人教版九年级数学第二十七章《相似》导学案

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人教版九年级数学教案第27章《相似》全章导学案(共13课时)

人教版九年级数学《相似》全章导学案第1课时图形的相似知识点1：相似图形的概念【例1】下列图形不是相似图形的是( C )A. 同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中的原有图案和放大图案C. 某人的侧身照片和正面照片D. 大小不同的两张同版本中国地图,1. 如图1－27－68－1，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是( A )图1－27－68－1A. 相似B. 平移C. 轴对称D. 旋转知识点2：相似图形的识别【例2】下列四组图形不是相似图形的是( D ),2. 观察下列各组图形，其中不相似的是( A )知识点3：比例尺的计算【例3】在一幅比例尺是1∶1 000 000的地图上，量得北京到天津的距离是12 cm，则北京到天津的实际距离是120km.,3. 要建一个长40 m，宽20 m的厂房，在比例尺是1∶500的图纸上，长要画cm( B )A. 5B. 8C. 7D. 6知识点4：画相似图形【例4】如图1－27－68－2的左边的格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.图1－27－68－2略.,4. 图1－27－68－3中的三角形称为格点三角形，请画出一个与图中三角形相似的格点三角形.图1－27－68－3略.A组5. “相似的图形”是指( A )A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形,6. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( D )A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变7. 如图1－27－68－4，下面选项中的四个图形与其相似的是( C )图1－27－68－4A B C D,8. 下列各组图形相似的是( B )B组9. 下列各组图形一定相似的是( C )A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形,10. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形. 其中，一定相似的有①②④⑤.(填序号)11. 在比例尺是1∶1 000 000的地图上量得广州到深圳的距离是16 cm，广州到深圳的实际距离是160km.,12. 两地实际距离为2 000 m，图上距离为2 cm，则这张地图的比例尺为( D )A. 1 000∶1B. 100 000∶1C. 1∶1 000D. 1∶100 000C 组13. 在比例尺是1∶25 000 000的地图上，量得北京到上海的距离长4.2 cm ，如果一列直达火车以每小时175 km 的速度从上海开出，经过几小时可以到达北京？解：由题意，得 4.2×25 000 000＝105 000 000(cm)＝1 050(km). ∴1 050÷175＝6(h).∴经过6 h 可以到达北京.,14. 下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( D )第2课时相似多边形及其性质知识点1：成比例线段【例1】下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. a ＝2，b ＝6，c ＝4，d ＝12 B. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C. a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1,1. 以下列长度(同一单位)为长的四条线段中，不成比例的是( C ) A. 2,5,10,25 B. 4,7,4,7C. 2，12，12，4 D. 2，5，2 5，5 2知识点2：相似多边形的性质【例2】如图1－27－69－1，四边形CDEF 与四边形C ′D ′E ′F ′相似，求未知边x ，y 的长度和角β的度数.图1－27－69－1解： x ＝12，y ＝20，β＝80°.,2. 如图1－27－69－2的两个五边形相似，求未知边a ，b ，c ，d 的长度.图1－27－69－2解： a ＝3，b ＝4.5，c ＝4，d ＝6. 知识点3：相似多边形的判定【例3】如图1－27－69－3，一个矩形广场的长为100 m ，宽为80 m ，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m ，如果设两条横向小路的宽都为x m ，那么当x 为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？图1－27－69－3解：当100－1.5×2100＝80－2x 80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.解得x ＝1.2.答：当x 为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似. ,3. 如图1－27－69－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ＝12，AB ＝6，设AB 与A′B′，BC 与B′C′，CD 与C′D′，DA 与D′A′之间的距离分别为a ，b ，c ，d ，a ＝b ＝c ＝d ＝2，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD 吗？为什么？图1－27－69－4解：不相似，理由如下： ∵AD A′D′＝128＝32，AB A′B′＝62＝3， ∴AD A′D′≠AB A′B′. ∴不相似.A 组4. 下列线段成比例的是( C ) A. 1,2,3,4 B. 5,6,7,8 C. 1,2,2,4 D. 3,5,6,9,5. 下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. 1 cm,2 cm,20 cm,40 cm B. 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm C. 4 cm,2 cm,1 cm,5 cmD. 5 cm,10 cm,15 cm,20 cm B 组6. 如图1－27－69－5的相似四边形，求未知边x ，y 的长度和角α的大小.图1－27－69－5解：x ＝632，y ＝27，α＝88°.,7. 如图1－27－69－6，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似，且AD ＝BC ，DC ∥AB ，∠A ＝∠B ，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm ，AB ＝8 cm ，AD ＝5 cm ，试求：四边形ABCD 各角的度数与A ′D ′，B ′C ′的长.图1－27－69－6解：四边形ABCD 各角的度数分别为∠A ＝65°， ∠B ＝65°，∠C ＝115°，∠D ＝115°，B′C′＝A′D′＝154cm .8. 在一张由打印机打印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这个多边形的另一条边由原来4 cm 变成了( C )A . 4 cmB . 8 cmC . 16 cmD . 32 cm ,9. 已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10 cm 和4 cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6 cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1的最长边的长是 15 cm .C 组10. 将一个三角形和一个矩形按照如图1－27－69－7的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( A )图1－27－69－7A . 新三角形与原三角形相似B . 新矩形与原矩形相似C . 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似,11. 如图1－27－69－8，已知矩形ABCD 与矩形BCFE 相似，且AD ＝AE ，求AB ∶AD 的值.图1－27－69－8解：依题意，得 AB AD ＝BC BE ，即AB AD ＝AD AB －AD . ∴AB AD ＝1ABAD－1. 解得AB ∶AD ＝1＋52(负值已舍去).第3课时相似三角形的简单性质知识点1：找相似三角形的对应边、对应角【例1】如图1－27－70－1，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝2，BD ＝3. (1)写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式； (2)求△ADE 与△ABC 的相似比.图1－27－70－1解：(1)相似三角形的对应角为∠A 与∠A ，∠ADE 与∠ABC ，∠AED 与∠ACB ；对应边的比例式为AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)25.1. 如图1－27－70－2，已知△OAB ∽△OCD ，且DC ∥AB ，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.图1－27－70－2解：相似三角形的对应角为∠A 与∠C ，∠B 与∠D ，∠AOB 与∠COD ；对应边的比例式为OA OC ＝OB OD ＝AB CD .知识点2：相似三角形简单性质的直接运用【例2】如图1－27－70－3，已知△ABC ∽△DEF ，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－3解： x ＝6，y ＝72. ,2. 如图1－27－70－4，△ABC 与△DEF 相似，∠B ，∠E 为钝角，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－4解： x ＝12，y ＝7或x ＝967，y ＝647.知识点3：相似三角形简单性质的综合运用【例3】如图1－27－70－5，D ，E 分别是AC ，AB 边上的点，△ADE ∽△ABC ，且DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，求AE ，BE 的长.图1－27－70－5解：∵△ADE ∽△ABC ， ∴AE AC ＝AD AB ＝DE BC. ∵DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，∴AC ＝12. ∴AE ＝4，AB ＝9. ∴BE ＝AB －AE ＝5.3. 如图1－27－70－6，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，且△ABC ∽△DAC. (1)求∠BAD 的大小； (2)求DC 的长.图1－27－70－6解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴∠DAC ＝∠B ＝36°， ∠BAC ＝∠D ＝117°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC DC ＝BC AC. 又∵AC ＝4，BC ＝6，∴DC ＝83.A 组4. 已知△ABC ∽△A 1B 2C 2，如果∠A ＝40°，那么∠A 1等于( A ) A. 40° B. 80° C. 140° D. 20°,5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( C )A. 3 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 5 cmB 组6. 如图1－27－70－7，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA . 若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为 6 .图1－27－70－7,7. 如图1－27－70－8，在正方形网格中有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为( D )图1－27－70－8A . 105°B . 115°C . 125°D . 135°8. 如图1－27－70－9，已知△ABC ∽△AED ，AD ＝5 cm ，AC ＝10 cm ，AE ＝6 cm ，∠A ＝66°，∠ADE ＝65°，求AB 的长及∠C 的度数.图1－27－70－9解：∵△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝65°，∴∠C ＝∠ADE ＝65°，AD AC ＝AEAB.∴510＝6AB. 解得AB ＝12(cm ).,9. 如图1－27－70－10，已知△ABC ∽△DEC ，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ，求AD 的长.图1－27－70－10解：∵△ABC ∽△DEC ， ∴AC DC ＝BC EC. ∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ， ∴3DC ＝46. ∴DC ＝92(cm ).∴AD ＝3＋92＝152(cm ).C 组10. 如图1－27－70－11，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB .(1)求∠APB 的大小.(2)说明线段AC ，CD ，BD 之间的数量关系.图1－27－70－11解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝60°.∴∠A ＋∠APC ＝60°. ∵△ACP ∽△PDB. ∴∠APC ＝∠PBD. ∴∠A ＋∠B ＝60°. ∴∠APB ＝120°.(2)∵△ACP ∽△PDB ，∴AC PD ＝PCBD.又∵PC ＝PD ＝CD ，∴CD 2＝AC·BD.11. 如图1－27－70－12，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长.图1－27－70－12解： ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC ＝90°. AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，设AP 的长为x ，则BP 的长为 8－x .若AB 边上存在点P ，使△P AD 与△PBC 相似，则分下列两种情况. ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4.解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x ).解得x ＝2或x ＝6.综上所述，AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.第4课时相似三角形的判定(1)——平行线法知识点1：平行线分线段成比例【例1】如图1－27－71－1，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD AB ＝13，AE ＝1，则EC 等于( B )图1－27－71－1A . 1B . 2C . 3D. 4 ,1. 已知l 1∥l 2∥l 3，直线AB 和CD 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，E ，B 和点C ，F ，D. 若AE ＝2，BE ＝4，则CFCD的值为( B )图1－27－71－2A . 12B . 13C . 23 D. 34知识点2：相似三角形的判定——平行线法【例2】如图1－27－71－3，DE 是△ABC 的中位线. 那么△ADE 和△ABC 是否相似？说明理由.图1－27－71－3解：△ADE 和△ABC 相似. 理由如下： ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC.∴△ADE ∽△ABC. ,2. 如图1－27－71－4，已知AB ∥CD ∥EF ，请你找出图中所有的相似三角形.图1－27－71－4解：△AOB ∽△DOC ， △AOB ∽△FOE ，△DOC ∽△FOE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－71－5，DE ∥BC ，且AD ＝3，AB ＝5，CE ＝3，求AE 的长.图1－27－71－5解：AE ＝4.5.,3. 如图1－27－71－6，AB 与CD 相交于点O ，AC ∥BD ，AO BO ＝35，AC ＝9，求BD 的长.图1－27－71－6解：BD ＝15.A 组4. 如图1－27－71－7，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，已知AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，则EF 的长为( C )图1－27－71－7A . 12B . 9C . 8 D. 4,5. 如图1－27－71－8，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( B )图1－27－71－8A . 6B . 9C . 12D . 15 B 组6. 如图1－27－71－9，已知DE ∥BC ，AE ＝50 cm ，EC ＝30 cm ，BC ＝70 cm ，∠A ＝45°，∠C ＝40°，求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数； (2)DE 的长.图1－27－71－9解：(1)∠AED 和∠ADE 的度数分别为40°，95°.(2)DE ＝1754cm.,7. 如图1－27－71－10，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若EC ∶AB ＝2∶3，EF ＝4，求BF 的长.图1－27－71－10解：BF 的长为6. C 组8. 如图1－27－71－11，用三个完全一样的菱形ABGH ，BCFG ，CDEF 拼成平行四边形ADEH ，AE 与BG ，CF 分别交于点P ，Q . 若AB ＝6，求线段BP 的长.图1－27－71－11解：由菱形的性质可知，AD ＝3AB ＝18，DE ＝6. ∵BP ∥DE ，∴△ABP ∽△ADE. ∴BP DE ＝AB AD ，即BP 6＝618. 解得BP ＝2.,9. 如图1－27－71－12，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G.(1)填空：图中与△CEF 相似的三角形有 △DAF ，△BEA ，△GFA ；(写出图中与△CEF 相似的所有三角形)(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似.图1－27－71－12解：(2)略.第5课时相似三角形的判定(2)——三边法和两边及其夹角法知识点1：相似三角形的判定——三边法【例1】如图1－27－72－1，O 为△ABC 内一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，求证：△DEF ∽△ABC.图1－27－72－1证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，DF ＝12AC ，即DE AB ＝EF BC ＝DFAC.∴△DEF ∽△ABC.,1. 如图1－27－72－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似？为什么？图1－27－72－2解：相似. 理由如下：∵AB ＝5，AC ＝10，BC ＝5， A 1B 1＝2，A 1C 1＝2，B 1C 1＝10， ∴AB A 1B 1＝102，AC A 1C 1＝102，BC B 1C 1＝102.∴AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝BCB 1C 1. ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.知识点2：相似三角形的判定——两边及其夹角法【例2】如图1－27－72－3，D ，E 分别是△ABC 两边AB ，AC 上的点，AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4，EC ＝2. △ADE 与△ACB 是否相似，并说明理由.图1－27－72－3解：相似.理由如下：∵AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4， EC ＝2， ∴AD AC ＝34＋2＝12，AE AB ＝43＋5＝12. ∴ AD AC ＝AE AB .∵∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC.,2. 如图1－27－72－4，AB·AE ＝AD·AC ，且∠1＝∠2，求证：△ABC ∽△ADE.图1－27－72－4证明：∵AB·AE ＝AD·AC ，∴AB AD ＝ACAE.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠BAE ，即∠BAC ＝∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－72－5，D 是△ABC 的边AB 上的一点，BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2.(1)△BCD 与△BAC 相似吗？请说明理由；(2)若CD ＝53，求AC 的长.图1－27－72－5解：(1)△BCD ∽△BAC. 理由如下：∵BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2，∴BD BC ＝432＝23，BC BA ＝23. ∴BD BC ＝BC BA. 而∠DBC ＝∠CBA ，∴△BCD ∽△BAC.(2)∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BCBA ，即53AC ＝23.∴AC ＝52.,3. 如图1－27－72－6，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5.(1)证明：△ABC ∽△DCA ； (2)求AD 的长.图1－27－72－6(1)证明：∵AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5， ∴AB CD ＝BC AC ＝45且∠B ＝∠ACD. ∴△ABC ∽△DCA.(2)解：∵△ABC ∽△DCA ， ∴AC AD ＝BC AC ＝45. ∴5AD ＝45. ∴AD ＝254.A 组4. 如图1－27－72－7，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由.图1－27－72－7解：△ABC ∽△DBE.理由如下： ∵AC DE ＝BC BE ＝AB DB ＝12， ∴△ABC ∽△DBE.,5. 如图1－27－72－8，AC ＝20，BC ＝10，EC ＝16，CD ＝8，证明：△ABC 和△EDC 相似.图1－27－72－8证明：∵AC EC ＝2016＝54， BC CD ＝108＝54， ∴AC EC ＝BC CD. 又∵∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ∽△EDC. B 组6. 如图1－27－72－9，点D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点. 求证：△DEF ∽△ABC .图1－27－72－9证明：∵点 D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点， ∴EF ，FD ，DE 为△ABC 的中位线.∴EF ＝12BC ，FD ＝12AC ，DE ＝12AB.∴EF BC ＝FD AC ＝DE AB ＝12. ∴△DEF ∽△ABC.,7. 如图1－27－72－10，AD ，BC 交于点O ，AO·DO ＝CO·BO ，求证：△ABO ∽△CDO.图1－27－72－10解：∵AO·DO ＝CO·BO ， ∴AO CO ＝BO DO. 而∠AOB ＝∠COD ， ∴△ABO ∽△CDO.C 组8. 如图1－27－72－11，在正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点. 求证：△QCP ∽△ADQ .图1－27－72－11证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°. ∵BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，∴CP ＝14BC ，CQ ＝DQ ＝12CD .∴CP ∶DQ ＝CQ ∶DA ＝1∶2.∴△QCP ∽△ADQ .,9. 如图1－27－72－12，四边形ABEG ，GEFH ，HFCD 都是边长为a 的正方形，△AEF 与△CEA 相似吗？为什么？图1－27－72－12解：△AEF 与△CEA 相似.理由如下：由勾股定理，得AE ＝AB 2＋BE 2＝2a. ∴AE EF ＝2a a ＝2， EC AE ＝2a 2a ＝ 2. ∴AE EF ＝EC AE. 又∵∠AEF ＝∠CEA ， ∴△AEF ∽△CEA. 第6课时相似三角形的判定(3)——两角法知识点1：相似三角形的判定——两角法【例1】如图1－27－73－1，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在AC 上(不与A ，C 重合)，∠ABD ＝∠ACB ，求证：△ABD ∽△ACB.图1－27－73－1证明：∵∠BAD ＝∠CAB ，∠ABD ＝∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB.,1. 如图1－27－73－2，DE ∥AB ，AD ∥BC ，求证：△EAD ∽△ACB.图1－27－73－2解：∵DE ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠DEA. ∵AD ∥BC ， ∴∠C ＝∠DAE.∴△EAD ∽△ACB.知识点2：相似三角形判定与性质的综合应用【例2】如图1－27－73－3，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上一点，且∠AED ＝∠B. 若AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6.(1)求证：△AED ∽△ABC ； (2)求DE 的长.图1－27－73－3(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC.(2)解：∵△AED ∽△ABC ， ∴AE AB ＝DE CB. ∵AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6，∴59＝DE6.解得DE ＝103.∴DE 的长为103.,2. 如图1－27－73－4，AB ，CD 相交于点O ，且∠C ＝∠B ，若AC ＝4 cm ，AO ＝3 cm ，BD ＝8 cm.(1)求证：△AOC ∽△DOB ； (2)求OD 的长.图1－27－73－4(1)证明：∵∠C ＝∠B ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC∽△DOB.(2)解：∵△AOC∽△DOB，∴ACDB＝OAOD，即48＝3OD.解得OD＝6(cm).∴OD的长为6 cm.知识点3：圆中的相似三角形【例3】如图1－27－73－5，⊙O的弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，求证：△BDP ∽△CAP.图1－27－73－5证明：∵∠A与∠D都为所对的圆周角，∠B与∠C都为所对的圆周角，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴△BDP∽△CAP.,3. 如图1－27－73－6，延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE.图1－27－73－6解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.又∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠B＝∠EDC.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△CDE.A组4. 如图1－27－73－7，AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.图1－27－73－7证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠F. ∴△ABC ∽△DEF.,5. 如图1－27－73－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC. 求证：△ABC ∽△BDC.图1－27－73－8证明：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠DBC. 又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC. B 组6. 如图1－27－73－9，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∠B ＝∠D. (1)△ABC 与△ADE 相似吗？为什么？(2)已知AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，求DE 的长.图1－27－73－9解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE.(2)由(1)知，△ABC ∽△ADE ，则AB AD ＝BCDE .∵AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，∴2AD AD ＝8DE.解得DE ＝4(cm )，即DE 的长是4 cm . ,7. 如图1－27－73－10，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高. 求证： (1)△ACD ∽△ABC ；(2)△CBD ∽△ABC .图1－27－73－10证明：(1)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠ADC ＝∠ACB. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.(2)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°. ∴∠BDC ＝∠ACB. ∵∠B ＝∠B ，∴△CBD ∽△ABC. C 组8. 如图1－27－73－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的角平分线. (1)△ABC 与△BDC 相似吗？请说明理由； (2)求证：AD 2＝AB ·CD .图1－27－73－11(1)解：相似. 理由如下： ∵在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝36°，∴∠ABC ＝180°－36°2＝72°.∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝36°.∴∠CBD ＝∠A .又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC . (2)证明：∵△ABC ∽△BDC ， ∴BC DC ＝ACBC. ∴BC 2＝AC ·CD . 由题意，可得BC ＝BD ＝AD . 又∵AB ＝AC ，∴AD 2＝AB ·CD .,9. 如图1－27－73－12，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连接BD .(1)求证：△ABD ∽△AEC ；(2)试写出图中其他各对相似三角形.图1－27－73－12(1)证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC. ∵∠D ＝∠C ， ∴△ABD ∽△AEC.(2)解：△AEC ∽△BED ， △BED ∽△ABD.第7课时相似三角形的简单性质与判定的综合习题课知识点1：求线段的长【例1】如图1－27－74－1，AD 与BC 交于O 点，∠A ＝∠C ，AO ＝4，CO ＝2，CD ＝3，求AB 的长.图1－27－74－1解：∵∠A ＝∠C ， ∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ∽△COD. ∴AB CD ＝AO CO ，即AB 3＝42. ∴AB ＝6. ,1. 如图1－27－74－2，在△ABC 中，点D 在AB 边上，∠ABC ＝∠ACD ， AD ＝2，AB ＝5. 求AC 的长.图1－27－74－2解：∵∠ABC ＝∠ACD ， ∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD.AD AC∵AD ＝2，AB ＝5， ∴AC 2＝5AC .∴AC ＝10.知识点2：证明角相等【例2】如图1－27－74－3，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 上，已知AE·AB ＝AD·AC ，求证：∠B ＝∠ADE.图1－27－74－3解：∵AE·AB ＝AD·AC ，∴AE AC ＝AD AB . ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC.∴∠B ＝∠ADE. ,2. 如图1－27－74－4，在△ABC 中，D ，E 分别为BC 边上的两点，且AC AD ＝AB DE ＝BCAE，求证：∠B ＝∠AEB.图1－27－74－4证明：∵AC AD ＝AB DE ＝BC AE， ∴△ABC ∽△DEA. ∴∠B ＝∠AED.知识点3：证明等比式【例3】如图1－27－74－5，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，证明：AD AE ＝ACAB.图1－27－74－5解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△AEB .AE AB,3. 如图1－27－74－6，在平行四边形ABCD 中，F 为AD 上一点，CF 的延长线交BA延长线于点E . 求证：DC BE ＝DFBC.图1－27－74－6证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，BE ∥CD. ∴∠E ＝∠ECD. ∴△DCF ∽△BEC. ∴DC BE ＝DFBC .知识点4：证明等积式【例4】如图1－27－74－7，在△ABC 中，∠ADE ＝∠ABC ，BD ，CE 交于点O. 求证：AE·AB ＝AD·AC.图1－27－74－7证明：∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ABC ， ∴△ADE ∽△ABC.∴ AE AC ＝AD AB . ∴AE·AB ＝AD·AC.,4. 如图1－27－74－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，证明：AC 2＝AB ·AD .图1－27－74－8证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽∠ABC . ∴AC AB ＝AD AC . ∴AC 2＝AB ·AD .知识点5：证明线段平行或垂直【例5】如图1－27－74－9，AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185.求证：AC ∥BD .图1－27－74－9证明：∵OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185，∴OA OB ＝OC OD ＝35. 而∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△BOD. ∴∠A ＝∠B. ∴AC ∥BD.,5. 如图1－27－74－10，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且BD·AB ＝BE·BC. 求证：DE ⊥AB.图1－27－74－10证明：∵BD·AB ＝BE·BC ，∴BD BC ＝BE BA. 又∵∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA. ∴∠BDE ＝∠C ＝90°，即DE ⊥AB .知识点6：圆中的相似三角形【例6】如图1－27－74－11，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，，AC 交BD 于点E ，CE ＝4，CD ＝6.(1)求证：△CDE ∽△CAD ； (2)求AE 的长.图1－27－74－11(1)证明：∵， ∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CDE. ∵∠ACD ＝∠DCE ， ∴△CDE ∽△CAD.(2)解：∵△CDE ∽△CAD ， ∴CE CD ＝CD CA ，即46＝6CA . 解得CA ＝9.∴AE ＝AC －CE ＝9－4＝5.,6. 如图1－27－74－12，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C ，连接BC.(1)求证：∠BAC ＝∠CBP ； (2)求证：PB 2＝PA·PC.图1－27－74－12证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ACB ＝∠ABP ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝∠ABC ＋∠CBP ＝90°. ∴∠BAC ＝∠CBP.(2)∵∠ABP ＝∠PCB ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△ABP ∽△BCP . ∴PB P A ＝PC PB . ∴PB 2＝P A ·PC .A 组7. 如图1－27－74－13，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝25，AD ＝4，求BD 的长度.图1－27－74－13解：BD ＝6.,8. 如图1－27－74－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D . 求BD 的长.图1－27－74－14解：BD ＝6.B 组9. 如图1－27－74－15，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝9 cm ，DB ＝4 cm ，求CD 和AC 的长.图1－27－74－15解：如答图27－74－1，连接BC. ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，可得△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB.由△ADC ∽△CDB ，得CD BD ＝ADCD，即CD 2＝AD·DB ＝36. 解得CD ＝6(cm).答图27－74－1由△ADC ∽△ACB ，得AC AB ＝ADAC，即AC 2＝AB·AD ＝117. 解得AC ＝313(cm ).∴CD 的长为6 cm ，AC 的长为313 cm. ,10. 如图1－27－74－16，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且△ABC 三个顶点都在⊙O 上，求证：AB ·AC ＝AE ·AD .图1－27－74－16证明：如答图27－74－2，连接CE. 由圆周角定理可知，∠B ＝∠E. ∵∠ADB ＝∠ACE ＝90°， ∠B ＝∠E ，∴△ADB ∽△ACE .