高考数学文优化方案一轮复习课件第第二命题及其关系充分条件与必要条件苏教江苏专用
高考数学一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件-教学课件
四种命题的相互关系． 理解充分条件与必要条件的相对性，
3．理解必要条件、充分条 能借助于集合间的包含关系判断充要
件与充要条件的意义.
关系.
1．命题 可以判断_真__假__的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为 __条__件__和_结__论___两部分；就其结果正确与否分为真__命__题__和_假__命__题_．
1．(2011 年福建)若 a∈R，则 a＝2 是(a－1)(a－2)＝0 的( A) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“x>1”是“x2>x”A的() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若 a∈R，则“a(a－3)<0”是“关于 x 的方程 x2－ax＋a ＝0 没有实数根”的( A )
例2：①(2011 年天津)设集合 A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈ R|x<0} ，C ＝{x ∈R|x(x －2)>0} ，则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的
(C ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A∪B＝{x∈R|x<0 或 x>2}，
(4) 逆命题：若方程mx2 －x ＋n ＝0 有两个不等实数根，则 mn<0(假命题)．
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0 没有两个不等实数 根(假命题)．
逆否命题：若方程mx2 －x＋n＝0 没有两个不等实数根，则 mn≥0(真命题)．
原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等 价，要理解命题之间的等价性，当判断一个命题的真假比较困难 时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则 反”．
高考数学一轮总复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件课件
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则
ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真
命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等
价．
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解析
(1)命题“若α＝
π 4
，则tanα＝1”的逆否命题是“若
tanα≠1，则α≠4π”．
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答案 (1)A (2)A
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【规律方法】 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利 用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题 中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”．有时还可以通过其 逆否命题的真假加以区分．
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变式思考 2 (1)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥ b”的( )
答案 (1)C (2)②④
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考点二 充分条件与必要条件的判断
【例2】 (1)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条
件，则p是綈q的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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(2)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的”( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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(2)对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的 否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是 “若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶 数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题 “若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”互为逆否命 题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文
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解析：命题“若 a2＋b2＝0，a，b∈R，则 a＝b＝0”的逆否 命题是“若 a≠0 或 b≠0，a，b∈R，则 a2＋b2≠0”．
答案：A
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考点二 充分条件与必要条件的判断 1.利用定义判断 (1)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 q⇒p，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 p⇒q 且 q⇒p，则 p 是 q 的充要条件；
第
一
集合、常用逻辑用语
章
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1
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
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2
高考导航ห้องสมุดไป่ตู้
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3
基础
知识回顾
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1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的语 句叫做命题．其中 判断为真 的语句叫真命题，判断为假的语句 叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题
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3．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的 充分条件 ，q是p的 必要条件 ； (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 充要条件．
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在判断充分条件与必要条件时，一定要注意弄清问题的设问 方式，“A 是 B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是 B”两种说法的含义是不同的．
2．对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论， 只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命 题的真假．
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原命题与其逆否命题同真同假．
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(2014·陕西卷)原命题为“若an＋2an＋1<an，n∈N＋，则{an}为 递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依 次如下，正确的是( )
高考一轮数学文科：第2讲-命题及其关系、充分条件与必要条件ppt课件
[解析] 由题意可知，ax2－2ax－3≤0 恒成立．当 a＝0 时，－3≤0 成立； 当 a≠0 时，得aΔ<＝0，4a2＋12a≤0，解 得－3≤a<0.故－3≤a≤0.
课前双基巩固
对点演练
7．已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的______________条件．
[解析] D ∵逆否命题是 将原命题的条件与结论互
换并分别否定，∴命题 “若 m>0，则方程 x2＋x －m＝0 有实根”的逆否 命题是“若方程 x2＋x－m ＝0 没有实根，则 m≤0”．
真题在线
π 2．[2015·福建卷] “对任意 x∈（0， 2 ），ksin xcos x<x”是“k<1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例 1 (1)已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2 ＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2<3 B．若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2<3 C．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2≥3 D．若 a2＋b2＋c2≥3，则 a＋b＋c＝3 (2)[2016·安徽示范高中二联] 原命题为“△ABC 中，若 cos A<0，则△ABC 为钝角三角形”，关于其逆命题、否 命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．真，假，假
真题在线
证明：(1)( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd，由题设 a＋b＝c＋d，ab>cd， 得( a＋ b)2>( c＋ d)2， 因此 a＋ b> c＋ d. (2)(i)若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即 (a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 由(1)得 a＋ b> c＋ d. (ii)若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2， 即 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上， a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
2019高考数学大一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理 苏教版 共86页
题型三 根据充要条件求解
思维点拨 解析 答案 思维升华
参数的取值范围
例 3 (1)函数 f(x)＝l－og22xx＋，ax，>0x，≤0 有且只有一个零点的充分不必要条
件是________.
