测量平差基础参考资料

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测量平差知识大全

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

测量平差概要

测量平差概要一、基本概念01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。

02、在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。

03、协方差与权互为倒数。

04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。

05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。

06、协因数阵与权阵互为逆阵。

07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。

08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。

09、偶然误差服从正态分布。

10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。

11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的个数等于必要观测数。

12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函数法。

13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。

14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。

15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中误差的3倍作为极限误差。

16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。

17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。

18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。

19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。

20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。

21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。

22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。

23、测角精度与角度的大小无关。

24、观测值的权通常是没有量纲的。

25、在山地，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比。

26、测角网的必要观测个数等于待定点个数的2倍。

27、仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件28、独立水准网的条件方程式只有闭合水准路线。

29、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。

30、观测值的协因数与方差成正比，观测值的权与方差反比。

测量平差-中国地质大学-北京-复习资料01

一、填空题（共20分，每空 2 分）1、如下图，其中A 、B 、C 为已知点，观测了5个角，若设L 1、L 5观测值的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为，多余观测个数为，一般条件方程个数为，限制条件方程个数为ABCDEL 1L 2L 3L 4L 52、测量是所称的观测条件包括、观测者、3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（L 1、L 2），其中误差cm 221==σσ，往返测的平均值的中误差为，若单位权中误差cm 40=σ，往返测的平均值的权为4、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，其极大值方向为，若单位权中误差为±2mm ，极小值F 为 mm 。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0.15.05.00.2XXQ 二、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。

（10分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25.015.015.036.0XXQ 三、设有一函数2535+=x T ，6712+=y F 其中：⎩⎨⎧+++=+++=n n nn L L L y L L L x βββαααΛΛ22112211 αi ＝A 、βi =B （i ＝1，2，…，n ）是无误差的常数，L i 的权为p i =1，p ij ＝0（i ≠j ）。

（15分） 1）求函数T 、F 的权； 2）求协因数阵TF Ty Q Q 、。

四、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。

（20分）用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；C五、如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

(20分)A六、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。

（15分）1）试在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差，并说明； 2）试在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差，并说明；3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且︒=52F ϕ,试计算方位角为102º的PB边的中误差。

测量平差知识大全

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

测绘学概论--测量平差基础

测量平差的研究内容

因观测量不可避免带有误差，如何处理由于多余观测引起的观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度是测量平差的基本任务；由于多余观测值之间的不符来自观测的偶然误差，故必须研究误差概率统计理论，包括偶然误差分布、评定精度指标、误差传播律、误差检验与误差分析等；

Z = k1X1 + k2X2 + …+ knXn + k0

当Xi两两独立时，Z的方差可由下式计算得到：

σ2z = k21σ2x1 + k22σ2x2 + … + k2nσ2xn
传播律示例

例1： 1：500图上，量得某两点间距为d= 23.4mm, 量测中误差为0.2mm，求该两点实地距离S的中误差

观测误差理论

偶然误差规律性及其统计分布

真误差为真值与观测值之差，即△=X – Li 偶然误差特性：

值有一定范围；满足正态分布[基于概率统计]；

衡量精度的指标

精度反映了测绘成果质量；由误差的大小表示中误差是普遍采用的表达精度的指标，其平方称为方差依据概率统计，中误差与真误差之间存在数学关系，如：

显然，精度越高，权越大，在平差中所占分量越大

协方差

描述两个相关观测量之间的相关精度的指标也可以用相关系数描述两个变量之间的相关性

误差传播律

已知观测量的中误差，如何求观测量函数的中误差设z=f(x, y),当x, y的中误差已知时，z的中误差为

σz = F(σx, σy)

设观测量序列Xi (i = 1, …,n), Z为线性函数，可表达为：

《测量平差》实习三例题知识讲解

《测量平差》实习三
例题
实习三：间接平差方法应用
（一）、有关距离的平差：
1、在下图中，A、B、C三点在一直线上，测出了AB、BC及AC的距离，得４个独立观测值：Ｌ1=200.010m，Ｌ2=300.050m，Ｌ3=300.070m，Ｌ
4
=500.090m。

