【配套K12】2018-2019学年九年级数学下册 第二十七章 相似测试 (新版)新人教版

第二十七章 相似27．1 图形的相似01 基础题知识点1 相似图形1．下列各组图形相似的是(B )2．下列各项中不是相似图形的是(C )A ．放大镜里看到的三角板与原来的三角板B ．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片C ．哈哈镜里看到的人像与真人像D ．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图 知识点2 成比例线段3．下列各组线段成比例的是(D )A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm4．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，且a b ＝cd，其中a ＝8 cm ，b ＝4 cm ，c ＝12 cm ，则d ＝6cm .5．在比例尺为1∶200 000的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为9__000m .知识点3 相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为(A )A .23B .32C .49D .947．(2018·重庆A 卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为(C )A ．3 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm 8．下列四组图形中，一定相似的是(D )A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形 9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x ＝325，α＝80°．10．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，A′，B′，C′，D′分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，判断四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似． 理由：∵A′，B′分别是OA ，OB 的中点， ∴A′B′∥AB，A′B′＝12AB.∴∠OA′B′＝∠OAB，A′B′AB ＝12.同理，∠OA′D′＝∠OAD，A′D′AD ＝12. ∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′AB ＝A′D′AD.同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA， A′B′AB ＝A′D′AD ＝D′C′DC ＝B′C′BC ， ∴四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．易错点 没有分情况讨论导致漏解11．已知三条线段的长分别为1 cm 、2 cm 、 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的2__cm 或2__cm .02 中档题12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C )A ．150°B ．105°C ．15°D ．无法确定大小 13．已知四条线段的长度分别为2，x －1，x ＋1，4，且它们是成比例线段，则x 的值为(B )A ．2B ．3C ．－3D ．3或－314．如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B )A ．2DE ＝3MNB ．3DE ＝2MNC ．3∠A＝2∠FD ．2∠A＝3∠F15．(教材P 28习题T 5变式)如图，DE∥BC，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.8，AC ＝5.4.(1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似.解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.85.4＝13， DE BC ＝39＝13. (2)证明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.又∵∠DAE＝∠BAC，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似．16．如图，G 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E ，F.求证：四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．证明：∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG ，且AE ＝EG ，AF ＝FG. ∴AE＝EG ＝FG ＝AF. 又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE 为正方形． ∴AF AB ＝FG BC ＝GE CD ＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．03 综合题17．(教材P 28习题T 8变式)如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB ＝4.(1)求AD 的长；(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．解：(1)若设AD ＝x(x ＞0)，则DM ＝x2.∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似， ∴AD AB ＝DC DM， 即x 4＝4x 2.解得x ＝42(舍负)． ∴AD 的长为4 2.(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为 DC AD ＝442＝22.27．2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例01 基础题知识点1 相似三角形的有关概念1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A )A .AD AC ＝AE AB ＝DE BC B .AD AB ＝AE ACC .AD AE ＝AC AB ＝DE BCD .AE EC ＝DE BC2．已知△ABC 和△A′B′C′相似，且△ABC 与△A′B′C′的相似比为R 1，△A′B′C′与△ABC 的相似比为R 2，则R 1与R 2的关系是(D )A ．R 1＝R 2B ．R 1R 2＝－1C ．R 1＋R 2＝0D ．R 1R 2＝1知识点2 平行线分线段成比例定理及推论3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C )A .AC CE ＝BD DFB .AC AE ＝BD BFC .BD CE ＝AC DFD .AE CE ＝BF DF4．(教材P 31练习T 2变式)如图，在△ABC 中，DE∥BC.若AD DB ＝23，则AEEC＝(C )A .13 B .25 C .23 D .355．(2017·临沂)如图，已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝4．6．(2018·嘉兴)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.已知AB AC ＝13，则EFDE＝2．7．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．解：∵EG∥BC，∴AE EB ＝AGGC .∵GF∥CD，∴AG GC ＝AFFD .∴AE EB ＝AF FD ，即32＝6FD. ∴FD＝4.∴AD＝AF ＋FD ＝10.知识点3 相似三角形判定的预备定理8．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE∥BC.若BD ＝2AD ，则(B )A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝129．(2017·自贡)如图，在△ABC 中，MN∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N.若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为1.10．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF∥BC，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点 图形的不唯一导致漏解11．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为6或12．02 中档题12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，AD⊥BC 于点D ，点E 在AD 上，且DE ＝2AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 长为(C )A ．4B ．3C ．2.4D ．213．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝4 cm ，则线段BC ＝12cm .14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE 和BC 是两根互相平行的固定架，DE ＝10米，BC ＝18米，小明从底部固定点B 开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D ，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?