第3课时 函数的表示方法——图像法
教学课件：第3课时-拱桥问题中的二次函数
代数法是通过代数运算来求解拱桥问 题的一种方法。
代数法适用于解决简单的二次函数问 题，但对于复杂的拱桥问题，可能需 要更高级的数学工具。
这种方法需要建立二次函数方程，然 后通过求解方程来得到拱桥的顶点坐 标和拱高。
解析方法二：图象法
图象法是通过绘制二次函数的图 象来直观地解决拱桥问题的方法。
通过观察图象，我们可以直接找 到函数的顶点，从而确定拱桥的
04 实际案例分析
案例一：某拱桥的承载能力分析
总结词
通过实际案例分析拱桥的承载能力，了解二次函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
某拱桥在承受不同载荷时，其变形程度和承载能力是关键问题。通过建立二次 函数模型，可以预测拱桥在不同载荷下的变形程度，从而评估其承载能力。
案例二：不同载荷下的拱桥变形分析
二次函数在拱桥问题中的应用
二次函数在拱桥问题中扮演着重要的角色，它可以描述拱桥的形状、受力情况等。
通过分析二次函数的开口方向、顶点位置等性质，可以得出拱桥的稳定性、承载能 力等方面的结论。
在实际工程中，设计师需要根据二次函数的性质来设计拱桥，以确保其安全性和稳 定性。
03 拱桥问题的解析方法
解析方法一：代数法
总结词
研究不同载荷对拱桥变形的影响，进一步理解二次函数与实际问题的关联。
详细描述
在实际应用中，拱桥会受到各种载荷的作用，如车辆、人群等。通过建立二次函 数模型，可以分析不同载荷对拱桥变形的影响，为拱桥的安全评估提供依据。
案例三：拱桥的施工过程模拟
总结词
利用二次函数模拟拱桥的施工过程，有助于优化施工方案和 提高工程质量。
形状和位置。
图象法适用于解决中等难度的二 次函数问题，但对于复杂的拱桥 问题，可能还需要结合其他方法。
中职数学第三章《函数》全部教学设计教案（高教版）
【课题】3.1函数的概念及其表示法【教学目标】知识目标：(1)理解函数的定义；(2)理解函数值的概念及表示；(3)理解函数的三种表示方法；(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法.能力目标：(1)通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力.【教学重点】(1)函数的概念；(2)利用“描点法”描绘函数图像.【教学难点】(1)对函数的概念及记号y=/(x)的理解；(2)利用“描点法”描绘函数图像.【教学设计】(1)从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接；(2)抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；(3)抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；(4)学习"描点法”作图的步骤，通过实践培养技能；(5)重视学生独立思考与交流合作的能力培养.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题3.1函数的概念及其表示法介绍了解*创设情景兴趣导入从实问题播放观看际事学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁例使饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？课件课件学生解决质疑思考自然设购买果汁饮料X瓶，应付款为则计算购买果汁饮料的走应付款的算式为向知y=2.5x.识点归纳因为X表示购买果汁饮料瓶数，所以X可以取集合｛0,1,2,3,｝中的任意一个值，按照算式法则y=2.5x,应付款y有唯一的值与之对应.两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系.引导分析自我分析引导启发学生体会对应5*动脑思考探索新知带领概念学生在某一个变化过程中有两个变量x和y,设变量x的取值仔细思考总结范围为数集D,如果对于。
内的每一个x值，按照某个对应法分析理解上述则y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，讲解问题把y叫做x的函数.关键得到表示词语记忆函数将上述函数记作'=/（X）.概念变量工叫做自变量，数集。
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)
基础知识3函数的表示1.函数的表示方法（1）解析式法： .（2）列表法： .（3）图像法： .2.描点法画函数图形的一般步骤【题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）2.如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水. 在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景的是（）3.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=7时，点E应运动到（）A．点C处 B．点D处 C．点B处 D．点A处4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像大致是（）5.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 关于时间t 的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）．．．6.李老师每天坚持体育锻炼，星期天李老师从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天李老师离家的距离y （米）与时间t （分钟）之间关系的大致图象是（ ） ．．7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回 出发地.下列函数图象能表达这一过程的是（ ）8.均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象是（ ）ADCBADCBADCBABC D【题型2】解析式法表示函数1.已知5x＋2y－7＝0，用含x的代数式表示y为；用含y的代数式表示x为．2.某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x件，应收货款y元，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．3.水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．写出剩余水的体积Q立方米与时间t（时）之间的函数关系式_____________.自变量t的取值范围是_____．10小时后，池中还有水，小时后，池中还有100立方米的水.4.