第三章 平面任意力系
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A
0
X A 0(kN)
[例6] 破碎机传动机构，图示位置时，OE杆水平，机构平衡。 已知：AB=60cm, 与杆BC垂直，P=1kN(垂直于AB), AH=40cm, BC=CD=60cm, OE=10cm。 tan 1 11.求电机对杆OE作用的转矩 m＝？ m 解：① 研究AB杆，其受力如图 o E
与假设方向相反。
23
[例5] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
解：① 研究起重机 由mF 0
YG 2 Q 1 P 5 0
50510 YG 50(kN) 2
24
② 再研究梁CD 由mC 0
19
[例3] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1KN， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 选整体研究 解： ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩心 ④ 列方程为: X B 0; X 0 Y 0 YB P 0; YB P mB 0 M B P DE 0
5
③
R '≠0,MO≠0
还可以继续简化为一个作用点不在简化中心的合力。
MO d R
平面任意力系的合力矩定理：当平面力系可以合成为一个合 力时，则其合力对作用面内任一点的矩，等于各分力对同一 点矩的代数和。
Mo R R d Mo O点是任意的 Mo Mo Fi
Mo (R) Mo Fi
' YD 6 YG 1 0
YD
③ 再 研 究 整 体
50 8.33( kN ) 6
X 0, X
YB 100(kN) mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 Y A 48.33(kN) Y 0,YA YB YD Q P 0 25
14
静定
静不定
静不定
静不定
静不定问题在变形体力学(材力,结力,弹力)中用位移协 调条件来求解。
15
§4-8
物系的平衡
A H B
l/4
q
C
l/4
D
l/4
E
一、几个概念
l/8 l/8
物 系 —— 由若干个物体通过约束组成的系统
外 力 —— 物体系以外任何物体作用于该系统的力
内 力 —— 物体系内部各物体间互相作用的力
m
A
F''
m=mO(F)
2
§4-3 平面一般力系向一点简化
任意力系
汇交力系+力偶系
合成结果
汇交力系 力偶系
力，R'(主矢)(作用在简化中心) 力偶，MO(主矩)
3
主矢、主矩的解析表达式
R ' F '1 F '2 F '3 MO m1 m2 m3
F1 F 2 F 3
§4-1
平面任意力系的概念
平面任意力系：各力和各平面力偶都作用在同一平面内， 但是既不汇交也不平行的力系。
1
§4-2
1.定理:
力线平移定理
作用于刚体上的力，可平移至该刚体内任一点，但 须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。 2.证明:
F' F
F'
在B点加一对平衡力
F' = F" = F
B
A
B
o 1 1
其中：
p1 p2 p, OA a cos , AM l a sin , BN l a cos
a cos2 sin l a sin cos l a cos a sin 2 0
28
l cos sin cos sin 0 2a 由 cos sin 0 4 l l 1 由 cos sin 0 cos 2a 4 2 2a l l 1 1 且 cos 但是 2 2a 2 2a 4
13
§4-7
静定与静不定问题的概念 我们学过：
静定与静不定问题
1、平面汇交力系有两个独立方程，能求两个独立未知数。 2、平面力偶系有一个独立方程，能求一个独立未知数。 3、平面平行力系有二个独立方程，能求二个独立未知数。 4、平面一般力系有三个独立方程，能求三个独立未知数。 当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题(可求解) 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题(超静定问题)
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 17
R ' =0， MO =0
R ' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 0
M O mO ( Fi ) 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
mO ( Fi ) 0
9
物理意义：
Fx 0
Fx 0
mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
YA
A
p B
p
30
A H
XA
m
A
0, p AH S1 AB 0
H
D
B
C
S1
2 2 S1 p (kN) 3 3
② 研究销钉C，其受力如图
S3
30
S2
C
30
S1
X 0, S cos30 S sin S cos30 0 Y 0, S cos S sin30 S sin30 0
[例7] 曲杆DCE由相互垂直的两段均质杆组成，CD＝CE＝2l，重 量均为P。将它搁在宽度为a的光滑平台上，求平衡时的 角。
C
A
解：研究曲杆，设CD、CE的中点分别为M、N，
B
其受力如图：
E
a
C
B NB NA N M A O P 2 D
D
E
P1
2 2
m F 0, p cos OA p sin AM p cos BN p sin OB 0
Fy 0
mA ( Fi ) 0
mB ( Fi ) 0
② 二矩式 条件：x 轴不AB连线
mO ( Fi ) 0
① 基本式
mC ( Fi ) 0
③ 三矩式
条件：A,B,C不共线
每组均有三个独立方程，可求解三个未知数。 选择平衡方程的原则：尽量使一个方程只含有一个 未知量。
500N
100 OO' 1m 100
0.8m
80Nm
1m
100N
O
1m
200N
0.6 m
3
4
500N
x
MO
O
y
y
y
FR
x
FR O
O
FR FR
x
O O
x
FR
最简结果为作用于 O' 的一个力.
