第三章_平面任意力系
3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
工程力学-平面任意力系
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
3平面任意力系
A、B、C 三点不共线。 三点不共线。
运用平衡条件求解未知力的步骤为： 运用平衡条件求解未知力的步骤为： 1、合理确定研究对象并画该研究对象的受 力图； 力图； 2、由平衡条件建立平衡方程； 由平衡条件建立平衡方程； 3、由平衡方程求解未知力。 由平衡方程求解未知力。 实际计算时，通常规定与坐标轴正向一 实际计算时， 致的力为正。即水平力向右为正， 致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向 上为正。 上为正。
合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的 矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的 代数和。 代数和。
mo (F) = ∑mo (F ) i
y
mo (F) = mo (Fx ) + mo (Fy )
mo (Fx ) = −yFx
y
O
Fy
A x
B
F
F x
x
mo (Fy ) = xF y
在长方形平板的O 例题 3-1 在长方形平板的 、A、B、C 点上分别作 用着有四个力： 用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如 ， ， （ 图），试求以上四个力构成的力系对点 的简化结果， ），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果， 试求以上四个力构成的力系对点 以及该力系的最后的合成结果。 以及该力系的最后的合成结果。
§3–2 平面任意力系的平衡方程及其应用
伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 例题 3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 P=2200N，吊车 、E 连同吊起重物各重 ，吊车D QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b 。有关尺寸为： ， ， = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链 对臂 ， ° 试求铰链A 对臂AB 的水 平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。 的拉力。 平和垂直反力，以及拉索 y
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
工程力学-材料力学-第03章 平面任意力系(邱清水)
3.1
（2 M O F M 2 F2 cos 60 2 F3 3F4 sin 30 2.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，故最后合成结果是一个合力 FR，合力到O点的距离为
d M O FR 0.421 m
A B C
附加条件：A，B，Ｃ 三点不共线直
为什么要附加条件？
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程：
如果选Oxy坐标系的y轴与各力平
行，则不论力系是否平衡，各力在x轴
上的投影恒等于零。 于是，平面平行力系的平衡的数 目只有两个 即
F 0 M F 0
y O
或
M F 0 M F 0
A B
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.平面任意力系平衡方程的应用
力系平衡方程主要用于求解单个物体或物体系统平衡时 的未知约束力，也可用于求解物体的平衡位置和确定主动 力之间的关系。 应用平衡方程解题的大致步骤如下： 1）选取研究对象，画出受力分析图； 2）选取坐标系，列出平衡方程； 3）求解方程组。
2
FRy arctan FRx
F F F arctan F
2
2
2
x
y
y
x
3.1 平面任意力系的简化.主矢与主矩 3．固定端（或插入端）约束
图(a)为固定端约束在计算时所用的简图。物体在固嵌部分所 受力是比较复杂的（图(b)），但当物体所受主动力为一平面 力系时，这些约束力亦为平面力系，可将它们向A点简化得一 力和一力偶（图(c)）。这个力可用两个未知正交分力来代替。 因此，在平面力系情形下，固定端A处的约束作用可简化为两 F 个约束力 F Ax ， Ay和一个约束力偶 M A （图(d)）。
(完整)03平面任意力系
第三章 平面任意力系3-1 已知N 1501=F ，N 2002=F ，N 3003=F ，N 200'==F F 。
求力系向点O 的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。
解：(1） 求合力R F 的大小5210121321⋅-⋅-⋅-=∑F F F F xN 62.4375230010120021150-=⋅-⋅-⋅-= 5110321321⋅-⋅-⋅-=∑F F F F yN 62.1615130010320021150-=⋅+⋅-⋅-= 主矢 N 5.466)62.161()62.437()()('2222R =-+-=∑+∑=y x F F F 主矩 852021031⋅-⋅+⋅=F F F M Om N 21448200520300210150⋅=⋅-⋅+⋅=(逆时针转向)合力R F 在原点O 的左侧上方，如图(a ）所示，且N 5.466'R R ==F F (2） 求距离dcm 59.45.4662144'===R M d O3—3 如图所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。
已知飞机的重量为kN 30=W ,螺旋桨的牵引力kN 4=F .飞机的尺寸：m 2.0=a ，m 1.0=b ， m 05.0=c ,m 5=l 。
求阻力x F 、机翼升力1y F 和尾部的升力2y F 。
解：选择坐标系如图（a)所示。