油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，2小时流完，•求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为__________________，自变量的范围是．当t=1.2h时，Q= _______．当Q=10kg时，t=_______．5.电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3分钟，则每月应缴费y（元）与市内电话通话次数x之间的函数关系式是 .6.已知等腰三角形的周长为10cm，求底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式及自变量x的取值范围.7.如果每盒圆珠笔有12支，每盒售价18元，求圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x（支）之间的函数关系式及自变量x（支）的取值范围.8.某市第五中学校办工厂今年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y（万元）与今后年数x之间的函数关系式．（2）画出函数图象．（3）求5年后的年产值．【题型3】列表法表示函数1.根据下表写出函数解析式 .2.某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x 件，应收货款y 元，那么y 与x 的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围______．3.下列图表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高d 处落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系,则能反映这种关系的式子是___ _4.某人购进一批苹果到集市上零售，卖出的苹果x （千克）与销售的金额y 元的关系如下表：x （千克） 1 2 3 4 5 … y （元）2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…（1）写出y 与x 的函数关系式___ __ _；（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要 出多少千克的苹果？5.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （k g ）有如下关系： （1）请写出弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式． （2）当挂重10千克时弹簧的总长是多少？6.2014年，我省多地出现暴雨，为了检测降雨的情况，水文站记录了自暴雨以来5个小时 内某水库的水位高度，时间t 与水位h 之间有如下关系：t/小时 0 1 2 3 4 5 h/米2323.423.824.224.625（1）请写出水位高度h （m ）与时间t （h ）之间的函数关系式． （2）根据以上变化规律，预测暴雨持续10个小时后的水位？x 0 5 10 15y 3 3.5 4 4.5d 50 80 100 150b 25 40 50 75x/kg 0 1 2 3 4 5 6 y/cm1212.51313.51414.515。
函数的表示法
函数的表示法
思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是
什么？并试着再举出一些用这三种方法分别表示函数 的实例．
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关 系．
银行利率表
函数的表示法
问题：
在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解 析法、图像法和列表法．你能分别说说这三种表示 方法吗？
实例3
就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系，如前面的实例（3）．
下面是我国“八五”计划以来的恩格尔系数表．
时间
（年）
城镇居民 家庭恩格
尔系数 （%）
1991 53.8
1992 52.9
1993 50.1
函数的表示法
思考三：所有的函数都能用解析法表示吗?
试举出一些实例来说明．
不是所有的函数都能用解析法表示的．比如前面 提到的股市走势图就不能用一个具体的解析式来表示 出．
有些函数尽管能用解析式表示出，但也不是一 个解析式．
函数的图象 例3．画出函数 y | x | 的图象.
解：由绝对值的概念，我们有:
函数的表示法
思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是
什么？并试着再举出一些用这三种方法分别表示函数 的实例．
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间 的关系．
股市走势图
函数的表示法
思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是
什么？并试着再举出一些用这三种方法分别表示函数 的实例．
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关 系．
1.2.2 函数的表示法
函数的表示法
函数的概念及表示法ppt课件
(1)对于x的每一个值，y都满足有唯一的值与之对应吗？
不满足
(2)y是x的函数吗？为什么？
不是，因为y的值不是唯一的.
26
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随堂练习
演练
1. 下面四个关系式：① y ＝ ；② ＝ x ；
③2 x2－ y ＝0；④ y ＝ ( x ＞0).
其中 y 是 x 的函数的是(
D )
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随堂练习
报酬按16元/时计算. 设小明的哥哥这个月工作的时间为t
小时，应得报酬为m元，填写下表：
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
对于这个函数，当t=5时，把它代入函数表达式，得
m = 16t=16×5=80（元）.
m = 80是当自变量t=5时的函数值.
代入法
19
19
探究新知
函数与函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函
判断一个关系是否是函数关系，根据函数定义，主
要从以下3个方面分析：
(1) 是否在一个变化过程中；
(2) 在该过程中是否有两个变量；
(3) 对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量
是否有唯一确定的值与其对应.
