高考数学创新题的几个命制方向

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高考数学创新题型思维方法归纳

高考数学创新题型思维方法归纳高考数学一直以来都是学生们最为关注的科目之一，也是决定着他们整体成绩的重要因素。

而面对着日益增多且不断创新的数学题型，学生们的压力也逐渐加大。

因此，为了更好地应对高考数学中的创新题型并提升自己的思维能力，本文将对一些常见的数学创新题型思维方法进行归纳总结。

1.解析式题型解析式题型是高考中常见的一种题型，特别是在数学选择题中。

对于此类问题，首先要考虑的是问题本身的语义。

有些问题看起来很抽象，但只要确立一个指导性的概念，就可以将问题解决。

例如，在求解某个极限的时候，若考生觉得难以通过微积分原理简化表达式，可以考虑将函数类型置于个别限制条件下。

此时，便于考生利用函数本身的特殊性质，直接进行简单的代入求解。

2.观察题型观察题型是考验学生思维能力的重要题型。

此类问题要求考生从已知信息中提取价值，并以此作为进一步进行推断的基础。

对于此类问题，建议学生采用尝试错误的方法，通过不停地试错来完善解法。

另外，需要注意的是，这类题目的结果可能是难以通过观察及分析得到的，必须通过多次尝试来得出正确结论。

3.计算便捷题型计算便捷题型主要是考察考生的计算能力。

此类题目特点是，计算量大且题目难度不高，但是考生需要完成大量重复的计算，并需要保证计算过程的准确性。

针对这类题目，学生需要掌握数学基本运算的规律，尤其是运算评分规则和公式的使用，可以采用逆算法等方式，将计算规模最小化。

4.逻辑推理题型逻辑推理题型是让学生思考问题解决过程的题型。

解决此类问题必须善于从问题条件中寻找因果关系，并通过运用逻辑推理的方式，将这种因果关系转化为可靠的推断结论。

在做这类问题时，考生需要充分利用其他科目的知识，建立一个概念框架，并根据问题提供的信息去规范自己的解析思路。

5.分数异化题型分数异化题型主要是考察考生的数学思维能力。

此类题目特点是对考生分数计算的运算规律进行改变，充分考察考生对分数的把握能力。

针对这类问题，学生需要将这种运算转换成为其他基本计算方法，例如，可以将所有分数收集再进行归并，最终得到答案。

高中数学创新题命制说明

高中数学创新题命制说明一、试题命题原则1.导向性原则创新题的命制要注重每道试题的导向性。

试题命制符合高考命题方向，重视思想与方法的考查；试题内容符合新时代特色，选材紧跟时代步伐；试题体现课程改革，体现课程标准、考试内容的变化；试题命制符合“价值引领，素养导向，能力为重，知识为基”的命题思路；试题要传递对今后教学的导向，包括学科知识与学科能力掌握的导向。

2.科学性原则试题必须保证内容的正确性，不能出现知识性错误，不能与所学的概念、定理、法则等相悖，要有利于学生正确概念的形成，有利于学科相关原理和规律的掌握和理解。

3.创新性原则命题在强化能力考查的基础上，体现了鲜明的创新导向。

通过合理创设情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，鼓励学生主动思考，激发想象力和思想张力，促进创新思维能力的发展。

创新试题的方法有：模仿、重组、改编、原创。

4.应用性原则试题命制紧密结合国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际、发展阶段特点中的具体实例，注重联系实际，提倡学以致用、知行合一，要求学生运用科学的立场、观点、方法分析和解决问题。

二、试题命制要求（一）内容要求1.试题命制以本学科提供的专题内容为单位，每道试题的核心考查内容限为本专题的核心知识或重要方法，试题命制做到不超纲，不超前。

2.试题命制要突出情境载体，注重生活实践问题情境和学习探索问题情境的创设，为激发学生的认知建构与素养表现搭建平台。

3.试题命制特别强调新颖性，试题的命题立意、情境载体和设问角度要有一定的创新性，符合新高考命题方向。

4.试题使用材料要真实无误，数据真实可靠，图、表、文要清晰规范。

（二）形式要求1.试题题型以选择题（含多选）、填空题、解答题为主，题型设置与高考题型保持一致。

2.试题命制格式采用“三段式”，暨“命题说明——试题正文——答案解析”，其中“命题说明”需包含“情境载体说明，知识考查说明，能力考查说明，素养考查说明和对应“四翼”的考查要求。

