闭区间上连续函数的性质
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高数同济110闭区间上连续函数的性质
求解最值问题方法与步骤
确定函数定义域
首先明确函数f(x)的定义域，确保在求解最值问题时不会超出定义域 范围。
求导数并判断单调性
对函数f(x)求导，得到f'(x)。通过分析f'(x)的符号变化，判断函数在不 同区间的单调性。
寻找可疑点并比较函数值
可疑点包括导数为零的点、导数不存在的点和定义域的端点。将这些 可疑点代入原函数，比较函数值大小，确定最大和最小值。
判定方法与技巧
1 2 3
利用已知函数的有界性
如果已知某个函数在某个区间上是有界的，那么 可以通过这个函数来判定其他函数在该区间上是 否有界。
利用函数的单调性
如果函数在闭区间上单调增加或减少，那么可以 通过比较区间端点处的函数值来确定函数在该区 间上是否有界。
利用函数的周期性
对于周期性函数，可以通过研究其在一个周期内 的性质来判定其在整个定义域上是否有界。
03 闭区间上连续函数最值问 题
最值定理及证明过程
要点一
最值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大 值和最小值。
要点二
证明过程
利用闭区间套定理和连续函数的局部保号性进行证明。首先， 将闭区间[a,b]等分为n个小区间，取各小区间端点处的函数 值，比较大小后得到最大和最小值。然后，不断二分有最大 （小）值的小区间，得到一个闭区间套。最后，由闭区间套 定理知，存在一个点ξ属于所有闭区间套，且f(ξ)为最大（小） 值。
性质
连续函数在定义域内的每一点都连续，且连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍是连续函数。
闭区间上连续函数特点
有界性
闭区间上的连续函数一定在该区间上 有界。
1-8-闭区间上连续函数的性质
个交点 ，如图 1-33 所示.定理的条件是充分的，如图
1-34，不满足定理条件的函数 g(x)也可能在a,b存在零点
.
y
y
y=f(x)
a
O
bx
Oa
bx
图1-33
图1-34
作为零点定理的应用，举例如下：
例 1 证明：五次代数方程x5 5x 1 0 在1, 2 内至
少有一个根.
证 初 等 函 数 f (x) x5 5x 1在 闭 区 间1, 2 上 连
成立.
图 1-31 给出了该定理的几何直 y 观图.
定理的条件是充分的，即当满足
定理条件，函数一定在闭区间上能得
最大值和最小值.
在不满足定理条件下，有的函数 O 也能取得最大值和最小值.如函数
f
(
x)
1 x2 , 1 x 0
在区间
2 x,0 x 2
1, 2内不连续，其最大值 f (0) 2，
对一般函数给出的方程 f (x) 0 是否也这样呢？
x2 1, 1 x 2
例如，函数
f
(
x)
1 , x 1 2
在区间2, 2 上有
x2 1, 2 x 1
定义，f (2) 5 ，f (2) 5 ，端点函数值异号，而在2, 2
内没有使 f (x) 0的点.问题出在 f (x) 在x 1 处间断，f (x)
k max M , m 显然对于任意 x a,b ， f (x) k 都成
立.
二、介值定理
如果x0 使 f (x0 ) 0 ，则x0 称为函数 f (x) 的零点.
在代数学中，对多项式P x 来说，可用P(x) 在某个区
间两端的符号来估计方程P(x) 0 的根的位置.例如，
高等数学闭区间上连续函数的性质
利用函数性质判定
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
闭区间上连续函数的性质(详细版)
不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数 值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到 所指定的接近程度。
定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
h
18
思考题
下述命题是否正确？
如果f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b) 内连续，且f(a) f(b)0，那么f(x)在 (a,b)内必有零点.
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
h
22
• P74：2，3
作业
h
23
h
12
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
11二零点定理不介值定理称为函数fx的零点定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续轴的不同侧个端点位于1内至少有一个根证明1上连续并且1内至少有一点x使得fx01内至少有一个根是x二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续13定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续14二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续那么在开区间ab内至少一点x?推论在闭区间上连续的函数必取得介亍最大值m不最小值m乊间的任何值定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc15设函数上连续且在这区间的端点取不同的函数值推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m不最小值m之间的任何fxabfaafbbab设函数在区间上连续且证明使得fxab则在上连续fafaafbfbb18三一致连续性定理5一致连续性定理如果函数fx在闭区间ab上连续那么它在该区间上一致连续
定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
h
18
思考题
下述命题是否正确？
如果f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b) 内连续，且f(a) f(b)0，那么f(x)在 (a,b)内必有零点.
