专题讲练：比例线段与黄金分割

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线段的比、黄金分割(培优训练)

线段的比、黄金分割知识要点◆要点1 线段的比(1) 线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。

(2) 成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段成比例线段，当b ＝c 时，有db b a =，称b 为a 与d 的比例中项。

(3) 比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离★说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。

◆要点2 比例的性质a . 比例的基本性质：()()0,02≠=⇔=≠=⇔=d c b a ac b cb b a dc b a bc ad d c b a 、、、、、、 b . 合比性质：（两边都加1或减1）dd c b b a d c b a ±=±⇒= c . 等比性质：如果()0≠+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 。

◆要点3 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC (AC ＞BC)，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈-618.0215。

★说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。

黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2) 一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若AB ＝1，.253,215-=-=BC AC 则(3)作一条线段的黄金分割点一般有两种方法，如右图XS —01、XS —02：易错易混点 (1)求线段的比时，忽视了单位的统一；(2) 不按顺序写成比例线段；运用等比性质时，忽略了成立的条件；(3) 没有理解黄金分割的定义；XS —02 XS —01例☆ 已知：k zy x y z x x z y =+=+=+，求k 的值。

初三数学黄金分割练习题讲解

初三数学黄金分割练习题讲解黄金分割是一个数学概念，指的是将一段线段分割成两部分，使得整段线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比。

这个比例约等于1:0.618，是一个重要的数值比例。

在数学和美学中，黄金分割被广泛运用，因为人们普遍认为这种比例具有美感和谐的特点。

下面我将为大家讲解一些初三数学黄金分割的练习题。

练习题1：已知一段线段AB的长度为10cm，要求将其分割成两部分，使得整段线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比，请问较长部分的长度是多少？解答：设较短部分的长度为x，则较长部分的长度为10-x。

根据黄金分割的概念，我们可以建立等式：(10-x)/x = x/(10-x)通过交叉相乘得到：(10-x)^2 = x^2展开得到：100 - 20x + x^2 = x^2化简得到：20x = 100解得：x = 5所以，较长部分的长度为10-5=5cm。

练习题2：已知一段线段CD的长度为15cm，要求将其分割成两部分，使得整段线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比，请问较长部分的长度是多少？解答：设较短部分的长度为y，则较长部分的长度为15-y。

根据黄金分割的概念，我们可以建立等式：(15-y)/y = y/(15-y)通过交叉相乘得到：(15-y)^2 = y^2展开得到：225 - 30y + y^2 = y^2化简得到：30y = 225解得：y = 7.5所以，较长部分的长度为15-7.5=7.5cm。

通过以上两个练习题的讲解，我们可以看到，无论线段的长度为多少，使用黄金分割的原理进行计算都是相同的。

只需要根据已知条件设定变量，建立等式，通过方程求解，就能得到具体的结果。

黄金分割在数学中的应用不仅仅局限于线段的分割，还可以应用于图形的构造、比例的计算等等。

在几何学和美学中，黄金分割的比例被广泛运用，因为人们普遍认为这种比例具有最为美感和谐的特点。

例如，许多艺术品、建筑设计和摄影作品都遵循黄金分割的比例，以达到更好的视觉效果和审美体验。

成比例的线段黄金分割(复习整理)

成比例的线段黄金分割一、梳理知识1、线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段的比叫做这两条线段的比。

2、比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的等于另外两条线段的，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b=c ：d 中，a 、d 叫做比例的，b 、c 叫做比例的，称d 为a 、b 、c 的 . 3、比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b =c ∶d ，那么，特别地，若a ∶b=b ∶c ，即，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若dcb a =，则 . (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且，则 .4、黄金分割(1)黄金分割的意义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的，AC 与AB 的比叫做 .二、典例解析例1 （1）已知线段a=2，b=3，c=5时，若a ，b ，c ，d 四条线段成比例，则d=_______．（2）已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .（3）在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米. 例2 比例的性质（1）若2a=3b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是________．（2）在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：4，则AP ：AB=_____，AB ：PB=_______．（3）若5：2=（3-x ）：x ，则x=_______ 【仿练】1．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________． 2．已知（a-b ）：b=2：3，则a ：b=_______．3．在比例尺为1：2 700 000的海南地图上量得海口与三亚间的距离约为8cm ，则海口与三亚两城间的实际距离为________km例3 已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=3：5，求AB ：PB 的值．【仿练】若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB =10，23==BQ ΑQ BP AP ，求线段PQ 的长．例4 (1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zyx +的值； ②若x +y +z =6，求x 、y 、z .【仿练】已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________．(2)已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值．【仿练】如果k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，试求k 的值．(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ac b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且a b c a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.【仿练】已知实数a ,b ,c 满足cb a b ac a c b +=+=+,求a cb +的值.例5 如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.三、课堂练习1、如果53=-b b a ,那么b a =________.2、若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________.3、若753z y x ==,则zy x z y x -++-=________. 4、已知dcb c=,则下列式子中正确的是（） A.a ∶b =c 2∶d 2 B.a ∶d =c ∶bC.a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D.a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）5、如图，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2,其斜边长为 45 cm ，那么这个三角形的面积是________cm 2.（）A.32B.16C.8D.46、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是（）A.14B.42C.7D.3147、如图，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是________.cm.（）A.72.8B.51C.36.4D.288、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a =16 cm ，b =8 cm ，c =5 cm ，d =10 cm ；（2）a =8 cm ，b =5 cm ，c =6 cm ，d =10 cm ． 9、若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21，试求a ∶b ∶c ．10、已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？四、课后作业1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C.2∶3D.1∶32.下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =13.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 4.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a = B.c cb d d a +=+ C.cd ba =22D.da cd ab = 5.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 6.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________. 7.正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________. 8.若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________. 9.若53=-b b a ，则b a =________.10.若AEACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________. 11.已知342=+x y x ，求yx.12.以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图。