8
1.3 力系的简化
§4-5
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零，且对任意点的主矩也等于零！
21
[例4] 已知:P=100N, AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于 斜面； 求
S BD ?和支座A反力？
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
mB 0,YA 2.5 P1.20
X ' 0, X A sin YA cos Psin 0
AC 1.6 4 CD 1.2 3 ; cos AD 2 5 AD 2 5 解得: X A 136N; YA 48N 与假设方向相反。 而sin
22
再研究AB杆，受力如图
由mC 0, S B sin CB YA AC0
YA AC 48 1.6 解得 : S B 106.7N 4 BC sin 0.9 5
Mo 0
12
所以, 平面平行力系的平衡方程为：
一矩式
Y 0
mo ( Fi ) 0 mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
二矩式 各力在x 轴上的投影恒等于零， 即
恒成立，所以只有两 X 0
条件：AB连线不平行 于力的作用线
个独立方程，只能求解两个独 立的未知数。
18
A
q=15kN/m m=20kNm B C
1m 2m 2m
研究BC杆，如图
R'B RB 20kN
X 0:
XC 0
R’ B B
m
C
mc
XC
YC
Y 0 :
YC R'B 0 YC 20 kN
2m
mB 0 :
mC YC 2 m 0 mC 60 kN m
[例2] 求A、B、C三点约束反力。
q=15kN/m m=20kNm B C
1m 2m 2m
A
解：研究AB杆，如图
Q=q× 2=30kN
A
B
RA
RB
mB 0 :
RA 3 Q 1 0 RA 10 kN
Y 0 :
RB RA Q 0 RB 20kN
二、特点 ① 若物系平衡，则物系中每个单体也是平衡的
② 设物系中有n个物体，每个单体可列3个平衡方程，整个系统 可列3n个独立方程，可解3n个未知数 16
[例1] 已知：P=20kN, m=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁，受力如图
由 X 0, X A 0
Fi mO ( Fi )
mO ( F1 ) mO ( F2 )
大小： R ' R 'x 2 R ' y 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
主矢
R'
Fy Fx 方向： cos( R ', x) ，cos( R ', y ) R' R'
10
固定端约束 (fixed support)
雨搭
车刀
① 认为Fi这群力在同一 平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③ RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA限制转动。
11
§4-6
平面平行力系的平衡方程
与简化中心的选择无关！
大小： Mo mo ( Fi )
主矩 Mo 旋向：规定 + —
4
与简化中心的选择有关!
§4-4
平面一般力系简化结果的讨论
① R '=0,MO≠0 简化为一合力偶。此时原力系等效于只有一个力偶的作用， 因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化 中心无关。 ② R '≠0,MO =0 简化为一个作用于简化中心的力，称为原力系的合力。
1 3 2
3
1
2
S3 0.707(kN)
26
③ 研究OE杆，其受力如图
o
Xo Yo
m
S3
o
E
m
E
A
p B
30
H
D
m
o
0, m S3 OE cos 0
C
cm) 70.4 N m
27
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得： 主矢
Ro Fi
主矩 MO mO ( Fi ) Fi xi 合力作用线的位置为： M O Fi xi xR R' F 平衡的充要条件为:
Ro 0
解方程得
M B 1 1 1(KN m)
20
① 再研究CD杆 ② 受力如图 ③ 取E为矩心，列方程 ④ 解方程求未知数
mE 0,SCA sin45o CE PED0
SCA PED 1000 1 1414 ( N) o sin45 CE 0.7071
④ R '=0， MO =0，则原力系平衡。
6
[例1] 试求图示平面力系向O点简化结果及最简形式。
y
500N
0.8m
80Nm
1m
100N
O
1m
200N
0.6 m
3
4
500N
x
选O为简化中心
Fx 100 N Fy 0
' FR 100 N
7
1.3 力系的简化
3 M O M O ( F ) 500 0.8 100 2 500 2.6 80 5 y 100(N m)
0
X A 0(kN)
[例6] 破碎机传动机构，图示位置时，OE杆水平，机构平衡。 已知：AB=60cm, 与杆BC垂直，P=1kN(垂直于AB), AH=40cm, BC=CD=60cm, OE=10cm。 tan 1 11.求电机对杆OE作用的转矩 m＝？ m 解：① 研究AB杆，其受力如图 o E
与假设方向相反。
23
[例5] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
解：① 研究起重机 由mF 0
YG 2 Q 1 P 5 0
50510 YG 50(kN) 2
24