①a<0; ③12<a<1;
②0<a<12； ④a≤0 或 a>1.
题型三 根据充要条件求解 参数的取值范围
例 3 (1)函数 f(x)＝l－og22xx＋，ax，>0x，≤0 有且只有一个零点的充分不必要条
思维点拨 解析 答案 思维升华
考虑条件所对应集合 的包含关系，“以小
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是 假命题，只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同 假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判
数学 苏（理）
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.2 命题及其关系、充分条件 与必要条件
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 陈述句叫做命题．其中 判断为真 的语句叫真命题， 判断 为假 的语句叫假命题．
断其等价命题的真假.
解析
例1 (2)命题“对于正数a，若 a>1，则lg a>0”及其逆命题、 否命题、逆否命题四个命题 中，真命题的个数为 ________.
(苏教版)高考数学一轮复习第二节命题及其关系、充分条件与必要条件教案文(解析版)
1．命题2(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件与必要条件q pq q p 1．(2019·昆山中学检测)下列有关命题的说法不正确的有________个． ①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”；④命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题． 答案：32．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或 “既不充分也不必要”)．答案：充要3．(2019·南通中学检测)命题“若x 2＋y 2≤1，则x ＋y ＜2”的否命题为________________．答案：若x 2＋y 2＞1，则x ＋y ≥24．“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的________条件．解析：若x ＞0，则x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，显然[1，＋∞) (0，＋∞)，所以x ≥1是x ＋1x≥2的充分不必要条件．答案：充分不必要1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A B )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·海门中学检测)已知α，β表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，则“α∥β”是“m ∥β”的________条件．答案：充分不必要2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 四种命题相互关系及真假判断基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．(2018·启东中学期末检测)能够说明“设a ，b 是任意实数，若a 2＜b 2，则a ＜b ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________．解析：可令a ＝1，b ＝－2，满足a 2＜b 2，但a ＞b . 答案：1，－2(答案不唯一)2．(2019·常州一中测试)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________．解析：命题的条件是p ：α＝π4，结论是q ：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：tan α≠1，非p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案：若tan α≠1，则α≠π43．给出以下四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．考点二充分、必要条件的判定重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·泰州中学高三学情调研)“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的________条件．解析：当a＝0时，f(x)＝x3，所以函数f(x)是奇函数，当函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数时，f(－x)＝－x3＋ax2＝－f(x)＝－x3－ax2，所以2ax2＝0恒成立，所以a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．答案：充要2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的____________条件．解析：因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈綈q，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要[由题悟法]充分、必要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．[即时应用]1．(2018·苏州新区实验中学测试)在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的________条件．解析：当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0，π)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．答案：充要2．设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的______条件．解析：因为x 2－x －20＞0，所以x ＞5或x ＜－4，所以p ：x ＞5或x ＜－4.因为log 2(x －5)＜2，所以0＜x －5＜4，即5＜x ＜9，所以q ：5＜x ＜9，因为{x |5＜x ＜9}{x |x ＞5或x ＜－4}，所以p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的________________条件． 解析：因为m ＝λn ，所以m ·n ＝λn ·n ＝λ|n|2. 当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m||n|cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点三 充分、必要条件的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知A ＝{x |x ＜4}，且A B ，所以a ＞4. 答案：(4，＋∞)2．(2019·响水中学检测)设p ：x 2－2x ＜0，q ：(x －m )(x －m －3)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．解析：由x 2－2x ＜0，得0＜x ＜2，即p ：0＜x ＜2， 由(x －m )(x －m －3)≤0，得m ≤x ≤m ＋3， 即q ：m ≤x ≤m ＋3， 若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，m ＋3≥2，即－1≤m ≤0. 答案：[－1,0][由题悟法]根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点(1)先合理转化条件，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2018·兴化三校联考)已知p ：x ≥a ，q ：x 2－2x －3≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3， 若p 是q 的充分不必要条件，则{x |x ≥a }⊆{x |x ≤－1或x ≥3}，所以a ≥3. 答案：[3，＋∞)2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)3．(2019·高邮中学检测)若关于x 的不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4， ∴当1＜x ＜4时，不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立． 设f (x )＝x 2－2x ＋3－a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ f 10，f 40，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2＋3－a ≤0，16－8＋3－a ≤0，解得a ≥11. 