山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试(三)数学(理)试卷
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟(三)数学(理)试题+Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)本试卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ⋂=A. ()2,+∞B. []2,4C. (]1,3D. (]2,42.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点；41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564．已知函数()fx x =的值域为A ，且,a b A∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为A ．18B ．38 C. 78 D. 145．一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 6．如图，弧田由圆弧和其所对弦围成，《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即弧田面积12=(弦×矢+矢2)．公式中“弦”指圆弧所对的线段，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述的经验公式计算弧田面积与实际面积存在误差，则圆心角为3π，弦长为1的弧田的实际面积与经验公式算得的面积的差为A ．18- B ．1168πC ．1623π+- D ．525-7．已知()()322101210223nn x d x x x a ax a x a=+-=+++⋅⋅⋅+⎰，且，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为 A ．823B ．845C ．965-D ．8778．已知函数()()s i n 2c o s 2,0,66f x x x x f x k ππ⎛⎫⎡⎤=++∈= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，有两个不同的根12,x x ，则()12f x x k ++的取值范围为A．⎡⎣ B． C．⎭ D．)9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．2018201722⨯- B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯-D ．2019201722⨯+10．已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()222:120C x y rr -+-=>有公共点P ，且抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为 A．3B. 3C ．3D．311．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．2143π B ．1273π C.1153π D ．1243π12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为A ．[)64ln3,++∞B ．[)5ln5,++∞ C.[)66ln6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(三)理
理科数学（三）
本试题卷共 2 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
★祝考试顺利★
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
A．x | 1 x 1
B．x | 1 x 2
C．x | 0 x 2
D．x | 0 x 1
2．设复数 z 1 2i （是虚数单位），则在复平面内，复数 z2 对应的点的坐标为（ ）
A． 3, 4
B． 5, 4
C． 3, 2
D． 3, 4
3． 2 x2x 16 的展开式中 x4 的系数为（ ）
的体积的最大值为 4 ，则球 O 的表面积为__________． 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列an 是等差数列， a1 t 2 t ， a2 4 ， a3 t2 t ． （1）求数列an 的通项公式；
（2）若数列an 为递增数列，数列bn 满足 log2bn an ，求数列 an 1 bn 的前项和 Sn ．
A．-160
B．320
C．480
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
D．640 ）
A． 5 2
B． 4 2
C． 4 4
D． 5 4
5．过双曲线
x2 9
y2 16
1的右支上一点
P
，分别向圆 C1 ： x
52
y2
4 和圆C2 ： x
52
y2
r2
（ r 0 ）作切线，切点分别为 M ， N ，若 PM 2 PN 2 的最小值为 58 ，则 r （ ）欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，
湖北省、山东省部分重点中学2018届高考冲刺模拟试卷(三)(理)数学试题及答案解析
湖北省、山东省部分重点中学2018届高考冲刺模拟试卷（三）数学试题（理）一.选择题1. 若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（）A. B. C. D.2. 已知复数（i为虚数单位），则复数Z的共轭复数的虚部为（）A. B. C. 1 D.3. 下列命题中，真命题是（）A. ，使得B.C. D. 是的充分不必要条件4. 某程序框图如图，该程序运行后输出的的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 在满足条件的区域内任取一点，则点满足不等式的概率为（）A. B. C. D.6. 已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.7. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（）A. 1.6B. 1.8C. 2.0D. 2.48. 定义在上的函数满足，的导函数为，且满足，当时，，则使得不等式的解集为（）A. B.C. D.9. 已知等差数列的前项和为，且，则的最小值为（）A. -3B. -5C. -6D. -910. 点是双曲线右支上一点，分别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（）A. B. 2 C. D. 311. 已知正三棱锥，底面是边长为3的正三角形ABC，，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则截面面积的最小值是()A. 3πB.C. 2πD.12. 已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为（）A. B. C. D.二.填空题13. 若向量满足,且,则向量与的夹角为___________.14. 设，则二项式的展开式中常数项是__________.15. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点，若，则______.16. 若存在正实数，使得关于方程有两个不同的实根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是_________.三.解答题17. 在中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若，点在线段上，，,求的面积.18. 某工厂有120名工人，其年龄都在20~ 60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试。
2018年高考第三次模拟考试理科数学试卷含答案
**2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试**理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}13,0M x x N x x =-≤<=<，则集合{}03xx ≤<=（ ）A ．MN⋂ B ．MN⋃ C.()R MC N⋂ D ．()R C M N⋂2.复数z 满足()234i z i --=+（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．2i -+B ．2i - C. 2i -- D ．2i + 3.已知ta n 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ta n 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-．2+C. 2--．2-+4.已知命题:p 在A B C ∆中，若sin sin A B=，则A B=；命题():0,q x π∀∈，1sin 2sin x x+>.则下列命题为真命题的是（ ） A ．pq∧ B ．()pq ∨⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q⌝∨5.已知双曲线()2222:10,0x y Ea b ab-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，若E 的一个焦点F 关于1l 的对称点F '在2l 上，则E 的离心率为（ ）A B ．326.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．7 C. 152D ．2337.已知函数()()s in 203f x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相切，则()f π=（ ）A ．32-B ．12-12- D ．12--8.已知P 是抛物线24y x=上任意一点，Q 是圆()2241xy-+=上任意一点，则P Q 的最小值为（ ）A ．52B ．1D．19.利用随机模拟的方法可以估计圆周率π的值，为此设计如图所示的程序框图，其中()ra n d 表示产生区间[]0,1上的均匀随机数（实数)，若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.134B ．3.141 C.3.144 D ．3.147 10.在A BC ∆中，点G 满足0G A G BG C ++=.若存在点O ，使得16O GB C=，且O Am O B n O C=+，则m n -=（ ）A ．2B ．2- C. 1 D ．1- 11.若异面直线,m n 所成的角是60︒，则以下三个命题: ①存在直线l ，满足l 与,m n 的夹角都是60︒； ②存在平面α，满足mα⊂，n 与α所成角为60︒；③存在平面,αβ，满足,mn αβ⊂⊂，α与β所成锐二面角为60︒.其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．3 12.已知()0,xxxea fx e a>=+，若()f x 的最小值为1-，则a=（ ）A ．21eB ．1eC. e D ．2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量,x y 满足约束条件10,1,250,x y y x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则zx y=+的最大值为 ．14.某种袋装大米的质量X （单位：k g ）服从正态分布()50,0.01N ，任意选一袋这种大米，质量在49.850.1kg的概率为 ． 15.设函数()2,0,0,x x f x x ⎧<⎪=≥则使得()()f x fx >-成立的x 得取值范围是 ．16.A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角A 的内角平分线交B C 于点D ，若111,2a bc=+=，则A D 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，111,2a b ==，22337,13a b a b +=+=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若,,n nn a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18. 某球迷为了解,A B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：A球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：记事件:C “A 球队的攻击能力等级高于B 球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率. 19.如图，四棱锥PA B C D-的底面A B C D 是平行四边形，90B A CP A D P C D ∠=∠=∠=︒.（1）求证：平面P A B ⊥平面A B C D ；（2）若3AB AC PA ===，E 为B C 的中点，F 为棱P B 上的点，//P D平面A E F ，求二面角A D F E--的余弦值.20.已知点()2,0A -，点()1,0B -，点()1,0C ，动圆O '与x 轴相切于点A ，过点B 的直线1l 与圆O '相切于点D ，过点C 的直线2l 与圆O '相切于点E （,D E 均不同于点A ），且1l 与2l 交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ. （1）证明：P B P C+为定值，并求Γ的方程；（2）设直线1l 与Γ的另一个交点为Q ，直线C D 与Γ交于,M N两点，当,,O D C '三点共线时，求四边形M P N Q 的面积. 21.已知0a>，函数()24ln 2a f x x x a=+-+.（1）记()()2g a fa =，求()g a 的最小值；（2）若()yfx =有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知点A 在椭圆22:24Cx y+=上，将射线O A 绕原点O 逆时针旋转2π，所得射线O B 交直线:2l y =于点B .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求椭圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）证明：:R t O A B ∆中，斜边A B 上的高h 为定值，并求该定值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =---.（1）求不等式()0f x ≥的解集； （2）设()()()g x fx fx =+-，求()g x 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: BBDCD 11、12：DA 二、填空题13. 4 14.0.8185 15.()(),10,1?∞-⋃- 16.2⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题 17.解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 依题意有，⎩⎨⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2， 故a n ＝2n －1，b n ＝2n，（2）由已知c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n， 所以数列{c n }的前2n 项和为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…b 2n )＝n(1＋4n －3)2＋4(1－4n)1－4＝2n 2－n ＋ 4 3(4n －1)．18．解：（1）两队所得分数的茎叶图如下3 6 9 3 15 2 4 0 7 1 9 5 5 10 8 367 7 1 6 78 8 4 5 0 11 4 4 0 7 20 9 2 12 4 0通过茎叶图可以看出，A 球队所得分数的平均值高于B 球队所得分数的平均值； A 球队所得分数比较集中，B 球队所得分数比较分散．（2）记C A1表示事件：“A 球队攻击能力等级为较强”， C A2表示事件：“A 球队攻击能力等级为很强”； C B1表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱”， C B2表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱或较强”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C A1与C A2互斥，C ＝(C A1C B1)∪(C A2C B2)． P (C)＝P (C A1C B1)+ P (C A2C B2)＝P (C A1)P (C B1)＋P (C A2)P (C B2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1420，320，520，1820，故P (C A1)＝1420，P (C A2)＝320，P (C B1)＝520，P (C B2)＝1820，P (C)＝1420×520＋320×1820＝0.31．19．解：（1）∵AB ∥CD ，PC ⊥CD ，∴AB ⊥PC ， ∵AB ⊥AC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，又∵PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PA ⊥平面ABCD ，PA 平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ． （2）连接BD 交AE 于点O ，连接OF ， ∵E 为BC 的中点，BC ∥AD ， ∴ BO OD ＝ BE AD ＝ 1 2， ∵PD ∥平面AEF ，PD 平面PBD ， 平面AEF ∩平面PBD ＝OF ， ∴PD ∥OF ，∴ BF FP ＝ BO OD ＝ 1 2，以AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，D(－3，3，0)， P(0，0，3)，E ( 3 2， 32，0)，F(2，0，1)，设平面ADF 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AF →＝(2，0，1)，AD →＝(－3，3，0)，由AF →·m ＝0，AD →·m ＝0得⎩⎨⎧2x 1＋z 1＝0，－3x 1＋3y 1＝0，取m ＝(1，1，－2)．设平面DEF 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，∵DE →＝( 9 2，－ 3 2，0)，EF →＝( 1 2，－ 32，1)，由DE →·n ＝0，EF →·n ＝0得⎩⎨⎧ 9 2x 2－ 32y 2＝0， 1 2x 2－ 32y 2＋z 2＝0，取n ＝(1，3，4)． cos m ，n＝m ·n |m ||n |＝－23939， ∵二面角A-DF-E 为钝二面角，∴二面角A-DF-E 的余弦值为－23939．20．解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|， 所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC| ＝|PE|＋|PC|＋|AB| ＝|CE|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC| 所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（去掉与x 轴的交点），可求的方程为x 24＋y23＝1(y ≠0)．（2）由O ，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ， 又由直线CE ，CA 为圆O 的切线，可知CE ＝CA ，O A ＝O E ， 所以△OAC ≌△O EC ，进而有∠ACO ＝∠ECO ，所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2， 所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3)(i)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60，∠BCD ＝30， 此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x ＋1)整理得5x 2＋8x ＝0，得Q (－ 8 5，－335)，所以|PQ|＝165，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y23＝1，y ＝－33(x －1)整理得13x 2－8x －32＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213，|MN|＝1＋ 1 3|x 1－x 2|＝4813，所以四边形MPNQ 的面积S ＝1 2|PQ|·|MN|＝38465．(ii)当点P 的坐标为(0，－3)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ 的面积为38465．综上，四边形MPNQ 的面积为38465．21．解：（1）g (a)＝ln a 2＋4a a 2＋a 2－2＝2(ln a ＋ 1 a －1)，g(a)＝2(1a － 1 a )＝2(a －1)a，所以0＜a ＜1时，g (a)＜0，g (a)单调递减；a ＞1时，g(a)＞0，g (a)单调递增，所以g (a)的最小值为g (1)＝0．（2）f(x)＝ 1x －4a (x ＋a 2)2＝x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4x(x ＋a 2)2，x ＞0． 因为y ＝f (x)有三个不同的零点，所以f (x)至少有三个单调区间， 而方程x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4＝0至多有两个不同正根，所以，有⎩⎨⎧2a 2－4a ＜0，Δ＝16a 2(1－a)＞0，解得，0＜a ＜1．由（1）得，当x ≠1时，g (x)＞0，即ln x ＋1x－1＞0， 所以ln x ＞－ 1x，则x ＞e －1x (x ＞0)，令x ＝a 22，得a 22＞e － 2 a 2．因为f (e － 2a 2)＜－ 2 a 2＋ 4 a －2＝－2(a －1)2a2＜0，f (a 2)＞0，f (1)＝4a 1＋a 2－2＝－2(a －1)21＋a 2＜0，f (e 2)＝4a e 2＋a2＞0，所以y ＝f (x)在(e － 2a 2，a 2)，(a 2，1)，(1，e 2)内各有一个零点，故所求a 的范围是0＜a ＜1．22．解：（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得椭圆C 极坐标方程为ρ2(cos 2θ＋2sin 2θ)＝4，即ρ2＝41＋sin 2θ； 直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝2，即ρ＝ 2sin θ．（2）证明：设A(ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋2)，－2＜θ＜ 2．由（1）得|OA|2＝ρ2A ＝41＋sin 2θ，|OB|2＝ρ2B ＝ 4sin 2(θ＋2)＝4cos 2θ， 由S △OAB ＝ 1 2×|OA|×|OB|＝ 12×|AB|×h 可得，h 2＝|OA|2×|OB|2|AB|2＝|OA|2×|OB|2|OA|2＋|OB|2＝2．故h 为定值，且h ＝2．23．解：（1）由题意得|x －1|≥|2x －3|, 所以|x －1|2≥|2x －3|2整理可得3x 2－10x ＋8≤0，解得 4 3≤x ≤2，故原不等式的解集为{x | 43≤x ≤2}．（2）显然g (x)＝f (x)＋f (－x)为偶函数， 所以只研究x≥0时g (x)的最大值．g (x)＝f (x)＋f (－x)＝|x －1|－|2x －3|＋|x ＋1|－|2x ＋3|， 所以x≥0时，g (x)＝|x －1|－|2x －3|－x －2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4， 0≤x ≤1，2x －6，1＜x ＜ 3 2，－2x ， x ≥ 32，所以当x ＝ 32时，g (x)取得最大值－3，故x ＝± 32时，g (x)取得最大值－3．。
【数学】湖北省、山东省部分重点中学2018届高考冲刺模拟考试试题(理)(word附答案解析版)
