八年级数学竞赛讲座：第七讲根式及其运算

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人教版八年级数学竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)

人教版八年级数学竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）【例1】化简（1(ba b ab b -÷--（2（3（4解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例2】比6大的最小整数是多少？解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==想一想：设x =求432326218237515x x x x x x x --++-++的值.的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例3】设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4】（1的最小值.（2的最小值.解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例5】设2)m a =≤≤，求1098747m m mm m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.若满足0＜x＜y=x，y）是_______2.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞03）A．1B C. D. 54、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、化简：（1（2（3（4（56、设x =(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值.77x =，求x 的值.B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.2.已知42______1x x x ==++2x 那么.3.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.4. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（）A .2B . 4C . 6D . 85．已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b6.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 7. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（）A .1B .2C .3D . 48．把(1)a - ）A .B C. D .9、化简：（110099+（2（310、设01,x << 1≤<.12、已知a, b, c为有理数，证明：222a b ca b c++++为整数.参考答案例1 (1)⎤(2)+5．(3)3-；（4-++＝-．例2 x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵01，从而0＜6＜1，故10 581＜6＜10 582．例 3 x＝－y…①；同理，y＝x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例4 (1)构造如图所示图形，P A PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B13为所求代数式的最小值．(2)设yA(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝例 5 m＝＋＝．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级1．(17，833)，(68，612)，( 153，420) 2．B 3．C4．A 5．(1)()2x yx y+-(2)22-(4) 6．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．7．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．B级1．642．9553．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．4．B提示：由条件得a＋3＋a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．5．B提示：a－b－11＝0．同理c－a＞0 6．B 7．B 8．D提示：注意隐含条件a－1＜0．9．(1)910提示：考虑一般情形＝－(2)原式＝8153+＝2+(3)210．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CPAP，AC，AM AC≤PC＋P A＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋11．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝12b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2cba++－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．。

北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4

北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容，本章主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算方法。

通过本章的学习，学生能理解二次根式的实际意义，掌握二次根式的基本性质和运算规律，为后续学习更高深的数学知识打下基础。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了实数和分数，对数的运算有一定的基础。

但是，对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

此外，学生对于抽象的数学概念，有时难以理解其内涵，需要教师通过具体例子和生活中的实际问题来进行引导。

三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。

2.掌握二次根式的运算方法。

3.能运用二次根式解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算方法。

3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、问题驱动法、小组讨论法等，结合多媒体教学，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握二次根式的概念、性质和运算方法。

六. 教学准备1.教材、教案、课件。

2.相关的生活实例和练习题。

3.多媒体教学设备。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。

”让学生思考如何用数学方法来解决这个问题。

2. 呈现（10分钟）教师通过讲解和展示课件，介绍二次根式的概念和性质，如“二次根式是一个形如√a的数学表达式，其中a是一个非负实数。

”并通过实例来引导学生理解二次根式的实际意义。

3. 操练（10分钟）教师给出一些二次根式的运算题目，如“计算√8 + √2”，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。

4. 巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生运用二次根式的运算方法，如“计算（√2 + √3）^2”，并引导学生理解二次根式的运算规律。

5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式在实际问题中的应用，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。

新课标八年级数学竞赛培训第07讲：二次根式的运算

二次根式的运算
一、填空题
二、选择题
A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x＞0
A ．x-1
B ．1-x
C ．1
D ．-1
18．有下列三个命题：（甲）若α，β是不相等的无理数，则αβ+α-β是无理数；（乙）
若α，β是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若α，β是不相等的无理数，
则
是无理数．其中正确命题的个数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
三、解答题
19．计算：
24．如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？。

根式及其运算

根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。

二次根式的性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )；（2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )；（4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。

设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。

形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式==+【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++ 3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯=2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形==12==原式111113(()2217747=+++-=-=【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x 两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x ()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题【题目】化简22)1(111+++n n，所得的结果为（）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式111n n n +=-+选（C ）【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________．【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+=()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、na 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】计算：（1）1014152110141521+--+++；（2）3151026332185231--+-+++．【答案】（1）562- （2）233- 【解析】（1）原式=101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265=--=--=-（2）315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===-++++【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++=++=++242(2)4=+==【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+aaaa【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112aa⎧≤≤≤⎪==⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c-+--+=----+即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。

