高三数学直线与圆的位置关系

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高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析

专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4，以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。

高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲

高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。

当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。

一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。

当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。

高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

题型探究题型一直线和圆相交例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程． (2)代数方法设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切线方程即可求出．【说明】过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中，只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．

高三数学点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

一般宜用几何法。
3、弦长与切线方程，切线长的求法
（ 1 ）弦长求法一般采用几何法：弦心距 d ， 2 圆半径r，弦长l，则 l 2 2 (3) 改写圆方程写出圆的切线方程：以(x0,y0) 为切点的圆的切线方程，分别以x0 x , y0 y,
d r 2
特殊地: 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0) 的圆的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
C、 x+3y-5=0
D、x-3y+1=0
( x 1) ( y 2) 25, 例2、(优化设计P114例(2m 1) x (m 1) y 7m 4 0(m R)
（1）证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C截得的弦最小时的方程. 【思维点拨】用直线系方程求点。
x a y b 2 2
2
2
r r 0
2

为两圆公共弦所在直线方程，其中当两圆相切时， L 为过两圆公共切点所在直线的方程。
二、题型剖析
例 1 、 ( 优化设计 P114 例 1) 已知圆 x2+y2+x6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两点， O 为原点，且 OPOQ ，求该圆的圆心坐标及半径。【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意＞０的检验
x0 x y 0 y , 2 2
改写圆方程中的x2，y2, x , y
(4) 切线长过圆外一点 P( x0 , y0 ) 引圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线 ,则切线长：

高三直线和圆知识点

高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。

本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。

一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。

直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。

直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。

2. 直线上的任意一点，都在直线上。

二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。

这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。

圆心是与所有这些点距离相等的点。

直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。

圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。

2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。

3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。

4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。

三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。

它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。

b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。

c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。

2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。

b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。

3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。

b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。

高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆圆与圆的位置关系

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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k

直线与圆知识点归纳高三

直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。

本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。

一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。

2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。

二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。

2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。

三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。

2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。

(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。

四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。

2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。

3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

位置关系
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x

高三数学圆与直线知识点

高三数学圆与直线知识点高三数学学习中，圆与直线是重要的知识点之一。

掌握了这些知识，可以帮助我们解决更加复杂的数学问题。

本文将从圆与直线的定义、性质和应用方面进行介绍。

一、圆的定义与性质圆是由平面内到一点的距离都相等的点的集合。

简单来说，圆是一个平面上的闭合曲线，由半径为r的圆心O、平面上所有到圆心距离为r的点构成。

在圆的性质中，我们需要掌握以下几个重要的概念：1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角。

圆心角的度数等于所对弧的度数。

2. 圆周角：圆周角是以圆周上的两条弧为边的角，角的大小等于所对的弧度数的一半。

二、直线与圆的位置关系1. 切线：一个直线与圆相交于圆上的一点，且只有这一个交点时，称这条直线为切线。

切线与半径垂直。

2. 切点：切线与圆的交点称为切点。

3. 弦：一个直线的两个端点在圆上，这条直线称为弦。

三、直线与圆的交点个数1. 两个相交圆的公共切线：两个相交的圆可以有两条公共切线，也可以没有公共切线。

2. 直线与圆的位置关系：一条直线与圆相交，有三种情况，即相离、相切和相交。

四、圆与直线的方程1. 圆的方程：设圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²。

2. 直线的方程：直线的方程可以通过两点式、一般式或截距式等形式表示。

五、圆与直线的应用1. 判断两个圆的位置关系：可以通过观察圆心之间的距离与半径之差来判断两个圆的位置关系，有外离、内含和相交三种情况。

2. 判断直线与圆的位置关系：可以通过圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系。

3. 圆的切线问题：可以通过圆与直线的位置关系来求解切点和切线方程。

4. 弦的性质：弦分割圆的圆周角等于弦所对的圆心角。

总结：通过学习圆与直线的知识点，我们可以更好地理解圆的定义与性质，掌握直线与圆的位置关系以及圆与直线的方程。

这些知识点对于解决数学问题和应用数学在生活中都具有重要意义。

第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－－12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)，即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410，所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B

