用初等变换化二次型为标准型
初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型_概述及解释说明
初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型概述及解释说明1. 引言1.1 概述初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型是矩阵理论中一个重要且常用的概念。
通过进行一系列的初等变换和利用正交矩阵，我们可以将给定的二次型转化为标准型，从而简化问题的求解过程。
本文将对初等变换法和正交矩阵进行介绍，并说明它们在得出二次型的标准型中起到的关键作用。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、初等变换法与正交矩阵、二次型的标准型、初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型以及结论。
首先，在引言部分将对整篇文章的内容进行概述，并说明文章结构。
接下来，将详细介绍初等变换法和正交矩阵的概念及其性质，并讨论它们之间的关联性。
然后，我们会深入探讨二次型及其标准型的定义、意义以及性质。
紧接着，在给定了必要背景知识后，我们将介绍如何使用初等变换法和正交矩阵来得到二次型的标准型，包括具体的步骤和计算方法。
最后，在结论部分对全文进行总结，并讨论初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型在实际问题中的应用价值。
1.3 目的本文旨在通过概述和解释说明初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型，帮助读者充分理解初等变换法与正交矩阵在矩阵理论中的重要性以及它们在处理二次型问题中的作用。
同时，本文还将提供详细的步骤和计算方法，使读者能够从实际问题出发，灵活运用这种方法来求解相关的数学和工程问题。
2. 初等变换法与正交矩阵2.1 初等变换法介绍初等变换是线性代数中一种重要的操作，它可以通过对矩阵进行一系列基本运算来改变矩阵的形态。
常见的初等变换包括行交换、行倍乘以一个非零数和第j行加上第i行的k倍。
2.2 正交矩阵概述正交矩阵是指满足其转置矩阵乘以自身结果为单位矩阵的方阵。
简而言之，正交矩阵的转置就是它的逆矩阵。
具体而言，设A为n×n的实矩阵，若满足A^T⋅A=I (其中I为n×n的单位矩阵)，则称A为正交矩阵。
在线性代数中，正交矩阵有很多重要性质和应用。
化二次型为标准型的方法解读
化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
化二次型为实用标准形地几种方法
化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、 引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++= 11n n ij ij j i a x x ==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．惠汝、红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．五明，永金，栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、 化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1 任意一个实二次型T AX f X =＝11n nij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n n y y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,ik k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量． ○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++． 例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T --，3α=(1,1,1,1)T --，4α=．（3）将正交化：1α=1β=2β=2α-21111(,)(,)αββββ= 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--= 将正交向量组，单位化得单位正交向量组：，，，（4）令C =121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-． （二） 配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式． 用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２ 用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++- 于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-， 所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+()222133224y y y y =--++ 作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵，都可以找到一个可逆矩阵使T C AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用分别表示变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ．此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫⎪⎝⎭． 例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形．解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 100010007114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定 标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二 次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义是数域P 上一个线性空间，是上一个二元函数，如果有下列性质：（1）； （2）；其中1212,,,,,αααβββ是中任意向量，12k ,k 是中任意数，则称为上的一个双线性函数．线性空间上的一个双线性函数，如果对中任意两个向量α,β都有=，则称为对称双线性函数．设是数域上n 维线性空间上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为 在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2） 由公式jj ii ija a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P =1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算． （4） 以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数关于基的矩阵为, 则 A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=32223102201⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆． （五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1： 二次中含有i x 的平方项，即ii a ()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1） 不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g ua a ++， 此时u 中不再含有2x ．（4）按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含i x 的平方项，即所有iia ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂， （2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x 的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有i x 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g ++ 整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形．解：由于所给的二次型中不含i x 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++ 令经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．对于二次型（1）矩阵()A=ijn na ⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yzb x b y b zc +++++++++=其中都是实数．我们记，，其中利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：(2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行． 第一步，利用正交变换 将方程（2）左边的二次型的部分化成标准形：其中为正交矩阵，,相应地有于是方程(2)可化为第二步, 作平移变换，将方程(3)化为标准方程, 其中这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对是否为零进行讨论:1)当时，用配方法将方程(3)化为标准方程：(6-1)根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当中有一个为0，设方程（3）可化为(6-2)(6-3)根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当中有两个为０，不妨设，方程(3) 可化为下列情况之一：此时，再作新的坐标变换：(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；若与异号，表示两个平行平面；若与同号，图形无实点，若，表示坐标面．例 二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE A的特征值为，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：配方得：令则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n 个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]：高等教育，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]：高等教育，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].：高等教育，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].：科技，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].：大学，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]五明，永金，栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育.2004:427.[12]惠汝,红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].师学院报,2004,23(2):13-15.[13]秀花.二次型的应用[J].学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J]. TheCollegeMathematicsJournal.2001.。
用初等变换化二次型为标准型[1].
