知从城市i 到j 的旅费为ij c，问他应按怎样的次序访问这些城市，使得总旅费最少？可以用多种方法把TSP 表示成整数规划模型。
这里介绍的一种建立模型的方法，是把该问题的每个解（不一定是最优的）看作是一次“巡回”。
在下述意义下，引入一些0-1整数变量：ijx ⎩⎨⎧≠=其它情况，且到巡回路线是从，0,1ji j i其目标只是使∑=nj i ijijx c1,为最小。
这里有两个明显的必须满足的条件：访问城市i 后必须要有一个即将访问的确切城市；访问城市j 前必须要有一个刚刚访问过的确切城市。
用下面的两组约束分别实现上面的两个条件。
ni xnj ij,,2,1,11 ==∑=nj xni ij,,2,1,11==∑=到此我们得到了一个模型，它是一个指派问题的整数规划模型。
但以上两个条件对于TSP 来说并不充分，仅仅是必要条件。
例如：以上两个条件都满足，但它显然不是TSP的解，它存在两个子巡回。
这里，我们将叙述一种在原模型上附加充分的约束条件以避免产生子巡回的方法。
把额外变量),,3,2(n i u i =附加到问题中。
可把这些变量看作是连续的（最然这些变量在最优解中取普通的整数值）。
现在附加下面形式的约束条件nj i n x n u u ij j i ≤≠≤-≤+-2,1。
为了证明该约束条件有预期的效果，必须证明：（1）任何含子巡回的路线都不满足该约束条件；（2）全部巡回都满足该约束条件。
首先证明（1），用反证法。
假设还存在子巡回，也就是说至少有两个子巡回。
那么至少存在一个子巡回中不含城市1。
把该子巡回记为121i i i i k ，则必有111132121-≤+--≤+--≤+-n n u u n n u u n n u u i i i i i i k把这k 个式子相加，有1-≤n n ，矛盾！故假设不正确，结论（1）得证。
人工智能实验报告：货郎担问题
人工智能实验报告西安交通大学实验一：货郎担问题一、问题重述假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路经的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
二、问题分析如果只考虑贪心算法，由于在最后需要回到原来的出发点，很难得到最后的最有结果，所以需要全方面地考虑到各种情况。
本实验由于考虑的村庄的总数量不是很多，可以采取枚举算法。
枚举所有的状况，进而做出比较，可得到全局的最优解。
三、程序设计程序可以采用sort和work两个函数进行具体的计算，主函数主要用来编辑界面，使得最终的结果比较可视化。
首先，定义dis矩阵作为距离矩阵，定义way数组为路程记录。
对主函数的操作：1.输出如下编辑的运行界面：cout<<" ================货郎担问题的解法================"<<endl<<endl<<endl;cout<<" 1 ---------------输入数据---------------"<<endl;cout<<" 2 ---------------输出原始数据-----------"<<endl;cout<<" 3 ---------------解决问题---------------"<<endl;cout<<" 4 ---------------输出最终结果-----------"<<endl;cout<<" 0 ---------------退出系统---------------"<<endl<<endl;cout<<"请选择相应序号："<<endl;2.在输入数据选项中，将各个村庄自己和自己之间的值设为0，再设置a村庄与b村庄之间的距离和b村庄和a村庄之间的距离相同。
寻求中国货郎担问题最短回路的多项式时间算法
寻求中国货郎担问题最短回路的多项式时间算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：货郎担问题是一种经典的组合优化问题，旨在寻找一条路径，将货物从起点送达终点，并返回原位，使得路径中的总权值最小。
在中国货郎担问题中，货郎担通常是指一种人力车，货郎担问题也被称为旅行商问题或者是商旅者问题。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，例如物流配送、电路设计、航空航线规划等领域。
为了寻找中国货郎担问题的最短回路，数学家和计算机科学家们一直在寻找高效的算法。
多项式时间算法是一种能在多项式时间内完成的算法，它的时间复杂度随问题规模的增长而多项式增加。
在中国货郎担问题中，一种基于动态规划思想的多项式时间算法被广泛应用。
动态规划是一种常用的解决最优化问题的算法思想，它将一个大问题分解为多个子问题，通过保存已解决子问题的解来避免重复计算，从而减少时间复杂度。
在中国货郎担问题中，可以通过构建状态转移矩阵，来快速寻找最优解。
具体来说，对于n个城市的货郎担问题，我们可以定义一个二维状态转移矩阵dp[i][j]，其中i表示当前访问的城市集合，j表示当前所在的城市。
dp[i][j]的含义是，从起点出发，经过城市i中的所有城市一次后，在城市j处的最短路径长度。
初始时，dp[0][0]=0，表示从起点出发到起点的路径长度为0。
接下来，我们通过状态转移方程来更新dp数组。
假设当前状态为dp[S][j]，表示已访问过城市集合为S，当前在城市j处。
我们可以遍历所有可能的下一个城市k，计算从S∪{k}经过j到k的距离，即dist[j][k]。
则状态转移方程为：dp[S∪{k}][k] = min{dp[S][j]+dist[j][k]} (j∈S)最终，我们寻找dp[All][0]的最小值，其中All表示所有城市的集合，即找到从起点出发，经过所有城市一次后返回起点的最短路径长度。
通过动态规划的思想，我们可以在多项式时间内计算出中国货郎担问题的最短回路。
货郎担问题
实际中很多问题都可以归结为货郎担这类问题.