解：∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE. ∴AD AB ＝DE BC， 即AD AD ＋8＝1018.∴AD＝10. 答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.15．如图，已知：AB ＝AD ，AC ＝AE ，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.证明：∵AB＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC≌△ADE.∴BC＝DE ，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED. ∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE.∴AF AD ＝AG AE ＝FG DE . ∴AF AB ＝AG AC ＝FG BC. 又∵∠C＝∠AED＝∠G， ∠B＝∠ADE＝∠F， ∠BAC＝∠FAG， ∴△ABC∽△AFG.03 综合题16．如图，AD∥EG∥BC，EG 分别交AB ，DB ，AC 于点E ，F ，G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG ，FG 的长．解：∵在△ABC 中，EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC. ∴EG BC ＝AE AB， 即EG 10＝35.∴EG＝6. ∵在△BAD 中，EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD.∴EF AD ＝BEBA ，即EF 6＝5－35.∴EF＝125. ∴FG＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，201 基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(A )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判断2．(教材P 34练习T 3变式)已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，当△DEF 的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C )A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm 3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B )4．如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20.在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53， ∴AC AE ＝AB AD ＝BC DE. ∴△ABC∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5．如图，已知△ABC ，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是(C )6．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC＝∠D，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的(C )A .AC AD ＝AB AE B .AC AD ＝BC DE C .AC AD ＝AB DE D .AC AD ＝BC AE7．在△ABC 和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB ＝6，BC ＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′. 8．如图，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．9．如图，已知在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a. ∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ， ∴DQ＝CQ ＝2a ，PC ＝a. ∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.易错点 对应边没有确定时容易漏解10. (2017·随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝125或53时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．02 中档题11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P 应在________处(C )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 412．如图，在等边△ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD∶AC＝1∶3，AE ＝BE ，则有(B )A ．△AED∽△BEDB ．△AED∽△CBDC ．△AED∽△ABD D ．△BAD∽△BCD13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED＝∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且ADAC ＝DF CG. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ADF＝∠C. 又∵AD AC ＝DF CG ，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG. ∴AD AC ＝AF AG ＝12. ∴AFFG＝1.14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜2)，连接PQ.若以B ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．解：由题意，得BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm . ①∵∠PBQ＝∠ABC，∴若△BPQ∽△BAC，则还需BP BA ＝BQBC ，即5t 10＝8－4t 8.解得t ＝1. ②∵∠PBQ＝∠CBA，∴若△BPQ∽△BCA，则还需BP BC ＝BQ BA ，即5t 8＝8－4t 10.解得t ＝3241.综上所述，当t ＝1或3241时，以B ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．03 综合题15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD. (1)通过计算，判断AD 2与AC·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC＝1， ∴CD＝1－5－12＝3－52. ∴AD 2＝AC·CD. (2)∵AD 2＝AC·CD， ∴BC 2＝AC·CD，即BC CD ＝AC BC.又∵∠C＝∠C ，∴△ABC∽△BDC.∴AB BD ＝ACBC .又∵AB＝AC ，∴BD＝BC ＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x°，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°. ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°.∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x°＋2x°＋2x°＝180°. 解得x ＝36. ∴∠ABD＝36°.第3课时相似三角形的判定定理301基础题知识点1两角分别相等的两个三角形相似1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)A．全等B．相似C．既全等又相似D．无法确定2．(教材P36练习T2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是(C)A．△ACD∽△CBDB．△ACD∽△ABCC．△BCD∽△ABCD．△BCD∽△BAC3．(2018·永州)如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(B) A．2 B．4 C．6 D．84．(2018·邵阳)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一．如：△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB．5．已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.6．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED.∴△ABC∽△FDE.7．甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F，G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E＝∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．甲同学的解答得到了老师的好评．乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：∵DF∥CB，∴△AFD∽△ABC.”乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．解：乙同学的解答不正确．与△ABC 相似的三角形还有△GFE，应该补上．证明如下： ∵DF∥BC，∴∠GFE＝∠ABC. 