湖北省、山东省部分重点中学2018届高考冲刺模拟考试数学试题（理）一、选择题1. 已知全集（）A. {3}B. {0，3，5}C. {3，5}D. {0，3}2. 已知i为虚数单位，现有下面四个命题p1：复数z1=a+b i与z2=－a+b i，（a，b）在复平面内对应的点关于实轴对称；p2：若复数z满足(1-i)z=1+i，则z为纯虚数；p3：若复数z1，z2满意z1z2，则z2=；p4：若复数z满足z2+1=0，则z＝±i.其中的真命题为（）A. p1，p4B. p2，p4C. p1，p3D. p2，p33. 已知A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从N（80，2）(>0)，若在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（）A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.25. 某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（）A. B. C. D. 46. 要使程序框图输出的S=2cos则判断框内（空白框内）可填入（）A. B. C. D.7. 已知等差数列的第6项是二项式展开式的常数项，则=（）A. 160B. －160C. 320D. －3208. 将函数的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移个单位，得到函数的图象，则函数在区间上的对称中心为（）A. B.C. D.9. 已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（）A. B. C. 1 D. 210. 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心11. 设直线与椭圆交于A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，则直线CD的斜率为（）A. －B. －2C.D. －412. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题13. 设命题_____________________________________.14. 直线的倾斜角的取值范围是_______.15. 设实数满足的最小值是________.16. 已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则△ABC和△AMN的面积之比为_______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在等差数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列的前n项和S n.18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB，为棱PC上一点.(Ⅰ)若点是PC的中点，证明：B∥平面P AD；(Ⅱ)试确定的值使得二面角-BD-P为60°.19. 《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷(理科)
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A=(−∞, −1]∪[1, +∞)，B={y|y=log2x,x∈[12,4brack}，则A∩B=()A.[−1, 2]B.[1, 2]C.{−1}∪[1, 2]D.[−1, 1]∪{2}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】B=[−1, 2]；∵A=(−∞, −1]∪[1, +∞)；∴A∩B={−1}∪[1, 2]．2. 已知复数z满足|z|=√2,z+z=2，（z为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z=()A.1+iB.1−iC.1+i或1−iD.−1+i或−1−i【答案】C【考点】复数的运算【解析】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，根据复数z满足|z|=√2,z+z=2，可得{a2+b2=22a=2，解出即可得出．【解答】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，∵复数z满足|z|=√2,z+z=2，∴{a2+b2=22a=2，得{a=1b=±1，∴z=1+i或z=1−i．3. 正项等比数列{a n}中，a3，a4的等比中项为∫e1e 1xdx，令Tn=a1⋅a2⋅a3⋯a n，则T6=( )A.6B.16C.32D.64【答案】D【考点】等比中项微积分基本定理【解析】由∫e1 e 1xdx=lnx|1ee=lne−ln1e=2，又a3，a4的等比中项为∫e1e1xdx，可得a3a4=4，又a1a6=a2a5=a3a4=4，即可得出．【解答】解：∵∫e1 e 1xdx=lnx|1ee=lne−ln1e=2，又a3，a4的等比中项为∫e1e 1x dx，∴a3a4=4，又a1a6=a2a5=a3a4=4，∴T6=a1⋅a2⋯⋯a6=(a3a4)3=43=64．故选D.4. 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A.1 3B.53C.54D.2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．【解答】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成．长方体的体积为1×1×2=2，三棱锥的体积为13×12×1×1×2=13，所以几何体的体积为2−13=53．5. 已知如图所示的程序框图中输出的结果为a，则二项式(x−ax)6展开式中的常数项为（）A.15B.−15C.20D.−20【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】由程序框图运算求得a，然后写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r，则答案可求．【解答】由a=11−a赋值运算，a输入值为−1，则第1次运算结果为12，第2次结果为2，第3次结果为−1，结果数字以3为周期循环出现，要运算12次，此时输出的数为−(1)这样二项式(x−ax )6的展开通项为T k+1=C6k x6−k(1x)k=C6k∗x6−2k，当k=3时为常数项，∴常数项为C63=20．故选：C．6. 函数f(x)=sinx+|sinx|x的部分图象为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】当x∈[−π, 0)时，f(x)=0，所以排除C，D；当x∈(−2π, −π)时sinx>0，f(x)=2sinxx<0．即可【解答】当x∈(−2π, −π)时sinx>0，f(x)=2sinxx<0．故选A．故选：A．7. 一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在8:20整，三个指针（时针、分针、秒针）在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（）A.11 36B.13C.1336D.718【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意求出分针与时针之间的扇形的圆心角，结合同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比得答案． 【解答】观察时钟所在圆被12个刻度十二等分，指针转过一等分就旋转30∘，时针转过一等分就是1小时，分针转过一等分就是5分钟，∴ 8:20的时候秒针指向12，分针指向4，时针的指向是从刻度8再转过一等分的三分之一即10∘．这样分针与时针之间的扇形的圆心角为4×30∘+10∘=130∘． 又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比， ∴ P =130∘360∘=1336．8. 在△ABC 中，CA ⊥CB ，CA =CB =1，D 为AB 的中点，将向量CD →绕点C 按逆时针方向旋转90∘得向量CM →，则向量CM →在向量CA →方向上的投影为（ ） A.−1B.1C.−12D.12【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，以CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则CA →=(1,0)，CB →=(0,1)，CD →=(12,12)，且CM →=(−12,12)，所以向量CM →在向量CA →方向上的投影为CA →⋅CM →|CA 1→=−12+01=−12．故选C ．9. 在三棱锥S −ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =SA ，SA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为（ ） A.√55B.√66C.√306D.以上结论都不对【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】取AC中点为E，连结DE，SE，则DE // AB，∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，由此能求出异面直线AB与SD所成角的余弦值．【解答】如图，取AC中点为E，连结DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，所以DE // AB，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB=AC=SA=2，由勾股定理得SE=√5，又DE=(1)∴BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，∴DE⊥SE，∴SD=√6．在Rt△SDE中，cos∠SDE=DESD =√6=√66．∴异面直线AB与SD所成角的余弦值为√66．故选：B．10. 下面有四个命题：①设X~N(1,1)，若P(−1≤X≤3)=0.9544，则P(X≥3)=0.0228．②已知a=lg2，则a<a a<a a a．③将y=2tan(x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标不变纵坐标缩短到原来的12，可得到y=tan x的图象．④设0<a<3，则函数f(x)=x3−ax(0<x<1)由最小值无最大值．其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：①∵ X~N(1,1)，P(−1≤X≤3)=0.9544，∴ P(X≥3)=0.5−0.95442=0.0228，命题正确．②可知0<a<1，∴a0>a a>a1，即1>a a>a，∴a1<a a a<a a，命题错误．③将y =2tan(x +π6)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y =2tan[(x −π6)+π6]=2tan x 的图象，两将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到y =tan x 的图象，命题正确．④∵ 0<x <1，∴ 由f ′(x)=3x 2−a =0得x =√a3．又∵ 0<a <3，∴ 0<√a 3<1，可知f(x)在(0,√a 3)上单调递减，在(√a3,1)上单调递增，则函数f(x)=x 3−ax(0<x <1)有最小值无最大值，命题正确．综上，正确命题的个数为3． 故选C ．11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右顶点分别为A 、 B.√3 A.√2C.2D.√5【答案】 A【考点】双曲线的特性【解析】设M(c, m)，求出cos∠APB 关于m 的函数式，根据不等式的性质和M 点位置得出a ，b 的关系，从而可得离心率． 【解答】A(−a, 0)，B(a, 0)，F(c, 0)，直线l 的方程为x =c ， 把x =c 代入双曲线方程得：y =±b 2a ，设P(c, m)，则PA →=(−a −c, −m)，PB →=(a −c, −m)， ∴ cos∠APB =PA →∗PB→|PA →|∗|PB →|=222√a 2+c 2+2ac+m 2√a 2+c 2−2ac+m 2=222222222=22√(b 2+m 2)2+4a 2m 2，令b 2+m 2=t(t ≥b)，则cos∠APB =222=√1+4a 2t−4a 2b 2t 2=√−(2ab t−a b)2+a 2b 2+1，∴ 当2ab t=ab 即t =2b 2时，cos∠APB 取得最小值，即∠APB 最大．此时，m 2=t −b 2=b 2=b 4a2，即a 2=b 2．∴ 双曲线的离心率为√2．12. 已知函数f(x)={mx −lnx,x >0mx +ln(−x),x <0 ．若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，记过点A（x 1, f(x 1)）和B （x 2, f(x 2)）的直线斜率为k ，若0<k ≤2e ，则实数m 的取值范围为（ ） A.(1e,2] B.(1e,e] C.(e, 2e] D.(2,e +1e]【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】当x >0时，函数f(x)=mx −lnx 的导函数为f′(x)=m −1x=mx−1x，不妨设x 2=−x 1>0，则有x 2=1m ，∴ B(1m ,1+lnm)可得：A(−1m ,−(1+lnm))． 由直线的斜率公式得k =f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=m(1+lnm)，m >0，又k >0，可得1+lnm >0，m >1e ，令k =ℎ(m)=m(1+lnm),m >1e ，得ℎ′(m)=2+lnm =1+(1+lnm)>0，得：ℎ(1e )<ℎ(m)≤ℎ(e)，所以1e <m ≤e ． 【解答】当x >0时，函数f(x)=mx −lnx 的导函数为f′(x)=m −1x =mx−1x，由函数f(x)有两个极值点得m >0，又f(x)为奇函数，不妨设x 2=−x 1>0， 则有x 2=1m ，∴ B(1m ,1+lnm)可得：A(−1m ,−(1+lnm))． 由直线的斜率公式得k =f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=m(1+lnm)，m >0，又k >0，∴ 1+lnm >0，∴ m >1e ，（当0<m ≤1e 时，k ≤0，不合题意） 令k =ℎ(m)=m(1+lnm),m >1e 得ℎ′(m)=2+lnm =1+(1+lnm)>0， ∴ ℎ(m)在(1e ,+∞)上单调递增，又ℎ(1e )=0,ℎ(e)=2e ， 由0<k ≤2e 得：ℎ(1e )<ℎ(m)≤ℎ(e)，所以1e <m ≤e ． 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.已知抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y =x +3的距离的最小值为________． 【答案】 √22【考点】 抛物线的求解 【解析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得−p2=−2，解可得p =4，即可得抛物线的方程，设P 点坐标为P(x, y)，结合点到直线的距离公式可得d =28√2，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】根据题意，抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−2，则有−p2=−2，解可得p =4， 则抛物线方程为y 2=8x ，设P 点坐标为P(x, y)， 则点P 到直线y =x +3的距离为d =2=82=282=282≥√22， 当y =4时取最小值√22．我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为________步．（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】 1255 【考点】 解三角形 【解析】作出示意图，根据相似三角形列比例式，即可求出岛高． 【解答】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则有{5x=123123+y 5x =127127+1000+y，解得：x =1255步．若实数x ，y 满足{y ≥x +a,y ≤−3|x|+3,z =x +y 的最小值为−7，则a =________．【答案】 −2【考点】简单线性规划 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出可行域如图所示，由目标函数的几何意义可知当直线y =−x +z 过点C 时， z 取最小值． 由{y =3x +3,y =x +a 得C (a−32,3a−32)，则a−32+3a−32=−7，解得a=−2．故答案为：−2．已知数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且满足S n+S n+1=2n2+n，若对∀n∈N∗，a n<a n+1恒成立，则首项a1的取值范围是________．【答案】(−14,3 4)【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为S n+S n+1=2n2+n，所以S n−1+S n=2(n−1)2+n−1(n≥2)，两式作差得a n+a n+1=4n−1(n≥2)①，所以a n−1+a n=4n−5(n≥3)②，①②两式作差得a n+1−a n−1=4(n≥3)，可得数列{a n}的偶数项是以4为公差的等差数列，从a3起奇数项也是以4为公差的等差数列．若对∀n∈N∗，a n<a n+1恒成立，当且仅当a1<a2<a3<a4．又a1+S2=3，∴a2=3−2a1，∴a3=7−a2=4+2a1，a4=11−a3=7−2a1，所以a1<3−2a1<4+2a1<7−2a1，解得−14<a1<34．即首项a1的取值范围是(−14,34 )．故答案为：(−14,34 )．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知△ABC中，AB=BC=CA=2，P为△ABC内一点，且∠BPC=90∘．(1)当BP=√2时，求AP的长；(2)若∠APC=150∘，令∠PCB=θ，求tanθ的值．【答案】解：(1)如图，∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形．在△PBC中，∠BPC=90∘，BP=√2,BC=2，∴∠PBC=45∘．∴∠ABP=15∘，cos15∘=cos(45∘−30∘)=√6+√24．由余弦定理得：AP2=BA2+BP2−2BA⋅BP⋅cos15∘=4+2−4√2×√6+√24=4−2√3，∴AP=√3−1．(2)∵∠PCB=θ,∠ACP=60∘−θ,∠APC=150∘，由内角和定理得∠PAC=θ−30∘．在直角△PBC中，PC=BC⋅cosθ=2cosθ，在△APC中，由正弦定理得，AC sin∠APC =PCsin∠PAC即2sin150∘=2cosθsin(θ−30∘)，即4=√32sinθ−12cosθ，整理可得2√3sinθ=4cosθ，解得tanθ=2√33．【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图，∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形．在△PBC中，∠BPC=90∘，BP=√2,BC=2，∴∠PBC=45∘．∴∠ABP=15∘，cos15∘=cos(45∘−30∘)=√6+√24．由余弦定理得：AP2=BA2+BP2−2BA⋅BP⋅cos15∘=4+2−4√2×√6+√24=4−2√3，∴AP=√3−1．(2)∵∠PCB=θ,∠ACP=60∘−θ,∠APC=150∘，由内角和定理得∠PAC=θ−30∘．在直角△PBC中，PC=BC⋅cosθ=2cosθ，在△APC中，由正弦定理得，AC sin∠APC =PCsin∠PAC即2sin150∘=2cosθsin(θ−30∘)，即4=√32sinθ−12cosθ，整理可得2√3sinθ=4cosθ，解得tanθ=2√33．如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．(Ⅰ)当AB=√2时，证明：平面SAB⊥平面SCD；(Ⅱ)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．【答案】证明：(Ⅰ)作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．……………2分利用勾股定理得SA=√SB2−AB2=√4−2=√2，同理可得SD=√2．在△SAD中，AD=2,SA=SD=√2，∴SA⊥SD……………4分∴SD⊥平面SAB，又SD⊂平面SCD，所以平面SAB⊥平面SCD．……………5分（2）连结BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≅Rt△SOC，BO＝CO，又四边形ABCD为长方形，∴Rt△AOB≅Rt△DOC，∴OA＝OD．