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
h
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• P74：2，3
作业
h
23
h
12
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
11二零点定理不介值定理称为函数fx的零点定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续轴的不同侧个端点位于1内至少有一个根证明1上连续并且1内至少有一点x使得fx01内至少有一个根是x二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续13定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续14二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续那么在开区间ab内至少一点x?推论在闭区间上连续的函数必取得介亍最大值m不最小值m乊间的任何值定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc15设函数上连续且在这区间的端点取不同的函数值推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m不最小值m之间的任何fxabfaafbbab设函数在区间上连续且证明使得fxab则在上连续fafaafbfbb18三一致连续性定理5一致连续性定理如果函数fx在闭区间ab上连续那么它在该区间上一致连续
闭区间上连续函数的性质(详细版)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
14
高等数学 ● 戴本忠
设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
4
高等数学 ● 戴本忠
例如, y = 1 sin x, 在[0, 2 ]上, ymax = 2, ymin = 0;
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
12
高等数学 ● 戴本忠
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
14
高等数学 ● 戴本忠
设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
4
高等数学 ● 戴本忠
例如, y = 1 sin x, 在[0, 2 ]上, ymax = 2, ymin = 0;
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
12
高等数学 ● 戴本忠
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
闭区间上连续函数的性质
这说明 定理4. 定理4.
在( 0 , 1 ] 上不一致连续 .
上一致连续. 上一致连续.
学
(证明略) 证明略)
哈 尔 滨 工 程 大 学
备用题 正根 . 证： 令 显然
证明
至少有一个不超过 4 的
且
在开区间 根据零点定理 ,
学
内至少存在一点
原命题得证 .
例. 设 f (x) 定义在区间
哈 尔 滨 工 程 大 学
哈 尔 滨 工 程 大 学
关于最值定理的说明： 关于最值定理的说明：
连续的函数, 在闭区间 [a,b] 上连续的函数 一定能取得它的最大值和 最小值。 最小值。 可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。 可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。 区间内部取得最值 区间端点取得最值
y y
哈 尔 滨 工 程 大 学
二、最值定理
定理 1(最值定理 设 f ∈ C [a , b],则存在 x m , x M ∈ [a , b]使得 最值定理) 则存在 最值定理
f ( x m ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x M ) (a ≤ x ≤ b) ；
这里, 这里 f ( x m ) 和 xm 分别称为 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上的最小值 和最小值点; 分别称为 和最小值点 f ( x M ) 和 x M 分别称 为 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上 的最大值和最大值点.
例2. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a =
2 , b= e . a (1− cos x) a 1 2 − 1− cos x ~ x 提示: = 提示 f (0 ) = lim− 2 x→ 0 2 x2
学
f (0+ ) = lim+ ln (b + x2) = ln b x→0 a =1 = ln b 2
高等数学：第四讲 闭区间上连续函数的性质
闭区间上 连续函数的性质
目录
01 有界性与最大值最小值定理 02 介值定理与根的存在定理
（一） 有界性与最大值最小值定理
定理1.3.5（有界性与最大值最小值定理） 若函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，则函数f（x） 在闭区间［a,b］上有界且一定能取得它的最大值和 最小值.