13
13
探究新知
知识点
函数的三种表示法
合作探究
m = 16t
这几个函数用等式来表示，
这种表示函数关系的等式，
16
80
160
240
320
…
t
…
16t
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
5
5
探究新知
合作探究
2.跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s
（米）与助跑的速度v（米/秒）有关. 根据经验，跳
教学设计3：3.1.2 函数的表示法
20分钟2、学以致用定义域：t∈{0≤t≤24}(2)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．如3.1.1 问题4所说的恩格尔系数变化情况表：上表中r是y的函数，所以自变量y的定义域：y∈{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}，可知，定义域也可以是离散型的.(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系.如3.1.1问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：ｋｍ）与运行时间t（单位：ｈ）的关系可以表示为：S=350t.（对应法则）其中，定义域：t∈{0≤t≤0.5},值域S∈{0≤S≤175}.因为有定义域和对应法则就可以求出值域，所以，我们一般用解析法表示函数时只要写出对应法则和定义域.二、学以致用接下来我们通过三道例题来进一步掌握函数的三种表示法及其特点.例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)．提问1：审题是理清思路的前提，也是成功解题的关键，所以仔细审题，题中有哪些关键点？如何准确又快速地把这道题数学化？讨论后回答：因为x∈{1,2,3,4,5}，属于离散型，有限集，学生最直观的想法就是用列对应值表的方法表示函数y=f(x).（若x有1000个取值呢？）如下表所示：其中定义域：x∈{1,2,3,4,5}追问：通过列表的过程，我们发现，一方面，表格一目了然地把x和y的对应关系表示出来；另一方面，在得到表中第二行钱数y的值的时候，也是需要通过题意简单计算的.所以，我们思考一下，得到这个表格之后，我们如何进一步阐发这一道题呢？回答追问1：从表格两行的结构看，我们不妨以x为横轴，y为纵轴，建立直角坐标系，这样，上述表格中的每一列的（x，y）的值就可以表示为x−o−y坐标系中的点.如下图所示：这就是图象法表示函数y=f(x).（定义域：x∈{1,2,3,4,5}）研究图象可知，和列表法相比，图象法虽然能直观反映x和y的对应关系，但是其横纵坐标不够精准，另一方面，图象法还能反映x和y的变化趋势，如图，反映了x越大，y越大，也就是买的笔记本越多，花的钱越多。
函数的表示法课件ppt
国民生产总值
单位：亿元
年份
1990
生产总值 18544.7
1991 21665.8
1992 1993
26651. 34476.
4
7
3.图象法：用函 出生率/
数图象表示两个
变量之间的关系。
4.5
优点：能直观形 4.0
象地表示出函数 3.5
的变化情况。
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
1950 1955 1960 1970 1975 1980 1985
时间/年
例3：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈ ｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元.试用 函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
解： 这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝.
用解析法可将函数y＝f(x)表示为 y=5x， x∈｛1，2，3，4，5｝ 用列表法可将函数y＝f(x)表示为
针对练习3 某汽车以52km/h的速度从A地行驶到260km的B地， 在B地停留1.5h后，再以65km/h的速度返回A地， 试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函 数。
【解】 因为 260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，
所以，当 0≤t≤5 时，s＝52t；
当 5＜t≤6.5 时，s＝260；
87 76 65 78．3
91 88 73 85．4
92 75 72 80．3
88 86 75 75．7
95 80 82 82．6
解：将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函 数图象表示出来,如下图：
y
班 平 均 分
王伟 张城
赵磊
1
2
0
3
5.2 第3课时 二次函数y=a(x+h)2的图像和性质
5.2 二次函数的图像和性质（3）一、学习目标：1、能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系；2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。
二、学习重点与难点：对二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。
三、自学质疑：【要点梳理】(活动一)复习二次函数2y ax k =+的图象和性质：当0a >时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时，y 最小＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .当0a <时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时，y 最大＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .二次函数2()y a x h =-的图象(活动二)在同一平面直角坐标系中，画出221x y -=、()2121--=x y 、()2121+-=x y 的图象，并比较它们的开口方向，对称轴和顶点坐标以及增减性.由图象可知1：抛物线()2121--=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ； 抛物线()2121+-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ；2.把抛物线221x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()2121--=x y ，将抛物线221x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()2121+-=x y .(活动三)小结：1．二次函数2()y a x h =-的图象与抛物线2y ax =形状相同，只是位置不同，可由抛物线2y ax =左右平移得到：①当0h >时，抛物线2y ax =向左平移h 个单位，得到2()y a x h =-的图象； ②当0h <时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位，得到2()y a x h =-的图象. 2．