答图27－74－2∴AB ∶AE ＝AD ∶AC. ∴AB·AC ＝AE·AD.C 组11. 如图1－27－74－17，边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 上的点(D ，E 与顶点不重合)，∠BDE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△CDE ；(2)设CD ＝x ，BE ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最小值.图1－27－74－17(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠C ＝60°. ∵∠BDE ＝60°，∴∠ADB ＋∠CDE ＝120°. ∵∠ABD ＋∠ADB ＝120°， ∴∠ABD ＝∠CDE. ∵∠A ＝∠C ， ∴△ABD ∽△CDE.(2)解：∵△ABD ∽△CDE ，∴AD CE ＝ABCD.∴CE ＝x(4－x)4 ＝－14x 2＋x.∴y ＝4－CE ＝14x 2－x ＋4.∵y ＝14(x －2)2＋3，∴y 的最小值为3. ,12. 如图1－27－74－18，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动；点Q 从点C 出发，以1 cm /s 的速度向点A 移动.若点P ，Q 分别从点B ，C 同时出发，设运动时间为t s ，当t 为何值时，△CPQ 与△CBA 相似？图1－27－74－18解：分以下两种情况.①当CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA ，∴CP CB ＝CQCA ，即16－2t 16＝t 12. 解得t ＝4.8；②当CP 和CA 是对应边时， △CPQ ∽△CAB ，∴CP CA ＝CQCB ，即16－2t 12＝t 16. 解得t ＝6411.综上所述，当t ＝4.8 s 或6411s 时，△CPQ 与△CBA 相似.第8课时相似三角形的周长和面积知识点1：相似三角形周长的比等于相似比【例1】在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm ，那么它的周长由原来的3 cm 变成( B )A . 6 cmB . 12 cmC . 24 cmD . 48 cm ,1. 如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16知识点2：相似三角形对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比【例2】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16,2. 若△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则它们对应边上的高之比为( A )A . 2∶3B . 4∶9C . 3∶5D . 9∶4知识点3：相似三角形面积的比等于相似比的平方【例3】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A ) A . 1∶4 B . 4∶1C . 1∶2D . 2∶1,3. 如图1－27－75－1，已知△ADE ∽△ABC ，且AD ∶DB ＝2∶1，则S △ADE ∶S △ABC＝( D )图1－27－75－1A . 2∶1B . 4∶1C . 2∶3D . 4∶9知识点4：利用相似三角形周长和面积的性质计算【例4】如图1－27－75－2，已知DB ＝2AD ，EC ＝2AE. (1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若△ABC 的周长为27 cm ，求△ADE 的周长.图1－27－75－2解：(1)证明略.(2)△ADE 的周长为9 cm.,4. 如图1－27－75－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝32，S △ABC ＝25.(1)求证：△ADE ∽△ABC ； (2)求S △ADE 和S 四边形DBCE 的值.图1－27－75－3解：(1)证明略.(2)S △ADE ＝9，S 四边形DBCE ＝16.A 组5. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是( A ) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9,6. 如图1－27－75－4，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D )图1－27－75－4A .BC DF ＝12B . ∠A 的度数∠D 的度数＝12C . △ABC 的面积△DEF 的面积＝12D . △ABC 的周长△DEF 的周长＝12B 组7. 若相似三角形△ABC 和△A′B′C′的面积比为1∶4，则它们的相似比为( C ) A . 1∶4 B . 1∶3C . 1∶2D . 1∶1,8. 如图1－27－75－5，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED ＝( C )图1－27－75－5A . 1∶3B . 1∶2C . 1∶3D . 1∶49. 已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 是△ABC 的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若AD A′D′＝12，且△ABC 的周长为20 cm ，求△A′B′C′的周长.解：△A′B′C′的周长是40 cm .10. 已知△ABC 的三边长分别为5,12,13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积.解：△A′B′C′的面积是120.C 组11. 如图1－27－75－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，S 1表示△ADE 的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，若D 是AB 边的中点，则S 1∶S 2＝ 1∶3 ；若S 1＝S 2，则AD ∶AB ＝ 22.图1－27－75－6,12. 如图1－27－75－7，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 ＝ S 2＋S 3；(填“＞”“＝”或“＜”)(2)若CE ＝3，DE ＝4，求S 2的值.图1－27－75－7解：(2)S 2＝323.第9课时相似三角形的应用举例(1)——高度与河宽问题知识点1：利用相似测量物体的高度【例1】如图1－27－76－1，利用标杆BE 测量建筑物的高度. 已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m. 求建筑物CD 的高.图1－27－76－1解：建筑物CD 的高是10.5 m . ,1. 图1－27－76－2是小明测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，然后，后退至点B ，从点A 经平面镜刚好看到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求该古城墙的高度.图1－27－76－2解：该古城墙的高度是8 m .知识点2：利用相似测量河的宽度(测量距离)【例2】如图1－27－76－3，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河岸的另一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点为点D ，若测得BD ＝180 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，你能知道小河的宽是多少吗？图1－27－76－3解：由题意，可知△ABD ∽△ECD ， ∴AB EC ＝BD CD ，即AB 50＝18060. ∴AB ＝150(m ).∴小河的宽是150 m .,2. 如图1－27－76－4，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定了一个目标点O ，在近岸取点A ，C 使O ，A ，C 三点共线，且线段OC 与河岸垂直，接着在过点C 且与OC 垂直的直线上选择适当的点D ，使OD 与近岸所在的直线交于点B. 若测得AC ＝30 m ，CD ＝120 m ，AB ＝40 m ，求河的宽度OA .图1－27－76－4解：∵AB ⊥OC ，CD ⊥OC ， ∴AB ∥CD.∴△OAB ∽△OCD. ∴OA OC ＝AB CD ，即OA OA ＋30＝40120. ∴OA ＝15(m ).故河的宽度OA 为15 m.A 组3. 已知某一旗杆的影子长6 m ，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10 m ，如果此时附近的一棵小树影子长3 m ，那么小树高是( A )A. 4 mB. 5 mC. 8 mD. 20 m,4. 如图1－27－76－5，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取一点E ，使AE ＝3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF ＝6 m ，则AB 的长为 24 m .图1－27－76－5B 组5. 如图1－27－76－6，小明家的窗口面对大楼，相距AB ＝80 m ，窗高CD ＝1.2 m ，小明从窗口后退2 m ，眼睛从点O 处恰好能看到楼顶M 和楼底N ，求大楼的高度.图1－27－76－6解：由题意，知AB ＝80 m ，CD ＝1.2 m ，OA ＝2 m ， ∵CD ∥MN ，∴△OCD ∽△OMN. ∴CD MN ＝OA OB ，即1.2MN ＝22＋80. ∴MN ＝49.2(m ).答：大楼的高度为49.2 m .,6. 如图1－27－76－7，小明为了测量楼MN 的高度，在离MN20 m 的A 处放了一块平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝2 m ，小明的眼睛离地面的高度BC 为1.8 m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度.图1－27－76－7解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ， ∴∠C ＝∠N ＝90°.根据题意，可知∠BAC ＝∠MAN ， ∴△BCA ∽△MNA. ∴BC MN ＝AC AN . ∴1.8MN ＝220. 解得MN ＝18(m ). ∴楼房的高度为18 m .C 组7. 如图1－27－76－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上. 已知纸板的两条边DF ＝50 cm ，EF ＝30 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ，求树高AB .图1－27－76－8解：∵∠DEF ＝∠DCB ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB. ∴BC EF ＝DC DE. ∵DF ＝50 cm ＝0.5 m ，EF ＝30 cm ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ， ∴由勾股定理求得DE ＝0.4 m . ∴BC 0.3＝200.4. ∴BC ＝15(m ).∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋15＝16.5(m ).,8. 如图1－27－76－9，李华晚上在两根相距40 m 的路灯杆下来回散步，已知李华身高AB ＝1.6 m ，灯柱CD ＝EF ＝8 m .(1)若李华距灯柱CD 的距离DB ＝16 m 时，求他的影子BQ 的长； (2)若李华的影子PB ＝5 m ，求李华距灯柱EF 的距离.图1－27－76－9解：(1)∵AB ∥CD ，∴△ABQ ∽△CDQ. ∴AB CD ＝BQ DQ ，即1.68＝BQ 16＋BQ . ∴BQ ＝4(m ). ∴他的影子BQ 的长为4 m .(2)∵AB ∥EF ，∴△ABP ∽△EFP. ∴AB EF ＝PB PF ，即1.68＝5PF . ∴PF ＝25(m ). ∴BF ＝PF －PB ＝20 m .∴李华距灯柱EF 的距离是20 m .第10课时相似三角形的应用举例(2)——盲区及其他问题知识点1：作辅助线构造相似三角形解决实际问题【例1】如图1－27－77－1，一位同学在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，他立即又测量建筑物的影子，因建筑物AB 靠近另一个建筑物CE ，所以AB 的影子没有完全落在地上，一部分影子落在墙上，他测得地上部分的影子长BC 为7.2 m ，又测得墙上部分的影子高CD 为1.2 m ，请你帮他计算建筑物AB 的高度.图1－27－77－1解：如答图27－77－1，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则DH ＝BC ＝7.2 m ，BH ＝CD ＝1.2 m .∵在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，答图27－77－1∴AH HD ＝11.2，即AH 7.2＝11.2. ∴AH ＝6.∴AB ＝AH ＋BH ＝6＋1.2＝ 7.2(m ).答：建筑物AB 的高度为7.2 m . ,1. 如图1－27－77－2，现要测量旗杆的高CD ，在B 处立一标杆AB ＝2.5 cm ，人在F 处，眼睛为E.标杆顶点A 、旗杆顶点C 在一条直线上. 已知BD ＝3.6 m ，FB ＝2.2 m ，EF ＝1.5 m. 求旗杆的高度.图1－27－77－2解：如答图27－77－2，过点E 作EH ∥FD 分别交AB ，CD 于点G ，H. ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴EF ＝GB ＝HD.∴AG ＝AB －GB ＝2.5－1.5＝ 1(m )，EG ＝FB ＝2.2(m )，GH ＝BD ＝3.6(m)，CH ＝CD －1.5.答图27－77－2又∵AG CH ＝EG EH ，∴1CD －1.5＝2.25.8. ∴CD ＝4322(m ).∴旗杆的高度为4322m .知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题【例2】如图1－27－77－3是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外的景物的宽CD .图1－27－77－3解：CD ＝43m .,2. 如图1－27－77－4是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE 为80 cm ，步枪上的准星宽度AB 为0.2 cm ，目标的正面宽度CD 为50 cm ，求眼睛到目标的距离OF .图1－27－77－4解：眼睛到目标的距离为200 m.A 组3. 如图1－27－77－5是一个照相机成像的示意图. 如果像高MN 是35 mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，那么拍摄点L 离景物有 7 m.,图1－27－77－54. 如图1－27－77－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上. 若光源到幻灯片的距离为30 cm ，到屏幕的距离为90 cm ，且幻灯片中的图形的高度为7 cm ，则屏幕上图形的高度为( C )图1－27－77－6 A . 6 cm B . 12 cm C . 21 cm D . 24 cmB 组5. 如图1－27－77－7，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m 有一棵树，在河的北岸边每隔50 m 有一根电线杆，小丽站在离南岸15 m 的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度.图1－27－77－7解：如答图27－77－3，过点P 作PF ⊥AB ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，设河宽为x m.答图27－77－3∵AB ∥CD ，∴△PDC ∽△PBA. ∴PF PE ＝AB CD . ∴15＋x 15＝5025.解得x ＝15.答：河的宽度为15 m .6. 如图1－27－77－8，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3 m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4 m . 如果小华的身高为1.5 m ，求路灯杆AB 的高度.图1－27－77－8解：∵CD ∥EF ∥AB ， ∴△CDF ∽△ABF ， △EFG ∽△ABG . ∴CD AB ＝DF BF ，FE AB ＝FG BG. 又∵CD ＝EF ，∴DF BF ＝FGBG.∵DF ＝3 m ，FG ＝4 m ，BF ＝BD ＋3，BG ＝BD ＋7，∴3BD ＋3＝4BD ＋7. 解得BD ＝9(m ). ∴BF ＝12(m ). 由CD AB ＝DF BF ，得1.5AB ＝312.解得AB ＝6(m ). 则路灯杆AB 的高度是6 m . C 组7. 如图1－27－77－9，要在一块△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型. 其中，G ，F 在BC 边上，D ，E 分别在AB ，AC 边上，AH ⊥BC 交DE 于点M ，若BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求正方形DEFG 的边长.图1－27－77－9解：设正方形边长为x cm .由相似可得DE BC ＝AMAH，∵BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ， AM ＝(8－x)cm ， ∴x 12＝8－x 8.解得x ＝4.8. ∴正方形的边长是4.8 cm . ,8. 如图1－27－77－10，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，要把它加工成长方形零件PQMN ，使长方形PQMN 的边QM 在BC 边上，其余两个顶点P ，N 分别在AB ，AC 边上，求这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值.图1－27－77－10解：设长方形零件PQMN 的边PN ＝a ，PQ ＝x ，则AE ＝80－x. ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD. ∴a 120＝80－x 80. 解得a ＝120－32x. 所以长方形PQMN 的面积S ＝xa ＝x ⎝⎛⎭⎫120－32x ＝－32x 2＋120x ＝－32(x －40)2＋2 400. 当x ＝40时，S 值最大，S 最大值＝2 400(mm 2).∴这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值是2 400 mm 2.第11课时位似知识点1：位似图形及其性质【例1】若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( C ) A . 每对对应点所在的直线相交于同一点 B . 两个图形上的对应线段之比等于相似比 C . 两个图形上的对应线段必平行D . 两个图形的面积比等于相似比的平方 ,1. 下列关于位似图形的4个表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比. 正确的有( B )A . 1个B . 2个C . 3个 D. 4个知识点2：位似图形的画法【例2】如图1－27－78－1，以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的13.。

