辽宁省沈阳市2013年高三教学质量监测(二)数学(理)试题 -带答案

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2025届辽宁省沈阳市第二十中学数学高三上期末学业质量监测试题含解析

2025届辽宁省沈阳市第二十中学数学高三上期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（） A ．152B ．102C ．153D ．1033．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.84．执行下面的程序框图，则输出S 的值为（）A ．112-B ．2360C ．1120D ．43605．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA 2AB =，则球O 的表面积为（）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,17．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24(4)2h 2π+π+B ．216(2)4h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+8．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（） A ．4B ．6C ．3D ．89．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．122C 162D ．16310．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+11．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,77712．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2013年数学(理科)(三)参考答案与评分标准

2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学（理科）参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. A2. D3. A4. C5. C6. C7. A8. B9. C 10. D 11. C 12. B3. A 提示21()cos 2cos 32cos 1cos 2,3f x a b x x x x =⋅=⋅-⋅=-= 故选择A.5. C 提示：如图，画出可行域为ABO ∆的内部（包括边界），其中A(1,2). 令2m x y =+，可见当12x y =⎧⎨=⎩时，m 取到最大值是4，于是z 的最大值是2log (44)3+=，故选C.6.C 提示：由于要求201614121+⋅⋅⋅+++的和，且当1i =时，12s =，当2i =时，4121+=S ，依次类推，一共有10项，因而i >10，故选C. 7. A 提示：'()'xxy e e --==-，所以切线斜率为e -，切线方程为(1)y e e x -=-+，即y ex =-，所以P 为真.极值点要求导数等于零的点左右单调性相反，所以命题q 为假.所以“p 或q ”为真，选A.Oxy A (1,2)B8. B 提示：()3sin cos =2sin 6f x x x x πωωω=++（）,依题意，||αβ-的最小值为14周期，故1232.443ππωω⋅==，所以因此选择B.9. C 提示：依题意2269,3,3;3 2.33m m m e m e ==±====-=时，时，故选择C. 10. D 提示：（方法一）41452()80C C =，而410210C =，故选D. （方法二）情形①在五个红球中取出四个，不在黑球中取，共有40515C C ⋅=种; 情形②在五个红球中取出三个，在黑球中取出一个，共有315220C C ⋅=种; 情形③在五个红球中取出二个，在黑球中取出二个，共有225330C C ⋅=种; 情形④在五个红球中取出一个，在黑球中取出三个，共有135420C C ⋅=种;情形⑤在红球中不取，在五个黑球中取出四个，共有04555C C ⋅=种；从而共有80种情况.而事件的基本空间中情况的个数为410210C =，于是选D.11.C 提示：当截面是以AB 为直径的圆时面积最小，正三棱锥O ABC-中，侧棱为2，高为1，可得底面边长为3，故239()24S ππ==，选C.12. B 提示：由题得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-≤≤--=.23＞1＜,231,2)(22x x x x x x x f 或由函数c x f y -=)(的零点恰有两个，即方程c x f =)(恰有两根，也就是函数)(x f y =的图象与函数c y =的图象有两个交点.如图所示,满足条件的c 为]⎪⎭⎫ ⎝⎛----∞43,12,( ，故选Ｂ.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.2425 14.23 15. 22y x -=1316.199319942013124005214005b b b b b b ++++++= 。

(北师大版)沈阳市高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(包含答案解析)

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．若21299m m C C --=且m N +∈；则()21mx -的展开式4x 的系数是（）A ．4-B ．6-C ．6D ．4 3．1180被9除的余数为（）A ．1-B ．1C ．8D ．8- 4．有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数为（） A ．120B ．150C ．240D ．3005．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（） A ．840B ．2226C ．2100D ．23526．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（） A ．18个B ．15个C ．10个D ．9个7．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（） A ．47B ．37C ．27D ．8218．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10B ．40-C ．200D ．2409．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有( ) A ．264种B ．224种C ．250种D ．236种10．某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（）A．495种B．288种C．252种D．126种11．若()5 211x ax⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a的值为( )A．1 B．9 C．-1或-9 D．1或912．41(1)xx++的展开式中常数项为（）A．18B．19C．20D．21二、填空题13．如图给三棱柱ABC DEF-的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.14．从编号为1，2，3，4，…，10的10个大小、形状都相同的小球中任取5个球．如果某两个球的编号相邻，那么称这两个球为一组“好球”，则任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有_______种．（用数字作答）15．设n a是(3)nx展开式中x的一次项系数(2)n≥，则2323333lim()nnna a a→+∞+++=_____16．集合{}1,2,3,,14S=的4元子集{}1234,,,T a a a a=中，任意两个元素差的绝对值都不为2，这样的4元子集T的个数有___个17．已知数列{}n a共有21项，且11a=，2115a=，11(1,2,3,,20)k ka a k+-==，则满足条件的不同数列{}n a有______个.18．若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则0135a a a a+++=_________ 19．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_____________种.（用数字填写答案）20．若,m n 是不大于6的正整数，则22661m nC x C y +=表示不同的椭圆个数为__________三、解答题21．在二项式6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中. （1）求该二项展开式中含3x 项的系数；（2）求该二项展开式中系数最大的项.22．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结．果用数字作答．．．．．．）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？ 23．（1）求122332C C -，233443C C -，345664C C -，346774C C -的值，设*,m n ∈N ，k m ，判断(1)m k k C +与11(1)k mm C +++的关系，不用证明；（2）求1111112969793282349798C C C C C A +++++的值．24．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？()1甲不在中间也不在两端； ()2甲、乙两人必须排在两端； ()3男女相间．25．已知*(12),n x n +∈N ．（1）若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项． 26．已知n 为给定的正整数，t 为给定的实数，设(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n . （1）当n =8时.①若t =1，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8的值； ②若t =23，求数列{a n }中的最大值；（2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --，故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】先根据21299m m C C --=求出4m =，再代入()21mx -，直接根据()na b +的展开式的第1r +项为1C r n r rr n T a b -+= ，即可求出展开式4x 的系数．【详解】因为21299m m C C --=且m N +∈所以21294m m m -+-=⇒=()421x -展开式的第1r + 项为214()r r r T C x +=-展开式中4x 的系数为246C = 故选C 【点睛】本题考查二项式展开式，属于基础题．3．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()210111210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯- 121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+-12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由题意，分“其中1人3本，另2人每人一本”、“其中1人一本，另2人每人2本”两种情况讨论，由分类计数原理结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，分两种情况：①其中1人3本，另2人每人一本，有311352132260C C C A A ⋅=种； ②其中1人一本，另2人每人2本，有122354232290C C C A A ⋅=种．所以不同的分法有6090150+=种. 故选：B ．【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.5．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226 故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．6．C解析：C 【分析】首位数字是3，则后三位数字之和为3，按一个为3，两个和为3及三个和为3进行分类排列可得. 【详解】由题知后三位数字之和为3，当一个位置为3时有003，030，300三个；当两个位置和为3时有336A =个，；当三个位置和为3时只有111一个，一共有10个. 故选：C 【点睛】本题考查求解排列问题.其主要方法：直接法:把符合条件的排列数直接列式计算. 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中.7．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=，所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.9．A解析：A 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有126436C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有2224A =种，即一共364144⨯=种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有216460C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有222A =种，即一共602120⨯=种方案.综上所述：分配方案共有264种. 故选：A 【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.10．B解析：B 【分析】题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，②选派3名医生，2名护士，分别计算，再根据分类加法计算原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，则有2339252C C =（种）； ②选派3名医生，2名护士，则有323936C C =（种）；按照分类加法计算原理可知，一共有2332393936252288C C C C +=+=（种）. 故选：B 【点睛】本题考查简单的组合问题，分类加法计算原理，属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.12．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】首先先给染色再按分类和分步给染色计算染色方法【详解】首先先给顶点染色有种方法再给顶点染色①若它和点染同一种颜色点和点染相同颜色点就有2种方法若点和点染不同颜色则点有2种方法点也有1种方法则的解析：264【分析】首先先给,,A B C 染色，再按分类和分步，给,,D E F 染色，计算染色方法. 【详解】首先先给顶点,,A B C 染色，有3424A =种方法，再给顶点D 染色，①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则,,D E F 的染色方法一共有2214+⨯=种方法，②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法；若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法；点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有224⨯=种方法，所以点D 和点B 染不同，颜色共有1247++=种方法，所以点,,D E F 的染色方法一共有4711+=种，所以共有2411264⨯=种方法. 故答案为：264 【点睛】关键点点睛：本题重点考查涂色问题，涂色问题的一个关键点是分步里面有分类，所以分类清楚是关键.14．120【分析】假定5个球排成一排5个小球之间有6个空位取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续但这2组号码与另一个球的号码不相邻分别求组合解析：120 【分析】假定5个球排成一排，5个小球之间有6个空位，取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的，有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续，但这2组号码与另一个球的号码不相邻，分别求组合数，可得答案. 【详解】将5个小球排成一排，在5个小球中间有6个空位，5个小球的编号恰好有两组“好球”，分两种情况：（1）这5个球中有3个球的号码是连续的，另两个小球的号码的是间断的，3个小球的号码与另2个球的号码也不是连续的，有216460C C =，（2）这5个球中有2组球的号码分别连接，但这两组球的号码与另一个球的号码是不连续的，有126560C C =，故任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有60+60120=种取法，故答案为：120. 【点睛】本题考查组合知识，对于相邻问题和相间问题，常采用分析空位的方法，属于中档题.15．18【分析】首先根据二项式展开式的知识求得然后利用裂项求和法求得的和进而求得极限的值【详解】展开式中一次项为故所以所以所以【点睛】本小题主要考查求二项式指定项的系数考查裂项求和法考查极限的计算属于中解析：18 【分析】首先根据二项式展开式的知识求得 n a ，然后利用裂项求和法求得2323333nna a a +++的和，进而求得极限的值. 【详解】(3n展开式中一次项为2222233n n nn C C x --⋅⋅=⋅⋅，故223n n n a C -=⋅，所以()23918111811n n n a C n n n n ⎛⎫===- ⎪--⎝⎭，所以2323333111111812231nn a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11818118n n ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦，所以232333318lim ()lim (18)18n n n n a a a n→+∞→+∞+++=-=.【点睛】本小题主要考查求二项式指定项的系数，考查裂项求和法，考查极限的计算，属于中档题.16．367【分析】将集合中的元素分为奇数偶数然后分类讨论4元子集中的元素：4个全是奇数；奇偶；奇偶；偶奇；4个全是偶数；再利用组合数的运算即可求解【详解】由集合其中个奇数：；个偶数：；4元子集中任意两个解析：367 【分析】将集合S 中的元素分为奇数、偶数，然后分类讨论4元子集中的元素：4个全是奇数；3奇1偶；2奇2偶；3偶1奇；4个全是偶数；再利用组合数的运算即可求解. 【详解】由集合{}1,2,3,,14S =，其中7个奇数：1,3,5,7,9,11,13；7个偶数：2,4,6,8,10,12,14；4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都不为2，4个元素全是奇数：{}1,5,9,13，共1种.3个奇数1个偶数：3个奇数的取法有{}1,5,9，{}1,5,11，{}1,5,13，{}1,7,11，{}1,7,13，{}1,9,13，{}3,7,11，{}3,7,13， {}3,9,13，{}5,9,13，共10种，此时共有171070C ⨯=.2个奇数2个偶数：即奇数任意抽取2个需去除相邻项、偶数任意抽取2个需去除相邻项，即()()2277661515225C C --=⨯=.3个偶数1个奇数的情况与3个奇数1个偶数情况一样：171070C ⨯=. 4个全是偶数：{}2,6,10,14，共1种.所以满足题意的共有：170225701367++++=. 故答案为：367 【点睛】本题考查了组合数的应用，此题属于复杂的组合问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题17．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解. 【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=， ∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.18．123【分析】在所给式子中分别令相减得到得值又令得到得值相加即可得到答案【详解】令得令得①令得②①—②得所以又所以故答案为：123【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和考查学生的基本解析：123 【分析】在所给式子中分别令1x =，1x =-，相减得到135a a a ++得值，又令0x =得到0a 得值，相加即可得到答案. 【详解】令0x =，得01a =，令1x =，得50123453a a a a a a +++++=①，令1x =-，得0123451a a a a a a -+-+-=-②，①—②，得51352(31)a a a ++=+，所以135122a a a ++=，又01a =，所以0135123a a a a +++=. 故答案为：123 【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.19．240【分析】根据题意分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意将5个医疗队分派到4个重灾区每个重灾区至少分配一个解析：240 【分析】根据题意，分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队. 分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有1245C C 种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法，所以不同的分配方案数共有123453240C C A =.故答案为：240. 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.20．12【分析】根据已知可得由组合数的性质确定出可能取到的数再由即可求出结论【详解】表示不同的椭圆可能取到的数为且所以表示不同的椭圆个数为故答案为：12【点睛】本题考查组合数的性质排列的应用属于中档题解析：12 【分析】根据已知可得16,16m n ≤≤≤≤，由组合数的性质，确定出6mC ，6nC 可能取到的数，再由66mnC C ≠，即可求出结论. 【详解】16,16m n ≤≤≤≤，15246666,C C C C ==， 22661m n C x C y +=表示不同的椭圆，66,m n C C 可能取到的数为12366666,,,C C C C ，且66m n C C ≠，所以表示不同的椭圆个数为2412A =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查组合数的性质、排列的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）160；（2）6240x . 【分析】（1）在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得含3x 项的系数．（2）根据61766615662222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧≥⎨≥⎩，求得r 的值，可得结论．【详解】（1）二项展开式中，通项公式为6123162r rr r T C x --+=，令1233r -=，求得3r =，故含3x 项的系数为3362160C =.（2）设第1r +项的系数最大，由61766615662222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧≥⎨≥⎩，解得4733r ≤≤，故2r故该二项展开式中系数最大的项为2466362240T C x x == 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．22．（1）1440；（2）576．【分析】（1）采用 “插空法”，先排4名男生，形成5个空档，将3名女生插入其中，由此可得；（2）3名女生捆绑作为一个人，优先排男生甲，然后其他人全排列．【详解】（1）采用 “插空法”，先排4名男生，有44A 种，形成5个空档，将3名女生插入其中，有35A 种，最后由分步乘法计数原理可得，共有43451440A A ⋅=种不同的出场顺序．（2）3名女生捆绑有33A 种，然后优先排男生甲有4种选择，其余可以进行全排列44A ，所以共有3434·4A A =576．【点睛】本题考查排列的综合应用，考查“相邻”与“不相邻”问题．排列时，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．23．（1）11(1)(1)mm k k k C m C +++=+；（2）33. 【分析】（1）由组合数公式，求出122332C C -，233443C C -，345664C C -，346774C C -的值，然后归纳推理即可；（2）根据（1）的结论可得121(1)2n n n C C ++=，再结合组合数的性质，即可求解. 【详解】（1）122332660C C -=-=，23344312120C C -=-=，3456646522560C C -=⨯⨯-⨯⨯=，3467740C C -=，∴11(1)(1)m m k k k C m C +++=+．（2）∵()()1111mm k k k C m C +++=+，∴1111112396972349798C C C C C +++++2222398222C C C =+++()22223982C C C =+++．又111kkk n n n C C C ---=+， ∴()()22232232398339899222C C C C C C C +++=+++=， ∴1111131239697992298982349798233C C C C C C A A +++++==．【点睛】本题考查归纳推理、组合数的性质的应用，考查计算求解能力，属于中档题. 24．()1241920种；()210080种；()32880种. 【分析】()1先排甲，有6种，剩下的8个元素全排列有88A 种，根据分步计数原理得出结果；()2先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得出结果；()3先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有55A 种方法，再根据分步计数原理得出结果. 【详解】解：()1先排甲有6种，其余有88A 种，∴共有886241920A ⋅=种排法．()2先排甲、乙，再排其余7人，共有272710080A A ⋅=种排法．()3先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有55A 种方法，故共有45452880A A ⋅=种排法．【点睛】本题考查排列组合问题，结合元素分析法（优先考虑特殊元素），位置分析法（优先考虑特殊位置），直接法，间接法（排除法），捆绑法，等机会法，插空法等常见的解题思路. 25．（1）1120；（2）561792,1792x x 【分析】（1）由奇数项的二项式系数和为128求得8n =，再利用二项式系数的性质求解即可；（2）由展开式前三项的二项式系数和等于37求得8n =，利用展开式中系数最大的项的系数比相邻两项的系数大，列不等式求解即可. 【详解】（1）由展开式中奇数项的二项式系数和为0241...2128n n n n C C C -+++==,可得8n =，所以展开式中二项式系数最大的项第五项，其系数为44821120C ⨯=；（2）由展开式前三项的二项式系数和012(1)1372n n n n n C C C n -++=++=，化为2720n n +-=，解得8n =，或9n =-（舍去），设展开式中系数最大的项为第1k +项，则11881188225622k k k k kk k k C C k C C --++⎧⨯≥⨯⇒≤≤⎨⨯≥⨯⎩，所以展开式中系数最大的项为第6或第7项，即5556666878(2)1792,(2)1792T C x x T C x x =⋅==⋅=【点睛】本题主要考查展开式中二项式系数最大的项以及展开式中项的系数最大的项，同时考查了二项展开式的通项公式，考查了计算能力，意在考查学生综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 26．（1）①128，②44827；（2）23n 【分析】（1）①设f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8，a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）] ÷2即可得解；②8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，通过不等式组891888718822332233rrr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩即可得解；（2）处理()()002133n kkn nk k k n k k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑0021213333n kkn kknnk k n n k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑1110021*******n kkn kk nn k k nn k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，利用二项式定理逆用即可得解.【详解】（1）设f （x ）=(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当n =8时.①若t =1，f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）]÷2=128 ②若t =23，(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，所以8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设第r 项最大，则891888718822332233r rr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， ()()123921381r r r r ⎧≥⎪-⎪⎨⎪≥⎪-+⎩解得222755r ≤≤，所以=5r 数列{a n }中的最大值35582448327a C ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当2n ≥时，()()002133n kkn nkkk nk k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 0021213333n kk n kknnk k n n k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 1110021*******n kkn kk nn k k nn k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑121333n n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23n =，当n =1时也满足，所以()0nkkk n k a x=-∑23n =. 【点睛】此题考查二项式定理的应用，根据展开式求解系数关系，涉及组合数计算公式，二项式定理的逆用，综合性强.。

