第三章 平面任意力系
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第03章+平面力系
物系平衡的特点： ① 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态。 ② 每个单体可列3个平衡方程, 整个系统可列3n个方程 （设物系中有n个物体） 在求解静定的物体系的平衡问题时, 可以选每个物体为研 究对象, 列出全部平衡方程，然后求解；也可以先取整个系统 为研究对象, 列出平衡方程，求出部分未知量，再从系统中选 取某些物体作为研究对象, 列出另外的平衡方程，直至求出所 有的未知量为止。
Fy =0 mO (F )=0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
m A (F )=0 mB (F )=0
例3-3 求图示刚架在A、B端所受的约束反力。
解：⑴ 作刚架的受力图。 ⑵ 列出平衡方程：
cos45 å F =0, F 窗 sin45 å F =0, F 窗
x A
y
A
+ F =0 + FB =0
(1)正负号的规定 (2)投影是代数量 (3)力沿轴的分力与力在轴上的投影的区别
Fy Fx cos a = , cos b = F F
讨论：力的投影与分量
y
y
y
F
Fy
O
F
F
Fy
F
O
Fx
x
Fy
O
Fx
x
O
Fx
x
Fx
x
分力Fx=？
⑴ 力F在垂直坐标轴 x、y上的投影与沿轴分 解的分力大小相等。 ⑵ 力F在相互不垂直的轴 x、y‘上的投影与沿 轴分解的分力大小是不相等的。
例3-5 试计算刚架支座A、B的约束反力。
解：⑴ 取整体为研究对象，列出平衡方程：
å å
å
Fx =0, FAx +10kN - FBx =0
平面任意力系的简化
附加力偶系可以合成为一个力偶，其力偶矩为
MO M1 M 2
M n MO (F1 ) MO (F2 )
MO (Fn ) MO (Fi )
称为原力系对简化中心O的主矩，主矩与简化中心的选择有关。
结论：
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这 个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O ；这力偶的矩等于该力系 对简化中心O的主矩。主矢与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心 位置有关。 主矢的解析表达式为
3.力的平移定理是平面任意力系简化为平面汇交力系和平面力偶系
的依据。
B
d
F
＝
F″ A
B
d
F′
F′
M
F
A
＝
A
B
2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩
F1
F2
y ′ FR j O y MO i x
O
简化 中心 Fn
F1 F1
F2 F2
Fn Fn
F1′
M1
M2 O Mn
′ F2 x
F1 C O
3m
F4
30° x
( F'Rx )2 ( F'Ry )2 4.662kN FR
y
主矢方向
F'Rx cos( F'R , i ) 0.986 FR F'Ry cos( F'R , j ) 0.165 FR
2、求主矩MO
( F'R , i ) 9.5 ( F'R , i ) 80.5
M1 M O (F1 )
M 2 M O (F2 ) M n M O (Fn )
精品教案：平面任意力系
第三章 平面任意力系教学要求：1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。
2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。
3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。
工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。
当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。
例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。
此方法的理论基础是力的平移定理。
一、力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到任一点B ，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 点的矩。
证：图中F ’=F ’’=F ，M =M B (F )反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允许用一只手扳动扳手。
因为作用在扳手一端的力F 与作用在中点的力F’和力偶矩为M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。