初二下第7讲-比例线段、黄金分割

第7讲：相似形（一）专题一比例线段一、知识梳理1、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

求线段的比例时要把两条线段化为（注两条线段的比没有单位），并要注意其；成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，若，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，如果a ∶b=c ∶d （或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。

2、比例线段的性质：（1）比例的基本性质：如果 b a = d c ，那么。

若b a = c b，即 __，则称ｂ是ａ,ｃ的（2）比例的更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =。

（3）比例的反比性质：如果d c b a =，那么cda b =。

（4）比例的合、分比性质：如果 b a = d c，那么。

（5）、比例的等比性质：如果 b a = d c …=nm（b+d+…+n ≠0），那么。

二、重难点高效突破线段的比与成比例线段例1、线段a=5cm,b=0.3m.则ba=____ 例2、已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否是成比例线段。

（1） a =8，b=4，c=2.5，d=5；（２）a=16，b=0.1，c=1.2 d=20；例3、已知1，5，5三个数，再添一个数，使之能与已知的三个数组成比例式，这个数应该是_____例4、AB 两地相距320km ，那么在比例尺1∶20,000,000的地图上，它们相距________cm.例5、小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m ，同时又测得一棵树的影长为3.6m ，这棵树的高度为___________.例6.（1）已知;,3d d c b b a d c b a ++==和求（2）如果成立吗？为什么？那么为常数）ddc b b a k kd c b a +=+==,(（3）已知线段a=2,b=3,c=7,d 是a 、b 、c 的第四比例项，则d=_________。

专题01 比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略(原卷版)

专题01 比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一比例线段的识别】 (1)【考点二比例线段的计算】 (2)【考点三黄金分割点的定义】 (2)【考点四黄金分割点的应用】 (3)【考点五黄金分割点的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一比例线段的识别】【例题1】若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．D ．【变式1】已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（）．A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72+= 【变式2】由5a=6b （a≠0），可得比例式（）A ．B ．C ．D ．【考点二比例线段的计算】【例题2】设，求的值．432z y x ==2222232z xy x z yz x --+-【变式1】若=，则=（）.A. B. C. D. 无法确定【变式2】已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【变式3【考点三黄金分割点的定义】【例题3】已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）.A. B. C. D.【变式1】已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长为__________cm；【变式2】已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B.C. 或D.以上都不对【考点四黄金分割点的应用】【例题4】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【变式1】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.【变式2△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．【考点五黄金分割点的拓展提高】【例题5】是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【变式1】如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【变式2道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC ，那么EFDC 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．BC AB 215-【变式3】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【过关检测】一．选择题1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( ).A ．3 kmB ．30 kmC ．300 kmD ．3 000 km2.已知线段满足把它改写成比例式，其中错误的是（）.A. B. C.D. 3. （2014•牡丹江）若x ：y=1：3，2y=3z ，则的值是（）. 4.如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示a 、b 、c 、d =ab cd ::b c d a =::a b c d =::c b a d =::a c d b =长为AB 、宽为PB 的矩形的面积，那么S 1（）S 2．A.>B.=C.<D.无法确定6. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二. 填空题8.线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，且满足=，那么AP的长为 cm ．，（填写一个即可）．10.已知若若5x -4y=0,则x:y=________. -3=,=____;4x y x y y则三．综合题13.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC ，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B 的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD 的长；③在直线AB 或BC 上是否存在点P （点A 、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P ，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++y kx m =+15. 如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）。

专题27.13 黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练

专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．12-B．9-C．4D．42．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA B1C．3D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．3B1C．1D．34．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A1B C35D．325．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么AC AB =D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（）A ．2020⎝⎭B ．2021⎝⎭C ．2020⎝⎭D ．2021⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点其中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯” 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．18．已知线段4AB=，点P是线段AB的黄金分割点（AP BP>），那么线段AP=______.（结果保留根号）19．已知线段AB长为2cm，P是AB的黄金分割点，则较长线段PA＝___；PB＝______．200.61803398=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是．21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．三、解答题23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(√5﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为（填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ．求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：△P为AB的黄金分割点（AP＞PB），△AP AB，△AB的长度为8cm，△AP×8=4（cm），△BP=AB-AP=8-（4）=12-故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．2．C【分析】利用黄金分割比的定义即可求解.【详解】由黄金分割比的定义可知BC AB===21△21)3=-=-=AC AB BC故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.3．A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解: 较短的线段长=2⨯(1=2故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值是解题的关键.4．A【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP=，代入数据即可得出AP的长度．>得出AP AB【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则21==．ABAP=故选：A．35，2．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项．【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么AC AB =D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误；故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线叫做黄金比进行解答即可．【详解】解：根据黄金比的比值，1BP =则11AP ==2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段20202020AP =⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确，故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．12 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 计算即可．【详解】当PM ＞PN 时，，．是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，△AC:AB≈0.618，△AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．米【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分叫做黄金比．【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯米.是解的关键．15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解： 2.236≈，≈2.23612-≈0.62，故答案为：0.62．【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．161【解析】21AC==17．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．18．2【分析】计算即可.【详解】解：△点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）△AP2AB==故答案为：2.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)1cm (3cm【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段AB，则PB=AB-352AB，然后把AB=2cm代入计算即可．【详解】解：△P是AB的黄金分割点，△较长线段AB，△PB=AB-352AB，而AB=2cm，△PA=)1cm，PB=(3cm．故答案为：)1cm；(3cm．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分倍．20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．5【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC AB，代入数据即可得出AC的值．【详解】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝＝5．故答案为：5．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．22．5【解析】△P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB，△AB=10cm，△AP=105=.故答案为5．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。