高三数学知识点总结35之29：圆的方程和直线与圆的位置关系

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一．圆的三种方程（1）方程)0()()(222>=-+-r r b y a x 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程. （2）方程022=++++F Ey Dx y x .①当0422>-+F E D 时，表示圆，圆心为)2,2(E D --，半径为2422FE D -+，称为一般方程.②当0422=-+F E D 时，表示点).2,2(E D --③当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程是).2,0[,sin cos πααα∈⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 其中α是以圆心C 为顶点且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角.参数方程可用来解决与圆有关的最值问题.例：若实数y x ,满足，014222=+-++y x y x 求y x 43-的范围.答：].1,21[-- 注1：求圆的方程的主要方法：1．代数法：利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于r b a ,,或F E D ,,的方程组．2. 几何法：利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)圆心和圆上任一点的距离等于半径.(4)两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 注2：半圆问题.例:若直线b x y +=与曲线21y x -=恰有一个交点，则实数b 的取值范围是_________．答：11|{≤<-b b 或}2-=b 注3：阿波罗尼斯圆：平面内到两个定点B A ,的距离之比)1,0(≠>=λλλMBMA的点M 的轨迹是一个圆.二．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-位置关系的判断方法 ①点在圆内⇔<⇔r PC 22020)()(r b y a x <-+- ②点在圆上⇔=⇔r PC 22020)()(r b y a x =-+-③点在圆外⇔>⇔r PC 22020)()(r b y a x >-+-三．直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法（主要方法）：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小 ①⇔>r d 相离；②⇔=r d 相切；③⇔<r d 相交. （2）代数法：联立直线和圆的方程，计算ac b 42-=∆的大小 ①⇔<∆0相离；②⇔=∆0相切；③⇔>∆0相交.四. 圆与圆的位置关系的判断方法位置关系外离外切相交内切内含圆心距与半径的关系 21r r d +> 21r r d += 2121||r r d r r +<<- ||21r r d -=||21r r d -<图示公切线的条数 4 321 0五．计算直线与圆相交的弦长问题主要核心方法：围绕“弦心距，弦长的一半和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）注：代数法：运用韦达定理及弦长公式2221||(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-.(正设直线00()y y k x x -=-） 2221||(1)[()4]A B A B A B AB m y y m y y y y =+-=++-.(反设直线00()x x m y y -=-）六．处理直线与圆相切的问题主要核心方法：围绕“圆心与直线上的点这两点的距离，切线长和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）（1）求切线方程的方法： ①几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.②代数法：设出切线的方程，利用0=∆，求出未知数的值. 注意：1.设直线方程时要注意直线方程的局限性.如设成点斜式),(00x x k y y -=-要注意讨论斜率不存在的情况；设成斜截式1=+bya x ，要注意讨论直线过原点的情况. 2.点在圆外，有两条切线；点在圆上，只有一条切线；点在圆内，无切线. （2）求切线长的最小值.切线长的最小值=22(r -圆心到直线的距离）七．直线与圆相离的最值问题（1）若直线和圆相离，则圆上的点到直线距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到直线的距离，r 为半径）（2）若点在圆外，则圆上的点到已知点距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到已知点的距离，r 为半径）八．计算两圆相交的弦长问题（1）公共弦所在的直线方程若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D （2）公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.九．处理两圆相切的问题（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时).十．用几何意义处理与圆有关的最值问题（1）形如ax by --的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如by ax z +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.（3）形如22)()(b y a x -+-的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；十一．有用的结论（需要记住）（1）若圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 与x 轴相切，则|;|b r =与y 轴相切，则|;|a r = 与两坐标轴相切，则.||||b a r ==（2）当点),(00y x 在圆222r y x =+上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.200r y y x x =+ 推广：当点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（3）设点),(00y x P 是圆222r y x =+外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.200r y y x x =+推广：设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（4）以),(),,(2211y x B y x A 为直径的圆的方程为.0))(())((2121=--+--y y y y x x x x （5）圆系方程：①若直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 有两个交点，则过直线与圆的交点的圆可设为：.0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y xλ②若两圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 有两个交点，则过圆与圆的交点的圆可设为：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ（)1-≠λ.注：①1-=λ时，表示两圆的公共弦所在直线的方程.②方程不能表示,2C 留心检验.（6）圆和圆的重要性质①两圆相切时，两圆圆心与切点在同一条线上.②两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的中垂线即为两圆心的连线. （7）圆上有几个点到直线的距离为几的问题假设圆的半径为,r 圆心到直线的距离为,D 圆上的点到直线的距离为d ，则①||d D r -< 0个；②||d D r -= 1个；③d D r d D +<<-|| 2个；④d D r += 3个； ⑤d D r +> 4个（8）过圆内一点的所有弦中，最长的是过该点的直径，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦.1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。