又∵∠E＝∠C， ∴△GFE∽△ABC.知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似8．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D )A ．∠B＝∠B 1 B .AB A 1B 1＝AC A 1C 1C .AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D .AB B 1C 1＝AC A 1C 19．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm 和454cm ，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．10．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.易错点 斜边和直角边比例不唯一导致漏解11．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则AD 的长为02 中档题12．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D )A ．∠ABP＝∠CB ．∠APB＝∠ABCC .AP AB ＝AB ACD .AB BP ＝AC CB13．如图，在△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于(A )A .154B .125C .203D .17414．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个角是50°的两个等腰三角形相似；③有一个角是60°的两个等腰三角形相似；④有一个角是110°的两个等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题是③④⑤(填序号)．15．(2017·齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A＝46°，则∠ACB 的度数为113°或92°．16．如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE＝60°，求AE 的长．解：∵△ABC 是边长为9的等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝9. ∴∠BAD＋∠ADB＝120°. ∵∠ADE＝60°，∴∠CDE＋∠ADB＝120°. ∴∠BAD＝∠CDE. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE. ∴AB DC ＝BD CE ，即99－3＝3CE.∴CE＝2. ∴AE＝9－2＝7.03 综合题17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝20，BC ＝10，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于点Q.(1)求证：△APQ∽△C DQ ；(2)P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒．当t 为何值时，DP⊥AC?解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB∥CD.∴∠APQ＝∠CDQ. 又∵∠AQP＝∠CQD， ∴△APQ∽△CDQ.(2)当t ＝5时，DP⊥AC. 理由：∵t＝5，∴AP＝5. ∴AP AD ＝510.又∵DA DC ＝1020，∴AP AD ＝DA DC. 又∵∠PAD＝∠ADC＝90°， ∴△PAD∽△ADC. ∴∠ADP＝∠DCA.∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°， ∴∠DCA＋∠CDP＝90°. ∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.小专题(四) 相似三角形的基本模型模型1 X 字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.1．(2018·恩施)如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为(D )A ．6B ．8C ．10D ．122．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE EC 的值是33．如图，已知∠ADE＝∠AC B ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB， 即∠BDF＝∠ECF. 又∵∠BFD＝∠EFC， ∴△BDF∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF＝4.模型2 A 字型及其变形(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.常见的结论有：AC 2＝AD·AB.)4．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC 的长为(B )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 35．如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG⊥BC 于点G ，AF⊥DE 于点F ，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.证明：∵AF⊥DE，AG⊥BC， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°， ∵∠EAF＝∠GAC， ∴∠AEF＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC.6．如图，AD 与BC 相交于点E ，点F 在BD 上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB ＋1CD ＝1EF.证明：∵AB∥EF， ∴△DEF∽△DAB. ∴EF AB ＝DF DB. 又∵EF∥CD， ∴△BEF∽△BCD. ∴EF CD ＝BF BD. ∴EF AB ＋EF CD ＝DF DB ＋BF BD ＝BDBD ＝1. ∴1AB ＋1CD ＝1EF.模型3双垂型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B)A．3 6 B．15 C．9 5 D．3＋3 58．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC模型4一线三等角型(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠ACD＝∠E，则△ABC∽△CED.特殊地，连接AD，当点C为BE 的中点时，△ABC∽△CED∽△ACD.图1 图29．(2017·江西)如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°.∴∠BEF＝∠CFG.∴△EBF∽△FCG.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.证明：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B， ∴∠BDE＝∠CEF. ∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE＝CE.∴CE CF ＝DEEF .∵∠DEF＝∠B＝∠C ，∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE＝∠CFE，即FE 平分∠DFC.11．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A ＝∠D＝90°. ∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°. ∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF. (2)∵AB＝AD ＝4，E 为AD 的中点， ∴AE＝DE ＝2.由(1)知，△ABE∽△DEF， ∴AB DE ＝AE DF ，即42＝2DF. ∴DF＝1.∴CF＝3. ∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF. ∴ED GC ＝DF CF ，即2GC ＝13. ∴GC＝6.∴BG＝BC ＋GC ＝10.周测(27.1～27.2.1)(时间：45分钟满分：100分) 一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F.若ABBC＝12，则DEEF＝(B)A.13B.12C.23D．12．下列两个图形一定相似的是(D)A．任意两个等腰三角形B．任意两个矩形C．任意两个菱形D．任意两个等边三角形3．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C)A.ADAB＝AEECB.ACGF＝AEBDC.BDAD＝CEAED.AGAF＝ACEC4．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则AB的长为(C)A.163B．8 C．10 D．165．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(D)A B C D6．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD·AB；③AB边上与点C距离相等的点D 有两个；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N ；第二步，连接MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ； 第三步，连接DE ，DF.若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是(D)A ．