黄金分割(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题4.4 黄金分割（知识讲解）【学习目标】1、理解黄金分割的概念；2、会找一条线段的黄金分割点；3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。

【要点梳理】要点一：黄金分割的定义：点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.特别说明：51AC AB -=≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点二：作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.特别说明：一条线段的黄金分割点有两个.要点三：黄金三角形和黄金矩形黄金三角形有2种:1、等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°;这种三角形既美观又标准。

这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比:； 2、等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°;这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比:黄金矩形:黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边为长边的 0.618倍。

黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。

在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子。

达芬奇的脸符合黄金矩形，同样也应用了该比例布局。

512512512【典型例题】类型一、黄金分割的作法1．作出线段AB 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）【分析】作法：（1）延长线段AB 至F ，使AB BF =，分别以A 、F 为圆心，以大于等于线段AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G ，连接BG ，则BG AB ⊥，在BG 上取点D ，使2ABBD =；（2）连接AD ，在AD 上截取DE DB =．（3）在AB 上截取AC AE =．点C 就是线段AB 的黄金分割点．解：如图，点C 即为所求．【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．【变式1】黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB 是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB 上找到黄金分割点，安装视频播放器．（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）；（2）请证明你找到的点是黄金分割点．【分析】（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；（2）设BC=a ，则AB=2a ，，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可解决问题．解：（1）如图：点E 即为所求；（2）设BC=a ，则AB=2a ，， ∴CD=BC=a ，-a ，∴22226)AE a a =-=-，222(2)6AB BE a a a a ⋅=⋅+=-， ∴2AE BE AB =⋅，∴点E 是线段AB 的黄金分割点．【点拨】此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．【变式2】回顾：“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，通．的矩形叫做“黄金矩形” ．若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD 剪出一个以AB 为边的“黄金矩形ABEF ”，请在BC 边上作出这个黄金矩形的顶点E ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚．）【分析】此题主要是确定矩形的长边，根据黄金比，只需要保证较短的边是较长的边倍即可，这里可以熟练的运用勾股定理进行分析．解：第一步，用圆规作出BC的中点H，则由题意可知112BH BC==，第二步，连接AH，以H为圆心，以BH为半径画弧交AH于O，由勾股定理知AH OH=HB所以AO=AH-OH1，第三步，以A为圆心，以AO为半径画弧交AD于F，过F点作FE∴BC交BC于E，∴AF=AO1，∴AFAB=故矩形ABEF即为所求．【点拨】本题考查了作图-应用与设计，矩形的性质，正方形的性质等知识，此题主要类型二、由黄金分割点求值2．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；（2）如图，C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，AB ＝4，求AC 的长．【答案】（1）3c =±；（2）2 【分析】（1）由c 是a ，b 的比例中项，可得29c ab ==，由此求解即可；（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．解：（1）∴a ＝4.5，b ＝2，c 是a ，b 的比例中项，∴29c ab ==， ∴3c =±；（2）∴C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴2AC AB ==．【点拨】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．【变式1】如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM DM ，的长；（2）点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）AM 1，DM =32）是，理由见分析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =，则1AM AF =，3DM AD AM =-=（2）根据（1）中的数据得：AM AD =M 是AD 的黄金分割点．解：（1）在Rt APD 中，1AP =，2AD =，由勾股定理知PD1AM AF PF AP PD AP ∴==-=-，3DM AD AM =-=故AM 1，DM 的长为3 （2）点M 是AD 的黄金分割点．由于AMAD= ∴点M 是AD 的黄金分割点．【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【变式2】如图，设线段AC ＝1.（1）过点C 画CD∴AC ，使CD 12＝AC ；连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）作图见分析；（2）是，理由见分析【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）设AC ＝1，则DE ＝DC 12＝，利用勾股定理得到AD AE则AB B 是线段AC 的黄金分割点．