二、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心O 点简化。
先将各力平移至点O ，得：F’1、F’2、F’3、M 1、M 2、M 3，M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，M 3= M O (F 3)合成得主矢： F’R = F’1+ F’2+ F’3= F 1+ F 2+ F 3=∑F i 主矩： M O = M 1+ M 2+ M 3=∑M O (F i )一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
教案(理论力学C 60学时)第03章 平面任意力系
2．利用节点法求解平面简单桁架的内力
3．利用截面法求解平面简单桁架的内力
4．综合利用节点法和截面法求解平面简单桁架的内力
1．平面任意力系的平衡条件以及平衡条件的解析表达式即平衡方程
2．平面任意力系的平衡方程的具体运用
平面平行力系的合成与平衡
1．平面平行力系的合成方法
2．平面平行力系的平衡方程及其应用
物体系的平衡•静定和静不定问题的概念
1．静定和静不定问题的概念
2．物系平衡问题（静定）的求解
平面简单桁架的内力计算
1．与桁架有关的一些基本概念以及基本的假设
西华大学教案
章节名称
第三章平面任意力系教学源自数6学时授课方式教师讲授、课堂讨论、习题讲解相结合，黑板与多媒体相结合。
教学目的及要求
要求熟练掌握平面任意力系向作用面内任一点进行简化和平面任意力系的平衡条件和平衡方程；能熟练并正确的利用平面任意力系的平衡方程对单个物体以及物系的平衡进行求解；了解静定和静不定问题的概念；能运用节点法和截面法求解平面简单桁架的内力。
4、理论力学（第四版）清华大学理论力学教研组高等教育出版社
具体内容
力线平移定理
平面任意力系向已知点的简化主矢与主矩
1．平面任意力系向已知点的简化的方法
2．主矢和主矩的概念，固定端约束
简化结果分析合理矩定理
1．平面任意力系能简化成为的几种结果及合力矩定理
2．平面任意力系平衡时的情形
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
教学手段
采用启发式教学。教师讲授主要知识点；通过课堂提问使学生对重点内容和难点进行积极主动思考；并通过讲解例题的方式，让学生掌握重点内容和知识点及其应用。课后布置相关习题让学生温习课堂所学内容。
参考资料
3．利用截面法求解平面简单桁架的内力
4．综合利用节点法和截面法求解平面简单桁架的内力
1．平面任意力系的平衡条件以及平衡条件的解析表达式即平衡方程
2．平面任意力系的平衡方程的具体运用
平面平行力系的合成与平衡
1．平面平行力系的合成方法
2．平面平行力系的平衡方程及其应用
物体系的平衡•静定和静不定问题的概念
1．静定和静不定问题的概念
2．物系平衡问题（静定）的求解
平面简单桁架的内力计算
1．与桁架有关的一些基本概念以及基本的假设
西华大学教案
章节名称
第三章平面任意力系教学源自数6学时授课方式教师讲授、课堂讨论、习题讲解相结合，黑板与多媒体相结合。
教学目的及要求
要求熟练掌握平面任意力系向作用面内任一点进行简化和平面任意力系的平衡条件和平衡方程；能熟练并正确的利用平面任意力系的平衡方程对单个物体以及物系的平衡进行求解；了解静定和静不定问题的概念；能运用节点法和截面法求解平面简单桁架的内力。
4、理论力学（第四版）清华大学理论力学教研组高等教育出版社
具体内容
力线平移定理
平面任意力系向已知点的简化主矢与主矩
1．平面任意力系向已知点的简化的方法
2．主矢和主矩的概念，固定端约束
简化结果分析合理矩定理
1．平面任意力系能简化成为的几种结果及合力矩定理
2．平面任意力系平衡时的情形
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
教学手段
采用启发式教学。教师讲授主要知识点；通过课堂提问使学生对重点内容和难点进行积极主动思考；并通过讲解例题的方式，让学生掌握重点内容和知识点及其应用。课后布置相关习题让学生温习课堂所学内容。
参考资料
平面任意力系
平面任意力系
平面任意力系是探究力学问题中采用的一种数学模型。
该模型被广泛用于研究坐标系内的任意力的作用的原点以及其对物体的影响。
它是一种理论模型，用于理解物体在任意力作用下的受力方向和大小。
平面任意力系以三个坐标轴x, y以及z为基础，以这三个轴上的一组受力大小作为决定物体位置、速度和加速度的参数来描述它。
在静力学中，平面任意力系经常被用来模拟物体受若干外力作用下的质点力学运动。
假设物体受到x轴、y轴和z轴上的n条外力作用，其受力状态可以用平面任意力系来描述。
这些外力在平面任意力系上唯一确定，根据它们的方向以及大小可以计算得到受力物体的转动惯量和转矩。
在运动学中，平面任意力系也被用来描述物体的位置、速度和加速度情况。
根据物体受到的初始加速度以及力学运动的运动方程，可以求得物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
