带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值、多解问题201409

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高考物理知识体系总论：带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

PART 2
利用知识体系框架来解题
DREAM OF THE FUTURE
经典例题1
(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是(ꢀꢀ) A．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 B．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向
多解
不确定而形成的多解。如图所示。
4.运动的往复性形成多
解
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
大致框架
1.带电粒子
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场
电性不确定
时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
大致框架
突破一ꢀ 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
1.分析方法 2.四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题

带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问
题
引言
带电粒子在强磁场中的运动问题一直是物理学中的重要研究方
向之一。

在强磁场中，带电粒子在受到洛伦兹力的作用下呈现出多
解和临界现象，这在某些情况下对粒子的运动轨迹和性质产生重要
影响。

多解现象
在强磁场中，由于洛伦兹力的作用，带电粒子的运动方程出现
多解的情况。

这是由于洛伦兹力与粒子运动速度与磁场方向夹角的
正弦函数关系所导致的。

当速度与磁场方向夹角为不同值时，洛伦
兹力的大小和方向也会有所变化，从而使得粒子的运动轨迹不唯一。

临界现象
在某些情况下，带电粒子在强磁场中的运动可能会出现临界现象。

临界现象是指当带电粒子的运动速度与磁场强度达到一定比例
关系时，粒子的运动状态出现急剧变化，其轨迹和动力学性质发生
显著变化。

临界现象在物理学中具有重要的理论和实际意义，在磁共振成像、粒子加速器等领域的研究中得到了广泛应用。

结论
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题是一个复杂而有趣的研究领域。

多解现象使得粒子的运动轨迹不唯一，而临界现象则带来了粒子运动状态的突变。

对这些问题的深入研究和理解将有助于推动物理学和应用科学的发展，为实际应用提供更多的可能性。

高考物理知识体系总论：带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题作业(答案+解析)

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题作业题作业题目难度分为3档：三星☆☆☆（基础题目）四星☆☆☆☆（中等题目）五星☆☆☆☆☆（较难题目）本套作业题目1-10题为三星,11-15为四星。

1.某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e 、质量为m ，磁感应强度为B ，不计重力，则电子运动的角速度可能是()☆☆☆A.4Bem B.3Bem C.2Bem D.Bem答案解析：当洛伦兹力方向和电场力方向相同时，有ωmu r v m evB F ==+2电，又因为evB F 3=电，可得m eB 4=ω，当洛伦兹力和电场力方向相反时，有：ωmv evB F =-电，得meB 2=ω，故A 、C 正确。

2.如图示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S.某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T/2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间可能为()☆☆☆A.T 3B.T 4C.T 6D.T 8答案解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，出射点和入射点的连线为轨迹的弦，初速度大小相同，轨迹半径qBmv R =相同，设d OS =，当射出点D 与S 点连线垂直于OA 时，DS 弦最长，轨迹对应的圆心角α最大，根据qvB rv m =2，有m qBr v =，则周期qB m v r T ππ22==周期恒定，粒子的运动时间T t πα2=，此时粒子运动时间最长为2T ，当出射点E 与S 点的连线垂直于OC 时，弦ES 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，由几何关系，得︒=60θ，所以最短时间为T 61，故粒子在磁场中运动时间范围为26T t T ≤≤，运动时间不可能为8T ，故A 正确。

高中物理磁场带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题一、带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化。

在高考试题中涉及的物理过程中常常出现隐含着一个或几个临界状态，需要通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，那么如何确定它们的临界条件？下面介绍三种寻找临界点的两种有效方法：1．对称思想带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动。

分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有＝＝2＝t，如图所示。

应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷。

【典例】如图所示，半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？【审题指导】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。

【名师点睛】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

2．放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大。

第3课时带电粒子在磁场中运动的特例(临界、极值及多解问题)

随堂自测过关
要点探究冲关
界、极值问题
1.解决此类问题的关键
自我解答·合作探究
要点一带电粒子在有界磁场中运动的临
找准临界点. 2.找临界点的方法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径 R 和速度 v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值.
3.常用到的结论 (1)临界值刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切. (2)时间极值 ①当速度 v 一定时,弧长(弦长)越长,圆周角越大, 则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. ②当速率 v 变场边界为圆形时,从入射点到出射点连接起来的线段就是圆磁场的一条弦,以该条弦为直径的圆就是最小圆,可求出圆形磁场区的最小面积.
B 最小.
,r=
mv 1 ,从上式看出,r∝ B qB
,当 r 最大时,
由题图可知,当粒子从 b 点射出时,磁场的磁感应强度为最小值,
由几何关系得 rmax=
2 2
L,所以 Bmin
2m v0 = qL
.
m v0 答案:(1) 2qh
(2)
2
2
v0 指向第Ⅳ象限与 x 轴正方向成 45°角
2m v0 (3) qL
要点二带电粒子在匀强磁场中运动的多解
问题
1.带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,在相同的初速度的条件下,正负粒子在磁场中运动轨迹不同,形成多解. 如图(甲)带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场,如带正电,其轨迹为 a,如带负电,其轨迹为 b.
(2 2 )dqB . 2 )d,v = m