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用矩阵的初等变换化实二次型为标准形1．数域下任意一个实二次型,总可以经过非奇异变换使得,其中为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法最大的缺点是不易求矩阵.下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵.定义以表示将单位矩阵的行（列）的倍加到行（列）,所得到的第三种初等阵.定理设是阶实对称阵,是有限个第三种初等阵,的乘积.且其中是维行向量,是阶阵,则必有.证明：由于是的乘积，且,根据矩阵的乘法规则，用右乘时,的第一列元素不变,从而,即是实对称的.亦为实对称阵这个定理实质上就给出矩阵化标准形,求出变换矩阵的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把化为上三角形.现作矩阵找出使则这个的转置阵就是我们要找的非异阵,它使为对角阵.即只要对作有限次第三种初等变换,,则当把变换成上三角阵时,的就同时化为,且使.例1 求非异阵,使为对角阵,其中.解：故由定理知.例2将实二次型化为平方和.解：此二次型的系数矩阵,的主对角元素全是0,故不能立即引用定理,需先对作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.,令,则.2．若要求一正交阵使成对角阵,这等价于经过正交变换将二次型化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.定理设为阶矩阵,秩,且其中是秩为的列满秩矩阵,则矩阵所含个列向量就是齐次线性方程组的一个基础解系.证明：秩存在可逆的级矩阵使，其中是秩为的列满秩矩阵同理：，其中表示秩为的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵，表示秩为的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵，其中，由于的解向量个数为，而为秩为的列满秩矩阵再由初等变换原理易知：矩阵所含个列向量就是齐次线性方程组的一个基础解系.定理矩阵的特征矩阵经列的初等变换可化为下三角的矩阵,且的主对角线上元素的乘积的多项式的根恰为的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.下面探讨计算方法：设且,其中为下三角矩阵,则的主对角线上的全部元素的多项式的全部根恰为矩阵的全部特征根,对于矩阵的每一特征根,若矩阵中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么矩阵中和中零向量所对应的列向量是属于特征根的全部线性无关的特征向量；否则继续使得中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么中和中向量对应的列向量是属于特征根的全部线性无关的特征向量.设所求出的特征向量,它是一组线性无关的向量,以为列向量构成矩阵,则是一个阶正定矩阵,必与单位矩阵正合同,即存在阶可逆矩阵,使得即式说明：对矩阵施行一系列的列初等变换,（相应的初等矩阵的乘积为）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为）,可化为单位矩阵；式说明：的列向量组是一个标准正交基,可以通过对矩阵施行与对矩阵所施行的相同的初等变换求出.于是得到求正交矩阵的初等变换法对施行列初等变换,对施行行初等变换.实际上将化为,可先用分别乘以所在的行和列使变成1；再施以列初等变换把所在行其他元素化为0，又施以行初等变换把所在列的其他元素化为0 ,按此法,依次把变为1.其它元素变为0,那么矩阵即为所求的矩阵,且为对角阵,其中主对角线上元素例1 求正交矩阵使为对角阵,其中.解：矩阵的特征根为（二重）,.当时,有非零向量的列构成满秩矩阵,对应零向量的向量当时,同法求出对应特征向量,是无关的,以为列向量构成矩阵,再求出于是得：即得：且有参考文献：[1] 北大. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1989.11[2] 北大数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1987.3[3] 王琳. 用正交变换化实二次型为标准形方法研究[J]. 数学通讯, 1990（3）[4] 牟俊霖、李青古.洞穿考研数学[M]. 航空工业出版社, 2005.3。
矩阵初等变换及其应用毕业论文
矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。
本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。
并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。
关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。
本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。
虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。
定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。
初等行、列变换统称为初等变换。
定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。
化二次型为标准形的方法
编号2009011146毕业论文（2013 届本科）论文题目：化二次型为标准形的方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2009级本科（1）班作者姓名：王瑜指导教师：完巧玲职称：副教授完成日期： 2013 年 05 月 07 日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1)０引言 (1)1矩阵及二次型的相关概念 (1)1．1矩阵的相关概念 (1)1．2二次型的相关概念 (2)2化二次型为标准形的方法 (3)2．1配方法 (3)2．2初等变换法（合同变换法） (5)2．3正交变换法 (6)2．4雅可比法 (8)2．5MATLAB法 (12)3 小结 (14)参考文献 (15)英文摘要 (15)致谢 (16)陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
作者签名：二O一年月日化二次型为标准形的方法王瑜 完巧玲（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000 ）摘 要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的． 关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比.０ 引言二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值．实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换py x =将其化为21i ni i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法．1 矩阵及二次型的相关概念1．1 矩阵的相关概念定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基．i ) n ααα,,,21 线性无关；ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示．定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量βj，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ 22112222112212211111，作一个n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211则矩阵T 叫做由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵．定义]3[3.1.1 如果n 阶实方阵A 满足E A A T =即(1-=A A T 或E AA T =)， 则称A 为正交矩阵．定义]5[4.1.1二次型的矩阵n n ij a A ⨯=)(，若记111a =∆，222112112a a a a =∆， ，nnn nn a a a a1111=∆ ，则称1∆，2∆， ，n ∆为其顺序主子式．1．2 二次型的相关概念定义]2[1.2.1 设P 是一个数域，以P 中的数作系数的1x ，2x ， ，n x 的二次齐次多项式221211112121313112222323(,,...,)22...22...n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x =++++++++222...n n a x x +2nn n a x +称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.注：(1)这里非平方项的系数采用ij a 2主要为了后面矩阵表示方便． (2)实数域上的n 元二次型为实二次型;复数域上的n 元二次型为复二次型. (3)如果二次型中只含有变量的平方项，即12(,,...,)n f x x x =221122d x d x +2...n n d x ++称为标准形的二次型．简称标准形.定义]5[2.2.1 设V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量α、β，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf ．如果),(βαf 有下列性质： 1) ),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+2) ),(),(),(22112211βαβαβααk f k k k f +=+其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数．例如：欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数．定义]5[3.2.1 设),(βα=f 线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量βα,都有 ),(),(αββαf f =，则称),(βαf 为对称双线性函数．定义]5[4.2.1 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数．