② 再研究梁CD 由mC 0
19
[例3] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1KN， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 选整体研究 解： ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩心 ④ 列方程为: X B 0; X 0 Y 0 YB P 0; YB P mB 0 M B P DE 0
5
③
R '≠0,MO≠0
还可以继续简化为一个作用点不在简化中心的合力。
MO d R
平面任意力系的合力矩定理：当平面力系可以合成为一个合 力时，则其合力对作用面内任一点的矩，等于各分力对同一 点矩的代数和。
Mo R R d Mo O点是任意的 Mo Mo Fi
Mo (R) Mo Fi
' YD 6 YG 1 0
YD
③ 再 研 究 整 体
50 8.33( kN ) 6
X 0, X
YB 100(kN) mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 Y A 48.33(kN) Y 0,YA YB YD Q P 0 25
14
静定
静不定
静不定
静不定
静不定问题在变形体力学(材力,结力,弹力)中用位移协 调条件来求解。
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§4-8
物系的平衡
A H B
l/4
q
C
l/4
D
l/4
E
一、几个概念
l/8 l/8
物 系 —— 由若干个物体通过约束组成的系统
外 力 —— 物体系以外任何物体作用于该系统的力
内 力 —— 物体系内部各物体间互相作用的力
m
A
F''
m=mO(F)
2
§4-3 平面一般力系向一点简化
任意力系
汇交力系+力偶系
合成结果
汇交力系 力偶系
力，R'(主矢)(作用在简化中心) 力偶，MO(主矩)
3
主矢、主矩的解析表达式
R ' F '1 F '2 F '3 MO m1 m2 m3
F1 F 2 F 3
§4-1
平面任意力系的概念
平面任意力系：各力和各平面力偶都作用在同一平面内， 但是既不汇交也不平行的力系。
1
§4-2
1.定理:
力线平移定理
作用于刚体上的力，可平移至该刚体内任一点，但 须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。 2.证明:
F' F
F'
在B点加一对平衡力
F' = F" = F
B
A
B
o 1 1
其中：
p1 p2 p, OA a cos , AM l a sin , BN l a cos
a cos2 sin l a sin cos l a cos a sin 2 0
28
l cos sin cos sin 0 2a 由 cos sin 0 4 l l 1 由 cos sin 0 cos 2a 4 2 2a l l 1 1 且 cos 但是 2 2a 2 2a 4
13
§4-7
静定与静不定问题的概念 我们学过：
静定与静不定问题
1、平面汇交力系有两个独立方程，能求两个独立未知数。 2、平面力偶系有一个独立方程，能求一个独立未知数。 3、平面平行力系有二个独立方程，能求二个独立未知数。 4、平面一般力系有三个独立方程，能求三个独立未知数。 当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题(可求解) 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题(超静定问题)
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 17
R ' =0， MO =0
R ' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 0
M O mO ( Fi ) 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
mO ( Fi ) 0
9
物理意义：
Fx 0
Fx 0
mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
YA
A
p B
p
30
A H
XA
m
A
0, p AH S1 AB 0
H
D
B
C
S1
2 2 S1 p (kN) 3 3
② 研究销钉C，其受力如图
S3
30
S2
C
30
S1
X 0, S cos30 S sin S cos30 0 Y 0, S cos S sin30 S sin30 0
[例7] 曲杆DCE由相互垂直的两段均质杆组成，CD＝CE＝2l，重 量均为P。将它搁在宽度为a的光滑平台上，求平衡时的 角。
C
A
解：研究曲杆，设CD、CE的中点分别为M、N，
B
其受力如图：
E
a
C
B NB NA N M A O P 2 D
D
E
P1
2 2
m F 0, p cos OA p sin AM p cos BN p sin OB 0
Fy 0
mA ( Fi ) 0
mB ( Fi ) 0
② 二矩式 条件：x 轴不AB连线
mO ( Fi ) 0
① 基本式
mC ( Fi ) 0
③ 三矩式
条件：A,B,C不共线
每组均有三个独立方程，可求解三个未知数。 选择平衡方程的原则：尽量使一个方程只含有一个 未知量。
500N
100 OO' 1m 100
0.8m
80Nm
1m
100N
O
1m
200N
0.6 m
3
4
500N
x
MO
O
y
y
y
FR
x
FR O
O
FR FR
x
O O
x
FR
最简结果为作用于 O' 的一个力.