0=∑x F ，0=-F F x ，kN 4==F F x 0=∑A M ，0)()(2=+--+c b F W a l a F ykN 27.1)(2=+++=la cb F Wa F y0=∑y F ，021=-+W F F y ykN 7.2821=-=y y F W F3—5 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机,作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布：kN/m 40 ,kN/m 6021==q q ，机翼重kN 451=W ，发动机重kN 202=W ，发动机螺旋桨的作用力偶矩m kN 18⋅=M 。
cly理论力学-第三章
理论力学
1 1 M q .gh.1h. h 2 3
（1） 侧墙不绕A点倾倒时Mw kq MqMA0
b 1 1 M w kq M q 1bh. . 1.4 . gh.1h. h 0 2 2 3
解得：b=0.9，根据条件知 b 0.9
力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩。
Mz(F)= MO(Fxy)=±Fxyd=2S△OA′ B′
是代数量，正负规定 单位为 N· m + –
z
性质：
(1) 当力的作用线与轴平行或相交 时，力对于该轴之矩为零。 (2) 当力沿其作用线平移时， 它对于轴之矩不变。
F A O
d
B
B′
xy
A′ Fxy
1、直接投影法(一次投影法)
x
方向余弦
Fx=Fcosα, Fy=Fcosβ, Fz=Fcosγ
2、 二次投影法(间接投影法)
Fx=Fcosθcos , Fy=Fcosθsin , Fz=Fsinθ
C LY
系 列 一
理论力学 说明: (1) 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 (2) 已知力在坐标轴上的投影，则大小及方向余弦为：
(3) 合力对于任一轴之矩等于各分力对于同一轴之矩的代 数和，此即力对轴之矩的合力矩定理。
C LY
系 列 一
理论力学 三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系 1、力矩关系定理
力F对O点的矩矢大小为：
z MO(F)
γ
|MO(F)|=2S△OAB (a)
力F对于通过O点的z轴的矩矢大小为：
B
A F
第三章 平面任意力系和平面平行力系
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
理论力学平面任意力系
解: 取齿轮I及重物C ,画受力图.
M B 0 Pr F R 0 F 10 P1
由 Fr taan 200 3.64 P1
t
X 0 FBx Fr 0 FBx 3,64P1
Y 0 FBy P P2 F 0 FBy 32P1
[例1]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
[例2]
物体系统（物系）： ——由若干个物体经过 约束所构成旳系统。
超静定拱
[P62 思索题 3-10]
超静定梁
超静定桁架
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
二、物体系统旳平衡问题
外力：外界物体作用于系统上旳力。 内力：系统内部各物体之间旳相互作用力。
R
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最终成果
阐明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心旳位置无关
平衡
与简化中心旳位置无关
3-2 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
一、平面任意力系平衡旳充要条件为：
力系旳主矢
FR
'和对于任一点旳主矩
独立方程旳数目
平面力偶系
mi 0
1
平面平行力系 Y 0, mo (F ) 0
2
平面汇交力系
X 0
2
Y 0
平面任意力系
X 0
Y
0
3
mO (F i ) 0
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 （可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）
平面任意力系
P
B
MA A
FAy FAx
P
B
FB
★ 静定和超静定的概念 机 静构 定 不问 定题 问题
思考：指出下列问题属于静定问题还是超静定问题
P
P
(a)
(c)
P
P
(b)
(d)
★ 物体系统的平衡问题
物体系统的独立平衡方程数＝ 各物体独立平衡方程数之和
★ 物体系统的平衡问题
例3-4 已知：P=6kN ,
l
桁架各杆件均为二力杆
★ 桁架内力的计算
1. 节点法 2. 截面法
＊ 以节点为研究对象； ＊ 由平面汇交力系平衡 方程求解。 ＊ 用假想截面将桁架截开； ＊ 研究局部桁架的平衡， 直接求得杆件的内力。
例3-8已知铅垂力F1=4
kN，水平力F2= 2kN 。
求杆EF、CE、CD 内力。A
解：法1 节点法
MA
FAy M
FAAyy
+
FBB
sin
60DD
−
2ql
−
F
cos
30DD
=
0
FAx
A
∑MAA(F ) = 0,
l
q
30D
F
C
B 60D D
FB
l
l
l
MAA − M − 2ql × 2l + FBB sin 60DD ×3l − F cos30DD × 4l = 0
解方程得: FAAxx =32. 89 kN, FAAyy =−2. 32 kN, MAA =10. 37 kN⋅m
★ 静定和超静定的概念 静定问题 (statically determinate problem) —由静力学平衡方程可解出全部未知数。 超静定问题(statically indeterminate problem) — 仅由平衡方程无法求出全部未知数。
郭新柱 理论力学(第三章)
同。该力偶的力偶矩等于主矩 M B ，如图 b
y
y
MC
A B
F
3、向 C 点简化的主矩
D C
x
F
A (-3,0) B
D Cx
利用两点之矩的关系计算 M C M B M C F 3 Fy 2 5KN
o 1 1 2