解：（1）如图，点B 为所作；（2）点B 是线段AC 的黄金分割点．理由如下：设AC ＝1，则CD 12＝，∴DE ＝DC 12＝，=∴AE ＝AD ﹣DE 12，∴ABBC ，BC AB =21AB AC =＝即BC ABAB AC＝， ∴点B 是线段AC 的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键类型三、证明黄金分割点3．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN=352，求证：点A 是MN的黄金分割点【分析】首先得出AM 的长，进而得出2AM AN MN =求出即可．证明：作下图：线段1MN =，在MN 上有一点A ，AN ， 1AM ∴== 22AM ∴= 2AM AN MN ∴=，∴点A 是MN 的黄金分割点．【点拨】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据已知得出2AM AN MN =．【变式1】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF ＝EB ．类似的，在AB 上折出点M 使AM ＝AF ．则M 是AB 的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【答案】是，证明见分析【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．解：M是AB的黄金分割点，理由如下：∴正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE∴EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=1，∴AM＝AF=1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫）叫做黄金比．【变式2】阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．=的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB(1)求黄金矩形ABCD 中BC 边的长；(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论．【答案】是黄金矩形，见分析【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可．（2）求得CD ，EC =BC -AB EC DC =即可．解：(1)∴ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD 的宽AB =∴AB BC ==，∴BC == (2)矩形DCEF 是黄金矩形．理由如下：∴ 黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，∴CD =AB =，EC =BC -AB∴EC DC=，故矩形DCEF 是黄金矩形．【点拨】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键．类型四、黄金分割点的应用4．梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，G 1和G 2分别为三角形AOB 和三角形COD 的重心．（1）求证：G 1G 2//AD ；（2）延长AG 1交BC 于点P ，当P 为BC 的黄金分割点时，求ADBC的值．【答案】（1）证明见分析；（2）AD BC 【分析】（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．易得EF 为AOD △的中位线，故EF//AD ，根据重心的性质可得12121=2EG FG BG CG =，即EF //12G G ，即可得证；（2）根据点P为黄金分割点，可得PC BC 解：（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．因为1G 、2G 为三角形AOB 和三角形COD 的重心，所以点E 、F 为AO 、DO 的中点，所以EF 为AOD △的中位线，所以EF//AD ，又因为12121=2EG FG BG CG =，所以EF //12G G ，所以12G G //AD ．（2）因为点P 为黄金分割点，所以PC BC 又因为RQ 是中位线，所以RQ//BC ，12RQ BC =，因为AD//PQ ，所以1=2PQ DQ RO BO AD OA OD DO ==，所以AD BC 【点拨】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键．【变式1】如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm ．（结果保留根号）【答案】88##88+885【分析】根据黄金分割的黄金数得腰节到脚尖的距离：脚尖到头顶距离即可解答．解：设腰节到脚尖的距离为x cm ，根据题意，得：176x =，解得：88x =，∴腰节到脚尖的距离为（88）cm ，故答案为：88．=较长线段：全线段是解答的关键．【变式2】（1）数学活动一的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图∴的方法折出一个正方形ABCD ，然后把纸片展平；第二步，如图∴，把这个正方形ABCD 对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；第三步，如图∴，折出内侧矩形EFBC 的对角线CF ，并把CF 折到图中所示FN 处；第四步，如图∴，展平纸片，按照点N 折出NM ，得到矩形BNMC ．若2AD =，请证明矩形BNMC 是黄金矩形．（2）数学活动二如图∴，点C 在线段AB 上，且满足::AC BC BC AB =，即2BC AC AB =⋅，此时，我们说点C 是线段AB 的黄金分割点，且通过计算可得BC AB =．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图∴，折出右侧矩形EFBC 的对角线EB ，把AB 边沿BG 折叠，使得A 点落在对角线BE 上的K 点处，若2AD =，请通过计算说明G 点是AD 的黄金分割点．【答案】（1）证明见分析，（2）证明见分析【分析】（1）由正方形ABCD 的边长为2，根据折叠可知FB ，由勾股定理可得FC ，易得出BN 的值，再求BN ：BC 的值即可判断；（2）如图，连接,GE 设,AG x 则,2,GK x GD x 再利用轴对称的性质与勾股定理求解52,KE 再利用勾股定理建立方程求解x ，从而可得答案．证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD 是正方形，由正方形边长为2，根据第二步可知，1,FB在∴FCB 中，根据勾股定理，得22215,FC 根据第三步可知，5,FCFN ∴51,BN∴ 51.2BNBC ∴矩形BNMC 是黄金矩形．（2）如图，连接,GE 正方形的边长2,AD由对折可得：1,2,,90,AFBF CE DE BA BK AG GK A GKB 22215,52,90,BE EK GKE设,AG x,2,GK x GD x所以由勾股定理可得：22222152,x x解得：1,x = 51,2AGAD 所以G 点是AD 的黄金分割点．【点拨】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．。