取BC中点为E，得OE // AB，连结SE，∴SE=√3，其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS=√3−12=√2⋯⋯⋯⋯⋯7分由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，不妨以OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵OE＝1，∴OS=√2，∴DC→=(0,1,0),SC→=(−1,1,−√2),BC→=(−2,0,0)，……………8分 设m →=(x 1,y 1,z 1)是平面SCD 的法向量， 则有{m →⋅DC →=0m →⋅SC →=0 即{y 1=0−x 1+y 1−√2z 1=0 ， 令z 1＝1得m →=(−√2,0,1)．……………9分 设n →=(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量， 则有{n →⋅BC →=0n →⋅SC →=0 即{−2x 2=0−x 2+y 2−√2z 2=0 令z 1＝1得n →=(0,√2,1)．……………10分 则|cos⟨m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√3=13⋯⋯⋯⋯⋯11分所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13．……………12分【考点】二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，从而SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，进而AB ⊥平面SAD ，AB ⊥SA ，AB ⊥SD ，推导出SA ⊥SD ，从而SD ⊥平面SAB ，由此能证明平面SAB ⊥平面SCD ．(Ⅱ)连结BO ，CO ，以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值． 【解答】证明：(Ⅰ)作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ， ∴ SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，又AB ⊥AD ，∴ AB ⊥平面SAD ，AB ⊥SA ，AB ⊥SD ．……………2分 利用勾股定理得SA =√SB 2−AB 2=√4−2=√2， 同理可得SD =√2．在△SAD 中，AD =2,SA =SD =√2，∴ SA ⊥SD ……………4分 ∴ SD ⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ， 所以平面SAB ⊥平面SCD ．……………5分 （2）连结BO ，CO ，∵ SB ＝SC ， ∴ Rt △SOB ≅Rt △SOC ，BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形，∴ Rt △AOB ≅Rt △DOC ，∴ OA ＝OD ． 取BC 中点为E ，得OE // AB ，连结SE ，∴ SE =√3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS =2=√2⋯⋯⋯⋯⋯7分由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵ OE ＝1，∴ OS =√2，∴ DC →=(0,1,0),SC →=(−1,1,−√2),BC →=(−2,0,0)，……………8分 设m →=(x 1,y 1,z 1)是平面SCD 的法向量， 则有{m →⋅DC →=0m →⋅SC →=0 即{y 1=0−x 1+y 1−√2z 1=0 ， 令z 1＝1得m →=(−√2,0,1)．……………9分 设n →=(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量， 则有{n →⋅BC →=0n →⋅SC →=0 即{−2x 2=0−x 2+y 2−√2z 2=0 令z 1＝1得n →=(0,√2,1)．……………10分 则|cos⟨m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√3=13⋯⋯⋯⋯⋯11分所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13．……………12分我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间（每月用手机时间总和）的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在(0, 30]，第二类的时间区间在(30, 60]，第三类的时间区间在(60, 720]（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对我校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图． ( I)求这1000名学生每月用手机时间的平均数；( II)利用分层抽样的方法从1000名选出10位学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；( III)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X 为获奖学生人数，求X 的数学期望E(X)与方差D(X)．【答案】(Ⅰ) 平均数为：5×0.010×10+15×0.030×10+25×0.040×10+35×0.010×10+45×0.006×10+55×0.004×10=23.4（小时）．(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生， 其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为C 81C 21C 102=1645．(Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8， 则连续10个月抽取，获奖人数X ∼B(10, 0.8)， 其数学期望E(X)=10×0.8=8（小时）， 方差D(X)=10×0.8×0.2=1.(6) 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（I ）以组中值代替各小组数据，利用加权平均数计算；(II)根据各组的频率比得出抽取的各类学生的人数，再利用组合数公式计算； (III)根据二项分布的性质计算． 【解答】(Ⅰ) 平均数为：5×0.010×10+15×0.030×10+25×0.040×10+35×0.010×10+45×0.006×10+55×0.004×10=23.4（小时）．(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生， 其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为C 81C 21C 102=1645．(Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8， 则连续10个月抽取，获奖人数X ∼B(10, 0.8)， 其数学期望E(X)=10×0.8=8（小时）， 方差D(X)=10×0.8×0.2=1.(6)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为√3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点A(4, 0)作关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2分别交椭圆于M(x 1, y 1)与N(x 2, y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求△AMN 的面积S 的取值范围． 【答案】（1）根据题意，椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，则c a =√32，设P(x, y)，则S △F 1PF 2=c|y|，∵ |y|≤b ∴ S △F 1PF 2≤bc =√3． 解得{a =2b =1 ． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设MN 方程为x ＝ny +m ，(n ≠0)，联立{x =ny +mx 2+4y 2−4=0 ， 得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，∴ y 1+y 2=−2nm n 2+4,y 1y 2=m 2−4n 2+4，因为关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0 即y 1x1−4+y 2x 2−4=0，即y 1ny 1+m−4+y 2ny2+m−4=0，得2ny 1y 2+m(y 1+y 2)−4(y 1+y 2)＝0， 即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nm n 2+4=0．解得：m ＝1．直线MN 方程为：x ＝ny +1，所以直线MN 过定点B(1, 0)． 又|y 1−y 2|=√(−2n n 2+4)2−4⋅(−3)n 2+4=4√n 2+3(n 2+4)2=4√1n 2+4−1(n 2+4)2令1n 2+4=t ，∴ t ∈(0,14)∴ |y 1−y 2|=4√−t 2+t ∈(0,√3) 又S =12|AB||y 1−y 2|=32|y 1−y 2|∈(0,3√32)． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的离心率公式可得c a=√32，结合椭圆的几何性质可得bc =√3，解可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；(Ⅱ)设MN 方程为x ＝ny +m ，与椭圆的方程联立可得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，结合根与系数的关系分析可得即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nmn 2+4=0，解可得m 的值，分析可得直线过定点，结合三角形面积公式分析可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，则c a =√32， 设P(x, y)，则S △F 1PF 2=c|y|，∵ |y|≤b ∴ S △F 1PF 2≤bc =√3． 解得{a =2b =1 ． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设MN 方程为x ＝ny +m ，(n ≠0)，联立{x =ny +mx 2+4y 2−4=0，得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，∴ y 1+y 2=−2nm n 2+4,y 1y 2=m 2−4n 2+4，因为关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0 即y 1x 1−4+y 2x 2−4=0，即y 1ny 1+m−4+y 2ny 2+m−4=0， 得2ny 1y 2+m(y 1+y 2)−4(y 1+y 2)＝0， 即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nm n 2+4=0．解得：m ＝1．直线MN 方程为：x ＝ny +1，所以直线MN 过定点B(1, 0)． 又|y 1−y 2|=√(−2n n 2+4)2−4⋅(−3)n 2+4=4√n 2+3(n 2+4)2=4√1n 2+4−1(n 2+4)2令1n 2+4=t ，∴ t ∈(0,14)∴ |y 1−y 2|=4√−t 2+t ∈(0,√3) 又S =12|AB||y 1−y 2|=32|y 1−y 2|∈(0,3√32)．已知函数f(x)=ln(ax)−a ，a >0．(Ⅰ)若函数ℎ(x)=e x f(x)为单调函数，求a 的取值范围； (Ⅱ)当a =1时，证明：e x +f(x)sinx >0． 【答案】（1）∵ ℎ(x)=e x (lnax −a)，x >0，∴ ℎ′(x)=e x (lnax +1x −a)， ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立， 令φ(x)=lnax +1x −a 得φ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，所以φ(x)在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，……………………2分 又φ(1a )=0，当0<a ≤1时1a ≥1，∴ x ∈(1a ,+∞)时，φ(x)>φ(1a )=0； 当a >1时1a <1，∴ x ∈(0,1a )时，φ(x)>φ(1a )=0；∴ ℎ′(x)≤0不可能恒成立，归纳得ℎ′(x)≥0恒成立．……………………3分 又φ(x)min =φ(1)=lna −a +1， 所以lna −a +1≥(0)令p(a)=lna −a +1，a >0，p ′(a)=1a −1，得p(a)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减，p(a)≤p(1)=0，即lna −a +1≤0，……………………5分 所以lna −a +1=0，即a =(1)……………………6分 证明：(Ⅱ)令F(x)=e x +(lnx −1)sinx ， （1）当x ≥e 时，sinx ≥−1，所以F(x)=e x +(lnx −1)sinx ≥e x −lnx +1，x >(0)……………………7分因为[e x −(x +1)]′=e x −1≥0，所以e x −(x +1)>e 0−(0+1)=0即e x >x +1； 因为[(x −1)−lnx]′=1−1x ，可知函数(x −1)−lnx 在x =1处取最小值即(x −1)−lnx ≥0，即−lnx≥1−x．由不等式的性质得e x−lnx+1>(x+1)+(1−x)+1=3>0，所以F(x)=e x+(lnx−1)sinx>(0)……………………9分（2）当0<x<e时，F(x)=e x+(lnx−1)sinx>1+(lnx−1)sinx，因为(x−sinx)′=1−cosx≥0，所以x−sinx>0−sin0=0，即sinx<x，∵lnx−1<0，∴(lnx−1)sinx>(lnx−1)x，即F(x)>1+x(lnx−1)=x(lnx+1x−1)由(Ⅱ)证明可知lnx+1x−1≥0，所以F(x)>(0)……………………11分由（1）（2）得e x+f(x)sinx>(0)……………………12分【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)ℎ′(x)=e x(lnax+1x−a)，ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立，令φ(x)=lnax+1x −a，得φ′(x)=1x−1x2=x−1x2，由此利用导数性质能求出结果．(Ⅱ)令F(x)=e x+(lnx−1)sinx，当x≥e时，sinx≥−1，F(x)=e x+(lnx−1)sinx≥e x−lnx+1，x>0，函数(x−1)−lnx在x=1处取最小值，从而F(x)=e x+(lnx−1)sinx>0；当0<x<e时，F(x)=e x+(lnx−1)sinx>1+(lnx−1)sinx，由此能证明e x+f(x)sinx>(0)【解答】（1）∵ℎ(x)=e x(lnax−a)，x>0，∴ℎ′(x)=e x(lnax+1x−a)，ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立，令φ(x)=lnax+1x −a得φ′(x)=1x−1x=x−1x，所以φ(x)在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，……………………2分又φ(1a)=0，当0<a≤1时1a ≥1，∴x∈(1a,+∞)时，φ(x)>φ(1a)=0；当a>1时1a <1，∴x∈(0,1a)时，φ(x)>φ(1a)=0；∴ℎ′(x)≤0不可能恒成立，归纳得ℎ′(x)≥0恒成立．……………………3分又φ(x)min=φ(1)=lna−a+1，所以lna−a+1≥(0)令p(a)=lna−a+1，a>0，p′(a)=1a−1，得p(a)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减，p(a)≤p(1)=0，即lna−a+1≤0，……………………5分所以lna−a+1=0，即a=(1)……………………6分证明：(Ⅱ)令F(x)=e x+(lnx−1)sinx，（1）当x≥e时，sinx≥−1，所以F(x)=e x+(lnx−1)sinx≥e x−lnx+1，x>(0)……………………7分因为[e x −(x +1)]′=e x −1≥0，所以e x −(x +1)>e 0−(0+1)=0即e x >x +1； 因为[(x −1)−lnx]′=1−1x，可知函数(x −1)−lnx 在x =1处取最小值即(x −1)−lnx ≥0，即−lnx ≥1−x ．由不等式的性质得e x −lnx +1>(x +1)+(1−x)+1=3>0， 所以F(x)=e x +(lnx −1)sinx >(0)……………………9分（2）当0<x <e 时，F(x)=e x +(lnx −1)sinx >1+(lnx −1)sinx ，因为(x −sinx)′=1−cosx ≥0，所以x −sinx >0−sin0=0，即sinx <x ，∵ lnx −1<0，∴ (lnx −1)sinx >(lnx −1)x ，即F(x)>1+x(lnx −1)=x(lnx +1x −1) 由(Ⅱ)证明可知lnx +1x −1≥0，所以F(x)>(0)……………………11分由（1）（2）得e x +f(x)sinx >(0)……………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =5+tcosαy =tsinα ，(t 为参数，0≤α<π)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．(Ⅰ)当α=45∘时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点C 的直角坐标为C(2, 0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，当△ABC 面积最大时，求直线l 的普通方程． 【答案】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ， 由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ．当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2， 所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (Ⅱ)利用三角形的面积的最大值求出直线的方程． 【解答】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ， 由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ． 当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2， 所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．[选修4-5：不等式选讲]设f(x)=a|x −1|+|x +3|． (Ⅰ)当a =1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)若g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，作出g(x)图象并根据图象写出a 的值（不要求证明）．【答案】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分试卷第21页，总21页又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分 【考点】函数的最值及其几何意义函数的零点与方程根的关系【解析】(Ⅰ)当a =1时，化简f(x)的表达式，利用绝对值的几何意义求解函数的最小值；(Ⅱ)画出函数的图象，求解函数的解析式，利用函数的零点个数，转化求解即可．【解答】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分。
山东、湖北部分重点中学高三高考冲刺模拟考试(一)数学(理)试题Word版含答案
齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）数学（理科）试题命题：湖北随州一中(刘丽) 审题：山东临沂一中 山东临朐一中 山东沂水一中一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(原创，容易)已知全集1=|0,A={1,2,4},5x U x N CuA x +⎧⎫∈≤=⎨⎬-⎩⎭则（ ） A.{3} B.{0，3，5} C.{3，5} D.{0，3} [答案]D[解析]全集U={0，1，2，3，4}，则CuA={0，3} [考点]分式不等式及集合运算.2.(原创，容易)已知i 为虚数单位，现有下面四个命题p 1：复数z 1=a +bi 与z 2=－a +bi ，（a ，b R ∈）在复平面内对应的点关于实轴对称； p 2：若复数z 满足(1-i )z =1+i ，则z 为纯虚数； p 3：若复数z 1，z 2满意z 1z 2R ∈，则z 2=1z ； p 4：若复数z 满足z 2+1=0，则z ＝±i .其中的真命题为（ ）A.p 1，p 4B.p 2，p 4C.p 1，p 3D.p 2，p 3 [答案]B[解析]对于p 1：z 1与z 2关于虚轴对称，所以p 错误；对于p 2：由(1－i)z=1+i ⇒z=11ii i+=-，则z 为纯虚数，所以p 2正确；对于p 3：若z 1=2，z 2=3，则z 1z 2=6，满足z 1z 2R ∈，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以p 3不正确；p 4正确. [考点]复数与命题真假的综合.3.(原创，容易)已知2:2,:,10p a q x R x ax p q >∀∈++≥是假命题,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案]A[解析] 2:,10q x R x ax q ∀∈++≥∃∈是假命题,则非:x R,使210x ax ++<是真命题，24022,a a a p q =->⇔<->或则是的充分不必要条件.[考点]二次不等式及充分、必要条件.4.(原创，容易)在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N （80，σ2）(σ>0)，若ξ在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ） A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 [答案]B[解析]由题意可得1(070)(90100)(10.8)0.12P p ξξ≤≤=≤≤=⨯-=.[考点]正态分布.5.(原创，容易)某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（ ）[答案]C[解析]由三视图可得该几何体是一个四面体，可以将其放入棱长分别为1，2，3的长方体中，该四面体的棱长是长方体的各面的对角线，长度分别是，则最[考点]三视图还原.6.(原创，容易)要使右边的程序框图输出的S=2cos 3992cos32cos99,πππ++⋅⋅⋅+则判断框内（空白框内）可填入（ ） A.99n < B.100n < C.99n ≥ D.100n ≥ [答案]B[解析]要得到题中的输出结果，则1,3,,99n =⋅⋅⋅均满足判断框内的条件，101n =不满足判断框内的条件，故空白框内可填入100.n < [考点]程序框图.7.(原创，中档)已知等差数列{}n a 的第6项是二项式62()x y x-+展开式的常数项，则210a a +=（ ）A.160B.－160C.320D.－320 [答案]D [解析]二项式62()x y x -+展开式的常数项是由3个x 和3个2x-相乘得到的，所以常数项为 3333632()160,C x C x⋅⋅⋅-=-所以6160a =-，由等差数列的性质可得21062a a a +==－320.[考点]二项式定理及等差数列的性质. 8.(原创，中档)将函数sin()3y x π=-的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移3π个单位，得到函数()y f x =的图象，则函数()'()f x y f x =在区间[0,2]π上的对称中心为（ ）A.(,0),(2,0)ππB.(,0)πC.(0,0),(,0)πD.(0,0),(,0),(2,0)ππ [答案]D[解析]111()sin()'()cos().22222f x x f x x ππ=-⇒=-故()12tan()'()22f x x f x π=-，令122x π- =(1)(),2k x k k Z ππ⇒=+∈故k 所有可能的取值为－1，0，1，故所求对称中心为（0，0），（π，0），（2π，0）.[考点]三角函数的图象变换及正切函数的对称中心.9.(原创，中档)已知点P 是双曲线C ：22124y x -=的一条渐近线上一点，F 1、F 2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 到y 轴的距离为（ ） A.14 B.12C.1D.2 [答案]D[解析]不妨设点P 在渐近线2y x =上，设00,),P y 又12(0,F F ，由以F 1F 2为直径的圆经过点P ，得120000(,)()PF PF y y ⋅=⋅=20360y -=，解得0y =P 到y 0|2y =. [考点]双曲线的几何性质10.(原创，中档)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足(),(0,),||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++∈+∞则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心 [答案]C[解析]在△ABC 中，由正弦定理得||||,||sin ||sin ,sin sin AB AC AB B AC C k BC C B===设边上的中点为D ，由已知可得2(),(),AB AC OP OA AP AB AC AD k k k kλλλ-=+=+=即故P 点的轨迹在三角形的中线上，则P 点轨迹一定通过三角形的重心. [考点]平面向量的加减法的几何运算及向量共线的应用.11.(原创，难)设直线43y x =-与椭圆22:12516x y E +=交于A 、B 两点，过A 、B 两点的圆与E 交于另两点C 、D ，则直线CD 的斜率为（ ） A.－14 B.－2 C.14D.－4 [答案]D[解析]本题来源于教材选修4-4中第38页例4，如图所示，AB 、CD 是中心为点O 的椭圆的两条相交弦，交点为P ，两弦AB 、CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，则||PA ||||||PB PC PD ⋅=⋅. [考点]直线与圆、椭圆的综合12.(改编，难)若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A.1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- [答案]A[解析]由题意可得ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x x=-∈-22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2l n y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y yx x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则m i n 11ln 1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e =--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--. [考点]函数的零点与导数的综合应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.(原创，容易)设命题2:,4,n p n N n p ∃∈>⌝则为 .[答案]2,4n n N n ∀∈≤.[解析]特称命题的否定是全称命题. [考点]全（特）称命题的否定.14.(原创，容易)直线sin 30()x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是 . [答案]3[,]44ππ[解析]若sin 0α=，则直线的倾斜角为90°；若sin 0α≠，则直线的斜率k ＝1(,1][1,),sin α-∈-∞-+∞设直线的倾斜角为θ，则tan (,1][1,)θ∈-∞-+∞，故θ∈ [,)42ππ3(,]24ππ，综上可得直线的倾斜角的取值范围是3[,]44ππ. [考点]直线的倾斜角与斜率的关系.15.(原创，中档)设实数,x y 满足250,20,220,xx yx y x y y ++-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则的最小值是 .[答案]18[解析]不等式组对应的可行域如图，令1,(3,1)yu u x=+则在点处取得最小值，min 141,33u =+=在点（1，2）处取得最大值，max 123,u =+=故u 的取值范围是411[,3],[328∈u则() [考点]求线性约束条件下目标函数的最值.16.(改编，难)已知G 为△ABC 的重心，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，满足,AG xAM yAN =+其中31.,4x y AM AB +==若则△ABC 和△AMN 的面积之比为 . [答案]209[解析]连接AG 并延长交BC 于D ，此时D 为BC 的中点，故12(),23AD AB AC AG AD =+= 1(3AB =),AC +设3,,4AN AC AM AB λ==因为所以34AGx A My ANxABλ=+=+. 所以31343,1,153x x y y λλ⎧=⎪⎪+==⎨⎪=⎪⎩又因为解得，则||||4520339||||S ABC AB AC S AMN AM AN ⋅==⨯=⋅. [考点]平面向量的综合应用三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分)(原创，容易)在等差数列510{}0,10.n a a a ==中, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列101{}()2n a n n b b +=满足，求数列{}n nb 的前n 项和S n .解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则1(1),n a a n d =+-由5100,10,a a ==得方程组11140,8910,2a d a a d d +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，解得，………………………………………………………………4分所以8(1)2210.n a n n =-+-⨯=-………………………………………………………6分 （Ⅱ)由(I)得，2101011()(),244n n n n n n b nb -+===所以……………………………………………8分1211,444n n nS =++⋅⋅⋅+ ①231111,4444n n nS +=++⋅⋅⋅+ ②①－②，得121111(1)31114434444444n n n n n n n S ++-=++⋅⋅⋅+-=-， 所以434994n nn S +=-⋅ (12)分[考点]等差数列基本量运算、数列求和.18.(本题满分12分)（原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD=2AB ，Q 为棱PC 上一点.(Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：B Q ∥平面PAD ；(Ⅱ),PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q -BD-P 为60°. 解析：(Ⅰ)证明：取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ， Q PC 点是的中点， ∴M Q ∥CD ，1.2MQ CD =…………………………………………1分 又AB ∥CD ，1,2AB CD QM =则∥AB ，QM ＝AB ， 则四边形ABQM 是平行四边形.BQ ∴∥AM.……………………3分 又AM ⊂平面PAD ，BQ ⊄平面PAD ，BQ ∴∥平面PAD.……4分（Ⅱ）解：由题意可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分 令000000(,,),(,,1),(0,2,1).Q x y z PQ x y z PC =-=-则000,(,,1)(0,2,1),PQ PC x y z λλ=∴-=-(0,2,1).Q λλ∴-……………………………………… 7分又易证BC ⊥平面PBD ，(1,1,0).PBD ∴=-是平面的一个法向量n 设平面QBD 的法向量为(,,),x y z =m,0,0,22(1)0,.0,1x y DB x y y z z y DQ λλλλ=-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎪⎪⎩-⎩则有即解得m m令21,(1,1,).1y λλ==--则m …………………………………………………………………9分60Q BD P --二面角为，||1|cos ,|,||||2⋅∴<>===m n m n m n解得3λ=………………………………………………………………………………11分Q 在棱PC上，01,3λλ<<∴= (12)分[考点]线面平行证明及二面角计算 19.（本题满分12分）（原创 ，中档）《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。
山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试(三)物理试题含答案
齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第三次调研联考 物理试题 命题学校：宜昌一中 命题人：周攀二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14-18题只有一项符合题目要求，第19-21题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错得0分。
（原创，容易）14．实验观察到 , 静止在匀强磁场中A 点的原子核发生α衰变, 衰变产生的新核与α粒子恰在纸面内做匀速圆周运动,运动方向和轨迹示意如图。
则 ( )A ．轨迹2是新核的，磁场方向垂直纸面向里B ．轨迹2是α粒子的，磁场方向垂直纸面向外C ．轨迹1是新核的，磁场方向垂直纸面向里D ．轨迹1是α粒子的，磁场方向垂直纸面向外（原创，容易）15．如图，实线为电场线，虚线为等势面，A 、B 、C 、D 为交点，三点处的电势分别为ϕA 、ϕB 、ϕC 、ϕD .一电子由A 点运动到C 点过程中，电场力做正功，则A ． ϕA < ϕD < ϕB < ϕCB ． ϕA > ϕ B = ϕD > ϕCC ．电子由C 点运动到D 点，电场力做负功D ．电子由A 点运动到B 点，电场力做负功（原创，中档）16．智能手机无线充电器的原理类似于变压器，由发射器和接收器组成，分别有一发射线圈和接收线圈，如图甲所示。
现将甲图部分电路等效成乙图所示的电路图，发射、接收线圈匝数比n 1：n 2=22：1，接收线圈右侧连接有4个理想二极管，若AB 端输入电压为u =311sin 200πt （V ），下列说法中正确的是（ ）B A电池 甲 接收线圈发射线圈乙A．C端永远是负极B．CD端输出电压的有效值为10VC．CD端输出电压的频率是100HD．当AB端输入恒定直流电时，CD端输出的也是直流电（原创，中档）17．如图，一把高级玩具枪在固定位置先用激光瞄准器水平发射激光，照到靶子上，记录下光点位置A，然后沿水平方向射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，留下的弹孔B . 已知A、B在竖直方向上相距高度差为5cm，枪口到靶的水平距离为20m，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为10m/s2则（）A．子弹从射出到打中靶的飞行时间为0.2sB．玩具枪射出的子弹的速度为100m/sC．发射子弹的同时释放靶子，子弹将从A、B连线上某点穿出D．发射子弹的同时释放靶子，子弹将从A点穿出（原创，中档）18．如图所示，斜面AB竖直固定放置，物块（可视为质点）从A点静止释放沿斜面下滑，最后停在水平面上的C点，从释放到停止的过程中克服摩擦力做的功为W . 因斜面塌陷，斜面变成APD曲面，D点与B在同一水平面上，且在B点左侧。
2018届湖北省黄冈中学高三5月第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 根据复数的几何意义，复数都可以表示为，其中为的模，称为的辐角.已知，则的辐角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将复数化为，根据辐角的定义可得结果.详解：，，的辐角为，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 已知“”，：“”，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：利用对数函数的单调性，根据充要条件的定义可得结果.详解：时，，而时，，即不一定成立，是充分不必要条件，故选B.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3. 已知等差数列的前项和为，，且，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】分析：由，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得结果.详解：由，，可得，解得，，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4. 下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（）A. 2009年产值比2008年产值少B. 从2011年到2015年，产值年增量逐年减少C. 产值年增量的增量最大的是2017年D. 2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低【答案】D【解析】分析：读懂题意，理解“年增量”量的含义，逐一分析选项中的说法，即可的结果.详解：对，2009年产值比2008年产值多万元，故错误；对，从2011年到2015年，产值年增量逐年增加，故错误；对，产值年增量的增量最大的不是2017年，故错误；对，因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定，所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低，对，故选D.点睛：本题主要考查条形图的应用以及条形图的性质，意在考查学生的阅读能力，划归思想以及建模能,属于中档题.5. 已知点，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，则抛物线的标准方程为（ ）A. B. 或C. D.或【答案】D【解析】分析：由过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，可判定一定在抛物线上，讨论抛物线焦点位置，设出方程，将点代入即可得结果.详解：过，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一定在抛物线上：一条切线，一条对抛物线的对称轴平行的直线，若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，将代入方程可得，物线的标准方程为；若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，代入方程可得得，将物线的标准方程为，故选D.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线、点与抛物线的位置关系，属于中档题.求抛物线的标准方程，首项要判断抛物线的焦点位置以及开口方向，其次根据题意列方程求出参数，从而可得结果.,6. 已知，是方程的两根，则（ ）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.详解：，是方程的两根，，，，，，，，得或（舍去），故选D.点睛：本题主要考查韦达定理的应用，两角和的正切公式以及二倍角的正切公式，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.7. 陶艺选修课上，小明制作了空心模具，将此模具截去一部分后，剩下的几何体三视图如图所示，则剩下的模具体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知，原模具是中间为空心圆柱的正四棱柱截去了部分后的组合体，利用三视图中数据可得结果.详解：由三视图可知，原模具是中间为空心圆柱的正四棱柱截去了部分后的组合体，其中，正四棱锥是底面棱长为，高为，圆柱的底面半径为，高为，该几何体体积为，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出的值分别为（）（参考数据：）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，可得正边形面积是，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是，顶角是，所以正边形面积是，当时，；当时，；当时，；符合，输出，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（）A. 48B. 72C. 64D. 96【答案】A【解析】分析：分的因数由若干个、若干个、若干个、若干个相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含的因数个数即可得结果.详解：的因数由若干个（共有四种情况），若干个（共有两种情况），若干个（共有四种情况），若干个（共有两种情况），由分步计数乘法原理可得的因数共有，不含的共有，正偶数因数的个数有个，即的正偶数因数的个数是，故选A.点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10. 已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先利用数形结合得到，判断函数的单调性，得到函数在为增函数，从而可得结果.详解：时，，所以函数，在为增函数，通过平移可得，在为增函数，作出与的图象，，可得，故，故选C.11. 如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别过、作、所在平面的垂线，两垂线的交点到的距离相等，即，结合，利用勾股定理可得球半径，从而可得结果.详解：由已知可知，、的外接圆圆心分别为、的中点、，分别过、作、所在平面的垂线，两垂线的交点到的距离相等，即所以为球心，由等腰三角形的性质得，由三角形中位线定理可得，所以即为二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，所以，所以，故选B．点睛：本题主要考查二面角的定义、线面垂直的性质以及球的表面积公式，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径（球心在过底面外接圆圆心与底面垂直的直线上）.12. 直角梯形中，，.若为边上的一个动点，且，则下列说法正确的是（）A. 满足的点有且只有一个B. 的最大值不存在C. 的取值范围是D. 满足的点有无数个【答案】C【解析】分析：利用平面向量基本定理，结合平面向量的加法法则，通过找到符合题意的点的特殊位置，逐一判断四个选项中的命题的真假即可.详解：中，与重合有最小值，与重合有最大值，对；中，与重合时，为的中点时，满足的点有两个，错；中，连接交于，与重合时，满足的点有两个，错；中，与重合时的最大值为，错，故选C．点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查平面向量基本定理，以及平面向量的加法法则，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知展开式的常数项是第7项，则正整数的值是_______.【答案】10【解析】分析：利用通项公式，令第7项的幂指数为零，列方程求解即可.详解：展开式的常数项是第项，令，解得，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14. 某旅行团按以下规定选择五个景区游玩：①若去，则去；②不能同时去；③都去，或者都不去；④去且只去一个；⑤若去，则要去和.那么，这个旅游团最多能去的景区为_______.【答案】C 和D【解析】分析：可假设⑤正确，然后根据能去不能去的关系得出矛盾，从而可得不能去，进而得都去，再判断不能去即可得结果.详解：先从⑤开始判断，如果去，则和也必须去；根据③，必须同去或不同去，从上面可以看出，已经去了，也必须去，因此现在可以去的地方是；结合①，若去，则也必须去，因此，从①，③，⑤可以判断如果去，则都必须去，与④矛盾，因此不能去；由④得，则必须去，结合③可以判断两地是必须去的；再看②，两地只去一地，已经判断是必须去的，因此不能去；至此，已经判断出必须去，而不能去，由①知，若去，则也必须去，已经判断出不能去，如果去，则与之矛盾，因此不能去，所以，该团最多能去两个地方，和，故答案为和.