带电粒子在有界磁场中的临界,极值,多解问题

带电粒子在匀强磁场中的运动---临界问题、极值问题与多解问题一、带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题带电粒子在有界磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；（2）当速率v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间越长。

【例1】如图所示真空中狭长区域的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为d，速度为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD间夹角为θ．电子质量为m、电量为q．为使电子从磁场的另一侧边界EF射出，则电子的速度v应为多大?二、带电粒子在有界磁场中运动的多解问题1. 带电粒子电性不确定形成多解.受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解．2. 磁场方向不确定形成多解．3. 临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧形的，它可能穿过去，也可能转过１８０°从磁场的入射边界边反向飞出，于是形成多解．4. 运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有重复性，形成多解．【例2】长为L ，间距也为L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，今有质量为m 、带电量为q 的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。

高中物理选择性必修二专题强化3 带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题

带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题[学习目标] 1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题.2.了解多解成因，会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题．一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长．(3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长．如图1所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是()图1A．v>Bedm(1＋cos θ)B．v<Bedm(1＋cos θ)C．v>Bedm(1＋sin θ)D．v<Bedm(1＋sin θ)答案 A解析由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示．由几何知识得：R ＋R cos θ＝d ，R ＝m v 0eB，解得v 0＝Bedm (1＋cos θ)，当v >v 0时，电子能从边界EF 射出，故A 正确．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图2所示．一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m ，电荷量为e ，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )图2A.3m v 2aeB.m v aeC.3m v 4aeD.3m v 5ae 答案 C解析磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r ，由几何关系得a 2＋r 2＝(3a －r )2，根据洛伦兹力提供向心力有e v B ＝m v 2r，联立解得B ＝3m v 4ae，故选C.二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题． (1)找出多解的原因．(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．考向1 磁场方向不确定形成多解(多选)如图3所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O 、A 两点间的距离为s ，负离子的比荷为qm ，速率为v ，OP 与OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方向可能是( )图3A ．B >m v3qs ，垂直纸面向里B ．B >m vqs ，垂直纸面向里C ．B >m vqs ，垂直纸面向外D ．B >3m v qs，垂直纸面向外答案 BD解析当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP 相切的轨迹如图甲所示，切点为M ，设轨迹半径为r 1，由几何关系可知，sin 30°＝r 1s ＋r 1，可得r 1＝s ，由r 1＝m v B 1q 可得B 1＝m v qs ；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，圆弧与OP 相切于N 点，由几何关系知s ＝r 2sin 30°＋r 2，得r 2＝s3，又r 2＝m v qB 2，所以B 2＝3m v qs，综合上述分析可知，选项B 、D 正确，A 、C 错误．考向2 临界状态不唯一形成多解(多选)如图4所示，长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，极板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )图4A ．使粒子的速度v <Bql4mB ．使粒子的速度v >5Bql4mC ．使粒子的速度v >BqlmD ．使粒子的速度Bql 4m <v <5Bql4m答案 AB解析如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r 12＝(r 1－l2)2＋l 2，又r 1＝m v 1Bq ，所以v 1＝5Bql 4m ，粒子刚好打在极板左边缘时，有r 2＝l 4＝m v 2Bq ，v 2＝Bql4m ，综合上述分析可知，选项A 、B 正确．1.(带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题)如图5所示，边长为l 的等边三角形ACD 内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B .顶点A 处有一粒子源，能沿∠CAD 的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m ，电荷量均为＋q ，不计粒子重力．则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D 点( )图5A.qBl 4mB.qBl 2mC.3qBl 4mD.qBl m 答案 C解析粒子带正电，恰好经过D 点时，其可能的轨迹如图所示：所有圆弧所对的圆心角均为60°，所以粒子运动轨迹的半径为r ＝ln (n ＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2r ，解得v ＝Bqrm ＝Bqlmn(n ＝1,2,3，…)，故选C. 2．(带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题)如图6所示，直角坐标系中y 轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，右边界PQ 平行于y 轴，一粒子(重力不计)从原点O 以与x 轴正方向成θ角的速率v 垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ 射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出．求：图6(1)粒子的比荷；(2)粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间．答案 (1)v 2Ba (2)4πa3v解析 (1)由题意可知粒子带负电，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，可知斜向上射入时有r sin θ＝a ，斜向下射入时有r sin θ＋a ＝r ，联立解得θ＝30°，且r ＝2a ，由洛伦兹力提供向心力得Bq v ＝m v 2r，得粒子的比荷为qm ＝v 2Ba.(2)粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，周期为T ＝2πr v ＝4πa v ，则粒子在磁场中运动的时间为t ＝T 3＝4πa3v.1.(多选)如图1所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界线，现有质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN ′射出，粒子入射速率v 的最大值可能是( )图1A.qBd mB.(2＋2)qBdmC.qBd 2mD.(2－2)qBd m答案 BD解析设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得q v B ＝m v 2r ，解得r ＝m vqB.带电粒子速率越大，轨道半径越大，当轨迹恰好与边界NN ′相切时，粒子恰好不能从边界NN ′射出，对应的速率最大．若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R ＋R cos 45°＝d ，解得R ＝(2－2)d ，对应的速率v ＝(2－2)qBd m .