人教版数学八年级培优竞赛二次根式的性质与化简求值专题课件

24 x 8 x 24 x 8 x
2
24 x
2
8x
24 x
8 x 16 又有
24 x 8 x 2 ，可得 24 x 8 x 8 ，将这两式相加可得 24 x 5 ，且
8 x 3 ，将 24 x 5 两边平方可解得 x 请你学习小明的方法，解下面的方程：
1，经检验 x
1是原方程的解.
（1）方程 x2 42 x2 10 16的解是
...
...
求满足 an bn cn 2019 3 2 1 的n可以取得的最小整数.
32
由 a1 ＋ b1 ＋ c1 ＝ 2 ＋ 2 3 ＋ 3 ＋2＋1＋ 2 2 ＝3（ 3 ＋ 2 ＋1），a 2 ＋ b2 ＋ c2 ＝9（ 3
＋
2 ＋1），… an ＋ bn ＋ cn ＝ 3（n
3＋
2 ＋1），而 an＋bn＋cn ≥2019×（
16.求代数式 x2 4 12 x 2 9 的最小值.
构造如图所示的图形，BD＝12，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2，CD＝3，设 PB＝
x，则 AP＋CP＝ x2＋4 ＋ 12－x2＋9 ，当 A，P，C 三点在同一直线上时，上述式
子取最小值，作 AE⊥CD，在△AEC 中，最小值为 AC＝13.
（1）这列数，每 6 个数循环，故，第 50 个数是－1；（2）2018 个数中含有 336 个循环还余第 1，第 2 共 2 个数，而一个循环的和是 0，故从第 1 个数开始的前 2018 个数的和是 0；（3）因为一个循环的平方和为 12，而 520 中含有 43 个 12 且余下 4，并且前面 3 个数的平方和恰好是 4，43×6＋3＝261，共有 261 个数的平方相加.

初二奥数精讲——第7讲根式（一）

初二奥数精讲——第7讲根式（一）一、知识点解析根式是代数式的重要组成部分。

根式的性质和有关结论是进行运算和代数式恒等变形的基础，因此，要牢固掌握分式的性质和相关结论，让我们来开始学习吧。

1. 基本知识2. 基本方法（1）分母或分子有理化：将分式的分子分母同时乘以分子或分母的共轭根式，使分子或分母化为有理式。

（2）不等式控制：先根据代数式的意义，求出字母的变化范围，再将根式简化。

（3）平方法：对于含有二次根式的等式，可将含与不含根式的项分别放在等式的两边，然后两边（多次）平方，将根号去掉。

（4）化同次根式：对于含有多个根式的问题，可将它们的根指数化得相同。

3. 基本问题（1）单重根式的化简与计算：利用根式、分式、比例的基本性质进行变形或运算，或建立方程求值，最后结果要使分母不含根号。

（2）双重根式的化简与计算：利用公式直接化简，或者利用配方法去根号，或者用待定系数法。

（3）含有根式系数的代数式求值：通常采用带余除法，而当字母取值含有根式时，应通过恒等变形，建立字母满足的方程，然后利用整体求值。

（4）含有根式的和式化简与计算，通常采用差分法或者分解因数进行约简。

（5）比较大小有作差、作商比较，与中间值比较，平方、取倒数、分子有理化之后再比较。

这部分主要考察学生的对根式的了解及掌握。

根式是代数式的重要组成部分。

根式的性质和有关结论是进行运算和代数式恒等变形的基础，这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题例1化简：分析：直接计算，分母不易有理化。