（一） 有界性与最大值最小值定理
谢谢
（一） 有界性与最大值最小值定理
又如函数: f（x）=
｛x +１，-１≤ x <０， 0, x = 0， x -１， 0 < x ≤１
它在［－１，１］上有定义， 但 在x ＝０ 处间断， 不难看出， 函 数在［－１，１］上既无最大值 也无最小值．
（二） 介值定理与根的存在定理
定理1.3.6（介值定理） 若函数f（x） 在闭区间
［ a，b］上连续，且f（a） ≠f（b），则对介于f（a）与 f（b）之间的任意实数c ,在 （a，b）内至少存在一点ξ， 使得f（ξ）= c（a <ξ< b） 成立．
如图１.１３ 所示，结论 是显然的，因为f（x） 从 f（a） 连续地变到f（b） 时， 它不可能不经过c值
特别地， 当f( a)与f(b)异号时， 由介值 定理可得下面的根的存在定理。
这个定理的几何意义更明 显， 如图１.１４， 由条 件f（a）·f（b）<０， 说 明闭区间［a，b］ 上连 续曲线的两个端点（a，f （a））和(b，f( b) )分布 在x 轴的上下两侧， 连续 曲线上点的纵坐标从正 值变到负值， 或从负值变 到正值都必然要经过０， 即曲线必然要和x 轴相 交．设交点横坐标为 ξ， 则有f(ξ) =0
• 定理结论 从几何直观上看是明显 的（如图１.１１）， 闭区间上的 连续函数的图像是包括两个端点 的一条不间断的曲线， 该曲线上 最高点P 和最低点Q 的纵坐标分 别是函数的最大值M和最小值m， 函数在该区间上是有界的
目录
01 有界性与最大值最小值定理 02 介值定理与根的存在定理
（一） 有界性与最大值最小值定理
定理1.3.5（有界性与最大值最小值定理） 若函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，则函数f（x） 在闭区间［a,b］上有界且一定能取得它的最大值和 最小值.
（一） 有界性与最大值最小值定理
谢谢
（一） 有界性与最大值最小值定理
又如函数: f（x）=
｛x +１，-１≤ x <０， 0, x = 0， x -１， 0 < x ≤１
它在［－１，１］上有定义， 但 在x ＝０ 处间断， 不难看出， 函 数在［－１，１］上既无最大值 也无最小值．
（二） 介值定理与根的存在定理
定理1.3.6（介值定理） 若函数f（x） 在闭区间
［ a，b］上连续，且f（a） ≠f（b），则对介于f（a）与 f（b）之间的任意实数c ,在 （a，b）内至少存在一点ξ， 使得f（ξ）= c（a <ξ< b） 成立．
如图１.１３ 所示，结论 是显然的，因为f（x） 从 f（a） 连续地变到f（b） 时， 它不可能不经过c值
特别地， 当f( a)与f(b)异号时， 由介值 定理可得下面的根的存在定理。
这个定理的几何意义更明 显， 如图１.１４， 由条 件f（a）·f（b）<０， 说 明闭区间［a，b］ 上连 续曲线的两个端点（a，f （a））和(b，f( b) )分布 在x 轴的上下两侧， 连续 曲线上点的纵坐标从正 值变到负值， 或从负值变 到正值都必然要经过０， 即曲线必然要和x 轴相 交．设交点横坐标为 ξ， 则有f(ξ) =0
• 定理结论 从几何直观上看是明显 的（如图１.１１）， 闭区间上的 连续函数的图像是包括两个端点 的一条不间断的曲线， 该曲线上 最高点P 和最低点Q 的纵坐标分 别是函数的最大值M和最小值m， 函数在该区间上是有界的
闭区间连续函数的性质
闭区间连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
1、有界性
所谓有界就是指，存有一个正数m，使对于任一x∈[a,b]，都存有|f(x)|≤m。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
2、最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。
最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反
向即可。
3、多值性
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值a、b异号时（此时存有0在a和
b之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点ξ，并使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任
意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。
对于连续性，在自然界中存有bai许多现象，例如气温du的变化，植物的`生长等都
就是已连续地zhi变化着的。
这种现象在函dao数关系上的充分反映，就是函数的连续性。
直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就
是已连续的。
高数闭区间上连续函数的性质
反证法
总结词
通过假设与已知条件矛盾的结论，推 导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
首先假设与已知条件矛盾的结论，即 假设函数在某点不连续。然后根据连 续函数的性质和已知条件，推导出与 假设矛盾的结论。最后得出原命题的 正确性。
归纳法
总结词
通过归纳推理的方法，将无限个特殊情 况归结为一个一般性的结论。
04
闭区间上连续函数的证明方法
定义证明法
总结词
通过直接使用连续函数的定义，对函数在闭区间上的 任意两点进行证明。
详细描述
首先明确连续函数的定义，即在闭区间上，对于任意一 点$x_0$，如果$x_0$是闭区间的内点，则对于任意小的 正数$epsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$|x x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$。然后 根据这个定义，选取闭区间内的任意两点$x_1$和$x_2$， 证明$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的连续性。
解方程的根时非常有用。
03
闭区间上连续函数的应用
利用连续函数求解微分方程
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而连续函数是微分方程的解的必要条件。通过利用闭区 间上连续函数的性质，我们可以求解各种微分方程，如线性微分方程、非线性微分方程和常微分方程 等。
例如，对于一阶线性微分方程，我们可以利用连续函数的积分性质和微分性质，通过求解方程的积分 形式来找到其解。
利用连续函数研究函数的极值问题
极值问题是数学中的一个重要问题，它涉及到函数在某一点 或某个区间上的最大值和最小值。利用闭区间上连续函数的 性质，我们可以研究函数的极值问题，并找到函数的最值。
例如，利用连续函数的极值定理，我们知道如果函数在某点的 导数为0，则该点可能是函数的极值点。然后，我们可以进一步 利用二阶导数性质来判断该点是否为极大值或极小值点，并求 出该点的函数值。
闭区间连续函数的性质
f (0) e3 1 0
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
高数课件第一章第十节 闭区间连续函数的性质
证: 设
由定理 1 可知有 (有界性定理 )
M
?