(数学)高考数学创新题的几个命题方向

高考数学创新题的几个命题方向在近几年各省市的高考试卷中都有几个创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则，具体来说，创新题有哪些命题方向呢？下面我们通过高考题或模拟题做个归类分析．创新题命题方向之一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的，【例1】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为),2,1,0}(1,0{,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中⊕=00a h ⊕⊕=,,2011a h h a 运算规则为：,000=⊕,110=⊕,101=⊕,011=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011【解析】按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．我们知道，传输信息之间的三个数是原信息，C 选项原信息为011，则,1100=⊕=h ,011201=⊕=⊕=a h h 所以应该接收信息10110．故选C ．【点评】在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．【例2】已知函数,)2(2)(22a x a x x f ++-=--+-=x a x x g )2(2)(2.82+a 设)},(),(m ax {)(1x g x f x H =)},(),(m in{)(2x g x f x H =(max },{q p 表示q p ,中的较大者，min },{q p 表示q p ,中的较小值），记)(1x H 得最小值为)(,2x H A 得最大值为,B 则=-B A ( )A ．1622--a a B ．1622-+a a C ．16- D ．16【解析】)(x f 顶点坐标为,2(+a ),44--a )(x g 顶点坐标+--a a 4,2(),12并且每个函数顶点都在另一个函数的图像上，如下图所示，B A 、分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以.16)124()44(-=+----=-a a B A 选C ．【点评】深刻理解新概念是解题的关键，画出图像为我们的理解起到了举足轻重的作用，另外找到顶点的特征为解题找到了突破口，还要注意A ，B 并非在同一个自变量取得.针对性练习：设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：}|)({)(S x x f T i ∈=；)(ii 对任意,,21S x x ∈ 当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．NB N A ==*, B ．},31|{≤≤-=x x A }1008|{≤<-==x x x B 或C ．R B x x A =<<=},10|{D ．Q B Z A ==,【解析】根据题意可知，令,1)(-=x x f 则A 选项正确；令⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤<-+=)1(,8)31(,2525)(x x x x f 则B 选项正确；令),21(tan )(-=x x f π则C 选项正确．故答案为D ．创新题命题方向之二：类比型给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的，类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导考生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三、触类旁通的应变能力.【例3】先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知,,21R a a ∈,121=+a a 求证.212221≥+a a 证明：构造函数,)()()(2221a x a x x f -+-= .22)(22)(222122221212a a x x a a x a a x x f ++-=+++-= 因为对一切,R x ∈恒,0)(≥x f 所以,0)(842221≤+-=∆a a 从而得⋅≥+212221a a (1)若,,,21 a a ,R a n ∈,121=+++n a a a 请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【解析】这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．(1)若,1,,,,2121=+++∈n n a a a R a a a 求证：na a a n 122221≥++ . (2)证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=22221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-= 2222122n a a a x nx ++++-=因为对一切,R x ∈都有,0)(≥x f 所以22121(44n a a a n +++-=∆ ,0)≤从而证得：na a a n 122221≥+++ 【点评】对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：=)(x f ,)()()(2222211n n b x a b x a b x a -++-+- 由,0)(≥x f得,0≤∆就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明，构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.【例4】当,R x ∈1||<x 时，有如下表达式：=+++++ nx x x 21⋅-x11两边同时积分得：=+++++⎰⎰⎰⎰21212210211dx x dx x xdx dx n .11210dx x⎰- 从而得到如下等式：11)21(31)21(2121132+++⨯+⨯+⨯n .2ln )21(1=+⨯+ n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯+++⨯+⨯+⨯+13221)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C _____. 【解析】材料中是从一个原有的等式，对其等号两边同时积分得到一个新的等式，因此，要解决题中所给的问题，要先找到一个等式，使其等号两边积分后与题中所给的式子尽可能的相关，在这个过程中，观察和联想很重要．从题中观察到，+⨯210n C ⨯+⨯22131)21(21n n C C =⨯++++13)21(11)21(n n n C n ____和+⨯211.2ln )21(11)21(31)21(21132=+⨯+++⨯+⨯+ n n 等号左边的式子相比，只多了个系数,in C 再从式子的整体结构和各项中，联想到二项展开式,)1(12210n n n n n n n x x C x C x C C +=+++++ 对其等号两边同时积分，即得：由10n Cnn n nnn x x C x C x C )1(221+=+++++ 两边同时积分得：22102210121001x C xdx C dx C n nn ⎰⎰⎰++=+++⎰ (210)dx x C dx nn n.)1(210⎰+d x n 从而得到如下等式：+⨯+⨯210)21(2121n nC C 231n C ++⨯ 3)21( 11+n 11)21(1+=+n C n n n ].1)23[(1-+n 【点评】问题的材料本身就很有创新，我们要根据材料提供的方法应用到新问题中，这对我们是个考验，怎么运用呢？联想到我们熟知的等式：++++ 22101x C x C C n n n n n n x Cn x )1(+=+ 是解题的关键．针对性练习：在数学解题中，常会碰到形如“xyyx ++1”的结构，这时可类比正切的和角公式，如：设b a ,是非零实数，且满足,158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a 则=a b ( )A ．4B ．15C ．2D ．3【解析】首先条件等式化成形如“xyyx -+1”的结构，然后利用两角和的正切公式来解题，将条件左式变形，得,5tan 15tan5sin 5cos 5cos5sinab a bb a b a ⋅-+=-+ππππππ联想两角和的正切公式，设,tan a b =θ则有=+)5t a n (θπ,158tan 5tan 15tanπππ=⋅-+ab a b 则,1585ππθπ+=+k 解得∈+=k k (3ππθ),Z 于是,3)3tan(=+=ππk a b 答案选D ．创新题命题方向之三：高等数学与初等数学的衔接型将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点.【例5】定义如下运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm m m m n n n xx x x xx x x x x x x x x x x 321333323122322211131211....................⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n n n kk k yy y y yy y y yy y y y y y y 321333323122322211131211.....................=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mk m m m k k k zz z z yz z z y z z z y z z z 321333323122322211131211..................., 其中*).,,1,1(332211N j i n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ∈≤≤≤≤++++=- 现有2n 个正数的数表A 排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，*),N j i ∈ln 131211a a a a ,n a a a a 2232221 ,n a a a a 3333231 ,..............，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成nn n n n a a a a 321等比数列，且各个等比数列的公比相同，若,124=a ,8142=a =43a ⋅163求ija 的表达式（用j i ,表示）．【解析】本题数列中的每一项都有两个下标，在}{ij a 中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出ij a 的表达式．每一行的数成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列．,2444243a a a +=∴,4144=∴a 又每一列的数成等比数列，故,22444q a a = ,124=a ,412=∴q 且,0>n a ⋅=∴21q,16))(2(81)2(4243424ja a j d j a a j =--+=-+=∴.2)21(44i i j ij ja a ==∴-⋅【点评】新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该题型是高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界．针对性练习：定义},,,max{21n s s s 表示实数n s s s ,,,21 中的最大者．设),,,(321a a a A ==B ,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bb b 记},,m ax {332211b a b a b a B A =⊗, 设,1(-=x A ),1,1+x =B ,|1|21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 若,1-=⊗x B A 则x的取值范围为( )A ．]1,31[-B ．]21,1[+C ．]1,21[-D ．]31,1[+【解析】由定义知：|}1|),2)(1(,1{},,{332211--+-=x x x x b a b a b a 若,1-=⊗x B A 则⎩⎨⎧-≥--+≥-|,1|1),2)(1(1x x x x x 解得.211+≤≤x 选B ．创新题命题方向之四：信息迁移型信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．【例6】已知数列}{n a 中．)1(211-++=n a a n 且,,(*R a N n ∈∈)0=/a .(1)若,7-=a 求数列}{n a 中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当7-=a 时，,1921+-=n a n 令,1921)(+-=x x f 则函数)(x f 在)29,(-∞和),29(+∞上单调递减，画出图像知}{n a 的最大项为,25=a 最小项为.04=a(2)对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，即}{n a 的最大项是第6项，因为+=1n a22211)1(21a n n a --+=-+，所以要保证}{n a 的最大项是第6项，只需满足,6225<-<a 解得).8,10(--∈a【点评】,1921+-=n a n 1921)(+-=x x f 一个是数列，一个是函数，他们有联系，也有区别，适时转换（信息迁移）——转化为一次分式函数，并利用一次分式函数的图像和性质是解答本题的关键．针对性练习：规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文,a z c b ,,, 的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个正整数，见表格：并给你一个变换公式：='x ，为偶数为奇数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈),261,(132),261,(2x x N x x x x N x 将明文转换成密文，若,1713288=+→则h 变为→8;q ,132125=+ 则y 变成m ，按上述规定，若将某明文译成的密文是,shxc 你能否得出原来的明文？【解析】字母s 在密码表中对应的数字是19．或，1921=+x 则,37=x 但原明文中只对应26个整数，从而,19132=+x所以=x ,12 因此s 的明文是l ．同理可求.,e c v o h →→→因此shxc 的明文是love .创新题命题方向之五：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题，【例7】已知射线OP ，作出点M 使得,3π=∠POM 且,8||=OM 若射线OP 上一点N能使得MN 与ON 的长度均为整数，则称N 是“同心圆梦点”. 请问射线OP 上的同心圆梦点共有________个．【解析】如图，过点M 作.OP MH ⊥ 因为,3π=∠POM 且,8||=OM 所以,4||=OH ,34||=MH 设,||a MB =n m b HB ,(||=是正整数)．显然，在MHB Rt ∆中，有 ,)34(222=-b a 即))((b a b a -+.48=因为b a +与b a -同奇偶，所以48的分解只能取下列三种：,6841222448⨯=⨯=⨯=得)1,7(),4,8(),11,13(),(=b a 时就对应有三个同心圆梦点.,,321B B B 另外，易知点3B 关于直线MH 对称的点4B 也是符合题意，故射线OP 上的同心圆梦点共有4个．【点评】本题以三角形边长为整数为背景来命题，考查考生对有关数论综合分析能力，以MN 与ON 的长度均为整数为突破口来寻找点N ，将本题转化为列方程求整数解的个数问题．针对性练习：已知定理：“若b a ,为常数，)(x g 满足,2)()(b x a g x a g =-++ 则)(x g y =函数的图像关于点),(b a 中心对称”，设函数=)(x f ,1xa ax --+定义域为A ．(1)试证明)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)当]1,2[--∈a a x 时，求证：]0,21[)(-∈x f ； (3)对于给定的,A x i ∈ 设计构造过程：),(),(2312x f x x f x == ).(,1n n x f x =+ 如果),,3,2( =∈i A x i 构造过程将继续下去；如果,A x i ∉构造过程将停止．若对任意,A x i ∈构造过程可以无限进行下去，求a 的值. 【解析】(1),11)(axx f +-= +-+-+-=-++∴1()11()()(x x a f x a f ,2)1-=x由已知定理得，)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)首先证明)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，为此只要证明)(x f 在),(a -∞上是增函数．设,21a x x <<<∞- 则=-)()(21x f x f ,0))((11212121<---=---x a x a x x x a x a )(x f ∴在),(a -∞上是增函数．再由)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，得当]1,2[--∈a a x 时，)],1(),2([)(--∈a f a f x f 即]0,21[)(-∈x f(3)∵构造过程可以无限进行下去，又)(x f 的定义域为R x ∈且,a x =/a xa ax x f =/--+=∴1)(对任意A x ∈恒成立，∴方程a xa ax =--+1无解，即方程1)1(2-+=+a a x a 无解或有唯一解,a x =，⎩⎨⎧=/-+=+∴01012a a a 或，⎪⎩⎪⎨⎧=--+=/+a a a a a 11012由此得到.1-=a另外，知识迁移型也是创新的一个方向．总之，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，是训练和考查考生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型．它与新课标要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想．要求考生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘创新试题的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.【练练手】1．定义：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上存在),(00b x a x << 满足,)()()(0ab a f b f x f --=则称0x 是函数)(x f y =在区间],[b a 上的一个均值点，已知函数1)(2++-=mx x x f 在区间]1,1[-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________.2．设)(x f y =为区间]1,0[上的连续函数，且恒有)(0x f ≤,1≤可以用随机模拟方法近似计算积分,)(1dx x f ⎰先产生两组（每组N 个）区间]1,0[上的均匀随机数N x xx ,,21和,,21 y y ,N y 由此得到N 个点),,,2,1)(,(N i y x i i =在数出其中满足≤i y =i x f i )((()),,2,1N 的点数,1N 那么由随机模拟方法可得积分dx x f )(1⎰的近似值为________.3．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数b a 、满足=⋅)(b a f )(b af),(a bf +,2)2(=f *),()2(N n nf a n n ∈=有以下结论： ①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n a 为等比数列；④数列}{n b 为等差数列．其中正确结论的序号是________.4．已知集合},,,,,{321n a a a a A =其中>≤≤∈n n i R a i ,1()(),2A l 表示和)1(n j i a a j i ≤≤≤+ 中所有不同值的个数．(1)设集合},8,6,4,2{=P },16,8,4,2{=Q 分别求)(P l 和l );(Q (2)若集合},2,,8,4,2{nA = 求证：2)1()(-=n n A l ； (3))(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案1．解析：本题等价于m mx x =++-12在)1,1(-∈x 有解，所以)2,0(1∈+=x m . 2．解析：由题意知本题是求,)(1dx x f ⎰而它的几何意义是函数)(x f （其中1)(0≤≤x f ）的图像与x 轴、直线0=x 和直线=x 1所围成图形的面积，均匀随机数所产生的点有N 个，也就是落在正方形1,0,1,0====y y x x 区域上的点有N 个，而满足≤1y )),,2,1)(((N i x f i =的点数有1N 个，相当于正方形,1,0==x x ,0=y1=y 区域上的围成的面积为N ，图像)(x y =与直线0=x 和直线1=x 及x 轴所围成图形的面积为,1N 所以≈NN11)(1⎰dx x f 即⋅≈⎰NN dx x f 11)( 3．解析：因为,,R b a ∈∀),()()(a bf b af b a f +=⋅ ∴取==b a ,1,1得,0)1(=f 取,2=a,2=b 得,8)2(4)4(==f f 取,2,0==b a 得)0(f ),0(2f =,0)0(=∴f 取,2-=a ,2-=b 得)2(4)4(--=f f ，)2(-∴f ,2-=取,2,21-==n b a 得)2(2)2(1-=n n f f∴+=+--,2)2(2)2(211nn n f f )1(12)2(2)2(11 +=--n n n n f f ，由*),()2(N n n f a n n ∈=得,)2(n nna f =代入(1)，得112)1(2---=n n n n a n na ,1+,2)2(1==f a ,2n na nn=∴ .2n n a =∴ 答案：①③④．4．解析：(1)由=+=+=+=+=+84,1064,1082,862,642,1486,12=+ 得.5)(=P l由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得.6)(=Q l(2)因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值，所以2)1()(-≤n n A l ，又集合},2,,8,4,2{nA = 任取≤≤<≤++1,1(,(n j i a a a a l k j i ),n l k ≤< 当l j =/时，不妨设,l j < 则,221l k i j j j i a a a a a a +<≤=<++即.l k j i a a a a +≠+11 当k i l j =/=,时，l k j i a a a a +≠+，因此，当且仅当l j k i ==,时，l k j i a a a a +=+ 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，所以⋅-=2)1()(n n A l (3))(A l 存在最小值，且最小值为.32-n 不妨设<<<321a a a ,n a < 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+- 所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即)(A l .32-≥n 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑),1(n j i a a j i ≤<≤+根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+因此每个和),1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n i 中的一个．所以对这样的,32)(,-=n A l A所以)(A l 的最小值为.32-n。

关于高考数学创新题型思维方法

关于高考数学创新题型思维方法关于高考数学创新题型思想方法(一)解析几何中的运动效果解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动效果。

即新课标高考数学思想从传统剖析静态模型转变为剖析静态模型。

因此考生需求掌握在运动进程中关于变量与不变量的掌握、擅长树立运动进程中直接变量与直接变量的关系、以及特殊值情境剖析、存在效果与恣意效果解题方法的总结。

在解此类创新题型时，往往需求融入生活中的很多思想，加上标题中所给信息相融合。

在数学层面上，需求考生擅长从各个角度与思索效果，将思绪翻开，同时擅长用数学思想去将标题情境笼统成数学模型。

(二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的效果，考生需求懂得坐标系中坐标差的原理，关于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。

近两年高考大题中均触及到了新距离效果，可是高考所调查的内容不再新距离自身，而在于树立新的数学模型状况下，考生能否探索出树立数学模型与数学思想的关系。

比如2021年压轴题，关于一个数列各个位做差取相对值求和的效果，由于每个位取值状况均相反，故只需思索一个位就行了。

在大题详细解题中小编会详细表达。

(三)新名词关于标题中出现了新名词新性质，考生完全可以重新性质自身动身，从数学思想角度了解新性质所代表的数学含义。

此类创新题型就像描画一幅画一样去描画一个数学模型，然后描画的繁复透彻，让考生经过此类描画去开掘性质。

新课标数学追求对数学思想的自然描画，即不会给先生思想断层、非生活惯例思绪(北京海淀区2021届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于十分规思绪)。

比如2020年北京卷文科填空压轴题，就是让先生直观笼统的去了解什么叫做孤立元，这样肯快就可以失掉答案。

(四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点停止出题，此类题普通只需熟习知识点网络结构与知识点思想方式就没有效果。