2024 年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测(二)数学参考答案

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数学（参考答案）一、单项选择题：1．D 2．B 3. A 4．C 5.A 6．C 7.B 8.C 二、多项选择题:6．()662163264P A −==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴” 则()345666641264C C C P AB ++==，则()()()4163P AB P B A P A == 【答案】C7. 直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与平面1111A B C D 所成角大小分别为1θ，2θ，3θ，4θ等价于直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与直线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 成角大小分别为12πθ−，22πθ−，32πθ−,42πθ−，由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则2422ππθθ−<−，1PB 与1BB 成角更小，则点P 在线段OB 上【答案】B8.由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，则A ，B 显然错误，对于C ，D 而言，()2()e ()e ()()e e x x x x f x f x f x f x y ''−−'==，由图像可知(),0x ∈−∞，()e xf x y =单调递增，()0,x ∈+∞，()e x f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得最大值为1 【答案】C 9. 由实系数一元二次方程求根公式知i z i z 2321,232121−−=+−=，21,z z 是1的两个立方虚根，则222123212321z i i z =−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=(与21,z z 顺序无关），A 正确；因为13231==z z ，所以03231=−z z ，B 正确；0122221≠−=−z z z z ，C 错误；2121111z z z z z ===，D 正确.【答案】ABD10．已知所有棱长都相等，不妨设为1.A ：过S 作直线l ∥AD ，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接ES ，FS ，则∠ESF 为二面角A-l -B 的平面角，连接EF ，在△EFS 中， cos∠ESF =(√3)2+(√3)2−12(√32)2 = 13≠0所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错；B ：取SB 中点G ，SC 中点H ，连接OGH ，可知平面OGH ∥平面SAD ，所以当P ∈GH 时，OP ∥平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确；C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大， cos∠SEO =12√32=√33>12，所以∠SEO<π3，所以不存在Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为π3，故出错误；D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，则∠SIO 为二面角S-MN-O 的平面角，当MN 都无限向点B 靠拢时，∠SIO →π4；当M →A ，N →C 时，∠SHO →π2，所以二面角S-MN-O 范围是(π4，π2)，故D 正确. 【答案】BD 11.A ：|a n |=1(n−c )2+1，|a n+1|=1(n+1−c )2+1，(n +1−c )2+1−[(n −c )2+1]=2n +1−2c因为c ≤1,n ∈N ∗，所以2n +1−2c >0 所以(n +1−c )2+1>(n −c )2+1 所以|a n+1|<|a n |，即数列{||}n a 单调递减，故A 正确； B ：a 1=−1(1−c )2+1<0当n 为偶数时，1n a a ≥必成立，c 任意；当n 为奇数且n ≥3时，1n a a ≥为−1(n−c )2+1≥−1(1−c )2+1 等价于(n −c )2+1≥(1−c )2+1 等价于c ≤n+12，而(n+12)min=2，所以c ≤2. 综上c ≤2，故B 错误；C ：显然当i,j 同奇或同偶时，必有0i j a a +≠当i 为奇数，j 为偶数时，a i +a j =−1(i −c )2+1+1(j −c )2+1=(i +j −2c )(i −j )[(i −c )2+1][(j −c )2+1]因为i+j 为奇数，2c 为偶数，*c ∈N ，所以i +j −2c ≠0，所以0i j a a +≠，故C 正确；D ：先考虑最大项，最小项和为0，再调整：若和为0，则c 必为相邻两整数正中间，如：上图是c=3.5情形，a 3+a 4=0；当c →3.4时，会有|a 3|>|a 4|,a 3+a 4<0,如下图——当c →3.6时，会有|a 3|<|a 4|,a 3+a 4>0,如下图——即c 靠近偶数时，{}n a 的最大项与最小项之和为正数，临界值为*1122,22k c k k −<<+∈N ，故D 正确.【答案】ACD12.3381log 16333313log 2,161118181log log 2log 22log 31616161616f f f f −<<−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13.设点),(y x P ，由PA PB 2=得422=+y x ，若该圆上有且只有3个点直线:340l x y m ++=的距离为1，则圆心到直线的距离1==md ，解得5±=m .1,3,5,,21n +，42121212n n n C +++++21212n n C ++++210212n n C ++−−15．（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =……3分 sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan 3A =−，23A π∠= ………………6分（2）由题意可知ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，即111sin 60sin 60sin120222c b bc +=，化简可得b c bc +=， ……………9分在ABC ∆中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +−−+−===−从而()2220122bc bc bc −−=−，解得5bc =或4bc =−（舍） ………………12分所以11sin 5sin12022534ABC S bc A ∆==⨯= ………………13分16.（1）当0a =时，()e x x f x =，则1()e x x f x −'=，(1)0f '=，1(1)ef =，所以切线方程为1ey =………………3分（2）当1a =时，()e e x xf x x −=−，21e ()(1)e e e x x x xx f x x −−−'=−−= ………………4分令2()1e x g x x =−−，2()12e 0x g x '=−−<故()g x 在R 上单调递减，而(0)0g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点即：0是()f x '在R 上的唯一零点 ………………6分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：()f x (,0)−∞ ………………8分 ()f x 的极大值为(0)1f =−，无极小值. ………………9分（3）由题意知1−−≤−x x xeae xe，即x x x e e xe a 1−−−≥，即ee x a x 12−≥，设()e e x x m x 12−=，则()()x x x x e x e xe e x m 22222212−=−='， ………………………………11分令()0='x m ，解得21=x ，当()()x m x m x ,0,21,>'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞−∈单调递增，当()()x m x m x ,0,,21<'⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈单调递减，所以()ee e m x m 2112121max −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ……………………………………………14分所以ea 21−≥. ………………………………………………………………………………15分17．（1）方法一：AB B A 2111= ,112222AA AB AA AD ∴⋅=⋅== ………………1分 1121AA AD A D −−=()()111121211AA AD AB AP A D P D −+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=+=∴λλλ ……………2分()()()AD AB AA AD AB AC P D +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=⋅∴11121211λλλ()()()11221121211AA AD AA AB AD AB ⋅−+⋅−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλλ()()0142121818=−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλ,1AC P D ⊥∴即.1AC P D ⊥ ……………………………………………………5分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 )A，)B，()C ，()D ，122A h ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，122C h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，122D h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0M()AC =−()()1(1),22222AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=−+−+−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132D A h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭112222D P D A AP h h λ⎛⎫=+=−+−+− ⎪ ⎪⎝⎭………………………4分故10AC D P ⋅=，所以1D P AC⊥………………………………………5分（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法）取OC 中点E ,则ABCD E C 平面⊥1，作AM EF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，由三垂线定理得AM F C ⊥1，所以FE C 1∠为平面1AMC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为22=AB ，2324343=⨯==∆∆AMC AME S S , ……………………………………7分 10103,2321=∴=⋅∴EF AM EF ………………………………………………8分,3102tan ,73cos 11=∠∴=∠FE C FE C 即2,310211=∴=E C EF E C ………………11分方法二：确定正四棱台的高（空间向量）设平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =设平面1AMC 的法向量为(),,m x y z =，()AM =−，122AC h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭则有10AM m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0022x y hz ⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩，令x =，则()22,3m = ………………8分又题意可得3cos ,7m n ==，可得2h = ………………11分因为23λ=，经过计算可得40,0,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，1D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，142,3D P ⎛⎫= ⎪⎭ ………………13分将2h =代入，可得平面1AMC 的法向量()42,2m = ………………14分设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP m θ===………………17分 18.（1）设(),B x y '，POP θ'∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩， ……………3分消去θ得22163x y +=所以B '点轨迹Ω的方程22163x y += ……………5分（2）方法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124260k x kmx m +++−= ()()()22222441226488240km k m k m ∆=−+−=−+>，即2263m k <+ 从而122412kmx x k −+=+，21222612m x x k −=+1212121211112222AM AN y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−⋅=⋅=⋅−−−−()()()()2212121212111242k x x k m x x m x x x x +−++−==−++整理得24210k km m ++−=，即()()()()2412121210k m k k k m −++=+−+= ………………8分当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =−+ 当210k m −+=时，直线MN 的方程为()21y k x =−+，恒过()2,1A 点，不合题意………………10分设(),G G G x y ，将()11,M x y ，()22,N x y将M N 、两点代入到椭圆中22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212063x x y y −−+=，即()()()()()()1212121212121212032602y y y y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫−− ⎪−+⎝⎭==−+−+⎛⎫−− ⎪⎝⎭，12MN OG k k ⋅=−，故1OGk = ………………14分设OG 与y 轴负半轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以4πα=设OA 与x 轴正半轴所形成的夹角为β，因为()2,1A，所以sin 5β=，cos 5β= cos cos 2AOG παβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭()()sin sin cos cos 1si 0n αβαβαβ=−+=−+=− …………17分方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线AM 的方程为()21y k x =−+()2221163y k x x y ⎧⎪⎨+==−+⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +−−+−−= 从而21288412A k k x x k−−⋅=+，故21244212k k x k −−=+，将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k −−=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭又12AM AN k k ⋅=，将上式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭212112MN y y k x x −==−−，下面同方法一方法三：以()2,1A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程()()2221163x y −−+=，在新坐标系下设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1mx ny +=将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得()()224240x x mx ny y y mx ny +++++=整理得()()()224244140n y n m xy m x +++++=即：()()()24244140y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =，直线MN 的方程为21mx my +=，12MN k =−，下面同方法一方法四：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++−= 因为1x ，2x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++−=+−−①又1212111222AM AN y y k k x x −−⋅=⋅=−− 整理得：()()()()121222211x x y y −−−−− ()()21212112220m m x x k x x k k −−⎛⎫⎛⎫=−−−+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++−=+−−②令1m x k −=得：()()()222212211111242212m m m m k km m k x x k k k k −−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++−=+−− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③②+③()22k ⨯−可得：整理得24210k km m ++−=，下面同方法一（以上方法可酌情给分）19.（1）剔除第10天数据的()911 2.2100.4 2.499i i y y=⨯−===∑新，()12959t +++==新101118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=−⨯= ⎪⎝⎭∑新；1022138510285i i t =⎛⎫=−= ⎪⎝⎭∑新所以12221114.7395 2.4673285956000ni ii nii b x y nx yxnx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑故67322072.4560001200a =−⨯=，所以673220760001200y x =+. ……………4分（以上每个新数据求解正确，可给1分）（2）由题意可知()1223355n n n P P P n −−=+≥，其中125P =，22231955525P =⨯+= ……6分将此式变形可得112123232525555n n n n n n P P P P P P λλλλ−−−−−⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫−=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭令3525λλ−=−，解得1λ=或35λ=− ………………8分方法一：当35λ=−时，则()11233355n n n n P P P P n −−−+=+≥，所以135n n P P −⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列首项为2131932152555P P +=+⨯=，故()13125n n P P n −+=≥，将()13125n n P P n −+=≥变形可得()15352858n n P P n −⎛⎫−=−−≥ ⎪⎝⎭所以58n P ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为1525985840P −=−=−，公比为35−的等比数列故15938405n n P −⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即19354058n n P −⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭………………12分方法二：当1λ=时，则()()112335n n n n P P P P n −−−−=−−≥，所以{}1n n P P −−是以首项为21192925525P P −=−=，公比为35−的等比数列，故()21932n n n P P n −−⎛⎫−=−≥ ⎪成立，25593255⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭累加可得 0121933325555n n P P −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦213319139553254054015n n −−⎛⎫⎛⎫+−⨯− ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==−−+ ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭故1113940540n n P P −⎛⎫=−−++ ⎪⎝⎭，即1935533=4058885n nn P −⎛⎫⎛⎫=−−++− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………12分（3）解答：①当n 为偶数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =；综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25. ………………………………14分②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，…………………………17分。