若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，由几何知识得：R －R cos 45°＝d ，解得R ＝(2＋2)d .对应的速率v ＝(2＋2)qBd m.故选B 、D.2.如图2所示，△ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，比荷为em 的电子以速度v 0从A 点沿AB 边入射，欲使电子经过BC 边，磁感应强度B 的取值范围为( )图2A ．B >2m v 0aeB ．B <2m v 0aeC ．B >3m v 0aeD ．B <3m v 0ae答案 D解析由题意可知，电子正好经过C 点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径R ＝a 2cos 30°＝33a ，要想电子从BC 边经过，电子做圆周运动的半径要大于33a ，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径公式r ＝m v qB 有，33a <m v 0eB ，即B <3m v 0ae，D 项正确．3.直线OM 和直线ON 之间的夹角为30°，如图3所示，直线OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场，不计粒子重力．粒子离开磁场的出射点到两直线交点O 的距离为( )图3A.m v2qB B.3m vqBC.2m v qBD.4m v qB答案 D解析带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r ＝m vqB.由题意可知，轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO ′D 为一直线段，OD ＝CDsin 30°＝2CD ＝4r ＝4m vqB，故D 正确．4.如图4所示，在xOy 平面内，y ≥0的区域有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一质量为m 、带电荷量的绝对值为q 的粒子从原点O 沿与x 轴正方向成60°角方向以v 0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置．图4答案见解析解析由于洛伦兹力提供向心力，则 q v 0B ＝m v 02R ，v ＝2πRT解得R ＝m v 0qB ，T ＝2πmqB当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC ，故粒子在磁场中运动的时间t 1＝240°360°T ＝4πm3qB粒子在C 点离开磁场， OC ＝2R ·sin 60°＝3m v 0qB故离开磁场的位置为(－3m v 0qB，0) 当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE ，故粒子在磁场中的运动时间t 2＝120°360°T ＝2πm3qB粒子在E 点离开磁场，OE ＝2R ·sin 60°＝3m v 0qB故离开磁场时的位置为(3m v 0qB，0)5.如图5所示，匀强磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r ，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B ，A 是内侧边界上的一点．在圆心O 处沿平行于纸面的方向射出一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，粒子速度方向与OA 成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A 点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )图5A ．粒子一定带正电B ．粒子第一次在磁场中运动的时间为2πm3qBC ．粒子运动的速度大小为3qBr2mD ．磁场外边界圆的半径至少为3r 答案 D解析根据题意，画出粒子第一次在磁场中运动的轨迹如图，根据左手定则可以判断出粒子带负电，选项A 错误；粒子第一次在磁场中运动的时间为t ＝23T ＝4πm3qB ，选项B 错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R ＝r tan 30°＝33r ，根据洛伦兹力提供向心力有q v B ＝m v 2R ，解得v ＝3qBr 3m ，选项C 错误；磁场外边界圆的半径至少为r ′＝R ＋rcos 30°＝3r ，选项D 正确．6.如图6所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B ＝2.0 T ．一质量为m ＝5.0×10－8 kg 、电荷量为q ＝＋1.0×10－6 C 的带电粒子从P 点沿图示方向以v ＝20 m/s 的速度进入磁场，从x 轴上的Q 点离开磁场(Q 点未画出)．已知OP ＝30 cm ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，粒子重力不计，求：图6(1)O 、Q 两点间的距离；(2)若粒子不能进入x 轴上方，则磁感应强度B ′满足的条件．答案 (1)0.90 m (2)B ′≥163 T 解析 (1)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有q v B ＝m v 2R ，得R ＝m v qB代入数据得R ＝0.50 m而OP cos 53°＝0.50 m 故圆心一定在x 轴上，轨迹如图甲所示．由几何关系可知OQ ＝R ＋R cos 37°，故OQ ＝0.90 m(2)带电粒子不能进入x 轴上方的临界轨迹如图乙，由几何关系结合题意得：OP ≥R ′＋R ′sin 37°又R ′＝m v qB ′联立并代入数据得：B ′≥163T.7.(多选)如图7所示，直线MN 与水平方向成60°角，MN 的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B .一粒子源位于MN 上的a 点，能水平向右发射不同速率、质量为m (重力不计)、电荷量为q (q >0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN 上的b 点，已知ab ＝L ，则粒子的速度可能是( )图7A.3qBL 6mB.3qBL 3mC.3qBL 2mD.3qBl m答案 AB解析由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r ＝33·L n(n ＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得q v B ＝m v 2r ，则v ＝qBr m ＝3qBL 3m ·1n(n ＝1,2,3，…)，选项A 、B 正确．8.如图8所示，一足够长的矩形区域abcd 内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电荷量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求：图8(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v 01；(2)若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子的入射速度大小v 02；(3)若带电粒子的速度v 0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间．答案 (1)BqL m (2)BqL 3m (3)5πm 3Bq解析 (1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示，若粒子速度大小为v 0，则q v 0B ＝m v 02R ，解得：v 0＝qBR m.(1)设圆心在O 1处对应圆弧与cd 边相切，对应速度大小为v 01由几何关系得：R 1sin θ＝L 2，解得R 1＝L 则有：v 01＝qBR 1m ＝qBL m. (2)设圆心在O 2处对应圆弧与ab 边相切，对应速度大小为v 02由几何关系得：R 2＋R 2sin θ＝L 2，解得R 2＝L 3则有：v 02＝qBR 2m ＝qBL 3m. (3)由t ＝α2πT 和T ＝2πR v 0＝2πm qB可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间越长．当在磁场中运动的半径r <R 2时，运动时间最长则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝5π3所以最长时间为t ＝α2πT ＝5π32π×2πm qB ＝5πm 3qB. 9.如图9所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.图9(1)求粒子的比荷q m及粒子在磁场中的运动时间t ； (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d 为多少？答案 (1)3v 3BR 3πR 3v (2)33R 解析 (1)粒子的轨迹半径r ＝R tan 30°粒子所受洛伦兹力提供向心力，有q v B ＝m v 2r解得粒子的比荷q m ＝3v 3BR粒子的运动周期T ＝2πr v粒子在磁场中的运动时间t ＝16T 解得t ＝3πR 3v. (2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．由图可知sin θ＝R r平移距离d ＝R sin θ解得d ＝33R .。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题