抛物线2()y a x h =-的性质：①当0a >时，开口向上，对称轴是直线x h =，顶点坐标为（h ，0），当x ＝h 时，y 最小＝0；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＜h 时，y 随x 的增大而减少.②当0a <时，开口向下，对称轴是直线x h =，顶点坐标为（h ，0），当x ＝h 时，y 最大＝0；当x ＞例 抛物线y ax =向右平移3个单位后经过点（－1，4），求a 的值和平移后的抛物线解析式.【课堂操练】2．抛物线()253-=x y 可由抛物线()233+=x y 向 平移 个单位而得到.3．抛物线()2121+-=x y 向右平移3个单位得 . 4．将抛物线2y ax =向左平移2个单位后，经过点（－4，－4），求原抛物线的解析式.【课后盘点】1.抛物线21(5)2y x =-+的图象开口向________，对称轴为___________，当x ＝__________时，y 有最_____值，为_______，当x ________时， y 随x 的增大而增大.2.把函数()2121--=x y 的图象沿x 轴对折，得到的图象解析式是____ ____； 把函数()2121--=x y 的图象沿y 轴对折，得到的图象解析式是_____ ___.3.函数()212-=x y 的图象是由()212+=x y 的图象经过________得到的．4.将抛物线y =3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A ． y =3（x ﹣2）2﹣1 B ． y =3（x ﹣2）2+1C ． y =3（x +2）2﹣1D ． y =3（x +2）2+15.顶点坐标为(-3，0)开口方向、形状与函数231x y =的图象相同的抛物线是 ( ) A ．()2331-=x y B ．()2331+=x y C ．()2331--=x y D ．()2331+-=x y6.已知抛物线2()y a x h =-的对称轴为1x =-，与y 轴交于（0，2），求a 和h 的值.7. y=－3(x -1)2的图象（1）向左平移2个单位，（2）向右平移3个单位．写出平移后的解析式.8.抛物线()2h x a y +=的对称轴是直线2-=x ，过点（1，-3），（1）求解析式，（2）求抛物线的顶点坐标，（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？9．一条抛物线的形状、开口方向与221x y =相同，对称轴与抛物线()223-=x y 相同，求其解析式.10．将抛物线()2123-=x y 向右平移3个单位后得抛物线与y 轴交于点A ，求点A 的坐标.11．将抛物线221x y -=向左平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y x =分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），求三角形ABC 的面积.12．二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．13．如图所示，已知直线122y x =-+与抛物线2(2)y a x =+ 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式； （2）若P 为线段AB 上一个动点（A 、B 两端点除外），连接PM ，设线段PM 的长为l ，点P 的横坐标为x ，请求出2l 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在点P ，使以A 、M 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案二次函数y =a (x-h )2的图象（第3课时）【要点梳理】上，y 轴，（0，k ）, k ,增大，减小，下，y 轴，（0，k ）, k , 减小，增大．二次函数2()y a x h =-的图象 (活动二)图象略，下， x =1，（1，0）,＞1，减小，＜，增大． 下，x =－1，（－1，0）,＞－1时，减小，＜－1时，增大． 2.右，1，左，1．例 a =14，()2134y x =-．【课堂操练】2．右，8． 3． ()2122y x =--4． 2y x =-．【课后盘点】1.下，直线x =－5，－5，大，0，＜－5．2. ()2112y x =-，()2112y x =-+．3.向右平移2个单位．4. B5. B6. h =－1，a =2．7. y=－3(x +1)2 ，y=－3(x -4)2.8.⑴y=－13(x +2)2 ，⑵（－2，0），⑶x ＜－2．9． y=21(x －2)2 10．（0，24）11．由题意，得平移后抛物线的解析式为()2142y x =-+，与y x =联立可得A （－8，－8）、B （－2，－2），∴三角形ABC 的面积为21×4×8－21×4×2=12．12．⑴由题意，得C （h ，0），A （0，h ），∴212h h =，∴h =2，0（不合题意，舍去），∴()2122y x =-．13．（1）A 的坐标是（0，2）抛物线线的解析式是21(2)2y x =+（2）如图，P 为线段AB 上任意一点，连接PM ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D设P 的坐标是（x ，122x -+），则在Rt △PDM 中，PM 2＝DM 2+PD 2即 222215(2)(2)2824l x x x x =--+-+=++x 的取值范围是：－5<x <0（3）存在满足条件的点P连接AM，则题意得，AM === ①当PM ＝PA 时，2225128(22)42x x x x ++=+-+- 解得：x ＝－4，此时y ＝4∴点P 1（－4，4）②当PM ＝AM 时，225284x x ++= 解得：128,05x x =-=（舍去），此时1814()2255y =-⨯-+= ∴点P 2（85-，145）③当PA ＝AM 时，2221(22)2x x +-+-=解得：1255x x =-=（舍去）此时110(2255y =-⨯-+=∴点P 3（）综上所述，满足条件的点为P 1（－4，4）、P 2（85-，145）、P 3（）．。
二次函数的图像和性质(第3课时)课件-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)
-1
1
对称轴左侧y随x增大而减小 －4
(6) 函数的增减性都相同：_________________________
___________________________.
对称轴右侧y随x增大而增大
2
－2
y=2x2-1
2
4
归纳总结
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图像的关系
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图像形状________，只是位置不同；
y=2x2+1
解：列表：
x
…
–1.5
–1 –0.5
0
0.5
1
1.5
8
…
y=2x2+1
…
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
…
y=2x2
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
4
y=2x2-1
…
3.5
1 -0.5
-1 -0.5
1
3.5
…
2
－4
y=2x2
6
－用
根据图像填空:
y=2x2+1
y=x2－2
8
2
-6 -4 -2
o
2
4
6
x
当x=0时，y的值最小，最小值是－2.