辽宁省沈阳市2013年高三教学质量监测(二)数学(理)试题

2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学(理科)命题：沈阳市第31中学李曙光东北育才学校牟欣沈阳市第20中学何运亮东北育才学校刘新风沈阳铁路实验中学倪生利沈阳市第11中学朱洪文主审：沈阳市教育研究院周善富注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数311i iz +-=（i 为虚数单位）对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知非空集合,A B ，全集B A U =，集合B A M =，集合(=NB ）（ A ），则（） A ．M N M = B ．∅=N M C ．M N = D ．M N ⊆ 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若154=a ，555=S ，则过点 P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直线的斜率为（） A ．4 B ．41 C ．－4 D ．－144．执行如图所示的程序框图，若输入2a =，则输出的结果为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．椭圆C :2214x y +=与动直线l ：()22210mx y m m --+=∈R ，则直线l 与椭圆C 交点的个数为（）A ．0B ． 1C ．2D ．不确定 6．“1a =”是“6(1)ax +的展开式的各项系数之和为64”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）8．在等比数列{}n a 中，对于n ∀∈*N 都有n n n a a 321=⋅+，则=⋅⋅621a a a （）． A ．113)3(± B ．133)3( C ．53± D ．639．已知关于x 的方程11lg =21lg xa a+⎛⎫ ⎪-⎝⎭有正根,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．11010（，） C ．1(,1)10D ．10+∞（，） 10．已知点O 为ABC ∆外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=,则ABC ∆的内角A 等于（） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 11．函数()sin()f x A x ωωπ=+（0A >,0>ω）的图像在]43,23[ππ--上单调递增，则ω的最大值是（）． A ．21 B ． 43C ． 1D ．2 12．定义在)2,0(π上的函数)(x f ，()'f x 是它的导函数，且恒有x x f x f tan )()(⋅'<成立，则（）． A ()()43ππ>B ．(1)2()sin16f f π<C ()()64f ππ>D ()()63f ππ<第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.13．2cos 2cos sin xdx x xπ=+⎰.14．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有种放法．(用数字作答)主视图左视图A B C D15．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为()1,2．则该椭圆的离心率e 的取值范围是． 16．三棱锥BCD A -的外接球为球O ，ABC ∆与ACD ∆都是以AC 为斜边的直角三角形，BCD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形, 且BD =DA 与AB 的夹角为32π，则球O 的表面积为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.17. (本小题满分12分)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且1cos cos a Ab C+=. （1）求角A ；（2）若1=a ，求ABC ∆的面积S 的最大值．18. (本小题满分12分)如图甲，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿其对称轴1OO 折成直二面角，如图乙. （1）证明：AC ⊥1BO ；（2）求二面角O －AC －1O 的大小.19. (本小题满分12分)在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表:（1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表:据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握?（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈. 已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中.①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率； ②记抽取到数学科代表的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X . 下面临界值表仅供参考：（参考公式：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=）20. (本小题满分12分)已知抛物线2:,C y x =过点()001,08A x x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭作直线交抛物线于点Q P ,（点P 在第一象限）.（1）当点是抛物线的焦点，且弦长2PQ =时，求直线的方程；（2）设点关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点，且.B P B Q ⊥ 求证：点的坐标是()0,0,x -并求点到直线的距离d 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数232()ln()2x f x a x a a =+--，a ∈R 且0a ≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，若2212a a x x a a +<<<-，证明:22121()()2f x f x a a x x -<--.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图, ABC ∆内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径, PA 是过点A 的直线, 且ABC PAC ∠=∠.(1)求证: PA 是⊙O 的切线;(2)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC ,5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求直径AB 的长.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C 的方程是0422=-+x y x ，圆心为C ．在以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C：ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点．（1）求直线AB 的极坐标方程；（2）若过点C (2,0)的曲线C 2:212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)交直线AB 于点D ,交y 轴于点E ，求|CD |:|CE |的值.24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-．（1）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤；（2）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a .2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．5．C 动直线l 即为：()12y m x -=- ，动直线过定点1,2⎛⎫⎪⎝⎭，该点在椭圆内部，所以总有两个交点，选C.8．提示：由题知，123456a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=3334a a ⋅236(3)3==，选Ｄ. 9．提示：由题只须1lg (0,1)1lg a a +∈-，解得lg (1,0)a ∈-，从而实数a ∈1(,1)，故选C.11．提示：（方法一）令x t π+=sin y t ω=的图像在[,]24ππ-只须22ππω-≤-，从而1ω≤．选Ｃ. （方法二）因为0＞A ,0＞ω,所以函数()sin()f x A x ωωπ=+的增区间满足：ππωπωππk x k 2222+≤+≤+-，化简得πωπππωππ-+≤≤-+-k x k 2222∈k Z.又因为函数()sin()f x A x ωωπ=+在]43,23[ππ--上单调递增，所以]43,23[ππ--⊆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-πωπππωππk k 22,22，解得⎩⎨⎧+≤+≤kk4182ωω，所以1≤ω，即ω的最大值为1.12．提示：由x x f x f tan )()(⋅'<得cos ()sin ()0x f x x f x '⋅-⋅<可见2cos ()sin ()0sin x f x x f x x '⋅-⋅<，即函数()sin f x x 在)2,0(π上单调递增,所以选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．0 14．112 15．12e 35<< 16．3π13．提示：因cos 2cos sin cos sin xx x x x=-+，所以20cos 2cos sin x dx x x π=+⎰2(cos sin )x x dx π-⎰20(sin cos )|110x x π=+=-=.14．提示：（方法一）令甲、乙两个笔筒，放入甲筒里的情况共有四种，每种情况里的方法数分别为27C ，37C ，47C ，57C ，从而共有23457777C C C C +++3538882112C C C =+==．（方法二）将7支不同的笔放入两个不同的笔筒中，先将7支不同的笔分成两份，有两种情况，一是一份5支，另一份2支，有5272C C 方法，二是一份4支，另一份3支，有4373C C 方法，共有5243727356C C C C +=种方法，接着将两份笔分别放入两个不同的笔筒中有222A =种方法，由分步计数原理得562112⨯=种方法.15．提示：设椭圆的长半轴长，半焦距分别为1,a c ，双曲线的实半轴长，半焦距分别为2,a c ， 1122125112,25a c a a c a c e e =+⎧⇒-=-=⎨=-⎩（12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率），又()21,2e ∈，则该椭圆的离心率的取值范围是12e 35<<.16．提示：因为ABC ∆与ACD ∆都是以AC 为斜边的直角三角形，所以AC 的中点即是球O 的球心. 又因为BCD ∆是以BD为斜边的等腰直角三角形，且BD =ABC∆与ACD ∆全等，所以AD AB =，又＞，＜AB DA =32π，所以ABD ∆为等边三角形，且AC =O，所以球O 的表面积为3π.三、解答题：本大题共70分. 17．解：（1）解法①:由正弦定理可知sin sin a Ab B= , 所以sin 1cos sin cos A AB C+=， ……………………………………………………………2分即sin cos sin sin cos A C B B A =+，又因为在ABC ∆中，sin sin(())sin()B A C A C π=-+=+， ……………………4分又sin()sin cos cos sin A C A C A C +=+，所以sin cos sin cos cos sin sin cos A C A C A C B A =++，即cos (sin sin )0A C B +=， …………………………………………………………6分又因为在ABC ∆中,sin 0,sin 0C B >>，所以cos 0A =，即2A π=. ………………………………………………………8分（方法二）:由余弦定理可知222cos 2b c a A bc+-=,222cos 2b a c C ab +-=，代入原式中，得22222222b a c b c a b b c+-+-=+， ………………………………2分即2222222()2()c b a c b c b c a b +-=++-，即222222()()c a c b b b c a --=+-，于是222()()0b c a b c +-+=，因为0b c +≠，所以2220b c a +-=， ……………………………………………6分所以2A π=. …………………………………………………………………………8分（2）由（1）知221b c +=，又因为222b c bc +≥，所以12bc ≤（当c b =时取“=”）， ……………………………………………………………………………… 10分又因为ABC ∆的面积2bc S =14≤，从而ABC ∆的面积S 的最大值为14. ………12分 18．解: （1）证明：（方法一）由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB . 所以有AO ⊥平面OO 1B ，所以B O 1⊥AO . 如右图在直角梯形OO 1CB 中，连BO 1交OC 于E ，由已知， O 1C =1，OO 1OB =3，………………………………………………4分O 1所以在Rt △OO 1C中，1tan O OC ∠=，所以∠O 1OC =30o . 在Rt △O 1OB中，1tan OO B ∠=，所以∠OO 1B =60o . 所以∠O 1EO =90o ，于是BO 1⊥OC .（或由三角形相似及相似比得22211O E OE OO += 得BO 1⊥OC 可参照给分）又OCAO =O ，所以BO 1⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥BO 1. ………………………………………………………………………6分（2）（方法一）解:连OD 交AO 1于E ，由(1)可知OE ⊥AO 1又CO 1⊥平面AOO 1D ，而OE 在平面AOO 1D 内，所以CO 1⊥OE ，从而OE ⊥平面AO 1C . 过E 作EF ⊥AC 于F ，连OF . 即在Rt △OEF 中， ∠OEF =90o ，∠EFO 即是二面角O —AC —O 1的平面角. ………8分由(1)可知OE =32，AE=2，而△AEF ∽△A O 1C ，则1EF AE CO AC=，而AC，所以EF=26， ……10分从而tan ∠EFO =OE EF=323=， …………………………………11分即二面角O —AC —O 1的大小是arctan…………………………………12分（1）（方法二）由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1.所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB . 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立（如图）空间直角坐标系，…………………2分则A （3，0，0），B （0，3，0），C （0，1，3），O 1（0，0，3）.从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO BO所以AC ⊥BO 1. ………………………………………………………………6分（2）（方法二）因为,03331=⋅+-=⋅BO 所以BO 1⊥OC ，由（1）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量. 设),,(z y x n =是平面O 1AC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001O ，有⎩⎨⎧==++-.0,033y z y x 取3=z ，得)3,0,1(=n . ………8分设二面角O —AC —O 1的大小为θ，如图可知θ为锐角，所以＞,＜cos cos 1BO =θ=113n BO n BO ⋅=⋅. …………………………10分即二面角O —AC —O 1的大小是.43arccos………………………………12分 19．解：（1）由题=2χ22201824)681216(422⨯⨯⨯⨯-⨯⨯252 4.582 3.84155=≈>. 所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关. ……4 分（2）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学. ………………6分 ① 令事件A 为“这名学委被抽取到”；事件B 为“两名数学科代表被抽到”，则33318()C P A B C ⋂=,217318()C P A C =.所以()(|)()P A B P B A P A ⋂=21733C C =211716136==⨯. ……………………………8分 (另解: 令事件A 为“在这名学委被抽取到的条件下，两名数学科代表也被抽到”；则21722)(C C A P =211716136==⨯. ………………………………………………8分② 由题X 的可能值有0,1,2.依题31631835(0)51C P X C ===；211623185(1)17C C P X C ===； 121623181(2)51C C P X C ⋅===. …………………………………………………10分从而X 的分布列为:……………………………………11分于是()E X 3551012511751=⨯+⨯+⨯171513==. …………………………………12分 (另解：因为X 服从超几何分布，所以()E X 213183=⨯=. …………………12分） 20. 解：（1）由抛物线2:,C y x =得抛物线的焦点坐标为1,0,4⎛⎫⎪⎝⎭设直线的方程为 ()()11221,,,,.4xn y P x yQ x y =+由2210.144y xy n y x n y ⎧=⎪--=⎨=+⎪⎩,得 ………..2分所以21210,.n yy n ∆=+>+=因为112211,,44x n y x n y =+=+ 所以121144P Q x x =+++()1212112.2x x n y y =++=++= 所以21,n =即1n =±. ………….4分所以直线的方程为1100,44x y x y --=+-=或44104410x y x y --=+-=即或. …………5分 (2) 设()()()01122:0,,,,,l x m y x m P x y Q x x =+≠则()22,.Mx y - 由⎩⎨⎧=+=xy x my x 20,消去x ，得002=--x my y ，因为2001,=40,8x m x ≥∆+>所以 12120,.yy m y y x +==- ……….7分（方法一）设(),0,B B x 则()22,,B B M x xy =--()11,.B B P xx y =-由题意知，BM //,B P211122B B x y y x x y x y ∴-=-+, 即()121221B yy x x yx y +=+()2212211212.y y y yy y y y =+=+ 显然,021≠=+m y y ,021x y y x B -==∴()0,0.B x ∴- ………..9分由题意知，M B Q ∆为等腰直角三角形，1,P B k ∴=即12121,y y x x +=-也即1222121,y y y y +=- ,121=-∴y y ,14)(21221=-+∴y y y y即220041,140,m x m x +=∴=-> 0001111.,4884x x x ∴<≥∴≤<.………….10分d1,.⎫⎪⎪⎣⎭ 12d ⎫∴⎪⎪⎣⎭的取值范围，. …………12分（方法二）因为直线()121211:x x x x y y y y l --+=-，所以令0=y ，则()()02121121222111212111x y y y x y y y y y x y y x x y x x -=+-=+--=+--=，)0,(0x B -∴. …………………..9分由题意知，MBQ ∆为等腰直角三角形，1=∴PB k ，即,12121=-+x x y y121=-∴y y ，()1421221=-+∴y y y y ，即1402=+x m ，0241x m -=∴.810≥x ，2102≤<∴m . ……………….10分21122 d⎫=====⎪⎢⎪⎣⎭d∴的取值范围是1122⎫⎪⎪⎣⎭. …………….12分21. 解：（1）由题，32()af x xx a a'=+--2232()x a a x ax a a-++=--22()()x a x ax a a--=--. …………………………………………………………2分令()0f x'>，因为20x a a-->故2()()0x a x a-->.当0a>时，因2a a a+>且22a a a+>所以上不等式的解为2(,)a a++∞, 从而此时函数()f x在2(,)a a++∞上单调递增. ……………………………4分当0a<时，因22a a a a<+<所以上不等式的解为2(,)a+∞，从而此时函数()f x在2(,)a+∞上单调递增.同理此时()f x在22(,]a a a+上单调递减. ………………………………………6分（2）（方法一）要证原不等式成立，只须证明22121()()()()2af x f x x x a-<--，只须证明222211()()()()22a af x a x f x a x--<--.因为2212a a x x a a+<<<-所以原不等式只须证明，函数2()()()2ah x f x a x=--在22(,)x a a a a∈+-内单调递减. …………………8分由（1）知232()()2a ah x x ax a a'=--+--4322223222a ax a x ax a a-++-=--，因为20x a a-->，我们考察函数432223()222a ag x x a x a=-++-,22,x a a a a⎡⎤∈+-⎣⎦.因2222a a a aa++-=>234ax=对称轴22,a a a a⎡⎤∈+-⎣⎦，所以2()()0g x g a a≤-=. ……………………………10分从而知()0h x'<在22(,)x a a a a∈+-上恒成立，所以函数2()()()2ah x f x a x=--在22(,)x a a a a∈+-内单调递减.从而原命题成立……………………………………………12分（方法二）要证原不等式成立，只须证明22121()()()()2a f x f x x x a -<--，只须证明222211()()()()22a a f x a x f x a x --<--.又2212a a x x a a +<<<-，设()()x a a x f x g ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22，则欲证原不等式只须证明函数()()x a a x f x g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22在22,x a a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦内单调递减 . ………………………8分由（1）可知()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'='a a x f x g 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+=a a a a x a x 2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++--+--=a a a a a a x a a a x 222232. 因为0<a ，所以232aa x a a a x y --+--=在22,a a a a ⎡⎤+-⎣⎦上为增函数，所以()()3222222202a a g x g a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫''≤-=---+++--= ⎪---⎝⎭. 从而知()0<'x g 在22(,)x a a a a ∈+-上恒成立，所以函数()()x a a x f x g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22在22(,)x a a a a ∈+-内单调递减. 从而原命题成立. …………………………………12分 22.（1）证明：AB 为直径，,2π=∠∴ACB 2CAB ABC π∴∠+∠=，,2PAC ABC PAC CAB π∠=∠∴∠+∠=,AB AB PA ,⊥∴为直径，PA ∴为圆的切线. …………………………………4分（2）6,5,2,3CE k ED k AE m EB m ====,,AE EB CE ED m ⋅=⋅∴,连DB ，由AEC ∆∽DEB∆3,,86BD mBD k ∴=∴=. ……………………6分连AD ，由CEB ∆∽AED ∆,BC CEAD AE∴=. 在ABC Rt ∆，ADB Rt ∆中，642522-=m BC ，80m 2522-=AD ，于是有80m 2564m 2522--=59)3(2=mk ，2=∴m ，10=+=∴EB AE AB . ………………………………… 10分23．解：（1）在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，极坐标与直角坐标有关系：222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，………………………1分所以圆C 1的直角坐标方程为220x y ++=，…………………………………2分联立曲线C ：0422=-+x y x ，得1100x y =⎧⎨=⎩或223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,即不妨令(0,0),(3,A B ，从而直线AB的直角坐标方程为：3y x =-， (此处如下解法也可：联立曲线C 1与C ，消去2x 与2y0x +=)所以，sin cos ρθθ=，即tan θ=， ……………………………4分所以直线AB 的极坐标方程为6πθ-=，∈ρ(R ）. ……………………………5分（2）（方法一）由(1)可知直线AB的直角坐标方程为：y x =， …………………6分依题令交点D 11(,)x y则有11112212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又D 在直线AB上，所以，111)2t =，解得1t = 由直线参数方程的定义知|CD |=|1t|=…………………………………………8分同理令交点E 22(,)x y，则有2222212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又E 在直线0x =上，所以220+=，解得2t =所以|CE |=|2t|3=， ………………………………………………………………9分所以|CD |:|CE |=12. ………………………………………………………………10分（方法二）将曲线C 2:2212x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)化为普通方程:2)y x =-， ………6分将其联立AB 的直线方程:y x =，解得:1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，从而D (1,，再将曲线C 2与直线0x =联立，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，从而E (0,，这样|CD， …………………………………………8分 |CE=3， …………………………………………9分从而|CD |:|CE |=12. ……………………………………………………10分 24．解: （1）由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=.因此只须解不等式122x x -+-≤. …………………………………………2分当1x ≤时，原不式等价于232x -+≤，即112x ≤≤. 当12x <≤时，原不式等价于12≤，即12x <≤.当2x >时，原不式等价于232x -≤，即522x <≤.综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. …………………………………………5分（2）由题()()f ax af x -11ax a x =---.当a ＞0时，()()f ax af x -1ax ax a =---1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =. …………………………10分。

辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期开学考试数学试题

5
9
是否由 0
6,7,7,3 生成；（结论无需证明）
3 8 4 8
(2)是否存在数表 A 由0 6,7,7,4 生成？说明理由；
试卷第 4 页，共 5 页
(3)若存在数表 A 由0 7,12,3, d0 生成，写出 d0 所有可能的值.
试卷第 5 页，共 5 页
r 最大时圆的方程是（）
A． x 12 y 12 1
B． x 12 y 12 2
C． x2 y 12 1
D． x2 y 12 2
7．已知函数
f
x
2sin x cos2
r 2
π 4
sin
2
x
0
在区间
2π 3
,
5π 6
上是增函数，
且在区间0, π 上恰好取得一次最大值 1，则 w 的取值范围是
数，且 g 0 1 ，则下列说法正确的有（）
3
A． g x 关于 x= 1对称
B． f x 关于 1,0 对称
C． g x 是周期函数
i 1
D． ig(2i) 4
12
11．欧拉在 1748 年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：
ei cos isin（把 z r cos isin 称为复数的三角形式，其中从 ox 轴的正半轴到
e
试卷第 3 页，共 5 页

18．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…， Xt2 ， Xt1 ， X t ， Xt1 ，…，那么 Xt1 时刻的状态的
条件概率仅依赖前一状态 X t ，即 P Xt1 , Xt2, Xt1, Xt P Xt1 Xt ．

2013年辽宁省沈阳市中考数学模拟试卷(二)