如: 1,物资运输路线中,汽车应该走怎样的路线使路 程最短;
2,工厂里在钢板上要挖一些小圆孔,自动焊接机 的割咀应走怎样的路线使路程最短;
3,城市里有一些地方铺设管道时,管子应走怎样 的路线才能使管子耗费最少,等等
比如说，前面曾经遇到
的排序问题，以前我们是 用0-1整数规划来解决这类 问题的。
货郎担问题当城市数目增加时,用动态规划方 法求解,无论是计算量还是存储量都会大大增加, 所以本方法只适用于n较小的情况.
在很多货郎担问题中，经常会看到dij不等于dji的情 况。
Vj
距离
1
2
3
4
Vi
1
0
6
7
9
2
8
0
9
7
3
5
8
0
8
4
6
5
5
0
• 这是因为：1，各城市之间可能是复线2，两地之 间可能会使用不同的交通工具从而费用不同。
以一个例题来加以说明
设有5个工件需要在机床A,B上加工,加工的顺序是先A后 B,每个工件所需加工时间(单位:小时) 如下表. 问如何安 排加工顺序可使机床连续加工完所有的加工总时间最少?
机床 加工时间 工件号码
1 2 3 4 5
A
B
3
6
7
2
4
7
5
3
7
4
: 解:工件的加工工时矩阵为
• 根据最优排序规则,最优加工顺序为: • 13542
建立动态规划模型：
设S表示从v1到vi中间所可能经过的城市集 合，S实际上是包含除v1和vi两个点之外的其余点 的集合，但S中的点的个数要随阶段数改变。 阶段： S中的点的个数
货郎担问题
赵勇 2015072014
一，问题由来 货郎担问题也叫旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem),是数学领域中著名问题之一。 二，问题描述 1，货郎担问题提法：有n个城市，用1,2，...，n表示，城市i,j之间的 距离为d(i,j),有一个货郎从城市1出发到其他城市一次且仅一次，最后 回到城市1，怎样选择行走路线使总路程最短？ 2，旅行商问题的提法：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须 选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后 要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有 路径之中的最小值。 身边实例：快递小哥。
例 4.17 矩阵C 0 10 5 0 6 13 8 8 g(2, ɸ)=c21=5
15 9 0 920 10 12 0g(3, ɸ)=c31=6
g(4, ɸ)=c41=8
由（4.20）式得 g(2,{3})=c23+g(3, ɸ)=15 g(2,{4})=18 g(3,{2})=18 G(3,{4})=20 g(4,{2})=13 g(4,{3})=15 接着，计算在|S|=2且i不等于1,1不属于S,i不属于S情况下的g(i,S): g(2,{3,4}=min{c23+g(3,{4}),c24+g(4,{3})}=25 g(3,{2,4}=min{c32+g(2,{4}),c34+g(4,{2})}=25 g(4,{2,3}=min{c42+g(2,{3}),c43+g(3,{2})}=23 最后，由(4.19)式得 g(1,{2,3,4})=min{c12+g(2,{3,4}),c13+g(3,{2,4}),c14+g(4,{2,3})} =min{35,40,43}=35
货郎担问题分支与限界法
货郎担问题分支与限界法货郎担问题是一个经典的优化问题，涉及到如何在给定负重限制下，选择携带的物品，使得总价值最大。
该问题有多种解决方法，其中分支与限界法是一种常用的方法。
以下是对分支与限界法的详细解释：一、问题的概述货郎担问题（Knapsack Problem）是一种组合优化问题，旨在确定给定一组物品，如何选择才能使得在满足负重限制的前提下获得最大的总价值。
这个问题在现实生活中有很多应用，如资源分配、时间安排、物流配送等。
二、分支与限界法分支与限界法是一种启发式搜索方法，用于求解复杂的组合优化问题。
货郎担问题可以通过构建状态树来表示，其中每个节点表示一种可能的物品组合，树的深度表示总重量，节点的价值表示该组合的总价值。
分支与限界法通过不断分支和剪枝来缩小状态树的搜索范围，从而提高求解效率。
1. 分支：在状态树的搜索过程中，每次将当前节点进行拆分，生成两个或多个子节点，每个子节点表示一种可能的物品组合。
分支的依据是选择哪种物品继续搜索，或者选择哪些物品组合起来作为一个整体进行搜索。
2. 限界：在分支过程中，对每个子节点设置一个界限值，用于判断是否需要继续搜索该子节点。
界限值的计算方法有多种，常见的有最大价值界限和最小重量界限。
最大价值界限是将当前节点的价值与子节点的价值进行比较，如果子节点的价值小于当前节点的价值，则剪枝该子节点。
最小重量界限是将当前节点的重量与子节点的重量进行比较，如果子节点的重量大于当前节点的重量，则剪枝该子节点。
3. 回溯：在搜索过程中，如果发现当前节点的总价值小于已找到的最优解，则回溯到上一个节点，继续搜索其他分支。
三、算法流程1. 初始化：设置根节点作为初始节点，将其加入到待搜索节点列表中。
2. 主循环：重复以下步骤直到待搜索节点列表为空：a. 从待搜索节点列表中取出一个节点；b. 如果该节点已经搜索过（即其总价值小于已找到的最优解），则跳过该节点；c. 否则，对该节点进行分支；d. 将分支生成的子节点加入到待搜索节点列表中；e. 如果该节点的总价值大于已找到的最优解，则更新最优解；f. 将该节点标记为已搜索；3. 输出最优解。