4.1 比例线段第3课时比例中项与黄金分割练习题 2021—2022学年浙教版九年级数学上

第3课时比例中项与黄金分割【基础练习】知识点1比例中项1.如果a︰b=3︰2,且b是a,c的比例中项,那么b︰c等于()A.4 3B.3 4C.2 3D.3 22.如果a=3,b=2,且b是a,c的比例中项,那么c=.3.已知三个数a,b,c,其中a=1,b=4,c是a,b的比例中项,则c=.4.已知线段a=2 cm,b=8 cm,它们的比例中项c为cm.知识点2黄金分割5.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下面的等式成立的是()A.AB2=AC·BCB.BC2=AC·ABC.AC2=BC·ABD.AC2=2AB·BC6.图5是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中脸部被围在矩形ABCD内,点F 是AB的黄金分割点,BF>AF,若AB=10,则BF的长为.图57.已知点E是线段AB的黄金分割点,且BE>AE,若AB=2,则AE=.【能力提升】8.已知线段AB及AB上一点P,再添加一个条件,使P为AB的黄金分割点,其中错误的是()A.AP=√5-12AB B.PB=3-√52AB C.APPB=√5-12D.ABAP=√5-129.如果三条线段的长a,b,c满足ba =cb=√5-12,那么a,b,c叫做“黄金线段组”.黄金线段组中的三条线段()A.必构成锐角三角形B.必构成直角三角形C.必构成钝角三角形D.不能构成三角形10.如图6,已知P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,若S1表示以P A为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1S2(填“>”“=”或“<”).图611.已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边长与腰长的比值为黄金分割比).如图7,△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,已知AB=1,求CE的长度.图712.如图8,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B',因而EB'=EB.类似地,在AB上折出点B″,使AB″=AB'.这时点B″就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论.图8答案1.D [解析] ∵a ∶b=3∶2,b 是a ,c 的比例中项,∴a ∶b=b ∶c ,∴b ∶c=3∶2. 2.433.±2 [解析] 根据比例中项的概念,得c 2=a ×b=4×1,解得c=±2.4.4 [解析] 根据比例中项的概念得c 2=ab ,则c 2=2×8,解得c=±4. ∵线段长是正数,∴c=4 cm .5.C6.5√5-5 [解析] ∵点F 是AB 的黄金分割点,BF>AF , ∴BF=√5-12AB=√5-12×10=5√5-5. 7.3-√5 [解析] ∵E 是线段AB 的黄金分割点,且BE>AE , ∴BE AB =√5-12,则BE=√5-12AB=√5-12×2=√5-1,故AE=AB -BE=3-√5.8.D9.D [解析] ∵ba =cb =√5-12, ∴b=√5-12a ,c=√5-12b=3-√52a , ∴b+c=√5-12a+3-√52a=a , ∴长为a ,b ,c 的三条线段不能构成三角形. 故选D .10.= [解析] ∵P 是线段AB 的黄金分割点,且P A>PB ,∴P A 2=PB ·AB.又∵S 1表示以P A 为一边的正方形的面积,S 2表示长是AB ,宽是PB 的矩形的面积, ∴S 1=P A 2,S 2=PB ·AB ,∴S 1=S 2.11.解:∵△ABC ,△BDC ,△DEC 都是黄金三角形, ∴DE=CD ,BC AB =√5-12,CD BC=√5-12,CE CD =√5-12. ∵AB=1, ∴BC=√5-12AB=√5-12, ∴CD=√5-12BC=√5-122=3-√52, ∴CE=√5-12CD=√5-12×3-√52=√5-2.12.证明:设正方形ABCD的边长为2.∵E为BC的中点,∴BE=1,∴AE=√AB2+BE2=√5.又∵B'E=BE=1,∴AB'=AE-B'E=√5-1,∴AB″=AB'=√5-1,∴AB″∶AB=(√5-1)∶2,∴点B″是线段AB的黄金分割点.。

比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略(解析版)