点睛： 本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.15. 已知双曲线的左右焦点分别为，以虚轴为直径的圆与在第一象限交于点，若与圆相切，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】分析：先根据与圆相切求出，在中，由射影定理可得，，将的坐标代入即可得结果.详解：以虚轴为直径的圆与在第一象限交于点，若与圆相切，，作于，在中，由射影定理可得，，即，将的坐标代入，解得，即，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．16. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….若第次“扩展”后得到的数列为1，，，…，，2，并记，其中，，则数列的前项和为______.【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.详解：，所以=所以，所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角对边分别为，且满足（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）3【解析】分析：（1）由，利用余弦定理求得，结合利用三角形面积公式求解即可；（2）根据诱导公式以及两角和的余弦公式可求得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18. 如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）分别取中点，分别连接，可证明平面平面，可得，又，∴四边形为平行四边形，，从而可得平面；（2）以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）分别取中点，分别连接，则且∵平面及平面都与平面垂直，∴平面平面，由线面垂直性质定理知，又，∴四边形为平行四边形，又平面，∴平面.（2）如图，以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，则.平面的一个法向量，设平面的法向量，则，取得∴，注意到此二面角为钝角，故二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？【答案】（1）（2）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人.【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在之间的概率为，服从二项分布，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布， 即，故所求概率为（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）定点坐标为.【解析】分析：（Ⅰ）意味着通径的一半，最大面积为，所以，故椭圆的方程为.详解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，∴，整理得，即，②联立①②可得，变形得，解得，进而.∴椭圆的方程式为.(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.设直线与轴交于点，直线的方程为，联立，消去，得，∴，，由三点共线，即，将，代入整理得，即，从而，化简得，解得，于是直线的方程为，故直线过定点.同理可得过定点，∴直线与的交点是定点，定点坐标为.点睛：（1）若椭圆的标准方程为，则通径长为；（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点.21. 已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值，求函数在上的最大值；（3）求证：当时，.【答案】（1）见解析（2）在处取得最大值.（3）见解析【解析】分析：（1）对a分类讨论，求函数的单调区间.(2)根据函数在上存在最大值0转化得到a=1,再求函数在上的最大值.(3)先利用第2问转化得到，再证明≤0.详解：（1）由题意可知，，则，当时，，∴在上单调递增；当时，解得时，，时，∴在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，且在处取得最大值，，即，观察可得当时，方程成立令，当时，，当时，∴在上单调递减，在单调递增，∴，∴当且仅当时，，所以，由题意可知，在上单调递减，所以在处取得最大值（3）由（2）可知，若，当时，，即，可得，令，即证令，∵∴，又，∴∴，在上单调递减，，∴，当且仅当时等号成立所以.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于先利用第2问转化得到，这实际上是放缩，再证明≤0.体现的主要是转化的思想.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线的极坐标方程是.直线的参数方程为（为参数，）.设，直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，当时，直线，代入曲线可得，解得或，从而可得；（2）将代入到得，，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.详解：（1）曲线的方程是，化为化为，∴曲线的方程为当时，直线代入曲线可得，解得或∴.（2）将代入到得，由，得化简得（其中），∴∴∴.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（）.（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】试题分析：(1)利用题意结合绝对值不等式的性质可得实数的最大值为1；(2)利用函数的解析式零点分段可得实数的取值范围是．试题解析：（Ⅰ）．∵，∴恒成立当且仅当，。
齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高考冲刺模拟三数学(文)试卷word版含答案
齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（三）文科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一.选择题1．若集合M ={（x ，y ）|x +y =0}，N ={（x ，y ）|x 2+y 2=0，x ∈R ，y ∈R }，则有（ ）A ．M ∪N =MB ．M ∪N =NC ．M ∩N =MD ．M ∩N =∅2．已知复数20182iZ i -+=（i 为虚数单位），则复数Z 的共轭复数Z 的虚部为（） A ．i B. i - C.1 D. 1- 3．下列命题中，真命题是A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2x x R x ∀∈> D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件4．某程序框图如图，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 5．已知132a -=，21log 3b =,121log 3c =,则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>6．在满足条件21031070x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩的区域内任取一点(,)M x y ，则点(,)M x y 满足不等式22(1)1x y -+<的概率为（）A ．60πB ．120πC ．160π-D ．1120π-7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（）A. 1.6B. 1.8C. 2.0D.2.4 8．已知函数()2sin() (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<，12()2,()0f x f x ==，若12||x x -的最小值为12，且1()12f =，则()f x 的单调递增区间为（）A. 15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦B.51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦D.17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．定义在Ｒ上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x +-=，且0x <时，'()f x x <恒成立，则不等式1()(1)2f x f x x --≥-的解集为（） A ．1(,]2-∞B ．11(,)22-C ．1[,)2+∞D ．(,0)-∞10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥，则m =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，该棱柱的体积为，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，若在该三棱柱内部有一个球，则此球表面积的最大值为( )A ．8πB ．(16π-C ．2πD ．(4π-12．若A 、B 是抛物线2y x =上关于直线30x y --=对称的相异两点，则||AB =A ．3B ．4C ．D ．二.填空题13．若向量,a b 满足||||2a b == ,且()2a a b ⋅-= ,则向量a 与b的夹角为.14．某工厂有120名工人，其年龄都在20~ 60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备。
2018届高三普通高校统一招生考试仿真卷(三)数学(理)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =I （ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160B ．320C ．480D ．640班级 姓名 准考证号 考场号 座位号4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则（ ） A ．B 2C 3D ．6．设函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>，其图象的一条对称轴在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内，且()f x 的最小正周期大于，则ω的取值范围为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2 C ．()1,2 D ．[)1,27．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ） （参考数据：sin150.2588≈o ，sin7.50.1305≈o ）A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A ．14πB ．49π C ．19D ．58π11．已知()cos23,cos67AB =︒︒u u u r ，()2cos68,2cos22BC =︒︒u u u r，则ABC △的面积为（ ） A ．2B 2C ．1D ．2212．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（ ） A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷+Word版含解析
山东、湖北部分重点中学2018年第二次联考(理)数学试题（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（原创，容易）已知复数z 满足(1)3i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】(1)3i z i -=-+321iz i i-+⇒==---,则2z i =-+.故选B 【考点】复数运算及几何意义.2．（原创，容易）已知全集{}{}2|560,12U x Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤，{}2,3,5B =，则()U A B = ð （ ） A ．{}2,3,5 B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5【答案】B【解析】{}{}0,1,2,3,4,5,0,1,2U A ==,则()U A B = ð{}3,5. 【考点】二次不等式及集合运算.3.（原创，容易）在等差数列{}n a 中，7=14S ，则246a a a ++=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】744=147142S a a ⇒=⇒=,则246436a a a a ++==. 【考点】等差数列性质.4.（原创，容易）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．．．．【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥A BCD -，如左下图所示，则三棱锥A BCD -的表面积为A BCD S -=21422282⨯⨯⨯+⨯=+【考点】三视图还原及三棱锥的表面积.5.（原创，中档）已知 1.10.6122,3,log 3a b c ===,则,,a b c 的大小为（ ）A ．b c a >> B.a c b >> C. b a c >> D.a b c >> 【答案】D【解析】 1.10.61220,30,log 30a b c =>=>=<, 1.10.622,32a b =>==<=【考点】指数函数对数函数的性质. 6.（原创，中档）若函数()sin(2)3f x x π=+图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，则有（ ） A ．()cos g x x = B ．()sin g x x = C ．()cos()3g x x π=+ D ．()sin()3g x x π=+【答案】A【解析】：26sin(2)sin()sin()cos 332y x y x y x x ππππ=+−−−−−→=+−−−→=+=左移横坐标变为倍.【考点】正余弦型函数的图象变换.7.（原创，中档）已知命题:p 若a c b c ⋅=⋅ ，则a b = ，命题:q 若2,a b a b +=<，则21b > ，则有（ ）A ．p 为真 B.q ⌝为真 C. p q ∧为真 D.p q ∨为真 【答案】D【解析】p 为假，2,a b a b +=<2211b b b b ⇒>-⇒>⇒> ，q 为真. 则p q ∨为真，故选D【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.8.2cos()4θθ=+，则sin2θ=（）A．13B．23C．23-D．13-【答案】C【解析】222(cos sin)22(cos sin)2cos sinθθθθθθθθ-=⇒+=⇒-2244sin23sin2sin23θθθ+=⇒=-或sin22θ=(舍),故选C考点：三角函数恒等变形．9.（原创，中档）如图所示，扇形AOB的半径为2，圆心角为90 ，若扇形AOB绕OA旋转一周，则图中阴影部分绕OA旋转一周所得几何体的体积为（）A．3π B．5πC．83πD．163π【答案】C【解析】扇形AOB绕OA旋转一周所得几何体的体积为球体积的12，则321633V rππ==，AOB∆绕OA旋转一周所得几何体的体积为31833rππ⨯=，阴影部分旋转所得几何体的体积为83π，故选C【考点】旋转体体积、割与补.10．（原创，中档）函数22()41xxxf x⋅=-的图象大致为（）A BC D【答案】A【解析】222()()()()4122x xx xx x f x f x f x f x -⋅==⇒-=-⇒--为奇函数，排除B ；()0x f x →+∞⇒→；排除D ；211(1=()()(1)322f f f f =⇒<），，排除C ；故选A【考点】函数性质及图象.11.（原创，中档）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23，，，===a a a ，若,2017i j a =，则i j +=（ ）A ．64B ．65C ．71D ．72【答案】D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=， 按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有(1)122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==⇒+=，故选D【考点】等差数列与归纳推理.12.（原创，难）已知函数()2cos()4f x x x π=+，给出下列命题：①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 关于4x π=对称；③函数()f x 关于3(,0)4π对称；④函数()f x的值域为[，则其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】()2cos()4f x x x π=+的周期显然为2π；())cos()2sin 422f x x x x x πππ+=++=；()2)cos()2sin 422f x x x x x πππ-=-+-+=；()()44f x f x ππ+=-，故②正确.33())cos()2cos 42f x x x x x πππ+=++=33()2)cos()2cos 42f x x x x x πππ-=-+-+=；33()()44f x f x ππ+=--，故③正确. 2()(cos sin )(cos sin )f x x x x x =+-，设22cos sin (cos sin )2x x t x x t +=⇒-=-，则[t ∈，32y t t =-2min max 230y t t y y '=-=⇒=⇒==，故④正确 【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.（原创，容易）若(,2),(1,1)a x b x ==-，若()()a b a b +⊥- ，则x = ．【答案】1-【解析】22()()1a b a b a b x +⊥-⇒=⇒=-【考点】向量坐标运算及向量垂直.14.（原创，容易）已知实数,x y 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为 ．【答案】5【解析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），11222z x y y x z =+⇒=-+，则在点(1,2)A 处取得最小值5【考点】基本型的线性规划15.（原创，中档）已知在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1112,21n n n a a a -+==++，则10S = ．【答案】1078【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒ 23122211n n n a n a --=+++++-+ .111212212n n n n ---=+-+=+-. 29101011122210782S ⨯=+++++= . 【考点】等差等比数列及均值不等式16.（原创，难）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD为斜边的等腰直角三角形，若4SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为 ．【答案】8[]33【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，SC =又4SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为8[]33【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）（原创，容易）已知单调的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若339S =，且43a 是65,a a -的等差中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 前n 项的和为n T ，求1231111nT T T T ++++ . 【答案】(Ⅰ) 3n n a = ；(Ⅱ)43（18）解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍）；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分3n n a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分3521(2)n T n n n =++++=+ ………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+ 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++ ……………………12分 【考点】等比数列基本量运算、数列求和 18．（本题满分12分）（原创，中档）设函数()2sin()cos 3f x x x π=+-(Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C，若()2A f =ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 （18）解：(Ⅰ) 1()2sin()cos sin 2cos 23222f x x x x x π=+-=+……3分s i n (2)3x π=+……………4分5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则b c a +-=9分222(b c b c bc +-=+-……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：1r a b c =⇔++=……9分代入222()b c b c bc +-=+-；……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）；……………11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值. 19．