max
x? [a, b ]
f
(x)
,m
?
min
x? [a , b]
f
(x)
y
M y ? f (x)
取 K ? max{ m , M }, 有 f (x) ? K .
上有界 .
m
o a?1 ?2 b x
若 x0使f (x0 ) ? 0, 则称 x0 为 f (x) 的零点 .
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性
一、最值定理
定义：设 f (x) 在区间 I 上有定义，如果存在
x0 ? I, 使得 ? x ? I,都有
f (x) ? f (x0 ) (或 f (x) ? f (x0 ) )
则称 f ( x0 )为 f (x) 在 I 上的最大值（或最小值）
提示：
?? 1, x ? 0
? g(x) ? 1? x2 f ( x ) ? sgn x ? ??0, x ? 0
??1, x ? 0
? f [g(x)] ? sgn(1? x2 ) ? 1
f [g( x )] 在(?? ,?? )上处处连续
g[
f
(x)]
?
1?
?sgn
x?2?
? 2, ??1,
x?0 x?0
在[0, ? ? )上的最大值为1, 最小值为0.
而在(0, ? ? )上的最大值和最小值都为1.
? 最大值和最小值与所考虑的区间有关。
再如 y ? x ?1 , I ? (0 , 1)
y 2
在 ( 0 , 1 ) 上即无最大值，又无最小值 ? 函数在一个区间上不一定有
第十一节闭区间上连续函数的性质
x
证 由最大值最小值定理可知, 在[a,b]上存在两点 1和 2 使得
f (1 ) m, f (2 ) M
令 于是
F ( x) f ( x) C
F (1 ) 0, F (2 ) 0
F ( ) f ( ) C 0
由零点定理得, 至少存在一点 (a , b ) , 使得
(a, b), 使得 f ( ) C .
几何意义: 介于[a, b]内的连续曲线的最高与最低点之间的 任意直线 y C (m C M ), 至少与该曲线 y f ( x ) 相交
于相交于一点.
y
M B y f ( x) C a o x1 1 A m
2 3 x2 b
方程在 (1, 0) 有一个根 x2
f ( 3) 1 0
f (4) 27 0
方程在 (3, 4) 有一个根 x3
根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根
x1 , x 2 , x 3 是方程的全部实根
[例] 设函数f C [0, 1],且f (0) f (1), 证明 : 1 x0 [0, 1], 使 f ( x0 ) f ( x0 ) 3 1 [证] 令 g( x ) f ( x ) f ( x )
最大值和最小值统称为最值, 最大值点和最小值点统
称为最值点. 例如, y 1 sin x ,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0;
y sgn x, 在(,)上,
ymax 1,
ymin 1;
在(0,)上,
ymax ymin 1.