比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略【考点导航】1.目录【典型例题】1【考点一比例线段的识别】【考点二比例线段的计算】【考点三黄金分割点的定义】【考点四黄金分割点的应用】【考点五黄金分割点的拓展提高】【过关检测】4【典型例题】【考点一比例线段的识别】1【若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是( )A.2a=3bB.3a=2bC.ba =23D.a-bb=13【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【详解】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、ba =23⇒b：a=2：3，故选项错误；D、a-bb =13⇒a：b=3：2，故选项错误．故选B．【点睛】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．1.已知ab=52，那么下列等式中，不一定正确的是( )．A.2a=5bB.a5=b2C.a+b=7D.a+bb=72【答案】C．2.由5a=6b(a≠0)，可得比例式()A.b6 =5aB.b5 =6aC.ab =56D.a-bb=15【答案】D .【解析】A 、b 6 =5a⇒ab =30，故选项错误；B 、b 5 =6a ⇒ab =30，故选项错误；C 、a b =56⇒6a =5b ，故选项错误；D 、a -b b=15⇒5(a -b )=b ，即5a =6b ，故选项正确．故选D ．【考点二比例线段的计算】1设x 2=y 3=z4，求2x 2-3yz +z 2x 2-2xy -z 2的值．【分析】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简．【详解】设x 2=y 3=z4=k则x =2k ，y =3k ，z =4k 原式=2×2k 2-3×3k ×4k +4k 22k 2-2×2k ×3k -4k2=-12k 2-24k 2=12【点睛】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．1.若x -y 13=y 7，则x +yy=( ).A.137B .207C . 277D . 无法确定【答案】C .2.已知x 2=y 3=z4，(1)求x -2y z 的值；(2)如果x +3=y -z ，求x 的值．(1)令x 2=y 3=z4=k ，则x =2k ，y =3k ，z =4k ，再代入代数式进行计算即可；(2)把x =2k ，y =3k ，z =4k 代入x +3=y -z ，求出k 的值即可．【解析】解：(1)∵x 2=y 3=z4，∴令x 2=y 3=z4=k ，则x =2k ，y =3k ，z =4k ，∴x -2y z =2k -6k 4k =-4k 4k=-1；(2)∵x =2k ，y =3k ，z =4k ，x +3=y -z ，∴x +3=(y -z )2，即2k +3=(3k -4k )2，解得k =-1或k =3(舍去)，∴x =-2．【点睛】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x =2k ，y =3k ，z =4k 是解答此题的关键．举一反三：3.已知：a b +c =b a +c =ca +b=k ．求k 值．【答案】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.【答案与解析】①当a+b+c=0时，b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，∴k为其中任何一个比值，即k=a-a=-1;②a+b+c≠0时，k=a+b+cb+c+c+a+a+b =a+b+c2(a+b+c)=12．∴k=-1或12.【点睛】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．【考点三黄金分割点的定义】1已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP>PB)，则PB：AB的值为( ).A.5-12B.3-52C.1+52D.3-54【答案】B.【详解】根据题意得AP=5-12AB，所以PB=AB-AP=3-52AB，所以PB：AB=3-5 2．1.已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC<BC，求AC长为cm；【答案】根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-5 2倍，可得AC=10×3-52，计算即可；【解析】∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC<BC，∴AC=10×3-52=15-55(cm)；【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-52倍，较长的线段=原线段的5-12倍．2.已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为()A.5-12B. 3-52C.5-12或3-52D. 以上都不对【答案】C.【解析】∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC>BC，∴AC=5-12AB=5-12；当AC<BC，∴BC=5-12AB=5-12，∴AC=AB-BC=1-5-12=3-52．【考点四黄金分割点的应用】2美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ).A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【答案】C.【详解】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．1.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为cm(结果精确到0.1cm).【答案】6.2或3.8【解析】由题意知AC：AB=BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)或AC=10-6.2=3.8．故答案为：6.2或3.8．2.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形(底与腰的比为5-12的三角形是黄金三角形)，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=．【答案】6-25．【解析】根据题意可知，BC=5-12AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可证DE=DC，∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-5-12AB=6-25．故答案为：6-25．【考点五黄金分割点的拓展提高】3是黄金矩形(即ABBC=5-12≈0.618)，如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？【分析】(1)矩形的宽与长之比值为5-12，则这种矩形叫做黄金矩形．(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AEAB =5-12即可．【答案与详解】矩形ABFE是黄金矩形．理由如下：因为AEAB=AD-EDAB=ADAB-EDAB=25-1-1=25+15-15+1-1=5+12-1=5-12所以矩形ABFE也是黄金矩形．【点睛】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.1.如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为( ).A.144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，根据题意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×38=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式.2.图1是一张宽与长之比为5-12：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．矩形EFDC是黄金矩形，【解析】证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵ABAD=5-12，∴AF AD =5-12，即点F是线段AD的黄金分割点．∴FD AF =AFAD=5-12，∴FD DC =5-12，3.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】(1)∵正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，∴AD=AB=2，AP=1，∠BAD=90°，∴PD=AP2+AD2=5。

教学课件：第3课时-比例的性质与黄金分割

教学课件：第3课时-比例的性质与黄金分割
• 比例的性质 • 黄金分割 • 比例与黄金分割的关系 • 比例的性质与黄金分割在生活中的应
用 • 总结与回顾
01
比例的性质
比例的定义
01
比例是指两个比值相等的关系，表示为a:b=c:d，其中a、b、c、d为实数。
02
比例可以用来描述两个数量之间的关系，反映它们之间的相对大小和变化规律。
黄金分割的美学价值
黄金分割被广泛用于艺术和设计领域，因为它能创造出和谐、平衡和美感。通过深入了解黄金分割的原理和应用，我们可以更好地欣赏和理解艺术作品。
下课时预告
• 下课时我们将继续学习比例的其它应用，包括如何利用比例解决实际问题、如何利用比例的性质进行计算等。同时，我们还将探索比例与几何图形之间的关系，了解如何利用比例绘制图形。在下课时，我们将进行课堂练习和小组讨论，巩固所学知识并加深对比例性质的理解。
比例的应用
通过实例和练习，我们学会了如何运用比例的性质解决实际问题，如计算比例尺、比较大小等。
对比例的性质与黄金分割的进一步思考
比例的性质在实际生活中的应用
除了数学领域，比例的性质在很多其他领域也有广泛的应用。例如，在物理学中，速度、加速度和力的关系可以用比例来表示；在化学中，物质的浓度和反应速率也可以用比例来描述。
雕塑中的比例
雕塑家通过比例关系来塑造出具有美感的作品，如人体的比例、动物的比例等。
音乐创作中的应用
音乐中的节奏与比例
作曲家通过运用节奏和比例关系来创作出和谐的音乐，如音符的长度、强弱和音高的比例等。
和声中的比例
和声是音乐中音符之间的相互关系，作曲家通过运用比例关系来创造出和谐的和声。