函数y＝x2－2的图像可以由函数y=x2
图像向上移还是向下移，移多少个单位
长度，从函数表达式上看有什么规律吗? 的图像向下平移2个单位长度得到.
新知应用
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=2x²， y=2x2+1 ，y=2x2-1的图像.
第三章 函数(考点串讲)高一数学上学期期中考点(人教B版2019必修第一册)
则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域和值域
函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数
集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，
x∈A}称为函数的值域．
(4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x 2 .
判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是
否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系
来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对
应相同即可．
考点3.同一函数
解析：
序号
是否相同
(1)
不同
(2)
不同
原因
定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义
为f(x0)(记作f x min ＝f(x0))，而x0 称为f(x)的最小值点．最大值和最小
值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
考点8.直线的斜率,函数的平均变化率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当
y2 − y1
x 2 − x1
x1＝x2
x1≠x2 时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；
(3)关键是根据x的取值去绝对值．(3)y＝|1－x|.
考点8.函数图像
解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图像是直线y＝－x＋1上所有横坐
标为整数的点，如图(a)所示．
形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(
高中数学函数图像挂图教案
高中数学函数图像挂图教案
一、教学目标：
1. 了解函数的概念和基本性质；
2. 掌握常见函数的图像特征和变化规律；
3. 学会绘制函数的图像；
4. 提高分析和解决实际问题的能力。
二、教学重点：
1. 函数的概念和基本性质；
2. 常见函数的图像特征和变化规律。
三、教学内容：
1. 函数的定义和基本性质；
2. 常见函数的图像特征和变化规律；
3. 绘制函数图像的方法和技巧。
四、教学过程：
1. 引入：通过展示不同函数的图像，引发学生对函数图像特征的兴趣；
2. 深化：讲解函数的定义和基本性质，引导学生理解函数的概念；
3. 练习：让学生绘制一些简单函数的图像，并分析其特征和变化规律；
4. 拓展：讲解更加复杂的函数图像特征和变化规律，引导学生深入理解函数的性质；
5. 实践：提出一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题，培养分析和解决问题的能力；
6. 总结：对本节课的重点内容进行总结，梳理学生对函数图像的理解。
五、评价：
1. 学生绘制的函数图像是否准确；
2. 学生对函数图像特征和变化规律的理解是否深刻；
3. 学生解决实际问题的能力如何。
六、作业：
1. 练习册上的相关题目；
2. 准备下节课的学习材料。
注：本节课教案只是一个范本，具体教学过程可以根据实际情况进行调整和完善。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
函数的表示法(含答案)
函数的表示法[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 知识点函数的三种表示方法思考(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答(1)三种表示方法的优、缺点比较：(2)不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x∈Q，1，x∈∁R Q.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.跟踪训练1画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二列表法表示函数例2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f答案1 2解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.跟踪训练2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出(1)f[g(1)]＝__________；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________.答案(1)1(2)1解析 (1)由表知g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1； (2)由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.题型三 待定系数法求函数解析式例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x ). 解 (1)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又∵f [f (x )]＝4x －1， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)∵f (x )是二次函数， ∴设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左边展开整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由恒等式原理知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.跟踪训练3 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式. 解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例4 求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ).解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得 f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞).方法二 (配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1). (2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).跟踪训练4 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 方法二 (配凑法)因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.忽略函数的定义域致误例5 已知f (x －1)＝2x ＋x ，求f (x ). 错解 令t ＝x －1，则x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3.正解 令t ＝x －1，则t ≥－1，x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3(x ≥－1).易错警示跟踪训练5 已知f (1＋1x )＝1x 2－1，求f (x ).解 令t ＝1＋1x (x ≠0)，则x ＝1t －1(t ≠1)，所以f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t (t ≠1)， 所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1).1.已知f (x ＋2)＝6x ＋5，则f (x )等于( ) A.18x ＋17 B.6x ＋5 C.6x －7D.6x －52.