高三数学直线和圆的位置关系

C D E B
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算命
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轻松愉快起来，爽啊！爽！似乎每个细胞都打开了气孔，真的太爽了！马启明微闭着眼睛，完全沉浸在美妙的、如痴如醉的感觉中了。马启明还是第一次喝到如此清爽甘冽的啤酒，瞬间的沉醉让他心中更加充满了期待，他在美滋滋地想：今生今世从事这么美好的职业---酿造美酒的同时，也在酿造自己的美好人生，心头有一种美滋滋、甜蜜蜜的感觉。他觉得嘴长在自己的身上确实太享受了，没有白来这个世上。马启明忽然觉得，他就是为啤酒而生的！“走吧！”张钢铁的一句话，把马启明从梦境中轻轻地拽回到现实当中。从发酵工段出来后，张钢铁眯着两只眼睛，目不转睛地注视着马启明，发问道：“传统发酵你还想去看吗？那可是我们最早的发酵车间，传统发酵的酒比露天发酵的酒可要好喝多了。我在这儿干了二十年多年，可惜因操作繁琐、能耗大、产量低，马上也要象老糖化一样停产了，真舍不得呀！”说完长长叹了口气。马启明看着张钢铁惋惜的神情，为了弥补刚才的口误，怕拂逆了张钢铁的好意，赶紧说：“那是必须的。张主任，我从没见过传统发酵，还真想去看一看。”张钢铁一扫刚才的不愉快，立刻笑着答应道：“好！不过，传统发酵里面很冷，有4℃以下呢，必须要穿棉衣棉裤，还要换上长统雨靴。走！” 说着便将马启明带到更衣间。马启明觉得，欣赏别人，是对别人最好的尊重。穿好公用的棉袄棉裤和长统雨靴，马启明感觉马上变成了爱斯基摩人，臃肿得像个橄榄球一样。他跟着张钢铁来到传统发酵门口，张钢铁刚拉开那扇厚重的大木门，一股阴冷潮湿的冷气便扑面而来，里面黑幽幽的，一时什么都看不见，从里面传来马达呜呜呜的响声，就像《西游记》里面的黑风洞一样，又像到了阎王爷的阴曹地府一样，怪吓人的。张钢铁立刻关上木门熟悉地朝前走去，马启明却站在消毒池中，几乎什么都看不见，心怦怦乱跳，一动也不敢动，感觉就像黑夜爬华山长空栈道一样，稍有不慎，就会掉入万丈深渊。片刻，只听到张钢铁的声音从前面传过来：“小马，消毒池上面没有灯，前面就有灯了，你尽管往前走就行了。”马启明从亮处一下走到暗处，眼睛一时半会儿还没适应过来，而且他从来没到过传统发酵，对里面的情况一无所知，心里感到即害怕又刺激，汗毛一根根都竖起来了，身体唯有站在那里一动不动，声音颤抖地问道：“张„„主任，我什么„„都看不见，怎么„„走呀？”“那你等一会儿。” 张钢铁走到马启明身边，拉起他的手小心翼翼地走过消毒池。前方昏黄的灯光还是让马启明眼前一片模糊，只得颤颤巍巍、深一脚浅一脚地往前慢慢移。过了好一会儿，马启明眼睛才逐渐地适应过来了。他看见左右两边，上下两层横卧着许多十八吨左右、被漆成黄色的大铁罐，像是走到了一个秘密底