比例线段与黄金分割典型例题讲解与练习

⽐例线段与黄⾦分割典型例题讲解与练习个性化辅导讲义（2012 ~ 2013 学年第 1 学期）任教科⽬：数学授课题⽬：相似图形1年级：⼋年级任课教师:教导主任签名：__________⽇期：2013、4、28⼀．知识的回顾⽐例定义：表⽰两个⽐相等的式⼦叫⽐例.1、如果a与b的⽐值和c与d的⽐值相等，那么a c=b d或a∶b=c∶d,这时组成⽐例的四个数a,b,c,d叫做⽐例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项. 2、如果选⽤同⼀个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的⽐AB∶CD=m∶n，或写成AB m=CD n，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段⽐的前项和后项.3、如果把mn表⽰成⽐值k，则AB=CDk或AB=k?CD.4、四条线段a,b,c,d中，如果a与b的⽐等于c与d的⽐，即a c=b d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成⽐例线段，简称⽐例线段.5、黄⾦分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC BC那么称线段AB被点C黄⾦分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄⾦分割点，AC与AB的⽐叫做黄⾦⽐.其中AC∶AB≈0.618.6、引理：平⾏于三⾓形的⼀边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三⾓形的三边与原三⾓形三边对应成⽐例.相似三⾓形：三⾓对应相等，三边对应成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形.相似多边形：各⾓对应相等、各边对应成⽐例的两个多边形叫做相似多边形。

相似⽐：相似多边形对应边的⽐叫做相似⽐.⼆、⽐例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么a c=b d。

如果a c=b d（b,d都不为0），那么ad=bc.2、合⽐性质：如果a c=b d,那么a b c b=b d±±。

3、等⽐性质：如果a c m==b d n（b+d++n≠0），那么a+b+=b+d+bm an4、更⽐性质：若a c=b d，那么a b=c d。

培优专题训练五比例线段与黄金分割

培优专题训练五比例线段与黄金分割【知识要点】1．把ba 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。

2．bc ad d c b a dc b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。

3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad dc b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则点P 是线段AB 的黄金分割点； 7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。

【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a=2，b=3，c=2，d=3 B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=5，c=23，d=15D.a=2，b=3，c=4，d=1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d=c ∶bB.a ∶b=c ∶dC.d ∶a=b ∶cD.a ∶c=d ∶b例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为。

例4. 若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（） A. a ∶b=c 2∶d 2 B. a ∶d=c ∶bC. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

第01讲比例线段(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第01讲比例线段1.掌握线段成比例条件及运用；2.能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；3.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容；4.了解比例线段的概念和黄金分割的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；5.知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.知识点1 比例线段1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成a mb n=． 2．成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（2）若a :b=b :c ，则2b =ac （b 称为a 、c 的比例中项）．知识点2 黄金分割比1.黄金分割的定义：点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 注意：512AC AB =≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：512如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.注意：一条线段的黄金分割点有两个.知识点3 平行线分线段成比例类型1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言：,BD FDAC EC ==如图一：直线AB//CD//EF,直线AE 、BF 分别交AB 、CD 、EF 于A 、B 、C 、D 、E 、F.若则图一拓展：1）.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；1212=,BD FD=如图一：直线AB//CD//EF,直线AE 、BF 分别交AB 、CD 、EF 于A 、B 、C 、D 、E 、F.且AB 、CD 、EF 距离为d 、d 若d d 则AC=EC, 2）.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； ∆如图二：在ABC 中，D 为AB 中点，DE//BC 交AC 于点F ，则AE=CE 。

比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割【知识要点】 1．线段的比（（1）定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数（2）比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离2．比例线段的概念定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

比例线段，简称比例线段。

注意：①四条线段注意：①四条线段d c b a ,,,成比例，记作d c b a ::=②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来3．比例的性质①比例的基本性质：d b bd ad d c b a ,(=Û=都不为0）②更比性质：ïïïîïïïíì===Þ=a bc d ac bd d bc ad c b a ③反比性质：cd a b d c b a =Þ= ④合比性质：ïïîïïíì-=-+=+Þ=d d c b b a d d c b b a d c b a ⑤ 等比性质：如果()0¹+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 4. 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC AC、、BC (AC BC (AC＞＞BC)BC)，若，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，黄金分割，C C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比÷÷øöççèæ»-618.0215。

苏教版九年级下册数学[比例线段及黄金分割(基础) 知识点整理及重点题型梳理](1)

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习比例线段及黄金分割（基础）知识讲解【学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【 394495 图形的相似预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc=.（2）合比性质：如果++ ==.a c abc db d b d，那么如果--==.a c abc db d b d，那么要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点诠释：AC AB=≈叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1. （2016•兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．D ．【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B ．【解析】A 、2a=3b ⇒a ：b=3：2，故选项错误；B 、3a=2b ⇒a ：b=2：3，故选项正确；C 、=⇒b ：a=2：3，故选项错误；D 、=⇒a ：b=3：2，故选项错误．故选B ．【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．举一反三：【变式】（2015•崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（）．A ．2a=5b B.a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72+= 【答案】C ．2. 设432z y x ==，求2222232zxy x z yz x --+-的值．【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简．【答案与解析】设432z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -⨯⨯-+⨯⨯-⨯＝222412k k --＝21 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型二、黄金分割3. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