2013年辽宁省沈阳市中考数学模拟试卷（二）2013年辽宁省沈阳市中考数学模拟试卷（二）一.选择题（每题3分，共24分） C ．． C D ．5．（3分）（2008•重庆）如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A=90°，AB=28cm ，DC=24cm ，AD=4cm ，点M 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点C 运动，点N 从点B 同时出发，以2cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ADMN 的面积y （cm 2）与两动点运动的时间t （s ）的函数图象大致是（）． C D ．6．（3分）下列事件：（1）阴天会下雨（2）随机投硬币，正面朝上（3）13名同学中两人的出生月份相同（4）2012年奥运会在巴西的里约热内卢举行7．（3分）（2012•北京）如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠BOD=76°，则∠BOM 等于（）8．（3分）（2011•西宁）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（）二.填空题（共8题，每题4分，共32分）9．（4分）（2012•本溪）已知1纳米=10﹣9米，某种微粒的直径为158纳米，用科学记数法表示该微粒的直径为_________米．10．（4分）（2012•本溪）分解因式：9ax2﹣6ax+a=_________．11．（4分）（2011•太原）如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是_________．12．（4分）（2011•太原）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=AC，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_________（结果保留π）．13．（4分）（2011•呼伦贝尔）用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需_________根火柴棒．14．（4分）如图，一次函数y=﹣2x的图象与二次函数y=﹣x2+3x图象的对称轴交于点B．已知点P是二次函数y=﹣x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为_________．15．（4分）（2012•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为_________．16．（4分）（2011•江津区）将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_________．三.解答题（共9小题，共94分）17．（8分）（2010•桂林）计算：4cos30°+18．（8分）（2012•本溪）如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）．观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米．问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参考数据：≈1.414，≈1.732）19．（12分）（2012•重庆）高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：（1）该校近四年保送生人数的极差是_________．请将折线统计图补充完整；（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．求证：AM=DF+ME．21．（10分）（2012•本溪）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8．以AD为直径的⊙O与边BC 切于点E，且AB=BE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）过D点作DF∥BC交⊙O于点F，求线段DF的长．22．（10分）（2011•日照）如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．23．（12分）（2006•潍坊）为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．y（米）是关于汽车行驶速度x（千米/时）的函数，给出以下三个函数：①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax2+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米/时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．24．（12分）（2012•上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD 交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．25．（14分）（2011•上饶县模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G．（1）点C、D的坐标分别是C_________，D_________；（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2013年辽宁省沈阳市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共24分）C．．C D．5．（3分）（2008•重庆）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M 从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（）．C D．（y=（6．（3分）下列事件：（1）阴天会下雨（2）随机投硬币，正面朝上（3）13名同学中两人的出生月份相同（4）2012年奥运会在巴西的里约热内卢举行7．（3分）（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）∠×8．（3分）（2011•西宁）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（）∴二.填空题（共8题，每题4分，共32分）9．（4分）（2012•本溪）已知1纳米=10﹣9米，某种微粒的直径为158纳米，用科学记数法表示该微粒的直径为 1.58×10﹣7米．10．（4分）（2012•本溪）分解因式：9ax2﹣6ax+a=a（3x﹣1）2．11．（4分）（2011•太原）如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是．CF AE=BD==13AE=故答案为：12．（4分）（2011•太原）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=AC，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（结果保留π）．，再根据旋转的性质得到，AC=BC=故答案为13．（4分）（2011•呼伦贝尔）用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需（6n+6）根火柴棒．14．（4分）如图，一次函数y=﹣2x的图象与二次函数y=﹣x+3x图象的对称轴交于点B．已知点P是二次函数y=﹣x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为（，），（2，2），（，），（，）．=PD=a（）（，（，，，），）15．（4分）（2012•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为9：1．16．（4分）（2011•江津区）将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是y=（x ﹣5）2+2或y=x2﹣10x+27．三.解答题（共9小题，共94分）17．（8分）（2010•桂林）计算：4cos30°+18．（8分）（2012•本溪）如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）．观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米．问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参考数据：≈1.414，≈1.732）BC=200米，AD=200﹣400+200+﹣19．（12分）（2012•重庆）高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：（1）该校近四年保送生人数的极差是5．请将折线统计图补充完整；（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．位女同学的概率是．20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．求证：AM=DF+ME．CE=CDBF=CF=BCCE=21．（10分）（2012•本溪）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8．以AD为直径的⊙O与边BC 切于点E，且AB=BE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）过D点作DF∥BC交⊙O于点F，求线段DF的长．；然后根据平行线截线段成比例证得，即，由此可以求得∵∴，即，DG=，DF=22．（10分）（2011•日照）如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．y=，2=．∴，得：×解方程组∴（不合题意，舍去）23．（12分）（2006•潍坊）为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．y（米）是关于汽车行驶速度x（千米/时）的函数，给出以下三个函数：①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax2+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米/时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．y=（24．（12分）（2012•上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD 交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．）利用=得到∴=∴=25．（14分）（2011•上饶县模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G．（1）点C、D的坐标分别是C（4，2），D（1，2）；（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．，然后代入直线，即可得到2）先求出顶点坐标为（）先设抛物线解析式为，代入解析式得：2），代入解析式得：=2m，=2））2，则顶点坐标为（，设抛物线解析式为，把点代入得，解析式为，则可设解析式为，，代入解析式得，mm=2，解得）；参与本试卷答题和审题的老师有：leikun；lanyan；mengcl；星期八；sjzx；ZJX；gsls；hbxglhl；蓝月梦；ZHAOJJ；lf2-9；自由人；dbz1018；lantin；疯跑的蜗牛；王岑；zcx；gbl210；HJJ；MMCH；sd2011；yangwy（排名不分先后）菁优网2014年3月16日。

flybird工作室：辽宁省沈阳市2014届高三教学质量监测(二)数学(理)试题 Word版

2014年沈阳市高中三年级教学质量检测（二）数学（理科） 2014.4命题：东北育才双语学校王海涛沈阳市第20中学李蕾蕾沈阳市第11中学孟媛媛东北育才学校候雪晨沈阳市第120中学董贵臣沈阳市第4中学韩娜主审：沈阳市教育科学研究院王孝宇本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷第3至5页。

满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3,2,1=A ，集合{}5,4,3,2=B ，则 A.B A ⊆ B.A B ⊂ C.{}3,2=⋂B A D.{}5,4,1=⋃B A 2. 设复数21iz +=（i 是虚数单位），则=z A.22 B.21C.1D.2 3. 下列命题中，真命题的是A.0,2＞x R x ∈∀ B.1sin 1,＜＜x R x -∈∀ C.02,00＜xR x ∈∃ D.2tan ,00=∈∃x R x4. 已知平行四边形ABCD 中，)4,3(),8,2(-==,对角线AC 与BD 相交于点M ，则的坐标为 A.)6,21(-B.)6,21(-C.)6,21(-D.)6,21( 5. 若c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的交点个数为A.0B.1C.2D.不确定6. 一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N 粒，其中)(N m m ＜粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为A.N m B.N m 2 C.N m 3 D.Nm 4 7. 已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为x y 43±=则该双曲线的离心率为 A.45 B.35 C.45或35 D.53或54 8. 若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]31.2,21.2=-=.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为A.2B.3C.4D.5 9. 已知曲线)0)(cos(3)sin()(＞w wx wx x f +=的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且曲线关于点)0,(0x 成中心对称，若 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx ，则=0x A.12πB.6π C.3π D.125π10.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是A.[]2,1-B.[]1,2-C.[]3,2D.[]3,1-11.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面ABCD ，△BCD 是边长为3 的等边三角形.若2=AB ，则球O 的表面积为 A.322πB.π12C.π16D.π32 12.已知函数)(x f 满足：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有)(2)2(x f x f =+；③当[]1,1-∈x 时，21)(x x f -=.若函数⎩⎨⎧≤=)0(ln )0()(＞x x x e x g x ，则函数)()(x g x f y -=在区间[]5,5-上零点的个数是A.7B.8C.9D.10第II 卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13. 如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________. 14. 6)12(xx -的二项展开式中的常数项为_______. 15. 已知函数))(()(b x a x x x f --=的导函数为)(x f '，且 4)0(='f ，则222b a +的最小值为_____.16. 已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足 -=+，则=++CABC AB k k k 111_______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对应边分别是c b a ,,满222a bc cb +=+. （I ）求角A 的大小；（II ）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1cos 1=A a ，且842,,a a a 成等比数列,求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类公程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3民工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设. （I ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（II ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于C B 、的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，AC BE ⊥于点E ，AD BF ⊥于点F . （I ）求证：⊥BF 平面ACD ；（II ）若o 45,2=∠==CBD BC AB ,求平面BEF 与平面BCD 所成锐角二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程式)0(12222＞＞b a b y a x =+，离心率为33，且经过点)1,26(. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）圆O 的方程是2222b a y x +=+，过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线，若切线的斜率都存在，分别记为21,k k ，求21k k ⨯的值.21.（本小题满分12分）已知函数x mx x f sin )(-=，)0(sin 2cos )(＞a x x ax x g -=. （I ）若曲线)(x f y =上任意相异两点的直线的斜率都大于零，求实数m 的值；（II ）若1=m ，且对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，都有不等式)()(x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。

辽宁省沈阳市2023-2024学年高三上学期教学质量监测(一)数学试题(解析版)

2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学命题：___________ 主审：___________本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4,6,8U =，集合{}{}2320,4,M x x x N x x a a M =-+===∈∣∣，则()U M N ⋃=ð（）A. {}6 B. {}4,6,8 C. {}1,2,4,8 D. {}1,2,4,6,8【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交并补即可求解.【详解】由题知{}{}(){}1,2,4,8,6U M N M N ==∴⋃=ð，故选：A.2. 设复数z 满足1i 1zz+=--，则z =（）A. iB.C. 1D.【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法解出z ，由模长公式计算z .【详解】由1i 1zz+=--解得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z +--+===--+-+--，所以1z =.故选：C.3. 曲线2y x =在点()1,1处的切线方程为（）A. y x = B. 21y x =-C. 21y x =+ D. 32y x =-【答案】B 【解析】【分析】先求在1x =处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.【详解】由题知，12,2,x y x y ='='=∴切线方程为()121y x -=-，即21y x =-，故选：B.4. 已知单位向量,a b满足()2a a b ⊥- ，则,a b = （）A.2π3B.π3C.π4D.π6【答案】B 【解析】【分析】由向量垂直得到方程，求出12a b ⋅= ，再利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】由()2a a b ⊥- 得()22||20a a b a a b ⋅-=-⋅=，又,a b为单位向量，12a b ∴⋅= ，1cos ,2a b a b a b ⋅∴==，π,3a b ∴= .故选：B.5. 已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（）A. 8B. 9C. 10D. 100【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，由题意得211r =且2211n n r r +-=，可求100r .【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，则由题知，211r =每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，有()22111,2,,99n n r r n +-== ，则{}2n r 是首项为1公差为1的等差数列，1,2,,100n = ，所以2100100r =，得10010r =.故选：C.6. 如图，小明从街道的E 处出发，到F 处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（）A 8B. 12C. 16D. 24【答案】D 【解析】【分析】根据分步分类计数原理即可求解.【详解】中途共三次转向可以分为两类:第一类，先向北走再往东走的情况，即第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有3412⨯=种方法，第二类，先向东走再往北走的情况上右上，此时共有4312⨯=种方法.故总的方法有24种，故选：D.7. 已知ππsin cos 123θθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 23θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13B. 13-C.D..【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得3cos 12θθ=，由辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由ππsin cos 123θθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1cos cos 12θθθ+=，进而可得3cos 12θθ=，π16θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πππ1cos cos 22cos 16363θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=∴-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.8. 已知πππ3642e ,e ,m n p -===，则（）A. n m p >>B. m p n >>C. p n m >>D. m n p>>【答案】D 【解析】【分析】观察选项，构造函数()e cos xf x x =，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.【详解】令()e cos xf x x =，则()()πecos sin cos 4xx f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭'，当ππ,24x -∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；所以()f x 在ππ,24⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；在π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以ππ43f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且ππ46f f ⎛⎫⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ341e e2>ππ64->ππ342e e >ππ642e ->，所以,m n m p >>，又ππ036e e,e n p -=>=<=<，所以n p >，综上所述，m n p >>，故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下图是离散型随机变量X 的概率分布直观图，其中35,23a b b c ==，则（）A. 0.5a =B. () 2.3E X =C. ()0.61D X =D. ()2 1.22D X =【答案】ABC 【解析】【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出,,a b c ，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可.