③设轨道与 cd 相切的粒子，其轨道半径为 R1，由几何关系可得
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动，所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，问：

第53课时匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)

匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
2.(2016· 海南高考)如图，A、C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上，∠OCA＝30° ，OA 的长度为 L。在△OCA 区域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从 OA 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于 OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。 (1)求磁场的磁感应强度的大小； (2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和； (3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场 5 内运动的时间为 t0，求粒子此次入射速度的大小。 3
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
(2)设当 v0＝v3 时，粒子恰好打不到荧光屏上，则这时粒子沿图中轨迹②从磁场的最高点 A 竖直向上射出磁场。由此可知，粒子在磁场中的轨道半径 r3＝R。又由洛伦兹力提供向心力， v32 得 qv3B＝m ，解得 v3＝1.5×106 m/s。由题意 r3 可知，当 v0>1.5× 106 m/s 时，粒子能打到荧光屏上。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
(1)根据边界条件，通过画动态图的方法，找出符合临界条件的粒子轨迹。 (2)运用几何关系，求得粒子运动半径。 (3)根据洛伦兹力提供向心力建立方程。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
[集训冲关]
1.(多选)(2017· 常德月考)如图所示，宽为 d 的有界匀强磁场的边界为 PP′、 QQ′。一个质量为 m、电荷量为 q 的微观粒子沿图示方向以速度 v0 垂直射入磁场，磁感应强度大小为 B，要使粒子不能从边界 QQ′射出，粒子的入射速度 v0 的最大值可能是下面给出的(粒子的重力不计) qBd A. m 2qBd C. 3m 2qBd B. m qBd D. 3m ( )

带电粒子在匀强磁场中的运动(临界值和极值问题)

∴ θ =30° 0 2 60 最大偏向角为
最长时间为
t
R 2 v0
6.0 10 2 1.2 10 6
2

6 s 5.2 10 8 s
（2）因
' mv0 R 1.5 10 2 m r qB
所以粒子在磁场中出现的区域为图所示（以ao为直径的半圆和以a为圆心oa为半径的圆与磁场相交的部分）。比荷相同的带电粒子在同一磁场中运动时，由 T 2m qB 和 t T 知，粒子在磁场中运动的时间由粒子 2 转过的圆心角决定。圆心角越大，时间越长。若速率也相同（R同），轨迹越长或对应的弦越长，运动的时间越长。
a
6cm
b
返回
解：（1）设轨迹半径为R
R 6.0 10 2 m
因R>r,所以要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆 a 弧所对应的圆心角应最大，即沿以直径ab为弦R为半径的圆弧运动所用的时间最长，此时的偏向角也最大。由图知，
6cm θ
b
sin
r R

