圆的基本性质复习课(优秀课件).
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人教版九级上册数学课件圆的基本性质复习课
A
C
O B
C
D
D D
A
C
O
B C
O
A
O
B
E
A
B
D
一切立体图形中最美的是球， 一切平面图形中最美的是圆。
—— 毕达哥拉斯
圆的基本性质
观察并回答
C
·O
A
B
D
圆是_轴_对__称__图形,圆的对称轴是
直__径__所_在__的__直_线_,它有_无__数___条对称 轴.
看图辨定理一
垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条 弧。
几何语言：
A
∵CD过圆心, 且____C_D_⊥__A_B__
∴
AE=BE,
A⌒D=BD⌒,
⌒⌒ AC=BC
.
C
·O
E
B
D
判断 弦不是直径
（1）平分弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线一定经过圆心
（3）圆心和弧的中点的连线一定垂直弧所对的弦
C
E
A
B
D
活学活用:圆中线段的计算
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
周密思考思维提升
已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,
则该弦所对的圆心角是_6__0_°___
该弦所对的圆周角的度数_3_0_°__或___1_5_0.° C
O
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
C
O
3、在⊙O中，∠CBD=30° ,
∠BDC=20°,∠A=_5_0__°_
C
O B
C
D
D D
A
C
O
B C
O
A
O
B
E
A
B
D
一切立体图形中最美的是球， 一切平面图形中最美的是圆。
—— 毕达哥拉斯
圆的基本性质
观察并回答
C
·O
A
B
D
圆是_轴_对__称__图形,圆的对称轴是
直__径__所_在__的__直_线_,它有_无__数___条对称 轴.
看图辨定理一
垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条 弧。
几何语言：
A
∵CD过圆心, 且____C_D_⊥__A_B__
∴
AE=BE,
A⌒D=BD⌒,
⌒⌒ AC=BC
.
C
·O
E
B
D
判断 弦不是直径
（1）平分弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线一定经过圆心
（3）圆心和弧的中点的连线一定垂直弧所对的弦
C
E
A
B
D
活学活用:圆中线段的计算
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
周密思考思维提升
已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,
则该弦所对的圆心角是_6__0_°___
该弦所对的圆周角的度数_3_0_°__或___1_5_0.° C
O
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
C
O
3、在⊙O中，∠CBD=30° ,
∠BDC=20°,∠A=_5_0__°_
第24章圆复习课件
O
A
B
2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO， 如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． D 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 CD. ∵ ∠ AOC=140 ° O A ∴ ∠ D=70 ° ∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
B
C
3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为 2或4cm 6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.
∴CD⊥OA.
C
A
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。 如 ① ② ① ③ ② ③ ③
② ①
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm； 2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， 设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____； 3、下列四个命题中正确的是（ ）．
A
●
A
●
O C B
┐
O
●
O C
B
C
B
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引的两条切线长 相等;并且这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角. P
A
1 2
∵PA,PB切⊙O于A,B
●
O
∴PA=PB ∠1=∠2
D
A
●
B
O ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ 如由条件: ③AB=A′B′
②AB=A′B′
浙教版数学九年级上册3.1 圆的基本性质课件(共26张PPT)
3、以O为圆心，OB为半径
作圆。
所以⊙O就是所求作的
圆。
现在你知道了怎样要 将一个如图所示的破损的 圆盘复原了吗？
方法: 寻求圆弧所在圆的圆心,
在圆弧上任取三点,作其 连线段的垂直平分线,其 交点即为圆心.
已知△ABC，用直尺和圆 规作出过点A、B、C的圆
A
O C
B
经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做圆的内接三角形。
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条
边的垂直平分线的交点
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
BC （图三）
1、比较这三个三角形外心的位置， 你有何发现？
练一练
1.下列命题不正确的是 A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆. C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画 圆. 2.三角形的外心具有的性质是 A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形外. D.外心在三角形内.