（2）、求合力及其作用线位置。
Mo 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）、求合力作用线方程
' ' M o M o FR x FRy y FRx x FRy y FRx
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
简化
FR
简化 中心
①
=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 FR
简化
M=MO
简化 中心
=0 FR
② FR =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, M=MO 此时刚体等效于只有一个力 偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时， 主矩与简化中心O无关。
2 2
Fx 2 2 5 cos F 5 5
F 的解析式
5 cos F 5 5
Fy
1
F 2i 1 j
y
A
Fx MB Fy
D B Cx
2 向 B 点简化的主矩
F
第三章平面力系
(3)若FR‘≠0，MO‘≠0，这时根据力的平移定理的 逆过程，可以进一步简化成一个作用于另一点 的合力。
(4) FR‘=0，MO‘=0，则力系是平衡力系 。 综上所述，平面一般力系简化的最后结果 (即合成结果)可能是一个力偶，或者是一个合 力，或者是平衡。 3-1-3合力矩定理 当FR‘=0，MO‘≠0 时，还可进一步简化为一 M o ( FR ) FR d 合力，合力对点的矩是 / / 而 Mo mo ( F ) FR d M o 所以 Mo (FR ) mO (F )
3-1-2简化结果的分析 平面一般力系向一点简化，一般可得到一 个力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。 根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种 情况： (1)若FR‘=0，MO‘≠0，说明原力系与一个力偶等 效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 (2)若FR‘≠0，MO‘=0 ，则作用于简化中心的主 矢FR'就是原力系FR的合力，作用线通过简化中 心。
228 .9kN m
计算结果为正值表示是逆时针转向。
因为主矢
≠0，主矩 FR
/ Mo ，如图 0 (b)所示，
所以还可进一步合成为一个合力FR。 FR的大小、 方向与FR‘相同，它的作用线与点的距离为
M O 228.9 d 0.375m FR 612.9
因为MO正，故m0(FR)也应为正，即合力FR 应在点O左侧，
X
F F
0
二力矩形式的平衡方程 (简称二矩式)
在力系作用面内任取两点A、B及X轴，平 面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程 和一个投影方程的形式，即
F m m
X
0 0 0
A
B
式中轴不与A、B两点的连线垂直。
平面任意力系简化
静力学研究的两个基本问题
1.作用于物体上的力系的简化 2.力系的平衡条件
平面任意力系：力系中各力的作用线处于同一 平面内,但即不平行也不汇交
第三章 平面任意力系
§3.1 平面任意力系的简化
刚体上平面力系 F1、F2、…、Fn O Mn F2′ F1′ M2 M1 Fn 将各力平移到O点（简化中心） 得到汇交于O点的一 个平面汇交力系 F1′=F1 F2′=F2 … Fn′=Fn
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
三、FR′≠ 0，MO≠0 此时可进一步简化为一个合力 O d O′ FR
平移 FR′到O′点
FR = FR′= ∑F MO′ = FR′.d 如果 MO′ = MO d = MO /FR′
则FR 称为原力系的合力
此时 MO（FR） = FR.d = MO = ∑MO（Fi）
Fn′
F1 F2
和一个平面力偶系 M1=MO（F1）
M2=MO（F2） … Mn=MO（Fn）
ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 平面任意力系
平面汇交力系 F1′=F1
F2′=F2 … Fn′=Fn O
Mn
M2
M1 FR′
—可合成为一个力FR′ （主矢量） FR′= F1′+ F2′+ …+ Fn′=∑F ′ = F1+ F2+ …+ Fn=∑F
= ∑MO（Fi）
平面任意力系向一平面内任一点简化，一般 可得到一个力和一个力偶。力通过简化中心， 为力系中各力的矢量和，力偶的矩等于力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
第三章：平面任意力系
第三章平面任意力系一、要求1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。
会应用解析法求主矢和主矩。
熟知平面任意力系简化的结果。
2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。
3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。
4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。
二、重点、难点1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。
平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。
物体及物体系平衡问题的解法。
2、本章难点：主矢与主矩的概念。
物体系的平衡问题。
三、学习指导1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。
一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。
2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。
两个力系合在一起与原力系等效。
