第3章 静定结构位移计算07

=
π FPR
4 EA
+k
π FPR π FPR3
4 GA 4 EI +
3. 2 荷载下位移计算公式
讨论: 讨论: 当曲杆的曲率不大时,可用直杆公式计算位移, 当曲杆的曲率不大时,可用直杆公式计算位移,其误差 并不大.大量实际计算结果表明, 并不大.大量实际计算结果表明,当杆轴曲率半径大于截面 高度5倍时,曲率对位移的影响只在0 左右. 因此, 高度 5 倍时 , 曲率对位移的影响只在 0.3% 左右 . 因此 , 本例 可按式( 计算. 可按式(3-5)计算.
线位移,角位移,相对线位移和相对角位移等统称为" 线位移,角位移,相对线位移和相对角位移等统称为"广 义位移" 义位移" (generalized displacement). 与广义位移相对应的力可以是集中力,集中力偶,力系, 与广义位移相对应的力可以是集中力,集中力偶,力系, 力偶系及分布荷载(力和力偶) 统称为"广义力" 力偶系及分布荷载(力和力偶)等,统称为"广义力" (generalized force). 功=广义力×广义位移 广义力×
第3章 静定结构位移计算 章
3. 1 3. 2 3. 3 3. 4 3. 5 3. 6 基本概念 荷载下位移计算公式 图乘法 其他外因下的位移计算 互等定理 结论和讨论
3. 1 基本概念
3.1.1 材料力学变形公式回顾
拉压变形 应变
ε
剪切变形 剪应变 γ 弯曲变形 曲率
κ
FN FN l = ; 伸长 l = EA EA kFQ = GA 1 M = = ρ EI
l e
l
图3-3求位移思路示意图
0
= ∑ ∫ ( F N δε + F Qδγ + Mδκ )ds
e 0
单 位 荷 载 法 ( unit load method) ) 杆系结构位移计算一般公式
3. 2 荷载下位移计算公式
关于单位广义力问题的说明
FP1 = ∑ ∫ (FN δε + FQ δγ + M δκ )ds
图3-3求位移思路示意图
所谓单位广义力所引起的内力 FN, Q 等,是广义力 FP1 F 的比值. 作用引起的内力与广义力 FP1 的比值. 是量纲一的量, 为长度量纲 . 若广义力是集中力 为长度量纲. , FN FQ是量纲一的量 , M 偶,则 F , 是量纲为1 长度的量, 是量纲一的量. F 是量纲为1/长度的量, M 是量纲一的量.
3. 2 荷载下位移计算公式
例题 3-1 (2)均布水压作用下自由端的水平位移. )均布水压作用下自由端的水平位移.
M = R (1 cosθ ) M P = ∫ qRdα R(1 cos (θ α ) = qR
0
θ
2
∫
θ
0
(1 cos θ cos α sin θ sin α )dα
1. 位移计算一般公式 (1)虚位移状态 将待求位移的结构状态视为 虚功原理中的" 虚位移状态" 虚功原理中的 " 虚位移状态 " . (2)力状态 ) 对应于待求广义位移的一个 单位广义力状态( 单位广义力状态 ( 单位广义力记 或 ) 作X=1或FP=1)
FN , FQ , M
F N,FQ,M
1 = ∑∫ (FNδε + FQδγ + Mδκ )ds
3. 1 基本概念
3. 1. 3 变形体虚功原理
1. 表述 任何一个处于平衡状态的变形体, 任何一个处于平衡状态的变形体,当发生任意一个虚位移 变形体所受外力 在虚位移时所作的总虚功 外力在虚位移时所作的 总虚功, 等于变形 时 , 变形体所受 外力 在虚位移时所作的 总虚功 , 恒 等于 变形 体所接受的总虚变形功 总虚变形功. 体所接受的总虚变形功.也即恒有如下虚功方程成立 δWe ≡ δWi 2. 原理的说明 虚功原理中涉及两种状态:一个是变形体处于平衡 (1)虚功原理中涉及两种状态:一个是变形体处于平衡 的力状态;另一个是不管产生位移原因的满足协调条件的微 的力状态;另一个是不管产生位移原因的满足协调条件的微 小位移状态. 小位移状态. 虚功方程中"变形体所接受的总虚变形功 总虚变形功" (2)虚功方程中"变形体所接受的总虚变形功"的含义 将变形体分割成有限或无限个部分时, 为:将变形体分割成有限或无限个部分时,任一部分上全部 外力在此部分变形位移上所做总虚功的和. 外力在此部分变形位移上所做总虚功的和.