这也可以看作是在一组外力的作用下，物体在平面任意力系中运动的过程，通过求解平面任意力系可以计算出物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
平面任意力系是一个复杂的理论模型，但它可以简单有效地用于模拟坐标系内多外力作用情况下物体受力情况以及物体的运动状态，在力学和运动学方面都显示出其重要的应用价值。
-建筑力学第三章平面力系的合成与平衡
平面汇交力系合成与平衡的几何法小 结
几何法解题步骤：1. 取研究对象；2. 画受力图； 3. 作力多边形；4. 选比例尺； 5. 解出未知数。
几何法解题不足： 1. 精度不够，误差大； 2. 作图要求精度高； 3. 不能表达各个量之间的函数关系。
平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法(重点掌 握)。
R0
Rx2
R
2 y
0
或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代
数和分别等于零。
Rx Fx 0 Ry Fy 0
为平衡的充要条件， 也叫平衡方程
解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:
1.选-对像;即依需选分离体，分离体选取应最好含题设
的已知条件; 2.画-分离体受力图,作到准确无误;
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力
的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。从而这
力系被分解为平面汇交力系和平面力偶系。这种变换的
方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。 R0 -----主矢,与简化中心选取无关; M0 ---主矩,与简化中心有关。
2、主矢和主矩 (1)主矢R0
F3 F2
D
C
F2 F4 F3
R
F4
R
F4
E
E
3、汇交力系的合成结果
汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这
力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式：R F1 F 2
F1
A F2
F4 F3
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
n
平面任意力系
解：
对象：小车ABC T, TC = G, NA, NB
y
h
分析力：
C TC
E
d
T
B NB b x
选轴列平衡方程：
A Nb A G
X T T c sin 0 T T c sin 1 . 04 kN
N
A
Y
N B T c cos 0
B
例2. 轮轴AD, A为止推轴承,C为圆柱轴承，轮B重 W==40kN,外伸端D的齿轮直径为d，受径向力P=20kN和 轴向力Q=40kN。L=20cm. 求两轴承的约束力。
解：
对象：轮轴
y YA L XA A W
A
分析力： W, P, Q, YC, XA, YA 选轴列平衡方程：
L L B C d YC
m 2 2P 20 0 . 8 2 16 0 .8 2 20 12 KN
(3) 解方程组；
RB qa 2
R Ay P qa R B 20 20 0 . 8 12 24 KN
平面任意力系平衡方程的其它形式
平衡方程的多矩形式
m A (F ) N
2 b Td T c cos b T c sin h 0
N
B
T c sin ( h d ) T c cos b 2b
1 . 67 kN
代入二式解得 或利用两矩式
N
A
T C cos N B 2 . 19 kN
B
F’1
n
平面任意力系三
F’R O MO
汇交力系合力的力矢称为原力系的主矢。
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A
0
X A 0(kN)
[例6] 破碎机传动机构，图示位置时，OE杆水平，机构平衡。 已知：AB=60cm, 与杆BC垂直，P=1kN(垂直于AB), AH=40cm, BC=CD=60cm, OE=10cm。 tan 1 11.求电机对杆OE作用的转矩 m＝？ m 解：① 研究AB杆，其受力如图 o E
与假设方向相反。
23
[例5] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
解：① 研究起重机 由mF 0
YG 2 Q 1 P 5 0
50510 YG 50(kN) 2
24
② 再研究梁CD 由mC 0
19
[例3] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1KN， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 选整体研究 解： ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩心 ④ 列方程为: X B 0; X 0 Y 0 YB P 0; YB P mB 0 M B P DE 0