黄金分割(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.14 黄金分割（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C 将线段AB 分成AC 、CB 两部分，且AC ＞BC ，如果AB AC AC CB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．若C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2，则分割后较短线段长为（）A 51B ．35C ．253D 522．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB 为339米，观光区P 为塔AB 的黄金分割点(AP ＞PB)，那么AP 的高度大约为（）米．A ．200B ．210C ．300D ．1303．点C 是线段AB 的黄金分割点，且6AB cm =，则BC 的长为（）A ．()353cmB ．(935cm -C ．()353cm 或(935cm -D ．(935cm -或()656cm 4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，则:AP PB 的值为（）A 51-B 51+C ．0.618D 515．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点(且AP 1＜BP 1，即P 1B 2＝AP 1•AB )，点P 2是线段AP 1的黄金分割点(AP 2＜P 1P 2)，点P 3是线段AP 2的黄金分割点(AP 3＜P 2P 3)，…，依此类推，则线段AP 2017的长度是( )A ．(3−√52)2017B ．(√5−12)2017C ．(12)2017D ．(√5﹣2)1008 6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足51MG GN MN MG -==51-这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 的面积为（）A ．105-B ．355C 525-D ．2085-7．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d=； ①如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；①如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ①如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，且2AB =，则51AC =．其中正确的判断有（）A ．①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①8．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设AB 是已知线段，经过点B 做BD ①AB ，使12BD AB =；连接DA ，在DA 上取DE ＝DB ，在AB 上截取AC ＝AE ．点C 即为线段AB 的黄金分割点，若BD ＝2，则BC 的长为（）A 51-B ．65-C 51-D ．52951-510.618-≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm二、填空题 10．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是______cm ．1151-这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设51a -=，51b +=则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____．12．点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，若5BP =，则AP =__．13．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（AP 1<BP 1），点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2<P 1P 2），点P 3是线段AP 2的黄金分割点（AP 3<P 2P 3），…，依次类推，则AP n 的长度是______．14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．15．已知线段=AB 6，点c 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >．那么AC BC -=________． 16．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D 、E 是①ABC 中边BC 的两个“黄金分割”点，则①ADE 与①ABC 的面积之比是_____．17．若线段5AB cm =，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，则55________AC =．（判断对错） 18．已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且1AC cm =，则线段AB 的长为________． 19．点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），若 AC ＝2则AB ⋅BC ＝______．20．（如图1），点P 将线段AB 分成一条较小线段AP 和一条较大线段BP ，如果，那么称点P 为线段AB 的黄金分割点，设=k ，则k 就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP 为底，BP 为腰得到等腰①APB （如图2），等腰①APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是①ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的①ABC的黄金分割线有几条？21．如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M，N，P，Q，R，它们分别是各条对角线的黄金分割点．若AB＝2，则MN的长为__．三、解答题22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在①ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD 是①ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.23．如图①，点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图①），则直线CD 是ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）在（1）中的ABC 中，研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线//DF CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图①），则直线EF 也是ABC 的黄金分割线．请你说明理由；（4）如图①，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作//EF AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．24．一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．请计算黄金比．25．阅读与思考黄金分割黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论．后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割指的是把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用．如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都可发现与黄金比有联系的数据.20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就如图1的作法是由《几何原本》中给出：（1）以线段AB为边作正方形ABCD．（2）取AD的中点E，连接BE．（3）在DA的延长线上取点F，使FE EB=．（4）以线段AF为边作正方形AFGH．点H就是线段AB的黄金分割点．以下是证明点H是线段AB的黄金分割点的部分过程．证明：设正方形ABCD的边长为1，则1AB AD==．①点E是AD的中点，①1122 AE AD==．在Rt ABE△中，由勾股定理得：2221512BE AE AB⎛⎫=++=⎪⎝⎭…任务：（1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整．（2）如图2，点C，D是线段AB的两个黄金分割点，且252AC=，则AB=_____，BC= _____．参考答案1．B【分析】根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较5-1解：根据黄金分割点的概念得：5-15-1251 AB=①BC=AB-AC=2(51)35-=故选：B．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键．2．B【分析】根据黄金分割比代入求值即可．【详解】由题意知：51BPPA-=，①AB=339，①BP=AB-PA=339-PA，代入得：33951PAPA--=解得：210PA≈，故选：B．【点拨】此题考查黄金分割比的定义及比值，难度一般．3．C【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-，据此进行解答即可得答案.【详解】①点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，51-51-53，或BC=651-AB=9-5故选C．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键. 4．B根据黄金分割比求出AP ，PB 计算即可；【详解】①点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，①51AP AB -= 令AB x =， ①51AP x -=， 51352PB x x x --=-=， ①515135AP PB -+==-；故答案选B ．【点拨】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键． 5．A【分析】根据黄金分割的定义的BP 1=√5−12AB ，则AP 1=AB -BP 1=3−√52AB=3−√52，利用同样的方法可得到AP 2=3−√52AP 1=(3−√52)2，AP 3=(3−√52)3，按此规律易得AP n 的长度=(3−√52)n【详解】解答：解：①线段AB=1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（AP 1＜BP 1）， ①BP 1=√5−12AB ①AP 1=AB -BP 1=3−√52AB=3−√52， ①点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2＜P 1P 2），①P 1P 2=√5−12AP 1 ①AP 2=AP 1-P 1P 2=(3−√52)2同理可得AP 3=(3−√52)3①AP 2017=(3−√52)2017 故选A.【点拨】此题重点考察学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.6．A【分析】作AF①BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出BE 、CD 的长度，得到ADE 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A 作AF①BC ，①AB=AC ，①BF=12BC=2，在Rt ABF 2222325AB BF --①D 是边BC 的两个“黄金分割”点，①51CD BC -=即514CD -= 解得CD=52，同理BE=52，①CE=BC -BE=4-(252)=6-25①DE=CD -58， ①S①ABC=12DE AF ⨯⨯=()145852⨯1045- 故选：A.【点拨】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE 和AF 的长是解题的关键。