这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。
然后，分别求平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。
于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。
3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。
主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。
（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。
平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕点转动的作用效果。
（3）主矢与简化中心的选择无关。
从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。
主矩与简化中心的选择有关。
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
第03章 平面任意力系
第三章平面任意力系3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩3.2 平面任意力系的平衡条件与平衡方程3.3 物体系统的平衡·静定与静不定问题3.4 平面简单桁架的内力计算3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩所谓平面任意力系是指力系中各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称平面力系。
在实际工程中经常会遇到平面任意力系的情形，例如，下图所示的曲柄连杆机构，受力F ，矩为M 1，M 2的力偶以及支座反力F Ax ，F Ay 和F N 的作用，这些力及力偶构成平面任意力系。
3、固定端（或插入端）约束FAxFAyM AA4、平面任意力系的简化结果分析（1）简化为一个力偶当F R = 0，M O ≠0则原力系合成为合力偶，其矩为∑=)(i O O M M F 此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶。
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
即∑=)()(R i O O M M F F 当F R ’= 0，M O = 0则原力系平衡。
（3）平面力系平衡例题3-3考虑一小型砌石坝的1m长坝段，受重力和的静水压力作用。
已知h = 8 m，a= 1.5 m，b= 1 m，P1=600 kN，P2=300 kN，单位体积的水重γ = 9.8 kN/m3。
求（1）将重力和水压力向O点简化的结果，（2）合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。
解：（1）以点O 为简化中心，求主矢∑=′x RxF F ()()kNF F yxR1.95322=+=′∑∑F 329.0cos =′=∑RxF F θ944.0cos −=′=∑RyF F β°±=79.70θ°±°=21.19180β故主矢在第四象限内，与x 轴的夹角为°−79.70F R ’M O θβkN 6.313=22121h qh γ==kN P P F F y Ry 90021−=−−==′∑（2）以点O 为简化中心，求主矩F R ’M O θβ()()()q M P M P M M O O O O ++=21bP a P hh 212321−+×−=γmkN ⋅−= 27.236表明主矩的方向与假设方向相反，及主矩的方向为顺时针。
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
工程力学第三章：平面任意力系
水平尾翼的约束。
车刀
利用平面任意力系的简化讨论固定端约束（以雨搭为例）：
Fi
A
雨搭
雨搭
简化为一个平面任意力系
MA
A
FA
雨搭
FAy
MA
A
FAx
雨搭
向A处简化，简化结果是 一个主矢加一个主矩
主矢方向待定，用两正交分 量表示
例1：已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F ́=200N。求此力 系向原点O简化的结果，并求力系的合力。
2
M=0
FR′≠0
3
M=0
合力
合力
合力作用线通过简化中心
合力作用线距离简化中心距离
4
M≠0
d M O / FR
第三种和第四种结果属于同一种情形。是简化中心选择的不同 引起的。
四、合力矩定理
可以证明，M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
由于简化中心可任取，因此上式有普遍意义，可描述为：平 面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各分力 对于同一点之矩的代数和。
4、在列平衡方程时，最好将力矩方程的矩心取为两个未知力的 交点，而对投影方程的投影轴的选取，应尽可能使其与某些未知 力垂直，为什么？ 答：避免解联立方程，使方程尽量简单。
5、在等腰直角三角形上的A、B、C三点分别作用三个力，各力 的大小和方向如图所示。问该力系是否平衡？为什么？
问题引入：平面任意力系研究物体或物系在受到相关力系作用
下的平衡问题。
吊车：工程中吊车的
起重载荷如何进行计
算？
破碎机：鄂式破碎机是矿山机械中常见的机械设备，颚板作用 给矿石的作用力应如何进行计算？
平面任意力系
用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M =
500 N•m。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固
定铰支A 旳反力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
M
A
D
B
2m
1m
y
M
NAy
Q
A
NAx
CD
B
x
解：
ND
1、取梁AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作