数学高考数学创新题的几个命题方向

数学高考数学创新题的几个命题方向Modified by JEEP on December 26th, 2020.高考数学创新题的几个命题方向在近几年各省市的高考试卷中都有几个创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则，具体来说，创新题有哪些命题方向呢下面我们通过高考题或模拟题做个归类分析．创新题命题方向之一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的，【例1】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为),2,1,0}(1,0{,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中⊕=00a h ⊕⊕=,,2011a h h a 运算规则为：,000=⊕,110=⊕,101=⊕,011=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011【解析】按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．我们知道，传输信息之间的三个数是原信息，C 选项原信息为011，则,1100=⊕=h ,011201=⊕=⊕=a h h 所以应该接收信息10110．故选C ．【点评】在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．【例2】已知函数,)2(2)(22a x a x x f ++-=--+-=x a x x g )2(2)(2.82+a 设)},(),(m ax {)(1x g x f x H =)},(),(m in{)(2x g x f x H =(max },{q p 表示q p ,中的较大者，min },{q p 表示q p ,中的较小值），记)(1x H 得最小值为)(,2x H A 得最大值为,B 则=-B A ( )A ．1622--a aB ．1622-+a aC ．16-D ．16【解析】)(x f 顶点坐标为,2(+a ),44--a )(x g 顶点坐标+--a a 4,2(),12并且每个函数顶点都在另一个函数的图像上，如下图所示，B A 、分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以.16)124()44(-=+----=-a a B A 选C ．【点评】深刻理解新概念是解题的关键，画出图像为我们的理解起到了举足轻重的作用，另外找到顶点的特征为解题找到了突破口，还要注意A ，B 并非在同一个自变量取得. 针对性练习：设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：}|)({)(S x x f T i ∈=；)(ii 对任意,,21S x x ∈ 当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．NB N A ==*, B ．},31|{≤≤-=x x A }1008|{≤<-==x x x B 或C ．R B x x A =<<=},10|{D ．Q B Z A ==,【解析】根据题意可知，令,1)(-=x x f 则A 选项正确；令⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤<-+=)1(,8)31(,2525)(x x x x f 则B 选项正确；令),21(tan )(-=x x f π则C 选项正确．故答案为D ．创新题命题方向之二：类比型给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的，类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导考生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三、触类旁通的应变能力.【例3】先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知,,21R a a ∈,121=+a a 求证.212221≥+a a 证明：构造函数,)()()(2221a x a x x f -+-=.22)(22)(222122221212a a x x a a x a a x x f ++-=+++-= 因为对一切,R x ∈恒,0)(≥x f 所以,0)(842221≤+-=∆a a 从而得⋅≥+212221a a (1)若,,,21 a a ,R a n ∈,121=+++n a a a 请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【解析】这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．(1)若,1,,,,2121=+++∈n n a a a R a a a 求证：na a a n 122221≥++ . (2)证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=因为对一切,R x ∈都有,0)(≥x f 所以22121(44n a a a n +++-=∆ ,0)≤从而证得：na a a n 122221≥+++ 【点评】对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：=)(x f ,)()()(2222211n n b x a b x a b x a -++-+- 由,0)(≥x f得,0≤∆就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明，构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.【例4】当,R x ∈1||<x 时，有如下表达式：=+++++ n x x x 21⋅-x11两边同时积分得：=+++++⎰⎰⎰⎰ 212122102101dx x dx x xdx dx n .11210dx x⎰- 从而得到如下等式：11)21(31)21(2121132+++⨯+⨯+⨯n .2ln )21(1=+⨯+ n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯+++⨯+⨯+⨯+13221)21(11)21(31)21(2121n n n n n nC n C C C _____. 【解析】材料中是从一个原有的等式，对其等号两边同时积分得到一个新的等式，因此，要解决题中所给的问题，要先找到一个等式，使其等号两边积分后与题中所给的式子尽可能的相关，在这个过程中，观察和联想很重要．从题中观察到，+⨯210n C ⨯+⨯22131)21(21n n C C =⨯++++13)21(11)21(n n n C n ____和+⨯211.2ln )21(11)21(31)21(21132=+⨯+++⨯+⨯+ n n等号左边的式子相比，只多了个系数,inC 再从式子的整体结构和各项中，联想到二项展开式,)1(12210n nn n n n n x x C x C x C C +=+++++ 对其等号两边同时积分，即得：由10n Cnn n nnn x x C x C x C )1(221+=+++++ 两边同时积分得：22102210121001x C xdx C dx C n nn⎰⎰⎰++=+++⎰ (21)dx x C dx nn n.)1(210⎰+d x n 从而得到如下等式：+⨯+⨯210)21(2121n nC C 231n C 【点评】问题的材料本身就很有创新，我们要根据材料提供的方法应用到新问题中，这对我们是个考验，怎么运用呢联想到我们熟知的等式：++++ 22101x C x C C n n nn n n x C n x )1(+=+ 是解题的关键．针对性练习：在数学解题中，常会碰到形如“xyyx ++1”的结构，这时可类比正切的和角公式，如：设b a ,是非零实数，且满足,158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a 则=a b ( )A ．4B ．15C ．2D ．3【解析】首先条件等式化成形如“xyyx -+1”的结构，然后利用两角和的正切公式来解题，将条件左式变形，得,5tan 15tan5sin 5cos 5cos5sinab a bb a b a ⋅-+=-+ππππππ联想两角和的正切公式，设,tan a b =θ则有=+)5tan(θπ,158tan 5tan 15tanπππ=⋅-+ab a b则,1585ππθπ+=+k 解得∈+=k k (3ππθ),Z 于是,3)3tan(=+=ππk a b 答案选D ．创新题命题方向之三：高等数学与初等数学的衔接型将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点.【例5】定义如下运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm m m m n n n xx x x xx x x xx x x x x x x 321333323122322211131211....................⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n n n kk k yy y y yy y y yy y y y y y y 321333323122322211131211.....................=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mk m m m k k k zz z z yz z z yz z z y z z z 321333323122322211131211..................., 其中*).,,1,1(332211N j i n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ∈≤≤≤≤++++=- 现有2n 个正数的数表A排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，*),N j i ∈ln 131211a a a a ,n a a a a 2232221 ,n a a a a 3333231 ,..............，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成nn n n n a a a a 321等比数列，且各个等比数列的公比相同，若,124=a ,8142=a =43a ⋅163求ija 的表达式（用j i ,表示）．【解析】本题数列中的每一项都有两个下标，在}{ij a 中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出ij a 的表达式．每一行的数成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列．,2444243a a a +=∴,4144=∴a 又每一列的数成等比数列，故,22444q a a = ,124=a ,412=∴q 且,0>n a ⋅=∴21q【点评】新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该题型是高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界．针对性练习：定义},,,max {21n s s s 表示实数n s s s ,,,21 中的最大者．设),,,(321a a a A ==B ,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bb b记},,m ax {332211b a b a b a B A =⊗, 设,1(-=x A ),1,1+x =B ,|1|21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 若,1-=⊗x B A 则x 的取值范围为( )A ．]1,31[-B ．]21,1[+C ．]1,21[-D ．]31,1[+【解析】由定义知：|}1|),2)(1(,1{},,{332211--+-=x x x x b a b a b a 若,1-=⊗x B A 则⎩⎨⎧-≥--+≥-|,1|1),2)(1(1x x x x x 解得.211+≤≤x 选B ．创新题命题方向之四：信息迁移型信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．【例6】已知数列}{n a 中．)1(211-++=n a a n 且,,(*R a N n ∈∈)0=/a .(1)若,7-=a 求数列}{n a 中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当7-=a 时，,1921+-=n a n 令,1921)(+-=x x f 则函数)(x f 在)29,(-∞和),29(+∞上单调递减，画出图像知}{n a 的最大项为,25=a 最小项为.04=a(2)对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，即}{n a 的最大项是第6项，因为+=1n a22211)1(21a n n a --+=-+，所以要保证}{n a 的最大项是第6项，只需满足,6225<-<a 解得).8,10(--∈a【点评】,1921+-=n a n 1921)(+-=x x f 一个是数列，一个是函数，他们有联系，也有区别，适时转换（信息迁移）——转化为一次分式函数，并利用一次分式函数的图像和性质是解答本题的关键．针对性练习：规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文,a z c b ,,, 的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个正整数，见表格：n o p q r s t u v w x y z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26并给你一个变换公式：='x ，为偶数为奇数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈),261,(132),261,(2x x N x x x x N x 将明文转换成密文，若,1713288=+→则h 变为→8;q ,132125=+ 则y 变成m ，按上述规定，若将某明文译成的密文是,shxc 你能否得出原来的明文【解析】字母s 在密码表中对应的数字是19．或，1921=+x 则,37=x 但原明文中只对应26个整数，从而,19132=+x所以=x ,12 因此s 的明文是l ．同理可求.,e c v o h →→→因此shxc 的明文是love .创新题命题方向之五：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题，【例7】已知射线OP ，作出点M 使得,3π=∠POM 且,8||=OM 若射线OP 上一点N能使得MN 与ON 的长度均为整数，则称N 是“同心圆梦点”. 请问射线OP 上的同心圆梦点共有________个．【解析】如图，过点M 作.OP MH ⊥ 因为,3π=∠POM 且,8||=OM 所以,4||=OH ,34||=MH 设,||a MB =n m b HB ,(||=是正整数)．显然，在MHB Rt ∆中，有 ,)34(222=-b a 即))((b a b a -+.48=因为b a +与b a -同奇偶，所以48的分解只能取下列三种：,6841222448⨯=⨯=⨯=得)1,7(),4,8(),11,13(),(=b a 时就对应有三个同心圆梦点.,,321B B B 另外，易知点3B 关于直线MH 对称的点4B 也是符合题意，故射线OP 上的同心圆梦点共有4个．【点评】本题以三角形边长为整数为背景来命题，考查考生对有关数论综合分析能力，以MN 与ON 的长度均为整数为突破口来寻找点N ，将本题转化为列方程求整数解的个数问题．针对性练习：已知定理：“若b a ,为常数，)(x g 满足,2)()(b x a g x a g =-++ 则)(x g y =函数的图像关于点),(b a 中心对称”，设函数=)(x f ,1xa ax --+定义域为A ． (1)试证明)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称；(2)当]1,2[--∈a a x 时，求证：]0,21[)(-∈x f ；(3)对于给定的,A x i ∈ 设计构造过程：),(),(2312x f x x f x == ).(,1n n x f x =+ 如果),,3,2( =∈i A x i 构造过程将继续下去；如果,A x i ∉构造过程将停止．若对任意,A x i ∈构造过程可以无限进行下去，求a 的值. 【解析】(1),11)(axx f +-= 由已知定理得，)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)首先证明)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，为此只要证明)(x f 在),(a -∞上是增函数．设,21a x x <<<∞- 则=-)()(21x f x f ,0))((11212121<---=---x a x a x x x a x a )(x f ∴在),(a -∞上是增函数．再由)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，得当]1,2[--∈a a x 时，)],1(),2([)(--∈a f a f x f 即]0,21[)(-∈x f(3)∵构造过程可以无限进行下去，又)(x f 的定义域为R x ∈且,a x =/a xa ax x f =/--+=∴1)(对任意A x ∈恒成立， ∴方程a xa ax =--+1无解，即方程1)1(2-+=+a a x a 无解或有唯一解,a x = ，⎩⎨⎧=/-+=+∴01012a a a 或，⎪⎩⎪⎨⎧=--+=/+a a a a a 11012由此得到.1-=a另外，知识迁移型也是创新的一个方向．总之，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，是训练和考查考生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型．它与新课标要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想．要求考生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘创新试题的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.【练练手】1．定义：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上存在),(00b x a x << 满足,)()()(0ab a f b f x f --= 则称0x 是函数)(x f y =在区间],[b a 上的一个均值点，已知函数1)(2++-=mx x x f 在区间]1,1[-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________.2．设)(x f y =为区间]1,0[上的连续函数，且恒有)(0x f ≤,1≤可以用随机模拟方法近似计算积分,)(10dx x f ⎰先产生两组（每组N 个）区间]1,0[上的均匀随机数N x x x ,,21 和,,21 y y ,N y 由此得到N 个点),,,2,1)(,(N i y x i i =在数出其中满足≤i y =i x f i )((( )),,2,1N 的点数,1N 那么由随机模拟方法可得积分dx x f )(10⎰的近似值为________. 3．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数b a 、满足=⋅)(b a f )(b af),(a bf +,2)2(=f *),()2(N n nf a n n ∈=有以下结论： ①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n a 为等比数列；④数列}{n b 为等差数列．其中正确结论的序号是________.4．已知集合},,,,,{321n a a a a A =其中>≤≤∈n n i R a i ,1()(),2A l 表示和)1(n j i a a j i ≤≤≤+ 中所有不同值的个数．(1)设集合},8,6,4,2{=P },16,8,4,2{=Q 分别求)(P l 和l );(Q(2)若集合},2,,8,4,2{n A = 求证：2)1()(-=n n A l ； (3))(A l 是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由参考答案1．解析：本题等价于m mx x =++-12在)1,1(-∈x 有解，所以)2,0(1∈+=x m .2．解析：由题意知本题是求,)(10dx x f ⎰而它的几何意义是函数)(x f （其中1)(0≤≤x f ）的图像与x 轴、直线0=x 和直线=x 1所围成图形的面积，均匀随机数所产生的点有N 个，也就是落在正方形1,0,1,0====y y x x 区域上的点有N 个，而满足≤1y )),,2,1)(((N i x f i =的点数有1N 个，相当于正方形,1,0==x x ,0=y 1=y 区域上的围成的面积为N ，图像)(x y =与直线0=x 和直线1=x 及x 轴所围成图形的面积为,1N 所以≈N N 11)(10⎰dxx f 即⋅≈⎰NN dx x f 110)( 3．解析：因为,,R b a ∈∀),()()(a bf b af b a f +=⋅ ∴取==b a ,1,1得,0)1(=f 取,2=a,2=b 得,8)2(4)4(==f f 取,2,0==b a 得)0(f ),0(2f =,0)0(=∴f 取,2-=a ,2-=b 得)2(4)4(--=f f ，)2(-∴f ,2-=取,2,21-==n b a 得)2(2)2(1-=n n f f ∴+=+--,2)2(2)2(211nn n f f )1(12)2(2)2(11 +=--n n n n f f ，由*),()2(N n n f a n n ∈= 得,)2(n n na f =代入(1)，得112)1(2---=n n n n a n na ,1+,2)2(1==f a ,2n na nn =∴ .2n n a =∴ 答案：①③④． 4．解析：(1)由=+=+=+=+=+84,1064,1082,862,642,1486,12=+ 得.5)(=P l由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得.6)(=Q l(2)因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值，所以2)1()(-≤n n A l ，又集合},2,,8,4,2{n A = 任取≤≤<≤++1,1(,(n j i a a a a l k j i ),n l k ≤<当l j =/时，不妨设,l j < 则,221l k i j j j i a a a a a a +<≤=<++即.l k j i a a a a +≠+当k i l j =/=,时，l k j i a a a a +≠+，因此，当且仅当l j k i ==,时，l k j i a a a a +=+ 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，所以⋅-=2)1()(n n A l (3))(A l 存在最小值，且最小值为.32-n 不妨设<<<321a a a ,n a < 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+- 所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即)(A l .32-≥n 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑),1(n j i a a j i ≤<≤+根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+因此每个和),1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n i 中的一个．所以对这样的,32)(,-=n A l A所以)(A l 的最小值为.32-n。