12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1111n n n n f f f f A εεεεεεεε叫做),(βαf 在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．2 化二次型为标准形的方法2．1 配方法用配方法化二次型为标准形关键是消去交叉项，分如下三种情形处理： 情形]4[1 如果二次型),...,,(21n x x x f 含某文字例如1x 的平方项，即011≠a ，则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性变换)(12212121111P c x y x y x c x c x c y j nn nn ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=得),...,(2211n y y g y d f +=，其中),...,(2n y y g 是2y ，…n y 的二次型．对),...,(2n y y g 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止．情形]4[2 如果二次型),...,,(21n x x x f 不含平方项，即0=ii a (n i ,...,2,1=)，但含某一个)(0j i a ij ≠≠，则可先作非退化线性替换 ),;,...,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk j i j j i i ≠=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形．情形]3[3 若011211====n a a a ,由对称性013121====n a a a ．此时j i ni nj ij x x a f ∑∑===22是1-n 元二次型，由归纳假设,它能用可逆线性变换化为标准形．例]2[1.1.2用配方法化下列二次型为标准形(ⅰ)3231212322212162252),...,,(x x x x x x x x x x x x f n +++++=； (ⅱ)32312121622),...,,(x x x x x x x x x f n -+=． 解（ⅰ）先集中所含1x 的项并配方，得32232232121652)(2x x x x x x x x f +++++=322322322321652)()(x x x x x x x x x ++++-++=233222232144)(x x x x x x x +++++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=.,,33223211x y x y x x x y 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==--=.,,33223211y x y x y y y x 得上式右端除第一项外已不再含1y ，继续配方．可得23221)2(y y y f ++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==.,2,3332211y z y y z y z )1( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.,2,3332211z y z z y z y )2(得标准形 2221z z f +=所用的可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,333223211z x z z x z z z x )3(注：此题中它的标准形为2221z z f +=，它还是三元二次型，只是23z 的系数为零；所做的线性变换)2(必须有33z y =项，否则不是非退化线性变换．（ⅱ）因为f 中不含平方项而含21x x 乘积项，故令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.,,33212211y x y y x y y x )1(代入二次型，得 3213212121)(6)(2))((2y y y y y y y y y y f --++-+=323122218422y y y y y y +--=再按情形1的方法配方 232322316)2(2)(2y y y y y f +---=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=,,2,33322311y z y y z y y z )2( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322311z y z z y z z y )3(则二次型化为 232221622z z z f +-=将式)1(代入式)3(，得可逆线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=.,,33332123211z x z z z x z z z x2．2 初等变换法（合同变换法）我们知道可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵1P ，2P ，…，m P 的乘积，即m m P P EP P P P C ......2121== )1.2.2(把上式代入式D AC C T =，得 D P P AP P P P m TTTm =......2112 )2.2.2(式)2.2.2(表明，对对称矩阵A 施行m 次初等行变换及相同的m 次初等列变换，A 就变为对角矩阵D ．而式)1.2.2(表明对单位矩阵E 施行上述的初等列变换，E 就变为可逆矩阵C ．这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C 及对角矩阵D ，使得A 与D 合同的方法称为初等变换法．因此可得利用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：第一步：写出二次型f 的矩阵A ，并构造n n ⨯2矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A ；第二步：对A 进行初等行变换和同样的初等列变换化为矩阵D ，此时D AC C T =； 第三步：写出可逆线性变换CY X =化二次型为标准形DY Y f T =．这个方法可示意如下：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 换只进行其中的初等列变对和初等列变换进行同样的初等行变换对 例]6[1.2.2用初等变换把二次型3231213213),,(x x x x x x x x x f -+=经过非退化（可逆）线性变换化成标准形，并写出所作的非退化线性变换．解 ),,(321x x x f 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=023212302121210A ， 用矩阵的初等行、列变换法，有−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯++211212)21(10001100102312302112111001000102321230211212110010001023212302121210rr c c r r E A−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+++-⨯313121100021102111101410101100021102110111410101100011001023114101211)21(c c r r c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100121112111101410001−−−→−+-⨯32)4(r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121112113001410001−−−→−+-⨯32)4(c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121132113000410001因此，1001004003D ⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10012113211C 令CY X =．其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y 得232221321341),,(y y y x x x f +-=所做的非退化（可逆）线性变换CY X =，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-=.,21,32133********y x y y y x y y y x2．3 正交变换法对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵T ，使得 Λ=-AT T 1其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21这里1λ，2λ，…n λ 是A 的n 个特征值． 注意到T 是正交矩阵，所以Λ==-AT T AT T T 1定理]3[1.3.2（主轴定理）对于任意一个n 元实二次型AX X x x x f T n =),...,,(21 一定能找到一个正交线性替换TY X =，把它变成标准形2222211...n n y y y λλλ+++ 其中1λ，2λ，…n λ是实对称矩阵A 的全部特征值，正交矩阵T 的n 个列向量恰为A 的对应特征值1λ，2λ，…n λ的标准正交特征向量． 用正交变换法化二次型为标准形的步骤归纳如下： 第一步：写出二次型f 的矩阵A ；第二步:求出A 的特征值，得1λ，2λ，…n λ； 第三步：求出对应的特征向量；第四步：将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量； 第五步：将正交的特征向量单位化；第六步：将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵Q ，这时Λ=='-AQ Q AQ Q 1其中Λ是对角矩阵，它由A 的特征值构成，即),...,(21n diag λλλ=Λ，写得时候要注意与特征向量的顺序一致；第七步：写出可逆线性变换QY X =，则有 2222211...n n y y y f λλλ+++= 因此只要求出特征根，二次型的标准形也就求出来了．正交变换更具实用性． 例]3[1.3.2 用正交变换化二次型-+++=21232221214552),...,,(x x x x x x x x f n323184x x x x -为标准形，并写出所用的正交变换．