（本题满分12分）（原创，中档）如图，三棱台111ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面11AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥,且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA = ，2AE EB =，证明：DE ∥平面11BCC B ； （Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC =,易知：111,2AC AC D AD DC == ……2分； 又2AE EB =，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分； （Ⅱ）侧面11AC CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角，BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，则有：11111100(1,00m AB y m m AB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩……10分； 设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，则有：22122200030m CB y n m CB y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩……11分； 1cos ,4m n m n m n⋅<>==-， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分； 【考点】线面平行证明及二面角计算. 20. （本题满分12分）设函数2()2(2)23xf x x e ax ax b =--++-（原创，中档）（Ⅰ）若()f x 在0x =处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为240x y ++=，求实数,a b 的值；（原创，难）（Ⅱ）若1x =是()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围. （Ⅰ）解：()2(1)22x f x x e ax a '=--+；……………………2分； 由题意可知：(0)2f '=；……………………3分；(0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，则有(0)21f b =-⇒=；………………5分；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2(1)222(1)()x x f x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分； （1）当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤适合题意；………………7分； （2）当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<适合题意；………………9分；（2）当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适合题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分； 【考点】函数切线及函数极值. 21.（本题满分12分） 已知函数()(ln 1)1f x x x ax ax =⋅++-+．（原创，中档）（Ⅰ）若()f x 在[1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围. （原创，难）（Ⅱ）若()f x 的最大值为2，求实数a 的值. （Ⅰ）()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分；2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分； 设2ln (),[1,)12x g x x x +=∈+∞-，则2122ln ()(12)x x g x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分； （Ⅱ）注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，则(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分 设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-适合题意；……………12分【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明.选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】（原创，容易）已知直线l 的参数方程为()x t t y a t=⎧⎨=-⎩为参数．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 与圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1，求实数a 的值．解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分，0x t x y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分 （Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =；…………10分，【考点】方程互化、圆弦长.23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 （原创，容易）已知函数()241f x x x =-++,（Ⅰ）解不等式()9f x ≤；（Ⅱ）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}230B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.23. 解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分（Ⅱ）易知(0,3)B =；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分 【考点】绝对值不等式解法、不等式恒成立.齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（理）参考答案及评分标准1．【答案】B2．【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】C10．【答案】A11.【答案】D12.【答案】D13.【答案】1-14.【答案】515.【答案】107816.【答案】8]317.【答案】(Ⅰ) 3n n a = ；(Ⅱ)43 解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍）；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分 3n n a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分3521(2)n T n n n =++++=+ ………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+ 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++ ……………………12分 【考点】等比数列基本量运算、数列求和18．【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 解：(Ⅰ) 1()2sin()cos sin 232f x x x x x π=+-=+……3分 s i n (2)3x π=+……………4分 5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，则b c a +-=9分222(b c b c bc +-=+-……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ， 当且仅当b c =时，AB AC ⋅ 的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：12r a b c =⇔++=……9分代入222()b c b c bc +-=+-；……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）；……………11分1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ， 当且仅当b c =时，AB AC ⋅ 的最小值为6.……………12分19．19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC =,易知：111,2AC AC D AD DC == ……2分； 又2AE EB = ，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；（Ⅱ）侧面11AC CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，则有：11111100(1,00m AB y m m AB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩ ……10分； 设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，则有：22122200030m CB y n m CB y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩……11分； 1cos ,4m n m n m n⋅<>==- ， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分；20.（Ⅰ）解：()2(1)22x f x x e ax a '=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f '=；……………………3分；(0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，则有(0)21f b =-⇒=；………………5分；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2(1)222(1)()x x f x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分；（1）当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤适合题意；………………7分；（2）当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<适合题意；………………9分；（2）当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适合题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分；21.（Ⅰ）()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分； 2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分； 设2ln (),[1,)12x g x x x +=∈+∞-，则2122ln ()(12)x x g x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分； （Ⅱ）注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，则(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分 设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-适合题意；……………12分22．解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分， 0x t x y a x y a y a t =⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分 （Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =；…………10分，23. 解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分（Ⅱ）易知(0,3)B =；…………………………6分 所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分。
2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品
x2
5． 已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为 （
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分） 设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列， 且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都 不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。
山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试(一)数学(理)试题(含答案)
齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(原创，容易)已知全集1=|0,A={1,2,4},5x U x N CuA x +⎧⎫∈≤=⎨⎬-⎩⎭则（ ） A.{3} B.{0，3，5} C.{3，5} D.{0，3} [答案]D[解析]全集U={0，1，2，3，4}，则CuA={0，3} [考点]分式不等式及集合运算.2.(原创，容易)已知i 为虚数单位，现有下面四个命题p 1：复数z 1=a +bi 与z 2=－a +bi ，（a ，b R ∈）在复平面内对应的点关于实轴对称； p 2：若复数z 满足(1-i )z =1+i ，则z 为纯虚数； p 3：若复数z 1，z 2满意z 1z 2R ∈，则z 2=1z ； p 4：若复数z 满足z 2+1=0，则z ＝±i . 其中的真命题为（ ）A.p 1，p 4B.p 2，p 4C.p 1，p 3D.p 2，p 3 [答案]B[解析]对于p 1：z 1与z 2关于虚轴对称，所以p 错误；对于p 2：由(1－i)z=1+i ⇒z=11ii i+=-，则z 为纯虚数，所以p 2正确；对于p 3：若z 1=2，z 2=3，则z 1z 2=6，满足z 1z 2R ∈，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以p 3不正确；p 4正确.[考点]复数与命题真假的综合.3.(原创，容易)已知2:2,:,10p a q x R x ax p q >∀∈++≥是假命题,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析] 2:,10q x R x ax q ∀∈++≥∃∈是假命题,则非:x R,使210x ax ++<是真命题，24022,a a a p q =->⇔<->或则是的充分不必要条件.[考点]二次不等式及充分、必要条件.4.(原创，容易)在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N （80，σ2）(σ>0)，若ξ在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ） A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 [答案]B[解析]由题意可得1(070)(90100)(10.8)0.12P p ξξ≤≤=≤≤=⨯-=.[考点]正态分布.5.(原创，容易)某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（ ）D.4 [答案]C[解析]由三视图可得该几何体是一个四面体，可以将其放入棱长分别为1，2，3的[考点]三视图还原.6.(原创，容易)要使右边的程序框图输出的S=2cos 3992cos32cos99,πππ++⋅⋅⋅+则判断框内（空白框内）可填入（ ）A.99n <B.100n <C.99n ≥D.100n ≥ [答案]B[解析]要得到题中的输出结果，则1,3,,99n =⋅⋅⋅均满足判断框内的条件，101n =不满足判断框内的条件，故空白框内可填入100.n < [考点]程序框图.7.(原创，中档)已知等差数列{}n a 的第6项是二项式62()x y x-+展开式的常数项，则210a a +=（ ） A.160 B.－160 C.320 D.－320 [答案]D[解析]二项式62()x y x -+展开式的常数项是由3个x 和3个2x-相乘得到的，所以常数项为 3333632()160,C x C x⋅⋅⋅-=-所以6160a =-，由等差数列的性质可得21062a a a +==－320.[考点]二项式定理及等差数列的性质. 8.(原创，中档)将函数sin()3y x π=-的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移3π个单位，得到函数()y f x =的图象，则函数()'()f x y f x =在区间[0,2]π上的对称中心为（ ）A.(,0),(2,0)ππB.(,0)πC.(0,0),(,0)πD.(0,0),(,0),(2,0)ππ [答案]D[解析]111()sin()'()cos().22222f x x f x x ππ=-⇒=-故()12tan()'()22f x x f x π=-，令122x π- =(1)(),2k x k k Z ππ⇒=+∈故k 所有可能的取值为－1，0，1，故所求对称中心为（0，0），（π，0），（2π，0）.[考点]三角函数的图象变换及正切函数的对称中心.9.(原创，中档)已知点P 是双曲线C ：22124y x -=的一条渐近线上一点，F 1、F 2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 到y 轴的距离为（ ） A.14 B.12C.1D.2 [答案]D[解析]不妨设点P 在渐近线y =上，设00,),P y 又12(0,F F ，由以F 1F 2为直径的圆经过点P ，得120000(,)()PF PF y y ⋅=⋅=20360y -=，解得0y =P 到y 轴的0|2y =. [考点]双曲线的几何性质10.(原创，中档)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足(),(0,),||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++∈+∞则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心 [答案]C[解析]在△ABC 中，由正弦定理得||||,||sin ||sin ,sin sin AB AC AB B AC C k BC C B===设边上的中点为D ，由已知可得2(),(),AB AC OP OA AP AB AC AD k k k kλλλ-=+=+=即故P 点的轨迹在三角形的中线上，则P 点轨迹一定通过三角形的重心.[考点]平面向量的加减法的几何运算及向量共线的应用.11.(原创，难)设直线43y x =-与椭圆22:12516x y E +=交于A 、B 两点，过A 、B 两点的圆与E 交于另两点C 、D ，则直线CD 的斜率为（ ） A.－14 B.－2 C.14D.－4 [答案]D[解析]本题来源于教材选修4-4中第38页例4，如图所示，AB 、CD 是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P ，两弦AB 、CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，则||PA ||||||PB PC PD ⋅=⋅. [考点]直线与圆、椭圆的综合12.(改编，难)若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- [答案]A[解析]由题意可得ln ,(0,)ln x x a x x x x =-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x x=-∈-22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2l n y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y∈+∞>递增，则min11ln 1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2l n 0.x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--. [考点]函数的零点与导数的综合应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(原创，容易)设命题2:,4,np n N n p ∃∈>⌝则为 . [答案]2,4nn N n ∀∈≤.[解析]特称命题的否定是全称命题. [考点]全（特）称命题的否定.14.(原创，容易)直线sin 30()x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是 . [答案]3[,]44ππ[解析]若sin 0α=，则直线的倾斜角为90°；若sin 0α≠，则直线的斜率k ＝1(,1][1,),sin α-∈-∞-+∞设直线的倾斜角为θ，则tan (,1][1,)θ∈-∞-+∞，故θ∈[,)42ππ3(,]24ππ，综上可得直线的倾斜角的取值范围是3[,]44ππ. [考点]直线的倾斜角与斜率的关系.15.(原创，中档)设实数,x y 满足250,20,220,xx yx y x y y ++-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则的最小值是 .[答案]18[解析]不等式组对应的可行域如图，令1,(3,1)yu u x=+则在点处取得最小值，min 141,33u =+=在点（1，2）处取得最大值，max 123,u =+=故u 的取值范围是411[,3],[328∈u 则() [考点]求线性约束条件下目标函数的最值.16.(改编，难)已知G 为△ABC 的重心，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，满足,AG x AM y AN =+其中31.,4x y AM AB +==若则△ABC 和△AMN 的面积之比为 . [答案]209[解析]连接AG 并延长交BC 于D ，此时D 为BC 的中点，故12(),23AD AB AC AG AD =+=1(3AB =),AC +设3,,4AN AC AM AB λ==因为所以34AG xAM y AN xAB y AC λ=+=+. 