概率1-1(2)张颖

i 1
n
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.
它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是 伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi 往往可以简化计算.
理解
全概率公式
某一事件A的发生有各种可能的原因，如 果A是由原因Bi (i=1,2,…,n)所引起，则A发生的 概率是 P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 每一原因都可能导致A发生，故 A发生的概率是各原因引起A发生概 率的总和，即全概率公式.
全概率公式
定理 设试验 E的样本空间为 S , A为E的事件 , B , B ,, B 为 S的一个划分 , 且P ( B ) 0( i 1,2, , n), 则
1 2 n
i
P( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B ) P ( B )
2 2
P( A B )P( B )
2
P ( B A) 0.12 .
3
以上结果表明, 这只次品来自第2家工厂的可能性最大.
3.事件的相互独立性与伯努利概型
（１）两个事件的独立性 定义１ 在试验中，若事件A的发生与事件B的发生与 否是互不影响的，则称事件A与事件B是相互独立的. 例4：袋中６球，４黑２白，有放回随机取球两次，每次一只， 设：A=“第一次取球取到白球” B=“第二次取球取到白球”. 解 P ( A)
ห้องสมุดไป่ตู้
证： P AB P APB,
故P AB P AS B P A AB P A P AB P A P APB P A1 PB P AP B
因此 A与B 相互独立 . 由此可立即推出 A 与B 独立 .
概率的性质
• (1)若A1,A2,…,An是n个两两互不相容的事件，则有： P(A1∪A2∪…∪An) =P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An) • (2)设A、B互为对立事件，则有： P(A)=1－P(B) • (3)若AB,则 P(A－B)=P(A)－P(B) P(A)P(B) • (4)P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)
P( A B) P( AB) P( A AB) P( A) P( AB)
k A中包含的样本点个数 P ( A) n S中样本点总数
古典概型
1.1.3 条件概率与事件的独立性
1.条件概率
设A, B是两个事件 , 且P( A) 0 , 称
P ( AB ) P ( B A) P ( A)


再由B B , 又推出 A 与B相互独立 .
（2）多个事件的独立性
定义3：设A、B、C是三个事件，如果有 P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C) 则称事件A、B、C两两独立. 定义４：设A、B、C是三个事件，如果有 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称事件A、B、C是相互独立的. 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
B=“点到的是女同学”,
所求的概率记为 P(B|A),称这个概率 为在事件A发生的条件下事件B发生 的条件概率. 3 8 3 P(A)= P(AB)= P(B|A)= 36 36 8
3 3 36 P ( AB ) P ( B A) 8 8 36 P ( A)
条件概率的计算 1) 用定义计算: P ( AB) P ( A | B) , P(B)>0 P ( B) 2)从加入条件后改变了的情况去算
为在事件 A发生条件下事件 B发生的条件概率 .
同理可得
P ( AB ) P( A B) P( B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
例1 某班共有36名学生，女同学10人，8名山东籍学生中 有3名女生，现随机点一人，已知点到的是山东籍的，求 她是女同学的概率？ 解：设A=“点到的是山东籍同学”,
B1,B2,…,Bn在划分S的同时也划分了事件A.
A
全概率公式
由因导果
P(A)= P(A|B1) P(B1) +P(A | B2 ) P(B2)
+ …+P(A | Bn ) P(Bn )
P ( A Bi ) P ( Bi )
i 1
n
注：在应用中常将事件B与 B 作为样本空间的一个划分
P ( A) P ( Bi ) P ( A｜Bi )
?
1
2
3
求P(B1|A)
P ( B1 A) P ( B1 | A) P ( A)
P ( B1 ) P ( A | B1 )
运用全概率公式 计算P(A)
P ( B ) P ( A｜ B )
j 1 j j
3
将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式
（2）贝叶斯公式
定理 设试验E的样本空间为S . A为E的事件 ,

P( AB) P( A) P( B)
否！
A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 .
P ( B A) P ( B )
定义２：
设A、B为两事件，如果关系式
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B是相互独立的， 简称独立.
注：两个事件A、B相互独立与互不相容是两个不同的 概念，当P(A)>0、P(B)>0时两者不能同时成立. 证：若A与B互不相容，即 A B=
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球， 3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱， 从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取 自1号箱的概率. ?
1红 4白
1
2
3
1红 4白 记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3;
某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该 球是取自1号箱的概率. A ={取得红球}
1 1
P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) 0.0125 .
2 2
3 3
1 1
(2) 由贝叶斯公式
P ( A B ) P ( B ) 0.02 0.15 0.24 . P ( B A) 0.0125 P ( A)
1
P ( B A) 0.64 ,
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点}
掷骰子
1 P(A|B）= 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
乘法公式
P ( AB ) P(A)>0 P ( B A) P( AB) P( B A) P( A) P ( A)
P ( AB ) P(B)>0 P( A B) P( AB) P( A B) P( B) P ( B)
次品率 0.02 0.01 0.03
提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.
在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率.
元件制造厂 1 2 3
次品率 0.02 0.01 0.03
提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率. 解 设 A 表示 “取到的是一只次品”,
“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的” . B ( i 1,2,3) 表示
i
易知, B , B , B 是样本空间 S 的一个划分 , 而且有
P( B ) 0.15 , P( B ) 0.80 , P ( B ) 0.05 , P ( A B ) 0.02 , P ( A B ) 0.01 , P ( A B ) 0.03 .
1
1
2
3
2
3
1
2
3
(1) 由全概率公式
P( A) P ( A B ) P ( B )
1 1
P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) 0.0125 .
2 2
3 3
实际中还有下面一类问题，即 “已知结果求原因” 某人从任一箱中任意 摸出一球，发现是红球,求 该球是取自1号箱的概率. 1红 4 白 或者问: 1 2 3 该球取自哪号箱的可能 性最大? 这一类问题在实际中更为常见，它所求 的是条件概率，是已知某结果发生条件下， 求各原因发生可能性大小.
设随机试验E的样本空间为S，B1,B2,…,Bn是E的一组事件， 如果满足： 1) BiBj= ,ij, i, j=1,2,…..,n 2) B1∪B2 ∪… ∪ Bn=S 则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分.
样本空间S的一个划分
设事件B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，A为某一事件
2 1 , 6 3
2 1 2 2 1 P( B) , P ( AB ) . 6 3 6 6 9
P (B|A) 与P(B)的关系
1 P ( AB ) 1 9 P ( B A) P ( B) 1 P ( A) 3 3
P ( B A) P ( B ) ,
偶然乎？
n n
称为全概率公式. 说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事 件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问 题,最后应用概率的可加性求出最终结果.
B2
A
B1
化整为零各个击破
B3
Bn1
Bn
例3 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据
元件制造厂 1 2 3
推广：设有n(>1)个事件Ai，i=1,…,n;若从这n个事件中