解 二次型的矩阵为222254245A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭．因为 )10()1()det(2--=-λλλA E ，所以A 的特征值为121==λλ，103=λ可求得对应的特征向量分别为1210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3122ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭将1ξ，2ξ正交化 11210ηξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，212211125,4,51ξηηξηηη⎛⎫⎪⎪〈〉 ⎪=-⋅= ⎪〈〉 ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再将1η，2η，3ξ单位化10ψ⎛ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2ψ=，3132323ψ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 于是正交变换1122331323203x y x y x y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭化二次型为 23222110y y y f ++=2．4 雅可比法设V 是数域P 上一个n 维线性空间，取定V 的一组基12n ,,...,εεε，令α=∑=ni ii x 1ε，β=∑=ni i i y 1ε，T n x x X ),,(1 =，T n y y Y ),,(1 =，那么给定一个F 上的n 元二次型AX X T （其中A 是n 阶对称矩阵），则由A 可以定义一个V 上对称双线性函数),(βαf =AY X T ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1121n n n n f f f f A εεεεεεεε．反之亦然．在固定的基12n ,,...,εεε下，二次型AX X T 和对称双线性函数),(βαf =AY X T 是互相唯一确定的（都是由A 确定的）． 这种方法的中心问题是：对在V 的基12n ,,...,εεε下有二次型AX X T 确定的对称双线性函数),(βαf =AY X T ，满足条件0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠设{1n ,...,ηη}是V 的另一组基，而n n ij b B ⨯=)(=)),((j i f ηη是),(βαf 关于这个基的矩阵，又设n n ij c C ⨯=)(是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵，即∑==nj j ij i c 1εη，n i ,...,2,1= 那么 AC C B T =即一个双线性函数关于V 的两个基的两个矩阵是合同的．在n R 中，从一个基12n ,,...,εεε出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基1n ,...,ηη．该方法的实质就是设 111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩然后用待定系数法求使得0),(=j i f ηη（其中j i ≠，n j i ,...,2,1,=）的系数ij c ．是否能构造如下形式的基1n ,...,ηη：111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩使得0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠解 将j jj j j j c c c εεεη+++= 2211代入),(j i f ηη得),(),(2211j jj j j i j i c c c f f εεεηηη+++==),(),(),(221j i jj i j i i j f c f c f c εηεηεη+++ ，所以，若对任意的i 及j i <有0),(=j i f ηη，则对i j <，也有0),(=j i f ηη，又因双线性函数),(βαf 是对称的，则对i j >，有0),(),(==i j j i f f ηηηη，即1n ,...,ηη是所求的基。
第二节 化二次型为标准型
第二节 化二次型为标准形若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式,2222211n n y b y b y b则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵n b b b B 21则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示★ 二次型的标准性★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形★ 例5 ★ 例6★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形★ 例7 ★ 例8★ 二次型与对称矩阵的规范形★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形.定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:(1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;(2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk ji j j i i且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得:定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是s P P EP C 21s TT T s T P P AP P P P AC C 2112.由此可见, 对n n 2矩阵E A 施以相应于右乘s P P P21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘Ts T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可逆矩阵C .三、用正交变换化二次型为标准形定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即.),,,(2222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y定理3 任给二次型),(1,ij ji nj i j i ij a a x x a f 总有正交变换,PY X 使f 化为标准形,2222211n n y y y f其中n ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A 的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1) 将二次型表成矩阵形式,AX X f T 求出A ; (2) 求出A 的所有特征值 n ,,,21 ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 n ,,,21 ;(4) 将特征向量n ,,,21 正交化, 单位化, 得n ,,,21 , 记);,,,(21n C(5) 作正交变换CY X ,则得f 的标准形.2222211n n y y y f四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为)1(22112211r r p p p p x d x d x d x d 其中).,,2,1(0r i d i定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.注: 把规范形中的正项个数p 称为二次型的正惯性指数,负项个数p r 称为二次型的负惯性指数, r 是二次型的秩.注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形0000000p r pE E定理5 设A 为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵Q C ,，且,Q C 使得0000000pr p TE E AC C ，0000000qr p TE E AQ Q 则 .q p注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
4、没有改变二次型的秩，事实上，二 次型的系数中正负项的个数也没有被 正交变换改变。
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和） 证明 对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
情形2
不含平方项，必有
是非退化的线性变换，使得
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
与上一 章化相 似标准 型的做 法基本 一致， 也可以 作组内 正交化
用正交变换将二次型化为标准形的方法 例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
把二次型化为标准形的方法
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工科数学 第 14 卷
2 2 因为 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x 2 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 1 x 2 - 4x 1 x 3 - 8x 2 x 3 的矩阵为 A ( 前面已写出) , 由 2 2 - 2 2 2 - 2 2 0 - 2 2 3 - 4 0 1 - 2 0 1 - 2 A - 2 - 4 5 - 2 - 4 5 - 2 - 2 5 r2 - r1 C 2- C 1 = … … … … … … … … …
其中 + =
0 0
, C= 1 0
0 0 1 - 1 - 1 y1 1 2
所作的可逆变换为 x 2 =
y 2 , 即 x 2=
所以 此种方法, 与书本中的初等变换结合紧密, 学生容易理解和掌握 . 本题所用的三种方法, 求得的标准形都是一致的, 但变换矩阵 C 各有不同 ( 因变换矩阵不 是唯一的) , 若用正交变换法, 不但变换矩阵不同, 而且标准形的平方项系数也可能不同, 但平 方项的个数总是相同的, 因为平方项的个数是由二次型的秩, 也就是二次型的矩阵 A 的秩所 唯一确定, 它与所作的变换无关.