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动 物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使 这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施 工图.（A、B、C不在同一直线上）
问题： 车间工人要将一个
如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
1、过一点可以作几条直线？ 2、过几点可确定一条直线？
初中数学《圆的基本性质》优课PPT课件
(2)求∠ACM的度数.
A
O N
M
C
B
例3、如图，在⊙O中，的直径AB=4，点E是OA上 任意一点，过点E作弦CD⊥AB,点F是BC上一点， 连结AF交CE于点H,连结AC,CF,BD,OD.
(1)求证：△ACH∽ △AFC;
A
(2)求证：AH×AF=AE×AB
C
HE
D
（3）探究：当点E位于何处时S △AEC:
圆的轴对称性
垂径定理
圆心角定理 圆周角定理
C A.
O1
弦:连结圆上任意两点的线段
B 直径:经过圆心的弦
圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧和劣 弧之分
r
r
等圆：半径相等的两
O1
O2
个圆。
. O
同心圆：圆心相同，半径
不相等的圆。
二、圆的轴对称性
D
E
A
B O
C
圆的轴对称性：
垂径定理：AB是直径
AB=CD
F
OE=OF
D
（OE AB于E
OF CD于F）
推论：（四对量的关系）
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
A
C
O
A
OB
B
推论：
C
1、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90圆周角所对的弦是直径。
2、同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
圆的基本性质
基础训练
在6分钟内完成复习导引P108 T1—6.
圆的 定义
有关概念
圆心、半径、直径
弧、弦、弦心距 等圆、同心圆 圆心角、圆周角
A
O N
M
C
B
例3、如图，在⊙O中，的直径AB=4，点E是OA上 任意一点，过点E作弦CD⊥AB,点F是BC上一点， 连结AF交CE于点H,连结AC,CF,BD,OD.
(1)求证：△ACH∽ △AFC;
A
(2)求证：AH×AF=AE×AB
C
HE
D
（3）探究：当点E位于何处时S △AEC:
圆的轴对称性
垂径定理
圆心角定理 圆周角定理
C A.
O1
弦:连结圆上任意两点的线段
B 直径:经过圆心的弦
圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧和劣 弧之分
r
r
等圆：半径相等的两
O1
O2
个圆。
. O
同心圆：圆心相同，半径
不相等的圆。
二、圆的轴对称性
D
E
A
B O
C
圆的轴对称性：
垂径定理：AB是直径
AB=CD
F
OE=OF
D
（OE AB于E
OF CD于F）
推论：（四对量的关系）
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
A
C
O
A
OB
B
推论：
C
1、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90圆周角所对的弦是直径。
2、同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
圆的基本性质
基础训练
在6分钟内完成复习导引P108 T1—6.
圆的 定义
有关概念
圆心、半径、直径
弧、弦、弦心距 等圆、同心圆 圆心角、圆周角
第25讲 圆的基本性质中考复习课件
推论
平分弦（不是直径）的直径㉒______于弦，并且㉓______弦所对的两条弧
平分
平分
垂直
平分
4
结论
；㉔______ ；㉕______；㉖______； 是直径（在同圆或等圆中，若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”）（注： 不是直径）
续表
考点
5
圆的内接四边形
圆内接多边形
推论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑫______，所对的弦⑬______，即若 ，则
相等
相等
推论
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑭______，所对的优弧和劣弧分别⑮______，即若 ，则
相等
相等
续表
考点
圆周角定理及其推论
定理
在一个圆中，一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的⑯______
圆心
续表
弧
圆上任意两点间的部分叫作弧
大于半圆的弧叫做⑤______（如 ）
小于半圆的弧叫做⑥______（如 ）
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；能够重合的两个圆叫做等圆
优弧
劣弧
续表
圆心角
顶点在⑦______的角叫做圆心角（如 ）
圆周角
顶点在⑧____上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如 ）
重难点突破
重难点
1
圆周角定理及其推论
例1题图
【例1】 如图，在 中， 为直径，弦 ， ，连接 ，则 等于( )