高考数学复习直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考向预测1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.命题趋势考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.核心素养直观想象、数学建模1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.3．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12l 2. 常见误区1．求圆的切线方程时，易忽视切线斜率k 不存在的情形．2．对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，不一定能得到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )(3)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离解析：选B.圆心为(0，0)，到直线y ＝x ＋1即x －y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，而0<22<1，但是圆心不在直线y ＝x ＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．外离解析：选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.因为3－2<d <3＋2，所以两圆相交．4．(2020·高考天津卷)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________．解析：依题意得，圆心(0，0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋(|AB |2)2＝25，又r >0，所以r ＝5.答案：55．(易错题)已知圆C ：x 2＋y 2＝9，过点P (3，1)作圆C 的切线，则切线方程为________．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，所以kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋（－1）2＝3，所以k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0直线与圆的位置关系[题组练透]1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B.因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．2．(2021·南充市第一次适应性考试)若过点A (4，0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：选 D.方法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，联立得⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，y ＝k （x －4），则(x －2)2＋k 2(x －4)2＝1，得(k 2＋1)x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＋3＝0，根据题意知Δ＝(8k 2＋4)2－4(k 2＋1)(16k 2＋3)≥0⇒－33≤k ≤33.方法二：设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，直线l 与圆有公共点，则圆心(2，0)到直线l ：kx －y －4k ＝0的距离d ＝|2k －0－4k |k 2＋1＝|2k |k 2＋1≤1⇒4k 2≤k 2＋1⇒3k 2≤1⇒－33≤k ≤33.3．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选 C.如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．直线与圆的综合问题角度一圆的切线问题(1)(2021·山东济宁第一中学质量检测)过点P(1，2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为()A．0 B．－43C．0或43 D.43(2)(2020·山东烟台一模)设P为直线3x－4y＋4＝0上的动点，P A，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为()A. 3 B．2 3C. 5 D．2 5【解析】(1)当a＝0时，直线ax＋y－1＝0即直线y＝1，此时过点P(1，2)且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，并且x＝1与圆相切，满足题意，所以a＝0成立．当a≠0时，过点P(1，2)且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为1 a，则直线方程为y－2＝1a(x－1)，即x－ay＋2a－1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离为1可得|2a－1|a2＋1＝1，解得a＝43.故选C.(2)如图所示．圆C：(x－2)2＋y2＝1的圆心为C(2，0)，半径为1，P A＝PB，则S四边形APBC ＝2×12·PB·CB，又因为△PCB为直角三角形，所以PB＝PC2－CB2＝PC2－1，因此S四边形APBC＝PC2－1，要使四边形APBC的面积最小，则PC 最小，当CP垂直于直线3x－4y＋4＝0时，CP取最小值，即点C到直线3x－4y＋4＝0的距离，|PC|min＝|3×2－4×0＋4|5＝2，故四边形APBC面积的最小值为22－1＝ 3.故选A.【答案】(1)C(2)A圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[注意]求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．角度二圆的弦长问题(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝3x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为()A. 3 B．1 C.12 D.33【解析】(1)将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝（3－1）2＋（0－2）2＝22，所以|BD|min＝2r2－d2＝232－（22）2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝3x的距离d1＝232＝3，所以l1被圆C所截得的弦长为24－3＝2.圆心到直线l2的距离d2＝|2k－1|k2＋1，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝24－d22，所以d2＝0.所以2k－1＝0，解得k＝12，故选C.【答案】(1)B(2)C求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2；(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|.1．过点P(0，1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝2，则该直线的斜率为()A．±1 B．± 2 C．± 3 D．±2解析：选A.由题意设直线l的方程为y＝kx＋1.因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，半径r＝1.又弦长|AB|＝2，所以圆心到直线l的距离d＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1.故选A.2．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选AB.由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，所以圆C 的圆心坐标为(2，0)，半径为2.过点P 所作的圆的两条切线互相垂直，所以点P 、圆心C 、两切点构成正方形，且正方形的边长为2，所以PC ＝2 2.又点P 在直线y ＝k (x ＋1)上，所以圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k2≤22，解得－22≤k ≤2 2.故选AB.圆与圆的位置关系(1)(2020·重庆市七校联考)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于两点M ，N ，则线段 MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255(2)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【解析】 (1)两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准形式为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.(2)由题意得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 与圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆的半径之和3，大于两圆的半径之差1，故两圆相交．故选B.【答案】 (1)D (2)B圆与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由两圆的圆心距d 与半径R ，r (R ＞r )的关系来判断．d ＞R ＋r ⇔外离；d ＝R ＋r ⇔外切；R －r ＜d ＜R ＋r ⇔相交；d ＝R －r ⇔内切；d ＜R －r ⇔内含．(2)代数法：设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0.对于方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．[注意] 判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C 1C 2|与R ＋r ，R －r 的关系．1．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________．解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.