2B ．4C ．6D ．88．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(A )图1 图2 A ．两人都对 B ．两人都不对 C ．甲对，乙不对 D ．甲不对，乙对二、填空题(每小题4分，共24分)9．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm ，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为800__km . 10．如图，x ＝2．11．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE(答案不唯一)．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)12．如图，点O 是△ABC 中任意一点，且AD ＝12OD ，BE ＝13BO ，CF ＝13CO ，则△ABC∽△DEF，其相似比为3∶2．13．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE∥BC，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.则当AM⊥BM 时，BC 的长为8．14．如图，AB 是半圆直径，半径OC⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD ，OD ，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE ；③△ODE∽△ADO；④2CD 2＝CE·AB. 其中正确结论的序号是①④．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在△ABC 中，已知DE∥BC，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.求：(1)ADAB 的值； (2)BC 的长．解：(1)∵AD＝4，DB ＝8， ∴AB＝AD ＋DB ＝4＋8＝12. ∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB . 又∵DE＝3， ∴3BC ＝13. ∴BC＝9.16．(10分)如图，在△ABC 中，点D 为AC 边上一点，∠DBC＝∠A.(1)求证：△BDC∽△ABC；(2)如果BC ＝6，AC ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△BDC∽△ABC. (2)∵△BDC∽△ABC， ∴BC AC ＝CD BC ， 即63＝CD 6. ∴CD＝2.17．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA ＝12 cm ，OB ＝6 cm ，点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1 cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1 cm /s 的速度移动，如果点P ，Q 同时出发，用t(单位：s )表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA， 则OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6.解得t ＝2. ②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB， 则OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12.解得t ＝4. 综上所述，当t ＝2或4 s 时，△POQ 与△AOB 相似．18．(12分)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB＝90°，点O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连接OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD·BC.证明：(1)∵AB 是 ⊙O 的切线， ∴OD⊥AB.∴∠ADO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADO.又∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB.(2)由(1)，知△ADO∽△ACB，∴ADAC＝ODBC.∴AD·BC＝AC·OD.又∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.27．2.2 相似三角形的性质01 基础题知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．已知△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为4∶1，则△ABC 与△DEF 对应边上的高之比为4∶1 .2．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，则AD∶A′D′＝3∶4．3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm ，则另一个三角形对应角平分线长为274__cm ．4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD ＝4 cm ，C′D′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条高，AE ＝4.8 cm .求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE ，A′E′是对应的高线，∴AE A′E′＝CDC′D′， 即4.8A′E′＝410. ∴A′E′＝12 cm .知识点2 相似三角形周长的比等于相似比5．如图，AB∥CD，AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长的比是(D )A .25B .32C .49D .236．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ，且较小三角形的周长为15 cm ，那么较大三角形的周长为25cm .7．已知△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的周长分别为20 cm 和25 cm ，且BC ＝5 cm ，DF ＝4 cm ，求EF 和AC 的长．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴EF BC ＝2520. ∴EF＝54BC ＝54×5＝254(cm )．同理，AC DF ＝2025.∴AC ＝45DF ＝45×4＝165(cm )．∴EF 的长是254 cm ，AC 的长是165 cm .知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．(2018·内江)已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1∶3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为(D )A ．1∶1B ．1∶3C ．1∶6D ．1∶99．(2018·自贡)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为(D )A ．8B ．12C ．14D ．1610．(2018·荆门)如图，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 为CD 边的两个三等分点，连接AF ，BE 交于点G ，则S △EFG ∶S △ABG ＝(C )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶102 中档题11．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是(C )A .AE AC ＝12B .DE BC ＝12C .△ADE的周长△ABC的周长＝13D .△ADE的面积△ABC的面积＝1312．(教材P 43习题T 12变式)(2018·随州)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BDAD 的值为(C )A ．1B .22C .2－1D .2＋113．如图，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距离的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于点B ，E 和C ，F.若BC ＝2，则EF 的长是5．14．在▱ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ∶S △COB ＝19或49．15．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD 的面积为15，求△ACD 的面积．解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA. ∴S △ACD S △BCA ＝(AD AB )2＝(24)2＝14. ∴S △ACD S △BAD ＋S △ACD ＝14.∵△ABD 的面积为15， ∴S △ACD ＝5.16．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm 和14 cm ，它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长．解：∵两个相似三角形的对应边的比是35∶14＝5∶2，周长的比等于相似比， ∴可以设一个三角形的周长是5x ，则另一个三角形的周长是2x. ∵周长相差60 cm ，∴5x－2x ＝60，解得x ＝20. ∴这两个三角形的周长分别为100 cm ，40 cm .17．如图，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积．