1 2
S
Байду номын сангаас v
解：α 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表 v2 示轨道半径，有 qvB m
R
由此得
代入数值得R=10cm
可见，2R>l >R.因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒子能打中的左侧最远点.为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于 Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1. 再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能所求长度为打到的最远点.由图中几何关系得代入数值得 P1P2=20cm

2025高考物理总复习带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题

B.粒子在磁场中运动的轨迹与 ON 只有一个公共点，在磁场中运动的时间是196qπBm
C.粒子在磁场中运动的轨迹与 ON 共有两个公共点，在磁场中运动的时间是29πqmB
D.粒子在磁场中运动的轨迹与 ON 共有两个公共点，在磁场中运动的时间是196qπBm
目录
研透核心考点
解析带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 qvB＝mvr2，qvB＝m4Tπ22r，得到 r＝mqBv， T＝2vπr＝2qπBm，若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到 OM 直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与 OM 成 20°，但由于 35°> 20°，则粒子轨迹与 ON 只可能有一个交点，故粒子偏转角只可能为 40°，运动时间 t＝34600°°T＝29πqmB，A 正确， C 错误；若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与 ON 有几个交点，粒子回到 OM 直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与 OM 成 20°角，粒子偏转角为 360°－40°＝320°，则粒子运动时间为 t＝332600°°T＝196qπBm， B、D 正确。
小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量
绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左
上方射入磁场，速度与OM成20°角，运动一会儿后从
OM上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情形
可能出现的是( ABD )
图1
A.粒子在磁场中运动的轨迹与 ON 只有一个公共点，在磁场中运动的时间是29πqmB
目录
研透核心考点
考点二带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的 “ 恰好 ”“ 最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 1.临界条件刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2.几种常见的求极值问题 (1)时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

带电粒子在匀强磁场中运动的多解和临界问题

带电粒子在匀强磁场中运动的多解和临界问题一、多解问题(一)带电粒子电性不确定形成多解1.如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界。

现有质量为m ，电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。

要使粒子不能从边界NN ′射出，则粒子入射速率v 的最大值可能是多少。

2．如图1所示，第一象限范围内有垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B 。

质量为m ，电量大小为q 的带电粒子在xOy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度v 0与x 轴夹角θ＝60°，试分析计算：图1(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多大？(2)带电粒子在磁场中运动时间有多长？(二)磁场方向不确定形成多解2.(多选)一质量为m ，电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )A.4qB mB.3qB mC.2qB mD.qB m(三)带电粒子速度不确定形成多解3.(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷q m ＝k ，则质子的速度可能为A ．2BkLB.BkL 2C.3BkL 2D.BkL 81．(多选)如图6所示，直线MN 与水平方向成60°角，MN 的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B 。

一粒子源位于MN 上的a 点，能水平向右发射不同速率、质量为m (重力不计)、电荷量为q (q ＞0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN 上的b 点，已知ab ＝L ，则粒子的速度可能是( )图6A ．3qBL 6m B ．3qBL 3m C ．3qBL 2m D ．3qBL m(四)带电粒子运动的往复性形成多解4.某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图8212所示。

专题研究——带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题

带电粒子经过某点速度大小相同，方向不同时，洛伦兹力的方向不同。四.临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，它可能穿过去，也可能偏转180°从入射界面这边反向飞出．如图所示．五.运动的重复性形成多解
当带电粒子在电场和磁场的的有界组合场中运动时，通常具有往复性，因而形成多解．
解 :(1)设粒子过 N 点时的速度为 v，有 vv0＝cosθ , v＝2v0 粒子从 M 点运动到 N 点的过程，有 qUMN＝12mv2－12mv20
UMN＝3m2qv20
(2)粒子在磁场中以 O′为圆心做匀速圆周运动，半径为 O′N，有 qvB＝mrv2 , r＝2mqBv0
(3)由几何关系得 ON＝rsinθ
蓝皮书P95例6
•蓝皮书P95例7
如图甲所示，M、N为竖直放置、彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子的质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：
典型问题二：磁场的叠加
2．图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面积位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相等的电流，方向如图所示。一带负电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是（） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下
典型问题三：安培力
磁场章末总结
典型问题一：基本概念：磁感应强度
1．下列说法中正确的是 ( ) A.电荷在某处不受电场力作用，则该处电场强度为零； B.一小段通电导线在某处不受磁场力作用，则该处磁感应强度一定为零； C. 表征磁场中某点强弱，是把一小段通电导线放在该点时受到的磁