A. B. C. D.
思路点拨:由等腰三角形的性质得到 的度数，由平行线的性质得到 ，再利用圆周角定理得到 ，从而求解．
√
平分弦（不是直径）的直径㉒______于弦，并且㉓______弦所对的两条弧
平分
平分
垂直
平分
4
结论
；㉔______ ；㉕______；㉖______； 是直径（在同圆或等圆中，若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”）（注： 不是直径）
续表
考点
5
圆的内接四边形
圆内接多边形
推论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑫______，所对的弦⑬______，即若 ，则
相等
相等
推论
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑭______，所对的优弧和劣弧分别⑮______，即若 ，则
相等
相等
续表
考点
圆周角定理及其推论
定理
在一个圆中，一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的⑯______
圆心
续表
弧
圆上任意两点间的部分叫作弧
大于半圆的弧叫做⑤______（如 ）
小于半圆的弧叫做⑥______（如 ）
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；能够重合的两个圆叫做等圆
优弧
劣弧
续表
圆心角
顶点在⑦______的角叫做圆心角（如 ）
圆周角
顶点在⑧____上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如 ）
重难点突破
重难点
1
圆周角定理及其推论
例1题图
【例1】 如图，在 中， 为直径，弦 ， ，连接 ，则 等于( )
A. B. C. D.
思路点拨:由等腰三角形的性质得到 的度数，由平行线的性质得到 ，再利用圆周角定理得到 ，从而求解．
√
第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
全效优等生
图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
全效优等生
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全效优等生
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
全效优等生
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
全效优等生
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
全效优等生
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
圆的基本性质期末复习课件
要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半 径、弦长构成直角三角 形，便将问题转化为直 角三角形的问题。
B P O
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论
题设
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB 想一想：如果将题设和 ② ① ② ① ③ ③ 结论中的5个条件适当互 ④ ② ③ ③ ④ 换，情况会怎样？ ⑤ ⑤ ⑤ ① ④ ④ ⑤ ② ① ② ③ ② ④ ⑤ ③
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
定理 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相 等，所对的弦的弦心 距相等。
A C O B C' A'
B'
题设
结论 圆 心 角 相 等 推论B
D
如图，弦AB和CD交于点P,且CD是∠ACB的平分线
问题（4）：若弦AB= 3 , ∠BAD=30°, 在点C运动的过程中,四边形ADBC的最 大面积为多少?此时∠CAD等于多少度?
（5）若弦AB= 3 , ∠BAD=30°, 在点C 运动的过程中, 当∠CAD等于多少度时,四 边形ADBC是梯形?证明你的理由
球场上的情况是很复杂的，球员射门 常会选择较好的射门角度.这就要 看A、B两点各自对球门MN的张角 的大小，当张角较小时，则球容易 被对方守门员截住.因此,只需比较 ∠MAN与∠MBN的大小. 过M、N点及B点作一个⊙O,即⊙O过点B、M、N， 显然点A在⊙O外，设AM交圆O于C，则 ∠MAN＜∠MCN∠=MBN。因此，在B点射门较好。
(1)图中有哪些相等关系？ (2)如果∠1=45°，求∠2的度数。 (3)如果AD是⊙O的直径，∠1=45°，求∠BDA的度数．
B P O
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论
题设
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB 想一想：如果将题设和 ② ① ② ① ③ ③ 结论中的5个条件适当互 ④ ② ③ ③ ④ 换，情况会怎样？ ⑤ ⑤ ⑤ ① ④ ④ ⑤ ② ① ② ③ ② ④ ⑤ ③
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
定理 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相 等，所对的弦的弦心 距相等。
A C O B C' A'
B'
题设
结论 圆 心 角 相 等 推论B
D
如图，弦AB和CD交于点P,且CD是∠ACB的平分线
问题（4）：若弦AB= 3 , ∠BAD=30°, 在点C运动的过程中,四边形ADBC的最 大面积为多少?此时∠CAD等于多少度?