解：(1)证明：∵DC＝AC ，CF 平分∠ACB， ∴AF＝DF.又∵点E 是AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线． ∴EF∥BD，即EF∥BC.(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD. ∴S △AEF S △ABD ＝(AE AB)2. 又∵点E 是AB 的中点，∴AE AB ＝12.∴S △AEF S △ABD ＝14.∴S △AEF ＝14S △ABD . ∴S △ABD －6＝14S △ABD .∴S △ABD ＝8.03 综合题18．(2017·内江)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，CM 是∠BCD 的平分线，且CM⊥AB，M 为垂足，AM ＝13AB.若四边形ABCD 的面积为157，则四边形AMCD 的面积是1．小专题(五) 三角形内接特殊四边形问题——教材P58T11的变式与应用教材母题：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm .把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【母题分析】 (1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比． (2)解决本题的关键点：由EF∥GH，得到△AEF ∽△ABC.(3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系．解：设正方形的边长为x mm ，则EF ＝x mm ， ∵AD⊥BC，AD ＝80 mm ， ∴AK＝(80－x)mm .∵正方形EFHG 内接于△ABC，∴EF∥GH. ∴△AEF∽△ABC.∴EF BC ＝AKAD ，即x 120＝80－x 80.解得x ＝48. ∴这个正方形零件的边长是48 mm .解决本题的关键：(1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和．(2)方程思想：利用相似三角形的性质——“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中．1．如图，矩形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，点D 在边AB 上，点G 在边AC 上，△ADG 的面积是40，△ABC 的面积是90，AM⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，则AN∶AM＝2∶3．2．(2018·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是6017步．3．如图，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上，AD⊥BC，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，那么EH 的长为32．4．如图，已知锐角三角形ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8.矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 边上，EF 交AD 于点K.(1)求EFAK的值；(2)设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值．解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AK，AD 分别是△AEF，△ABC 的高， ∴AK AD ＝EF BC . ∴EF AK ＝BC AD ＝32. (2)∵EH⊥BC，AD⊥BC，∴EH∥AD. ∴△BEH∽△BAD.∴EH AD ＝BEBA ①.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∴EF BC ＝AE AB②. ①＋②，得EH AD ＋EFBC ＝1.∵EH＝x ，AD ＝8，BC ＝12， ∴EF＝12－32x.∴S＝EH·EF＝－32x 2＋12x ＝－32(x －4)2＋24.∵0＜x ＜8，∴当x ＝4时，S 有最大值，最大值为24.小专题(六) 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．(2018·北京)如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F.若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为103．2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为203cm .3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝152.4．(2017·深圳)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝3.5．(2018·江西)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，CA ＝6，CD∥AB，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．解：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC. 又∵AB∥CD， ∴∠D＝∠ABD.∴∠DBC＝∠D.∴BC＝CD ＝4. ∵∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED. ∴AB CD ＝AE CE.∴AE CE ＝84＝2. ∴AE＝2EC ，即EC ＝12AE.∵AC＝AE ＋EC ＝6， ∴AE＋12AE ＝6，即AE ＝4.类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是135°.7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，则∠DAE＝110°.类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB∥DC，AC 与BD 交于点E ，EF∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB等于(B )A .23B .14C .13D .359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．(2018·达州)如图，E ，F 是▱ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH的值为(C )A .12B .23C .34D ．111．(2017·桂林)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB＝3，BC ＝4，则AO AE 的值为724.类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE∽△ABC ； (2)DF·BF＝EF·CF.证明：(1)∵BD＝2AD ，CE ＝2AE ， ∴AB＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF·BF＝EF·CF.13．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC ＝90°. ∴∠A＝∠BCD. ∴△ABC∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD. 又∵E 为AC 中点， ∴AE＝CE ＝ED. ∴∠A＝∠EDA. ∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF. 又∵∠F 为公共角， ∴△FDB∽△FCD. ∴DF CF ＝BD CD . ∴DF CF ＝BC AC.类型5 利用相似求点的坐标14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到C ，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C 的坐标为(B )A ．(1，52)B ．(43，83) C ．(5，25) D ．(3，23)15．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)．小专题(七) 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为(D )A .35B .425C .225D .452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是(C)A ．3B ．2C ．1D ．1.23．(2018·巴中)如图所示，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD∥AB，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证：(1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD∽△DBC.证明：(1)连接OD. ∵∠DCA＝∠DCB， ∴AD ︵＝BD ︵.∴OD⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径， ∴PD 是⊙O 的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°， ∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°， ∴△PAD∽△DBC.5．如图，以△ABC 的边AC 为直径的⊙O 交AB 边于点M ，交BC 边于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC 为等腰三角形；。