九年级数学下册第二十七章相似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质导学案 (新版

27.2.2 相似三角形的性质一、学习目标：1．理解相似三角形的性质；2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．二、学习重难点：重难点：利用相似三角形的性质解决简单的问题．探究案三、教学过程复习巩固(1)什么叫相似三角形？(2)如何判定两个三角形相似？课堂探究知识点一：相似三角形对应线段的比三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？归纳总结例题解析例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形 EFGH内接于△ABC，且长边FG 在BC上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的周长．归纳总结小试牛刀，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点．(1)求△BEF与△A FD的周长之比；(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.2.若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )A．1∶2 B.2∶2C．1∶4 D.2∶13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE 的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．课堂探究知识点二：相似三角形周长和面积的比某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的0米缩短成18米(如图)．问题是：它的周长是多少？归纳总结例题解析例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？归纳总结小试牛刀，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D. (1)若AP∶PB＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △A PN ； (2)若S △APN ∶S 四边形PB ＝1∶2，求AEAD的值．，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．随堂检测1.若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为cm．2.如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为cm.3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝.4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD ＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．课堂小结1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案合作探究如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′ D′ .解：∵ △ABC∽△A′B′C′，∴ ∠B= ∠B′ .又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ ABD∽ △A′B′D′.∴AAA′A′=AAA′A′=A.类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k. 归纳总结相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形对应线段的比等于相似比.例题解析例1解：设HG ＝x cm ，则EH ＝2x cm. 易得AP ⊥EH. ∵AD ＝10 cm ， ∴AP ＝(10－x) cm. ∵四边形EFGH 为矩形， ∴EH ∥BC ， ∴△AEH ∽ △ABC ． ∴ APAD=EHBC ,即10－x 10=2x30. 解得x=6．∴HG ＝6 cm ，EH ＝12 cm.∴矩形EFGH 的周长为36 cm. 小试牛刀1.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD.又∵BE＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．2.B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 3.解：过点B 作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BDBE ＝AB CB ，即BD AB ＝BE CB ，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．知识点二：相似三角形周长和面积的比解：将上面生活中的问题转化为数学问题是：如图，已知DE ∥BC ，AB =30 m ，BD =18 m ，△ABC 的周长为80 m ，求△ADE 的周长. ∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AA AA=AA AA=AAAA, 由比例的性质可得，AA +AA +AA AA +AA +AA=AAAA, 而△ADE 的周长=AD ＋AE ＋DE , △ABC 的周长=AB ＋AC ＋BC ， ∴△AAA的周长80=30－1830, ∴△ADE 的周长=32 m. 例题解析例2解：设△ABC ∽△A 1B 1C 1，且△ABC 中的最短边AC ＝9 cm ，△A 1B 1C 1中的最短边A 1C 1＝6 cm.则AAA 1A 1=96=32,∴△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为32. 设△ABC 的周长为x cm ，则△A 1B 1C 1的周长为(60－x )cm. ∴A 60－A=32,解得x ＝36，60－x ＝24.∴△ABC 的周长为36 cm ，△A 1B 1C 1的周长为24 cm. 小试牛刀1.解：(1)因为PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP ＝∠C，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB )2.因为AP∶PB＝1∶2，△ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN∥BC ，所以∠APE＝∠B，∠AEP ＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以AP AB ＝AEAD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PB ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．2.解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC∽△ABC，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP.同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP)＋AB ＋(3－CQ)＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．随堂检测1. 8∶9,2742. 253.24.解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A′B′边上的中线，且AE ，A ′E ′是对应的高线，∴AE A′E′＝CDC′D′. ∴4.8A′E′＝410. ∴A ′E ′＝12 cm.5.解：∵相似三角形周长的比等于相似比， ∴EF BC ＝2520. ∴EF ＝54BC ＝54×5＝254(cm)．同理AC DF ＝2025，∴AC ＝45DF ＝45×4＝165(cm)．word11 / 11 ∴EF 的长是254cm ，AC 的长是165cm.。