若令100m量距的权为单位权，试按条件平差法确定Ａ、C之间各段距离的平差值。

（二）、有关水准的平差
2、水准网图（1）的观测高差及水准路线长度见下表：按条件平差求：（1）高
差平差值ˆ
i
h；
（2）A点至E点平差后高差的中
误差ˆAE h
σ；（3）E点至C点平差后
高差的中误差ˆEC h
σ。

3、在下图的水准网中，观测高差及路线长度见下表：已知A,B点的高程
差法求:(1)各观测高差平差值;(2)平差后P1
到P2点间高差的中误差。

（三）、有关角度的平差
4、在下图左中，观测了测站O上的4个角度，得同精度观测值：
L1=30˚00΄20˝、L2=50˚00΄00˝、L3=20˚00΄00˝、L4=40˚00΄20˝，试按条件平差求：
（1）各角度的平差值及平差值协因数阵；（2）平差后∠AOC的权倒数。

5、在上图右的测角网中，A、B、C、D均为待定点，观测5个角度，得观测值：β1=40˚00΄20˝、β2=100˚00΄30˝、β3=50˚00΄20˝、β4=120˚00΄00˝、
β5=50˚00΄20˝，其中，A角为固定值90˚00΄00˝，按条件平差求各角平差值及其协
因数阵。

测量平差基础参考资料

第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。

二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。

只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。

2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。

3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。

第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。

第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。

重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。

难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。

要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。

第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。

重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。

难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。

要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。

第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。

重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。

难点：函数模型的线性化，随机模型。

要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。

(整理)测量平差

测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。

人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。

测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。

2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。

①观测值线性函数的方差：函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。

权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。

()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。

②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。

确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。

凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。

权为1的观测值，称为单位权观测值。

无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。

③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。

SC P h =式中，S 为水准路线的长度。

ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。

ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。

测量平差-中国地质大学-北京-复习资料01

⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0.15.05.00.2XXQ 二、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。

（10分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25.015.015.036.0XXQ 三、设有一函数2535+=x T ，6712+=y F 其中：⎩⎨⎧+++=+++=n n nn L L L y L L L x βββααα 22112211 αi ＝A 、βi =B （i ＝1，2，…，n ）是无误差的常数，L i 的权为p i =1，p ij ＝0（i ≠j ）。

（15分） 1）求函数T 、F 的权； 2）求协因数阵TF Ty Q Q 、。

四、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。

（20分）用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；ACBDh 1h 2h 3h 4h 5E h 6高差观测值/m 对应线路长度/km已知点高程/mh 1= -1.348 h 2= 0.691 h 3= 1.265 h 4= -0.662 h 5= -0.088 h 5= 0.7631 1 1 1 1 1H A =23.000 H B =23.564 C B =23.663五、如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

测量平差复习资料

PLL
Q1 LL
P Q LL LL E
a、当L相互独立时；
b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念权阵P与权Pｉ是两个不同的概念： 1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ； 2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
side10
例1：
L

( L1 ,
L2
)T
,
QLL
side22
基础方程和它的解
数学模型
A W 0 W F (L)
D
02Q

2 0
P
1
V T PV 最小
A V W 0
rn n1 r1
V QAT K
A V W 0
rn n1 r1
K ( AQAT )1W Naa1W
法方程式
side23
side25
五、附加参数的条件平差
基础方程：

A V B x W 0
cn n1 cu u1 c1
V T PV 最小

法方程式： AQAT K B xW 0 BT K 0
side26
算例6
在下图所示测角网中，A、B、C 为待定点，同精度观测了 L1、L2、 L3和 L4共四个角度观测值。设平差后BAC 为参数 Xˆ ，指出采用何种平差模型，并写出函数模型和法方程。
以上项：
side19
算例4：
下图所示三角网中，A,B 为已知点，FG 为已知边，观测角 Li （i 1,2, ,20），观测边 S j （ j 1, 2），则 ①在对该网平差时，共有几种条件？每种条件各有几个？ ②用文字符号列出全部条件方程，将其中的一个极条件和一个边长条件线性化。