高考数学原创试题的命题方向及典型题分析

高考数学原创试题的命题方向及典型题分析从2004年开始，全国高考11个省市独立命题。

高考数学形成了“百花齐放”的局面，各地数学试卷中出现了不少新颖的高质量原创试题. 从某种角度看，原创试题的新颖性对考生是一种难度，可真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况；而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志。

笔者在文[1]中已探讨了原创试题命题的七个方向，下面结合国内外课程标准，再提出原创试题的六个命题方向。

一、考查数学交流评价的试题在我国2003年制订的《普通高中数学课程标准》（下面简称《标准》）中，数学交流已作为一项教学目标被明确提出.使用交流去培养学生的数学理解力是数学交流的目标，但在我国高考数学中“数学交流”的试题现在基本上还没有涉及.以后会编制出不同种类的“数学交流”试题，让学生通过书面表述、图表、数学模式、数学图象、数学规律等方式进行数学交流，最终达到熟练掌握数学语言进行交流的目的.典型题1 (韩国高考数学题改编)下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容:甲:我们能够想象到的集合之全体的集合叫做Ｓ，那么(ａ)Ｓ将Ｓ自身作为元素所有，是吧?乙:那不成体统，哪有那样的事?甲:好，那么(ｂ)不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢?以数学方式表达上述争论中带有底线的(ａ)，(ｂ)，哪一项最好?(A)S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(B) S ∈S ，{A|A ⊄A ，A 是集合}；(C) S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(D) S ⊂S ，{A|A ⊂A ，A 是集合}.评注：此题通过两个学生的数学交流来表明他们对集合与集合、集合与元素之间关系的理解，同时让应试者参与讨论，并把一些观点与数学表达符号化.二、考查凸显数学文化的试题数学文化是多姿多彩的，它是人类文化宝库中的奇葩.《标准》中指出：数学是人类文化的重要组成部分。

数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。

高考数学创新型试题的命制策略

•12•理科考试研究•数学版2020年1月1日高考数学创新型试題的命制策略纪定春'周思波"蒋红珠$(1.四川师范大学数学科学学院四川成都610068；2.华南师范大学数学科学学院广东广州510631)摘要：培养学生的数学创新能力是数学教学的重要使命和基本任务.高考数学创新型试题的命制是考查学生创新潜力和创新意识的重要方式.本文从高等数学初等化、竞赛数学试题改编、"即时定义”、挖掘数学文化、情境跨学科、逻辑趣味化、深挖教材素材等方面，对高考数学创新试题的命制策略进行了分析与点评.关键词：高考数学；创新试题;命制策略1创新型试题命制的教育价值创新是一个国家和民族持续发展的推进器，培养学生的数学创新能力是数学教学的重要使命和基本任务•高考数学创新试题是指根据数学课程标准的理念和要求，依托一定数学命题原理和技术，旨在培养、诊断、测评学生的创新意识与创新能力的数学题⑴.高考数学创新型试题的命制，是考量和测评考生创新潜力、培养学生创新意识的重要方式.因此，研究高考数学创新型试题的命制策略，对提高数学教师创新型试题的命题意识和培养学生数学创新能力是有益的.潘超⑵研究了高考数学创新试题设计的“十化”策略,对探索高考数学创新试题的命题规律具有启发性和指导意义•新课程改革下的高考数学创新试题有了新的发展和变化，对高考数学创新型试题赋予了新的时代特色和内涵.本文将拟从高等数学初等化、竞赛数学试题改编、“即时定义”、挖掘数学文化、情境跨学科、逻辑趣味化、深挖教材素材等方面,对高考数学创新型试题的命制策略进行分析与点评.2高考数学创新型试题的命制策略2.1高等数学初等化策略高等数学初等化策略,就是高考数学命题专家利用高等数学的基础知识点作为命题的依托来命制高考试题，可通过考生利用已有的初等数学知识基础和认知水平来解答高考数学试题的一种命题策略.“初等化”即命题者将高等数学的知识经过精心打磨、设计和包装，让试题以初等数学的形式与面貌、初等数学的解决方法呈现在考生的面前•这种试题具有问题清晰、结构简洁、背景淡化等特征,给考生“眼前一亮”“耳目一新”的感觉，考生很难辨别其“真实”的高等数学身份(背景)•因此，以高等数学初等化策略来命制高考数学试题,历来受到高考数学命题者的青睐.通过高等数学初等化策略命制的高考数学试题还具备考查考生进一步学习高等数学潜质的功能.例1(2018年全国HI卷理科第21题)已知函数/(%)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=Q,证明：当-1<%<0时,/&)<0；当％>0时,/(%)>0；(2)若x=0是/(%)的极大值点，求a.分析问题(1)略•问题(2)是考查考生对极值点的定义、几何性质和代数特性(导函数在x=0处的特征)的认识，此问题设计蕴含丰富的高等数学知识内涵和背景.解法1由于％=0是/(%)的极大值点，由极值点的几何意义可知，存在£>0,恒有不等式/&)WA0) =0成立.当xe(-6,0)时，有2+x+ax2^~X，分离ln(1+%)参数后可得详2"冷节)1呎+%)；%ln(1+x)当兀丘(0,£)时，有2+%+ax2.In(1+x)作者简介：纪定春(1995-),男，四川资阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；蒋红珠(1996-)，女，四川内江人，硕士研究生，研究方向：数学教育；周思波(1971-),男，四川广元人，硕士，副教授，研究方向：高考数学、数学教育.2020年1月1日理科考试研究•数学版•13•同理，分离参数得a/_(?+：)呎+乂).x in(1+x)lnw,所以2x,3y31nw-51nu;令g(兀)2%-(2+%)ln(1+%)../、x2ln(l+x)…，故a=!讐("可使用三次“洛必达法则”解出«的值.解法2利用等价无穷小和ln(l+x)的麦克劳又因为x,y,z为正数，则有w>\.所以lnw>0.故比较2x,3y,5z的大小就等价于比较函数/(乂)=&在Inx %=2,3,5处函数值大小关系.林展开式.分子ln(l+x)在％=0处的展开式为23ln(1+x)=%-牙+才+o()(x-^-0),当%—>0(x趋于0)时，分母ln(l+%)等价于兀所以山“2兀一(2+%)In(1+兀) x-o%2ln(1+%)2%—(2+%)(兀一牙+令)]二Hm--------------2----------------------------------=_"T-.X—0x•x6评注该试题具有高等数学的知识背景,是一道典型的以高等数学知识来命制的函数压轴题.试题蕴含了“洛必达法则”(中值定理的极限形式)、等价无穷小、麦克劳林展开式等高等数学的知识点.此题依然可以通过初等数学的方法进行解答,但解答过程相对繁琐•可见高考数学创新型试题常以高等数学初等化的策略来命制.2.2竞赛数学试题改编策略竞赛数学作为一种竞赛的形式存在，对选拔热爱数学学科和具备数学创新意识的考生具有重要的价值和意义•竞赛数学属于中等数学的内容，试题难度往往要比高考数学试题的难度高，高考数学试题命制者将竞赛数学试题通过“技术化”处理,降低试题原本难度作为高考数学试题使用.通过竞赛数学改编的试题通常出现在压轴题(压轴题分为:选择题、填空题和大题压轴题)中.通过这种方式命制的高考数学试题,具备一定的挑战性和综合性，能够有效地考查考生基础知识功底.以竞赛数学试题改编策略命制的高考数学试题，不仅形式新颖，而且还具备考查考生数学创新意识的功能和作用.例2(2017年全国理科I卷第H题)设x,y,z 为正数，且2*=3—5'侧().A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z解析经观察注意到选项的结构和特征,所有选项都是关于2%,3y,5z的大小关系排序,故假设2*=3, =5'=w,对等式同时取对数有x\n2=yln3=zln5=显然利用导数可得函数/(%)=总在xe(O,e)±单调递减，在％e(e,+8)上单调递增.又因为2x=/(4)lnw,3y=/(3)lnw,5z=/(5)lnw,且有不等式e<3<4<5成立，所以3y<2x<5z.故选D.评注该试题是由竞赛试题改编而成，竞赛试题为：已知a,6为正实数，且b>a,试比较/与6"的大小关系.此问题直接利用特殊值代入计算是比较繁琐的,且不容易判断，如何比较大小呢？可以先假设6。