人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案

27.1 图形的相似学习目标、重点、难点【学习目标】1．理解并掌握两个图形相似的概念；了解成比例线段的概念，会确定线段的比 .2．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．【重点难点】1．相似图形的概念与成比例线段的概念；相似多边形的主要特征与识别．2．成比例线段概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算．知识概览图相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等判断两个多边形相似：对应角相等，对应边的比相等比例线段：有四条线段，其中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比例线段新课导引【生活链接】如下图所示，有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状相同的图形的形象．【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．那么相似的图形具有哪些性质呢?教材精华知识点1 相似图形我们把形状相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．例如：如图27－1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形．图形的相似当两个图形的形状相同、大小也相同时，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等形．例如：如图27－2所示，△ABC 与△A ′B ′C ′的形状相同，并且大小也相同，因此这两个三角形相似，并且这两个三角形全等．拓展所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的差异，但也不能认为是“形状相同”．知识点2 比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cbd=(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． (1)式子a cbd=也可以写成a ：b =c ：d ，通常这里的a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项． (2)有时在a c bd =中，b ＝c ，例如：4669=，这时我们把b 叫做a ，d 的比例中项，此时b 2＝ad ． (3)在式子a cb d=的两边同时乘以bd ，得ad ＝cb ，在与比例有关的计算中，我们常通过上述变形转化字母之间的关系．拓展通常情况下，四条线段a ，b ，c ，d 的单位应该一致，但有时为了计算方便，a ，b 的单位一致，c ，d 的单位一致也可以．知识点3 相似多边形对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．拓展在多边形中，只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时，才能说明两个多边形是相似多边形．知识点4 相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．例如：若△ABC 与△A ′B ′C ′相似，则∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AB AC BCA B A C B C ==''''''. 拓展如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．知识点5 相似比相似多边形对应边的比称为相似比．拓展相似多边形面积的比等于相似比的平方．规律方法小结 (1)相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同，也可以不同，但它们的形状必须相同．如：两张大小不同的世界地图或中国地图；两面大小不同的中国国旗；同一底片、尺寸不同的两张照片．有些图形之间很相像，但不相似，如：哈哈镜中人的形象与本人不相似；农历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像，但并不相似．(2)学习本节知识时要充分运用转化思想，即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．探究交流当相似比为1时，相似的两个图形之间有什么关系?点拨相似比为1的两个图形是全等形．课堂检测基本概念题1、下列多边形中，一定相似的是 ( )A．两个矩形 B．两个菱形C．两个正方形 D．两个平行四边形2、下列命题中，正确的是 ( )A．相似多边形是全等多边形 B．不全等的多边形不是相似多边形C．全等多边形是相似多边形 D．不相似的多边形可能是全等多边形3、如果线段a是线段b、线段c的比例中项，b＝3，c＝12，那么线段a的长是多少?基础知识应用题4、如果两地的实际距离为750m，图上距离为5 cm,那么这张图的比例尺是多少?5、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA＝20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D，的各边长．综合应用题6、等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′，相似，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′B′＝6 cm，AD＝5 cm，求A′D′的长及梯形A′B′C′D′各内角的度数．7、已知相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5 m的竹竿的影长为2.5 m，那么影长为30 m的旗杆的高度为 ( )A．20 m B．16 mC．18 m D．15 m探索与创新题8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金分割点，求AC:BC的值．体验中考在同一时刻，身高为1．6米的小强在阳光下的影长为0．8米，一棵大树的影长为4．8米，则这棵树的高度为 ( )A．4．8米 B．6．4米C．9．6米 D．10米学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析根据相似多边形的定义，两个矩形只满足对应角相等，而对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角也不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°，一定相似；两个平行四边形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等．故选C.【解题策略】判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不可．2、分析全等多边形是特殊的相似多边形．故选C.【解题策略】如果两个多边形全等，则一定相似，但是如果两个多边形相似，则不一定全等．3、分析四条线段a，b，c，d是成比例线段，若第二比例项和第三比例项是两条相同的线段，即a：b＝b：c，则把b叫做a和c的比例中项．将a：b＝c：d变形，可得到bc＝ad，当a：b＝b:c时，有b2＝ac．解：∵a是b，c的比例中项，且b＝3，c＝12，∴a2＝bc＝3×12＝36，∴a＝±6．∵a 是线段，∴线段a 的长是6．【解题策略】如果线段a 是线段b ，c 的比例中项，那么a 2=bc ．(其中a ，b ，c 均为正数) 4、分析图的比例尺是一种比例关系，是图上距离与实际距离的比，通常写成1：x 的形式，也就是说，图上的1 cm 相当于实际的x cm ，如某图的比例尺为1：40000，就是说图上的1 cm 相当于实际的40000 cm ，即400 m.解：∵750 m ＝75000 cm ，∴5:75000＝1:15000，即这张图的比例尺是1:15000．【解题策略】不论是将图形放大还是缩小，比例尺都是图上距离与实际距离的比． 5、分析根据四边形ABCD 各边的比为20：15：9：8可得四边形A ′B ′C ′D ′各边的比也为20：15：9：8，再根据四边形A ′B ′C ′D ′的周长为26，可求出各条边的长．解：∵四边形ABD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，且AB :BC :CD :DA ＝20:15:9:8，∴A ′B ′：B ′C ′：C ′D ′：D ′A ′＝20：15：9：8．又∵四边形A ′B ′C ′D ′的周长为26，∴A ′B ′=26×20201598+++=10，B ′C ′=26×15201598+++=7．5，C ′D ′=26×9201598+++=4．5，D ′A ′=26×20201598+++=4，即四边形A ′B ′C ′D ′的各边长分别为A ′B ′＝10，B ′C ′＝7．5，C ′D ′＝4．5，D ′A ′＝4．【解题策略】相似多边形的相似比等于对应边的比．6、分析充分利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质和等腰梯形的性质来解题．解：∵等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似，∴∠A ＝∠A ′=65°，AB ADA B A D =''''，即856A D =''，∴A ′D ′=154(cm)， ∴B ′C ′＝154cm ，∠A ′＝∠B ′＝65°， ∴∠C ′＝∠D ′＝180°－65°＝115°．【解题策略】本题是一道综合性题目，在运用相似多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．7、分析本题考查比例线段的基本性质．因为同一时刻物高与影长成比例，所以2.5301.5=旗杆的高度，∴旗杆的高度＝30 1.52.5⨯＝18(m)．故选C ．【解题策略】解决此类问题时，也可以根据比例式列出方程，通过解方程求出旗杆的高度． 8、分析黄金分割点指的是线段上的某一点，它将线段所分成的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比例中项，其中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618解：当AC ＞BC 时，AC －1)， ∴BC =AB －AC =8－－1)=12－=4(3)，∴AC ：BC －1)：4(3当AC ＜BC 时，BC －1)，∴AC =AB －BC =4(3)，∴AC :BC =4(3－【解题策略】对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．体验中考分析设这棵树的高度为x 米，则1.6：0.8＝x ：4.8，解得x ＝9.6．故选C ．【解题策略】相同时刻的物高与影长成比例．27.2 相似三角形应用举例学习目标、重点、难点【学习目标】1．进一步巩固相似三角形的知识．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．【重点难点】1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．知识概览图相似三角形的应用：灵活把握题意，把实际问题转化为数学问题，运用数学建模思想和数形结合思想灵活地解决问题．新课导引【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她2 m远的地上，然后球反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的水平距离是6m，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方?【问题探究】由题意可得到如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝2 m，P C＝6 m，PQ⊥AC，那么如何求DC的长呢?由已知可证Rt△APB∽Rt△C PD，由相似三角形的性质可知AB AP=，DC PC即1.82=，所以DC＝5.4(m)．利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题．DC6教材精华知识点应用相似三角形的知识解决实际问题相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．拓展求线段的长度时，可根据已知条件并利用相似建立未知线段的比例关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实际问题抽象为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．课堂检测基础知识应用题1、如图27—38所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度PQ．2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法，如图27－39所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB且已知O′B′=1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB．综合应用题3、如图27－40所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少?4、如图27—41所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC=4 cm，AB＝8 c m，D，E，F分别为AB，AC，BC边的中点，P为AB边上一点，过P作PQ∥BC交AC于Q，以PQ为一边，在点A的另一侧作正方形PQMN，若AP＝3 c m，求正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积．探索与创新题5、教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长为0．9 m，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图27－42所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7 m，落在墙壁上的影长为1.2 m，请你计算树高为多少．体验中考小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图27－45所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA ＝0．2 m ，OB ＝40 m ，AA ′＝0．0015 m ，则小明射击到的点B ′，偏离目标点B 的长度BB ′为 ( )A ．3 mB ．0．3 mC ．0．03 mD ．0．2 m学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析可利用三角形相似的性质来求解．解：∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ，∴Rt △PQR ∽Rt △PST ，∴PQ QRPS ST=，即PQ QR PQ QS ST =+，∴604590PQ PQ =+，PQ ×90=(PQ +45)×60，解得PQ ＝90．故河宽大约为90 m ．【解题策略】利用相似三角形的性质能够测量不方便到达的两点间的距离． 2、分析要求OB 的长度，可以通过证明△OAB ∽△O ′A ′B ′，从而得到比例式OB ABO B A B =''''，进而求解．解：∵太阳光是平行光线， ∴∠OAB ＝∠O ′A ′B ′．又∵∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，∴△OAB ∽△O ′A ′B ′， ∴OB ：O ′B ′＝AB ：A ′B ′， ∴OB =27412AB O B A B ''⨯=''g =137(米)．故金字塔的高度为137米．【解题策略】本题重点考查阅读理解能力和知识的迁移运用能力，从而计算出不能直接测量的物体的高度．3、分析若四边形PQMN 为正方形，则AE ⊥PN ，这样△APN 的高可以写成AD －ED ＝AD －PN ，再由△APN ∽△ABC ，即可找到PN 与已知条件之间的联系．解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与正方形PQMN 的边PN 相交于E ，设正方形的边长为x mm ． ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ， ∴AE PNAD BC=, ∴160160x -=240x,解得x =96(mm)， ∴加工成的正方形零件的边长为96 mm ．【解题策略】本题中相似三角形的知识有了一个实际意义，所以在解题时要善于把生活中的问题转化为数学问题来解决．4、分析由于PQ ∥BC ，所以PQ APBC AB=，从而可求出PQ 的长，而四边形PQMN 是正方形，所以PN 的长及DN 的长都可以求出来．由于正方形FQMN 与矩形EDBF 的公共部分是矩形，故只要求出DN ，MN 的长，就可以求出矩形的面积．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB =8 cm ，BC ＝4 cm ，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 边的中点，则AD ＝4 c m ，DE ∥BC ，DE ⊥AB ．又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴AP PQ AB BC =，即384PQ =，∴PQ =32. 由四边形PQMN 是正方形，得PN ＝32， ∴A N ＝92，DN ＝AN －AD ＝12，∴正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积为： DN ·MN =DN ·PQ =12×32=34(cm 2)．【解题策略】本题考查了直角三角形、正方形与相似三角形知识的综合应用，要熟练掌握每一种几何图形的性质．5、分析首先根据题意画出示意图(如图27－43所示)，把实际问题抽象成数学问题，从而利用△PQR ∽△DEC ，△PQR ∽△ABC 求出树高AB ．解：如图27－43(1)所示，延长AD ，BE 相交于C ，则CE 是树的影长的一部分．由题意可得△PQR ∽△DEC ，∴PQ QRDE EC=，即10.91.2CE=，∴CE =1.08(m)， ∴BC ＝BE +CE ＝2.7+1.08＝3.78(m)．