因为圆C 1与圆C 2相外切，所以|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝5，m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 答案：－5或22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为____________．解析：将已知圆化为标准式得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0[A级基础练]1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以|a－0＋1| 12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.2．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D.圆x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2，0)，半径为2；圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝1，其圆心坐标为(－2，0)，半径为1，则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条，故选D.3．(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为() A．－ 6 B．－ 5 C. 6 D. 5解析：选BD.因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O 为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a|12＋（－2）2＝1，所以a＝± 5.4．在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16解析：选B.直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为2，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.5．(2020·宁夏银川一中一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是()A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6解析：选B.设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0(m∈R)，直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即|4＋m|5＝2，所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确，故选B.6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，所以|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33.所以切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.答案：x－3y＋2＝07．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A (－4，－1)．所以|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36.所以|AB |＝6. 答案：68．(2020·武昌区高三调研)过动点M 作圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，N 为切点．若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值为________．解析：设M (x ，y )，因为|MN |＝|MO |，所以(x －2)2＋(y －2)2－1＝x 2＋y 2，整理得4x ＋4y －7＝0，即动点M 在直线4x ＋4y －7＝0上，所以|MN |的最小值就是|MO |的最小值，为742＋42＝728. 答案：7289．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：(1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a2＝2，解得a ＝－34.(2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.10．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22，所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，①.又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，②①－②得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0.设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42，所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.[B 级综合练]11．(多选)(2020·海南海口调研)设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －2k )2＝1，下列说法正确的是( )A ．这组圆的半径均为1B ．直线2x －y ＋2＝0平分所有的圆C kC ．存在无穷多条直线l 被所有的圆C k 截得的弦长相等D ．存在一个圆C k 与x 轴与y 轴均相切解析：选ABC.对于选项A ：由圆C k 的方程可知，这组圆的半径均为1，故A 正确；对于选项B ：圆C k 的圆心坐标为(k －1，2k )，因为2(k －1)－2k ＋2＝0，所以直线2x －y ＋2＝0过圆C k 的圆心，故B 正确；对于选项C ：由B 知，直线2x －y ＋2＝0平分所有的圆C k ，所以存在无数条与直线2x －y ＋2＝0平行或重合的直线(与直线2x －y ＋2＝0的距离小于1)被所有的圆C k 截得的弦长相等，故C 正确；对于选项D ：若圆C k 与x 轴和y 轴均相切，则⎩⎨⎧|k －1|＝1，|2k |＝1，无解，故D 错误．故选ABC.12．(2020·四川五校联考)过直线x ＋y ＝0上一点P 作圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝2的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线x ＋y ＝0对称时，∠APB ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.如图，设圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝2的圆心为C (－1，5)，则点C 不在直线y ＝－x 上，要满足l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，则PC 必然垂直于直线y ＝－x ，所以k PC ＝1，则l PC ：y －5＝x ＋1，即y ＝x ＋6，与y ＝－x 联立，得P (－3，3)．所以|PC |＝（－1＋3）2＋（5－3）2＝22，设∠APC ＝α，则∠APB ＝2α，sin α＝|AC ||PC |＝222＝12，故α＝30°，所以∠APB ＝2α＝60°.故选C.13．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165. 14．已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解：(1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎨⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN→为定值．过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，所以AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7. 所以AM →·AN→为定值，且定值为7. ②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时Δ>0，所以k ＝1，所以直线l 的方程为y＝x ＋1.[C 级创新练]15．(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，下列结论正确的有( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b解析：选ABC.两圆方程相减可得直线AB 的方程为a 2＋b 2－2ax －2by ＝0，即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，故B 正确；分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2，两式相减得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，故A 正确；由圆的性质可知，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，故C 正确．故选ABC.16．(2020·山东东营一中月考)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，则该圆的直径为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选D.因为在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则△ABC 的“欧拉线”为边BC 的垂直平分线，因为点B (－1，3)，点C (4，－2)，所以BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，因为直线BC 的斜率为3＋2－1－4＝－1，所以BC 的垂直平分线的斜率为1，所以BC 的垂直平分线方程为y －12＝x －32，即x －y －1＝0，因为“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，所以可得圆心(3，0)到“欧拉线”的距离d ＝|3－0－1|2＝2＝r ，所以该圆的直径为22，故选D.第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考向预测1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.命题趋势考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.