例谈研究高考数学试题的几种视角

巧妙简捷的巧法，这既能培养学生学习的兴趣，又能培养学生思维的发散性、选择性、灵活性、深刻性，还
能培养学生的数学探究意识．
本题第（Ｉ）问要求曲线Ｃ的方程，注意到点Ａ
在圆．２８＋ｙ。＝＝＝ｌ上运动，点Ａ的运动引起点Ｍ的运

（工）若直线ＰＡ平分线段ＭＮ，求ｋ的值；
（ＩＩ）当ｋ一２时，求点Ｐ到直线ＡＢ的距离ｄ；
立意是试题的考查目的．高考数学试题的命制一般以立意为中心，以能力立意命题就是首先确定试题
在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，
选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式．能力立意的试题以基础知识、基本技能和基本数学思想方法
和两个参数（即仇和走）之间相互制约，两问有机衔接，既反映了有心二次曲线间的轨迹相关性，又体现着曲线间的动静相宜，主要考查曲线与方程、椭圆的
Ｐ，还是斜率尼尸ｏ、ｋ，都涉及Ｐ、Ｑ和Ｈ三点的坐标，均有两种运算途径：一是通过直线方程与椭圆方程联立求出点的坐标；二是避求交点，设而不求，整体转化．第一种途径朴实自然，但运算量大，第二种途径
间的关系，并由点Ａ的坐标所满足的方程得到点Ｍ的坐标所满足的方程，这是解析几何中求点的轨迹方程常用的一种方法—— 相关点法．本题第（ＩＩ）问要判断是否存在，使得对任意的

基于课程标准，体现核心素养——新高考备考中试题的命制尝试与思考

基于课程标准，体现核心素养——新高考备考中试题的命制尝试与思考发布时间：2022-03-21T14:40:54.726Z 来源：《比较教育研究》2022年3月作者：陈荣芬[导读] 《普通高中数学课程标准（2017年版）》确定了数学学科六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，新高考功能从能力立意向素养导向转变，为了适应这种转变，笔者在学校举行的命题大赛中进行了基于课程标准，体现学科核心素养的试题命制尝试，分别命制了图形情景、开放性问题、多知识点融合试题，考查了直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养，并就这次命题进行了一些思考。

陈荣芬佛山市三水区三水中学【摘要】《普通高中数学课程标准（2017年版）》确定了数学学科六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，新高考功能从能力立意向素养导向转变，为了适应这种转变，笔者在学校举行的命题大赛中进行了基于课程标准，体现学科核心素养的试题命制尝试，分别命制了图形情景、开放性问题、多知识点融合试题，考查了直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养，并就这次命题进行了一些思考。

【关键词】课程标准核心素养命制中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7668（2022）3-200-02数学课程目标的一个集中体现就是数学学科素养的体现，数学学科素养具体是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这六大核心素养是一个有机整体，数学学科素养的体现之一表现在学生的数学思维，解题能力是数学思维的体现，训练试题的质量影响解题能力的提高，所以对于师者而言，所命试题的质量就显得尤为重要。

2020年新高考试题在命制中对数学核心素养的考查以数学知识为载体，以数学思想为引领，注重层次性和综合性，从能力立意向素养导向转变。

为了适应这样的转变，笔者在学校举行的命题大赛中进行了基于课程标准，体现学科核心素养的试题命制尝试，并做了一点思考。

漫谈高中数学原创试题的命制

２
，
样性做了有益尝试，得到了３种不同的解法。
案例２用排除法寻找原创空间。
知ｓ一（）：＝：｛ｎ：＋丢ａｎ＋丢（等差数列均
上ｑ
在命制某一类问题时，若要使命制的试题在题材和内容上具有一定新意，则必须对该类问题做一次梳理，目的是为找出从未考过的题材和内容，进而寻找新的命题空间。下面是笔者为海安县２０１６届高三期中调研测试命制的一道函数题，命题时主要考虑结合特殊与一般的思想，并借助 “ 几何画板 ” 编题。选材：选材为幂函数、指数函数和对数函数。主要考查函数与方程（不等式）、分类与整合思想。通过
定稿：设无穷数列｛口）的各项均为正数，前，ｚ项和为Ｓ。当 ≥２时，Ｓ一１一ｔａ：－ｋａ一１（忌，ｔ ∈Ｒ）。
１１
案例１利用知识间的内在联系命制原创题。学科知识间有着许多内在的联系。利用各知识
１
列符合题设。通过探究，公比ｑ：＝＝ｎ＋１，ｋ一一÷
ｕ１
（口＞Ｏ），从而最＜Ｏ。同时，就第（２）问求解方法的多
命制一道数列综合题。
初稿：由等差数列口一２ｎ一１的前项和Ｓ一
决定将“ Ｃ一÷” 改为“ Ｃ一一１ ” ，此时，解答过程需要