i, j = 1
∑a
ij
x i x j 都可以通过非退化的线性变换变成标准 形 f = Κ 1y 1 + Κ 2y 2
2 2
2 + …+ Κ . 这个问题不仅在数学上, 而且在物理学、 工程学、 经济学等领域中都是一个重要的 ny n
问题 . 变换的方法很多, 但工程数学教材中一般只用了正交变换法和拉格朗日配方法 . 现以一 题为例, 介绍偏导数法, 雅可比法和初等变换法, 借以扩大眼界, 开阔思路 . 例 将二次型
初等变换法化二次型为标准型例题
初等变换法化二次型为标准型例题初等变换法化二次型为标准型例题在线性代数中，二次型是一个非常重要的概念。
它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
而初等变换法化二次型为标准型则是解决二次型问题的一种重要方法。
在本文中，我们将以初等变换法化二次型为标准型为主题，深入探讨这一问题。
1. 什么是二次型？在开始讨论初等变换法化二次型为标准型之前，我们首先需要了解什么是二次型。
二次型是指一个关于变量的二次齐次多项式，它通常具有如下的一般形式：\[ Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \]其中，\( x_1, x_2, \dots, x_n \) 为 n 个变量，\( a_{ij} \) 为常数。
二次型在矩阵形式下可以表示为：\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]在这里，\( \mathbf{x} \) 是列向量，\( A \) 是一个对称矩阵。
2. 初等变换法化二次型为标准型的步骤现在，让我们来看看如何使用初等变换法将任意的二次型化为标准型。
设有二次型\[ f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \dots +a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \dots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n \]要将上述二次型化为标准型，我们可以按照以下步骤进行初等变换：- 第一步：将二次型的主对角项变为 1- 第二步：将二次型的非主对角项变为 0以一个具体的例题来说明这个过程：\[ f(x_1, x_2) = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 3x_2^2 \]我们需要将上述二次型化为标准型。
按照上述步骤进行初等变换，我们可以得到：\[ f(x_1, x_2) = 2(x_1 - x_2)^2 + x_2^2 \]在这个例子中，我们通过初等变换成功地将二次型化为了标准型。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
利用初等变换化二次型为标准型
利用初等变换化二次型为标准型作者：张明来源：《科教导刊》2011年第33期摘要在高等代数这门课中，我们经常应用初等变换这一方法计算行列式的值、矩阵的逆、矩阵的秩。
其实初等变换还有更广泛的应用，本文主要介绍利用初等变换方法将二次型为标准型。
关键词初等变换二次型标准型中图分类号：O156文献标识码：A二次型f (X) = XTAX，矩阵A是一个对称矩阵，通常将二次型化为标准型的方法三种：（1）配方法；（2）正交变换法；（3）初等变换法。
求解上述问题的一般步骤为：（1）令|A -E| = 0，求得A全部不同的特征值1, 2,…, 3，i(i = 1,2,…,s)的重数为ki,ki = n；（2）对于每个1(i = 1,2,…,s)，求出齐次线性方程组(A -iE)x = 0的一个基础解系,,…,，这时为列向量；（3）对,,…,，进行施密特正交化过程，得到ki个属于 i的相互正交的特征向量,,…,(1≤i≤s)；（4）将单位化得rij = , (1≤i≤s,1≤j≤ki)；（5）令C = (,…,,…,…,)，则C为所求矩阵，且CTAC为对角阵，其中主对角上的元素为1…, 1,…, s,…, s。
上述求解过程比较繁琐，特别是施密特正交化过程公式，较易忘记，而本文介绍的正交变换法就能快速地化二次型为标准型。
由于二次型的标准型所对应的矩阵是对角矩阵∧，所以∧A，即存在可逆矩阵C，使得CTAC = ∧。
而C = P1P2…Pt，其中Pj(j = 1,…,t)为初等矩阵，CT =上述这两个式子说明，对矩阵A施行一系列成对的初等变换，将A化成对角矩阵E，就相当于对单位矩阵E施行同种类型的初等变换，将单位矩阵E化成可逆矩阵C。
对角矩阵所对应的二次型就是标准型，可逆矩阵C就是可逆的线性变换X = CY所对应的矩阵。
因此我们作一个矩阵这里需要说明的是，所谓合同变换是：当对矩阵施行一次初等行变换后，紧接着进行同样的初等列变换，两次变换必须同时进行。
矩阵初等变换化二次型
设 有 二 次 型 ( x1 , x2 , xn ) f
i , j 1
aij xi x j X T AX ,
n
X 定 若 存 在 可 逆 变 换 PY , 使 义 f ( x1 , x2 , xn ) X T AX Y T BY
则称二次型 T AX与二次型 T BY等价 X Y
aij xi x j
2．用矩阵表示
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
2 an1,n1 xn1 2an1,n xn1 xn 2 ann xn
称为二次型. 当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为 实二次型 .