核心素养直观想象、数学建模1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.3．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12l 2. 常见误区1．求圆的切线方程时，易忽视切线斜率k 不存在的情形．2．对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，不一定能得到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )(3)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离解析：选B.圆心为(0，0)，到直线y ＝x ＋1即x －y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，而0<22<1，但是圆心不在直线y ＝x ＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．外离解析：选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.因为3－2<d <3＋2，所以两圆相交．4．(2020·高考天津卷)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________．解析：依题意得，圆心(0，0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋(|AB |2)2＝25，又r >0，所以r ＝5.答案：55．(易错题)已知圆C ：x 2＋y 2＝9，过点P (3，1)作圆C 的切线，则切线方程为________．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，所以kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋（－1）2＝3，所以k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0直线与圆的位置关系[题组练透]1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B.因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．2．(2021·南充市第一次适应性考试)若过点A (4，0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：选 D.方法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，联立得⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，y ＝k （x －4），则(x －2)2＋k 2(x －4)2＝1，得(k 2＋1)x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＋3＝0，根据题意知Δ＝(8k 2＋4)2－4(k 2＋1)(16k 2＋3)≥0⇒－33≤k ≤33.方法二：设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，直线l 与圆有公共点，则圆心(2，0)到直线l ：kx －y －4k ＝0的距离d ＝|2k －0－4k |k 2＋1＝|2k |k 2＋1≤1⇒4k 2≤k 2＋1⇒3k 2≤1⇒－33≤k ≤33.3．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选 C.如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．直线与圆的综合问题角度一圆的切线问题(1)(2021·山东济宁第一中学质量检测)过点P(1，2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为()A．0 B．－43C．0或43 D.43(2)(2020·山东烟台一模)设P为直线3x－4y＋4＝0上的动点，P A，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为()A. 3 B．2 3C. 5 D．2 5【解析】(1)当a＝0时，直线ax＋y－1＝0即直线y＝1，此时过点P(1，2)且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，并且x＝1与圆相切，满足题意，所以a＝0成立．当a≠0时，过点P(1，2)且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为1 a，则直线方程为y－2＝1a(x－1)，即x－ay＋2a－1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离为1可得|2a－1|a2＋1＝1，解得a＝43.故选C.(2)如图所示．圆C：(x－2)2＋y2＝1的圆心为C(2，0)，半径为1，P A＝PB，则S四边形APBC ＝2×12·PB·CB，又因为△PCB为直角三角形，所以PB＝PC2－CB2＝PC2－1，因此S四边形APBC＝PC2－1，要使四边形APBC的面积最小，则PC 最小，当CP垂直于直线3x－4y＋4＝0时，CP取最小值，即点C到直线3x－4y＋4＝0的距离，|PC|min＝|3×2－4×0＋4|5＝2，故四边形APBC面积的最小值为22－1＝ 3.故选A.【答案】(1)C(2)A圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[注意]求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．角度二圆的弦长问题(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝3x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为()A. 3 B．1 C.12 D.33【解析】(1)将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝（3－1）2＋（0－2）2＝22，所以|BD|min＝2r2－d2＝232－（22）2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝3x的距离d1＝232＝3，所以l1被圆C所截得的弦长为24－3＝2.圆心到直线l2的距离d2＝|2k－1|k2＋1，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝24－d22，所以d2＝0.所以2k－1＝0，解得k＝12，故选C.【答案】(1)B(2)C求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2；(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|.1．过点P(0，1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝2，则该直线的斜率为()A．±1 B．± 2 C．± 3 D．±2解析：选A.由题意设直线l的方程为y＝kx＋1.因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，半径r＝1.又弦长|AB|＝2，所以圆心到直线l的距离d＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1.故选A. 2．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选AB.由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，所以圆C 的圆心坐标为(2，0)，半径为2.过点P 所作的圆的两条切线互相垂直，所以点P 、圆心C 、两切点构成正方形，且正方形的边长为2，所以PC ＝2 2.又点P 在直线y ＝k (x ＋1)上，所以圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k2≤22，解得－22≤k ≤2 2.故选AB.圆与圆的位置关系(1)(2020·重庆市七校联考)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于两点M ，N ，则线段 MN 的长为( )A.355B ．4 C.655 D.1255 (2)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【解析】 (1)两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准形式为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.(2)由题意得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 与圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆的半径之和3，大于两圆的半径之差1，故两圆相交．故选B.【答案】 (1)D (2)B圆与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由两圆的圆心距d 与半径R ，r (R ＞r )的关系来判断．d ＞R ＋r ⇔外离；d ＝R ＋r ⇔外切；R －r ＜d ＜R ＋r ⇔相交；d ＝R －r ⇔内切；d ＜R －r ⇔内含．(2)代数法：设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0.对于方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．[注意] 判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C 1C 2|与R ＋r ，R －r 的关系．1．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________．解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.因为圆C 1与圆C 2相外切，所以|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝5，m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 答案：－5或22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为____________．解析：将已知圆化为标准式得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为。