测量平差基础(修改)

cm1
cm2

cmn

将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT c12
c22

cn
2

nm
c1n
c2n

cnm

矩阵转置的性质：
(1)C DT ,则：D CT (2)( AT )T A (3)( A B)T AT BT (4)(kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
L3=180°－L1－L2
L1
（2）观测了三角形三内角L1、L2、L3，由于有误差，一般情况下：
L1+L2+L3≠180°
L2
存在闭合差（观测值与理论值之差）
L3
w=L1+L2+L3－180°
出现了三角形三内角观测值之和不等于
180°的矛盾。
那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何来解决这些矛盾呢？
（6）若 AT A 则A为对称矩阵。
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
2．提出了相关平差 3．产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤波，
推估和配置。 4．形成了秩亏自由网平差理论 5．出现后验定权方法，形成了方差－协方差估计理论。 6．展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。 7．展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估

测量平差知识大全

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

测量平差复习资料

测量平差复习资料一、证明题
1、Z与W的协方差
（1）
2、告诉条件平差公式告诉(1)条件平差的公式；推论出Q VV 及Q LL
(2)间接平差
3、水准测量（1）按测站
（2）按路线
二、推导题
（1）
（2）
填空题
1、u = 0 条件平差；u = t 间接平差；u<t 附有参数的条件平差；u>t 附有限制条件的间接平差（注：t为必要观测，u为参数的个数）
2、正态分布参数μ、σ，μ确定了曲线中心位置，σ越小f(x)值越大曲线越陡峭。

3网中只有一个已知高程点称为自由网，其必要观测为网中水准点的总数减一。

符合水准网，网中已知高程点大于等于2个，其必要观测为网中待测水准点的个数。

（p69）
3、测量误差的种类主要平定那种误差
粗差、系统误差、偶然误差（主要平定的误差）
4、精度（p15）精确度（p19）
5、偶然误差的特性：有界性聚中性对称性、抵偿性
6、协方差p27
计算题
P67(例5-1) p99(例6-1) p109(例6-4)。

测量平差资料

测量平差资料第⼀章绪论⼀、观测误差1、为什么要进⾏观测必要观测、多余观测2、误差存在的现象3、误差产⽣的原因观测条件：观测仪器、观测者、外界条件4、误差的分类粗差、系统误差、偶然误差5、误差的处理办法⼆、测量平差的简史和发展三、测量平差的两⼤任务及本课程的主要内容第⼆章误差分布与精度指标⼀、偶然误差的规律性1、随机变量2、偶然误差的分布正态分布3、偶然误差的统计特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、在⼀定的观测条件下，偶然误差的绝对值有⼀定的限值，即超过⼀定限值的偶然误差出现的概率为零；2、绝对值较⼩的偶然误差⽐绝对值较⼤的偶然误差出现的概率⼤；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的理论平均值为零⼆、随机变量的数字特征（1）反映随机变量集中位置的数字特征---数学期望（2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度----⽅差（3）映两两随机变量x、y相关程度的数字特征---协⽅差3、协⽅差(a) 定义相关系数三、衡量精度的指标1、⽅差和中误差2、平均误差3、或然误差4、极限误差5、相对（中、真、极限）误差四、随机向量的数字特征1、随机向量2、随机向量的数学期望3、随机向量的⽅差-协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点4、互协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点五、精度准确度精确度观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的⼤⼩。

1、精度：描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的⾼低。

2、准确度：描述系统误差和粗差，可⽤观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可⽤观测值的均⽅误差来描述，即：即观测值中只存在偶然误差时，均⽅误差就等于⽅差，此时精确度就是精度。