只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形． 例如
2 则二次型为 f ( x1 , x2 , x3 ) x2 2 x1 x3
三、矩阵的合同
定义
设有两个 阶矩阵 和B, 若存在可逆 n A 矩阵P，使B P T AP，则称 与A合同 B
矩阵P称为把 变为B的合同变换矩阵 A
合同矩阵有一下性质： （1）自反性（2）对称性(3) 传递性 定理 设 P 是一个可逆矩阵,若 A 为对称矩阵, 则 B P T AP 也为对称矩阵,且 R( A) R( B)
思 考 题 解 答
x1 y1 y 2 , 解 由于所给二次型不含平 方项, 故令 x 2 y 1 y 2 , x y , 3 3 2 2 2 有 f ( y 1 y 3 ) y 2 y 3 ,
用初等变换化二次型为标准型
莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名：廖丹学号：410401141莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6月20日用矩阵的初等变换化实二次型为标准形041数本410401141 廖丹摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形•关键词：初等变换第三种初等阵非异阵实二次型标准形1.数域下任意一个实二次型XAX ,总可以经过非奇异变换X PY使得n2XAX diM ,其中4为实数，通常的方法是采用配方法或初等变换法，然而传统的方法i 1最大的缺点是不易求矩阵P.下面介绍一种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P.定义1.1以T j（k）表示将单位矩阵的j行（列）的k倍加到i行（列），所得到的第三种初等阵.定理1.2设A是n阶实对称阵，P是有限个第三种初等阵T j（k）,i 1的乘积.且d aPA 0 A其中3是n 1维行向量*是n 1阶阵，则必有PAP证明：由于P是T j（k）的乘积，且i 1,根据矩阵的乘法规则，用P右乘P A时，PA的A化标准形,求出变换矩阵P的一种方法，只要连续使用第三种初等变换即可把A化为上三角形.现作矩阵A,E找出P使*P A,E PA,P Od r,P则这个P的转置阵就是我0第一列元素不变，从而PAPPAP亦为实对称阵d1，即A是实对称的.0 A这个定理实质上就给出矩阵们要找的非异阵P,它使PAP为对角阵.即只要对A,E作有限次第三种初等变换T j(k),i j ,则当把A变换成上三角阵时,A,E的E就同时化为P ,且使d iOd r1 1 2例1求非异阵P,使PAP为对角阵，其中A 1102 0 2解11210 0112100 A,E1100 1 0r2 A022110 b ( 2)q20200 12020011 121001 1 21000 22110r3 r20 2 21100 2220100 0111111故由定理知P01 1 .001100PAP020000例2将实二次型2x〔x26x2x32X1X3化为平方和0 1 1解：此二次型的系数矩阵A 1 0 3 ,A的主对角元素全是0,故不能立即引用1 3 0P AP定理,需先对A 作初等行变换及其相应的列•使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有 非零数，然后再用定理即可•2 111r 34r22.若要求一正交阵P 使PAP 成对角阵，这等价于经过正交变换 X PY 将二次型XAX 化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解，但此方法较为复杂，下面介绍用解一 些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形 •定理2.1设A 为n n 阶矩阵，秩A r ,且人n 列初等变换B n nQ n (n 1)其中E n *R (n 1)B 是秩为r 的列满秩矩阵，则矩阵P 所含n r 个列向量就是齐次线性方程组 AX 0的一 个基础解系.证明：Q 秩A r存在可逆的n 级矩阵PP 2L L F S 使11 3 22 P 1 1 11 ,P AP令 X PY ,22 0 0 160 0 6 3 1 1A,E110 03 010r 1 r 21 12 110 1 03 0 1 0 130 012 1 2 1103 0 101 r2r3「1则 2x i x 2 6X 2X 3 2x i x 321 222y 1 尹 2 6y 3.即 Q B BQ EL1式说明：对矩阵B B 施行一系列的列初等变换，（相应的初等矩阵的乘积为 Q ）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为 Q ），可化为单位矩阵;ARP 2L L F S B n*r,0，其中B n*r 是秩为r 的列满秩矩阵同理：E n PP z L L P SE n*r ,E n*（n r ），其中E .*r 表示秩为r 的每一列有且只有儿糸为1的列满秩矩阵，E n*（n r ）表示秩为n r 的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵A n*nPP 2L L P SE nB n nQ n n，其中 Q n n E n r ， R n E n (n r) P n (n 1)由于AX 0的解向量个数为n r ，而P n （n r ）为秩为n r 的列满秩矩阵再由初等变换原理易知:矩阵P 所含n r 个列向量就是齐次线性方程组 AX 0的一个基础解系.定理2.2矩阵A 的特征矩阵A 经列的初等变换可化为下三角的矩阵B ，且B的主对角线上元素的乘积的 多项式的根恰为A 的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.F 面探讨计算方法:B列初等变换，其中B 为下三角矩阵，则BA的主对角线上的全部元素的 多项式的全部根恰为矩阵 A 的全部特征根，对于矩阵A 的每特征根i ，若矩阵B中非零向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵P i 中和B i 中零向量所对应的列向量是属于特征根i 的全部线性无关的特征向量；否则继续列初等变换*B i.*i使得B * i 中非零向量的列构成列满秩矩阵，那么 P i iP i 中和B * i中向量对应的列向量是属于特征根i的全部线性无关的特征向量.设所求出的特征向量 iiL1」」匚」 S1Lsk s ，它是一组线性无关的向量，以,为列向量构成矩阵Bij，则BB 是一个n 阶正定矩阵,必与单位矩阵正合同，即存在n阶可逆矩阵Q ,使得Q BB Q EL L 121 1 114124 2 0 04 2 0 00 228 122 1 0(2)式说明：BQ 的列向量组是一个标准正交基，BQ 可以通过对矩阵B 施行与对矩阵BB所施行的相同的初等变换求出•以列初等变换把an 所在行其他元素化为 0,又施以行初等变换把an 所在列的其他元素化 为0 ,按此法,依次把a 22L 丄a nn 变为1•其它元素变为0,那么矩阵BQ 即为所求的矩阵P ,解: AE于是得到求正交矩阵的初等变换法B BBQ 对BB施行列初等变换’对B 施行行1初等变换•实际上将BB 化为E ,可先用 _a 11分别乘以an 所在的行和列使an 变成1；再施且P AP 为对角阵，其中主对角线上元素112 &3丄T 2 3sk s例1求正交矩阵 P 使PAP 为对角阵，其中A1成矩阵B ,再求出BB 于是得:1 0 012222 5 8220 10 1111—3 22矩阵A 的特征根为 1 2 （二二重）,28.10 01 0 01B 1| 1 2时，0 0 1 非零向量的列构成满秩矩阵，对应零向量的向量P 10 1 111 2211 1， 211211 , 1 ,2 , 3是无关的，以1 ,2, 3为列向量构当2 8时，同法求出对应特征向量3[2] 北大数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数[M].高等教育出版社,1987.3[3]王琳.用正交变换化实二次型为标准形方法研究[J].数学通讯，1990 （ 3）[4] 牟俊霖、李青古.洞穿考研数学[M].航空工业出版社，2005.32 3 0 36 0 BB 0 0 3 B0 1111 11 2 10 1 <212 1 ~"6 73 11,6 「3 1 1 ■6.326!61^132 0 0且有P AP 0 2 0 0 0 81 1 1■2,6 .3参考文献:[1] 北大•高等代数[M].高等教育出版社，1989.11。