高考数学创新型试题的六种类型及评析

高考数学创新型试题的六种类型及评析数学是培养创新能力的重要途径.数学是研究数量关系和空间形式的学科，是思维的学科，对培养人的思辨能力、科学精神等方面有着重要的作用，而思辨能力和科学精神正是发展学生创造力的必备要素.数学中充满了创造，整个数学史就是一部创造史，可以说，没有创造就没有数学．[1]因此，数学对培养人的理性思维和创新能力具有巨大作用,正如《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下文简称《课程标准》)所说“要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用.”[1]数学教育与创新密切相关.《课程标准》把“创新意识”确定为数学教学的十大核心概念之一，强调“创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.”[2]《普通高中数学课程标准（2017年版）》(下文简称《标准》)指出：数学教育承载着培养学生创新意识的任务，要促进学生实践能力和创新意识的发展.[3] 创新意识表现为：对新颖的信息、情境的设问，能选择有效的方法和手段分析、处理信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，并创造性地解决问题.[4]创新作为第一动力，高考命题也应体现这一导向.[5]高校要选拔具有创新潜质的人才，高考数学必须重视对学生创新意识的考查.[5]创新成为了历年高考新的热点和亮点.高考命题创新体现在四个方面：试题题型创新，试题内容创新、命题理念创新和问题解答方法创新.[5]由此，高考创新型试题成为评价学生创新能力的重要题型.所谓高考创新型试题是指从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查的试题.[6]本文重点评析近年高考创新型试题的六大类型：立德树人型、趣味逻辑型、公式证明型、问题推广型、高等背景型、活动经验型.一、立德树人型立德树人,简言之,即建立德行,为后人树立榜样,培养人才.党的十九大报告明确提出“落实立德树人根本任务.”在教育部制定的落实立德树人根本任务的配套文件《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中指出：“全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，加强社会主义核心价值体系教育，完善中华优秀传统文化教育，形成爱学习、爱劳动、爱祖国活动的有效形式和长效机制，增强学生社会责任感、创新精神、实践能力.”[1]数学教育应该而且可以发挥“数学教学具有的德育功能”.[6]通过德育渗透，培养人，塑造人.近年高考命题坚持立德树人的基本导向，命制了一系列立德树人型试题，意在通过德育渗透，培养学生良好的道德品行,可谓是高考命题中的独特创新.评析：本例以哥德巴赫猜想为载体，既凸显了我国在哥德巴赫猜想研究上的领先地位，更对普及数学家陈景润积极研究世界性难题并取得了巨大成就的故事有积极意义，这对育人有益：一方面，可以弘扬中华优秀文化，增强文化自信；另一方面，可以培养学生的爱国主义情怀，增强学生社会责任感，引导学生形成正确的世界观、人生观、价值观.本例借助数学文化，增强文化浸润，体现育人导向，育人于无声无息之中.二、趣味逻辑型《现代汉语词典》对逻辑的解释是思维的规律.《辞海》对逻辑的解释是研究思维形式及其规律的科学.逻辑是创造的起点.趣味逻辑型试题是指含有有趣情境、考查学生逻辑知识的试题.趣味逻辑型试题为考生营造轻松的氛围，给人的印象是推理有趣、推理好玩，推理的过程思维量大，思维品质要求高，但几乎不需要算，趣味逻辑涉及到的推理一般具有趣味性、逻辑性、思考性、挑战性和智慧性.[8]此类试题主要考查学生阅读能力、抽象能力和推理能力：阅读提取有用信息——抽象成图表或条件推理关系——推理得到结论.解答趣味逻辑型试题的常见方法有：代入法、假设法、排除法、找突破口法、图表法等等.试题涉及的常见题型有：真假型、排序型、匹配型等.趣味逻辑型试题是高考数学命题的一种创新,既为考生紧张的状态开辟了休憩的驿站，也拓宽了考生的视野，还让考生真切感受到逻辑就在身边，逻辑离我们的生活是那么近.例2（2017年全国II卷理科第7题）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说:你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩评析:本例为趣味逻辑型试题的经典案例：以学生询问成绩为素材，展示的情景贴近生活实际，与儿时的脑筋急转弯问题有较大的相似之处，呈现一定的趣味性和推理性，这在一定程度上使考生紧张的情绪得到放松，体现了命题者对考生的人文关怀.同时，老师和学生的对话看似平淡，实则蕴含思辩性和逻辑性，对学生的逻辑思维、推理能力等有所考查.三、公式证明型公式证明型试题是指直接将教材中公式证明设置为高考试题.该类试题是命题形式上的一大创新，旨在引导中学数学教学回归教材、重视教材.近20年来，2010年四川卷首次开发公式证明型试题，当然开发的过程中也经受了勇气和信心得考验.据四川命题组消息称，2010年四川卷命制公式证明型试题时引发了命题者们的激烈争论：绝大部分命题者认为命制公式证明型试题是命题创新，值得提倡；部分命题者认为此类题型从未考过（近20年未考过），不利于高考命题的稳定，经过激烈的辩论，最后还是决定选用公式证明型试题，但略有变化的是设置为两个小题：第一问证明公式，第二问设置为公式的应用.我们揣测，这样的设置是对该题型的一种试探与尝试.实践表明，公式证明型试题是一种成功的创新型试题，值得坚持，这从2011年高考陕西卷文理科第18题考“叙述并证明余弦定理.”、2012年高考陕西卷理科第18题考“三垂线定理及逆定理的证明”、2013年高考陕西卷理科第18题考“等比数列前m项和公式的推导”可以得到印证.评析: 本例要求证明教材中的两角和的正余弦公式，属于命题形式上的创新.这打破了一直以来不考书上命题、公式、法则等证明的命题模式.实际上，试题本身并不难，但这一“首发效应”使得许多考生手足无措，据阅卷场反馈的信息来看，2010年四川近50万考生仅有70人左右得满分，这让我们深刻反思教学中对教材的忽视，无疑对死记硬背、机械模仿的学习方式敲响了警钟.对改变教学活动重心，引导教学回归教材、关注知识的形成过程、发展过程、理解与内化过程有导向作用.从教学导向这一层面可以充分看出开发公式证明型试题的价值所在.四、问题推广型数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立，此外，也指对条件、结论进行结构分析以后，进行适当变化，使得到的新命题为真.[9]张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广.数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题.”[10]问题推广型试题是指将已有问题的条件或结论推广到更一般情形的试题.从定义上看，问题推广型试题显然是一种典型的创新型试题.创新体现在两个方面：一是试题设置上打破了传统解答（或证明）已知问题的模式，二是推广的过程就是创新的过程.命题推广型试题有利于培养学生的问题意识，这对认识问题的本质有益、对培养学生完善的认知结构有利.同时，有利于学生体会研究的一般思路：研究特殊问题→提出一般问题→解决新问题.评析:本例第（Ⅲ）问打破了传统证明已知结论的模式，需要学生先提出猜想再证明，这在2012年前的高考命题和平常的模拟训练中几乎没有涉及，是一类典型的结论开放型试题，呈现高度的创新性.解答时，首先需要学生根据（Ⅱ）条件中变元的个数、非负性、和的特殊性及结论中变元的位置、运算的变化（幂的积到积的和），初步判断变元个数、变元和的值对结论的影响，进而模仿已有结论猜想更一般的命题，这对培养学生观察能力和提问意识尤为重要；其次，学生需要证明猜想的正确性，这一过程学生往往需要将已有特殊情形的证明方法迁移到一般的情形中，这对学生的迁移能力要求较高.总之，解答问题推广型试题的充满了创造的成分.无独有偶，2012福建卷理科17题要求学生将五个特殊的三角式子推广为三角恒等式并证明.特别指出，尽管2013年到2018年的高考命题中没有命制问题推广型试题，但是我们认为该题型必将成为未来高考命题创新点的焦点.五、高等背景型高等背景型试题是指以高等数学知识、方法和问题为素材命制的试题.该类试题的创新体现在三个方面：一是命题素材创新，即拓宽了命题素材选取范围，打破了源于教材的传统；二是试题背景创新，即试题含有丰富的高等数学背景；三是解答方法创新，即可用初等方法，也可以运用高等数学知识解答.实践表明，高等背景型试题具有积极作用：凸显能力立意的命题原则；强化中学数学与高数知识间的衔接；展示新颖的数学背景；丰富试题的内涵；拓宽试题解法；考查学生创新能力和创新意识.[11] 该类试题为学生个性发展、超前学习、创新创造提供了更为广阔的空间.是基于高等背景反向构造而来，具体设置过程可以参见文[5]，这一过程充分展示了高等知识在命题中的指导性；二是解答层面，运用初等解法解答本例涉及多次构造，相当困难，高等解法体现了试题解答的多样性和创造性.据悉，某省理科近30万考生运用初等解法得满分的学生几乎没有，而运用高等解法得满分的学生不到20人，这表明高等背景型试题为学有余力的学生提供了创新、创造的空间.顺便指出，高考中高等背景型试题很多，比如：2018年全国Ⅰ卷理科21题以拉格朗日中值定理为背景，2017年全国Ⅲ卷理科21题以级数为背景；2016年四川卷理科21题以洛必达法则为背景，等等.六、活动经验型《课程标准》将“双基”扩展为“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.[2]《标准》明确指出：“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”[3]其中，基本活动经验是指数学基本活动经验，是学生在经历数学活动的过程中获得的数学体验和心理认知，既包含数学活动中获得的一般学科方法经验，也包含学生通过自我思考积累的个体感受.[12]具体来讲，基本数学活动经验包括基本的数学操作经验；基本的数学思维活动经验（归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，几何推理的经验等）；发现问题、提出问题、解决问题的经验.[13]基本数学活动经验具有个体性、情境性、内隐性、过程性、动态性、客观性、综合性、社会性等特征.[14]活动经验型试题是指以考查数学活动经验立意的试题.此类试题不仅是对传统命题考查“双基”这一定势的发展，而且对学生积累数学活动经验有导向功能.创新型试题作为高考的一种重要题型，在人才选拔、立德树人、思维发展、教学导向等方面具有积极功能.因此，我们相信在未来的高考命题中会开发更多类型的创新型试题.参考文献[1]赵思林，王婷.立德树人—高考数学命题的新亮点[J].数学通报，2017（4）：39—43.[2]中华人民共和国教育部制定.《义务教育数学课程标准（2011年版）》[S].北京：人民教育出版社，2011.[3]中华人民共和国教育部制定.《普通高中数学课程标准（2017年版）》[S].北京：人民教育出版社，2017.[4]赵思林.高考数学创新型试题的几种类型[J].高中数学教与学（人大复印),2009(5):38-40.[5]胡琳，刘成龙.2018年高考命题创新的四个视角[J].中学数学，2018,9:15—19.[6]教育部考试中心.2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明:理科[M].北京:高等教育出版社,2017:206-276.[7]张奠宙,宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社,2004.[8]李雪梅,赵思林.高考趣味逻辑性试题的几种常用解法[J].中学数学,2018（3）:95—98.[9]郑隆昕.数学推广的类型与思想方法[J].武汉教育学院学报，1999,18（3）:5—10.[10]朱华伟,张景中.论推广[J].数学通报，2005（4）:55—57.[11]刘成龙,余小芬.高等数学背景下高考命题的问题及建议[J].中国数学教育，2017（11）:53—56.[12]孔德鹏，端木彦.基于数学基本活动经验教学设计的整体分析—以“随机事件及其概率”为例[J].中国数学教育，2017（20）：2—5.[13]徐斌艳.面向基本数学活动经验的教学设计[J].中学数学月刊，2011（2）：1—4.[14]马文杰、鲍建生.论“数学活动经验”的基本特征[J].数学通报，2013（9）：7—10.[15]余小芬,孙虹,刘成龙.2017高考数学全国卷Ⅲ理科21题的多角度分析[J].理科考试研究，2018(7):2-6.。