用在AB旳中点C 。
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
第三章 平面任意力系
平面任意力系
各个力旳作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行旳力 系称为平面任意力系
§3–1 力对点之矩
第 §3–2 力旳平移定理 三 章 §3–3 平面任意力系旳简化•主矢与主矩
平 §3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
面 任
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y
R y
0.789
R
R , y 3754'
F1
O
3m
y A
R
O
F4 C 30° x
B
C
x
§3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
② 求主矩：
LO mo F
y
F2
阐明如下：
R
LO
O
=
R R
Lo
OR A
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第三章 平面任意力系[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。
设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。
已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。
解：因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。
又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。
一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。
因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。
又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。
即AB 与y 垂直。
由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： αcos ab =[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ⋅=12，m kN M B ⋅=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。
解：由公式（3-5）可知：)(212R O O O F M M M +=)(R B A B F M M M +=)()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++=依题意0=Rx F ，故有：)(Ry B A B F M M M +=)24(1215-⨯+=Ry F32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1==)(85.112m F M a R A ===故C 点的水平坐标为：m x 6-=。
[习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。
图中长度单位是ｍｍ。
解:主矢量:)(28030250kNFFFQPR=+=+=(↓)，作用在O点。
主矩: )(3315.0)30250(15.015.0mkNFFMQPO⋅-=⨯+-=⨯+⨯-=[习题3--4] 已知挡土墙自重kNW400=，土压力kNF320=，水压力kNFP176=，如图3-26所示。
求这些力向底面中心O简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。
图中长度单位为m。
解:(1) 求主矢量)(134.6940cos32017640cos00kNFFFPRx-=-=-=)(692.60540sin32040040sin00kNFWFRy-=--=--=)(625.609)692.605()134.69(2222kNFFFRyRxR=-+-=+=RF与水平面之间的夹角:"'0182983134.69692.605arctanarctan=--==RxRyFFα(2) 求主矩)(321.296)60cos33(40sin32060sin340cos32021768.040000mkNMO⋅=-⨯-⨯+⨯-⨯=(3)把主矢量与主矩合成一个力)(486.0625.609321.296mFMdRO===)(0555.0134.69692.605486.0tanmdx===α[习题3--5] 某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力F 1＝1940ｋＮ，F 2＝800ｋＮ及制动力F T ＝193ｋＮ。
桥墩自重W ＝5280ｋＮ，风力F P ＝140ｋＮ。
各力作用线位置如图所示。
求将这些力向基底截面中心O 简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。
解:(1) 求主矢量)(333193140kN F F F T P Rx -=--=--=)(80208001940528021kN F F W F Ry -=---=---=)(91.8026)8020()333(2222kN F F F Ry Rx R =-+-=+=R F 与水平面之间的夹角:"'021*******8020arctanarctan=--==RxRy F F α (2) 求主矩)(25.60554.019404.080025.211937.10140m kN M O ⋅=⨯+⨯-⨯+⨯=(3)把主矢量与主矩合成一个力)(754.091.802625.6055m F M d R O ===)(0313.03338020754.0tan m d x ===α'[习题3--6] 图示一平面力系，已知F 1＝200Ｎ，F 2＝100Ｎ，Ｍ＝300Ｎ·ｍ。