第九章第三讲带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题

研考向·热点探究
热点一 1．分析方法
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
(1) 数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值．
第九章
第三讲
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题
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第九章
第三讲
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题
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研考向·热点探究
[学习目标] 1．掌握带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题． 2．掌握带电粒子在磁场中运动的多解问题．
第九章
第三讲
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题
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第三讲
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题
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研考向·热点探究
带电粒子在匀强磁场中运动的极值问题如图所示， △ABC 为与匀强磁场垂直的
e 边长为 a 的等边三角形，比荷为m的电子以速度 v0 从 A 点沿 AB 边入射，欲使电子经过 BC 边，磁感应强度 B 的取值为( 2mv0 A．B> ae 3m v 0 C．B> ae )
2mv0 B．B< ae 3mv0 D．B< ae
解析
答案
第九章
[解析]
第三讲
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题
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研考向·热点探究
由题意，如图所示，电子正好经过 C
a 2 a 点，此时圆周运动的半径 R＝＝，要 cos 30° 3 a 想电子从 BC 边经过，电子做圆周运动的半径要大于，由带 3 m v a m v0 3mv0 电粒子在磁场中运动的公式 r＝ qB 有 < eB ，即 B< ae ， 3 选 D.

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题突破有界磁场中临界问题的处理方法考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化.(2)轨迹圆圆心——共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上.2.方法界定以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”.[典例1] 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是( )A.若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t 0B.若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为5t 03C.若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为5t 03D.若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为2t 03[解析] 作出从ab 边射出的轨迹①、从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和从ad 边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.由图可知，从ab 边射出经历的时间一定不大于5t 06；从bc 边射出经历的时间一定不大于4t 03；从cd 边射出经历的时间一定是5t 03；从ad 边射出经历的时间一定不大于t 03，C 正确.[答案] C考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R ＝mv 0qB.如图所示.(2)轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R ＝mv 0qB的圆上. 2.方法界定将一半径为R ＝mv 0qB的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”. [典例2] 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行.在距ab 为l ＝16 cm 处，有一个点状的α粒子放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106m/s.已知α粒子的比荷q m＝5.0×107C/kg ，现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab 板上被α粒子打中区域的长度.[解题指导] 过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可. [解析] α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径，有qvB ＝m v 2R由此得R ＝mv qB代入数值得R ＝10 cm ，可见2R >l >R因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点.为确定P 1点的位置，可作平行于ab的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1.即：NP 1＝R 2－（l －R ）2＝8 cm再考虑N 的右侧.任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，在N 点右侧取一点P 2，取SP ＝20 cm ，此即右侧能打到的最远点由图中几何关系得NP 2＝（2R ）2－l 2＝12 cm 所求长度为P 1P 2＝NP 1＋NP 2 代入数值得P 1P 2＝20 cm. [答案] 20 cm突破带电粒子在磁场中运动的多解问题考向1 带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.[典例3] 如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？[解题指导] 由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN ′射出的临界条件是轨迹与NN ′相切.[解析] 题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN ′相切的14圆弧，则轨道半径R ＝mv Bq又d ＝R －R2解得v ＝（2＋2）Bqdm.若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN ′相切的34圆弧，则轨道半径R ′＝mv ′Bq又d ＝R ′＋R ′2解得v ′＝（2－2）Bqdm[答案]（2＋2）Bqd m (q 为正电荷)或（2－2）Bqdm(q 为负电荷)考向2 磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.[典例4] (多选)一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(不计重力)( )A.4qB mB.3qBmC.2qBmD.qB m[解析] 根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bqm ；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv ＝m v 2R ，v ＝2BqRm，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝2Bqm，应选A 、C. [答案] AC考向3 临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图所示.