所以31343,1,153x x y y λλ⎧=⎪⎪+==⎨⎪=⎪⎩又因为解得，则||||4520339||||S ABC AB AC S AMN AM AN ⋅==⨯=⋅. [考点]平面向量的综合应用三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分)(原创，容易)在等差数列510{}0,10.n a a a ==中, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列101{}()2n a n n b b +=满足，求数列{}n nb 的前n 项和S n .解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则1(1),n a a n d =+-由5100,10,a a ==得方程组11140,8910,2a d a a d d +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，解得，………………………………………………………………4分 所以8(1)2210.n a n n =-+-⨯=-……………………………………………………… 6分 （Ⅱ) 由(I)得，2101011()(),244n n n n n nb nb -+===所以……………………………………………8分 1211,444n n nS =++⋅⋅⋅+ ① 231111,4444n n n S +=++⋅⋅⋅+ ② ①－②，得121111(1)31114434444444n n n n n n n S ++-=++⋅⋅⋅+-=-， 所以434994n nn S +=-⋅…………………………………………………………………………12分 [考点]等差数列基本量运算、数列求和.18.(本题满分12分)（原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD=2AB ，Q 为棱PC 上一点.(Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：B Q ∥平面PAD ； (Ⅱ),PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q -BD-P 为60°. 解析：(Ⅰ)证明：取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ，Q P C 点是的中点，∴M Q ∥CD ，1.2MQ CD =…………………………………………1分 又AB ∥CD ，1,2AB CD QM =则∥AB ，QM ＝AB ， 则四边形ABQM 是平行四边形.BQ ∴∥AM.……………………3分 又AM ⊂平面PAD ，BQ ⊄平面PAD ，BQ ∴∥平面PAD.……4分（Ⅱ）解：由题意可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分 令000000(,,),(,,1),(0,2,1).Q x y z PQ x y z PC =-=-则000,(,,1)(0,2,1),PQ PC x y z λλ=∴-=-(0,2,1).Q λλ∴-……………………………………… 7分又易证BC ⊥平面PBD ，(1,1,0).PBD ∴=-是平面的一个法向量n 设平面QBD 的法向量为(,,),x y z =m,0,0,22(1)0,.0,1x y DB x y y z z y DQ λλλλ=-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎪⎪⎩-⎩则有即解得m m令21,(1,1,).1y λλ==--则m …………………………………………………………………9分 60Q BD P --二面角为，||1|cos ,|,||||2⋅∴<>===m n m n m n解得3λ=………………………………………………………………………………11分Q 在棱PC 上，01,3λλ<<∴=…………………………………………………12分[考点]线面平行证明及二面角计算 19.（本题满分12分）（原创 ，中档）《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学五模试卷(理科)
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学五模试卷（理科）一.选择题1. 已知集合A={−1, 0, 1, 2}，B={y|y=|x|+1, x∈A}，则A∩B等于（）A.{−1, 0, 1, 2}B.{0, 1, 2}C.{1, 2}D.{−1, 0, 1, 2, 3}2. 已知复数z=i+2i−1（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知命题p:∃x∈R，sinx=π3；q:∀x∈(0, +∞)，x+1x≥2，则下列判断正确的是（）A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧￢q是假命题D.命题p∨￢q是真命题4. 若2m>2n>1，则（）A.1 m >1nB.log12m>log12nC.ln(m−n)>0D.πm−n>15. 已知单位向量e1→，e2→的夹角为π3，则a→=3e1→−2e2→，b→=3e1→−e2→的夹角为β，则cosβ等于（）A.13 14B.−1314C.12D.−126. 执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出S=()A.20B.14C.6D.127. 若函数f(x)=3sinωx+√3cosωx(x∈R)，又f(α)=−2√3，f(β)=0，且|α−β|的最小值为π4，则正数ω的值是（）8. 四棱锥P −ABCD 的侧面PAB 垂直于底面ABCD ，且三角形PAB 是等边三角形，底面ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P −ABCD 外接球的表面积为（ ）A.28√327π B.√213C.4πD.283π9. 已知变量x ，y 满足条件{y ≤xx +y ≥2y ≥3x −6 ，则目标函数z =x −y +|x +2y −2|的最大值为（ ） A.8 B.7 C.6 D.510. 从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中x 9的系数为m 的选项是（ ）A.(1+x)(1+x 2)(1+x 3)…(1+x 11)B.(1+x)(1+2x)(1+3x)…(1+11x)C.(1+x)(1+2x 2)(1+3x 3)…(1+11x 11)D.(1+x)(1+x +x 2)(1+x +x 2+x 3)…(1+x +x 2+...+x 11)11. 已知A ，B 两点的距离为定值√3，∠ACB =60∘，动点C 的轨迹与A ，B 两点构成的平面图形记为ψ，给出下列四个命题：①图形ψ是轴对称图形，不是中心对称图形； ②图形ψ的长度为2π； ③图形ψ的面积为4π3+√32； ④设M ，N 是图形ψ上任意两个点，则|MN|max =3，上述命题中， 真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.412. 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意的实数x 都有f ′(x)=e −x (2x +3)−f(x)（e 是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x 的不等式f(x)−m <0的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是( ) A.(−e, 0] B.[−e 2, 0) C.[−e, 0) D.(−e 2, 0] 二.填空题设函数f(x)={3−x −2√xx ≤0x >0，若f(x 0)=1，则x 0=________．已知数列{a n }的首项为3，等比数列{b n }满足b n =a n+1a n，且b 1009=1，则a 2018的值为________．过抛物线y 2=8x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线x =−2上，则△ABC 的边长是________已知点A(97, 127)，B(53, 13)，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数f(x)=log 2x+1x−1−三.解答题已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2−14n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1|a n a n+1|}的前20项和T20．如图，已知在四棱锥P−ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD // BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3（1）求证：平面PAB⊥面ABCD（2）求二面角O−PD−C的余弦值．某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0, 120)，历年中日泄流量在区间[30, 60)的年平均天数为156，一年按364天计．(Ⅰ)请把频率分布直方图补充完整；(Ⅱ)该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X<90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2=b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；△PAC 的重心，探求△PAC 的面积S 是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S 的取值范围．设函数f(x)=|e x −a|−a|x −lna|(a >0) （1）求f(x)的单调递增区间及所有零点；（2）设0<a 1<a 2，记f i (x)=|e x −a i |−a i |x −lna i |(i =1,2)，证明：存在x ∈R ，使得f 1(x)−f 2(x)<(a 2−a 1)ln2在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα ，其中α为参数，曲线C 2:x 2+y 2−2y =0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B （均异于原点O ） （1）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）当0<α<π2时，求|OA|2+|OB|2的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −1|+|x −2|，记f(x)的最小值为k ． （1）解不等式f(x)≤x +1；（2）是否存在正数a 、b ，同时满足：2a +b =k ，1a +2b =4？并证明．参考答案与试题解析2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学五模试卷（理科）一.选择题1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据题意求出集合B，再计算A∩B．【解答】集合A={−1, 0, 1, 2}，B={y|y=|x|+1, x∈A}={1, 2, 3}，则A∩B={1, 2}．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】∵z=i+2i−1=(i+2)(−1−i)(i−1)(−1−i)=−12−32i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(−12, −32)，位于第三象限角．3.【答案】C【考点】复合命题及其真假判断【解析】根据题意，分析可得命题p和q，前者假命题后者真命题，结合复合命题真假的判定方法，分析选项即可得答案．【解答】根据题意，命题p:∃x∈R，sinx=π3，而π3>1，则p为假命题，q:∀x∈(0, +∞)，x+1x ≥2，由于当x>0时，x+1x≥2√x×1x=2，q为真命题；据此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，命题p∧￢q是假命题，命题￢p∧q是假命题，选项C是正确的；4.【答案】不等式的基本性质 【解析】2m >2n >1，可得m >n >0，再利用函数的单调性、不等式的性质即可得出． 【解答】∵ 2m >2n >1，∴ m >n >0，∴ 1m <1n ，log 12m <log 12n ，ln(m −n)与0的大小关系不确定，πm−n >1． 因此只有D 正确．5.【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据题意，由向量的数量积计算公式可得a →⋅b →、|a →|、|b →|的值，结合向量夹角计算公式计算可得答案． 【解答】根据题意，单位向量e 1→，e 2→的夹角为π3，则e 1→⋅e 2→=1×1×cos π3=12，a →=3e 1→−2e 2→，b →=3e 1→−e 2→，则a →⋅b →=(3e 1→−2e 2→)⋅(3e 1→−e 2→)=9e 1→2+2e 2→2−9e 1→⋅e 2→=132，|a →|2=(3e 1→−2e 2→)2=9e 1→2+4e 2→2−12e 1→⋅e 2→=7，则|a →|=√7，|b →|2=(3e 1→−e 2→)2=9e 1→2+e 2→2−6e 1→⋅e 2→=7，则|b →|=√7，故cosβ=a →∗b→|a →||b →|=1327×7=1314；6.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M ，S ，k 的值，当k =4时不满足条件k ≤3，退出循环，输出S 的值为12． 【解答】模拟执行程序，可得 M =1，S =1，k =1满足条件k ≤3，M =3，S =4，k =2 满足条件k ≤3，M =2，S =6，k =3 满足条件k ≤3，M =6，S =12，k =4不满足条件k ≤3，退出循环，输出S 的值为12．A【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求得T 、ω的值． 【解答】函数f(x)=3sinωx +√3cosωx(x ∈R) =2√3(√32sinωx +12cosωx)=2√3sin(ωx +π6)，又f(α)=−2√3，f(β)=0，且|α−β|的最小值为π4， 则从最小值到相邻的零点的距离是14周期， ∴ T =4×π4=π， ∴ 正数ω=2πT =2．8.【答案】 D【考点】球的体积和表面积 【解析】四棱锥的侧面和底面垂直，且底面为正方形，可以将四棱锥P −ABCD 补成以△PAB 为底面的直三棱柱，直三棱柱外接球的半径即为所求．即可得结论． 【解答】由题意，可以将四棱锥P −ABCD 补成以△PAB 为底面的直三棱柱，直三棱柱外接球的半径，△PAB 是边长为2的等边三角形，其外接圆的半径为2√33； 所以球的半径r =√213，则球的表面积S =4πr 2=283π．9.【答案】 B【考点】简单线性规划 【解析】画出可行域，取得绝对值符号，然后求解最优解，得到结果． 【解答】y ≤x在约束条件下x+2y−2≥0，故z=x−y+(x+2y−2)=2x+y−2易得在(3, 3)处取得最大值7．在约束条件x+2y−2<0，可行域是空集．10.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】x9是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x9．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示9克的方法．结合二项式定理及其排列组合的运算性质即可得出．【解答】解：x9是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x9．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示9克的方法．故“从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个．使其总重量恰为9克的方法总数”，就是“(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x10)(1+x11)”的展开式中x9的系数”.故选A.11.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】由题意画出动点C的轨迹与A，B两点构成的平面图形ψ，结合图形对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】由题意可知，动点C的轨迹与A，B两点构成的平面图形为ψ，如图所示；对于①，图形ψ是轴对称图形，也是中心对称图形，∴ ①错误；对于②，图形ψ的长度为2×23⋅2π⋅√3sin60∘⋅12=8π3，∴ ②错误；对于③，图形ψ的面积为2×(π⋅12−13π⋅12+12⋅1⋅1⋅sin60∘)=4π3+√32，∴ ③正确；对于④，M，N是图形ψ上任意两个点，则|MN|max=2×√3⋅sin60∘=3，∴ ④正确；综上，正确的命题序号是③④．12.【答案】A利用导数研究函数的单调性 函数的零点 【解析】利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出． 【解答】解：∵ f ′(x)=e −x (2x +3)−f(x)， ∴ e x [f(′x)+f(x)]=2x +3， ∴ e x f(x)=x 2+3x +c ， ∵ f(0)=1，∴ 1=0+0+c ， 解得c =1∴ f(x)=(x 2+3x +1)e −x ，∴ f′(x)=−(x 2+x −2)e −x =−(x −1)(x +2)e −x ． 令f ′(x)=0，解得x =1或x =−2，当x <−2或x >1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当−2<x <1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递减增，可得：x =1时，函数f(x)取得极大值，x =−2时，函数f(x)取得极小值， ∵ f(1)=5e ，f(−2)=−e 2<0，f(−1)=−e ，f(0)=1>0，f(−3)=e 3>0∴ −e <m ≤0时，f(x)−m <0的解集中恰有两个整数−1，−2． 故m 的取值范围是(−e, 0]. 故选A . 二.填空题 【答案】 ±1【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】根据函数解析式对x 0分类讨论，分别代入方程化简求出x 0的值． 【解答】由题意知，f(x)={3−x −2√xx ≤0x >0， ①当x 0>0时，方程f(x 0)=1是√x 0=1 解得x 0=1；②当x 0≤0时，方程f(x 0)=1是3−x 0−2=1， 则3−x 0=3，解得x =−1，【答案】3【考点】数列递推式【解析】等比数列{b n}满足b n=a n+1a n，可得lna n+1−lna n=lnb n，利用累加求和方法可得：lna2018−lna1=ln(b1⋅b2•……b2017)=lnb10091009=ln1=0，即可得出．【解答】等比数列{b n}满足b n=a n+1a n，∴lna n+1−lna n=lnb n，∴lna2018−lna2017=lna2017，lna2017−lna2016=lna2016，……，lna2−lna1=lnb1，∴lna2018−lna1=ln(b1⋅b2•……b2017)=lnb10091009=ln1=0，∴a2018=a1=3．【答案】24【考点】抛物线的求解【解析】由抛物线的方程与几何性质，利用△ABC是正三角形，求出直线AB的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB|的值．【解答】抛物线方程为y2=8x，焦点为P(2, 0)，准线方程为l:x=−2，如图所示，由△ABC是正三角形，设M为AB的中点，AA1⊥l，BB1⊥l，MN⊥l，垂足分别为A1、B1和N，则MN=12(AA1+BB1)=12(AF+BF)=12AB，MC=√32AB，又cos∠CMN=√33=sin∠NMF=sin∠AFx，∴直线AB的斜率为k=tan∠AFx=√331−(√33)=√22，由{y =√22(x −2)y 2=8x ，消去y ，得x 2−20x +4=0， ∴ x 1+x 2=20，∴ |AB|=x 1+x 2+p =20+4=24． 【答案】347【考点】对数函数的图象与性质 【解析】求出f(x)是奇函数，从而四边形ABCD 的对角线交与坐标原点，进而四边形ABCD 的面积为△OAB 的面积的四倍，由此能求出四边形ABCD 的面积． 【解答】∵ f(x)=log 2x+1x−1−x ， ∴ f(x)的定义域为(−1, 1)，f(−x)=log 2−x+1−x−1+x =−(log 2x+1x−1−x)=−f(x)， ∴ f(x)是奇函数，∵ 点A(97, 127)，B(53, 13)，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数f(x)=log 2x+1x−1−x 的图象上，∴ 四边形ABCD 的对角线交与坐标原点，∴ 四边形ABCD 的面积为△OAB 的面积的四倍， ∴ 四边形ABCD 的面积：S =4S △OAB =4×12×|OA →|×|OB →|×sin <OA →,OB →>=2×√8149+14449×√259+19×√1−(97×53+127×13√8149+14449×√259+19)2=347．三.解答题【答案】当n =1，S 1=−13；n ≥2且n ∈Z ，a n =S n −S n−1=2n −15．n =1时也成立． ∴ a n =2n −15．当n =7时，a 7，a 8异号；n ≠7，a n ，a n+1同号．1a n a n+1=1(2n−15)(2n−13)=12(12n−15−12n−13)．∴ T 20=12[(1−13−1−11)+(1−11−1−9)+……+(125−127)brack −2a 7a 8=12(1−13−127)−2−1×1 =2−2013×27=682351．【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）当n =1，S 1=−13；n ≥2且n ∈Z ，a n =S n −S n−1．即可得出． （2）当n =7时，a 7，a 8异号；n ≠7，a n ，a n+1同号.1an a n+1=1(2n−15)(2n−13)=12(12n−15−12n−13)．可得T 20=12[(1−13−1−11)+(1−11−1−9)+……+(125−127)brack −2a7a 8．【解答】当n =1，S 1=−13；n ≥2且n ∈Z ，a n =S n −S n−1=2n −15．n =1时也成立． ∴ a n =2n −15．当n =7时，a 7，a 8异号；n ≠7，a n ，a n+1同号．