高三— 直线与圆、圆与圆位置关系

复习课: 直线与圆、圆与圆的位置关系教学目标重点：掌握求解直线与圆的相关问题的基本方法,掌握圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相离、相切和相交.有两种判断方法：（1）代数法（2）几何法. 2．掌握切线方程的求法： 3．掌握弦长求法：（1）几何法,（2）解析法.4．圆与圆的位置关系：看12||O O 与12||r r -和12r r +的大小关系。

难点：掌握直线和圆相切时，求切线方程,当与圆相交时，弦长的计算.能力点：解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质，培养学生的数形结合思想. 教育点：提高学生的数学作图能力，培养学生数形结合应用能力.自主探究点：解直线与圆的问题,要利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷. 易错点：1.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；当与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形．2.对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：直尺，投影仪.一、【知识结构】二、【知识梳理】 1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：判别式法(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： ⇔相交， ⇔相切，相离⇔ .2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式||AB = =说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 3．求过点00(,)p x y 的圆222x y R +=的切线方程 (1)若00(,)p x y )在圆222x y R +=上，则以00(,)p x y 为切点的圆的切线方程为________________．(2)若00(,)p x y 在圆222x y R +=外，则过222x y R +=的切线方程可设00()y y k x x -=-，利用待定系数法求解．说明：求切线斜率时应考虑斜率不存在的情况．4．圆与圆的位置关系的判定外切⇔内切⇔ 相交⇔ 相离⇔ 内含⇔三、【范例导航】【例1】已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=, (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；(2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长【分析】(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系.【解答】 (1)证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过点(0,1)A ，而||3A C R =，所以点(0,1)A )在圆的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点(0,1)A .所以不论k 为何实数，直线和圆总有两个交点．(2)由平面几何知识知过圆内定点(0,1)A 的弦，只有和AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点(0,1)A 为弦AB 的中点，由勾股定理，知||AB =l 被圆C 截得的最短弦长为【点评】解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质.变式训练:已知圆422=+y x ，直线:.l y x b =+当b 为何值时，圆422=+y x 上恰有3个点到直线l 的距离都等于1 ?答案：例2 .已知实数y x ,满足方程01422=+-+x y x ，求：（1）xy的最大值和最小值；（2）x y -的最小值；(3）22y x +的最大值和最小值. 【分析】(1)、(2)转化为直线与圆相交，（3）转化为两点间的距离的平方.【解答】（1）设,y k y kx x ==则直线与圆相切时得d r =求y k x =的取值.xy的最大值最小值（2）x y -的最小值2-；（3）转化为在圆上求一点使222||PO x y =+最大、最小，则22y x +的最大值7+最小值7-【点评】 (1)本题要注意充分利用圆的几何性质答题．(2)要注意解答这类题目的答题格式．使答题过程完整规范．(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰．（4）也可以用三角换元解题. 例3 已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22:(1)(2)4C x y -+-=．(1)求过(3,1)M 点的圆的切线方程；(2)若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值；(3)若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且弦AB 的长为a 的值．【分析】求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．【解答】解 (1)圆心(1,2)C )，半径为2， ①当直线的斜率不存在时，方程为3x =由圆心(1,2)C 到直线3x =的距离2d r ==知，此时，直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时，设方程为1(3)y k x -=- 即130kx y k -+-= 由题意知2d r ===，解得34k =∴方程为3450x y --=.故过M 点的圆的切线方程为3x =或3450x y --=. (2)由题意有2d r ===，解得0a =或43a =(3)∵圆心到直线40ax y -+=的距离为d =222(22+= 解得34a =-. 【点评】注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．变式训练:1.在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．B ．C ．D ．2.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A. [,]124ππB.5[,]1212ππC.[,]63ππD.[0,]2π3.（2011天津卷15）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为__________________．【答案】B B 22(1)18x y ++=例4 a 为何值时，圆2221:2450C x y ax y a +-++-=和圆2222:2230C x y x ay a ++-+-=．(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．【分析】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．【解答】将两圆方程写成标准方程．221:()(2)9C x a y -++= 222:(1)()4C x y a ++-=.∴两圆的圆心和半径分别为1(,2)C a -，13r =，2(1,)C a -，22r =，设两圆的圆心距为d ，则22265d a a =++(1)当5d =，即2226525d a a =++=时，两圆外切，此时5a =-或2a =. (2)当15d <<，两圆相交，此时52a -<<-或12a -<<.(3)当5d >，即2226525d a a =++>时，两圆外离，此时5a <-或2a >. (4)当1d =，即222651d a a =++=时，两圆内切，此时1a =-或2a =-. 【点评】判断两圆的位置关系常和公切线连在一起命题，要注意.变式训练:圆221:2220C x y x y +++-=与圆222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B四、【解法小结】1．过圆外一点M 可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种：(1)用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程．(2)用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程．2．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去22,x y 就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．4．求圆外一点P 到圆C 上任意一点距离的最小值为||PO r -，最大值为||PO r + (其中r r 为圆C 的半径)．5. 求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1-列方程来简化运算．五、【布置作业】必做题：1. （2012年高考（天津理））设,m n R ∈,若直线(1)(1)2m x n y +++=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,则m n +的取值范围是（）A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞2 ．（2012年高考（重庆理））对任意的实数k ,直线:1l y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（）A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心3.一直线经过点3(3,)2P --被圆2225x y +=截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．4．已知圆22:(1)4C x y ++= 4和圆外一点(1A ，(1)若直线m 经过原点O ，且圆O 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程；(2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为,D E ，求切线l 的方程及,D E 两切点所在的直线方程．选做题：5.（2012年高考（山东理））如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 的坐标为______________.6．（2012年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____.答案：D C 3．3x =或34150x y ++= .4．解 (1) 0x =(2) ∴切线的方程为1x =30y -+=；外接圆：2210x y +--=. 5. 【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧2=PA ,即圆心角2=∠PCA,,则22π-=∠PCA ,所以2c o s)22s i n (-=-=πPB ,2sin )22cos(=-=πCB ,所以2s i n 22-=-=CB x p ,2cos 11-=+=PB y p ,所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ,且223,2-==∠πθPCD ,则点P的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ,即)2cos 1,2sin 2(--=OP .6. 【解析】∵圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1.∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点;∴存在0x R ∈,使得||11AC ≤+成立,即min ||2AC ≤. ∵min ||AC 即为点C 到直线2y kx =-,2≤,解得403k ≤≤. ∴k 的最大值是43.六、【教后反思】1.本教案的亮点是：复习相关知识并以填空的形式呈现，非常清晰.再次，例题选择难度适中层层深入，关注高考热点问题的一般思路与方法，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择近两年高考题及模拟题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项是：需考虑无斜率的情况,要充分运用图形的几何性质应用太少..。