（5）若弦AB= 3 , ∠BAD=30°, 在点C 运动的过程中, 当∠CAD等于多少度时,四 边形ADBC是梯形?证明你的理由
球场上的情况是很复杂的，球员射门 常会选择较好的射门角度.这就要 看A、B两点各自对球门MN的张角 的大小，当张角较小时，则球容易 被对方守门员截住.因此,只需比较 ∠MAN与∠MBN的大小. 过M、N点及B点作一个⊙O,即⊙O过点B、M、N， 显然点A在⊙O外，设AM交圆O于C，则 ∠MAN＜∠MCN∠=MBN。因此，在B点射门较好。
(1)图中有哪些相等关系？ (2)如果∠1=45°，求∠2的度数。 (3)如果AD是⊙O的直径，∠1=45°，求∠BDA的度数．
与圆有关的性质复习课(一)PPT课件
圆心、半径、直径
弧、弦、弦心距
半圆、等圆、同心圆
有关概念 圆心角、圆周角
圆的内接多边形
圆的
多边形的外接圆等。
定义
圆的基本性质
重点
圆的轴对称性
圆的中心对称性和旋转不变性
垂径定理 弧、弦、圆心角定理 圆周角定理
基础知识串联
C
1、若直径ＣＤ垂直于弦
O
ＡＢ，请指出图中相等
2弦、有如关图的,计已算知问⊙题O，的常半常径需 长要为过圆5,心弦作AB弦的的长垂8线,则段O，弦 点心到距、AB半的径距、离弦为长的__一.半构
我们常常在看图时“遇直径，想直角”
圆的基本性质综合应用
例1、BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， AB=AF， BF与AD交于E． 求证：AE=BE；
C
F
O
A
ED
B
圆的基本性质综合应用
变式：如图，BC是⊙Ｏ直径，AB是⊙Ｏ 的弦，延长BA到D，使DA=BA，BC与 DC是什么关系？为什么？
C
成直角三角形
O AC B
C
O
A
E
D
⑴在如同图圆，或若等弧圆ＡＤ中＝，弧ＢＤ， 则两∠条Ａ弧Ｏ、Ｄ＝两_条∠_Ｂ_弦_Ｏ_、_Ｄ_两，个 Ａ圆Ｄ心＝角_Ｂ_中_Ｄ_，_ ⑵有如一图组，量若相Ａ等Ｄ＝，Ｂ则Ｄ其，余 则各∠组Ａ量Ｏ对Ｄ＝应_相_∠_Ｂ等_Ｏ_。_Ｄ__，
弧ＡＤ＝_弧__Ｂ_Ｄ____
⑶如图，若∠ＡＯＤ＝∠Ｂ ＯＤ， B 则弧ＡＤ＝_弧__Ｂ_Ｄ____， ＡＤ＝__Ｂ_Ｄ___
F
O
A
ED
B
例2、如图，AB是半圆的直径，CO⊥AB，
D是OC的中点，过点D作弦EF∥AB，求证：
弧、弦、弦心距
半圆、等圆、同心圆
有关概念 圆心角、圆周角
圆的内接多边形
圆的
多边形的外接圆等。
定义
圆的基本性质
重点
圆的轴对称性
圆的中心对称性和旋转不变性
垂径定理 弧、弦、圆心角定理 圆周角定理
基础知识串联
C
1、若直径ＣＤ垂直于弦
O
ＡＢ，请指出图中相等
2弦、有如关图的,计已算知问⊙题O，的常半常径需 长要为过圆5,心弦作AB弦的的长垂8线,则段O，弦 点心到距、AB半的径距、离弦为长的__一.半构
我们常常在看图时“遇直径，想直角”
圆的基本性质综合应用
例1、BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， AB=AF， BF与AD交于E． 求证：AE=BE；
C
F
O
A
ED
B
圆的基本性质综合应用
变式：如图，BC是⊙Ｏ直径，AB是⊙Ｏ 的弦，延长BA到D，使DA=BA，BC与 DC是什么关系？为什么？
C
成直角三角形
O AC B
C
O
A
E
D
⑴在如同图圆，或若等弧圆ＡＤ中＝，弧ＢＤ， 则两∠条Ａ弧Ｏ、Ｄ＝两_条∠_Ｂ_弦_Ｏ_、_Ｄ_两，个 Ａ圆Ｄ心＝角_Ｂ_中_Ｄ_，_ ⑵有如一图组，量若相Ａ等Ｄ＝，Ｂ则Ｄ其，余 则各∠组Ａ量Ｏ对Ｄ＝应_相_∠_Ｂ等_Ｏ_。_Ｄ__，
弧ＡＤ＝_弧__Ｂ_Ｄ____
⑶如图，若∠ＡＯＤ＝∠Ｂ ＯＤ， B 则弧ＡＤ＝_弧__Ｂ_Ｄ____， ＡＤ＝__Ｂ_Ｄ___
F
O
A
ED
B
例2、如图，AB是半圆的直径，CO⊥AB，
D是OC的中点，过点D作弦EF∥AB，求证：
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例：（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD 证明：㈣ 延长DO交⊙O于点E，连接AE ，