又∵△PQR ∽△ABC ，∴PQ QRAB BC=，即10.93.78AB =，∴AB =4.2(m)，故树高为4．2 m ．体验中考分析由三角形相似可得OA AA OB BB '='，∴BB ′=OB AA OA 'g =400.00150.2⨯=0.3(m)．故选B. 【解题策略】解决此题的关键是根据AA ′∥BB ′，从27.2.3 相似三角形的周长与面积学习目标、重点、难点【学习目标】1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2．能用三角形的性质解决简单的问题．【重点难点】1．相似三角形的性质与运用．2．相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．知识概览图相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比(相似多边形周长的比等于相似比)相似三角形面积的比等于相似比的平方(相似多边形面积的比等于相似比的平方)新课导引【生活链接】如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系?它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?【问题探究】前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相似图形的周长与面积又具有怎样的性质呢? 教材精华知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比 ABA B''＝k ，那么如图27－57所示，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似三角形的周长与面积△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，过A 作AD ⊥BC ，过A ′作A ′D ′⊥B ′C ′，垂足分别为D ，D ′，在△ABD 与△A ′B ′D ′中，∠B ＝∠B ′，∠ADB ＝∠A ′D ′B ′＝90°，所以Rt △ABD ∽Rt △A ′B ′D ′，所以AD ABA D AB =''''＝k ，即相似三角形对应高的比等于相似比k ．知识点2 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比如图27－58所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AD ，A ′D ′分别为△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，BE ，B ′E ′分别为△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，则AD ABA D AB =''''＝k ．知识点3 相似三角形周长的比等于相似比如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，并且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，那么AB BC ACA B B C A C ==''''''＝k ，则AB ＝k ·A ′B ′，BC =k ·B ′C ′，AC ＝k ·A ′C ′，因此()ABC AB BC CA kA B kB C kA C k A B B C C A k A B C A B B C C A A B B C C A A B B C C A ''''''''''''++++++===='''''''''''''''''''''++++++△的周长△的周长，即相似三角形周长的比等于相似比．例如：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别为60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，则这两个三角形的相似比为605726=，且56AB BC A B B C ==''''，因为AB ＝15cm ，B ′C ′＝24 cm ，所以A ′B ′＝18 c m ，BC ＝20 c m ，所以AC ＝60－15－20＝25(cm)，A ′C ′＝72－18－24＝30(cm)．知识点4 相似多边形周长的比等于相似比如果多边形A 1A 2…A n 与多边形A 1′A 2′…A n ′相似，并且多边形A 1A 2…A n 与多边形A 1′A 2′…A n ′的相似比为k ，则2311212231n n A A A A A A A A A A A A ==''''''…＝k ，∴A 1A 2＝kA 1′A 2′，A 2A 3＝kA 2′A 3′，…，A n A 1＝kAn ′A 1′，∴A 1A 2+A 2A 3+…+A n A 1＝k (A 1′A 2′+A 2′A 3′+…+A n ′A 1′)，∴1223112231n n A A A A A A A A A A A A +++''''''+++……＝k ，即相似多边形周长的比等于相似比.知识点5 相似三角形面积的比等于相似比的平方若△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k ，AD ，A ′D ′分别是BC 与B ′C ′边上的高，则1212ABCA B C BC ADS BC AD S B C A D B C A D '''===''''''''g g △△ =k ·k =k 2,即相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似多边形面积的比等于相似比的平方对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方．对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形，从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方．规律方法小结 (1)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比．(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．(3)类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(4)本节内容中求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应顶点的相似三角形仍然要分类讨论．课堂检测基本概念题1、(1)若两个相似三角形的面积比为1：2，则它们的相似比为；(2)若两个相似三角形的周长比为3：2，则它们的相似比为；(3)若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝5，A′B′＝3，△A′B′C′的周长为12，则△ABC的周长为 .基础知识应用题2、如图27－59所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．3、如图27－60所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE 的面积分别为18和2，DE＝2，求AC边上的高．4、如图27－61所示，在△ABC与△CAD中，AD∥BC，CD交AB于点E，且AE：E B＝1:2，EF∥BC交AC于点F，且S＝1，求S△BCE和S△AEF．△ADE5、如图27－62所示，AD是△ABC的角平分线，BH⊥AD于点H，CK⊥AD于点K，求证AB·DK ＝AC·DH．综合应用题6、如图27－63所示，在梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△COD的面积为a2，△AOB的面积为b2，其中a＞0，b＞0，求梯形ABCD的面积S．探索与创新题7、如图27－64所示，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB延长线上一点，OE交BC 于点F，AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．8、如图27－65所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证△ABC∽△FCD；(2)若S △FCD＝5，BC＝10，求DE的长体验中考1、已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为．2、如图27－67所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．(1)求证EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 (1)∵两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴k 2＝12，且k ＞0，∴k＝2．(2)∵相似三角形的周长比等于相似比，且周长比为3:2，∴相似三角形的相似比为3：2．(3)∵相似比5：3，∴53ABC A B C ='''△的周长△的周长.又∵△A ′B ′C ′的周长为12，∴12ABC △的周长＝53，∴△ABC 的周长为20．答案：2 (2)3：2 (3)20【解题策略】解决此类题时，可直接应用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系来求解．2、分析先说明△ABC ∽△DEF ，再运用相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方进行求解．解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB =2DE ，AC =2DF ，∴1.2DE DF AB AC == 又∵∠D ＝∠A ，∴△DEF ∽△ABC ，且相似比为12． ∴12DEF ABC =△的周长△的周长.即1242DEF =△的周长，∴△DEF 的周长为12．∴212DEF ABC S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，即21482DEF S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△， ∴S △DEF ＝12．即△DEF 的周长为12，面积为12．【解题策略】解决此类问题时，可利用相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方来求解．3、分析若求AC 边上的高，就要把AC 边上的高作出来，由于△ABC 的面积为18，因此只要求出AC 边的长，就可以求出AC 边上的高．解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F ．∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CE B ＝90°，又∵∠ABD ＝∠CBE ，∴Rt △ADB ∽Rt △CE B ．∴BD AB BE CB =,即BD BEAB CB=，且∠ABC =∠DBE ， ∴△EBD ∽△CBA ，∴2218BED BCA S DE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，又∵DE ＝2，∴AC ＝6．∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18，∴BF ＝6．【解题策略】解决此题的关键是根据已知条件说明△EBD ∽△CBA ．4、分析由AD ∥BC ，可得△ADE ∽△BCE ，求S △BCE 比较容易，而求S △AEF 不易利用相似三角形的面积关系来求解．由DA ∥EF 可知△AEF 与△EAD 是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出EF ：AD 就可以求出△AEF 的面积．解：∵AD ∥BC ，∴△ADE ∽△BCE ， ∴S △ADE ：S △BCE ＝AE 2：BE 2．又∵AE :BE ＝1：2，∴S △ADE :S △BCE ＝1:4， ∵S △ADE ＝1，∴S △BCE ＝4．又∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF :BC ＝AE ：AB ＝1:3．又∵△ADE ∽△BCE ，∴AD ：BC ＝AE ：BE ＝1：2，∴BC ＝2AD ，∴EF ：AD ＝2：3．又∵AD ∥EF ，∴△ADE 与△AEF 等高． ∴S △AEF ：S △ADE ＝EF ：AD ＝2：3．∵S △ADE =1，∴S △AEF ＝23.【解题策略】利用相似三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底(或等底)三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．5、分析由已知易证△BHD ∽△CKD ，△ABH ∽△ACK ，从而易得AB BH DHAC CK DK==,即AB ·DK =AC ·DH ．证明：∵BH ⊥AD ，CK ⊥AD ，∴BH ∥CK ，∴△BHD ∽△CKD ，∴DH BHDK CK=．① ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2．又∵∠BHA =∠CKA =90°， ∴Rt △ABH ∽Rt △ACK ,∴AB BHAC CK=．② 由①②可知AB DHAC DK=，∴AB ·DK ＝AC ·DH ．【解题策略】在本题中，利用BH CK 把AB AC 和DH DK 联系起来，通常把这里的BHCK叫做中间比，它起到桥梁的作用．6、分析梯形的面积等于4个三角形的面积之和，而△AOB 和△COD 的面积都已用a ，b 表示出来，因此关键是求出△AOD 和△BOC 的面积．由图可知△AOD 和△BOC 的面积相等，而△AOD 和△COD 在AC 边上的高是同一条高，因此△AOD 和△COD 的面积比就等于AO ：OC ，这样就可以求出△AOD 的面积．解：∵AB ∥CD ，∴△COD ∽△AOB ，∴2222,COD AOB S CO a AO S b ==△△∴.CO aAO b= 又∵S △ABC ＝S △ABD ，∴S △ABC －S △AOB ＝S △ABD －S △AOB ，即S △BOC ＝S △AOD ．又∵AOD OD S S △△C =AO bCO a=， ∴S △AOD =b a ·S △COD =b a·a 2=ab ． ∴S △COB ＝S △AOD ＝ab ．∴梯形ABCD 的面积S ＝a 2+ab +ab +b 2＝(a +b )2．【解题策略】底在同一条直线上，高相同的两个三角形面积的比等于底边长的比，而相似三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意区别这两个性质．7、分析显然所求线段BF 与已知线段BE 在同一个三角形中，如果能找到一个与△BEF 相似且有已知边的三角形，问题便可解决，但在图中不能直接找到，如果过O 作OC ∥BC 交AB 于G ，就能得到△EBF ∽△EGO ，此题可解．解：过点O 作OG ∥BC 交AB 于G ，则△EBF ∽△EGO ．∵ABCD 的对角线相交于点O ，∴OA ＝OC ，AG ＝G B ．又∵△EBF ∽△EGO ，∴BF EBGO EG =. ∵AG ＝GB ＝12AB ，∴OG ＝12BC ．又∵AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ， ∴OG ＝12b ，GB ＝12a ，GE=12a +c ．∴1122BF c b a c =+，∴BF =12122b cbc a c a c =++g . 【解题策略】解决此类题的关键是构造相似图形，而构造相似图形的一般方法是作平行线． 8、分析由E D ⊥BC ，D 是BC 的中点，可得∠B ＝∠1，由AD ＝AC ，可得∠2＝∠ACD ，从而相似可证．过A 作AM ⊥BC ,垂足为M ，求DE 的长可以在ED ∥A M 的基础上利用比例线段求得．证明：(1)∵DE ⊥BC ，D 是BC 的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1．又∵AD ＝AC ，∴∠2＝∠ACB ， ∴△ABC ∽△FCD ．解：(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，∴ABC FCD S S △△=2BC CD ⎛⎫ ⎪⎝⎭=4．又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20． ∵S △ABC ＝12BC ·AM ，且BC ＝10， ∴20=12×10·AM ，∴AM ＝4．又∵DE ∥AM ，∴DE BDAM BM=． ∵BM ＝BD +DM ，BD ＝12BC ＝5，DM ＝12DC ＝52，∴BM ＝5+52＝152， ∴51542DE =．∴DE =83. 体验中考1、分析相似三角形的面积之比等于相似比的平方．故填2：5．2、证明：(1)∵C F 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2．又∵DC ＝AC ，∴CF 是△ACD 的中线，∴点F 是AD 的中点．又∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，即EF ∥BC解：(2)由(1)知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，∴2AEF ABD S AE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△．又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6，∴2612ABDABD S S -⎛⎫= ⎪⎝⎭△△， ∴S △ABD ＝8，∴△ABD 的面积为8．27、3 位似图形学习目标：1、能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.2、有意识地培养学生学习数学的积极情感，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯.学习过程：一、课前准备1．知识链接（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的类型？（2）位似图形的性质是什么？2．预习检测（1）通过预习你能总结出利用位似把一个图形进行放缩的方法吗？（2）利用位似放缩图形用到了位似的哪些性质？二、学习过程探究1请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，同学们在小组间互相交流，看一看有几种方法？总结上述作法我们可归纳出：（一）“利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.”。