绝密资料高中数学直线与圆的位置关系

第49讲直线与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾1、直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.三、自主热身、归纳总结1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为()A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 位置不确定2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 1或23、若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [－3，－1]B. [－1，3]C. [－3，1]D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．5、直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则AB＝________．6、(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()A. 6B.5C．－ 6 D．－57、(多选)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝()A．2 B．48、(2019·湖南长沙月考)设直线l：(m－1)x＋(2m＋1)y＋3m＝0(m∈R)与圆(x－1)2＋y2＝8相交于A，B两点，C为圆心，且△ABC的面积等于4，则实数m＝________.四、例题选讲考点一、直线与圆的位置关系例1、(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离变式1、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)变式2、已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长之比为1∶3的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．考点二圆的弦长问题例2、已知直线ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为32，求实数a的值．变式1、（1）在平面直角坐标系xOy中，直线3x－y＋1－3＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．（2）当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________．（3）若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________．变式2、（1）过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为25，则直线l的方程为_（2）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.考点三圆的切线问题例3、（徐州一中2019届模拟）已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程．变式1、已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1) 求过点P 的圆C 的切线方程；(2) 求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．变式2、已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．五、优化提升与真题演练1、【2020年天津卷】知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．2、【2020年浙江卷】.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．3、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A. B. C. D.4、【2020年全国3卷】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A. y =2x +1 B. y =2x +12 C. y =12x +1 D. y =12x +125、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（）A ．2B ．2C D 6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（）A ．B ．C ．5+D ．3+7、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．8、 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

高三数学复习教案：直线与圆及其位置关系直线与圆位置关系总结

直线、圆方程1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。

特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+。

圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点)2,2(ED --，半径2422F E D r -+=，其中0422>-+F E D 。

二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②、没有xy 项，即B =0；③、0422>-+AF E D 。

直线与直线、直线与圆位置关系1．直线l 1与直线l 2的的平行与垂直（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2；②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1。

（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。

①l 1//l 2⇔212121C C B B A A ≠=； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠； ④l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==； 2．距离（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB ||21x x -、y //AB 轴，则=AB ||21y y -。

高三数学圆及直线与圆的位置关系

【解析】方法一：圆心O(0,0)到直线y＝x
＋b的距离为
d＝
|b| ， 2
(1)当d＜r，即
|b| ＜ 2
2，－2＜b＜2时，直线
与圆相交，有两个公共点．
(2)当d＝r时，即b＝±2时，直线与圆相切，
有一个公共点；
(3)当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆
相离，无公共点．
方法二：联立两个方程得方程组
∴|2k－kk2＋＋1 3|＝2，
解得k＝
3 3.
∴切线方程为y－ 3＝ 33(x－1)，即x－ 3y＋2＝0.
【答案】 D
4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2 ＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．
【解析】 ∵点(0,0)在圆x2＋y2＋ax＋ay＋ 2a2＋a－1＝0外， ∴02＋02＋a×0＋a×0＋2a2＋a－1＞0，即2a2＋a－1＞0，解得a＞21或a＜－1.
x2＋y2＝2 y＝x＋b
，
消去y得，
2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.
(1)当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共
点；
(2)当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点； (3)当Δ＜0，即b＞2或b＜－2时无公共点．
圆与圆的位置关系
已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0 与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B 两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M 的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程．
【答案】 D
2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4