七、⼩结第三章协⽅差传播律⼏个概念1、直接观测量2、⾮直接观测量---观测值的函数⽔准测量导线测量三⾓形内⾓平差值3、独⽴观测值4、⾮独⽴观测值----相关观测值独⽴观测值各个函数之间不⼀定独⽴5、误差传播律6、协⽅差传播律⼀、观测值线性函数的⽅差设观测向量L及其期望和⽅差为：若观测向量的多个线性函数为三、两个函数的互协⽅差阵四、⾮线性函数的情况五、多个观测向量⾮线性函数的⽅差—协⽅差矩阵设观测向量的t个⾮线性函数为：对上式求全微分，得六、协⽅差传播律的应⽤1、⽔准测量的精度2、距离丈量的精度3、同精度独⽴观测值算术平均值的精度七、应⽤协⽅差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并⽤观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统⼀；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应⽤协⽅差传播律，得出所求问题的⽅差-协⽅差矩阵。

测量平差备考复习资料

一、正误判断（正确“T ”，错误“F ”每题1分，共10 分）。

1．已知两段距离的长度及中误差分别为128.286m ±4.5cm 与218.268m ±4.5cm ，则其真误差与精度均相同（）。

2．如果X 与Y 的协方差0xy σ=，则其不相关（）。

3．水准测量中，按公式i icp s =（i s 为水准路线长）来定权，要求每公里高差精度相同（）。

4．可用误差椭圆来确定待定点与待定点之间的某些精度指标（）。

5．在某一平差问题中，观测数为n ，必要观测数为t ，参数个数u ＜t 且不独立，则该平差问题可采用附有参数的条件平差的函数模型。

（）。

6．由于同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果不同，因此为了得到最佳平差结果，必须谨慎选择平差方法（）。

7．根据公式()222220cos sin 0360E F θσθθθ=+≤≤得到的曲线就是误差椭圆（）。

8．对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，则误差方程的个数是一定的（）。

9．对于同一个观测值来说,若选定一定权常数0σ，则权愈小，其方差愈小，其精度愈高（）。

10．设观测值向量,1n L 彼此不独立，其权为()1,2,,i P i n =，12(,,,)n Z f L L L =，则有22211221111Z n nf f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）。

二、填空题（每空2分，共24分）。

1、设对某三角网进行同精度观测，得三角形角度闭合差分别为：3秒，-3秒，2秒，4秒，-2秒，-1秒，0秒，-4秒，3秒，-2秒，则测角中误差为秒。

2、某平差问题函数模型)(I Q =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=+-+=--0ˆ03060515443121x v v v v v v v v ，则该函数模型为平差方法的模型；=n ，=t ，=r ，=c ，=u 。

测量平差基础参考资料[1]

第一章绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

§1-4 本课程的任务和内容一、测量平差的任务处理带有观测误差的观测值，估计待求量的最佳估值并评定测量成果的精度。

二、测量平差的内容1. 建立观测误差的统计理论，简称误差理论。

研究误差的统计分布，误差的估计与传播；2. 研究衡量观测成果质量的精度指标；3. 建立观测值与待求量之间的函数模型，以及描述观测精度及其相关性的随机模型；4. 研究估计待求量的最优化准则；5. 结合测量实践研究测量平差的各种方法；6. 研究预报和质量控制问题。

第二章误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

《测量平差基础理论》

间接平差函数模型
在实际计算中可以把观测量或待定量设为参数X 选定ｔ个相互独立参数
L ~ F(X ~)
n1
t1
n L ~ 1n B t tX ~ 1d3
设： X ~ X ~ 参 1X ~ 2X ~ 3 T 数 H ~ B H ~ C H ~ D T
h ~ 1 X ~ 1
H A
h ~ 2 X ~ 2 H A
h ~ 3 X ~ 2 X ~ 3
h ~ 4
X ~ 3 H A
h ~ 5 X ~ 1 X ~ 2
h ~ 6 X ~ 1 X ~ 3
间接平差函数模型
方程个数n<n+t未知数个数
(观测值改正数n；参数改正数t)
L ~ B X ~
必要观测数：确定某个模型所必需的最少的观测值的个数，称为必要观测数。
必要观测数用符号t表示。
必要观测数的性质
必要元素外部配置
必要观测
平差问题存在的条件
总观测数用n表示：当n<t时：
模型不能确定当n=t时：
模型能唯一确定当n>t时：
可以确定多个模型平差问题存在的条件是：n>t
n1 nt t1
d0
n1
Ln 1n B t(Xot~ x 1 )d n 0 1 B~xl
n1 nt t1 n1
lBX od0L
谢谢大家!
2007-5-8
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必要元素数的性质
必要元素的个数T只取决于模型本身所有的必要元素都是彼此函数独立的量模型中所有的量都是必要元素的函数一个模型中函数独立的量最多只有T个模型中作为必要元素的“量”不是唯一
的
必要观测数的定义
外部配置：用于推算其它元素的平差前后不发生改变的元素。