新人教版九年级下册数学《两角分别相等的两个三角形相似》精品导学案

27.2.1 相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似学习目标：1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.一、知识链接学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似操作与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：问题1 度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？问题2 试证明：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′（或A′B′的延长线）上，截取A′D=AB，过点D 作DE // B′C′，交A′C′于点E，【补全证明过程】【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC ∽△A'B'C'.【典例精析】如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.【针对训练】如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.如图，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P，求证：PA ·PB=PC ·PD.证明：连接AC，DB.∵∠A 和∠D 都是弧CB 所对的圆周角，∴∠A= __ ___，同理∠C= _______，∴△PAC ∽△PDB，∴，即PA ·PB = PC ·PD.【针对训练】如图，⊙O 的弦AB，CD 交于点P，若PA=3，PB = 8，PC = 4，则PD =.【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于△BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解探究点2：判定两个直角三角形相似如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.思考对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL ”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？证明如图，在 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′ 中，∠C=90°，∠C ′=90°，CA ACB A AB ''=''. 求证：Rt △ABC ∽ Rt △A ′B ′C ′.【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =2，当 AB 的长为时，△ACB 与△ADC 相似．【分析】观察得到AB 和AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论【针对训练】在 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′ 中，∠C=∠C ′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°，∠B ′=55°：；(2) AC=3，BC=4，A ′C ′=6，B ′C ′=8：；(3) AB=10，AC=8，A ′B ′=25，B ′C ′=15： .二、课堂小结1. 如图，已知 AB ∥DE ，∠AFC ＝∠E ，则图中相似三角形共有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对第1题图第2题图第3题图第4题图2. 如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D ，∠C=∠E ，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC 的长等于 ( ) A.415 B.512 C.320 D.417 3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或∠ = ∠ ) 时，△ACD ∽△ABC ；4. 如图，在 Rt △ABC 中， ∠ABC = 90°，BD ⊥AC 于点D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .5.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC.6. 如图，△ABC 的高 AD ，BE 交于点 F ．求证：DF EF BF AF .7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．参考答案合作探究一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似问题2 解：则有△A ′DE ∽△A ′B ′C ′，∠A ′DE =∠B ′.∵∠B=∠B ′，∴∠A ′DE=∠B.又∵ A ′D=AB ，∠A=∠A ′，∴△A ′DE ≌△ABC （ASA ），∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 【典例精析】证明：∵ 在△ ABC 中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，∴ ∠C=180 °－∠A －∠B=60 °.∵ 在△DEF 中，∠E=80 °，∠F=60 °.∴ ∠B=∠E ，∠C=∠F.∴ △ABC ∽△DEF.【针对训练】 55°∠D ∠BPB PC PD PA = 【针对训练】6探究点2：判定两个直角三角形相似解：∵ ED ⊥AB ，∴∠EDA=90 ° .又∠C=90 °，∠A=∠A ，∴ △AED ∽△ABC. ∴AB AE AC AD = .∴41058=⨯=⋅=AB AE AC AD . 证明证明：设C A AC B A AB ''=''= k ，则AB=kA ′B ′，AC=kA ′C ′. 由勾股定理，得22AC AB BC -=，22C A B A C B ''-''=''.∴ k C B C B k C B C A k B A k C B AC AB C B BC =''''=''''-''=''-=''222222 ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A ′B ′C ′.3 或3 2解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD =2，∴()6222222=+=+=CD AD AC .要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 Rt △ABC ∽ Rt △ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC ，即6: 2 =AB :6，解得 AB=3； (2) 当 Rt △ACB ∽ Rt △CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ，即6:2=AB :6，解得 AB=32．∴ 当 AB 的长为 3 或3 2时，这两个直角三角形相似．【针对训练】(1) 相似 (2)相似 (3) 相似当堂检测1. C2. A3. ACD B ADC ACB4. 42 18 1225.证明: ∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠FEC. ∴ △ADE ∽△EFC.6. 证明： ∵ △ABC 的高AD 、BE 交于点F ，∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).∴ △FEA ∽ △ FDB ，∴DFEF BF AF . 7. 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC ，∠DAE= ∠3+ ∠DAC ，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE ，∠DOC =∠AOE （对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC ∽△ADE.学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。

九年级数学下册第二十七章相似相似三角形的判定导学案新人教版

1相似三角形的判定一．自主预习1、什么样的三角形是相似三角形？几何语言：（如右图） C C ’∵____________________∴____________________ A B A ’ B’2、平行线分线段成比例：l 1 l 2 l 3 已知：直线543////l l l ，直线1l 和直线2l A D l 4 分别与这三条平行线相交，你 B E 能发现什么？ C F l 5结论1：________________________________________________ A E DD E A B C B C如上图，你还得发现什么结论?结论2：_________________________________________________3、自学课本30页思考，并证明.三角形相似的定理一：_______________________________________________________二、合作探究1、如图，DE ∥BC ，若D 是AB 的中点，DE=6，试求BC 的值.学习目标1、掌握三角形相似的定义、利用平行线判定三角形相似的判定方法及应用2、经历探索相似三角形的判定方法的过程，锻炼学生观察探究、主动学习的能力，培养逻辑推理能力. 学习重点掌握相似三角形的定义、判定方法1及应用学习难点相似三角形判定方法1的推导及应用22、如图，DE ∥BC ，过点E 作EF ∥AB ，EF 交BC 于点F ， AD:DB=2：3， BC=10, 求（1）CFBF(2)CF 的长。

三、展示交流1.△ABC 与△DEF 相似，且相似比为32，则△DEF 与△ABC 的相似比是 2.如图，DE ∥BC.（1）AD =2，DB=1，DE=2.5，求BC ；（2）AD:DB=2:1,DE=2.5，求BC ；（3）DE:BC=3:5,AD=2, 求BD.四、随堂检测1.在△ABC 中，AB=6，AC=9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD=2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为．2.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证△ADE ∽△EFC.3. 如图，DE ∥BC ，AE=50cm ，EC=30cm ，BC=70cm ，∠BAC=45º， ∠ACB=40º。

人教版九年级数学下册第二十七章《相似》27.1图形的相似(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似图形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似图形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，学生们对于相似在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法，这说明他们在思考问题时能够联系实际，这是我很乐意看到的。但同时，我也发现有些学生在讨论中不够主动，可能是因为他们对知识点的掌握不够自信。在未来的教学中，我需要更多地鼓励这些学生，帮助他们建立信心。
我还注意到，在教学难点解析部分，尽管我尽量用简单明了的语言和丰富的例子来解释，但仍有学生表现出了一定的困惑。这告诉我，可能需要寻找更多的教学策略来突破这些难点，比如通过分组辅导或者设置课后小灶课程，为学生提供更多的个别指导。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体形状相似的情况？”比如，放大镜下的图形和原图形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似图形的奥秘。
4.培养学生的数学建模素养，通过相似知识的应用，构建数学模型，解决实际情境中的几何问题。
5.培养学生的创新意识和团队合作精神，在探索相似图形的活动中，鼓励学生提出新思路，与他人合作交流，共同解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似图形的定义及其性质，特别是相似三角形的判定方法（AA、SSS、SAS）。

人教版九年级数学下册第27章相似复习导学案设计

第27章相似复习导学案学习目标： 1. 掌握三角形相似的判定方法。

2. 会用相似三角形的判定方法和性质来判断及计算重点：三角形相似的判定性质及其应用。

难点：三角形相似的判定和性质的灵活运用。

学法指导：设置问题、探究讨论、例题讲解、小组讨论。

一．知识梳理1.平行线分线段成比例定理：___________________________________2. 相似三角形的性质与判定:（1）相似三角形的对应边_______ 相似三角形的对应角_____（2）相似三角形的周长比等于_______，相似三角形的面积比等于______ , 三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于_____ 。

（3）相似三角形的判定:__________________________.3.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于__________________________二、跟踪训练一级训练1．如图6－4－17，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝() A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4图6－4－17图6－4－19图6－4－202．如图6－4－19，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为() A．9B．6C．3D．43．如图6－4－20，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为()A．(2，0) B.32，32 C．(2，2) D．(2,2)4．如图6－4－21，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似三角形有()A．4对B．5对C．6对D．7对图6－4－21 图6－4－225．如图6－4－22，已知在△ABC 中，P 是AB 上的一点，连接CP ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件____________(只要写出一种合适的条件)．6．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为4 cm ，那么较大三角形的周长为______cm.二级训练7．如图，∠ACB ＝∠ADC ＝900，AC ＝6，AD ＝2。

人教版九年级数学下册第二十七章27.1图形的相似(教案)

-对于相似图形的周长比和面积比的概念，学生可能难以理解其本质，容易混淆。
举例：
(1)难点解释：学生可能不清楚在什么情况下可以使用AA相似定理，什么情况下不能。需要通过具体例题，如两个等腰三角形的底角相等，但顶角不等，不能直接判定相似，来帮助学生理解。
(2)难点突破：针对实际问题，如地图比例尺问题，教师需要引导学生将地图上的实际距离和图上距离建立相似关系，理解比例尺的意义。
实践活动环节，同学们分组讨论和实验操作的过程非常积极，但我也观察到有的小组在解决问题时思路不够清晰，对相似知识的应用还不够熟练。这让我意识到，在实践活动的设计上，我需要更加注重引导学生思考和探索，提供更多提示和帮助，以便他们能够更好地将理论知识应用到实际问题中。
此外，学生小组讨论的环节也让我看到了同学们的潜力。他们在讨论相似图形在实际生活中的应用时，提出了很多有趣的观点和创意。但在分享成果时，有的小组表达不够清晰，这也提醒我在今后的教学中要加强对学生表达能力的培养。
(3)难点澄清：对于相似图形的面积比，学生可能会误认为面积比等于周长比。需要通过具体图形的面积计算和证明，使学生明白面积比是相似比的平方。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《图形的相似》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体形状相似的情况？”比如，放大镜下的图像和原图形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似图形的奥秘。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的判定(一)》导学案

新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的判定（一）》导学案课题27.2.1 相似三角形的判定（一）课型新授主备人备课组审核级部审核学生姓名教师寄语学而不思则罔，思而不学则殆。

学习目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．一、新知链接1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''．我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''．（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P42的思考，并引导同学们探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．二、合作探究例1如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．例2，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．三、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．四、课堂小结：本节课你的收获是什么？自我评价专栏(分优良中差四个等级)教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。