5
③
R '≠0,MO≠0
还可以继续简化为一个作用点不在简化中心的合力。
MO d R
平面任意力系的合力矩定理：当平面力系可以合成为一个合 力时，则其合力对作用面内任一点的矩，等于各分力对同一 点矩的代数和。
Mo R R d Mo O点是任意的 Mo Mo Fi
Mo (R) Mo Fi
' YD 6 YG 1 0
YD
③ 再 研 究 整 体
50 8.33( kN ) 6
X 0, X
YB 100(kN) mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 Y A 48.33(kN) Y 0,YA YB YD Q P 0 25
14
静定
静不定
静不定
静不定
静不定问题在变形体力学(材力,结力,弹力)中用位移协 调条件来求解。
15
§4-8
物系的平衡
A H B
l/4
q
C
l/4
D
l/4
E
一、几个概念
l/8 l/8
物 系 —— 由若干个物体通过约束组成的系统
外 力 —— 物体系以外任何物体作用于该系统的力
内 力 —— 物体系内部各物体间互相作用的力
m
A
F''
m=mO(F)
2
§4-3 平面一般力系向一点简化
任意力系
汇交力系+力偶系
合成结果
汇交力系 力偶系
力，R'(主矢)(作用在简化中心) 力偶，MO(主矩)
3
主矢、主矩的解析表达式
R ' F '1 F '2 F '3 MO m1 m2 m3
F1 F 2 F 3
§4-1
平面任意力系的概念
平面任意力系：各力和各平面力偶都作用在同一平面内， 但是既不汇交也不平行的力系。
1
§4-2
1.定理:
力线平移定理
作用于刚体上的力，可平移至该刚体内任一点，但 须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。 2.证明:
F' F
F'
在B点加一对平衡力
F' = F" = F
B
A
B
o 1 1
其中：
p1 p2 p, OA a cos , AM l a sin , BN l a cos
a cos2 sin l a sin cos l a cos a sin 2 0
28
l cos sin cos sin 0 2a 由 cos sin 0 4 l l 1 由 cos sin 0 cos 2a 4 2 2a l l 1 1 且 cos 但是 2 2a 2 2a 4
13
§4-7
静定与静不定问题的概念 我们学过：
静定与静不定问题
1、平面汇交力系有两个独立方程，能求两个独立未知数。 2、平面力偶系有一个独立方程，能求一个独立未知数。 3、平面平行力系有二个独立方程，能求二个独立未知数。 4、平面一般力系有三个独立方程，能求三个独立未知数。 当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题(可求解) 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题(超静定问题)
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 17
R ' =0， MO =0
R ' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 0
M O mO ( Fi ) 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
mO ( Fi ) 0
9
物理意义：
Fx 0
Fx 0
mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
YA
A
p B
p
30
A H
XA
m
A
0, p AH S1 AB 0
H
D
B
C
S1
2 2 S1 p (kN) 3 3
② 研究销钉C，其受力如图
S3
30
S2
C
30
S1
X 0, S cos30 S sin S cos30 0 Y 0, S cos S sin30 S sin30 0
[例7] 曲杆DCE由相互垂直的两段均质杆组成，CD＝CE＝2l，重 量均为P。将它搁在宽度为a的光滑平台上，求平衡时的 角。
C
A
解：研究曲杆，设CD、CE的中点分别为M、N，
B
其受力如图：
E
a
C
B NB NA N M A O P 2 D
D
E
P1
2 2
m F 0, p cos OA p sin AM p cos BN p sin OB 0
Fy 0
mA ( Fi ) 0
mB ( Fi ) 0
② 二矩式 条件：x 轴不AB连线
mO ( Fi ) 0
① 基本式
mC ( Fi ) 0
③ 三矩式
条件：A,B,C不共线
每组均有三个独立方程，可求解三个未知数。 选择平衡方程的原则：尽量使一个方程只含有一个 未知量。
500N
100 OO' 1m 100
0.8m
80Nm
1m
100N
O
1m
200N
0.6 m
3
4
500N
x
MO
O
y
y
y
FR
x
FR O
O
FR FR
x
O O
x
FR
最简结果为作用于 O' 的一个力.