【详解】由题知1,35,23,a b c a b b c ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得0.5,0.3,0.2a b c ===，A 选项正确；所以()10.220.330.5 2.3E X =⨯+⨯+⨯=，B 选项正确；()222(1 2.3)0.2(2 2.3)0.3(3 2.3)0.50.61D X =-⨯+-⨯+-⨯=，C 选项正确；()()222 2.44D X D x =⋅=，D 选项错误.故选：ABC.10. 已知双曲线C的两个焦点分别为()()12,F F -，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为224x y -=，则条件p 可以是（）A. 实轴长为4 B. 双曲线C 为等轴双曲线C.D. 渐近线方程为y x=±【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.【详解】设该双曲线标准方程为22221x y a b-=，则c =对于A 选项，若实轴长为4，则2a =，2224b c a ∴=-=，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a b =，又c =2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意；对于C 选项，由双曲线离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y x =±，则a b =，结合2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意，故选：ABD.11. 如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A. 4ω=B. 9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭的C. 函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π24【答案】ACD 【解析】【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin f x x ωϕ=+=π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33ω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5ππ4,2π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+⎪⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确. 故选：ACD.12. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（）A.B.C. 2D.【答案】BD 【解析】【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.【详解】设该正方体为1111ABCD A B C D -，且其棱长为a ，若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.①若中间的两个平面为平面1A BD 和平面11B D C ，如图1所示，则过1,,A A C 作截面，截面图如图2所示，其中,E F 分别为11,AC A C 中点，则11,,===AE AA a A E ，设相邻两平面间距离即为A 到1A E 的距离h ，可得1122⨯=⨯a h ，解得h =，即相邻两平面间距离即为A 到1A E ，1=，解得a =②若中间的两个平面如图3所示，过1,,B C C 作截面，截面图如图4所示，其中,M N 分别为11,BC B C中点，则111,,2===BM a AA a A E ，设相邻两平面间距离即为B 到1B M 距离d ，可得111222⨯⨯=⨯a a d，解得d =，即相邻两平面间距离即为B 到1B M，1=，解得a =；故选：BD.【点睛】方法点睛：根据题意分类讨论平面的位置分布，结合正方体的结构特征以及截面分析求解.第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 6⎛+ ⎝的展开式中常数项的二项式系数为__________.【答案】20【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x 的次数为0，求得答案.【详解】此二项式展开式的通项公式为663166C 2C rrrr r rr T x ---+==，()0,1,2,3,4,5,6r =，则当3r =时，对应的为常数项，故常数项的二项式系数为36C 20=，故答案为：20.的14. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，若点Q 是抛物线C 上到点()4,0距离最近的点，则QF =__________.【答案】3【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解, 0 2.x =由抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】由题知()1,0F ，设()()00,,4,0Q x y A ，其中00x ≥，则QA ===由于点Q 是抛物线C 上到点()4,0距离最近的点，002.13x QF x ∴=∴=+=，故答案为：3.15. sin 1x =的一个充分不必要条件是__________.【答案】π2x =（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.【详解】因为π2x =时sin 1x =，由sin 1x =可得π2π,Z 2x k k =+∈,故sin 1x =的一个充分不必要条件是π2x =，故答案为：π2x =（答案不唯一）16. 已知,,A B C 是半径为1的球面上不同的三点，则AB AC ⋅u u u r u u u r的最小值为__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】根据数量积的几何意义结合二次函数的性质即可求解.【详解】,,A B C 是球面上不同的三点，,,A B C ∴不共线，故平面ABC 截球面得到的是一个圆，记此圆半径为(01)r r <≤，当且仅当平面ABC 过球心时，1r =.在半径为r 的圆中，对于任意的弦AB ，过C 作CN AB ⊥于N ,由向量数量积的几何意义知，当C 在如图所示的位置时，AB AC ⋅u u u r u u u r取最小值，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为211||22AB AN AB r AB AB r AB ⎛⎫-⋅=-⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭，当AB r = 时，||||AB AN -⋅ 取最小值212r -，又r 的最大值为1，故所求最小值为12-.故答案为：12-四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21232521,2a a a a a +==⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log n n a b =，求证：2121n nb n <+.【答案】（1）12n na = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量计算；（2）根据对数运算求得12n b n =-，由21021n nb n +-<+得证.【小问1详解】设{}n a 的公比为q ，由23252a a a =⋅知()()()2241112a q a q a q =，12q ∴=，由1221a a +=得111121,2a a q a +⋅⋅=∴=，12n n a ∴=.【小问2详解】证明：由题知1log 2nn a b n==-，所以()212111021221221n n n b n n n n n -+-=--=<+++，2121n nb n ∴+<+.18. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22b ac a =+.（1）求证：2B A =；（2）当373c ab+取最小值时，求cos B 的值.【答案】（1）证明见解析（2）1cos 3B =-【解析】【分析】（1）利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.（2）利用基本不等式求得373c a b +的最小值时的取等条件b =，再结合余弦定理从而求解.【小问1详解】证明：由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，又因为22b a ac =+，所以2222cos a ac a c ac B +=+-⋅，化简得2cos a c a B =-，所以sin sin 2sin cos A C A B =-，因为πA B C ++=，所以()sin sin 2sin cos A A B A B =+-，所以sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin sin cos A A B A B A B A B A B =+-=-，所以()sin sin A B A =-，因为()()0,π,π,πA B A ∈-∈-，所以A B A =-或()πA B A +-=（舍），所以2B A =.【小问2详解】由题知，()222237373743333b a a c a ac a b a b ab ab a b -+++===+⋅≥=当且仅当b =时取等，又因为22b ac a =+，所以13c a =，所以2222221331cos 12323a a a cb B ac a a ⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭+-⎝⎭===-⨯.19. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC⊥平面BCD ，且BC BD BA ==，120CBA CBD ∠∠== ，点P 在线段AC 上，点Q 在线段CD 上.（1）求证：AD BC ⊥；（2）若AC ⊥平面BPQ ，求BPBQ的值；（3）在（2）的条件下，求平面ABD 与平面PBQ 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）BP BQ =（3【解析】【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】证明：过A 作AO ⊥直线BC 于O ，连接DO .由题知,,60BA BD BO BO ABO DBO ∠∠====，,90ABO DBO DOB AOB ∠∠∴≅∴== ，即BC DO ⊥，又,,,BC AO AO DO O AO DO ⊥⋂=⊂平面AOD ,BC ∴⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，BC AD ∴⊥，即AD BC⊥【小问2详解】方法一：平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，,AO BC AO ⊥⊂平面ABC AO ∴⊥平面BCD .以O 为原点，以OB 的长度为单位长度，以,,OD OC OA u u u r u u u r u u r的方向分别为x 轴，y 轴，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则)(()(),,0,1,0,0,3,0D A B C .AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.BA BC P =∴ 为AC中点，由题知)(3,0,0,3,CD AC =-=设()))0,2,03,0,23,0BQ BC CD λλ=+=+-=-，()23230,3AC BQ λλ∴⋅=-=∴=，,BQ BQ ⎫∴=∴=⎪⎪⎭又在ABC 中，2,120BC BA ABC ∠===，所以1,BP BP BQ =∴=.方法二：AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.设2BA BC ==，由120ABC ∠= 知，1BP ∴=.平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面,,BCD BC AO BC AO =⊥⊂平面ABC ，AO ∴⊥平面BCD ，又BQ ⊂平面,BCD AO BQ ∴⊥，又,AC BQ AC AO A ⊥⋂=，BQ ∴⊥平面ABC BQ BC ∴⊥.2,30,2BP BC BCQ BQ BQ ∠==∴==∴= 【小问3详解】由（2）知，平面PBQ 的一个法向量为AC，设平面ABD 的一个法向量为()((),,.0,1,,n x y z AB DB ===，则0,0,n AB y n DB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令y =则()n =，cos ,||||AC n AC n AC n ⋅===∴平面ABD 与平面PBQ.20. 某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司网约车出行？并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析【解析】【分析】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：设事件:M 用户选择甲公司的网约车出行，事件:A 用户对等待时间满意，的事件:B 用户对乘车舒适度满意，事件:C 用户对乘车费用满意.则()()()()()0.320.620.680.780.7288P A P M P A M P M P A M =+=⨯+⨯=，()()()()()0.320.680.680.610.6324P B P M P B M P M P B M =+=⨯+⨯=，()()()()()0.320.210.680.320.2848P C P M P C M P M P C M =+=⨯+⨯=所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.【小问2详解】解：由题知，()()()0.320.685440.63241581P MB P M B P B ⨯===，()()()0.680.6110370.63241581P MB P M B P B ⨯===，所以，()()P M B P M B <，故该用户选择乙公司出行的概率更大.21. 已知如图，点12,B B 为椭圆C 的短轴的两个端点，且2B 的坐标为()0,1，椭圆C .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 不经过椭圆C 的中心，且分别交椭圆C 与直线1y =-于不同的三点,,D E P （点E 在线段DP 上），直线PO 分别交直线22,DB EB 于点,M N .求证：四边形12B MB N 为平行四边形.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解,a b 得椭圆方程；（2）设直线方程，证明MO ON =后知O 平分对角线得四边形12B MB N 为平行四边形.【小问1详解】由题知2221,.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得222,1a b ==.故椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】方法一：显然直线l 不能水平，故设直线l 方程为()0x k y t t '''=+≠，设()()()()1122,,,,,,,N N M M D x y E x y N x y M x y ，由22,12x k y t x y =+⎧'='⎪⎨+⎪⎩得()2222220k y k t y t ''''+++-=，令0∆>得，2220k t ''-+>.所以212122222,22k t t y y y y k k '''--+==''++，令1y =-，得(),1P t k ''--.故直线PO 方程为1y x k t =''-，直线2DB 方程为1111y y x x -=+.由11111y x k t y y x x ⎧=⎪-⎪⎨-=+''⎪⎪⎩得()11M k t x x k t y -==+''''，将M x 中11,x y 换成22,x y 得()22Nk t x x k t y -=+''''.()()()()()()()1212211212M N k t x k t x x k t y x k t y x x k t k t y k t y k t y k t y '''''''''--+++∴+=+=-++++'''''''''，()()()()1221121221x k t y x k t y k x x t x y x y +++=+++'''''' ()()()121221k k y t k y t t k y t y k y t y ⎡⎤=+++++++'''''''''⎣'⎦()()()()()2222221212222210,2k t k t k t k t k t y y k t y yk ''-+++''''''''''=++++==+'O ∴为线段MN 中点，又O 为11B B 中点，∴四边形12B MB N 为平行四边形.方法二：设()()()()1122,,,,,,,M M N N D x y E x y M x y N x y .直线2B D 方程为1111y y x x -=+，当直线l 的斜率不存在时，设l 方程为()000x x x =≠，此时()0,1P x -，直线PO 方程的为01y x x =-，由010111y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩得01M x x y =-，同理0122,0N M N x x y y x x y -==-∴+= ，当直线l 斜率存在时，设l 方程为()0y kx t t =+≠，由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x ktx t +++-=.令0∆>得，22012k t ->+.由韦达定理得2121222422,1212kt t x x x x k k--+==++.将1y =-代入y kx t =+得1,1t P k --⎛⎫-⎪⎝⎭∴直线PO 的方程为1k y x t =+由11111y y x x k y xt -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得()()()()11211111111M x t x t x y t kx ktx t -+-+==-+-+-同理可得()22211N x t x ktx t -+=+-.()122212111M N x x x x t ktx t ktx t ⎛⎫∴+=-++ ⎪+-+-⎝⎭()()()()()21212221221111ktx x t x x t ktx tktx t +-+=-++-+-()()()()()222121222222142101212kt t tkt ktx x t x x kk---+-+=+=++ ，0M N x x ∴+=，综上所述，0,M N x x O +=∴为线段MN 中点，又O 为11B B 中点，∴四边形12B MB N 平行四边形.【点睛】关键点点睛：证明四边形12B MB N 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.22. 已知函数()e e xxf x x λλ=-+，其中λ为实数.（1）若函数()y f x =是定义域上的单调函数，求λ的取值范围；（2）若1x 与2x 为方程()0f x '=的两个不等实根，()()12ln31f x f x -≤-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）1.2⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】（1）利用导数研究函数单调性，分类讨论函数是定义域上的单调函数的条件；（2）根据方程()0f x '=解出两个不等实根1x 与2x ，有12e e 1x x ⋅=，所以()()12-=+f x f x，令1)t t =<<，构造函数()1ln21tg t t t-=++，利用导数求函数单调性，通过t 的取值范围求λ的取值范围.【小问1详解】为函数()y f x =的定义域为R ，()11e 1e e e xx x x f x λλλ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭'当0λ≤时，()()0,f x f x '>在R 上单调递增，当12λ>时，由于1e 2e xx +≥，所以()()0,f x f x '<在R 上单调递减，当12λ=时，()0f x '≤恒成立，当且仅当0x =时取等，所以()f x 在R 上单调递减.当102λ<<时，令()0f x '<，解得ln x <x >则函数()f x在,ln∞⎛- ⎝和ln∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，令()0f x ¢>，解得x <<得函数()f x在⎛ ⎝上单调递增，此时不合题意.综上所述，λ的取值范围是(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】不妨设12x x <根据题意，1x 与2x 是方程()2e e 0xx λλ-+=的两根，1221e e 0Δ140x x λλ⎧+=>⎪⎨⎪=->⎩，所以102λ<<，12e x x ==，且12e e 1x x ⋅=，所以()()()122112121212e e 2e e eexx x x x x f x f x x x x x λλλλλ-=-+-+-=-+-12lne lne x x =-+=令1)t t =<<，()1ln21tg t t t -=++，则()22201g t t '=+<-.故()y g t =在()0,1上单调递减，又()11ln 11ln3,0023g g ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭.故由()()12ln31f x f x -≤-恒成立可得102t <≤12λ≤<，所以λ的取值范围是12⎫⎪⎪⎭.方法二：由题知1x 与2x 为方程1e 1e x x λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个不等实根，102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,，即12121111e ,e e e x x x x λλ+=+=，两式相减并化简可得12e 1+=x x ，则120x x +=，不妨设120x x <<，则()()12121212e e e e x x x x f x f x x x λλλλ-=-+-+-()()()212121*********e e e e2e e 22e e e e x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ--=-+-+⋅=-+-=+-⋅，由1111e e x x λ+=可得112e e 1x x λ=+，所以()()1121224lne2e 1-=+-+x x f x f x ，令12e (01)=<<x t t ，()4ln 2(01)1=+-<<+h t t t t ，则()22214(1)0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++，所以函数()h t 单调递增.又()110,1ln33h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故由()()12ln31f x f x -≤-恒成立可得1 1.3t ≤<所以121e 13x ≤<1e 1x ≤<，令1e 1⎫≤<⎪⎪=⎭x m m ，()1ϕ=+m m m ，则()2110ϕ'=-<m m 在⎫⎪⎭上恒成立，()m ϕ在⎫⎪⎭上单调递减，()()1ϕϕϕ<≤m ，即()ϕ⎛∈ ⎝m ，所以1111e e x x λ⎛=+∈ ⎝，进而解得λ的取值范围是1.2⎫⎪⎪⎭【点睛】方法点睛：利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题

辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题答题时间：120分钟满分：150分命题人：高三备课组校对人：高三备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()=U A B ð（）A.{}134，， B.{}34， C. {}3 D. {}4 2. 在复平面内，复数20123i i-（i 为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.给出下列命题：①若命题“p 或q 为真命题，则命题p 或命题q 均为真命题” ②命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ；③已知函数'()f x 是函数()f x 在R 上的导数，若()f x 为偶函数，则'()f x 是奇函数；④已知x R Î，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4. 用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A.243B.252C.261D ．2795. 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（）A. 1B.2C. 3D.46.已知二次函数2y ax bx c =++如果c b a >>，且0a b c ++=，则它的图像只能是（）7.函数22)24()2cos x x xf x x xπ+++=+的最大与最小值分别为M 、N ，则（） A ．2M N -= B ．2M N += C ．4M N -= D ．4M N +=8.已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是（）A. ()1,2B.(][),12,-∞+∞ C. []1,2 D.()(),12,-∞+∞9. 已知函数2()log (2)2x f x a x =-+- ，若()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（） A.[4,)+∞ B.[1,)+∞ C.[2,)+∞ D. (,4][4,)-∞-∞10．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.294e B.22eC.22eD.2e11.当0<a<b<1时,下列不等式正确的是()A.()()111b ba a ->-B.()()11aba b +>+ C.()()211b ba a ->-D.()()11aba b ->-12.设函数)(x f 的定义域为实数集R ，且)()1()2(x f x f x f -+=+，若2)4(-=f ，则函数1)2011(2)(++=x x e f e x g 的最小值是A.1B.3C.3lnD.2ln二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高考数学模拟试题（二模）一、单选题1．若M ，N 是U 的非空子集，M N M ⋂=，则（）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．U M N=ðD ．U N M=ð【正确答案】A【分析】根据集合的交集结果可得集合的包含关系即可一一判断.【详解】因为M N M ⋂=，所以M N ⊆，A 正确，B 错误；因为M ，N 是U 的非空子集，所以U M N ≠ð，U N M ≠ð，C,D 错误，故选:A.2．已知12i z =-，且a za z+⋅为实数，则实数=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】A【分析】先通过复数运算化简复数，然后根据复数为实数的条件建立a 的方程求解【详解】因为12i 32(2)i(12i)5a z a a a a z a a++---+==⋅+为实数，所以2a =-.故选：A3．石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm 的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm ，碾滚最外侧正上方为点A ，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A 距碾盘的垂直距离约为（）A ．15cmB ．cmC ．(30-cmD ．45cm【正确答案】A【分析】根据题意求出人推动拉杆绕碾盘转动一周，点A 所转过的角度进而确定点A 所在位置，利用角度和半径即可求出点A 到碾盘的垂直距离.【详解】由题意碾滚最外侧滚过的距离为2100cm 200cm ππ⨯=，碾滚的周长为230cm 60cm ππ⨯=，所以碾滚滚过20010603ππ=圈，即滚过了1036033601203⨯︒=⨯︒+︒，所以点A 距碾盘的垂直距离为()3030cos 18012015cm -⨯︒-︒=.故选：A.4．在ABC 中，60B O ︒=，是ABC 的外心，若2OB =，则AO AC ∙=（）A ．32B ．3C ．6D ．【正确答案】C【分析】取AC 中点H ，连接OH ，由已知及正弦定理可求OAH ∠，AC ，再根据平面向量的数量积运算求解即可．【详解】如图，取AC 中点H ，连接OH ，则OH AC ⊥，60AOH B ︒∠==，所以30OAH ︒∠=，在ABC 中，60B ︒=，2r OB ==，由正弦定理得2sin ACr B=，所以2sin 22AC r B ==⨯=所以cos 26AO AC AO AC OAH =∠=⨯= ，故选：C ．5．已知正实数,x y 满足121x y+=，则22xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．9【正确答案】C【分析】化简已知式可得222xy x y x y --=+，因为()()12212x y x y x y ⎛⎫+⋅=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式求解即可.【详解】()()122221222xy x y xy x y xy x yx y ⎛⎫--=⋅-+=⋅+-+ ⎪⎝⎭=2422y x x y x y +-+=+，而()()1242124428x y x y x y x y y x ⎛⎫+⋅=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4121x yy x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2,4x y ==取等.故选：C.6．“m =0是“直线()12110mx m l y +-+=：与直线()22110l mx m y +--=：之间的距离为2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得0m =或45m =，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.【详解】两条平行线间的距离2d ==，即2540m m -=，解得0m =或45m =，即“0m =”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.故选：A.7．已知点F 是抛物线2:2(0)M y px p =>的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点,A B 和,C D ，且2AF BF AB =，则四边形ACBD 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【正确答案】B【分析】首先根据焦半径公式表示条件，再利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示条件，可求得p ，再利用弦长公式表示四边形的面积，利用基本不等式求最值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，12p AF x =+，22pBF x =+，12AB x x p =++，所以1212222p p x x x x p ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()212121222p x x p x x x x p +++=++，①设直线AB :2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立抛物线方程22y px =，得()22222204k p k x pk p x -++=，得1222p x x p k +=+，2124p x x =，②，将②代入①得，1p =所以222222p AB p k k=+=+，因为直线AB 与CD 垂足，则222222CD p pk k =+=+，则四边形ACBD 面积()2211222222S AB CD k k ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭2211424228k k k k ⎛⎫=++≥+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，当1k =±时，等号成立，所以四边形ACBD 面积的最小值是8.故选：B 8．设a =，31sin 460b =，61ln 60c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．a b c<<【正确答案】C【分析】构造函数()ln(1)si 3n 4f x x x =+-，求导确定单调区间，得到c b >，再构造函数()ln(1)3g x x =-+，求导确定单调区间得到a c >，得到答案.【详解】设()ln(1)si 3n 4f x x x =+-，103x <<，则13()cos 14f x x x '=-+，103x <<，31141x <<+，33cos 44x <，故()0f x '>，()f x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()(0)0f x f >=，当103x <<时，3ln(1)4x x +>恒成立，令110,603x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则6131ln sin 60460>，即c b >；设()ln(1)g x x =-+，1040x <<，则1()1g x x '==+，又22113)8x -=-+=-，故1x -⎛ ⎝上单调递减，111040x -+>+>，故()0g x '>，则函数()g x 在10,40⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()(0)0g x g >=，故当1040x <<ln(1)x >+恒成立，令110,6040x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭61ln 60=，即a c >，综上所述.b<c<a 故选：C关键点睛：本题考查了利用导数比较函数值的大小问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，求导，利用函数的单调性比较大小是解题的关键.二、多选题9．一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件A ：“2个产品中至少有一个正品”，事件B ：“2个产品中至少有一个次品”，事件C ：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（）A ．事件A 与事件B 为互斥事件B ．事件B 与事件C 是相互独立事件C ．()()P AB P C =D ．()23P C A =【正确答案】CD【分析】根据事件的相关概念可判断ABC ，计算出()P C A 可判断D.【详解】因为事件A 与事件B 可以同时发生，故A 错误；事件B 包含事件C ，所以事件B 与事件C 不是相互独立事件，故B 错误；因为AB C =，所以()()P AB P C =，故C 正确；()()()()()11322511232325C C C 2C C C 3C P AC P C P C A P A P A ====+，故D 正确；故选：CD10．在△ABC 中，已知a ＝2b ，且111tan tan sin A B C+=，则（）A ．a ，c ，b 成等比数列B ．sin :sin :sin 2A BC =C ．若a ＝4，则ABC S =△D ．A ，B ，C 成等差数列【正确答案】ABC【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得2c ab =，再结合条件2a b =，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为111tan tan sin A B C+=，所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====，即2sin sin sin C A B =，即2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 正确；对选项B ，因为2a b =，222c ab b ==，即c =，所以::2a b c =即sin :sin :sin 2A B C =B 正确；对选项C ，若4a =，则2b =，c =则22242cos8B +-==，因为0πB <<，所以sin 8B =.故1428ABC S =⨯⨯=△，故C 正确.对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+.又因为πA B C ++=，则π3B =.因为::2a b c =2a k =，b k =，c =，0k >，则()22221cos82k k B +-==≠，故D 错误.故选：ABC11．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足()1402n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n=B ．数列{}n a 的通项公式为()141n a n n =+C ．数列{}n a 不是递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭为递增数列【正确答案】CD【分析】确定()11402n n n n S S S S n ---+=≥得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为4的等差数列，得到14n S n =即n a 的通项公式，再依次判断每个选项得到答案.【详解】()1402n n n a S S n -+=≥，则()11402n n n n S S S S n ---+=≥，即()11142n n n S S --=≥，故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为4的等差数列，故14n n S =，即14n S n =，()()111144244441n n n a S S n n n n n -=-=-⨯⨯=-≥--，114a =.对选项A ：14n S n=，错误；对选项B ：()()1,1 41241n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，错误；对选项C ：114a =，218a =-，故数列{}n a 不是递增数列，正确；对选项D ：14nn S =，故数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭为递增数列，正确；故选：CD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为线段1CC ，CD ，CB 上的动点（E ，F ，G 均不与点C 重合），则下列说法正确的是（）A ．存在点E ，F ，G ，使得1A E ⊥平面EFGB ．存在点E ，F ，G ，使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=C ．当1A C ⊥平面EFG 时，三棱锥1A EFG -与C -EFG 体积之和的最大值为12D ．记CE ，CF ，CG 与平面EFG 所成的角分别为α，β，γ，则222sin sin sin 1αβγ++=【正确答案】ACD【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈，对于A ，当BD FG 时，易证得1FG A E ⊥，则要使1A E ⊥平面EFG ，只需1A E EF ⊥即可，利用向量法即可得出结论；对于B ，要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可，判断FEG ∠和FEC GEC ∠+∠是否相等，即可；对于C ，根据1A C ⊥平面EFG ，可得,,a b c 的关系，由113A EFG C EF GG V V AC S --+=⋅，只要求出EFG S 的最大值即可；对于D ，利用等体积法求出C 到平面EFG 的距离d ，分别求出sin ,sin ,sin αβγ，即可判断.【详解】解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈，对于A ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因1,AC BD AC AA A ⊥⋂=，所以BD ⊥平面11AAC C ，又1A E ⊂平面11AAC C ，所以1BD A E ⊥，当BD FG 时，1FG A E ⊥，此时CF CG =，要使1A E ⊥平面EFG ，只需1A E EF ⊥即可，()()()11,0,1,0,1,0,0,1,A F a E c -，则()()11,1,1,0,,A E c EF a c =--=--，则()110A E EF a c c ⋅=---= ，即2a c c =-，当14a =时，12c =，故存在点E ，F ，G ，使得1A E ⊥平面EFG ，故A 正确；对于B ，,22EFC FEC EGC GEC ππ∠=-∠∠=-∠，则FEG EFC EGC FEG FEC GEC π∠+∠+∠=+∠-∠-∠，要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可，EF EG ===2222222cos a c b c a b FEG +++-+∠，cos FEC GEC∠=∠=则sin FEC GEC ∠=∠，故()2cos FEC GEC ∠+∠=因为0ab >，所以()cos cos FEC GEC FEG ∠+∠≠∠，所以FEG FEC GEC ∠≠∠+∠，所以不存在点E ，F ，G ，使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，故B 错误；对于C ，因为1A C ⊥平面EFG ，所以1133EFG EFG A EFG C EFG V V AC S S --+=⋅= ，()()()()()11,0,1,0,1,0,0,1,,,1,0,0,1,0A F a E c G b C -，则()()()1,,0,,0,,1,1,1FG b a EG b c A C ==-=--，则110A C FG b a A C EG b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，所以a b c ==，要使EFG S 最大，则1a b c ===，此时EFG S = 所以体积之和的最大值为12，故C 正确；对于D ，由B ，sin FEG ∠=，则1sin 2EFG S EF EG FEG =⋅⋅⋅∠=因为16E FCG V abc -=，所以C 到平面EFG 的距离d 满足1136EFG d S abc ⋅= ，所以d =所以sin CE α==，sin d CF β=sin d CG γ==，所以222222222222222sin sin sin 1a b a c c b a b a c c b αβγ++++++==，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知一组样本数据12310,,x x x x ，且222212310185x x x x ++++=，平均数4x =，则该组数据的方差s 2＝________；【正确答案】2.5【分析】利用平均数求得所有数据的和，代入方差公式中，结合已知可得方差.【详解】由题意知1231041040x x x x +++=⨯= ，又2s =222212310444410x x x x -+-+-++- （）（）（）（）=222212310123108161010x x x x x x x x ++++-++++⨯ =185840161010-⨯+⨯=18.5-32+16=2.5.故答案为2.5.本题考查了平均数与方差的定义及利用公式求值，考查了运算能力，属于基础题.14．已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且倾斜角为4π的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若2//BF OA ，则C 的离心率为______.【分析】首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A ，B 两点的坐标，之后根据题中条件2//BF OA ，得出A 是1F B 的中点，根据中点坐标公式，得出其坐标间的关系，借助双曲线中,,a b c 的关系，求得该双曲线的离心率.【详解】设直线l 的方程为y x c =+，两条渐近线的方程分别为by x a =-和b y x a=，分别联立方程组，求得(,),(,)ac bc ac bcA B a b a b b a b a-++--，由2//BF OA ，O 为12F F 的中点得A 是1F B 的中点，所以有2ac acc b a a b-+=--+，整理得3b a =，结合双曲线中,,a b c 的关系，可以的到c e a ==故答案为15．已知圆()()()222111:220C x y r r -+-=>，圆()()()222222:110,C x y r r +++=>圆1C 与圆2C 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12rr 为_________.【正确答案】7225【分析】根据题意作出如下图形：由圆方程求出圆心连线斜率为：1k =，计算出圆心距121232C C r r ==+，再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形12EC C 中列方程求得124r r =，联立方程即可求出1325r =，2122r =【详解】根据题意作出如下图形：AB 为两圆的公切线，切点分别为A,B.当公切线AB 与直线12C C 平行时，公切线AB 斜率不为7，即12r r ≠不妨设12r r <过1C 作AB 的平行线交2AC 于点E ，则：221EC r r =-，1AB EC =且1//AB EC ()()221212212132C C r r =+++==+,直线12C C 的斜率为：21121k +==+，所以直线AB 与直线12C C 的夹角正切为.173tan 174α-==+在直角三角形12EC C 中，2134EC EC =，所以12143EC r r =-，又2221212EC EC C C +=,整理得：()()22221211243r r r r r r ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，解得：124r r =，又12r r =+，解得：15r =，25r =，所以12rr=725525⨯=.本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题．16．已知函数()1ln f x x m x x=--有三个零点，则实数m 的取值范围是______．【正确答案】()2,+∞【分析】求导得到导函数，构造21y x mx =-+，确定0∆>，排除2m <-的情况，确定函数的单调性，确定()10f =，()10f x >，()20f x <，根据零点存在定理得到答案.【详解】()1ln f x x m x x=--，()0,x ∈+∞，()222111m x mx f x x x x -+'=+-=，设21y x mx =-+，24m ∆=-，当0∆≤时，210y x mx =-+≥恒成立，即()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不满足；故0∆>，即m>2或2m <-，当2m <-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，()f x 单调递增，不满足，故m>2，现证明m>2时满足条件：设方程的两个解为1x ，2x ，不妨取12x x <，12121x x x x m =⎧⎨+=⎩，1201x x <<<，当()10,x x ∈和()2,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数单调递增；当()12,x x x ∈时，()0f x '<，函数单调递减；()10f =，故()10f x >，()20f x <，当x 趋近0时，()f x 趋近-∞，当x 趋近+∞时，()f x 趋近+∞，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上分别有一个零点，满足条件.综上所述：实数m 的取值范围是()2,+∞.故答案为.()2,+∞关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据∆的大小分类讨论m 的取值范围是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要灵活掌握.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且114a =，116n n ta S +=+（*N ,n t ∈为常数）．(1)若数列{}n a 为等比数列，求t 的值；(2)若4t >-，1lg n n b a +=，数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当6n =时n T 取最小值，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)4t =(2)15742t <<-【分析】（1）先根据和项与通项关系求项之间递推关系，再根据等比数列定义确定212a a =，代入2a ，解得t 的值；（2）结合（1）中结论，根据等比数列定义求得()11*12422N 16n n n t a a n --++=⨯=∈，从而得到数列{}n b 是等差数列，根据等差数列前n 项和取最小值等价于项60b <且70b >，代入得不等式，由此解得实数t 的取值范围．【详解】（1）因为116n n ta S +=+，所以当2n ≥时，116n n t a S -=+，两式相减，得1n n n a a a +-=，则12n n a a +=，因为数列{}n a 为等比数列，则公比为2，又114a =，所以21122a a ==，又2141616t ta S +=+=，所以41162t +=，解得4t =，所以4t =.（2）由（1）得()122n n a a n +=≥，所以数列{}n a 是从第二项起，2416ta +=，公比为2的等比数列，所以()11*12422N 16n n n t a a n --++=⨯=⋅∈，所以()1144lg lg 2lg 1lg 21616n n n t t b a n -+=++⎛⎫=⋅=+-⎪⎝⎭，故数列{}n b 是等差数列，因为数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当6n =时，n T 取最小值，所以60b <且70b >，即780,0lg lg a a <>，所以701a <<且81a >，所以5644021,211616t t ++<⋅<⋅>，即0821,1641t t <+<+>，所以15742t -<<-.18．已知平面向量()cos ,sin a x x =，()cos ,2sin b x x x =- ，记()f x a b =⋅ ，(1)对于π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()m f x n ≤≤（其中m ，R n ∈）恒成立，求m n -的最大值．(2)若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1f B =，a ，b ，c 成等比数列，求11tan tan A C+的值．【正确答案】(1)32-(2)3【分析】（1）化简得到()π3sin 262f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，确定π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦得到12m ≤，2n ≥，得到最值.（2）计算得到π3B =，确定2b ac =，化简得到11sin tan tan sin sin B A C A C+=，根据正弦定理结合等比数列性质得到答案.【详解】（1）()()()22cos ,2sin 2c s cos sin co os ,s n si f x x x x x x x x x x ⋅=-=+1cos 2π31sin 2sin 22262x x x -⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()m f x n ≤≤恒成立，故12m ≤，2n ≥，当2n =，12m =时，m n -有最大值为32-.（2）()1π3sin 262f B B ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==，即π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πB ∈，ππ13π2,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π5π266B +=，π3B =，a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =，()sin 11cos cos sin cos cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A BA C A C A C A C A C+++=+===2b ac ===19．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上动点．(1)证明：CP 平面1A BD ；(2)当直线BP 与平面11A BCD 所成的角正弦值为6时，求点D 到平面1A BP 的距离．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）确定BD 平面11B CD ，1A B 平面11B CD 得到平面1A BD 平面11B CD ，得到证明.（2）建立空间直角坐标系，确定平面11A BCD 的一个法向量为()10,1,1n =，得到1a =，再确定法向量，再根据距离的向量公式计算得到答案.【详解】（1）11BD B D ∥，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，故BD 平面11B CD ；同理可得：1A B 平面11B CD ；1A B BD B ⋂=，且1,A B BD ⊂平面1A BD ，故平面1A BD 平面11B CD ；CP ⊂11B CD ，故CP 平面1A BD ；（2）如图所示：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()12,0,2A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，设(),,2P a a ，[]0,2a ∈，()0,0,0D ，设平面11A BCD 的法向量为()1,,n m n p = ，则11120220n CB m n A B n p ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1n =得到()10,1,1n =，()2,2,2BP a a =-- ，BP 与平面11A BCD 所成的角正弦值为：111cos ,n BP n BP n BP⋅==⋅1a =或3a =-（舍），设平面1A BP 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，则21212200n A B y z n A P x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =得到()21,1,1=n ，则点D 到平面1A BP的距离223DB n d n ⋅==.20．甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：次数同学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X 表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X 的分布列及数学期望EX ；(3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y 表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY 与（2）中EX 的大小.（结论不要求证明）【正确答案】(1)413(2)X 的分布列为X123P153515所以13110()12325555E X =⨯+⨯+⨯==.(3)()()E X E Y >【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；（2）根据题意先求出所有X 的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解；（3）根据题意先求出所有Y 的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与（2）中期望即可求解；【详解】（1）由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得413P =，所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率413P =.（2）由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数X 的可能取值为1，2，3，则313346C C 131(1)C 155P X ⨯====；223346C C 333(2)C 155P X ⨯====；313346C C 131(3)C 155P X ⨯====，所以X 的分布列为X123P153515所以13110()12325555E X =⨯+⨯+⨯==.（3）由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数Y 的可能取值为0，1，2，3，则303437C C 111(0)C 3535P Y ⨯====；213437C C 3412(1)C 3535P Y ⨯====；123437C C 3618(2)C 3535P Y ⨯====；033437C C 144(3)C 3535P Y ⨯====；所以Y 的分布列为Y123P13512351835435所以11218412()0123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯，()()E X E Y >.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C 的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上．【正确答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程．（2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b - ，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d =，2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b =∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=，设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ，将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=，∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-=将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -=1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ += 可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知函数()ln f x x =，2()(0)g x x ax a =->.（1）讨论函数()()()h x f x g x =+的极值点；（2）若()1212,x x x x <是方程3()1()0g x f x x x-+=的两个不同的正实根，证明.22124x x a +>【正确答案】（1）当a ∈，()h x 无极值点；当)a ∈+∞，()h x 的极大值点为4a ，（2）证明见解析.【分析】（1）令2()()()ln h x f x g x x x ax =+=+-，对()h x 求导后按判别式分类讨论求极值点；（2）通过层层分析和转化，将要证的不等式“22124x x a +>”最终转化为：“求证：当1x >时，12ln 0x x x-+<”.【详解】（1）2()()()ln h x f x g x x x ax =+=+-，函数()h x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax h x x a x x-+'=+-=，28a ∆=-，①当a ∈，即0∆≤时，()0h x '≥恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点；②当)a ∈+∞，即0∆>时，方程2210x ax -+=有两个根3x ，4x ，解得34a x =，44a x +=且340x x <<，当0,4a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当x ⎫⎪⎪⎝⎭∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()h x 单调递增.所以，函数()h x（2）方程3()1()0g x f x x x-+=即方程2ln 0a x x +=，设2()ln a k x x x =+，(0,0)x a >>233122()a x a k x x x x-'=-=，(0)a >∴()k x在上递减，在)+∞上递增，依题意知()k x 有两个零点，∴0k <，即02a a <，解得102e a <<，且121222ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得212212ln ln a a x x x x -=-，设21(1)x t t x =>，∴22211ln a a t x t x =-，∴21211ln a x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要证明22124x x a +>，只需证()22114t x a +>，只需证()221114ln a t a t t ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，只需证()22211112ln t tt ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，只需证22212ln 0t t t -+<，记1()2ln (1)q x x x x x =-+>，22221(1)()10(1)x q x x x x x -'=--=-<>，∴()q x 在(1,)+∞上递减，∴()(1)0q x q <=∴12ln 0x x x -+<，故22212ln 0t t t-+<，即22124x x a +>.思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习