定理2(最大值和最小值定理) 若函数 f ( x ) 在闭区间
《高等数学》闭区间上连续函数的性质
22
2
续，但它在该区间内是无界的，当然既无最大
值也无最小值（如右图）。
1
又如函数
x 1, 0 x 1
y
f (x)
1,
x 1
x 3, 1 x 2
0
1
2
x
在闭区间[0,2]上有间断点x=1，该函数在闭区间[0,2]上虽然有界，但是既无最大值又无最小值（如 右图）。
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
由零点定理知， 存在 (a,b) , 使得
F(b) f (b) b 0
F( ) f ( ) 0
即
f续函数的性质
两条线：
最值定理
有界性定理
本
讲
内
容
零点定理
介值定理
小
结
应用
推论
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
【思考】用零点定理证明介值定理。 【练习】证明方程 x5 3x 1 至少有一个根介于1和2之间。
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
零点定理的应用——证明方程根的存在性 零点定理的结论：存在 (a,b) ，使得 f ( ) 0 ，实际上就是方程f(x)=0有一个根是 x 。 因而，只需说明函数f(x)在闭区间上连续，在区间端点函数值异号，就能证明方程f(x)=0在开区 间内至少有一个根。
有最大值和最小值。
(1 )
a
0m
定理2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数
一定有界。
2 b x
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
【注意】如果函数在开区间内连续或在闭区间内有间断点，则函数在该区间上不一定有界，
也不一定有最大值和最小值。 y
2
续，但它在该区间内是无界的，当然既无最大
值也无最小值（如右图）。
1
又如函数
x 1, 0 x 1
y
f (x)
1,
x 1
x 3, 1 x 2
0
1
2
x
在闭区间[0,2]上有间断点x=1，该函数在闭区间[0,2]上虽然有界，但是既无最大值又无最小值（如 右图）。
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
由零点定理知， 存在 (a,b) , 使得
F(b) f (b) b 0
F( ) f ( ) 0
即
f续函数的性质
两条线：
最值定理
有界性定理
本
讲
内
容
零点定理
介值定理
小
结
应用
推论
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
【思考】用零点定理证明介值定理。 【练习】证明方程 x5 3x 1 至少有一个根介于1和2之间。
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
零点定理的应用——证明方程根的存在性 零点定理的结论：存在 (a,b) ，使得 f ( ) 0 ，实际上就是方程f(x)=0有一个根是 x 。 因而，只需说明函数f(x)在闭区间上连续，在区间端点函数值异号，就能证明方程f(x)=0在开区 间内至少有一个根。
有最大值和最小值。
(1 )
a
0m
定理2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数
一定有界。
2 b x
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
【注意】如果函数在开区间内连续或在闭区间内有间断点，则函数在该区间上不一定有界，
也不一定有最大值和最小值。 y
闭区间上连续函数的性质(详细版)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对 于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一 点x 使得f(x)=C
13
二、零点定理与介值定理
推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 定理3(零点定理) ○ 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点
个端点位于x轴的不同侧,则曲设函数f(x)在闭区间[a b]上连续
线弧与x轴至少有一个交点.
且f(a)与f(b)异号 即 f(a).f(b)<0，那么在开区间(a
b)
内至少存在一点x 使f(x)=0
11
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个
根
证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在区间[0 1]上连续并且
f(0)=1>0 f(1)=-2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
A C,
Ao m
x
(b) f (b) C B C,
15
(a) (b) 0,
推论 在闭区间(a上, b连),续使的函数必取
几何解(释): 0,即 ( ) f ( ) 得 任C介 何于 值 0最 . , 大值f M(与) 最C小.值m之间的
连续曲线弧 y f ( x)与水平直线 y C至少
有一个交点.
13
二、零点定理与介值定理
推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 定理3(零点定理) ○ 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点
个端点位于x轴的不同侧,则曲设函数f(x)在闭区间[a b]上连续
线弧与x轴至少有一个交点.
且f(a)与f(b)异号 即 f(a).f(b)<0，那么在开区间(a
b)
内至少存在一点x 使f(x)=0
11
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个
根
证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在区间[0 1]上连续并且
f(0)=1>0 f(1)=-2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
A C,
Ao m
x
(b) f (b) C B C,
15
(a) (b) 0,
推论 在闭区间(a上, b连),续使的函数必取
几何解(释): 0,即 ( ) f ( ) 得 任C介 何于 值 0最 . , 大值f M(与) 最C小.值m之间的
连续曲线弧 y f ( x)与水平直线 y C至少
有一个交点.