073货郎问题
货郎问题•解：1,2,…,n 的排列k 1,k 2,…,k n 使得：货郎问题的定义•输入有穷个城市的集合C ={c 1,c 2, …, c n }, 距离d (c i ,c j )=d (c j ,c i )∈Z +, 1≤i < j ≤n ∑−=++11)},(),(min{11n i k k k k c c d c c d n i i 2算法设计解向量为<1, i,i2,…,i n-1 >, 其中1i1,i2,…,i n-1为{2,3,…,n} 的排列.,i2,…,i k> 搜索空间为排列树，结点<i1表示得到k 步路线., i2, … , i k}, 则约束条件：令B = { i1i k+1∈{ 2, … , n }−B即每个结点只能访问一次.3代价函数与界界：当前得到的最短巡回路线长度代价函数：设顶点c i 出发的最短边长度为l i ，d j 为选定巡回路线中第j 段的长度∑∑++=i i kj jk l l d L 4代价函数∑∑∉=++=B i i i k j j j j k l l d L 1部分路线<1,3,2>L =9+13+2+2=269+13为走过的路径长度后两项分别为从结点2及4出发的最短边长5B =29B =2346实例运行深度优先遍历搜索树•第一个界: <1,2,3,4>，长度为29•第二个界: <1,2,4,3>，长度为23•结点<1,3,2>: 代价函数值26>23，不再搜索, 返回<1,3>,右子树向下•结点<1,3,4>，代价函数值9+7+2+2=20, 继续，得到可行解<1,3,4,2>，长度23.•回溯到结点<1>，沿<1,4>向下...最优解<1,2,4,3>或<1,3,4,2>，长度237算法分析•搜索树的树叶个数：O((n−1)!)，每片树叶对应1 条路径，每条路径有n个结点.•每个结点代价函数计算时间O(1)，每条路径的计算时间为O(n)•最坏情况下算法的时间O(n!)8小结•货郎问题的分支限界算法：约束条件：只能选没有走过的结点代价函数：走过长度+后续长度的下界•时间复杂度: O(n!)9。
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int main()
{
int i, j, k;
while(scanf("%d", &n) && n)
{
for(i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", d + i);
for(i = 0; i <= n; i++)
for(ห้องสมุดไป่ตู้ = 0; j <= n; j++)
{
ans = Min(ans, dp[n][i] + abs(d[i] - d[n]));
}
printf("%d\n", ans);
}
}
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
const int inf = 1000000000;
int n;
int d[128];
int dp[128][128];
int Min(int a, int b)
{
return a < b ? a : b;
dp[i][j] = inf;
dp[0][0] = dp[1][0] = 0;
for(i = 2; i <= n; i++)
{
for(j = i - 1; j >= 0; j--)
dp[i][i - 1] = Min(dp[i][i - 1], dp[i - 1][j] + (j == 0 ? 0 : abs(d[j] - d[i])));
J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路 线。在这种情况下，多项式的算法是可能的。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。
货郎问题(Traveling Salesman Problem，简称“TSP”)也叫货郎担问题，中国邮路问题，旅行商问题等,是计算机算法理论历史上的经典问题。在过去几十年中，它成为许多重要算法 思想的测试平台，同时也促使一些新的理论领域的产生，比如多面体理论和复杂性理论。 货郎问题：给定n个结点和任意一对结点{i，j}之间的距离为dist(i，j)，要求找出一条闭合的回路，该回路经过每个结点一次且仅一次，并且该回路 的费用最小，这里的费用是指每段路径的距离和。 货郎问题求解其精确解是NP难的，并且求解任意常数因子近以度的解也是NP难的。若将问题限定在欧氏平面上，就成为欧氏平面上的货郎问题,也叫欧几里德旅 行商问题(Eculid Traveling Salesman Problem)。但是，即使是欧氏平面上的货郎问题也是NP难的。因此通常用来解决TSP问题的解法都是近似算法。其中第一个欧几里德旅行商问题的多项 式近似算法是Arora在1996年使用随机平面分割和动态规划方法给出的。
for(j = 0; j <= i - 1; j++)
{
dp[i][j] = Min(dp[i][j], dp[i - 1][j] + abs(d[i] - d[i - 1]));
}
}
int ans = dp[n][0];
for(i = 1; i <= n; i++)