高中抛物线知识点归纳总结与练习题及复习资料

焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，22ox ()22,B x yFy ()11,A x y在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y +=② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y pk AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。

（41,－1） 2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 。

3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 。

484、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正向的夹角为60o，则OA u u u r为 。

5、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是 。

6、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为 。

87、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。

8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。

9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 。

28y x =10、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 。

4311、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 。

3212、若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 。

k =0,-1<b <113、已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）C A.3 B.4 C.32 D.4214、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）ＣＡ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·16、已知椭圆C 1:22143x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x=1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p . 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上. （2）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438kk +.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+.所以12463px x -+=，即22846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ；当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……①因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k . ……②设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4k k +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk +.从而223)2(4k k +＝22438k k +. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法三 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）,因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又是过C 2的焦点),32(m F '，所以)212()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=. 即916)4(3221=-=+p x x . ……① 由（Ⅰ）知21x x ≠，于是直线AB 的斜率m m x x y y k 313201212=--=--=， ……② 且直线AB 的方程是)1(3--=x m y , 所以32)2(32121mx x m y y =-+-=+. ……③又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1243124322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--⋅+++x x y y y y x x . ……④将①、②、③代入④得322=m ，即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 18、已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心） （1）求圆C 的方程；（2）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF u u u r u u u r，的最大值和最小值． （1）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，由题设知． 解得221212y y ==，所以(6A，(6B -，或(6A -，，(6B ． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2643r =⨯=，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A点坐标为32r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，于是有23222r r ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=．（2）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-u u u r u u u r u u u r u u u rgg g ． 在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，1216u u u r u u u r u u u r u u u r 168-．21、如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u rgg ． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求12λλ+的值；解法一：（1）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u rgg 得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--g g ，，，，，化简得2:4C y x =．（2）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． 由1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得： 1121my λ=--，2221my λ=--，12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--g 2424mm =---g 0=．练习题1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 等于 ( )A ．1B ．4C ．8D ．162．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A ．－1716B ．－1516 C.716D.15163．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.34B ．1 C.54D.744．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定5．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( ) A ．4 2B ．8C ． 8 2D ．166．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．168．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是 ( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x9．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA u u u r | ＋| FB u u u r| ＝________.12．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么 |AB |等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．14．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM u u u u r 与OP u u u r的夹角为π4，求△POM 的面积．练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切．5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B 7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．168．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA u u u r| ＋| FB u u u r|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7 12．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y . 14．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线， ∴k AM ＝k PM ， 即y 1y214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224，即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4. ∴ OM u u u u r · OP u u u r ＝y 214·y 224＋y 1y 2＝5.∵向量 OM u u u u r 与 OP u u u r 的夹角为π4，∴| OM u u u u r |·|OP u u u r |·cos π4＝5.∴S △POM ＝12| OM u u u u r | ·| OP u u u r | ·sin π4＝52.。