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P( x) a0 x2n1 a1x2n a2n x a2n1, 不妨设a0 0 a2 n a2 n1 a1 2 n 1 x a0 2 n x 2 n1 , x 0 x x x a2 n a2 n1 a1 因 lim a0 2 n x 2 n1 a0 0, 于是 x x x x lim P( x) , lim P( x)
而 F ( a ) f ( a ) a 0, F ( b ) f ( b ) b 0, 由零点定理, ( a , b ), 使 F ( ) f ( ) 0 , 即 f ( ) .
证明的关键:构造辅助函数 F (x) = f (x) — x.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 上连 续，且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号(即 f ( a ) f ( b ) 0 ),那末在开区间
a , b 内至少有函数 f ( x )的一个零点,即至少有一点
( a b ) ，使
f ( ) 0 .
连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a ) A 及 f (b) B ,
那末，对于 A与 B 之间的任意一个数C ，在开区间 a , b 内 至少有一点 ，使得 f ( ) C ( a b ) .
证 设 ( x) f ( x) C ,
y
M B y f ( x) C a o x1 1 A m
即:若 f ( x) C[a, b], 则 1 , 2 [ a, b], 使得 x [a, b], 有 f (1 ) f ( x), f ( 2 ) f ( x). o a
note:1.若区间是开区间,
y
y f ( x)
2
1 b
x
定理不一定成立;
y
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y 1 sin x , 在[0,2 ]上 , y max 2, y min 0;
y 1 o -1
1
y sgn x , 在 ( , )上 , y max 1, y 1; min 在 ( 0, )上 , y max y min 1.
x
定理1( 最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数一 y 定有最大值和最小值.
思考题 下述命题是否正确？
如果
f ( x ) 在 [a , b ] 上 有 定 义 ， 在 ( a , b ) 内 连 续 ， 且 f ( a ) f ( b ) 0 ，那么 f ( x ) 在 ( a , b ) 内必有零点 . f ( x ) 在 ( 0,1) 内连续 , 答：不正确.
y f ( x) y f ( x)
1
o
2
定理2( 有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该 区间上有界. 证 设函数 f ( x )在[ a , b ]上连续 , x [a , b ],
有 m f ( x ) M , 取 K max{ m , M },
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与 M 最小值 m 之间的任何值.
例1
证 明 方 程 x 3 4 x 2 1 0 在 区 间 (0,1) 内 至 少 有 一 根 .
证 令 f ( x ) x 3 4 x 2 1, 则 f ( x ) 在[0,1]上 连 续 , 又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理, ( a , b ), 使得 f ( ) 0; 即 3 4 2 1 0. 故 方 程 x 3 4 x 2 1 0 在 (0,1)内 至 少 有 一 根 . 同理可证,奇次实系数多项式至少有一个实根.
x x
因此M 0, 使得P(M ) 0, P(M ) 0.
6
例2
设函数 f ( x )在区间 [ a , b ] 上连续 , 且 f ( a ) a , f (b ) b.
证明 ( a , b ), 使得 f ( ) . 证 令 F ( x ) f ( x ) x , 则 F ( x )在[ a , b ]上连续 ,
5
则 ( x )在[ a , b ]上 连 续 ,
且 (a ) f (a ) C A C ,
(b ) f (b ) C B C .
即 ( a ) (b ) 0, 由零点定理,
2 3 x2 b
x
( a , b ), 使 ( ) f ( ) C 0, 即 f ( ) C .
一、有界性与最大值最小值定理
定义:
对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x ), 如果有 ( f ( x ) f ( x0 ))
x0 I , 使得对于任一 x I 都有 f ( x ) f ( x0 )
例如,
则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I 上的最大(小)值.
y
即 方 程 f ( x ) 0在 ( a , b )内 至 少 存 在 一 个 实 根 .
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于 x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
y f ( x)
o
a 1
2
3
b x
4
定理 4(介值定理)
设函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 上
则有 f ( x ) K . 函数 f ( x )在[ a , b ]上有界 .
注 在开区间连续的函数可能没 有界.例如
y 1 O 1
1 y x
1 y , x (0, 2) x
2 x
3
二、零点定理与介值定理 定义: 如 果 x 0 使 f ( x 0 ) 0, 则 x 0 称 为 函 数 f ( x )的 零 点.