测量平差

条件方程（一）、水准网1、水准网的分类及水准网的基准分为有已知点和无已知点两类。

要确定各点的高程，需要1个高程基准。

2.水准网中必要观测数t的确定有已知点：t等于待定点个数无已知点：t等于总点数减一3、水准网中条件方程的列立方法列条件方程的原则：1、足数； 2、独立；3、最简（1）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一（3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简原则。

边角网条件方程单一附合导线的条件方程一个方位角条件两个坐标条件纵坐标条件为所以纵坐标条件方程为：纵坐标条件方程的最终形式为：GPS基线向量网三维无约束条件平差1.GPS基线向量网的观测值2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立GIS数字化数据采集中，折角均为90°的N边形的条件方程直角条件：小结：一、条件平差及其目的二、条件平差的原理三、总结了条件平差的步骤（1）根据具体问题列条件方程式；（2）组成法方程式，（3）解法方程；（4）计算改正数V，（5）求观测值的平差值（6）检核（7）精度评定附有参数的条件平差小结1、为了某种需要，选择参数；2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u 个参数，就增加u 个条件方程；3、条件方程的总数c=r+u ；4、单位权中误差的计算公式不变；5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。

间接平差三、选取参数的个数和原则1、所选取t个待估参数必须相互独立；2、所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。

四、不同情况下的误差方程1、水准网误差方程2、方位角误差方程测方位坐标平差函数模型测角网函数模型3、测边网误差方程4、GPS网误差方程。

测量平差期末考试公式总结

测量平差期末复习资料1. 将静止的海水面向整个陆地延伸，用所形成的封闭曲面代替地球表面，形成的重力等位面，这个曲面称为大地水准面。

其特点是水准面上任意一点的铅垂线(重力作用线)都垂直于该点的曲面。

2. 6°带中央子午线经度N=Ｌ=6N-3, 3°带中央子午线经度Ｌ=3n 。

3. 高程系统:确定该点沿铅垂方向到某基准面的距离。

绝对高程（海拔）：指某点沿铅垂线方向到大地水准面的距离，用Ｈ表示。

相对高程：某点距假定水准面的铅垂距离。

高差：地面上两点间的高程之差。

4. 地形：a,地物:地面上固定性物体，如河流、房屋、道路、湖泊等； b.地貌:地面的高低起伏的形态，如山岭、谷地和陡崖等。

5. 线性代数补充知识1）由n m ⨯个数有次序地排列成m 行n 列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A212222111211 2)若m=n ，即行数与列数相同，称A 为方阵。

元素a11、a22……ann 称为对角元素。

3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O 表示。

4)对于的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。

如：)(00000022112211nn mn n m a a adiag a aa A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯5)对于对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E 、I 表示。

6）若aij=aji ，则称A 为对称矩阵.矩阵的基本运算:1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则： 2）具有相同行列数的两矩阵A 、B 相加减，其行列数与A 、B 相同，其元素等于A 、B 对应元素之和、差。

且具有可交换性与可结合性。

3）设A 为m*s 的矩阵，B 为s*n 的矩阵,则A 、B 相乘才有意义，C=AB ，C 的阶数为m*n 。

O A=A O =O ，IA=AI=A ，A （B+C ）=AB+AC ，ABC=A （BC ）矩阵的转置:对于任意矩阵Cmn:nn ⨯n n ⨯BA =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m c c c c c c c c c C 212222111211将其行列互换，得到一个nm 阶矩阵，称为C 的转置。