答案：[11，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·张家港外国语学校检测)命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是________________________．答案：若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠02．(2019·苏州实验中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .命题甲：A ＋C ＝2B ，且a ＋c ＝2b ；命题乙：△ABC 是正三角形，则命题甲是命题乙的________条件．答案：充要3．“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的________条件． 答案：充要4．(2018·南京模拟)有下列命题： ①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题． ②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题． 答案：②③5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为____________． 解析：由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }，所以a ≤5. 答案：(－∞，5]6．(2018·苏州中学检测)已知集合A ＝{x |x (x －3)＜0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件．解析：因为集合A ＝(0,3)，集合B ＝(－1,3)，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件． 答案：充分不必要二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________． 解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”． 答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”2．(2018·南通中学高三测试)已知a ，b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，则p 是q 的________条件．解析：圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的圆心为(a ，b )，半径r ＝2，直线x ＋y ＝0与圆相切，则圆心到直线的距离d ＝|a ＋b |1＋1＝2，解得|a ＋b |＝2.即a ＋b ＝±2，所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要3．(2018·南通模拟)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的________条件．解析：因为3a ＞3b ＞3，所以a ＞b ＞1，此时log a 3＜log b 3；反之，若log a 3＜log b 3，则不一定得到3a＞3b ＞3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3＜log b 3成立，但推不出a ＞b ＞1.故“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·无锡一中检测)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B ＞sin C 是B ＞C 的充要条件”是真命题； ③x ≤3是|x |≤3的充分不必要条件；④命题“若x ＜－1，则x 2－2x －3＞0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＞sin C ⇔b ＞c ⇔B ＞C ，②正确；对于③，因为|x |≤3x ≤3，所以x ≤3是|x |≤3的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④5．(2018·南通一中高三测试)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}． 因为p 是q 的充分不必要条件，所以M N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋1＜4，解得0＜a ＜3.答案：(0,3)6．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的________条件．解析：p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________． 解析：若m ＝2，n ＝3，则2＞－3，但22＜32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2＞(－2)2，但－3＜2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．(2018·常熟中学测试)给定下列命题： ①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零”的否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①因为Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”是真命题．答案：①②④9．(2018·天一中学期末)已知p ：|x －1|＞2，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|x －1|＞2，得x －1＞2或x －1＜－2，即x ＞3或x ＜－1. 由x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，得[x －(1－a )][x －(1＋a )]≥0， 即x ≥1＋a 或x ≤1－a ，a ＞0. 若q 是p 的必要不充分条件， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤3，1－a ≥－1，解得0＜a ≤2.答案：(0,2]10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件． 解析：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，所以a 3＋a 4＝a 1＋a 2， 所以q 2＝1⇔|q |＝1，所以“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要11．(2019·南师大附中检测)设p ：实数x 满足x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，q ：实数x 满足x 2＋2x －8＜0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：由x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，得－3a ＜x ＜a ，即p ：－3a ＜x ＜a . 由x 2＋2x －8＜0，得－4＜x ＜2，即q ：－4＜x ＜2. 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p 能推出q ，q 不能推出p ， 所以{x |－3a ＜x ＜a }{x |－4＜x ＜2}， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3a ≥－4，a ＜2，a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＞－4，a ≤2，a ＞0，解得0＜a ≤43，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，43. 12．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫mx －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x ＞1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．解：因为命题p 是真命题， 所以0＜m ＜6，m ∈N ，① 所以A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫mx －1x ＜0＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜1m . 由题意知，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x ＞1＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜12. 因为命题q ，r 都是真命题，所以A B ，C A ，所以⎩⎨⎧1m≤4，1m ＞12.