高考数学创新题型思维方法归纳

高考数学创新题型思维方法归纳随着教育教学的不断发展，高考数学已经不再是以前简单的机械计算和应用知识的能力测试，而是更加强调学生的综合运用能力，尤其是创新能力。

因此高考数学的创新题型成为考生备考必须掌握的。

本文旨在通过归纳总结高考数学创新题型的思维方法，为考生提供帮助。

一、立体几何题型（1）立体几何问题一般都需要运用三角函数、平面几何等知识，要注意模型建立的准确性和问题求解的全面性。

同学们需要学会正确选择坐标系和投影面，并掌握空间图形的相似、全等和平移、旋转的运动规律。

（2）在解决立体几何问题时，学生需要重视优化设计的思想。

如何使得所求答案最小值或最大值，需要合理确定参数和变量。

二、概率论题型高考概率题一般是基于随机事件发展的统计学的应用，考察能力主要是如何利用已知的数据和规律进行计算，并在易错步骤上注重细节。

概率论的基本概念、公式和运算法则一定要牢固掌握，接着可以通过练习，结合题目，不断加强分析能力和计算能力的执行。

对于重中之重的计算，需要在算法上打好基础，使用求和、综合、分散度和齐次等基本方法。

同时还需要掌握离差平方和的性质，运用频数分布表转化式子的技巧和运算，以及利用明显的几何图形简化计算过程的思路。

三、函数题型函数题是高考数学题型中的重头戏之一，既是中考和高考的重点，也是考生比较难以掌握的部分。

因此，在备考中，应注重从以下几个方面进行练习：（1）理论知识的掌握：对于函数的性质、基本型、反函数、导数、极值点等，需要逐一进行学习，掌握细节。

（2）分析题目：学生需要仔细分析和理解题目，知道如何转化问题为数学公式或方程式，了解形状和规律，然后解决问题。

（3）解题思路：解决函数题的关键在于建立对数据的理解和计算规律的掌握，要全面考虑影响因素，选择正确的方法和技巧，进行逐步求解。

四、复合几何情形问题复合几何情形下的问题难度比较大，但可以采用分步解决的方法。

首先，把各个小问题提取出来，分析它们之间的关系；接着，根据各个小问题的结果，合理决定整体的求解方案，最终得出答案。

数学高考数学创新题的几个命题方向

高考数学创新题的几个命题方向在近几年各省市的高考试卷中都有几个创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则，具体来说，创新题有哪些命题方向呢？下面我们通过高考题或模拟题做个归类分析．创新题命题方向之一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的，【例1】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为),2,1,0}(1,0{,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中⊕=00a h ⊕⊕=,,2011a h h a 运算规则为：,000=⊕,110=⊕,101=⊕,011=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011 【解析】按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．我们知道，传输信息之间的三个数是原信息，C 选项原信息为011，则,1100=⊕=h ,011201=⊕=⊕=a h h 所以应该接收信息10110．故选C ．【点评】在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．【例2】已知函数,)2(2)(22a x a x x f ++-=--+-=x a x x g )2(2)(2.82+a 设)},(),(m ax {)(1x g x f x H =)},(),(m in{)(2x g x f x H =(max },{q p 表示q p ,中的较大者，min },{q p 表示q p ,中的较小值），记)(1x H 得最小值为)(,2x H A 得最大值为,B 则=-B A ( )A ．1622--a aB ．1622-+a aC ．16-D ．16【解析】)(x f 顶点坐标为,2(+a ),44--a )(x g 顶点坐标+--a a 4,2(),12并且每个函数顶点都在另一个函数的图像上，如下图所示，B A 、分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以.16)124()44(-=+----=-a a B A 选C ．【点评】深刻理解新概念是解题的关键，画出图像为我们的理解起到了举足轻重的作用，另外找到顶点的特征为解题找到了突破口，还要注意A ，B 并非在同一个自变量取得. 针对性练习：设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：}|)({)(S x x f T i ∈=；)(ii 对任意,,21S x x ∈ 当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．NB N A ==*, B ．},31|{≤≤-=x x A }1008|{≤<-==x x x B 或C ．R B x x A =<<=},10|{D ．Q B Z A ==,【解析】根据题意可知，令,1)(-=x x f 则A 选项正确；令⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤<-+=)1(,8)31(,2525)(x x x x f 则B 选项正确；令),21(tan )(-=x x f π则C 选项正确．故答案为D ．创新题命题方向之二：类比型给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的，类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导考生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三、触类旁通的应变能力.【例3】先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知,,21R a a ∈,121=+a a 求证.212221≥+a a 证明：构造函数,)()()(2221a x a x x f -+-=.22)(22)(222122221212a a x x a a x a a x x f ++-=+++-= 因为对一切,R x ∈恒,0)(≥x f 所以,0)(842221≤+-=∆a a 从而得⋅≥+212221a a (1)若,,,21Λa a ,R a n ∈,121=+++n a a a Λ请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【解析】这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．(1)若,1,,,,2121=+++∈n n a a a R a a a ΛΛ 求证：na a a n 122221≥++Λ. (2)证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=Λ因为对一切,R x ∈都有,0)(≥x f 所以22121(44n a a a n +++-=∆Λ,0)≤从而证得：na a a n 122221≥+++Λ【点评】对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：=)(x f ,)()()(2222211n n b x a b x a b x a -++-+-Λ由,0)(≥x f得,0≤∆就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明，构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.【例4】当,R x ∈1||<x 时，有如下表达式：=+++++ΛΛn x x x 21⋅-x11两边同时积分得：=+++++⎰⎰⎰⎰ΛΛ21021022102101dx x dx x xdx dx n.1121dx x⎰- 从而得到如下等式：11)21(31)21(2121132+++⨯+⨯+⨯n Λ.2ln )21(1=+⨯+Λn 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯+++⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C Λ_____. 【解析】材料中是从一个原有的等式，对其等号两边同时积分得到一个新的等式，因此，要解决题中所给的问题，要先找到一个等式，使其等号两边积分后与题中所给的式子尽可能的相关，在这个过程中，观察和联想很重要．从题中观察到，+⨯210nC ⨯+⨯22131)21(21n n C C =⨯++++13)21(11)21(n n n C n Λ____和+⨯211.2ln )21(11)21(31)21(21132=+⨯+++⨯+⨯+ΛΛn n 等号左边的式子相比，只多了个系数,inC 再从式子的整体结构和各项中，联想到二项展开式,)1(12210n n n n n n nx x C x C x C C +=+++++ΛΛ对其等号两边同时积分，即得：由10n Cnnn nnnx x C x C x C )1(221+=+++++ΛΛ两边同时积分得：22102210121001x C xdx C dx C n nn⎰⎰⎰++=+++⎰ (21)dx x C dx nn n.)1(210⎰+d x n 从而得到如下等式：+⨯+⨯210)21(2121n nC C 231n C 【点评】问题的材料本身就很有创新，我们要根据材料提供的方法应用到新问题中，这对我们是个考验，怎么运用呢？联想到我们熟知的等式：++++Λ22101x C x C C n n n nn n x Cn x )1(+=+Λ是解题的关键．针对性练习：在数学解题中，常会碰到形如“xyyx ++1”的结构，这时可类比正切的和角公式，如：设b a ,是非零实数，且满足,158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a 则=a b ( )A ．4B ．15C ．2D ．3【解析】首先条件等式化成形如“xyyx -+1”的结构，然后利用两角和的正切公式来解题，将条件左式变形，得,5tan 15tan5sin 5cos 5cos5sinab a bb a b a ⋅-+=-+ππππππ联想两角和的正切公式，设,tan a b =θ则有=+)5tan(θπ,158tan 5tan 15tanπππ=⋅-+ab a b则,1585ππθπ+=+k 解得∈+=k k (3ππθ),Z 于是,3)3tan(=+=ππk a b 答案选D ．创新题命题方向之三：高等数学与初等数学的衔接型将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点.【例5】定义如下运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm m m m n n n xx x x xx x x xx x x x x x x ΛΛΛΛ321333323122322211131211....................⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n n n kk k yy y y yy y y yy y y y y y y ΛΛΛΛ321333323122322211131211.....................=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mk m m m k k k zz z z yz z z yz z z y z z z ΛΛΛΛ321333323122322211131211..................., 其中*).,,1,1(332211N j i n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ∈≤≤≤≤++++=-Λ现有2n 个正数的数表A排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，*),N j i ∈ln 131211a a a a Λ,n a a a a 2232221Λ,n a a a a 3333231Λ,..............，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成nn n n n a a a a Λ321等比数列，且各个等比数列的公比相同，若,124=a ,8142=a =43a ⋅163求ij a 的表达式（用j i ,表示）．【解析】本题数列中的每一项都有两个下标，在}{ij a 中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出ij a 的表达式．每一行的数成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列．,2444243a a a +=∴,4144=∴a 又每一列的数成等比数列，故,22444q a a = ,124=a Θ,412=∴q 且,0>n a ⋅=∴21q【点评】新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该题型是高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界．针对性练习：定义},,,max {21n s s s Λ表示实数n s s s ,,,21Λ中的最大者．设),,,(321a a a A ==B ,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bb b记},,m ax {332211b a b a b a B A =⊗, 设,1(-=x A ),1,1+x =B ,|1|21⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--x x 若,1-=⊗x B A 则x 的取值范围为( )A ．]1,31[-B ．]21,1[+C ．]1,21[-D ．]31,1[+【解析】由定义知：|}1|),2)(1(,1{},,{332211--+-=x x x x b a b a b a 若,1-=⊗x B A 则⎩⎨⎧-≥--+≥-|,1|1),2)(1(1x x x x x 解得.211+≤≤x 选B ．创新题命题方向之四：信息迁移型信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．【例6】已知数列}{n a 中．)1(211-++=n a a n 且,,(*R a N n ∈∈)0=/a .(1)若,7-=a 求数列}{n a 中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当7-=a 时，,1921+-=n a n 令,1921)(+-=x x f 则函数)(x f 在)29,(-∞和),29(+∞上单调递减，画出图像知}{n a 的最大项为,25=a 最小项为.04=a(2)对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，即}{n a 的最大项是第6项，因为+=1n a22211)1(21a n n a --+=-+，所以要保证}{n a 的最大项是第6项，只需满足,6225<-<a 解得).8,10(--∈a【点评】,1921+-=n a n 1921)(+-=x x f 一个是数列，一个是函数，他们有联系，也有区别，适时转换（信息迁移）——转化为一次分式函数，并利用一次分式函数的图像和性质是解答本题的关键．针对性练习：规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文,a z c b ,,,Λ的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个正整数，见表格：a b c d e f g h i j k l m1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13n o p q r s t u v w x y z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26并给你一个变换公式：='x ，为偶数为奇数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈),261,(132),261,(2x x N x x x x N x 将明文转换成密文，若,1713288=+→则h 变为→8;q ,132125=+ 则y 变成m ，按上述规定，若将某明文译成的密文是,shxc 你能否得出原来的明文？【解析】字母s 在密码表中对应的数字是19．或，1921=+x 则,37=x 但原明文中只对应26个整数，从而,19132=+x 所以=x ,12 因此s 的明文是l ．同理可求.,e c v o h →→→因此shxc 的明文是love .创新题命题方向之五：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题，【例7】已知射线OP ，作出点M 使得,3π=∠POM 且,8||=OM 若射线OP 上一点N 能使得MN 与ON 的长度均为整数，则称N 是“同心圆梦点”. 请问射线OP 上的同心圆梦点共有________个．【解析】如图，过点M 作.OP MH ⊥ 因为,3π=∠POM 且,8||=OM 所以,4||=OH ,34||=MH 设,||a MB =n m b HB ,(||=是正整数)．显然，在MHB Rt ∆中，有 ,)34(222=-b a 即))((b a b a -+.48=因为b a +与b a -同奇偶，所以48的分解只能取下列三种：,6841222448⨯=⨯=⨯=得)1,7(),4,8(),11,13(),(=b a 时就对应有三个同心圆梦点.,,321B B B 另外，易知点3B 关于直线MH 对称的点4B 也是符合题意，故射线OP 上的同心圆梦点共有4个．【点评】本题以三角形边长为整数为背景来命题，考查考生对有关数论综合分析能力，以MN 与ON 的长度均为整数为突破口来寻找点N ，将本题转化为列方程求整数解的个数问题．针对性练习：已知定理：“若b a ,为常数，)(x g 满足,2)()(b x a g x a g =-++ 则)(x g y =函数的图像关于点),(b a 中心对称”，设函数=)(x f ,1xa ax --+定义域为A ． (1)试证明)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)当]1,2[--∈a a x 时，求证：]0,21[)(-∈x f ；(3)对于给定的,A x i ∈ 设计构造过程：),(),(2312x f x x f x == ).(,1n n x f x =+Λ如果 ),,3,2(Λ=∈i A x i 构造过程将继续下去；如果,A x i ∉构造过程将停止．若对任意,A x i ∈构造过程可以无限进行下去，求a 的值. 【解析】(1),11)(axx f +-=Θ 由已知定理得，)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)首先证明)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，为此只要证明)(x f 在),(a -∞上是增函数．设,21a x x <<<∞- 则=-)()(21x f x f ,0))((11212121<---=---x a x a x x x a x a )(x f ∴在),(a -∞上是增函数．再由)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，得当]1,2[--∈a a x 时，)],1(),2([)(--∈a f a f x f 即]0,21[)(-∈x f(3)∵构造过程可以无限进行下去，又)(x f 的定义域为R x ∈且,a x =/a xa ax x f =/--+=∴1)(对任意A x ∈恒成立，∴方程a xa ax =--+1无解，即方程1)1(2-+=+a a x a 无解或有唯一解,a x = ，⎩⎨⎧=/-+=+∴01012a a a 或，⎪⎩⎪⎨⎧=--+=/+a a a a a 11012由此得到.1-=a 另外，知识迁移型也是创新的一个方向．总之，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，是训练和考查考生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型．它与新课标要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想．要求考生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘创新试题的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决. 【练练手】1．定义：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上存在),(00b x a x << 满足,)()()(0ab a f b f x f --=则称0x 是函数)(x f y =在区间],[b a 上的一个均值点，已知函数1)(2++-=mx x x f 在区间]1,1[-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________.2．设)(x f y =为区间]1,0[上的连续函数，且恒有)(0x f ≤,1≤可以用随机模拟方法近似计算积分,)(10dx x f ⎰先产生两组（每组N 个）区间]1,0[上的均匀随机数N x x x ,,21Λ和,,21Λy y ,N y 由此得到N 个点),,,2,1)(,(N i y x i i Λ=在数出其中满足≤i y =i x f i )((()),,2,1N Λ的点数,1N 那么由随机模拟方法可得积分dx x f )(1⎰的近似值为________.3．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数b a 、满足=⋅)(b a f )(b af),(a bf +,2)2(=f *),()2(N n nf a n n ∈=有以下结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n a 为等比数列；④数列}{n b 为等差数列．其中正确结论的序号是________.4．已知集合},,,,,{321n a a a a A Λ=其中>≤≤∈n n i R a i ,1()(),2A l 表示和)1(n j i a a j i ≤≤≤+ 中所有不同值的个数．(1)设集合},8,6,4,2{=P },16,8,4,2{=Q 分别求)(P l 和l );(Q(2)若集合},2,,8,4,2{n A Λ= 求证：2)1()(-=n n A l ； (3))(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案1．解析：本题等价于m mx x =++-12在)1,1(-∈x 有解，所以)2,0(1∈+=x m .2．解析：由题意知本题是求,)(10dx x f ⎰而它的几何意义是函数)(x f （其中1)(0≤≤x f ）的图像与x 轴、直线0=x 和直线=x 1所围成图形的面积，均匀随机数所产生的点有N 个，也就是落在正方形1,0,1,0====y y x x 区域上的点有N 个，而满足≤1y )),,2,1)(((N i x f i Λ=的点数有1N 个，相当于正方形,1,0==x x ,0=y1=y 区域上的围成的面积为N ，图像)(x y =与直线0=x 和直线1=x 及x 轴所围成图形的面积为,1N 所以≈N N 11)(10⎰dxx f 即⋅≈⎰NN dx x f 110)( 3．解析：因为,,R b a ∈∀),()()(a bf b af b a f +=⋅ ∴取==b a ,1,1得,0)1(=f 取,2=a,2=b 得,8)2(4)4(==f f 取,2,0==b a 得)0(f ),0(2f =,0)0(=∴f 取,2-=a ,2-=b 得)2(4)4(--=f f ，)2(-∴f ,2-=取,2,21-==n b a 得)2(2)2(1-=n n f f ∴+=+--,2)2(2)2(211nn n f f )1(12)2(2)2(11ΛΛ+=--n n n n f f ，由*),()2(N n n f a n n ∈= 得,)2(n n na f =代入(1)，得112)1(2---=n n n n a n na ,1+,2)2(1==f a Θ,2n na n n =∴ .2n n a =∴ 答案：①③④．4．解析：(1)由=+=+=+=+=+84,1064,1082,862,642,1486,12=+ 得.5)(=P l由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得.6)(=Q l(2)因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值，所以2)1()(-≤n n A l ，又集合},2,,8,4,2{n A Λ= 任取≤≤<≤++1,1(,(n j i a a a a l k j i ),n l k ≤<当l j =/时，不妨设,l j < 则,221l k i j j j i a a a a a a +<≤=<++即.l k j i a a a a +≠+当k i l j =/=,时，l k j i a a a a +≠+，因此，当且仅当l j k i ==,时，l k j i a a a a +=+ 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，所以⋅-=2)1()(n n A l (3))(A l 存在最小值，且最小值为.32-n 不妨设<<<321a a a ,n a <Λ 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-ΛΛ 所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即)(A l .32-≥n 事实上，设n a a a a ,,,,321Λ成等差数列，考虑),1(n j i a a j i ≤<≤+根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+因此每个和),1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n i 中的一个．所以对这样的,32)(,-=n A l A所以)(A l 的最小值为.32-n。