8
1.3 力系的简化
§4-5
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零，且对任意点的主矩也等于零！
21
[例4] 已知:P=100N, AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于 斜面； 求
S BD ?和支座A反力？
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
mB 0,YA 2.5 P1.20
X ' 0, X A sin YA cos Psin 0
AC 1.6 4 CD 1.2 3 ; cos AD 2 5 AD 2 5 解得: X A 136N; YA 48N 与假设方向相反。 而sin
22
再研究AB杆，受力如图
由mC 0, S B sin CB YA AC0
YA AC 48 1.6 解得 : S B 106.7N 4 BC sin 0.9 5
Mo 0
12
所以, 平面平行力系的平衡方程为：
一矩式
Y 0
mo ( Fi ) 0 mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
二矩式 各力在x 轴上的投影恒等于零， 即
恒成立，所以只有两 X 0
条件：AB连线不平行 于力的作用线
个独立方程，只能求解两个独 立的未知数。
18
A
q=15kN/m m=20kNm B C
1m 2m 2m
研究BC杆，如图
R'B RB 20kN
X 0:
XC 0
R’ B B
m
C
mc
XC
YC
Y 0 :
YC R'B 0 YC 20 kN
2m
mB 0 :
mC YC 2 m 0 mC 60 kN m
[例2] 求A、B、C三点约束反力。
q=15kN/m m=20kNm B C
1m 2m 2m
A
解：研究AB杆，如图
Q=q× 2=30kN
A
B
RA
RB
mB 0 :
RA 3 Q 1 0 RA 10 kN
Y 0 :
RB RA Q 0 RB 20kN
0
X A 0(kN)
[例6] 破碎机传动机构，图示位置时，OE杆水平，机构平衡。 已知：AB=60cm, 与杆BC垂直，P=1kN(垂直于AB), AH=40cm, BC=CD=60cm, OE=10cm。 tan 1 11.求电机对杆OE作用的转矩 m＝？ m 解：① 研究AB杆，其受力如图 o E
与假设方向相反。
23
[例5] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
解：① 研究起重机 由mF 0
YG 2 Q 1 P 5 0
50510 YG 50(kN) 2
24
② 再研究梁CD 由mC 0
19
[例3] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1KN， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 选整体研究 解： ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩心 ④ 列方程为: X B 0; X 0 Y 0 YB P 0; YB P mB 0 M B P DE 0
5
③
R '≠0,MO≠0
还可以继续简化为一个作用点不在简化中心的合力。
MO d R
平面任意力系的合力矩定理：当平面力系可以合成为一个合 力时，则其合力对作用面内任一点的矩，等于各分力对同一 点矩的代数和。
Mo R R d Mo O点是任意的 Mo Mo Fi
Mo (R) Mo Fi
' YD 6 YG 1 0
YD
③ 再 研 究 整 体
50 8.33( kN ) 6
X 0, X
YB 100(kN) mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 Y A 48.33(kN) Y 0,YA YB YD Q P 0 25
14
静定
静不定
静不定
静不定
静不定问题在变形体力学(材力,结力,弹力)中用位移协 调条件来求解。
15
§4-8
物系的平衡
A H B
l/4
q
C
l/4
D
l/4
E
一、几个概念
l/8 l/8
物 系 —— 由若干个物体通过约束组成的系统
外 力 —— 物体系以外任何物体作用于该系统的力
内 力 —— 物体系内部各物体间互相作用的力
m
A
F''
m=mO(F)
2
§4-3 平面一般力系向一点简化
任意力系
汇交力系+力偶系
合成结果
汇交力系 力偶系
力，R'(主矢)(作用在简化中心) 力偶，MO(主矩)
3
主矢、主矩的解析表达式
R ' F '1 F '2 F '3 MO m1 m2 m3
F1 F 2 F 3
§4-1
平面任意力系的概念
平面任意力系：各力和各平面力偶都作用在同一平面内， 但是既不汇交也不平行的力系。
1
§4-2
1.定理:
力线平移定理
作用于刚体上的力，可平移至该刚体内任一点，但 须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。 2.证明:
F' F
F'
在B点加一对平衡力
F' = F" = F
B
A
B