（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．

2023年9月辽宁省沈阳市小升初数学内招思维应用题专项模拟四卷含答案解析

2023年9月辽宁省沈阳市小升初数学内招思维应用题专项模拟四卷含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。

一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。

)1.某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是多少人？2.一辆旅游车0.6小时行驶30.6千米，用同样的速度由甲站开往乙站需行驶3.85小时．甲、乙两站相距多少千米？3.植树节中学生植树，活了100棵，死了2棵，成活率是多少？4.一个长6分米，宽4.5分米，高5分米的长方体玻璃鱼缸，缸内装的水离缸口5厘米，这个鱼缸里有水多少升？5.客厅地面是个长方形，长3.89米，宽3.11米，请你估计一下客厅的面积大约多少平方米？（画出图形，标出数据后再估算）6.光明小学三至六年级的同学要植树524棵，如果每个年级植树的棵数相同，每个年级应植树多少棵？7.如果一辆卡车车轮的直径是0.8米，车轮向前滚动100周，这辆卡车能前进多少米．8.江南化肥厂去年生产化肥44万吨，今年计划比去年增产25%，今年计划生产多少万吨化肥？9.一共有173枚1元的硬币，把这些硬币换成10元一张的纸币，最多能换多少张？如果换成20元一张的纸币呢？10.机床厂原计划13天生产1911台机床，实际每天多生产27台．求实际每天生产多少台？11.有一块三角形麦地底45米，高86.2米，如果每公顷可收小麦4600千克，这块地共收小麦多少千克？12.养鸡场养肉鸡和蛋鸡共6500只，肉鸡的只数是蛋鸡的2/3．养鸡场养肉鸡和蛋鸡各多少只？13.六月五日是世界环保日，星光小学五年级48名男生和42名女生参加环保宣传活动．他们分成若干小组，每组男生人数和女生人数都分别相等，最多分多少小组？每组男生女生各多少人？14.师徒两人生产一批零件．两人按5：3分担任务．已知师傅生产了250个零件．这批零件共有多少个？15.某商店把一些旧存小刀作为处理品降价出售．小刀每把原价0.3元，降价后存货全部卖出，共卖得6.29元．那么小刀每把降为多少元？16.两辆汽车同时从相距485千米的两地相对开出，经过4.5小时后，还相距35千米，甲车每小时行48千米，乙车每小时行多少千米？17.一辆客车每小时行355千米，从甲地到乙地行了13小时，甲地距离乙地多少千米？18.100克花生仁可以榨出42克花生油．照这样计算，3.5吨花生仁可以榨出多少吨花生油？（用比例解）19.兰兰参加夏令营，原计划9天交135元住宿费，后来夏令营延长了4天．兰兰还要补交多少钱？20.公园里有一个周长是43.96米的圆形花坛，在它的周围铺设2米宽的水泥道路，这条道路的面积是多少？21.花园小学用水缸收集雨水，用来浇植物和打扫卫生．（1）一场大雨后，全校21个容量都是394升的水缸，都装满了水．这天收集到的雨水一共有多少升？（2）大扫除时，平均每个教室用水102升，37个教室共用水多少升？还剩多少升？22.甲、乙两辆汽车从相距580千米的东、西两地相向而行，甲车平均每小时行48.6千米，当甲车行驶了80千米时，乙车每小时51.4千米时速度开始行驶．①乙车行驶了几小时和甲车相遇？②相遇时，乙车行驶了多少千米？23.小区5号楼2012年新搬进的3户安装了空调，2013年又搬进1户，也安装了相同功率的空调，但4台空调全部打开时，就会烧断保险丝，因为最多只能同时使用3台空调，那么在24小时内平均每户可以使用空调多少小时？24.有甲乙两个仓库，第一仓库有存粮260吨，第二仓库的存粮比第一仓库的2倍少50吨，第二仓库存粮有多少吨？25.两个粮仓共存小麦1800吨，如果从甲仓运走400吨，甲仓余下的小麦重量正好是乙仓的3/4．乙仓原来存小麦多少吨？26.一块长70米，高60米的平行四边形花生地，共产花生42000千克，平均每公顷地可产花生多少千克？27.甲乙两个工程队共同修筑一段长6800米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修50米．现由甲工程队先修2天．余下的路段由甲、乙两队合修，正好花8天时间修完．问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？28.同学们沿笔直的操场一侧插彩旗，每隔4米插一面，一共插了26面，从第1面彩旗到最后一面的距离有多少米．29.一桶油的质量等于它本身质量的75%再加上3/4千克，这桶油本身重多少千克？30.同学们去春游，每辆大客可坐42人，每辆中型客车可坐18人，如果有120个同学春游，请你计算一下：（1）如果每辆大客车收费150元，每辆中型客车收费80元，则用几辆车比较合适？（2）同学们一共要付少元？31.160千克的小麦磨出了144千克的面粉，小麦的出粉率是多少？32.养鸡场今年养鸡3600只，比去年增加80%，去年养鸡多少只？33.甲、乙两车同时从相距396千米的两地出发，相向而行．甲车每小时行64千米，途中甲车因故障停车修了0.5小时，然后继续行驶．结果乙车出发4小时后与甲车相遇．求乙车的速度．34.甲、乙两地相距380千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了140千米．剩下的路程每小时行60千米，还要行几小时？35.小陈在做一道除数是两位数、被除数是6048的题目时，将除数抄错了：他把除数十位和个位上的数对调了一下，这样得到的商是252，正确的商是多少？36.制作一个长80厘米，宽40厘米，高30厘米的长方体玻璃鱼缸（无盖），至少需要多少平方米的玻璃？要使水面高25厘米，需要多少升水？37.甲车每小时行驶132千米，乙车每小时行驶96千米，两车共行驶了12小时，已知甲车比乙车一共少行驶240千米，两车各行几小时？（用算术法解答）38.植树节同学们去植树，植的树死了18棵，成活率是98%。

辽宁省沈阳市第120中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学试题(解析版)

沈阳市第120中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学满分：150分考试时间：120分钟一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（）A. ﹣2020 B. ﹣1010C. ﹣505D. 1010【答案】B 【解析】【分析】分组求和，奇数项和相邻的偶数和均为-2，即可求出结果.【详解】.故选:B【点睛】本题考查分组并项求和，考查计算能力，属于基础题.2. 等差数列和的前项和分别记为与，若，则（）A.B.C.D. 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列下标和的性质可得，进而代值计算即可得解.【详解】因为，所以.故选：D .3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（）135720172019-+-++- (13)(57)(20172019)(2)5051010=-+-+-=-⨯=- {}n a {}n b n n S n T 2835n n S nT n =+293a ab +=127321716721029110101553521025S a a a a Sb b T b T ++===+2835n n S n T n =+1029110101553521023552585S a a a a S b b T b T ++===+⨯+⨯==()y f x =()f x '()f xA. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.【详解】因为在上为递增函数，由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率，所以，又由斜率定义可以，表示割线的斜率，所以，故选：A.4. 在等比数列中，则为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先根据基本量运算求出等比数列中，从而判断是等比数列，最后应用求和公式计算即可.【详解】令的公比为，因为，所以，解得.根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列，的2(2)(4)(2)2(4)f f f f <-'<'2(4)2(2)(4)(2)f f f f ''<<-2(2)2(4)(4)(2)f f f f <<-''(4)(2)2(4)2(2)f f f f ''-<<()f x []2,4()()2,4f f ¢¢2,4x =()()24f f ''<()()()()4242422f f f f k --==-()()()()()()()()42242242242f f f f f f f f -¢¢¢¢<<Þ<-<{}n a 2512,,4a a ==12231n n a a a a a a ++++ 16(14)n --32(14)3n --16(12)n --32(12)3n --{}n a 11,42q a =={}1n n a a +{}n a q 2512,,4a a ==35218a q a ==11,42q a =={}1n n a a +14q =128a a =所以.故选：B.5. 设等差数列的前n 项和为，若，则( )A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，∴公差，，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6. 已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】数列是公比为2的等比数列，可得，则有，累加法结合等比数列求和公式，计算.()12231181324141314n n n n n S a a a a a a +-⎛⎫- ⎪⎝⎭===++-+- {}n a n S 112,0,3m m m S S S -+=-==m =0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-113m m m a S S ++=-=11m m d a a +=-={}n a ()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-113m m m a S S ++=-=11m m d a a +=-=11325m a a m m m +==+=-+⇒={}n a 10a =231a a ==()*12N n n n n b a a a n ++=++∈{}nb 2024a =2024247-2024237+2024247+2024267+{}n b 2nn b =32nn n a a +-=2024a【详解】，数列是公比为2的等比数列，则，即，.故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列的通项得到，用累加法即可计算.7. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】因为是公比不为1的等比数列的前项和，所以若成等差数列，则，从而，结合化简得，若成等差数列，则，即，所以，故当时，有，即“成等差数列”能推出“存在不相等的正整数，使得成等差数列”；反之，满足不一定是，如，，，满足，但不满足，即“存在不相等的正整数，使得成等差数列”推不出“成等差数列”；所以“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的充分不必要条11230112b a a a =++=++={}n b 2nn b =()13123121222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ++++++++-=++-++=-=-=()()()()2024202420212021201820182015522a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ()67423202420242021201820152212242322221111877⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=+++++=+=+=- {}n b 32nn n a a +-=2024a n S {}n a n 263,,S S S ,m n ,,m mn n a a a n S {}n a n 263,,S S S 6232S S S =+()()()6231112111111a q a q a q qq q---=+---1q ≠421qq =+,,m mn n a a a 2mn m n a a a =+2mn m n q q q =+()121n m m n q q --=+()141n m m n ⎧-=⎨-=⎩23n m =⎧⎨=⎩263,,S S S ,m n ,,m mn n a a a ()121n m m n q q --=+421q q =+1n =3m =1q =-()121n m m n q q --=+421q q =+,m n ,,m mn n a a a 263,,S S S 263,,S S S ,m n ,,m mn n a a a件.故选：A8. 已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数的最大整数），又，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由经过因式分解后得到递推关系，从而得到数列的通项公式，进而得到；可以表示为两点之间的距离的平方，根据和满足的关系式，通过求距离最小值得到的最小值.详解】因为，所以，所以，左右两边同时减得，即，左右两边同时除以得，，所以，，则，设是抛物线上的整点，为直线上的任意一点，则，点到直线的距离为当即时，，故，当且仅当，时，等号成立，【{}n a 11a =25a =()()()223311116n n n n n n n n a a a a a a a a +---+++=-2n ≥*N n ∈13ni n i i ia c =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑[]x x 23(R)=-+∈m b m m ()222()n m c b n m ++-13141516()()()223311116n n n n n n n n a a a a a a a a +---+++=-{}n a n c ()222()n m c b n m ++-n c n b ()222()n m c b n m ++-()()33221111-+--+=--+n n n n n n n n a a a a a a a a 22110--++>n n n n a a a a ()116+-+=-n n n n a a a a 1156n n n a a a +-=-2n a ()()11121232323-+--=-=-=n n n n n n a a a a a a 123n n n a a +-=3n1121333n n nn a a +--=⨯11233333n nnn a a +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1123233n nn a --⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭32n nn a =-()21113232-==⎡⎤--⎢⎥===⎢⎥⎣⎦∑∑i inn n i i i i n nc i (),2n P n c 2y x x =-(),m Q mb -23y x =-()2222()=++-n m c b n PQ m P 230x y --=d 235n -=4n =min d =22m i n15P Q d ≥=4n =6n c =从而的最小值为.故选：C.二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 过点且与曲线相切的直线的方程为（）A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.【详解】设过点的切线与曲线相切于点，因为，则曲线在点处切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，解得或，故切线方程为或.故选：BC .10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n 层有个球，从上往下n 层球的总数为，则下列结论正确的是（）A. B. C ， D.【答案】BCD的.()222()n m c b n m ++-15()1,2P ()32y f x x ==680x y +-=640x y --=3210x y -+=3270x y +-=()1,2P ()y f x =()300,2A x x ()1,2P 0x ()1,2P ()y f x =()300,2A x x ()26f x x '=()y f x =A 206x ()3200026y x x x x -=-()1,2P ()320002261x x x -=-01x =012x =-640x y --=3210x y -+=n a n S 1n n n a a +-=656S =()112n n n n S S -+-=2n ≥123202*********1012a a a a ++++=【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案.【详解】根据题意，，则有，当时，，也满足，所以.，A 选项错误；，B 选项正确；，， C 选项正确；，，D 选项正确.故选：BCD11. 对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（）A. 若数列单调递增，则数列单调递增B. 若数列是常数列，，则数列是周期数列C. 若，则数列没有最小值D. 若，则数列有最大值1n n a a n --=12341,3,6,10,a a a a ==== 213212,3,,n n a a a a a a n --=-=-= 2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()112212n n n n n +=+-+-+++=11a =()12n n n a +=11n n a a n +-=+612345613610152156S a a a a a a =+++++=+++++=2n ≥()112n n n n n S S a -+-==()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭12320231111111111202321212232023202420241012a a a a ⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ {}n a ()1n n nb a n a *=-∈N {}n b {}n a {}n a {}n b {}n b 10n n a a +-≠{}n a 112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭{}n b 112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭{}n b【解析】【分析】可通过反例说明A 错误；令，可推导得到，由此整理得，知B 正确；分别在为偶数和为奇数两种情况下，根据的单调性可确定的单调性和正负，由此确定最大值和最小值，知CD 的正误.详解】对于选项：例如，则，，可知，故错误；对于选项：因为是常数列，可设，则，可得，又因为不是常数列，则，可得，整理得：，所以，可知数列是以为周期的周期数列，故B 正确；对于选项CD ：若，则，①当为偶数时，且单调递增，则，所以且单调递增，此时；②当为奇数时，且单调递减，则，【1n n n b a t a =-=11n na a +=-2n n a a +=n n {}n a {}nb A 52n a n =-213222b =-+=313222b =-=-23b b >A B {}n b 1n n nb a t a =-=111n n a t a ++-=()111111110n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫--+=-+= ⎪⎝⎭{}n a 10n n a a +-≠1110n n a a ++=11n n a a +=-21111n nn na a a a ++=-=-=-{}n a 2112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1112112nn nb ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭n ()110,12n na =-∈{}n a 11n n a a >>0n b <{}n b ()2min 11347114431214n b b ==--=-=--n 1112n na =+>{}n a 11n n a a >>所以且单调递减，此时；综上所述：既有最大值，又有最小值，C 错误；D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，满分15分．12. 已知，则__________．【答案】1024【解析】【分析】对等式两边同时求导可得：，令即可得结果.【详解】因为，两边同时求导可得：，令，可得.故答案为：1024.13. 已知，记，，，，则______．【解析】【分析】多列几项，可以发现计算规律，每四项组合一起求和为，然后每四项组合在一起来求和.【详解】解：，，，，，则所以0nb >{}nb ()1max 1132511223612n b b ==+-=-=+{}n b 56712-8280128(1)x a a x a x x α+=++++ 81ii ia==∑277188(1)28x x a a x α+=+++L 1x =8280128(1)x a a x a x x α+=++++ 277188(1)28x x a a x α+=+++L 1x =87128128821024ii iaa a α==++=⨯=+∑L ()1sin cos f x x x =+()()21f x f x '=⋯()()1n n f x f x +'=⋯12320213333f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0()1sin cos f x x x =+2()cos sin f x x x =-3()sin cos f x x x =--4()cos sin f x x x =-+51()sin cos ()f x x x f x =+=1234sin cos cos sin sin cos cos sin 03333f f f f x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++----+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，14. 数列满足，前16项和为540，则 ______________.【答案】【解析】【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．12320211234202112342021133335053333350533333()sincos3f f f f f f f f f f f f f f f x πππππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ 132π=={}n a 2(1)31nn n a a n ++-=-1a =7n 1a 1a 2(1)31nn n a a n ++-=-n 231n n a a n +=+-n 231n n a a n ++=-{}n a n n S 16123416S a a a a a =+++++ 135********()()a a a a a a a a =+++++++ 111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=17a ∴=715. 已知函数.（1）分别求出和的导数；（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可；（2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参.【小问1详解】由导数公式得，由复合函数求导法则得；【小问2详解】由可得曲线在点处的切线的斜率，从而切线方程为，即.由，可得曲线在处的切线斜率为，由题意可得，从而，此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，即，故符合题意.16. 已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，. （1）求和的通项公式；（2）求数列的前n 项和.【答案】（1）()()3211,ex f x x x g x -+=-++=()f x ()g x ()y f x =()1,1()y g x =()R x t t =∈t ()231f x x '=-+()212ex g x -+=-'12t =()231f x x '=-+()212e x g x -+=-'()231f x x '=-+()y f x =()1,1()1312k f ='=-+=-()121y x -=--23y x =-+()212ex g x -+=-'()y g x =()R x t t =∈()212et g t -+=-'212e 2t -+-=-12t =1,12⎛⎫⎪⎝⎭()y g x =12x =1122y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭22y x =-+{}n a {}n b 1121322,21,22a b a b b a ===-=+{}n a {}n b {}n n a b ⋅()*1,2,Nnn n a n b n =+=∈（2）【解析】【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.【小问1详解】由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，则由题意有，解得，所以和的通项公式分别为.【小问2详解】设数列的前n 项和为，由（1）可得，所以，，两式相减得，所以数列的前n 项和为.17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．（1）设n 年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）【答案】（1），（2）至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入【解析】【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n 年内的旅游业总收入与n 年内的总投入；(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果.()1*2,N n n S n n +=⋅∈,0d q >()223,2222d q d +==++1,2d q =={}n a {}n b ()()1*211,222,N n n n n a n n b n -=+-=+=⋅=∈{}n n a b ⋅n S ()()*12,Nnn n a b n n ⋅=+⋅∈()12223212nn S n =⋅+⋅+++⋅ ()2312223212n n S n +=⋅+⋅+++⋅ ()()()112111412222212412212n n n n n n S n n n -+++⨯--=⋅+++-+=+-+=-⋅- {}n n a b ⋅()1*2,N n n S n n +=⋅∈1514n a n b n a n b lg 20.30≈lg 30.48≈42002005n n a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭51201204nn b ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭n 0n n b a ->【小问1详解】由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列，所以，；同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列，所以，.【小问2详解】设至少经过n 年，牧草总收入超过追加总投入，即，即，令，，则上式化为，即，解得，即，所以，，即，所以，所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．18. 过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x 轴上的投影是点；又过点作曲线C 的切线，切点为，点在x 轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）求证：．454145402002004515nnn a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-545154301201205414nnn b ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯=⨯- ⎪⎝⎭-0n n b a ->545412012020020012020032004545n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯---⨯=⨯+⨯->⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦45nt ⎛⎫= ⎪⎝⎭01t <<1202003200t t +->25830t t -+>305t <<4355n⎛⎫< ⎪⎝⎭43lg lg 55n <3lglg 3lg 5lg 3lg 215 2.24lg 4lg 53lg 21lg 5n -+->==≈--3n ≥(1,0)P :k C y x =0x >N k +∈1k >1Q 1Q 1P 1P 2Q 2Q 2P 1Q 2Q ()N ,3n Q n n +∈≥n Q n a {}n a 11n na k ≥+-21ni iik k a =<-∑【答案】（1）（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义和数列的递推关系即可求解；（2）由（1）可得，利用二项式定理放缩即可求解；（3）由（1）可得，利用裂项相消法分析证明；【小问1详解】因为，则，若切点是，则切线斜率，则切线方程为.①当时，切线过点，即，得；②当时，切线过点，即，得.所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.【小问2详解】因为，可知，所以.()*N 1nn k a n k ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭111nn a k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()()2121111n n nn k n n k k k k k kn k a k n k k k +--⎡⎤=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎝-⎣⎭-⎦()0ky xx =>1k y kx -'=(),kn n n Q a a 1k n k ka -=1()k k n n n y a ka x a --=-1n =(1,0)P 11110()kk a ka x a --=-11k a k =-1n >11(,0)n n P a --110()k k n n n n a ka a a ---=-11n n a k a k -=-{}n a 1k k -1k k -()*N 1nn k a n k ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭1k >101k >-201211111C C C C 11111nnnn n n n n n k a k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭011C C 111n nnk k ≥+=+--【小问3详解】因为，可得，又因为，则，可得，所以，即.19. 已知数列的前项和为，且（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的通项公式；（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】⑴；⑵.【解析】【详解】试题分析：（1）由递推关系式消去，可得，数列为等比数列，且首项为，公比，所以．（2）由递推得：两式相减得：又当时,所以()()22111111n n nn n k n k k n n k k k n a k k kn k k k k k +---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎡⎤=-++---+--⎝⎭⎣⎦⎪()()12211111i ni i n i i k i k k ki k k k k i a k k =+=⎡⎤=-++--⎧⎫--⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩-⎭-+⎣⎦∑∑()12211n k n k k k k k k +-⎛⎫ ⎪⎡⎤=-++-⎝+⎣⎭-⎦1k >20,10k k k k --<>()21011n k k k n k k +-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎡⎤-++-<⎣⎦()221211n k n k k k k k k k k +-⎛⎡⎤-++-+-<-⎣⎫⎭⎦⎪⎝21ni ii k k a =<-∑{}n a n n S ()22n n S a n N *=-∈1{}n a 2{}n b ()1312231*********n n n n b b b b a +=-+-+-++++ {}n b 322nn n c b λ=+λ{}()n c n N*∈λ2n n a =12832,3519λ-<<n S 12,n n a a +={}n a 22q =2n n a =()()13122311,221212121n n n n b b b b n N +*=-+-+-∈++++ ()()31121231112.221212121nn n n b b b b n ---=-+-+-≥++++ ()()1112.2nn n b n ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭1n =1113,.212b a b ==+()()()3,12{111.2,2n n n n b n n N*==⎛⎫-+≥∈ ⎪⎝⎭（3）因为所以当时,依据题意,有即分类讨论，为奇数或偶数，分离参数即可求出的取值范围是试题解析：⑴ 由得两式相减,得所以由又得所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．⑵ 由 ⑴ 知由得故即当时,所以⑶ 因为所以当时,依据题意,有即①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．2,nn n c b λ=+3n ≥()()111111211,211.22nn nn n n n n c c λλ----⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1132120,2n n n n n c c λ--⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭()121.322n nnλ-->-+n λ12832,3519λ-<<22,n n S a =-1122n n S a ++=-．1122,n n a a a ++=-12,n n a a +=1122,S a =-11122,2,a a a =-={}n a 22q =2nn a =()*112n n n N a =∈．()()1*3122311,221212121n n n n b b b b n N +=-+-+-∈++++ ()()31121231112221212121nn n n b b b b n ---=-+-+-≥++++ ．()11111,2221n n n n nb +--=-+()()11122n n n b n ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭．1n =1113,212b a b ==+．()()()*3,12{1112,2n n n n b n n N ==⎛⎫-+≥∈ ⎪⎝⎭．2,nn n c b λ=+3n ≥()()111111211,21122nn nn n n nn c c λλ----⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1132120,2n n n n n c c λ--⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭()121322n nn λ-->-+．n 412322n nλ->-+又随增大而增大,则当且仅当时,故的取值范围为②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,故的取值范围为又当时,由得综上可得,所求的取值范围是点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．1212213312222n n n n ---=-++n 4n =1min2128,33522n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭λ128;35λ>-n 312322n nλ-<+3n =1min232,31922n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭λ32;19λ<2n =212153220,42n n c c c c λλ-⎛⎫⎛⎫-=-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8λ<．λ12832,3519λ-<<n 1,2n n =≥(1)n -n。