观察注意到分子分母的特殊关系，从而宜将原式先取倒数再求值。

解答：例2化简：分析：直接分母有理化化简会很麻烦，观察分子的构成，往分母的形式上靠近。

解答：例3化简：例4 化简：例5 化简：。

数学奥赛讲座：《二次根式》

二次根式的性质
1. 根式的乘法性质
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0, b geq 0$）。
2. 根式的除法性质
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 有根式的式子，可以通过有理化分母的方法，将分母化为有理数。
合并同类项
对于形如$sqrt{a+b}$和 $sqrt{a-b}$的二次根式，可以合并为$sqrt{2a}$。
运算规则
乘法运算
对于两个二次根式相乘，可以直接将它们的系数相乘，根号部分不变。
除法运算
对于两个二次根式相除，可以直接将它们的系数相除，根号部分不变。
二次根式的历史与发展
历史背景
二次根式起源于古希腊数学家对几何图形的研究，特别是对直角
三角形和圆的性质的研究。
文艺复兴时期，数学家开始系统研究二次根式的性质和运算规则，
为后续的发展奠定了基础。
17世纪，微积分学的发展推动了二次根式理论的进一步深化。
现代发展
计算机科学的发展为二次根式计算提供了更高效的算法和软件工具，如符号计算和数值计算。
总结词
二次根式具有一些基本的数学性质，如根式的乘法、除法、加法、减法等运算性质。
3. 根式的加法性质
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(sqrt{a} + sqrt{b})^2}$ （$a geq 0, b geq 0$）。
4. 根式的减法性质
$sqrt{a} - sqrt{b} = sqrt{(sqrt{a} - sqrt{b})^2}$（$a geq 0, b geq 0$）。

初中数学竞赛代数部分

综合法：适用于形如ax^2+bx+c=0 的方程
分式方程与无理方程的应用题
应用题类型：解分式方程和无理方程
解题步骤：设未知数，列方程，解方程
解题技巧：利用方程的性质和技巧，如因式分解、配方法等应用题实例：求解分式方程和无理方程的实际问题，如工程问题、经济问题等
方程的近似解法
牛顿法：通过迭代求解方程的近似解
添加标题
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添加标题
函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等
函数的应用：函数在初中数学竞赛中经常出现，是代数部分的重要内容
一次函数与反比例函数
一次函数： y=kx+b，其中k为斜率，b
为截距
反比例函数： y=k/x，其中k
为常数
一次函数的图像是一条直线，反比例函数的图像是一条双
曲线
一次函数与反比例函数的区别在于斜率与截距的关系，以及图像的形
状
函数的图像与性质
函数的定义：函数是一种映射关系，将自变量x映射到因变量y
函数的图像：函数图像是函数在平面直角坐标系中的图形表示
函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等
函数的应用：函数在初中数学竞赛代数部分中的应用广泛，如求解方程、不等式、最大值最小值等问题
代数表达式的应用
解方程：利用代数表达式求解方程
求值：计算代数表达式的值
化简：将复杂的代数表达式化简为简单的形式
证明：利用代数表达式进行数学证明
一元一次方程
一元一次方程的解法
代入法：将方程中的未知数用已知数代替，求解出未知数
加减法：将方程中的未知数移到一边，另一边的常数移到另一边，求解出未知数

根式求值竞赛专题

根式求值竞赛专题简介本文档旨在为根式求值竞赛提供专题内容。

根式求值是数学竞赛中常见的一类题型，要求计算给定根式的数值结果。

本文将介绍根式求值的基本概念、解题思路和常见技巧，帮助参赛者在竞赛中取得优异成绩。

根式的定义根式是数学中的一种表示形式，通常由一个根号符号（√）、一个被开方的数（被开方数）和一个指示指数（指数）组成。

根式可以表示为√(被开方数) 或者√^(指数)(被开方数) 的形式。

根式求值的基本步骤1. 确定根式的形式：判断根式是以一次根号还是多次根号表示。

一次根号即常见的平方根，多次根号则需要进一步进行化简。

2. 化简根式：将根式的被开方数和指数进行简化，尽量将根式化为简单的形式。

3. 计算数值：根据化简后的根式形式，进行数值计算，得到最终的结果。

解题思路在根式求值竞赛中，为了取得较好的成绩，可以采用以下解题思路：1. 熟练掌握根式的化简规则：了解根式化简的常见技巧，如合并同类项、分解因式、分配率等，能够快速将复杂的根式化简为简单的形式。