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )3.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.4.已知f(x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)_______. 5.已知f (x )为二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的表达式.一、选择题1.已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A.3x ＋2 B.3x －2 C.2x ＋3 D.2x －32.已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝x 2＋2x ＋1B.f (x )＝x 2－2x ＋1C.f (x )＝x 2＋2x －1D.f (x )＝x 2－2x －1 3.已知f (1－2x )＝1x 2，则f (12)的值为( )A.4B.14C.16D.1164.函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )A.y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B.y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C.y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D.y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)6.设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A.1B.－1C.1或－1D.1或－2二、填空题7.已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________.8.函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________. 9.若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 10.如图，函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____.三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域. (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]； (2)y ＝|x ＋1|.12.(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式.13.求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式.当堂检测答案1.答案 C解析 设x ＋2＝t ，得x ＝t －2， ∴f (t )＝6(t －2)＋5＝6t －7， ∴f (x )＝6x －7，故选C. 2.答案 C解析 由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A ；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选C. 3.答案 1解析 由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1.故填1. 4.答案 f (x )＝2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.5.解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0， ∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2.2.答案 A解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.3.答案 C 解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16.4.答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x >0，x －1， x <0.5.答案 B解析 由图象知，当0≤x ≤1时，y ＝32x ；当1<x ≤2时，y ＝3－32x .6.答案 B解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.二、填空题7.答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.8.答案 [2,11)解析 画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11). 9.答案 52解析 令x ＝2，得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝92，令x ＝12，得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32，消去f ⎝⎛⎭⎫12，得f (2)＝52. 10.答案 2 三、解答题11.解 (1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[－2,2]. 列表如下：作出函数图象如图(1)[－1,8].(2)当x ＋1≥0，即x ≥－1时，y ＝x ＋1；当x ＋1<0，即x <－1时，y ＝－x －1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1.作该分段函数的图象如图(2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞). 12.解 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21， 所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5.(2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ， 整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2， 所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.13.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3. (2)以－x 代替x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x . 与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得： f (x )＝13x 2－2x .。
第3课时 函数的表示方法二)_1
第3课时函数的表示方法(二)必备知识基础练1.已知函数f(x)＝则f(2)等于( )A．0 B.C．1 D．22．设f(x)＝则f＝( )A. B.C．－ D.3．已知函数f(x)＝若f(x)＝－3，则x＝________. 4．图像所表示的函数解析式为( )A ．y ＝|x －1|(0≤x≤2)B ．y ＝－|x －1|(0≤x≤2)C ．y ＝－|x －1|(0≤x≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x≤2)5．函数f(x)＝x ＋的图像是( )6．已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________．7.电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图像可表示为下图中的( )8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( ) A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米关键能力综合练一、选择题1．函数f(x)＝则f(2)等于( )A．－1 B．0C．1 D．22．若函数f(x)＝则满足f(a)＝1的实数a的值为( )A．－1 B．1C．－2 D．23．已知函数f(x)的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f 等于( )A．－ B.C．－ D.4．