②由①②得m ＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的________条件．解析：当等比数列{a n }的首项a 1＜0，公比q ＞1时，如a n ＝－2n 是递减数列，所以充分性不成立； 反之，若等比数列{a n }为递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＜0，0＜q ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1，所以必要性不成立，即“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要2．(2018·苏州木渎中学测试)若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0， 综上，实数a 的取值范围为[－3,0]． 答案：[－3,0]3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}． (1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围． 解：A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}＝{x |2＜x ＜4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}． (1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题意，则⎩⎨⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅， 当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a } 则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }， 则a ≤2或a ≥43，即a ＜0.当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)．11。
高考数学总复习 1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 苏教版
【点评】
由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同
真同假，所以一个命题的逆命题和它的否命题同真同假；一个命题 与它的逆否命题同真同假．当一个命题的真假不易判断时，可以通 过判断其逆否命题的真假来判断．
1． (2013· 扬州联考)以下关于命题的说法正确的有________(填写 所有正确命题的序号)． ①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是 减函数”是真命题； ②命题“若 a＝0， 则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0， 则 ab≠0”； ③命题“若 x， y 都是偶数， 则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命 题； ④命题“若 a∈M， 则 b∉M”与命题“若 b∈M， 则 a∉M”等价．
考向二
充要条件的判断
(2013· 宿迁期末)指出下列命题中，p 是 q 的什么条件(在 “充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既 不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数 x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)非空集合 A、B 中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知 x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
【基础自测】 1．若伸开 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆 命题 t 的________命题． 答案：否 2．已知 a，b 都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的________条件． 答案：既不充分也不必要 3．(2011· 高考山东卷)已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3， 则 a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________． 答案：已知 a，b，c∈R，若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2<3
命题及其关系、充分条件与必要条件精品课件 苏教版
5. 〔2021·青岛模拟〕设a、b都是非零向量，那么命题“a与b共线〞是命 题“|a+b|=|43;b|=|a|+|b| a、b
a与b共线；反之，当a与b共线时，
不一定有|a+b|=|a|+|b|，故a与b共线是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条
（2）注意充分条件与必要条件的两个特征的应用 ①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，则p q q . p ②传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件， 则p是r的充分（必要）条件，则“ p q且 q r” “p r ”或“ p q且qr” “p r”.
第九页，编辑于星期五：四点 四十一分。
第七页，编辑于星期五：四点 四十一分。
〔3〕利用“等价命题〞判断真假 由于互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，所以当一个命题不 易直接判断时，可通过判断其逆否命题的真假而判断原命题的真假. 例：判断“假设ab≤0那么a≤0或b≤0〞的真假. 解：它的逆否命题“假设a＞0且b＞0,那么ab＞0〞为真，故原命题也是真 命题.
＞b〞的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 个.
解析：由原命题为真命题，可知逆否命题为真命题，逆命题和否命
题为假命题. 答案： 1
第四页，编辑于星期五：四点 四十一分。
3. 〔教材改编题〕设原命题：假设a+b≥2，那么 a,b中至少有一个不小于1，那 么原命题为__命题,逆命题为__命题(填“真〞或“假〞).
解析：因为原命题的逆否命题为:假设a,b都小于1，那么a+b＜2,显然为真，所以 原命题为真；原命题的逆命题为：假设a,b中至少有一个不小于1，那么a+b≥2， 是假命题，反例为a=1.2,b=0.3. 答案： 真 假
高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
［思考流程］(1)分析：明确复数的概念．推理：利用
复数 z＝a＋bi 与 z2＝a2－b2＋2abi 的关系进行判断．结论：
根据判断得出正确结论．
点 面
(2)分析：根据四种命题的关系写出原命题的逆命题和否
讲 命题．推理：利用二次函数的单调性与对称轴的关系判断真
[解析] 根据充分条件的概念可知，A 是 C 的充分条件．
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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
双
向
—— 疑 难 辨 析 ——
固
基 础
1．判断命题四种形式的易错易混点
(1)四种形式的命题中，真命题的个数为 0，2 或 4.( )
(2)命题“四边形的内角和是 360°”的否命题是“四边
形的内角和不是 360°”．( )
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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
双
向
命题
表达形式
固
原命题
若 p，则 q
基 础
逆命题
__若__q_， ___则__p__
否命题
若____p_，___则____q
逆否命题
若____q_， ___则____p
原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假． (3)四种命题的关系
图121
基 分、必要或充要)．
础
[答案] 充要
[解析] 由不等式的性质可知“a>b”是“a＋c>b＋ c”成立的充要条件．
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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
双
向 固 基
4．充要条件的传递性：若 A⇒B，B⇒C，则 A⇒C， 即 A 是 C 的________条件(填充分、必要或充要)．
高考数学第一轮学案和测评复习课件 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
④ x2 1 的 2解x集可表示为{1,1}.