3. 1 基本概念
(3)本原理对任意力-变形关系(力学中常称为本构关系) 本原理对任意力 变形关系(力学中常称为本构关系) 任意 可变形物体都适用 都适用. 的可变形物体都适用. (4)本原理就本书所涉及的内容,适用于任何杆件体系结 本原理就本书所涉及的内容,适用于任何杆件体系结 任何杆件体系 构. (5)虚功原理的前提条件是受力作用的变形体平衡,所发 虚功原理的前提条件是受力作用的变形体平衡, 生的虚位移协调. 生的虚位移协调.在这一前提下有虚功方程δWe =δWi恒成立 的结论.因此,它是一个必要性命题. 必要性命题 的结论.因此,它是一个必要性命题. (6)刚体虚位移原理是变形等于零时的特例(也是原理证 刚体虚位移原理是变形等于零时的特例( 变形等于零时的特例 明的基础). 明的基础).
F N FNP M M P = ∑∫ ( + )ds 0 EA EI e
l
(4)组合结构: 组合结构:
l MM F N FNPl P =∑ + ∑∫ ds 0 EA EI e1 e2
3. 2 荷载下位移计算公式
3. 单位荷载法计算位移步骤 单位荷载法计算位移步骤 计算位移 单位荷载法计算位移步骤为: 计算位移步骤为 单位荷载法计算位移步骤为: 沿拟求位移的位置和方向,虚设相应的单位荷载; (1)沿拟求位移的位置和方向,虚设相应的单位荷载; 求单位荷载下结构的内力; (2)求单位荷载下结构的内力; 求荷载作用下结构的内力; (3)求荷载作用下结构的内力; 计算位移,说明位移的方向. (4)计算位移,说明位移的方向
N
Q
3. 2 荷载下位移计算公式
设材料处于线性弹性状态
kFQP FNP MP δε = d s, δγ = d s, δκ = ds EA GA EI
荷载下的位移计算公式: 荷载下的位移计算公式:
FN FNP κ FQ FQP MM P = ∑∫ ( + + )ds 0 EA GA EI e
l
仅适用于荷载下的线性弹性杆系结构
3. 1 基本概念
3. 杆系结构的虚功方程
δ We = ∑ Pi δ Pi + ∑ ∫ q j δq j d s
i j
= ∑ ∫ (FN δε + FQ δγ + Mδκ )ds
l e 0
= δWi
δγ ds
δκ ds
图3-2微段小变形示意
3. 2 荷载下位移计算公式
3. 2. 1 单位荷载法推导位移计算公式
图3-8与图3-1对应的单位广义力
3. 2 荷载下位移计算公式
4. 几个需要注意的问题 ( 1)单位荷载应是沿拟求位移的位置和方向 , 与拟求 ) 单位荷载应是沿拟求位移的位置和方向, 广义单位荷载; 位移相应的广义单位荷载 位移相应的广义单位荷载; ( 2)单位荷载下结构的内力与荷载作用下结构的内力 ) 正负号规定相同; 正负号规定相同; 说明位移的方向, (3)必须说明位移的方向,计算结果为正则实际位移 )必须说明位移的方向 方向与所设的单位荷载方向相同, 方向与所设的单位荷载方向相同,计算结果为负则实际位移 方向与所设的单位荷载方向相反; 方向与所设的单位荷载方向相反; 校核每一步 (4)认真校核每一步.需要特别强调的是:初学读者 )认真校核每一步.需要特别强调的是: 往往公式计算题遗忘刚度( , ) 往往公式计算题遗忘刚度(EA,EI)等,或忽视各杆刚度 的差别,而数值计算题又往往单位不统一. 的差别,而数值计算题又往往单位不统一.必须注意避免出 现这些情况. 现这些情况.
l e 0
FQ FN M 1 = ∑ ∫ ( δε + δγ + δκ )ds 0 F FP1 FP1 e P1
l
FN , FQ , M
1 = ∑ ∫ (FNδε + FQδγ + Mδκ )ds
l e 0
F N,FQ,M
谓单位 所 谓 单位 广 义力实际 上是 广义力除以自身. 广义力除以自身.
3. 2 荷载下位移计算公式
例题 3-1 (1)集中力作用下自由端的竖向位移 )
FNP = FP sin θ FQP = FP cosθ M P = FP R sin θ
s
F N = sin θ F Q = cosθ M = R sin θ
s kF F sM M FNPFN QP Q Ay = ∫ ds + ∫ ds + ∫ P ds 0 EA 0 GA 0 EI π π (FP sinθ) F cos θ = ∫2 (sinθ) Rdθ +∫2 k cos P Rdθ θ 0 0 GA EA π (Rsinθ) + ∫2 (FPRsinθ) Rdθ 0 EI = FN + FQ + M
3. 1 基本概念
k A k B A k P B (a)k截面的竖向位移及其对应的广义力 A B
A
A
B
P
(b)A截面的转角位移及其对应的广义力 P A AB EF P B A P B
(c)A,B两个截面的相对转角位移及其对应的广义力 P
E F
A
B
A
B
(d)EF截面的相对竖向位移其对应的广义力 图3-1 广义位移与广义力的对应关系