九年级数学下册教案导学案第27章第02课时相似多边形的性质导学案含课堂练习及每课一测

第2课时相似多边形的性质【教学目标】1．掌握两个相似多边形的特征及两个多边形相似的判定方法. 【知识点梳理】1．对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或ad ＝bc ），那么，这四条线段叫做，简称 .2．相似多边形的对应角，对应边的比；若两个多边形的对应角，对应边的比，那么这两个多边形 .3．相似多边形的对应边的比称为；当相似比为1时，两个多边形．【问题探究】例1．（比例尺）球迷小明想知道从淄博到南非首都约翰内斯堡的距离大约是多少，因此他从一张比例尺是1：32000000的地图上量得淄博到约翰内斯堡的图上距离大约为35cm ，则北京到上海的实际距离大约是 km .变式：在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是 km .例2．（比例线段）如图，在等腰△ABC 和等腰△A 1B 1C 1中，底边的长BC =4cm ，B 1C 1=6cm ，它们的周长分别为16cm 和24cm ．这两个等腰三角形的腰与底边是否成比例线段．变式：下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（）A.1、2、3、4B.1、2、2、4C.3、5、9、13D.1、2、2、3 例3．（相似多边形的性质）小明家有一个矩形相框，其边长为10cm ，20cm ，小明还想做一个与该相框形状完全相同的相框，但手中只有一根作为一边的30cm 长的框料，那么小明还要准备多长的框料？变式：两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm ，则这两个多边形的相似比可能是．例4．（相似多边形的判定）如图，一幅矩形油画的长为40cm ，宽为25cm ，此幅油画的外围镶有画框，已知画框的宽度为5m ，则画框内外所构成的两个矩形相似吗？说明理由．变式：如图一是一个正六边形，现将A 、D 两点拉长后，图一与图二相似吗？为什么？将图一中DE 、DC 这两条线段向右平移一些后所得图三与图一相似吗？为什么？C1 A B1．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是（）A．1：50 B．1：500 C．1：5000 D．1：500002．（2010上海中考）下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似3. 下列四组线段中，不能成比例的是（）A.a=3，b=6，c=2，d=4B.a=1，b=2，c=6，d=3C.a=4，b=6，c=5，d=10D.a=2，b=5，c=15，d=234．已知矩形ABCD与矩形EFGH相似，若AB=5cm，BC=6cm，EF=10cm，则FG=_____．5．△ABC与△DEF是两个相似三角形，∠A=50°，∠B=70°，∠D=60°，则∠E的度数可以是______．6．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是___________．7．如图是两个相似四边形，根据已知数据，求x、y、α．8．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1 286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为多少千米？一、选择题（每题5分，共25分） 1．某市的两个旅游景区之间的距离为105km ，则在一张比例尺为1∶2 000 000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度 D ．一根筷子的长度2．若四边形ABCD 相似于四边形D C B A ''''，且AB ∶B A ''=1∶2 ，已知BC =8，则C B ''的长是（）A ．4B ．16C ．24D ．64 3．下列各组线段中，能成比例的是（）A ．1cm ，3 cm ，4 cm ，6 cmB ．30 cm ，12 cm ，0.8 cm ，0.2 cmC ．0.1 cm ，0.2 cm ，0.3 cm ，0.4 cmD ．12 cm ，16 cm ，45 cm ，60 cm4．下列说法正确的是（）A ．两个矩形相似B ．两个梯形相似C ．两个正方形相似D ．两个平行四边形相似5．将一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点的连线对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（） A ．2：1 B ．1:3 C ．1:2 D ．1：1 二、填空题（每题5分，共25分）6．甲，乙二人按2∶5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年赢利14 000元，那么甲应分得元. 7．如图，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为 .8．如图，四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，已知∠A =120°，∠B =85°∠C 1=75°，AB =10， A 1B 1=16，CD =18，则∠D 1= ，C 1D 1= ，它们的相似比为 .9．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 .10．如图所示，是比例尺为1：200的铅球场地的意示图，铅球投掷圈的直径为2.135m.体育课上，某生推出的铅球落在投掷区的点A 处，他的铅球成绩为____________m.（精确到0.1m ）三、解答题（每题10分，共50分）11．我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．12．已知梯形ABCD 和梯形A B C D ''''中，AD ∥BC ，A D B C ''''∥，∠B ＝∠B ′，∠D ＝∠D ′，且AD BC AB CDA DBC A B C D===''''''''，你能说明梯形ABCD 相似于梯形A B C D ''''吗？13．如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB =4．（1）求AD 的长．（2）求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．14．如果一个图形经过分割，能成为若干个与自身相似的图形，我们称它为“能相似分割的图形”如图所示的等腰三角形和矩形就是能相似分割的图形． (1)你能否再各举出一个 “能相似分割”的三角形和四边形？(2)一般的三角形是否“能相似分割的图形”？如果是的话给出一种分割方案，否则说明原因．【参考答案】【要点梳理】 1．b a ＝dc成比例线段比例线段 2．相等相等相等相等相似 3．相似比全等【问题探究】例1．11200 提示：设坐标到约翰内斯堡的实际距离大约是x km ，根据比例尺=实际距离图上距离，可得x=135320，解得x =11200 km ．变式：600 例2．分析：要判定四条线段是否成比例，只要找出其中两条线段之比等于另两条线段之比即可.另外，若最长线段与最短线段长度之积等于另两条线段长度之积，则这四条线段成比例.解：因为AB +BC +AC =16cm ，且AB =AC ，BC =4cm ，所以AB =)416(21-=6cm ．同理可求得A 1B 1=9cm ．因为 329611==B A AB ，326411==C B BC ，所以 1111C B BC B A AB =．变式：B 例3．分析：因为两个矩形形状完全相同，所以它们相似，对应边成比例.设相框另一边长为x cm.则有：①2010=30x ； ②2010=x30两种情况，分别求出x ，再计算需准备的框料. 解：因为两个矩形形状完全相同，所以它们相似，对应边成比例.设相框另一边长为x cm ，根据相似的特征有：①2010=30x，解得∴x =15cm ，所以还需准备的框料为：（30+15×2）=60cm ； ②2010=x30，解得∴x =60cm ，所以还需准备的框料为：（30+60×2）=150cm.综上所述，小明还要准备60cm 或150cm 的框料.变式：32 提示：4.5323=.例4．解：外框两边长为45cm ，30cm ；内框两边长为40cm ，25cm.∵45304025≠，∴画框内外所构成的两个矩形的长和宽不构成比例线段.∴两个矩形不相似变式：解：不相似，因为对应角不相等；不相似，因为对应边不成比例. 【课堂操练】1．B 2．D 3．C 4．12 cm 提示：∵FG ∶BC =EF ∶AB ，∴FG =6×10÷5=12(cm)． 5．0°或70° 提示：∠E 可能和∠A 对应，也可能和∠B 对应，所以∠E 的度数可以是0°或70°． 6．12 提示：设最长边是x ，所以有x ∶6=6∶3，∴x =12． 7．解：由于四边形的内角和等于360°，所以∠C =360°－30°－120°－130°=80°，所以α=80°．由于AB 和GD 是对应边，所以两个相似四边形的相似比是5∶8，BC 的对应边为DE ，所以58BC DE =，即458x =，解得x =6.4．由于AD 与GF 是对应边，所以658y =，解得y =9.6．8．解：飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为x 千米，则3 5.4 3.61286x+=，解得x =3858千米，∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为3858千米．【每课一测】1．A 提示：设图上距离为x cm ，则1∶2 000 000=x ∶10 500 000，解得x =5.25cm. 2．B 3．D 4．C 5．C6．4 000 7．8cm 8．80°1445 589．8 cm 2 提示：设留下的矩形的宽为xcm ，则有448x=，解得x =2，所以留下矩形的面积为：2×4=8 cm 2．10．5.1 提示：连接AO 并延长交⊙O 于B ，度量AB =3.6cm ，设AB 的实际长度为x cm ，则2001=x6.3，解得x =720，即AB 的实际长度为7.2m.故该生推铅球的实际成绩为7.2-2.135≈5.1m.11．解：圆和正六边形是相似图形，因为它们的形状相同；菱形和长方形不是相似图形，因为它们的形状不一定相同．12．能说明梯形ABCD 相似于梯形A B C D ''''． 13．解：(1)由已知，得MN =AB ，MD =12 AD =12BC ．∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，D M M N A B B C =，∴12AD 2=AB 2，∴由AB =4得，AD(2)矩形DMNC 与矩形ABCD的相似比为2DM AB = 14．例如直角三角形，一组底角是60°、三边相等的等腰梯形．三角形都是“能相似分割的图形”（提示：顺次连结三角形三边中点，将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似）B。

新人教版九年级下册-第27章-相似-全章教案

初三数学九（下）第二十七章：相似第1课时图形的相似（1）教学目标:1、知识目标：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．2、能力目标：在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”分析问题．3、情感目标：在探究相似图形的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．重点、难点教学重点: 认识图形的相似．教学难点: 理解相似图形概念．一.创设情境活动1观察图片，体会相似图形同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？(课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)师生活动: 教师出示图片，提出问题；学生观察，小组讨论；师生共同交流．得到相似图形的概念．教师活动:什么是相似图形?学生活动:共同交流,得到相似图形的概念．学生归纳总结：(板书)形状相同的图形叫做相似图形在活动中,教师应重点关注：学生用数学的语言归纳相似图形的概念；活动2思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?学生活动: 学生观察思考，小组讨论回答；二. 通过练习巩固相似图形的概念活动3练习问题：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？教师活动:教师出示图片，提出问题；学生活动:学生看书观察,小组讨论后回答问题.教师活动:在活动中,教师应重点关注：在练习中检验学生对相似图形的几何直觉．三. 小结巩固活动3(1)谈谈本节课你有哪些收获．(2)课外作业1、下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.2、填空题1、形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

课后反思：第2课时图形的相似（2）教学目标：1、知识目标：（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；（2）掌握判定三角形相似的预备定理。

人教版数学九年级下册第27章《相似》课堂教学设计

人教版数学九年级下册第27章《相似》课堂教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第27章《相似》主要介绍了相似图形的性质和判定。

本章内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习函数、解析几何等知识点奠定基础。

本章内容涉及的概念和性质较多，学生需要通过实例理解和掌握相似图形的相关知识。

二. 学情分析九年级的学生已具备一定的几何知识基础，能理解并运用平行、相交、三角形、四边形等基本图形的性质。

但学生在学习过程中，对抽象概念的理解和运用仍有困难，需要通过具体实例和动手操作来加深理解。

此外，学生对数学语言的表达和逻辑推理能力有待提高。

三. 教学目标1.理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质。

2.学会判定两个图形是否相似，并能运用相似性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑推理能力和数学语言表达能力。

四. 教学重难点1.相似图形的概念和性质。

2.判定两个图形相似的方法。

3.相似图形在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物模型和几何画板软件展示相似图形的性质和判定。

2.运用案例分析法，让学生通过分析具体实例，理解和掌握相似图形的性质。

3.采用分组合作法，让学生在小组内讨论和探究相似图形的问题，培养学生的团队协作能力。

4.运用问答法，引导学生积极思考，提高学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.准备相应的教案和教学课件。

2.准备实物模型和几何画板软件。

3.准备相关案例分析和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实物模型和几何画板软件，引导学生观察和分析，提出问题：“这些图形有什么共同特点？”让学生思考和讨论，引出相似图形的概念。

2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义和性质，通过实例和几何画板软件展示相似图形的判定方法。

引导学生理解和掌握相似图形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给定的图形，判断它们是否相似。

每组选取一个代表进行回答，教师点评并给予指导。

4.巩固（10分钟）让学生运用相似图形的性质解决实际问题，如计算图形面积、比例问题等。

人教版九年级数学下册第二十七章相似数学活动优秀教学案例

（五）教学内容与过程系统、全面，突出重点
本案例教学内容与过程设计系统、全面，涵盖了相似图形的定义、性质、判定方法、应用等方面。通过讲授新知、小组讨论、总结归纳等环节，突出重点，使学生深入理解相似图形的知识。
此外，本案例还注重以下方面的教学实践：
1. 结合课本知识，引导学生运用类比、归纳、演绎等数学思维方法，发现相似图形的性质和判定方法。
（二）讲授新知
1. 通过具体例子，引导学生观察、思考相似图形的特点，进而引出相似图形的定义和性质。
2. 结合课本，讲解相似图形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，并通过实例进行解释。
3. 介绍相似变换的概念和性质，以及在实际中的应用。
（三）学生小组讨论
将学生分成小组，让他们探讨以下问题：
1. 生活中还有哪些相似图形的例子？
2. 鼓励学生运用信息技术手，提高学习效率。
3. 培养学生的探究精神，让他们在解决问题的过程中，体会成功带来的喜悦，树立自信心，形成积极向上的价值观。
（三）小组合作，提高团队协作能力
本案例重视小组合作，通过合理分组，确保每个学生在小组中发挥自己的优势。在小组合作过程中，学生共同探讨问题、分享经验，培养团队协作能力和沟通能力。
（四）注重反思与评价，提升自我认知
本案例强调学生的反思与评价，鼓励学生在课后总结学习经验，提高自我认知。同时，教师对学生的学习过程和结果进行全面评价，为学生提供有针对性的指导，帮助他们建立自信，激发学习动力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解并掌握相似图形的定义、性质和判定方法，能运用相似知识解决实际问题。
2. 能够运用比例线段、相似多边形、相似三角形等知识，解决生活中的实际问题，如地图比例尺的计算、物体放大与缩小的比例等。