其中真命题的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解成析 立：；①③假假命命题题，，集如合a=N0,中b=最1,小则的a+数b是=10；；④②假假命命题题，，{1如,1a}与 集12时合,命元题素不的 互异性矛盾，其解集应为{1}.
解 s是q的充要条件 (s r ；q, q s) r是q的充要条件 (r q, q ; s r) p是q的必要条件 (q s .r q) 学后反思 图可以画得随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关 系,利用它们的传递性和对称性判断.
举一反三 3. 设A、B、C三个命题，若A是B的充要条件，C是B的充分不 必要条件，则C是A的 条件.
解析: 由a-c>b-d,c>d两个同向不等式相加得a>b,但 c>d,a>b a-c>b-d.例如a=2,b=1,c=-1,d=-3时，a-c<bd. 答案: B
题型三 三个或三个以上命题之间充要条件的判定 【例3】已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件， 那么s，r，p分别是q的什么条件？ 分析 画出关系图，观察求解.
∵p是q的充分不必要的条件，∴A B.
10′
m0
∴
1 m 2, (两个等号不能同时取到)
∴
m9
......1..m....1.0..............................
12
学后反思 本题采用了等价转化的方法将原命题的条件转化为等价命‘题的形式，
然后从集合的角度去解决此类问题，既简便又快捷.
江苏专用高考数学一轮复习考点02命题及其关系充分条件与必要条件必刷题含解析
江苏专用高考数学一轮复习考点02命题及其关系充分条件与必要条件必刷题含解析1、命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．【答案】假【解析】命题“若x>0，则x2>0”的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x2>0，则x>0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．2、给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为____．【答案】③【解析】①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝3π2，β＝π2，则α>β，但cosα＝cosβ，充分性不得证，若α＝3π2，β＝2π，cosα<cosβ，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cosα<cosβ”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a＝0，则f(x)＝x3，x∈R，f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，若f(x)＝x3＋ax(x∈R)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)对任意的x∈R恒成立，即(－x)3＋a(－x)2＝－(x3＋ax2)，即ax2＝－ax2，即a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax，x∈R为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.3、设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．【答案】充要【解析】由题意当甲成立时乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．4、i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．【答案】i⊥j【解析】a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，即15i 2－16i ·j －15j 2＝0，∵|i |＝|j |＝1， ∴16i ·j ＝0，即i ·j ＝0，∴i ⊥j . 5、有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 【答案】②③【解析】①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．6、记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a 的取值范围为____． 【答案】(－∞，－3]【解析】由x 2＋x －6<0得－3<x<2，即A ＝(－3，2)，由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A ⊆B ，所以a≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]． 7、给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ③若a <b ，则am 2<bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号) 【答案】①④【解析】①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z)．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，则“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．8、在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的________条件．【答案】必要不充分【解析】在△ABC 中，A >30°⇒0<sin A ≤1，不能推出sin A >12，而sin A >12⇒30°<A <150°，所以在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件．9、下列命题的否命题为假命题的个数是________． ①p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； ②p ：有的三角形是正三角形； ③p ：所有能被3整除的整数为奇数； ④p ：每一个四边形的四个顶点共圆． 【答案】1【解析】①p 的否命题：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，为真命题； ②p 的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；③p 的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真命题； ④p 的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．10、已知||a ＝2||b ，命题p ：关于x 的方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实数根．命题q ：〈a ，b 〉∈[0，π3]，命题p 是命题q 的________条件． 【答案】充分不必要【解析】方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实根，∴Δ＝||a 2－4a ·b ＝||a 2－4||a ||b cos 〈a ，b 〉＝||a 2－2||a 2cos 〈a ，b 〉<0，∴cos 〈a ，b 〉>12，又∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴0≤〈a ，b 〉<π3，∵[0，π3)⊆[0，π3]，∴p 是q 的充分不必要条件．11、“函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是________． 【答案】1≤a <19【解析】函数的图象全在x 轴上方，若f (x )是一次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＝0－4a －1＝0⇒a ＝1.若函数是二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0[－4a －1]2－12a 2＋4a －5<0⇒1<a <19.反之若1≤a <19，由以上推导，函数的图象在x 轴上方．综上，充要条件是1≤a <19.12、(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围； (2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围． 【答案】(1) p ≥4 (2) 不存在实数p 满足题设要求 【解析】(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0， 由4x ＋p <0，得x <－p4，故－p4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件． (2)不存在实数p 满足题设要求．13、已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(－∞，－34]∪[34，＋∞)【解析】化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]，∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1， ∴x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716，∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．14、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．【答案】(1) 在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列 (2) 此时逆命题为真【解析】(1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)当q ＝1时，逆命题为假，当q ＝－12时，逆命题为真，证明如下：数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2·a 1·qm ＋1＝a 1·qm －1＋a 1·q m.∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1.