8
1.3 力系的简化
§4-5
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零，且对任意点的主矩也等于零！
21
[例4] 已知:P=100N, AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于 斜面； 求
S BD ?和支座A反力？
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
mB 0,YA 2.5 P1.20
X ' 0, X A sin YA cos Psin 0
AC 1.6 4 CD 1.2 3 ; cos AD 2 5 AD 2 5 解得: X A 136N; YA 48N 与假设方向相反。 而sin
22
再研究AB杆，受力如图
由mC 0, S B sin CB YA AC0
YA AC 48 1.6 解得 : S B 106.7N 4 BC sin 0.9 5
Mo 0
12
所以, 平面平行力系的平衡方程为：
一矩式
Y 0
mo ( Fi ) 0 mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
二矩式 各力在x 轴上的投影恒等于零， 即
恒成立，所以只有两 X 0
条件：AB连线不平行 于力的作用线
个独立方程，只能求解两个独 立的未知数。
18
A
q=15kN/m m=20kNm B C
1m 2m 2m
研究BC杆，如图
R'B RB 20kN
X 0:
XC 0
R’ B B
m
C
mc
XC
YC
Y 0 :
YC R'B 0 YC 20 kN
2m
mB 0 :
mC YC 2 m 0 mC 60 kN m
[例2] 求A、B、C三点约束反力。
q=15kN/m m=20kNm B C
1m 2m 2m
A
解：研究AB杆，如图
Q=q× 2=30kN
A
B
RA
RB
mB 0 :
RA 3 Q 1 0 RA 10 kN
Y 0 :
RB RA Q 0 RB 20kN
二、特点 ① 若物系平衡，则物系中每个单体也是平衡的
② 设物系中有n个物体，每个单体可列3个平衡方程，整个系统 可列3n个独立方程，可解3n个未知数 16
[例1] 已知：P=20kN, m=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁，受力如图
由 X 0, X A 0
Fi mO ( Fi )
mO ( F1 ) mO ( F2 )
大小： R ' R 'x 2 R ' y 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
主矢
R'
Fy Fx 方向： cos( R ', x) ，cos( R ', y ) R' R'
10
固定端约束 (fixed support)
雨搭
车刀
① 认为Fi这群力在同一 平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③ RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA限制转动。
11
§4-6
平面平行力系的平衡方程
与简化中心的选择无关！
大小： Mo mo ( Fi )
主矩 Mo 旋向：规定 + —
4
与简化中心的选择有关!
§4-4
平面一般力系简化结果的讨论
① R '=0,MO≠0 简化为一合力偶。此时原力系等效于只有一个力偶的作用， 因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化 中心无关。 ② R '≠0,MO =0 简化为一个作用于简化中心的力，称为原力系的合力。
1 3 2
3
1
2
S3 0.707(kN)
26
③ 研究OE杆，其受力如图
o
Xo Yo
m
S3
o
E
m
E
A
p B
30
H
D
m
o
0, m S3 OE cos 0
C
cm) 70.4 N m
27
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得： 主矢
Ro Fi
主矩 MO mO ( Fi ) Fi xi 合力作用线的位置为： M O Fi xi xR R' F 平衡的充要条件为:
Ro 0
解方程得
M B 1 1 1(KN m)
20
① 再研究CD杆 ② 受力如图 ③ 取E为矩心，列方程 ④ 解方程求未知数
mE 0,SCA sin45o CE PED0
SCA PED 1000 1 1414 ( N) o sin45 CE 0.7071
④ R '=0， MO =0，则原力系平衡。
6
[例1] 试求图示平面力系向O点简化结果及最简形式。
y
500N
0.8m
80Nm
1m
100N
O
1m
200N
0.6 m
3
4
500N
x
选O为简化中心
Fx 100 N Fy 0
' FR 100 N
7
1.3 力系的简化
3 M O M O ( F ) 500 0.8 100 2 500 2.6 80 5 y 100(N m)