下列图形是函数y＝x|x|的图像的是( )5．已知f(x)＝则f＋f等于( )A．－2 B．4C．2 D．－46．(易错题)已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( ) A．－3 B．－1C．1 D．3二、填空题7．如表表示y是x的函数，则该函数的定义域是________，值域是________．8.(易错题)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为________________．9．(探究题)设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝(1)求f(－1)，f，f(4)的值；(2)求函数的定义域、值域．学科素养升级练1．(多选)已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是( )A．－1 B.C．－ D．12．已知函数f(x)＝若f(1－x)＝2，则x的取值范围是( ) A．∅ B．[0,2]C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]3．(学科素养—数学抽象)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；(2)当x>0时，求f[g(x)]；(3)求g[f(x)]的解析式．第3课时函数的表示方法(二)必备知识基础练1．解析：f(2)＝＝1.答案：C2．解析：≤1，所以f＝－2＝－.再将f的值作为x的取值.>1，所以f＝f＝＝.故本题正确答案为B.答案：B3．解析：若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．综上可得，所求x的值为－4或2.答案：－4或24．解析：当0≤x<1时，y＝x；当1≤x≤2时，y＝－x＋3.故y ＝－|x－1|(0≤x≤2)．答案：B5．解析：f(x)＝故选C.答案：C6．解析：由图可知，图像由两条线段(其中一条不含右端点)组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴∴f(x)＝x＋1.当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝－x.即f(x)＝答案：f(x)＝7．解析：结合题意，易知B正确，故选B.答案：B8．解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.答案：A关键能力综合练1．答案：A2．解析：当a＞0时，f(a)＝2不符合，当a≤0时，a2＝1，∴a＝－1，故选A.答案：A3．解析：由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝∴f＝－1＝－，∴f＝f＝－＋1＝.答案：B4．解析：∵f(x)＝分别画出y＝x2(取x≥0部分)及y＝－x2(取x<0部分)即可．答案：D5．解析：∵f(x)＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.答案：B6．解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0⇒a＝－3，符合题意．答案：A7．解析：(1)由表可知，函数的自变量x从0开始至4，每个数都有意义，所以定义域为(0,4]；(2)该函数是一个分段函数，从表中的数据可知，y只能取到1,2,3,4这四个数，所以值域为{1,2,3,4}．答案：(0,4] {1,2,3,4}8．易错分析：题目中f(x)为分段函数，在求值时需要根据定义域取值范围不同代入不同的解析式，本题极易误以为1－a<1＋a而忘记分类讨论导致结果错误．解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不符合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－，满足题意．答案：－9．解析：当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝>1，无解．故a>4.答案：(4，＋∞)10．解析：(1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.(2)作出图像如图所示．利用“数形结合”，易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1,2]∪{3}．学科素养升级练1．解析：根据题意，f(x)＝若f(x)＝1，分3种情况讨论：①当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1，解可得x＝－1；②当－1<x<2时，f(x)＝x2＝1，解可得x＝±1，又由－1<x<2，则x＝1；③当x≥2时，f(x)＝2x＝1，解可得x＝，舍去．综合可知：x＝1或－1；故选AD.答案：AD2．解析：当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，所以0≤x≤2，当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，解得x＝－1，满足条件，综上有0≤x≤2或x＝－1.答案：D3．解析：(1)g(2)＝2－1＝1，f[g(2)]＝f(1)＝12－1＝0，f(2)＝22－1＝3，g[f(2)]＝g(3)＝3－1＝2.(2)当x>0时，g(x)＝x－1，f[g(x)]＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x.(3)当x>1或x<－1时，x2－1>0，∴g[f(x)]＝g(x2－1)＝(x2－1)－1＝x2－2；当－1≤x≤1时，x2－1≤0，∴g[f(x)]＝g(x2－1)＝2－(x2－1)＝－x2＋3.故g[f(x)]＝第3课时函数的表示方法(二)必备知识基础练1.已知函数f(x)＝则f(2)等于( )A．0 B.C．1 D．22．设f(x)＝则f＝( )A. B.C．－ D.3．已知函数f(x)＝若f(x)＝－3，则x＝________.4．图像所表示的函数解析式为( )A．y＝|x－1|(0≤x≤2)B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)5．函数f(x)＝x＋的图像是( )6．已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________．7.电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图像可表示为下图中的( )8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米关键能力综合练一、选择题1．函数f(x)＝则f(2)等于( )A．－1 B．0C．1 D．22．若函数f(x)＝则满足f(a)＝1的实数a的值为( ) A．－1 B．1C．－2 D．23．已知函数f(x)的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于( )A．－ B.C．－ D.4．下列图形是函数y＝x|x|的图像的是( )5．已知f(x)＝则f＋f等于( )A．－2 B．4C．2 D．－46．(易错题)已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( )A．－3 B．－1C．1 D．3二、填空题7．如表表示y是x的函数，则该函数的定义域是________，值域是________．8.(易错题)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．9．(探究题)设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝(1)求f(－1)，f，f(4)的值；(2)求函数的定义域、值域．学科素养升级练1．(多选)已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是( )A．－1 B.C．－ D．12．已知函数f(x)＝若f(1－x)＝2，则x的取值范围是( ) A．∅ B．[0,2]C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]3．(学科素养—数学抽象)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；(2)当x>0时，求f[g(x)]；(3)求g[f(x)]的解析式．第3课时函数的表示方法(二)必备知识基础练1．解析：f(2)＝＝1.答案：C2．解析：≤1，所以f＝－2＝－.再将f的值作为x的取值.>1，所以f＝f＝＝.故本题正确答案为B.答案：B3．