[典例5] (多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A.使粒子的速度v <Bql 4mB.使粒子的速度v >5Bql4mC.使粒子的速度v >Bql mD.使粒子的速度v 满足Bql 4m <v <5Bql 4m[解析] 带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝⎝⎛⎭⎪⎫r 1－l 22＋l 2，又因r 1＝mv 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m ；粒子刚好打在极板左边缘，有r 2＝l 4＝mv 2Bq ，解得v 2＝Bql4m，故A 、B 正确.[答案] AB考向4 带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解.[典例6] 如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B ；x 轴下方有一匀强电场，电场强度为E .屏MN 与y 轴平行且相距L .一质量m 、电荷量为e 的电子，在y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：(1)电子释放位置与原点O 的距离s 需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？ [解题指导] 解答本题可分“两步走”： (1)定性画出粒子运动轨迹示意图.(2)应用归纳法得出粒子做圆周运动的半径r 和L 的关系.[解析] (1)在电场中，电子从A →O ，动能增加eEs ＝12mv 2在磁场中，电子偏转，半径为r ＝mv 0eB据题意，有(2n ＋1)r ＝L所以s ＝eL 2B 22Em （2n ＋1）2(n ＝0,1,2,3，…).(2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间t ＝(2n ＋1)2s a ＋T 4＋n T 2，其中a ＝Ee m ，T ＝2πm eB整理后得t ＝BL E ＋(2n ＋1)πm2eB(n ＝0,1,2,3，…).[答案] (1)s ＝eL 2B 22Em （2n ＋1）2(n ＝0,1,2,3，…) (2)BL E ＋(2n ＋1)πm2eB(n ＝0,1,2,3，…) 专项精练1.[放缩法的应用]如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd ，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的粒子，恰好从e 点射出，则( )A.如果粒子的速度增大为原来的两倍，将从d 点射出B.如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出C.如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的两倍，也将从d 点射出D.只改变粒子的速度使其分别从e 、d 、f 点射出时，从e 点射出所用时间最短答案：A 解析：作出示意图如图所示，根据几何关系可以看出，当粒子从d 点射出时，轨道半径增大为原来的两倍，由半径公式R ＝mvqB可知，速度也增大为原来的两倍，选项A 正确，显然选项C 错误；当粒子的速度增大为原来的四倍时，才会从f 点射出，选项B 错误；粒子的周期公式T ＝2πmqB，可见粒子的周期与速度无关，在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆弧所对应的圆心角，所以从e 、d 射出时所用时间相等，从f 点射出时所用时间最短，故D 错误.2.[旋转法的应用]如图所示，在真空中坐标xOy 平面的x >0区域内，有磁感应强度B ＝1.0×10－2T 的匀强磁场，方向与xOy 平面垂直，在x 轴上的P (10,0)点，有一放射源，在xOy 平面内向各个方向发射速率v ＝104m/s 的带正电的粒子，粒子的质量为m ＝1.6×10－25kg ，电荷量为q ＝1.6×10－18C ，求带电粒子能打到y 轴上的范围.答案：－10～10 3 cm 解析：带电粒子在磁场中运动时由牛顿第二定律得：qvB ＝m v 2R解得：R ＝mv qB＝0.1 m ＝10 cm如图所示，当带电粒子打到y 轴上方向的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点即为粒子能打到y 轴上方的最高点.因OP ＝10 cm ，AP ＝2R ＝20 cm则OA ＝AP 2－OP 2＝10 3 cm当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于B 点时，若圆心再向左偏，则粒子就会从纵轴离开磁场，所以B 点即为粒子能打到y 轴下方的最低点，易得OB ＝R ＝10 cm ，综上所述，带电粒子能打到y 轴上的范围为－10～10 3 cm.3.[带电粒子在磁场中运动的临界问题]如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m ＝5.0×10－8kg 、电荷量为q ＝1.0×10－6C 的带正电粒子从静止开始经U 0＝10 V 的电压加速后，从P 点沿图示方向进入磁场，已知OP ＝30 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).(1)求带电粒子到达P 点时速度v 的大小；(2)若磁感应强度B ＝2.0 T ，粒子从x 轴上的Q 点离开磁场，求OQ 的距离； (3)若粒子不能进入x 轴上方，求磁感应强度B ′满足的条件. 答案：(1)20 m/s (2)0.90 m (3)B ′>5.33 T解析：(1)对带电粒子的加速过程，由动能定理有qU 0＝12mv 2代入数据得：v ＝20 m/s.(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB ＝mv 2R得R ＝mv qB代入数据得：R ＝0.50 m 而OPcos 53°＝0.50 m故圆心一定在x 轴上，轨迹如图甲所示由几何关系可知：OQ ＝R ＋R sin 53° 故OQ ＝0.90 m.甲乙(3)带电粒子恰不从x 轴射出(如图乙所示)，由几何关系得：OP >R ′＋R ′cos 53° ① R ′＝mv qB ′②由①②并代入数据得：B ′>163T≈5.33 T(取“≥”同样正确). 4.[带电粒子在磁场中运动的多解问题]如图甲所示，M 、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央各有一个小孔O 、O ′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向.甲乙有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场.已知正离子质量为m 、带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响.求：(1)磁感应强度B 0的大小；(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值. 答案：(1)2πm qT 0 (2)πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…)解析：(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，即qv 0B 0＝mv 2r①做匀速圆周运动的周期T 0＝2πrv 0②联立两式得磁感应强度B 0＝2πmqT 0.③(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T 0时，v 0的方向应如图所示，有r ＝d4④当在两板之间正离子共运动n 个周期，即nT 0时，有- 11 - r ＝d 4n(n ＝1,2,3，…)⑤ 联立①③⑤求解，得正离子的速度的可能值为v 0＝qB 0r m ＝πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…).。