用配方法和初等变换法化化二次型为标准形
例题
1 0 0
1 2 1
得
PT
2
1
0
，则
P
0
1
1 ，所用可逆变换为 x Py ，即
1 1 1
0 0 1
x1 x2
y1
2 y2 y2
y3 y3
， ，
x3
y3 ，
将 f 化为标准形 f y12 3y22 ．
1.3 标准二次型化为规范二次型
定义
若标准二次型中的平方项系数只有 0，-1 和 1，则该二次型称为规范二次型．
， ，即
x1 x2
y1
2
y2 y2
y3 y3
， ，将
f
化为标准形
f
y12
3y22 ，所用变换矩阵
y3
x3 ， x3
y3
1 2 1
为
P
0
1
1 ．
0 0 1
1.1 用配方法化二次型为标准形
例题
例 3 用配方法求二次型 f x1x2 x2x3 的标准形，并写出相应的可逆线性变换．
[ (x1 2x2 x32 ) 42x2 2x3 4x2 x3 ] 2 x2 2 x2 x3 22 x3
(x1 2x2 x32) 32x2 6x2 x3 32 x3
(x1 2x2 x3 )2 3(x2 x3 )2 ．
令
y1 y2
x1
2 x2 x2
x3 x3
，得
f
的标准形为
f
z12
z22 ．
因此，所用的可逆线性变换为
x1 1
x2
1
x3 0
1 1 0
1
0
01
0 0
化二次型为标准形的方法
化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。
它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。
二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。
而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。
二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。
下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型线性替换矩阵标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。
二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。
在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。
我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。
化二次型为标准形的方法一． 配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。
定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n n d x d x d x +++的形。
1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。
化二次型为标准形的方法探讨
化二次型为标准形的方法探讨内容摘要:二次型是高等代数中重要组成部分之一，化二次型为标准形是对二次型进行研究与应用的重要基础。
本文首先给出了化二次型为标准形的一些基本理论，有二次型的定义和标准形的表示方法。
其次，对化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法，和雅可比方法进行了例题分析与方法总结，其中这四种方法的应用与总结是本文的主要部分。
最后，对以上四种方法进行分析比较，易错分析，针对不同的类型指出相应的方法，使得在化二次型为标准形时更加简单方便。
【关键词】标准形二次型雅可比方法Discussions on methods to transforming the quadratic form into thestandard formAbstractQuadratic form is one of the important constituent parts in higher algebra. Transforming the quadratic form into the standard form is the important foundation for making research and application on quadratic form.This article firstly introduce some basic theory for transforming the quadratic form into the standard form, including the definition of a quadratic form and representation method of the standard form. Secondly, throughout example analysis and methods summary, for this article conducts the methods of completing the square, elementary transformation method, orthogonal transformation method, and Jacobi method that transforms the quadratic form into standard form. The application and summary of the four methods is the major part in thisarticle. Finally, for the above four methods,this article analysis and compare these methods, so that we grasp the methods of transforming the quadratic form into the standard form,more simple and convenient.【Key Words】Standard Form Quadratic Form Jacobi Method一、引言二次型是高等数学中的非常重要的一部分。
第5.2节 二次型的标准化
2 ( x1 x2 2 x3 )2 ( x2 x3 )2 6 x3
y1 x1 x2 2 x3 , 令 y2 x2 x3 , y x3 , 3
x1 y1 y2 y3 , 即 x2 y2 y3 , x y3 , 3
则线性变换的矩阵表示为 x=Cy. 若C是可逆矩阵，称之为可逆线性变换；若C是正交矩 阵，称之为正交线性变换.
主要问题： 如何寻找可逆的线性变换x=Cy,将二次型f =xTAx化为标准形. 从矩阵角度考虑为
f x T Ax x Cy(Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT y.
化为标准形,并求相应的可逆线性变换.
1 1 2 A 1 0 1 解 二次型f 的矩阵 , 于是 2 1 3
1 1 A 2 E 1 0 0 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0 r2 r1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 1 0 c2 c1 2 1 3 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 2 1 1 r3 2r1 1 3 1 0 1 0 0 1
C T ( EP1 P2 Ps )T PsT P2T P1T E,
C T AC PsT P2T P1T AP1P2 Ps .
对于任何初等矩阵P, PTAP表示对A作一次初等行变换 和一次相同的初等列变换，称这样的变换为对A作一次合 同变换. 上式表明：矩阵A经过一系列合同变换化为对角矩阵, 在对A作合同变换的同时，如果对单位矩阵E施行完全相同 的初等列变换，就得到了可逆矩阵C.
其中1 , 1 ,, n 为A的全部特征值.