显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假． 当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1[1－－12m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， S m ＋S m ＋1＝a 1[1－－12m]1＋12＋a 1[1－－12m ＋1]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．15、设集合A ＝{x|x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x||x ＋a|<1}． (1) 若a ＝3，求A ∪B ；(2) 设命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (－4，1) (2) [0，2]【解析】(1) 解不等式x 2＋2x －3<0，得－3<x<1，即A ＝(－3，1)． 当a ＝3时，由|x ＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1)．(2) 因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以集合B 是集合A 的真子集．又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1≤1，解得0≤a≤2，即实数a 的取值范围是[0，2]．16、设函数y ＝lg (－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m)的值域为B.(1) 当m ＝2时，求A∩B；(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (1，2) (2) (0，1] 【解析】(1) 由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3， 所以A ＝(1，3)．因为函数y ＝2x ＋1在区间(0，m)上单调递减，所以y ∈⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，所以当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A∩B＝(1，2)． (2) 由题意得m>0.因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以B A ，即⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2(1，3)，所以2m ＋1≥1，解得0<m≤1，故实数m 的取值范围为(0，1].17、已知非空集合A ＝{x|x －2x －（3a ＋1）<0}，B ＝{x|x －a 2－2x －a <0}．(1) 当a ＝12时，求∁R B ∩A ；(2) 命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1) ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52 (2) a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52 【解析】(1) 当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∁R B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以∁R B ∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52. (2) 由q 是p 的必要条件可得A ⊆B . 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.18、已知命题“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1) 求实数m 的取值集合M ；(2) 设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2 (2) (－∞，－14)∪(94，＋∞)【解析】(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解，即m 的取值范围即为函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域，易得－14≤m <2，所以M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.(2) 因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >2－a ，即a >1时，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <2－a ，即a <1时，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－14)∪(94，＋∞).。
高考数学一轮总复习 1.2 命题及其关系、充要条件课件 理 苏教版
【训练2】 已知条件p：x≤1，条件q：1x＜1，则綈p是q的 ________条件． 解析 由x＞1，得1x＜1；反过来，由1x＜1，不能得知x＞1， 即綈p是q的充分不必要条件．
答案(dáàn) 充分不必要
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考点三 充要条件的应用 【例3】 (2014·无锡一中调研)已知函数f(x)＝ax－bx2(a>0)．
(1)当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2 b； (2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立的充要条 件是b－1≤a≤2 b. 证明 (1)由题意知bx2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成立， ∴Δ＝a2－4b≤0，又a>0，b>0，∴a≤2 b.
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规律方法 (1)涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价 转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来 解决． (2)①p的充分不必要条件为q，等价于p⇐q，q p；②p的必 要不充分条件为q，等价于p⇒q，q p.
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【训练3】
已知p：2x2－9x＋a＜0，q：
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• 【训练(xùnliàn)1】 (2013·吉林白山二模)命题“ 若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是 ________．
• 答案 若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
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• 考点二 充分条件、必要(bìyào)条件的判断 • 【例2】 (1)(2013·福建卷改编)设点P(x，y)，则 “x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0
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法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件， ∴p 是 q 的充分而不必要条件， 由 q：x2－2x＋1－m2≤0， 得 1－m≤x≤1＋m， ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 由 p：1－x－3 1≤2， 解得－2≤x≤10， ∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．
高考数学大一轮复习 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理 苏教版
1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又 否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B A)； 与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A B)两者的不同．
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[试一试] 1．(2013·南通一模)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以 判断(pàndu的àn)真假 陈述句叫做命题．其中 判断(pànduà的n)语为真句叫真命题，判断(pàndu的àn)为 语句叫假命题．
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2．四种命题及相互关系
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3．四种命题的真假关系
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[解析] (1)由s：数列{(n－a)2}是递增数列， 知(n－a)2<[(n＋1)－a]2，则2a<2n＋1得a<32， 所以s是t的必要不充分条件． (2)由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过 坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐 标原点”的充分而不必要条件． [答案] (1)必要不充分 (2)充分不必要
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[针对训练] 下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)在△ABC 中，p：A＝B，q：sin A＝sin B； (2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.