高中数学试题的命制

某大型企业的日用电量 y （单位：万千瓦时）关于时间 t （ 0 t 24 ，单位：小时）的函数 y f (t ) 近似地满足 f (t ) A sin(t ) B( A 0,0 ) ，下图是该企业某日在 0 点至 12 点时间段用电量与时间的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求 A 、、、 B 的值；（Ⅱ）在某日因某种原因，供电量 g (t ) （万千瓦时）与时间 t （小时）近似满足函数关系式 g (t ) 1.5t 20 ．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时间？（精确度 0.1，结果用小数表示）参考数据:
内容提纲
一、高质量试卷的标准二、数学试题命制技术
三、试题命制的实践四、几点建议
一、高质量试卷的标准
较高效度
较高信度
高质量试卷
合理区分度
适当难度
一、高质量试卷的标准
1、信度
试卷的信度是表示试卷作为测试工具的可靠程度的指标.试卷的信度高说明考生分数不易受偶然因素的影响,考生分数可以比较真实地反映考生的实际水平。影响试卷信度的因素有: ①试题的难度. ②题目的数量. ③题目用语的准确性.
一、高质量试卷的标准
2、效度
试卷的效度是衡量考试结果与预定要达到的考试目标相符合的程度,效度反映了试卷的有效程度. 提高试卷的效度要注意三个方面的问题: 一是考试的目标要明确二是试题的设计要有效地体现考试目标三是试卷的要求与《数学课程标准》的要求要一致
一、高质量试卷的标准
3、难度
难度是指试题或试卷的难易程度,是试题或试卷考查学生知识和能力水平适合程度的指标.
三、数学试题命制的实践

高考数学创新型试题的几种类型

解题篇创新题追根溯源高考数学2018年9月高考数学创新型试题的几种类型■河南省信阳高级中学陈荣军高校要选拔具有创新潜质的人才，高考数学必须重视对学生创新意识的考查。

考生的创新意识表现为：对新颖的信息、情境的设问，能选择有效的方法和手段分析、处理信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，并创造性地解决问题。

近几年来，在全国及各省市的各套高考数学试卷中出现了一些创新型试题，这些试题主要类型有直觉思维型、学习迁移型、实际应用型等。

本文拟对高考数学创新型试题的类型作一些分析。

一、直觉思维型直觉思维是指个体以已有的知识经验为基础，无须逻辑推理，对突然出现的新问题和新现象，能迅速理解并作出判断的思维方式。

直觉思维可以帮助同学们洞察数学本质、猜想数学结论、发现数学规律等。

直觉思维是快速解答一些高考数学试题的利器。

鉴于直觉思维的重要作用，在高考数学试题的命制中，很自然地要考查同学们的直觉思维。

直觉思维型的试题主要有整体观察型、直觉判断型、类比联想型、归纳猜想型、极限洞察型等。

例 1 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图1所示。

学们的空间想象能力及直觉思维能力。

通过整体观察，不需具体计算，进行直觉思维，对问题作出迅速、准确的直觉判断。

因为各酒杯杯口半径相等，即上底面积相等。

内空高度相等，且饮去上部一半，故下部越细，剩余酒高度越高，所以有。

故选八。

跟踪练习1小明在如图2所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为K s)，他与教练间的距离为y(m)，表示^与i的函数关系的图像大致如图3所示，则这个固定位置可能是图2中的（）。

图2图3八.点M匕点〜C.点P D点Q解析：分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图像进行判断，利用排除法即可得出答案。

高考数学模拟试卷的命制

高考数学模拟试卷的命制为了帮助学生更好地应对高考数学考试，模拟试卷成为了一种重要的辅助工具。

本文将探讨高考数学模拟试卷的命制，包括试卷结构、题型设计以及难度控制等方面。

一、试卷结构设计1.整体结构高考数学模拟试卷的整体结构应该与真实的高考数学试卷保持一致，包括选择题、填空题、解答题等部分。

这样可以更好地帮助考生熟悉真实考试情景，提高应考能力。

2.题目数量模拟试卷的题目数量应该与真实考试相当，例如选择题可以设置30道，填空题可以设置10道，解答题可以设置6道。

这样既能保证试卷的综合性，又不会给考生过大的压力。

3.难易程度分布模拟试卷的难易程度分布应该与真实考试相似，包括简单、中等和难题的比例。

这样可以更好地检测学生的数学水平，帮助他们合理安排备考时间，有针对性地提高自己的薄弱点。

二、题型设计1.选择题选择题是高考数学试卷的重要组成部分，涉及的知识点广泛。

在模拟试卷中，应该充分考察学生对考点的理解和应用能力。

可以设计一些综合性的选择题，考察学生对多个知识点的综合应用。

2.填空题填空题是考察学生计算和推理能力的重要题型。

在模拟试卷中，可以设置一些需要进行逻辑推理或者推算的填空题，加深学生对数学知识的理解和掌握程度。

3.解答题解答题是考察学生分析和解决问题能力的主要题型。

在模拟试卷中，可以设计一些与日常生活相关的问题，引导学生将数学知识运用到实际问题的解决中，培养他们的创新思维和实际应用能力。

三、难度控制在制定高考数学模拟试卷时，难度的控制非常重要。

试卷难度应该适中，既不宽松到失去参考价值，也不过于困难导致学生信心丧失。

可以参考历年的真题和模拟试卷，结合实际情况，合理设置试题难度。

四、试卷评分与解析高考数学模拟试卷的命制工作不仅仅包括试题的设计，还需要做好试卷的评分与解析工作。

评分应该遵循高考评分标准，确保评卷准确公正。

同时，提供试卷的详细解析，帮助学生理解和掌握知识点，查漏补缺。

结语高考数学模拟试卷的命制对学生备考有着重要的指导意义。

高考数学创新题型思维方法

高考数学创新题型思想方法(一)分析几何中的运动问题分析几何中的创新小题是新课标高考取出现频次最高的题型,09、10、 11 年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。

即新课标高考数学思想从传统剖析静态模型转变成剖析动向模型。

所以考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的掌握、擅长成立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特别值情境剖析、存在问题与随意问题解题方法的总结。

在解此类创新题型时 ,常常需要融入生活中的好多思想 ,加上题目中所给信息相交融。

在数学层面上 ,需要考生擅长从各个角度与考虑问题 ,将思路打开 ,同时擅长用数学思想去将题目情境抽象成数学模型。

(二 )新距离近几年盛行的对于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2| 的问题,考生需要懂得坐标系中坐标差的原理 ,对于对应两点组成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。

近两年高考大题中均波及到了新距离问题 ,但是高考所观察的内容不再新距离本身,而在于成立新的数学模型状况下,考生可否探究出成立数学模型与数学思想的关系。

比方2019 年压轴题 ,对于一个数列各个位做差取绝对值乞降的问题,因为每个位取值状况均同样 ,故只需考虑一个位就行了。

在大题详细解题中笔者会详第1页/共4页细表达。

(三 )新名词对于题目中出现了新名词新性质,考生完整能够重新性质本身出发 ,从数学思想角度理解新性质所代表的数学含义。

此类创新题型就像描绘一幅画同样去描绘一个数学模型,而后描述的简短透辟 ,让考生经过此类描绘去发掘性质。

新课标数学追求对数学思想的自然描绘 ,即不会给学生思想断层、非生活惯例思路 (北京海淀区 2019 届高三上学期期末考试题的分析几何大题属于特别规思路 )。

比方 2009 年北京卷文科填空压轴题 ,就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元,这样肯快就能够获得答案。

(四 )知识点性质联合此类题型主要联合函数性质、图象等知识点进行出题,此类题一般只需熟习知识点网络构造与知识点思想方式就没有问题。

高考数学创新题的几个命制方向

高考数学创新题型思维方法归纳

高中数学创新题命制说明

(数学)高考数学创新题的几个命题方向

关于高考数学创新题型思维方法

数学高考数学创新题的几个命题方向

高考数学原创试题的命题方向及典型题分析

高考数学创新型试题的命制策略

例谈研究高考数学试题的几种视角

基于课程标准，体现核心素养——新高考备考中试题的命制尝试与思考

漫谈高中数学原创试题的命制

高考数学创新型试题的六种类型及评析

高考数学创新题型思维方法归纳

数学 高考数学创新题的几个命题方向

高中数学试题的命制

高考数学创新型试题的几种类型

高考数学模拟试卷的命制

高考数学创新题型思维方法

数学高考数学创新题的几个命题方向