辽宁省沈阳市沈河区2012-2013学年高二下学期第二次学业水平模拟考试数学试题

2012年沈河区高中学生学业水平模拟考试（二）数学1．考试采用书面答卷闭卷方式，考试时间90分钟，满分100分； 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 参考公式：柱体体积公式 V sh =，锥体体积公式 13V sh =（其中s 为底面面积，h 为高）；球的表面积公式 24SR π=(其中R 为球的半径)．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集U=R ，集合{|1}A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合()u C A B = ( ) A.{|01}x x << B. {|01}x x ≤< C. {|01}x x <≤ D. {|01}x x ≤≤ （2）函数2)(x x f =在下列哪个区间存在零点（）A.（-3，-1）B. (-1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)（3）下列函数中，即是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A.2y x -=B. 1y x -=C. 2y x = D. 13y x =（4）若函数()y f x = 是函数(0x y a a =>，且1)a ≠的反函数，且(2)1f =，则()f x = ( ) A.2log x B.12xC.12log x D.22x - （5）不等式0322<--x x 的解集是（）A ．}1|{-<x x B. }3|{>x x C. }31|{<<-x x D. 1|{-<x x 或}3>x （6）已知平面向量)1,3(=，)3,(-=x ，且⊥，则=x （） A.-3 B.-1 C.1 D.3（7）若600°角的终边上有一点),4(a -，则a 的值是（） A. 34± B.34 C. 34- D. 3（8）在ABC △中，若,8,3,7===c b a 则其面积等于（）A.12B.221C.28D.36（9）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A.38 B.34C.4D. （10）如图给出的是计算201614121++++ 的值得一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A.10≤iB.10>iC.10<iD.10≤i（11）32已知21,1()1222x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（）A.2B.2或32C. ．（12）在100002km 的海域中有402km 的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（） A.2511 B.2491 C.2501 D.2521第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. （13） ︒︒+︒︒313sin 253sin 223sin 163sin = . （14）研究新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在g ]3000,2700(的频率为 . （15）黑、白两种颜色的正六边形地面砖按下面的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖块.（16）若变量x 、y 满足约数条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥5231y x x y x ，则y x z +=2的最大值为 .三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）已知函数f (x )＝2sin(π－x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．俯视图（18）（本小题满分10分）已知ABC ∆中90ACB ∠=︒，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC .（19）（本小题满分10分）从甲、乙两个班级各随机抽取10名同学的数学成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如所示，成绩不小于90分为及格。

2013年辽宁省沈阳市中考摸底考试数学试卷

2013年辽宁省沈阳市中考摸底考试数学试卷2013年辽宁省沈阳市中考摸底考试数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，满分24分）．CD ．4．（3分）（2013•沈阳模拟）2012年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31，则下列表述错误的是 5．（3分）（2013•沈阳模拟）如图所示的“h ”型几何体的俯视图是（）．CD ．6．（3分）（2012•恩施州）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费7．（3分）（2011•齐齐哈尔）若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是反比例函数y=图象上的点，且x 1＜x 28．（3分）（2005•泰安）直角三角形纸片的两直角边AC 与BC 之比为3：4．（1）将△ABC 如图1那样折叠，使点C 落在AB 上，折痕为BD ；（2）将△ABD 如图2那样折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ．则tan ∠DEA 的值为（）．C D．二、填空题（每小题4分，满分32分）9．（4分）（2013•沈阳模拟）分解因式：4ax2﹣a=_________．10．（4分）（2013•沈阳模拟）若分式的值为0，则x的值为_________．11．（4分）（2011•青海）若点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3），则ab的值是_________．12．（4分）（2012•德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是_________．13．（4分）（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．14．（4分）（2013•沈阳模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是_________度．15．（4分）（2013•沈阳模拟）已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，则圆锥侧面展开图的面积是_________．16．（4分）（2013•沈阳模拟）用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到_________．三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分）17．（8分）（2013•沈阳模拟）先化简：，然后再取一个你喜爱的x的值代入求值．18．（8分）（2007•盐城）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？证明你的结论．19．（10分）（2011•扬州）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．（1）本次抽测的男生有_________人，抽测成绩的众数是_________；（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？四、（每小题10分，共20分）20．（10分）（2008•天门）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被均匀地分成3等分，每份分别标有1，2，3这三个数字；转盘B被均匀地分成4等分，每份分别标有4，5，6，7这四个数字．有人为小明，小飞设计了一个游戏，其规则如下：①同时自由转动转盘A和B；②转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字相乘，如果积为偶数，小明胜，否则小飞胜．（1）请你用列表或树形图求出小明胜和小飞胜的概率；（2）游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的规则．21．（10分）（2011•深圳）如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）五、（本题10分）22．（10分）（2012•遂宁）小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B 的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）六、（本题12分）23．（12分）（2013•沈阳模拟）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系式．根据题中所给信息解答以下问题：（1）甲、乙两地之间的距离为_________km；图中点C的实际意义为：_________；慢车的速度为_________，快车的速度为_________；（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围；（3）若在第一列快车与慢车相遇时，第二列车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同，请直接写出第二列快车出发多长时间，与慢车相距200km．七、（本题12分）24．（12分）（2013•沈阳模拟）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）八、（本题14分）25．（14分）（2013•沈阳模拟）如图，抛物线y=﹣x2﹣x+交x轴于A、B两点，交y轴于C点，顶点为D．（1）求点A、B、C的坐标；（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得四边形AEBC，求点E的坐标，并判四边形AEBC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由．2013年辽宁省沈阳市中考摸底考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，满分24分）．C D．4．（3分）（2013•沈阳模拟）2012年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31，则下列表述错误的是（）5．（3分）（2013•沈阳模拟）如图所示的“h”型几何体的俯视图是（）．C D．6．（3分）（2012•恩施州）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费元，根据公式≥是原不等式的解7．（3分）（2011•齐齐哈尔）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=图象上的点，且x1＜x2y=8．（3分）（2005•泰安）直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．（1）将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；（2）将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．则tan∠DEA的值为（）．C D．ABC=，根据轴对称的性质，可得ABC==；ABC=二、填空题（每小题4分，满分32分）9．（4分）（2013•沈阳模拟）分解因式：4ax2﹣a=a（2x+1）（2x﹣1）．10．（4分）（2013•沈阳模拟）若分式的值为0，则x的值为2．11．（4分）（2011•青海）若点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3），则ab的值是6．12．（4分）（2012•德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1．13．（4分）（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．∠14．（4分）（2013•沈阳模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是60度．中，15．（4分）（2013•沈阳模拟）已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，则圆锥侧面展开图的面积是4π．S=lr则圆锥侧面展开图的面积是：16．（4分）（2013•沈阳模拟）用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到．y=x，x．三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分）17．（8分）（2013•沈阳模拟）先化简：，然后再取一个你喜爱的x的值代入求值．•﹣，﹣18．（8分）（2007•盐城）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？证明你的结论．，19．（10分）（2011•扬州）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．（1）本次抽测的男生有50人，抽测成绩的众数是5次；（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？×=252四、（每小题10分，共20分）20．（10分）（2008•天门）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被均匀地分成3等分，每份分别标有1，2，3这三个数字；转盘B被均匀地分成4等分，每份分别标有4，5，6，7这四个数字．有人为小明，小飞设计了一个游戏，其规则如下：①同时自由转动转盘A和B；②转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字相乘，如果积为偶数，小明胜，否则小飞胜．（1）请你用列表或树形图求出小明胜和小飞胜的概率；（2）游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的规则．故小明胜的概率为，小飞胜的概率为．）∵21．（10分）（2011•深圳）如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）CE=2=12.54五、（本题10分）22．（10分）（2012•遂宁）小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B 的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）i==，×，BG=20六、（本题12分）23．（12分）（2013•沈阳模拟）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系式．根据题中所给信息解答以下问题：（1）甲、乙两地之间的距离为960km；图中点C的实际意义为：当慢车行驶6h时，快车到达乙地；慢车的速度为80km/h，快车的速度为160km/h；（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围；（3）若在第一列快车与慢车相遇时，第二列车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同，请直接写出第二列快车出发多长时间，与慢车相距200km．相遇，所用时间，则，七、（本题12分）24．（12分）（2013•沈阳模拟）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）中，中，八、（本题14分）25．（14分）（2013•沈阳模拟）如图，抛物线y=﹣x2﹣x+交x轴于A、B两点，交y轴于C点，顶点为D．（1）求点A、B、C的坐标；（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得四边形AEBC，求点E的坐标，并判四边形AEBC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由．，，x=0，，EF=，）F=22y=x+，，（﹣，参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；zxw；117173；lantin；lanyan；自由人；星期八；zhjh；zhqd；zcx；399462；冯延鹏；gbl210；sjzx；zhangCF；HJJ（排名不分先后）菁优网2014年3月16日。

【新结构】东北三省四市联考暨沈阳市2024届高三下学期数学质量检测(二)+答案解析

【新结构】东北三省四市联考暨沈阳市2024届高三下学期数学质量检测（二）❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.抛物线过点，则的准线方程为()A. B. C. D.3.已知向量，，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知，且，则()A. B. C. D.5.甲、乙、丙三人从事a，b，c三项工作，乙的年龄比从事c工作的人年龄大，丙的年龄与从事b工作的人的年龄不同，从事b工作的人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是()A.a，b，cB.c，a，bC.c，b，aD.b，c，a6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则()A. B. C. D.7.正方体中，P为正方形ABCD内一点不含边界，记O为正方形ABCD的中心，直线，，，与平面所成角分别为，，，若，，则点P 在()A.线段OA上B.线段OB上C.线段OC上D.线段OD上8.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则()A.函数的最大值为1B.函数的最小值为1C.函数的最大值为1D.函数的最小值为1二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设方程在复数范围内的两根分别为，，则下列关于，的说法正确的有()A. B. C. D.10.已知正四棱锥的所有棱长均相等，O为顶点S在底面内的射影，则下列说法正确的有()A.平面平面SBCB.侧面SBC内存在无穷多个点P，使得平面SADC.在正方形ABCD的边上存在点Q，使得直线SQ与底面所成角大小为D.动点M，N分别在棱AB和BC上不含端点，则二面角的范围是11.已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有()A.若，则数列单调递减B.若对任意，都有，则C.若，则对任意i，，都有D.若的最大项与最小项之和为正数，则，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

辽宁省沈阳市2024届高三三模数学答案

2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.B 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.C 8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. ACD 10.BCD 11.AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13. 314. 109 【部分题目解析】8．因为(21)f x -是偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =-轴对称，又因为(2)f x -是奇函数，则()f x 的图象关于点(2,0)中心对称，故函数()f x 具有周期性，且周期为4，则(7)(1)(1)1f f f =-=-=-．11．21()cos cos sin(2)62f x nx nx nx nx π=+=++，对于A ，当[0,]2x π∈时，72[,]666nx πππ+∈，1sin(2[,1]62nx π+∈-，min ()0f x =；对于B ，函数()f x 图象的对称中心的纵坐标应为12；对于C ，22[,]62636n n nx πππππ+∈++，解2226,232362n k k Z n k ππππππππ⎧+≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩得到214[,2][,5]33n ∈ ，所以1,2,5n =；对于D ，方程等价于1sin(2)64nx π+=，函数()sin(2)6g x nx π=+的图象和直线14y =的交点如图函数()g x 的最小正周期13||T A A =，设12||A A dT =，23||A A DT =，（其中1D d =-）因为10sin 46π<<，所以由下图可知112323d D <<<<，26364d D <<<<因为在区间00(,6x x π+内的解的个数[5,9]m ∈，所以区间长度6π应满足：(2)(4)6D T d T π+<+ ，由T nπ=，则(2)(4)6D d nnπππ+<+ ，化简得126246D n d +<+ ，所以[16,26]n ∈．正整数的n 值有11个．12．由2(4)44+⋅=⋅+=a b b a b b ，得2222|2|4442420+=+⋅+=⨯+=a b a a b b ，所以|2|+=a b 13．由题意11||||sin120||||sin 6022ABC ABD ACD S S S BD AD CD AD =+=⋅⋅︒+⋅⋅︒△△△，又||2||CD BD =，||1AD =，ABC S =△43BD =，在ABD △中，由余弦定理解，得22237||||||2||||cos1209AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒=，则3c =． 14．由题意得，2log ,2yp y q ==，2log 22024yy +=，设2()log 2xf x x =+，显然()f x 是增函数，从而y 是方程()2024f x =的唯一解，由101121024,22048==，且当[10,11]x ∈时，2log (3,4)x ∈可得102(10)log 102(1027,1028)f =+∈，112(11)log 112(2051,2052)f =+∈，从而y 应略小于11，需要判断y 与10.9的大小关系，先估算10.92的近似值。

2025届辽宁省沈阳市第31中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2025届辽宁省沈阳市第31中学高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．12．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．1633．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．4．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π6．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）7．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．158．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．23B ．13C ．43D ．569．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米10．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =11．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 12．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（）A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。