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莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名：廖丹学号：410401141莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6月20日用矩阵的初等变换化实二次型为标准形041数本 410401141 廖丹摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21ni i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P .定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵.定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且110d a P A A ⎛⎫'=⎪⎝⎭其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100dP AP A ⎛⎫'= ⎪⎝⎭. 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而110d P AP A β⎛⎫'=⎪⎝⎭,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β=这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使()(),,P A E P A P '''=1*,00rd d P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则这个P '的转置阵就是我们要找的非异阵P ,它使P AP '为对角阵.即只要对(),A E 作有限次第三种初等变换()ij k T ,i j >,则当把A 变换成上三角阵时,(),A E 的E 就同时化为P ',且使10rd d P AP ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 例1 求非异阵P ,使P AP '为对角阵,其中112110202A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 解：()112100,110010202001A E -⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭21112100022110202001r r +-⎛⎫⎪−−−→- ⎪⎪⎝⎭31(2)r r +-−−−−→32112100112100022110022110022201000111r r +--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭故由定理知111011001P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.100020000P AP ⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪⎝⎭例2将实二次型122313262x x x x x x -+化为平方和.解：此二次型的系数矩阵 011103130A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,A 的主对角元素全是0,故不能立即引用定理,需先对A 作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.()12011100112110,103010103010130001130001r r A E +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12123112212110212110111103010020222230001022111r r r r c c -++-⎛⎫-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪--⎝⎭32421211011120222006311r r --⎛⎫⎪-- ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭∴ 11321112001P -⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2126P AP ⎛⎫⎪- ⎪'= ⎪⎪⎝⎭令X PY =, 则122313262x x x x x x -+2221231262yy y =-+. 2． 若要求一正交阵P 使P AP '成对角阵,这等价于经过正交变换X PY =将二次型X AX'化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.定理2.1设A 为n n ⨯阶矩阵,秩()A r =,且n n n A E ⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−→列初等变换(1)(1)*n n n n n n B Q P ⨯⨯-⨯-⎛⎫⎪⎝⎭其中B 是秩为r 的列满秩矩阵,则矩阵P 所含n r -个列向量就是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系. 证明：秩()A r =∴存在可逆的n 级矩阵12S PP P 使()12*,0S n r APP P B =，其中*n r B 是秩为r 的列满秩矩阵同理：()12*,*()n S nr n n r E PP P E E -''=，其中*n r E '表示秩为r 的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵，*()nn r E -'表示秩为n r -的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵 ∴*12(1)0n nn n S n n n n n B A PP P Q P E ⨯⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中n n nr Q E ⨯⨯'=，()n n n n r P E ⨯⨯-'= 由于0AX =的解向量个数为n r -，而()n n r P ⨯-为秩为n r -的列满秩矩阵 再由初等变换原理易知：矩阵P 所含n r -个列向量就是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系.定理2.2矩阵A 的特征矩阵()A λ经列的初等变换可化为下三角的λ矩阵()B λ,且()B λ的主对角线上元素的乘积的λ多项式的根恰为A 的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.下面探讨计算方法：设()A E A λλ=- 且()A E λ⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−→列初等变换()()B A λλ⎛⎫⎪⎝⎭,其中()B λ为下三角矩阵,则()B λ的主对角线上的全部元素的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根,对于矩阵A 的每一特征根i λ,若矩阵()B λ中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么矩阵()i P λ中和()i B λ中零向量所对应的列向量是属于特征根i λ的全部线性无关的特征向量；否则继续()()i i B A λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−→列初等变换()()**i i B P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭使得()*i B λ中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么()*i P λ中和()*i B λ中向量对应的列向量是属于特征根i λ的全部线性无关的特征向量.设所求出的特征向量111111iski iks skαααααα,它是一组线性无关的向量,以ijα为列向量构成矩阵()ijB α=,则B B '是一个n 阶正定矩阵,必与单位矩阵正合同,即存在n阶可逆矩阵Q ,使得()()1Q B B Q E ''=即()()()2Q B BQ E''=()1式说明：对矩阵B B '施行一系列的列初等变换,（相应的初等矩阵的乘积为Q ）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为Q '）,可化为单位矩阵；(2)式说明：BQ 的列向量组是一个标准正交基,BQ 可以通过对矩阵B 施行与对矩阵B B'所施行的相同的初等变换求出.于是得到求正交矩阵的初等变换法B B E B BQ '⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对B B '施行列初等变换,对B 施行行初等变换.实际上将B B '化为E ,分别乘以11a 所在的行和列使11a 变成1；再施以列初等变换把11a 所在行其他元素化为0，又施以行初等变换把11a 所在列的其他元素化为0 ,按此法,依次把22nn a a ，变为1.其它元素变为0,那么矩阵BQ 即为所求的矩阵P ,且P AP '为对角阵,其中主对角线上元素11,si ls k k λλλλ例1 求正交矩阵P 使P AP '为对角阵,其中422242224A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.解：()422242224100010001A E λλλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪⎪---⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21001241221424*********2001001010010114001222λλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪⎪ ⎪⎪---+---⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭210012022582200101111322λλλλλλ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-+-+-+⎪ ⎪→ ⎪⎪⎪ ⎪---⎪⎝⎭∴ 矩阵A 的特征根为12λ=（二重）,28λ=.当12λ=时,有()()111001001000010111122B P λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪- ⎪-- ⎪⎝⎭非零向量的列构成满秩矩阵,对应零向量的向量12011,112αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当28λ=时,同法求出对应特征向量3111α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα是无关的,以123,,ααα为列向量构成矩阵B ,再求出B B '于是得：1000102300013600030011111121B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪'⎛⎫=→ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎝⎭⎝即得：0P ⎛ =⎝且有200020008P AP ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭参考文献：[1] 北大. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1989.11[2] 北大数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1987.3 [3] 王琳. 用正交变换化实二次型为标准形方法研究[J]. 数学通讯, 1990（3） [4] 牟俊霖、李青古.洞穿考研数学[M]. 航空工业出版社, 2005.3。