1a n a n+1=1(2n−15)(2n−13)=12(12n−15−12n−13)．∴ T 20=12[(1−13−1−11)+(1−11−1−9)+……+(125−127)brack −2a 7a 8=12(1−13−127)−2−1×1 =2−2013×27=682351．【答案】证明：∵ AD // BC ，AB ⊥BC ，BC =AB =2，AD =3． ∴ OC =√5，OD =√10，CD =√5， ∵ OD 2=OC 2+DC 2=10， ∴ OC ⊥CD ，即CD ⊥平面POC ， ∴ CD ⊥PO ．∵ PA =PB =AB ，O 为AB 中点， ∴ PO ⊥AB ，∴ PO ⊥底面ABCD ， ∵ PO ⊂平面PAB ， ∴ 平面PAB ⊥面ABCD过点C 作CM ⊥OD 于点M ，过点M 作MN ⊥PD 于点N ，连接CN ． 则由于PO ⊥平面OCD ，PO ⊂平面POD ，所以平面POD ⊥平面OCD ，∵ CM ⊂平面OCD ，平面POD ∩平面OCD =OD ，∴ CM ⊥平面POD ，∴ CM ⊥PD ， ∵ MN ⊥PD ，MN ∩CM =M ，∴ PD ⊥平面MCN ，∴ PD ⊥NC ， 即∠MNC 是二面角O −PD −C 的平面角． 在Rt △OCD 中，CM =√OC 2+CD 2=√102， 在Rt △PCD 中，CN =22=2√1013， 所以MN =√1526，所以二面角O −PD −C 的余弦值为√34．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）利用侧面PAB ⊥底面ABCD ，可证PO ⊥底面ABCD ，从而可证PO ⊥CD ，利用线面垂直的判定，可得PO ⊥底面ABCD ，即可证明结论；（2）过点C 作CM ⊥OD 于点M ，过点M 作MN ⊥PD 于点N ，连接CN ，证明∠MNC 是二面角O −PD −C 的平面角，从而可求二面角O −PD −C 的余弦值． 【解答】证明：∵ AD // BC ，AB ⊥BC ，BC =AB =2，AD =3． ∴ OC =√5，OD =√10，CD =√5， ∵ OD 2=OC 2+DC 2=10， ∴ OC ⊥CD ，即CD ⊥平面POC ， ∴ CD ⊥PO ．∵ PA =PB =AB ，O 为AB 中点， ∴ PO ⊥AB ，∴ PO ⊥底面ABCD ， ∵ PO ⊂平面PAB ， ∴ 平面PAB ⊥面ABCD过点C 作CM ⊥OD 于点M ，过点M 作MN ⊥PD 于点N ，连接CN ． 则由于PO ⊥平面OCD ，PO ⊂平面POD ，所以平面POD ⊥平面OCD ，∵ CM ⊂平面OCD ，平面POD ∩平面OCD =OD ，∴ CM ⊥平面POD ，∴ CM ⊥PD ， ∵ MN ⊥PD ，MN ∩CM =M ，∴ PD ⊥平面MCN ，∴ PD ⊥NC ， 即∠MNC 是二面角O −PD −C 的平面角． 在Rt △OCD 中，CM =√OC 2+CD 2=√102， 在Rt △PCD 中，CN =22=2√1013， 所以MN =√1526，所以二面角O −PD −C 的余弦值为√34．【答案】（1）在区间[30, 60)的频率为156364=37−−−−−−−−−−−−−−− =37×30=170，———-， 设在区间[0, 30)上，=a ，则(a +170+1105+1210)×30=1，解得a =1210，————– 补充频率分布直方图如右．—————————-（2）记水电站日利润为Y 元．由(Ⅰ)知：不能运行发电机的概率为17，恰好运行一台发电机的概率为37，恰好运行二台发电机的概率为27，恰好运行三台发电机的概率为17，①若安装1台发电机，则Y 的值为−500，4000，其分布列为：E(Y)=−500×17+4000×67=235007．—————②若安装2台发电机，则Y 的值为−1000，3500，8000，其分布列为：E(Y)=−1000×17+3500×37+8000×37=335007；——————③若安装3台发电机，则Y 的值为−1500，3000，7500，12000，其分布列为E(Y)=−1500×17+3000×37+7500×27+12000×17=345007；∵345007>335007>235007∴ 要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．———【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差 【解析】(Ⅰ)求出在区间[30, 60)的频率，设在区间[0, 30)上，=a ，求出a ，由此能补充完整频率分布直方图．(Ⅱ)记水电站日利润为Y 元．由(Ⅰ)知：不能运行发电机的概率为17，恰好运行一台发电机的概率为37，恰好运行二台发电机的概率为27，恰好运行三台发电机的概率为17，求出安装1台发电机，则Y 的值为−500，4000，求出其分布列和E(Y)；安装2台发电机，则Y 的值为−1000，3500，8000，求出其分布列和E(Y)，安装3台发电机，则Y 的值为−1500，3000，7500，12000，求出其分布列和E(Y)，从而得到要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机． 【解答】（1）在区间[30, 60)的频率为156364=37−−−−−−−−−−−−−−− =37×30=170，———-， 设在区间[0, 30)上，=a ，则(a +170+1105+1210)×30=1，解得a =1210，————– 补充频率分布直方图如右．—————————-（2）记水电站日利润为Y 元．由(Ⅰ)知：不能运行发电机的概率为17，恰好运行一台发电机的概率为37，恰好运行二台发电机的概率为27，恰好运行三台发电机的概率为17，①若安装1台发电机，则Y 的值为−500，4000，其分布列为：E(Y)=−500×17+4000×67=235007．—————②若安装2台发电机，则Y 的值为−1000，3500，8000，其分布列为：E(Y)=−1000×17+3500×37+8000×37=335007；——————③若安装3台发电机，则Y 的值为−1500，3000，7500，12000，其分布列为E(Y)=−1500×17+3000×37+7500×27+12000×17=345007；∵345007>335007>235007∴ 要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．———【答案】根据题意，由△BF 1F 2为等腰直角三角形可得b =c ，直线BF 1:y =x +b 被圆x 2+y 2=b 2所截得的弦长为2，即BF 1=2， 所以a =2，b =c =√2，所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．若直线l 的斜率不存在，则S =12⋅√6⋅3=3√62． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，即{x 24+y 22=1y =kx +m 则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2(m 2−2)1+2k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m 1+2k 2，由题意点O 为△PAC 重心，设P(x 0, y 0)，则x 1+x 2+x 03=0，y 1+y 2+y 03=0，所以x 0=−(x 1+x 2)=4km1+2k 2，y 0=−(y 1+y 2)=−2m1+2k 2， 代入椭圆x 24+y 22=1，得4k 2m 2(1+2k 2)2+2m 2(1+2k 2)2=1，整理得m 2=1+2k 22，设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则△PAC 的面积S =12|AC|⋅3d =12√1+k 2|x 1−x 2|⋅√1+k2=32|x 1−x 2|⋅|m| =32√(−4km 1+2k 2)2−4⋅2(m 2−2)1+2k 2⋅|m|=32⋅2√2√2(1+2k 2)−m 21+2k 2⋅|m| =3√2⋅√2(1+2k 2)−1+2k221+2k ⋅√1+2k 2√2=3√62． 综上可得△PAC 的面积S 为定值3√62．【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，由等腰直角三角形的性质分析可得b =c ，又由直线与圆的位置关系可得a 的值，进而可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论，若直线l 的斜率不存在，容易求出△PAC 的面积，若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与椭圆的方程，结合一元二次方程中根与系数的关系，求出△PAC 的面积，综合2种情况可得结论． 【解答】根据题意，由△BF 1F 2为等腰直角三角形可得b =c ，直线BF 1:y =x +b 被圆x 2+y 2=b 2所截得的弦长为2，即BF 1=2， 所以a =2，b =c =√2，所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．若直线l 的斜率不存在，则S =12⋅√6⋅3=3√62． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，即{x 24+y 22=1y =kx +m 则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2(m 2−2)1+2k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2， 由题意点O 为△PAC 重心，设P(x 0, y 0)，则x 1+x 2+x 03=0，y 1+y 2+y 03=0，所以x 0=−(x 1+x 2)=4km1+2k 2，y 0=−(y 1+y 2)=−2m1+2k ， 代入椭圆x 24+y 22=1，得4k 2m 2(1+2k 2)2+2m 2(1+2k 2)2=1，整理得m 2=1+2k 22，设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则△PAC 的面积S =12|AC|⋅3d =12√1+k 2|x 1−x 2|⋅2=32|x 1−x 2|⋅|m| =32√(−4km 1+2k 2)2−4⋅2(m 2−2)1+2k 2⋅|m|=32⋅2√2√2(1+2k 2)−m 21+2k 2⋅|m| =3√2⋅√2(1+2k 2)−1+2k221+2k 2⋅√1+2k 2√2=3√62． 综上可得△PAC 的面积S 为定值3√62．【答案】易知f(lna)=|e lna−a|−a|lna−lna|=0，即lna为函数f(x)的一个零点；当x≥lna时，有e x−a≥0，则f(x)=e x−a−a(x−lna)，从而f′(x)=e x−a≥0，在[lna, +∞)上恒成立，当x<lna时，有e x−a<0，则f(x)=a−e x+a(x−lna)，从而f′(x)=a−e x>0在(−∞, lna)上恒成立．综上，函数f(x)在R上单调递增，有唯一零点lna．证明：记ℎ(x)=f1(x)−f2(x)，则ℎ(x)=f1′(x)−f2′(x)，当x≥lna2>lna1时，ℎ(x)=(e x−a1)−(e x−a2)=a2−a1>0恒成立；当lna1<x<lna2时，ℎ(x)=(e x−a1)+(e x−a2)，令ℎ′(x)≥0得x≥ln a1+a22；当x≤lna1<lna2时，ℎ(x)=(a1−e x)−(a2−e x)=a1−a2<0恒成立；可知函数ℎ(x)在区间(−∞,ln a1+a22)上单调递减，在区间(ln a1+a22,+∞)上单调递增，则函数ℎ(x)的最小值为ℎ(ln a1+a22)=(a1+a22−a1−a1ln a1+a22+a1lna1)+(a1+a22−a2−a2ln a1+a22+a2lna2)=a1lna1+a2lna2−(a1+a2)ln a1+a22，从而只需证：a1lna1+a2lna2−(a1+a2)ln a1+a22<(a2−a1)ln2⇔a1lna1+a2lna2−(a1+a2)ln(a1+a2)+2a1ln2<0，记g(a2)=a1lna1+a2lna2−(a1+a2)ln(a1+a2)+2a1ln2，则a2>a1g′(a2)=1+lna2−（1+ln(a1+a2)）=lna2−ln(a1+a2)<0恒成立，从而函数g(a2)在区间(a1, +∞)上单调递减，则g(a2)<g(a1)=a1lna1+a1lna1−(a1+a1)ln(a1+a1)+2a1ln2=2a1lna1−2a1ln2a1+2a1ln2=0．综上：存在x∈R，使得f1(x)−f2(x)<(a2−a1)ln2．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）易知f(lna)=|e lna−a|−a|lna−lna|=0，即lna为函数f(x)的一个零点；再判断函数的单调性即可得到结论，（2）记ℎ(x)=f1(x)−f2(x)，分类讨论，利用导数可得当x≥lna2>lna1时，ℎ(x)= (e x−a1)−(e x−a2)=a2−a1>0恒成立或当x≤lna1<lna2时，ℎ(x)=(a1−e x)−(a2−e x)=a1−a2<0恒成立；根据函数的单调性和最值等价于a1lna1+a2lna2−(a1+a2)ln(a1+a2)+2a1ln2<0，再构造函数g(a2)=a1lna1+a2lna2−(a1+a2)ln(a1+a2)+2a1ln2，利用导数求出最值即可证明 【解答】易知f(lna)=|e lna −a|−a|lna −lna|=0， 即lna 为函数f(x)的一个零点；当x ≥lna 时，有e x −a ≥0，则f(x)=e x −a −a(x −lna)，从而f ′(x)=e x −a ≥0，在[lna, +∞)上恒成立，当x <lna 时，有e x −a <0，则f(x)=a −e x +a(x −lna)，从而f ′(x)=a −e x >0在(−∞, lna)上恒成立．综上，函数f(x)在R 上单调递增，有唯一零点lna ．证明：记ℎ(x)=f 1(x)−f 2(x)，则ℎ(x)=f 1′(x)−f 2′(x)，当x ≥lna 2>lna 1时，ℎ(x)=(e x −a 1)−(e x −a 2)=a 2−a 1>0恒成立； 当lna 1<x <lna 2时，ℎ(x)=(e x −a 1)+(e x −a 2)， 令ℎ′(x)≥0得x ≥lna 1+a 22；当x ≤lna 1<lna 2时，ℎ(x)=(a 1−e x )−(a 2−e x )=a 1−a 2<0恒成立； 可知函数ℎ(x)在区间(−∞,ln a 1+a 22)上单调递减，在区间(lna 1+a 22,+∞)上单调递增，则函数ℎ(x)的最小值为ℎ(ln a 1+a 22)=(a 1+a 22−a 1−a 1lna 1+a 22+a 1lna 1)+(a 1+a 22−a 2−a 2lna 1+a 22+a 2lna 2)=a 1lna 1+a 2lna 2−(a 1+a 2)lna 1+a 22，从而只需证：a 1lna 1+a 2lna 2−(a 1+a 2)ln a 1+a 22<(a 2−a 1)ln2⇔a 1lna 1+a 2lna 2−(a 1+a 2)ln(a 1+a 2)+2a 1ln2<0，记g(a 2)=a 1lna 1+a 2lna 2−(a 1+a 2)ln(a 1+a 2)+2a 1ln2，则a 2>a 1g ′(a 2)=1+lna 2−（1+ln(a 1+a 2)）=lna 2−ln(a 1+a 2)<0恒成立，从而函数g(a 2)在区间(a 1, +∞)上单调递减，则g(a 2)<g(a 1)=a 1lna 1+a 1lna 1−(a 1+a 1)ln(a 1+a 1)+2a 1ln2=2a 1lna 1−2a 1ln2a 1+2a 1ln2=0．综上：存在x ∈R ，使得f 1(x)−f 2(x)<(a 2−a 1)ln2． 【答案】曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα ，其中α为参数， 转换为的普通方程为(x −2)2+y 2=4． 转换为极坐标方程为ρ=4cosθ， 曲线C 2:x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ． 联立θ=α(ρ≥0)， 所以|0A|2=16cos 2θ， |OB|2=4sin 2θ，所以|OA|2+|OB|2的=4+12cos 2α， 由于0<α<π2，所以|OA|2+|OB|2∈(4, 16)． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用三角函数的关系式的变换求出结果． 【解答】曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα ，其中α为参数， 转换为的普通方程为(x −2)2+y 2=4． 转换为极坐标方程为ρ=4cosθ， 曲线C 2:x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ． 联立θ=α(ρ≥0)， 所以|0A|2=16cos 2θ， |OB|2=4sin 2θ，所以|OA|2+|OB|2的=4+12cos 2α， 由于0<α<π2，所以|OA|2+|OB|2∈(4, 16)． [选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)≤x +1，即为：|x −1|+|x −2|≤x +1，当x ≥2时，x −1+x −2≤x +1，即x ≤4，可得2≤x ≤4； 当1<x <2时，x −1+2−x ≤x +1，即x ≥0，可得1<x <2； 当x ≤1时，1−x +2−x ≤x +1，即x ≥23，可得23≤x ≤1． 综上可得，原不等式的解集为[23, 4]；不存在正数a 、b ，同时满足：2a +b =1，1a +2b =4．理由如下：函数f(x)=|x −1|+|x −2|≥|(x −1)−(x −2)|=1， 当且仅当(x −1)(x −2)≤0，即1≤x ≤2时，f(x)取得最小值1， 假设存在正数a 、b ，同时满足：2a +b =1，1a +2b =4． 将b =1−2a 代入第二式，可得1a +21−2a =4， 即为8a 2−4a +1=0，由判别式为16−4×8×1=−16<0， 可得方程无实数解．则不存在正数a 、b ，同时满足：2a +b =1，1a +2b =4．【考点】带绝对值的函数 【解析】（1）对x 讨论，当x ≥2时，当1<x <2时，当x ≤1时，去掉绝对值，解不等式，最后求并集，即可得到所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值1，假设存在正数a 、b ，同时满足：2a +b =1，1a +2b =4．消去b ，解关于a 的方程，即可得到结论．【解答】f(x)≤x+1，即为：|x−1|+|x−2|≤x+1，当x≥2时，x−1+x−2≤x+1，即x≤4，可得2≤x≤4；当1<x<2时，x−1+2−x≤x+1，即x≥0，可得1<x<2；当x≤1时，1−x+2−x≤x+1，即x≥23，可得23≤x≤1．综上可得，原不等式的解集为[23, 4]；不存在正数a、b，同时满足：2a+b=1，1a +2b=4．理由如下：函数f(x)=|x−1|+|x−2|≥|(x−1)−(x−2)|=1，当且仅当(x−1)(x−2)≤0，即1≤x≤2时，f(x)取得最小值1，假设存在正数a、b，同时满足：2a+b=1，1a +2b=4．将b=1−2a代入第二式，可得1a +21−2a=4，即为8a2−4a+1=0，由判别式为16−4×8×1=−16<0，可得方程无实数解．则不存在正数a、b，同时满足：2a+b=1，1a +2b=4．试卷第21页，总21页。
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齐鲁名校教科研协作体
山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（三）
理科数学试题
命题：湖北沙市中学(熊炜) 审题：湖北夷陵中学（曹轩） 湖南常德一中（朱纯刚） 山东莱芜一中（王
玉玲）
本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一.选择题（每小题5分，共60分）
i ．若集合M ={（x ，y ）|x +y =0}，N ={（x ，y ）|x 2+y 2=0，x ∈R ，y ∈R }，则有（ ）
A ．M N M =
B ．M N N =
C ．M N M =
D ．M N φ= ii ．已知复数20182i Z i
-+=（i 为虚数单位），则复数Z 的共轭复数Z 的虚部为（ ） A ．i B. i - C.1 D. 1-
iii ．下列命题中，真命题是 （ ）
A ．0x R ∃∈，使得00x e ≤
B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x +≠∈≥
C ．2,2x x R x ∀∈>
D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件
iv ．某程序框图如图，该程序运行后输出的k 的值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
v ．在满足条件22033070x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
的区域内任取一点(,)M x y ，则点(,)M x y
满足不等式
22(1)1x y -+<的概率为（ ）
A ．
60π B ．120π C ．160π- D ．1120π-
vi ．已知函数()2sin() (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<
12()2,()0f x f x ==， 若12||x x -的最小值为
12，且1()12f =，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A. 15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
B. 51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-
∈⎢⎥⎣⎦
D. 17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
vii ．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）
A. 1.6
B. 1.8
C. 2.0
D.2.4
viii ．定义在{}
0x x ≠上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，()f x 的导函数为'()f x ，且满足(1)0f =，当0x >时，'()2()xf x f x <，则使得不等式()0f x >的解集为（ ）
A ．(,1)
(0,1)-∞- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,0)
(1,)-+∞ D ．(1,0)(0,1)-
ix ．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为（ ）
A -3
B -5
C -6
D -9
x ．点P 是双曲线22
221x y a b
-=右支上一点，12F F 、分别为左、右焦点.12PF F ∆的内切圆与x 轴相切于点N .若点N 为线段2OF 中点，则双曲线离心率为（ ）。