2. 熟悉特殊根式：掌握常见的特殊根式的数值，如平方根的数值边界、常见的立方根和四次根的数值等，可以避免无谓的计算和化简过程。

3. 利用数学性质：应用数学性质和关系，如指数的分配律、乘方的运算法则等，可以简化根式的计算过程。

4. 多做练题：通过大量练题的做题和分析，提高对根式求值问题的理解和解题技巧。

常见技巧以下是一些常见的根式求值技巧：1. 合并同类项：对于可合并的根式，可以将它们合并为一个根式，简化计算。

2. 分解因式：根据根式的特征，进行因式分解，可以将复杂的根式化简为简单的形式。

3. 指数法则：根式求值中，利用指数的运算法则，可以将根式化为更简单的形式。

4. 约分：根据根式的分子和分母的共同因子，进行约分，简化计算。

总结根式求值竞赛专题介绍了根式的基本概念、解题思路和常见技巧。

在根式求值竞赛中，掌握根式的化简规则、熟悉特殊根式的数值、应用数学性质和多做练题，都是取得好成绩的关键。

八年级数学根式计算知识点

八年级数学根式计算知识点数学是我们生活中不可或缺的一部分，而在学习数学过程中，根式计算是一个重要环节。

在八年级，学习根式计算知识点是必不可少的。

本文将为大家介绍八年级数学根式计算知识点。

1.根式的定义根式是将一个数的某次方作为一个数的形式进行表示。

其中，被开方的数称为被开方数，开方的次数称为根数，代表根数的符号为√。

2.简便写法当根号下的被开方数是一个完全平方数时，可将其化简，例如√25=5。

当根号下的被开方数可以分解质因数时，可采用因式分解法，如√72=√(2^3×3^2)=6√2。

3.根式间的运算(1)同根式的加减法同根式的加减法，即根数和被开方数均相同时，可直接将它们的代数和相加或相减，根号不变。

例如，3√5+6√5=9√5，5√2-2√2=3√2。

(2)异根式的加减法异根式的加减法，即根数和被开方数不同时，可将其化成同类项后再进行运算。

其中，化为同类项的方法，一般是将其中一个根式乘以一个分母，使得分母相同。

例如，2√3+3√2=2√3×(3/3)+3√2×(2/2)=6√3/6+6√2/6=（6√3+6√2）/6。

(3)根式的乘法根式的乘法，即将根号下的被开方数相乘，同时将根数相加。

例如，√2×√3=√(2×3)=√6。

(4)根式的除法根式的除法，即将根号下的被开方数相除，同时将根数相减。

例如，√8/√2=√(8/2)=2√2。

4.根式的化简根式的化简是指将根号下的被开方数化为最简形式。

其中，可以采用约分、分解质因数、合并同类项等方法。

例如，将√20化为最简形式，则√20=√(2^2×5)=2√5。

5.根式的应用在实际生活中，根式的应用非常广泛，例如，工程中测量直角三角形的斜边长度，可以采用勾股定理，根据√(a^2+b^2)求得斜边的长度。

此外，在物理学、化学等领域，根式也有广泛的应用。

八年级数学根式计算知识点就介绍到这里。

掌握这些知识点有助于提高我们的数学能力，让我们在学习中更加轻松自如。

中考八下数学计算根式

中考八下数学计算根式计算根式是中学数学中的重要知识点之一。

在计算根式时，我们需要了解根式的性质、化简规则以及一些常见的计算方法。

下面是关于计算根式的相关参考内容，供你参考。

一、根式的性质：1. 非负性：对于任意实数a，当a大于等于0时，√a存在且大于等于0；当a小于0时，√a不存在。

2. 同底同指数相乘：对于任意非负实数a、b，√（a * b）= √a* √b。

3. 同底同指数相除：对于任意非负实数a、b，√（a ÷ b）= √a ÷ √b。

4. 同底不同指数相加或相减：对于任意非负实数a、b，当a大于等于b时，√a + √b 不能继续化简，但√a - √b 可以化简。

二、化简根式的规则：1. 拆分因式：将根号内的数拆分成两个因数的乘积，然后分别进行化简。

2. 提取因数：如果根号内的数是一个完全平方数的因数的倍数，可以将其分解，然后提取其中的完全平方因数。

三、常见的计算方法：1. 合并同类项：当根式相加或相减时，可以合并内部的同类项，再进行化简。

2. 有理化分母：当根式出现在分母中时，可以乘以一个适当的形式为1的有理化因子，使得分母变成有理数。

四、一些常见根式的计算方法：1. 计算平方根：- 当求解√a = b时，可以将等式两边平方，得到a = b^2。

- 当已知a^2 = b时，可以求解得到a=√b或a=-√b。

- 当已知a = b^2时，可以求解得到b = √a或b = -√a。

2. 计算立方根：- 当求解∛a = b时，可以将等式两边立方，得到a = b^3。

- 当已知a^3 = b时，可以求解得到a = ∛b。

- 当已知a = b^3时，可以求解得到b = ∛a。

以上是关于计算根式的一些参考内容。

掌握这些规则和方法，将有助于你在做数学题时更好地进行根式的计算与化简。

八年级数学竞赛辅导讲义之第07讲根式及其运算