欲使力系的合力通过O 点，问水平力之值应为若干? 解:12053200cos 1-=⨯-=-=F F F F F Rx θ )(26054200100sin 12kN F F F Ry -=⨯--=--=θ主矢量:22)260()120(-+-=F F R)(560254200253200)(10m kN F M ⋅=⨯⨯+⨯⨯=)(2002100)(20m kN F M ⋅-=⨯-=F F M 5.1)(0-=主矩:F F M 5.1603005.12005600-=---=要使合力通过O 点,必使:05.1600=-=F M ,即kN F 40=[习题3--7] 在刚架的A 、B 两点分别作用1F 、2F 两力，已知1F ＝2F ＝10ｋＮ。
欲以过Ｃ点的一个力F 代替1F 、2F ，求Ｆ的大小、方向及B 、C 间的距离。
解:)(55.0101060cos 012kN F F F Rx =⨯-=-=)(66.8866.01060sin 01kN F F Ry -=⨯-=-= 主矢量:)(10)66.8(522kN F R =-+= 方向060566.8arctanarctan-=-==RxRy F F α(↘) x x F M C 66.860sin 10)(01-=-= (设x BC =))(20210)(2m kN F M C ⋅=⨯=主矩:2066.8+-=x M C要使F 通过C 点, 且与1F ,2F 两力等效,必使:02066.8=+-=x M C ,即)(309.2m x =当)(309.2m x =时, )(10kN F F R ==,方向与x 轴正向成060((↘).[习题3--8] 外伸梁AC 受集中力P F 及力偶（F ，F ′）的作用。
已知P F ＝2ｋＮ，力偶矩M ＝1.5ｋＮ·ｍ，求支座A 、B 的反力。
解：（1）以AC 为研究对象，画出其受力图如图所示。
（2）因为AC 平衡，所以 ①0)(=∑i AF M0645sin 40=⨯--⨯F M R B)(49.24/)67071.025.1(4/)645sin (0kN F M R B =⨯⨯+=⨯+= ②0=∑ixF045cos 0=+F R Ax)(41.145cos 20kN R Ax -=-= ③0=∑iyF045sin 0=-+F R R B Ay)(08.17071.025.245sin 0N F R R B Ay -=⨯+-=+-=m5.[习题3－9] 求图示刚架支座A 、B 的反力，已知：图（a）中，M ＝2.5ｋＮ·ｍ，F ＝5ｋＮ；图（ｂ）中，ｑ＝１ｋＮ／ｍ，F ＝3ｋＮ。
解：图（a ）（1）以刚架ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。
（2）因为AC 平衡，所以 ①0)(=∑i AF M02545.2532=⨯⨯-⨯⨯++⨯F F M R B085.75.22=-++B R )(1kN R B = ②0=∑ixFBR 053=⨯-F R Ax )(3535kN R Ax =⨯=③0=∑iyF054=⨯-+F R R B Ay )(38.05154kN F R R B Ay =⨯+-=⨯+-=解：图（b ）（1）以刚架ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。
（2）因为AC 平衡，所以 ①0)(=∑i AF M02434=⨯⨯-⨯-⨯q F R B 0241334=⨯⨯-⨯-B R )(25.44/)89(kN R B =+= ②0=∑ixF0=+F R Ax )(3kN F R Ax -=-= ③0=∑iyF04=⨯-+q R R B Ay)(25.04125.44kN q R R B Ay -=⨯+-=⨯+-=[习题3－10] 弧形闸门自重W ＝150ｋＮ，水压力P F ＝3000ｋＮ，铰Ａ处摩擦力偶的矩M ＝60ｋＮ·ｍ。
求开始启门时的拉力T F 及铰A 的反力。
解：开始打开闸门时，B 与地面脱开，0=B N 。
因为此时闸门平衡，所以 ①0)(=∑i A F M061.04=⨯-⨯-⨯+T P F F W M 061.03000415060=⨯-⨯-⨯+T F 0630060060=⨯--+T F 05010010=--+T F )(60kN F T =②0=∑ix F030cos 0=+P Ax F R)(2598866.03000kN R Ax -=⨯-=③0=∑iy F030sin 0=-++W F F R P T AyPF TF Ax R AyR BC)(14101505.030006030sin 0kN W F F R P T Ay -=+⨯--=+--=[习题3－11] 图为一矩形进水闸门的计算简图。
设闸门宽（垂直于纸面）１ｍ，AB ＝２ｍ，重W ＝15ｋＮ，上端用铰A 支承。
若水面与A 齐平后无水，求开启闸门时绳的张力T F 。
解：)(15.0230sin 0m AB AC =⨯== )(732.1866.0230cos 0m AB BC =⨯==开启闸门时，0=B N ，此时，因为AB 平衡，所以0)(=∑i AF M5.073.132]73.1)73.1(21[1=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-W F w T γ05.01573.13273.173.18.9211=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-T F05.7914.16=+⨯-T F )(414.24kN F T =[习题3－12] 拱形桁架的一端A 为铰支座，另一端B 为辊轴支座，其支承面与水平面成倾角30°。
桁架重量W 为100ｋＮ，风压力的合力Q F 为20ｋＮ，其方向平行于AB 。
求支座反力。
AxR AyR B R QF AxR AyR AM 解：因为桁架平衡，所以 ①0)(=∑i A F M04102030cos 0=⨯+⨯+⨯-Q B F W R080100032.17=++-B R )(4.62kN R B =②0=∑ix F030sin 0=-+Q B Ax F R R0205.036.62=-⨯+Ax R )(2.11kN R Ax -=③0=∑iy F030cos 0=-+W R R B Ay0100866.04.62=-⨯+Ay R )(46kN R Ay =[习题3－13] 悬管刚架受力如图。