o 1 1
其中：
p1 p2 p, OA a cos , AM l a sin , BN l a cos
a cos2 sin l a sin cos l a cos a sin 2 0
28
l cos sin cos sin 0 2a 由 cos sin 0 4 l l 1 由 cos sin 0 cos 2a 4 2 2a l l 1 1 且 cos 但是 2 2a 2 2a 4
13
§4-7
静定与静不定问题的概念 我们学过：
静定与静不定问题
1、平面汇交力系有两个独立方程，能求两个独立未知数。 2、平面力偶系有一个独立方程，能求一个独立未知数。 3、平面平行力系有二个独立方程，能求二个独立未知数。 4、平面一般力系有三个独立方程，能求三个独立未知数。 当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题(可求解) 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题(超静定问题)
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 17
R ' =0， MO =0
R ' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 0
M O mO ( Fi ) 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
mO ( Fi ) 0
9
物理意义：
Fx 0
Fx 0
mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
YA
A
p B
p
30
A H
XA
m
A
0, p AH S1 AB 0
H
D
B
C
S1
2 2 S1 p (kN) 3 3
② 研究销钉C，其受力如图
S3
30
S2
C
30
S1
X 0, S cos30 S sin S cos30 0 Y 0, S cos S sin30 S sin30 0
[例7] 曲杆DCE由相互垂直的两段均质杆组成，CD＝CE＝2l，重 量均为P。将它搁在宽度为a的光滑平台上，求平衡时的 角。
C
A
解：研究曲杆，设CD、CE的中点分别为M、N，
B
其受力如图：
E
a
C
B NB NA N M A O P 2 D
D
E
P1
2 2
m F 0, p cos OA p sin AM p cos BN p sin OB 0
Fy 0
mA ( Fi ) 0
mB ( Fi ) 0
② 二矩式 条件：x 轴不AB连线
mO ( Fi ) 0
① 基本式
mC ( Fi ) 0
③ 三矩式
条件：A,B,C不共线
每组均有三个独立方程，可求解三个未知数。 选择平衡方程的原则：尽量使一个方程只含有一个 未知量。
500N
100 OO' 1m 100
0.8m
80Nm
1m
100N
O
1m
200N
0.6 m
3
4
500N
x
MO
O
y
y
y
FR
x
FR O
O
FR FR
x
O O
x
FR
最简结果为作用于 O' 的一个力.
8
1.3 力系的简化
§4-5
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零，且对任意点的主矩也等于零！
21
[例4] 已知:P=100N, AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于 斜面； 求
S BD ?和支座A反力？
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
mB 0,YA 2.5 P1.20
X ' 0, X A sin YA cos Psin 0
AC 1.6 4 CD 1.2 3 ; cos AD 2 5 AD 2 5 解得: X A 136N; YA 48N 与假设方向相反。 而sin
22
再研究AB杆，受力如图
由mC 0, S B sin CB YA AC0
YA AC 48 1.6 解得 : S B 106.7N 4 BC sin 0.9 5
Mo 0
12
所以, 平面平行力系的平衡方程为：
一矩式
Y 0
mo ( Fi ) 0 mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
二矩式 各力在x 轴上的投影恒等于零， 即
恒成立，所以只有两 X 0
条件：AB连线不平行 于力的作用线
个独立方程，只能求解两个独 立的未知数。
18
A
q=15kN/m m=20kNm B C
1m 2m 2m
研究BC杆，如图
R'B RB 20kN
X 0:
XC 0
R’ B B
m
C
mc
XC
YC
Y 0 :
YC R'B 0 YC 20 kN
2m
mB 0 :
mC YC 2 m 0 mC 60 kN m
[例2] 求A、B、C三点约束反力。
q=15kN/m m=20kNm B C
1m 2m 2m
A
解：研究AB杆，如图
Q=q× 2=30kN
A
B
RA
RB
mB 0 :
RA 3 Q 1 0 RA 10 kN
Y 0 :
RB RA Q 0 RB 20kN