第七讲根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习七1．化简：2．计算：3．计算：。

八年级数学竞赛例题二次根式的概念与性质专题讲解【DOC范文整理】

八年级数学竞赛例题二次根式的概念与性质专题讲解专题09二次根式的概念与性质阅读与思考式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：．．说明了与、2一样都是非负数．．＝．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．．揭示了与绝对值的内在一致性．．．．．给出了二次根式乘除法运算的法则．．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是____________．解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤≤2，经化简，＝___________．解题思路：从化简被开方数入手，注意中≥0的隐含制约．【例3】若＞0，＞0，且，求的值．解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系．【例4】若实数，，满足关系式：试确定的值．解题思路：观察发现与互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知，求＋＋的值．解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABc中，AB，Bc，Ac三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格，再在网格中画出格点△ABc，如图1所示．这样不需求△ABc的高，而借用网格就能计算出它的面积．请你将△ABc的面积直接填写在横线上：_________．我们把上述求△ABc面积的方法叫作构图法．若△ABc三边的长分别为，2，，请利用图2中的正方形网格画出相应的△ABc，并求出它的面积．若△ABc三边的长分别为，，2试运用构图法求出这个三角形的面积．解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．能力训练A级．要使代数式有意义．则的取值范围是_____________．．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知为实数，化简．解：原式＝．．已知正数，，有下列命题：若＝1，＝1，则1；若＝，＝，则；若＝2，＝3，则；若＝1，＝5，则3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则________．．已知实数，，满足，则的值为_______．．代数式的最小值是．A．0B．1＋c．1D．不存在．下列四组根式中是同类二次根式的一组是．A．和2B．3和3c．和D．和．化简的结果是．A．6－6B．－6＋6c．－4D．4．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝0，则是一个．A．小于0的有理数B．大于0的有理数c．小于0的无理数D．大于0的无理数．已知，其中≠0，求的值．0．已知与的小数部分分别是，，求的值．1．设，，为两两不等的有理数．求证：为有理数．．设，都是正整数，且使，求的最大值．B级．已知，为实数，y＝，则5＋6＝_________．．已知实数满足，则－19992＝___________．．正数，满足＋4－2－4＋4＝3，那么的值为_______．．若，满足3＝7，则=的取值范围是________．．已知整数，满足＋2＝50，那么整数对的个数是A．0B．1c．2D．3．已知＝1，那么代数式的值为A．B．－c．－D．．设等式在实数范围内成立，其中，，是两两不同的实数．则代数式的值为．A．3B．c．2D．．已知，则的值为．A．3B．4c．5D．6．设，，是实数，若＋＋＝2＋4＋6－14，求的值．0．已知3＝3＝cz3，＋＋＝1，求证：＋＋．1．已知在等式中，，，，都是有理数，是无理数．求：当，，，满足什么条件时，是有理数，当，，，满足什么条件时，是无理数．．设＝，求不超过的最大整数[s]．3．如图，c为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB ⊥BD，ED⊥BD，连结Ac，Ec，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设cD＝．用含的代数式表示Ac＋cE的长；请问点c满足什么条件是Ac＋cE的值最小？根据中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．。