∵AC//OD
∴⌒ AE
=
⌒ CD
在圆中，一组 平行弦所夹弧 相等。
E
∴AE=CD
AOE BOD
AE BD
∴CD=BD
（2）：如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径， 且OD//AC。延长AC、BD交于点E，连接BC，请判断： 下面结论中正确的是______________ 。 ①、②
∴四边形CFDG是矩形
（4）移动点D位置，使点D在弧AB中点处，令点C在弧AD之间， 过D做DF⊥BC，DG⊥AE，垂足为E、F，则四边形DGCF是什 么四边形？为什么？ 证明：连接OD，
∵AB是直径， DF⊥BC，DG⊥AE
∴∠FCG=∠CFD=∠DGC=90° ∴四边形CFDG是矩形
∵D是弧AB中点
A
C
O ·
⌒ AC = ⌒ BD
?
D B
·
例：（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD
AC // OD 证明：㈠ 连接OC，
A BOD, ACO COD
OA OC
A ACO
COD DOB CD BD
BOD 900
1 BCD BOD 45 0 2 ∴DF=CF
∴矩形CFDG是正方形
小结
通过本节课的复习，我们又重新梳理了圆心角、 圆周角、弧、弦、弦心距五种量之间的关系，以及 直径与弧、弦之间的关系定理——垂径定理及逆定 理。从这些关系中我们发现，证明圆中一对量相等 的道路是四通八达的，可以考虑证明圆中的其它几 对量相等。圆的这些性质是我们计算角、线段及证
①AB=AE ②BD=DE
√
√
③∠E=2∠EBC
×
④
×
（3）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径， 且OD//AC。过点D做DG⊥AE，垂足为G，则四边形DGCF 是什么四边形？为什么？ 证明：∵AB是直径， DG⊥AE ∴∠FCG=∠DGC=90°
∵AC//OD
∴∠FCG=∠CFD=∠DGC=90°
通过证圆心角相等，得到弦相等
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．
A′ B
B′
O
·
A
例：（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD 证明：㈡ 连接AD，
AC // OD
OA OD
CAD ODA OAD
∵AC//OD OD BC
∴⌒ CD
=
⌒ BD
∴CD=BD
通过垂径定理得到弧相等， 从而得到弦相等
C
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB, ⌒及ACB ⌒ 并且平分AB
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
·
E A D B
O
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。
相等的 圆心角
A′
所对的弧相等 所对的弦相等
D′ B′
B
D O
弦心距相等
·
A
课堂作业49页：第2题
E
A
F
O
D
B
C
课堂作业51页：第1题
A O B C
D
E
CD ∴⌒
=
⌒ BD
CD BD
通过证弧相等，得到弦相等
圆周角定理: 同弧 (等弧) 所对的圆周是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD 证明：㈢ 连接BC，∵AB是直径
ACB 900
明角、线段、弧相等的基本依据和方法。
C
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB, ⌒及ACB ⌒ 并且平分AB
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
·
E A D B
O
课堂作业47页：第1题
B C
E F O
·
E
A D
B
A
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．对 应的弦心距也相等.