(含答案)带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题一、基础知识1、临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．临界问题的一般解题模式为：(1)找出临界状态及临界条件；(2)总结临界点的规律；(3)解出临界量；(4)分析临界量列出公式．2、极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．二、练习1、(2011·浙江·20)利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN 上方是磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L .一群质量为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是 ( )A ．粒子带正电B ．射出粒子的最大速度为qB (3d ＋L )2mC ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大答案 BC解析利用左手定则可判定只有负电荷进入磁场时才向右偏，故选项A 错误．利用q v B＝m v 2r 知r ＝m v qB ，能射出的粒子满足L 2≤r ≤L ＋3d 2，因此对应射出粒子的最大速度v max ＝qBr max m ＝qB (3d ＋L )2m ，选项B 正确．v min ＝qBr min m ＝qBL 2m ，Δv ＝v max －v min ＝3qBd 2m ，由此式可判定选项C 正确，选项D 错误．2、两极板M 、N 相距为d ，板长为5d ，两板未带电，板间有垂直于纸面的匀强磁场，如图16所示，一大群电子沿平行于板的方向从各个位置以速度v 射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感应强度B 的范围怎样？(设电子电荷量为e ，质量为m )答案 m v 13ed ≤B ≤2m v ed解析如图所示，靠近M 板进入磁场的电子刚好打到N 板右边缘，对应的磁感应强度有最小值B 1，设此时轨道半径为R 1，则有e v B 1＝m v 2R 1由几何关系得(R 1－d )2＋(5d )2＝R 21联立解得B 1＝m v 13ed靠近M 板进入磁场的电子刚好打到N 板左边缘，对应的磁感应强度有最大值B 2，此时轨道半径为R 2e v B 2＝m v 2R 2由几何关系得R 2＝d 2联立解得B 2＝2m v ed综上所述，磁感应强度B 的范围为m v 13ed ≤B ≤2m v ed3、如图所示，在第二象限和第四象限的正方形区域内分别存在着匀强磁场，磁感应强度均为B ，方向相反，且都垂直于xOy 平面．一电子由P (－d ，d )点，沿x 轴正方向射入磁场区域Ⅰ.(电子质量为m ，电荷量为e ，sin 53°＝45)(1)求电子能从第三象限射出的入射速度的范围．(2)若电子从(0，d 2)位置射出，求电子在磁场Ⅰ中运动的时间t . (3)求第(2)问中电子离开磁场Ⅱ时的位置坐标．解析 (1)电子能从第三象限射出的临界轨迹如图甲所示．电子偏转半径范围为d 2<r <d 由e v B ＝m v 2r 得v ＝eBr m故电子入射速度的范围为eBd 2m <v <eBd m. (2)电子从(0，d 2)位置射出的运动轨迹如图乙所示．设电子在磁场中运动的轨道半径为R ，则R 2＝(R －d 2)2＋d 2解得R ＝5d 4由几何关系得∠PHM ＝53°由e v B ＝mR (2πT )2解得T ＝2πm eB则t ＝2πm eB ×53°360°＝53πm180eB .(3)如图乙所示，根据几何知识，带电粒子在射出磁场区域Ⅰ时与水平方向的夹角为53°，则在磁场区域Ⅱ位置N 点的横坐标为3d 8由△NBH ′可解得NB 的长度等于d ，则QA ＝d －5d 8由勾股定理得H ′A ＝918d ，H ′B ＝R cos 53°＝3d4 所以电子离开磁场Ⅱ的位置坐标为(d ，34d －918d )．答案 (1)eBd 2m <v <eBd m (2)53πm180eB(3)(d ，34d －918d )。

巧解带电粒子在匀强磁场中运动的时间极值问题

《巧解带电粒子在匀强磁场中运动的时间极值问题》是一个普遍存在于物理学中的重要问题，它涉及到粒子在磁场中运动时的时间极值。

当粒子在磁场中移动时，由于磁力线的作用，其运动方向会发生微小的变化，并且随着时间的推移，它会慢慢远离起始方向，而且其运动方向的变化是不断的，因此，求解带电粒子在匀强磁场中运动的时间极值问题就成为了物理学家研究的重要课题。

要解决这一问题，首先要分析粒子在磁场中运动方向变化的物理机制，计算出粒子在磁场中的运动方向变化的数学表达式，然后根据实验数据对表达式进行参数调整，从而得到更准确的结果。

随后，通过求解相应的微分方程，确定粒子在磁场中的运动方向变化的规律，得到粒子在磁场中的运动方向变化的时间极值，从而解决了带电粒子在匀强磁场中运动的时间极值问题。

综上所述，解决带电粒子在匀强磁场中运动的时间极值问题，需要从物理机理、数学模型、微分方程求解多方面入手，才能获得正确的结果。

带电粒子在匀强磁场中的运动-临界、极值及多解问题

• 关键点：1.分成正电荷和负电荷讨论，画图是关键.2.注意正负电荷受洛伦兹力方向不同，偏转方向不同.3.最大速度都是轨迹和右边界相切时的速度.
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例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心，从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
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旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
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“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，他可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图所示.
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Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小