解：(1)若 A＝B，则 sin A＝sin B，即 p⇒q. 又若 sin A＝sin B，则 2Rsin A＝2Rsin B，即 a＝b. 故 A＝B，即 q⇒p. 所以 p 是 q 的充要条件． (2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A， q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或 x≤－1}＝B，∵A B， ∴p 是 q 的充分不必要条件．
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(2)四种命题间的关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有_相__同__的真 假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们 的真假性_没__有__关__系__． 思考感悟 否命题与命题的否定有何不同？ 提示：命题：若 p 则 q，否命题是若綈 p 则綈 q，
而命题的否定只否定命题的结论．
名师预测 1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数” 的否命题是________． 解析：原命题的否命题是既否定题设又否定结 论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数” 的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是 奇函数”． 答案：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
【解析】 q：(x－a)(x－a－1)＞0，∴x＜a 或 x ＞a＋1.
∴綈 q：a≤x≤a＋1.又∵p 是綈 q 的充分不必要
条件， ∴p⇒綈 q，p：12≤x≤1. ∴a≤12且 a＋1≥1，∴0≤a≤12. 【答案】 [0，12]
【名师点评】 本题中易漏掉a＝0与a＝的情 况，此类问题可检验端点值是否成立． 互动探究 3 在例 3 中“若 p 是綈 q 的充分不必
失误防范 1．四种命题间的等价转化分为两组，因此， 正确命题的个数应为偶数，其次原命题的真假 与逆命题间不存在等价性． 2．充分必要性的判断要严谨，命题的叙述与 表达对充分必要性有直接的影响，要按规则判 断．不能受题目叙述思维的误导而得出错误结 论，即多采用反例法、否定法来推断．
考向瞭望·把脉高考
以区分，若綈 p⇒綈 q，则 p 是 q 的必要条件，q 是 p
的充分条件，另外还可以利用集合关系进行解释，记 条件 p、q 对应的集合分别是 A、B，若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件． 从集合的角度理解，“小范围”可以推出“大范围”， “大范围”不能推出“小范围”，如例 2、例 3.
3．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的_充__分__条__件__， q是p的_必__要__条__件___； (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 _充__要__条__件___．
课前热身
1．(2011年苏北四市调研)下面有四个命题： ①集合N中最小的数是1； ②若a属于N*，则－a不属于N； ③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2； ④x2＋1＝2x的解集可表示为{1,1}． 其中真命题是________． 答案：②
答案：必要而不充分
4．(2011年苏州调研)命题“若x＞0，则x2 ＞0”的否命题是________命题．(填“真”或 “假”)
答案：假
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 命题关系及命题真假的判断
如果要判断一个命题是假命题，只需举出 反例即可；如果要判断命题是真命题则需要 进行证明．由于原命题与逆否命题等价，逆 命题与否命题等价，因此在直接证明原命题 的真假有困难时，可以考虑与它等价的逆否 命题．
高考数学文优化方案一轮复习课件第第二命题及其关系充 分条件与必要条件苏教江苏专用
第
二
节
双基研习·面对高考
命
题
及
其
关
系 、
考点探究·挑战高考
充
分
条
件
与 必
考向瞭望·把脉高考
要
条
件
双基研习·面对பைடு நூலகம்考
基础梳理
1．命题的概念 可以_判__断__真__假__的语句叫做命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题
考情分析
由于四种命题及其关系，要涉及具体的知 识点，所以容易混淆的知识点也常常成为命题 的载体，充分必要性的判断是常考内容．高考 可能会联系其他重点知识设计成对充要条件的 考查，如集合、直线方程、空间中位置关系的 理解等等都可以成为考查充要条件的载体．
江苏省近几年没有独立的对本部分内容考 查，但结合其他省份的高考命题情况来分析， 本部分内容是常考的命题点之一，因而对本部 分内容的复习还是要给出一定的关注．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)， 则a＋b＜0，真命题．因为一个命题⇔它的 逆否命题，所以可以证明原命题为真命 题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a， 又因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以 f(a)≥f( － b) ， f(b)≥f( － a) ， 所 以 f(a) ＋ f(b)≥f(－a)＋f(－b)，所以逆否命题为真．
bc”的充分不必要条件；对于③，“a＞b”是
“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件．
答案：2
考点三 充要条件的应用
本考点主要是讲在明确了充分必要性的基础 之上来求一些含字母的范围问题．本类问题 多以否定形式给出，可借助命题的等价性转 化为肯定式，进而容易解答．
例3 已知 p：12≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)＞0， 若 p 是綈 q 的充分不必要条件，则实数的取值范 围是________． 【思路分析】 求出 q 中的 x 的范围，写出綈 q 或写出綈 p，利用 p⇒綈 q⇔q⇒綈 p.
