有界磁场中的临界、极值问题

再考虑 N 的右侧，任何 α 粒子在运动中离 S 的距离不可能超 过 2R，以 2R 为半径、S 为圆心作圆，交 ab 于 N 右侧的 P2 点，此 即右侧能打到的最远点。 由图中几何关系得 NP2 ＝ （2R）2－l2 ＝12 cm 所求长度为 P1P2＝NP1＋NP2 代入数值得 P1P2＝20 cm [答案] 20 cm
二、“缩放Βιβλιοθήκη Baidu”
1．适用条件 (1)速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁 场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度 的变化而变化。 (2)轨迹圆圆心共线 运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线上。
2．方法界定 以入射点为定点，圆心位于直线上，将半径放缩作轨迹，从而 探索出临界条件
2、 (2016· 浙江联考)如图甲所示，在空间中存在垂直纸面 向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，其边界 AB、CD 相距为 d，在左边界的 Q 点处有一质量为 m、带电量为 q 的负粒子沿 与左边界成 30° 的方向射入磁场，粒子重力不计。求：
(1)带电粒子能从 AB 边界飞出的最大速度； (2)若带电粒子能垂直 CD 边界飞出磁场，穿过小孔进入 如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板， 则极板间 电压 U 应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间 是多少？ (3)若带电粒子的速度是(2)中的 3 倍， 并可以从 Q 点沿纸 面各个方向射入磁场，则粒子能打到 CD 边界的距离大小？
1、(2016· 长沙质检)如图所示， 真空室内存在匀强磁场，磁场方向 垂直于纸面向里，磁感应强度的大 小 B＝0.60 T， 磁场内有一块平面感 光板 ab，板面与磁场方向平行，在距 ab 玻璃 l＝16 cm 处， 有一个点状的 α 放射源 S，它向各个方向发射 α 粒子，α 粒 q 子的速度都是 v＝ 3.0 × 10 m/s ，已知 α 粒子的比荷 ＝ m
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5.0×107 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的 α 粒子，求 ab 上被 α 粒子打中的区域的长度。
[解析] α 粒子带正电， 故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运 v2 动，用 R 表示轨道半径，有 qvB＝m R mv 由此得 R＝ qB 代入数值得 R＝10 cm 可见 R<l<2R。 因朝不同方向发射的 α 粒子的圆轨迹都过 S，由此可知，某一 圆轨迹在图中 N 左侧与 ab 相切，则此切点 P1 就是 α 粒子能打中的 左侧最远点。 NP1＝ R2－（l－R）2＝8 cm
1、(2016· 南京质检)如图所示，宽度为 d 的匀强有界磁场， 磁感应强度为 B，MM′和 NN′是磁场左右的两条边界线。现有一 质量为 m，电荷量为 q 的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场 中，θ＝45° 。要使粒子不能从右边界 NN′射出，求粒子入射速率 的最大值为多少？
解析：用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如图所示，当其运动轨 迹与 NN′边界线相切于 P 点时，这时粒子具有最大入射速率 vmax。 由图可知 R(1－cos 45° )＝d v2 max 又 Bqvmax＝m R （2＋ 2）Bqd 联立可得 vmax＝ m （2＋ 2）Bqd 答案： m
(3)当粒子速度是(2)中的 3倍时，解得 R3＝2d 由几何关系可得粒子能打到 CD 边 界的范围如图丙所示。 粒 子 打 到 CD 边 界 的 距 离 l ＝ 2×2dcos 30° ＝2 3d [ 答 案 ] (1) 2（2－ 3）Bqd m
2B2qd2 2π m (2)U≥ 3m 3Bq (3)2 3d
(2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示。
d 由几何关系知 R2＝ cos 30° v2 2 由洛伦兹力提供向心力得 Bqv2＝mR 2 1 由动能守恒得－qU＝0－2mv2 2 B2qd2 2B2qd2 解得 U＝ ＝ 3m 2mcos230° 2B2qd2 所加电压满足的条件 U≥ 3m 。 2πm T 粒子转过的圆心角为 60° ，所用时间为6，而 T＝ Bq T 2πm 因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间 t＝2×6＝ 3Bq
有界磁场中的临界、极值问题
一、“旋转法”
1．适用条件 (1)速度大小一定，方向不同 匀速圆周运动的半径相同，若射 入初速度为 v0， 则圆周运动半径为 R mv0 ＝ 。如图所示。 qB
(2)半径相同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射 mv0 点 P 为圆心、半径 R＝ 的圆上。 qB 2．方法界定 mv0 将一半径为 R＝ 的圆绕入射点转动 qB
[解析] (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 R1， 运动速度为 v0。粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几 何条件知 R1＋R1cos 30° ＝d mv2 0 又 qv0B＝ R 1 2（2－ 3）Bqd Bqd 解得 v0＝ ＝ m m（1＋cos 30° ） 所以粒子能从左边界射出时的最大速度为 2（2－ 3）Bqd vm＝v0＝ m