解析：若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．综上可得，所求x的值为－4或2.答案：－4或24．解析：当0≤x<1时，y＝x；当1≤x≤2时，y＝－x＋3.故y＝－|x－1|(0≤x≤2)．答案：B5．解析：f(x)＝故选C.答案：C6．解析：由图可知，图像由两条线段(其中一条不含右端点)组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴∴f(x)＝x＋1.当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝－x.即f(x)＝答案：f(x)＝7．解析：结合题意，易知B正确，故选B.答案：B8．解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x ＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.答案：A关键能力综合练1．答案：A2．解析：当a＞0时，f(a)＝2不符合，当a≤0时，a2＝1，∴a＝－1，故选A.答案：A3．解析：由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝∴f＝－1＝－，∴f＝f＝－＋1＝.答案：B4．解析：∵f(x)＝分别画出y＝x2(取x≥0部分)及y＝－x2(取x<0部分)即可．答案：D5．解析：∵f(x)＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.答案：B6．解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a ＋1＋2＝0⇒a＝－3，符合题意．答案：A7．解析：(1)由表可知，函数的自变量x从0开始至4，每个数都有意义，所以定义域为(0,4]；(2)该函数是一个分段函数，从表中的数据可知，y只能取到1,2,3,4这四个数，所以值域为{1,2,3,4}．答案：(0,4] {1,2,3,4}8．易错分析：题目中f(x)为分段函数，在求值时需要根据定义域取值范围不同代入不同的解析式，本题极易误以为1－a<1＋a而忘记分类讨论导致结果错误．解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a ＝－，不符合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－，满足题意．答案：－9．解析：当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝>1，无解．故a>4.答案：(4，＋∞)10．解析：(1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.(2)作出图像如图所示．利用“数形结合”，易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1,2]∪{3}．学科素养升级练1．解析：根据题意，f(x)＝若f(x)＝1，分3种情况讨论：①当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1，解可得x＝－1；②当－1<x<2时，f(x)＝x2＝1，解可得x＝±1，又由－1<x<2，则x＝1；③当x≥2时，f(x)＝2x＝1，解可得x＝，舍去．综合可知：x＝1或－1；故选AD.答案：AD2．解析：当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，所以0≤x≤2，当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，解得x＝－1，满足条件，综上有0≤x≤2或x＝－1.答案：D3．解析：(1)g(2)＝2－1＝1，f[g(2)]＝f(1)＝12－1＝0，f(2)＝22－1＝3，g[f(2)]＝g(3)＝3－1＝2.(2)当x>0时，g(x)＝x－1，f[g(x)]＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x.(3)当x>1或x<－1时，x2－1>0，∴g[f(x)]＝g(x2－1)＝(x2－1)－1＝x2－2；当－1≤x≤1时，x2－1≤0，∴g[f(x)]＝g(x2－1)＝2－(x2－1)＝－x2＋3.故g[f(x)]＝。
《函数及其表示方法》课标解读
《函数及其表示方法》课标解读教材分析1.函数是数学的重要的基础概念之一，也是中学数学的主要内容，它与中学数学中很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图像”就属于函数的内容.2.本节内容包括函数的概念、构成函数的三要素、简单函数的定义域、值域以及函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法.3.教材从熟悉的例子引入函数的概念，注重体现数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养.学情分析1.函数是学生熟悉的数学概念，初中已经学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数.2.函数的概念与表示是学生的兴趣点，也是学习的难点.教学建议1.对比初中学习的函数的定义，提高对函数的认识.引导学生阅读教材，特别是“情境与问题”“拓展阅读”，在此基础上帮助学生理解函数的概念.2.对函数的概念的理解，要使学生明确以下两点：（1）定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体.（2）函数记号()=”y f x=的内涵，同时也应用具体的函数说明符号“()y f x是“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号.要注意的是()y f x=不是表示“y等于f与x的乘积”.()f a表示当f x既有区别又有联系，()f a与()自变量x a=时函数()f x的值，是一个常量.3.函数的三种表示方法中解析法用得最多，对于列表法、图像法，应多举例说明.第1课时函数的概念学科核心素养目标与素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用.促进学生数学抽象素养的形成，达到水平一的要求.2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.促进学生数学运算素养的形成，达到水平一的要求.3.能够正确使用区间表示数集.促进学生直观想象素养的形成，达到水平一的要求.情境与问题通过实例说明初中定义函数的方法未能完全揭示函数的本质，故需要用集合与对应的思想来理解和定义函数引入新课，使学生感知并体会用集合与对应的思想定义函数的必要性.内容与节点本节课是在学习了集合的基础上，学习函数的概念，为学习函数的性质打基础，做准备.过程与方法通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型，在此基础上学习用集合与对应语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用. 教学重点难点重点理解函数的概念，了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域.难点1.能够正确使用区间表示数集.2.会求一些简单函数的定义域、值域.第2课时函数的表示方法学科核心素养目标与素养1.了解函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法.促进学生数学学科直观想象的核心素养的形成，达到水平一的要求.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当表示方法表示函数.促进学生数学学科数学建模的核心素养的形成，达到水平一的要求.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.促进学生数学学科数学运算的核心素养的形成，达到水平一的要求.情境与问题1.案例一通过西瓜价格的表述和人与人沟通的语言的不同表示方法引出对函数的表示方法的探究.2.案例二通过教材“情境与问题”中的中国创新指数的取值i与年度值y，以及测量的指标值v与测量的时间t之间的函数关系判断及表示引出函数的表示方法.内容与节点在学习函数的概念的基础上学习函数的表示方法，为学习函数的性质做准备.过程与方法1.通过用函数知识解决实际问题的体验，培养学生灵活运用数学知识解决问题的能力.2.通过数形结合思想在理解函数的表示方法中的运用，使学生在图形变化中感受数学的直观美.教学重点难点重点1.了解函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.难点了解简单的分段函数，并能简单应用.。