变式训练2 对任意实数a、b、c，给出下列 命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充分且必要 条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数” 的充分且必要条件；③“a＞b”是|a|＞|b|的充 分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件． 其中真命题的个数是________．
解析：②④正确；对于①，“a＝b”是“ac＝
考点二 充分条件与必要条件的判定
解这类问题必须明确哪个是条件，哪个是结 论，然后再看是由条件推出结论，还是由结 论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、 充要条件的定义加以证明．
例2 (2011 年苏州调研)下列各小题中，p 是 q 的 充要条件的是________．(填写正确命题的序号) ①p：m＜－2 或 m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3 有 两个不同的零点；
真题透析
例
(2010
年
高
考
广
东
卷
改
编
)“m
＜
1 4
”
是
“一元二次方程 x2＋x＋m＝0 有实数解”的
________条件．
【解析】 ∵x2＋x＋m＝0 有实数解， ∴m＝－x2－x， 令 f(x)＝－x2－x＝－(x＋12)2＋14， ∴f(x)的值域为(－∞，14]， ∴x2＋x＋m＝0 有实数解时，m≤14， ∴“m＜14”是“x2＋x＋m＝0”有实数解的充 分非必要条件．
2．函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图象关于直线 x＝1
对称的充要条件是________． 解析：函数 f(x)图象的对称轴为 x＝－m2 ，令－m2 ＝1，则 m＝－2.
答案：m＝－2
3．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋(m＋1)y ＝2－m 与直线 mx＋2y＝－8 互相垂直的充要条 件是 m＝________.
【解】 ∵f′(x)＝1＋cosx≥0，∴f(x)在(－∞， ＋∞)上为增函数． (1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0，真命题．用反证法证明：假设a＋b ＜0，a＜－b，b＜－a，因为f(x)是(－∞，＋ ∞)上的增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－ a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题 设相矛盾，所以逆命题为真．
要条件”改为“若綈 p 是綈 q 的必要不充分条 件”，其他不变，则结果如何？
解：由例 3 知 q：x＜a 或 x＞a＋1. 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，
∴綈 q⇒綈 p，∴p⇒q， ∴a≥1 或 a＋1≤12， 即 a≤－12或 a≥1.
方法感悟
方法技巧 1．对于命题正确性的判断，可以根据命题特点 灵活处理，也可以在四种形式中进行选择，再 结合原命题与逆否命题的等效关系得到我们要 判断的结论．而四种命题的定义和区别主要在 于命题的结构和条件的变化上，在判断否命题 真假的时候，由逆命题和否命题的同真同假， 可以判断逆命题的真假，因为逆命题容易写 出．否定语气叙述的命题常用命题的等价性进 行转化，如例1.
例1 已知函数f(x)＝x＋sinx，x∈R，a，b∈R， 对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋ f(－b)．” (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结 论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的 结论．
【思路分析】 首先用导数法，判断出f(x)的 单调性，利用命题的等价性判断．
【名师点评】 本题可由提供的命题的特 点，联想到与函数的单调性有关，但误区是 采用单调性的定义来判断函数的单调性，这 说明对知识的归纳不到位．
变式训练1
若m≤0，或n≤0，则m＋n≤0.写出逆命题、 否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真 假．
解：逆命题：若m＋n≤0，则m≤0，或n≤0.逆 命题为真． 否命题：若m＞0，且n＞0，则m＋n＞0.否命题 为真． 逆否命题：若m＋n＞0，则m＞0，且n＞0.逆否 命题为假．
【答案】 充分非必要
【名师点评】 (1)本题为充要条件中范围“包 含”问题，一元二次方程有实根时 m 的取值范 围与“m＜14”进行比较，利用集合的观点可得 到本考题的结果． (2)本题另一个要注意的可学习的“点”是：m 的 取值范围仅仅在“1”舍取上，这是最大的差异，
4 这提醒我们考生，细微之处定成败．
③，当 α＝β＝π2时，cosα＝cosβ 成立，但 tanα＝ tanβ 不成立；对于④，∵A∩B＝A，∴A⊆B， ∁UB⊆∁UA，反之也成立．