人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件

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2019人教版高中数学选修2-2课件：1.7 定积分的简单应用(共31张PPT)

成的曲边梯形的面积S=
.
图1-7-2
预习探究
× √ √
预习探究知识点二定积分在物理中的应用
变速直线运动
变力做功
预习探究
√
√ √
备课素材
1．定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积．解题时，一般先要画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限． 2．定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．
到x=b(a<b),变力F(x)所做的功为
.
(2)利用定积分求变速直线运动的位移,其积分变量是时间,被积函数是速度对时间的函
数;利用定积分求变力所做的功,其积分变量是位移,被积函数是力对位移的函数.
考点类析
例2 一点在直线上从时刻t=0 s开始以速度v=t2-4t+3(v的单位:m/s)运动,求: (1)该点在t=4 s时的位置; (2)该点前4 s走过的路程.
图1-7-4
(1)直线y=-x+2与曲线y=x2所围成的封闭图形的各顶曲边梯形的面积?
(3)所求图形的面积用定积分怎样表示?
(4)利用微积分基本定理计算所求图形的面积.
考点类析
考点类析
例1 求由曲线y=x3与直线x=2,y=0所围成的图形的面积.
考点类析
考点类析
[答案] A
考点类析
[小结] 解答此类题型的关键是熟练掌握功的计算公式,通过这个公式将物理问题转化为数学问题.
备课素材
1．利用“微元法”思想求变力作功、水压力等物理问题．
[例] 设弹簧在1 N力的作用下伸长 0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？

高中数学人教A版选修2-2课件 1-7 定积分的简单应用第13课时《定积分的简单应用》

解析：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t3|40－4t2－23t3|64＝1328.
a
成的曲边梯形的面积．
【练习1】曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是
() A．2
B．3
5 C.2
D．4

3

3
解析：S＝ 2 a
cosxdx＋|

2
cosxdx|＝

2

0
cosxdx－

2
cosxdx＝sinx|

2 0
－
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
变式探究2 (1)一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)
的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为( )
A．46 m
3
(3t2－2t＋4)dt＝()－(8
2
－4＋8)＝18.
答案：(1)B (2)D
考点三利用定积分计算变力做功例3 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，由弹簧伸长到
30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
∴W＝∫00.1250xdx＝25x2|00.12＝0.36(J)．答案：0.36 J

高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用

2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解方法一如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320

2014年人教A版选修2-2课件 1.7 定积分的简单应用

= ee1 = 1.
O
B
x
【小结】
求曲边图形的面积 (1) 将函数曲线所围成的曲边图形分成几个曲边梯形的和或差. (2) 每个曲边梯形的面积等于函数在给定区间上的定积分. (3) 当给定区间的函数在 x 轴下方时, 函数在此区间上的定积分为负, 曲边梯形的面积等于定积分的相反数.
习题 1.7 A组第 1 题. B组第 1、 2、 3 题 .
练习: (课本58页) 只一题.
练习: (课本58页) 求下列曲线所围成的图形的面积: (1) y=x2, y=2x3; (2) y=ex, y=e, x=0. 解: (1) 画出图形, 解出交点 A(3, 9),
y y=x2
y=2x3 A
S = 0 (2 x 3)dx 0 x 2dx 1 2 3 3 = ( x 3 x)|0 ( x 3 )|0 3 = 32 3 3 1 33 3 = 9.
3
3
B C
O
C
x
练习: (课本58页) 求下列曲线所围成的图形的面积: (1) y=x2, y=2x3; (2) y=ex, y=e, x=0. 解: (2) 画出图形, 解出交点 A(1, e),
1 S = e1 0e xdx = e (e x )|1 0
y C 1
y= ex A y= e
y y= x4 B
y = 2x
A
C
x
例2. 计算直线 y=x4, 曲线 y= 2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S.
解: 画出图形, y = 2x D 解法二 (课本), S2 S1 解交点得 A(4, 0), B (8, 4). A C x O 所求面积应为曲边梯形 ODA的面积S1与图形ADB的面积S2之和. 而S2又等于曲边梯形DACB与△BAC的面积之差. 4 8 8 ∴面积 S= 0 2 x dx [4 2 xdx 4( x 4)dx] 3 3 2 2 2 2 1 8 4 2 2 =( x ) |0 ( x ) |4 ( x 2 4 x) |8 4 3 3 2 = 40 . 3

高中数学人教课标版选修2-2《定积分的简单应用》课件

x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去 x 轴下方曲边图形的面积.
（2）当 f ( x ) 对应的曲线
微积分基本定理（1）定理：一般地，如果 f ( x ) 是区间 [a, b] 上的连续函数，并且 F ( x) f ( x) ，那么

b
知识回顾
问题探究
课堂结
随堂检测
探究一：定积分在几何中的应用
活动一：回顾整合，定积分的几何意义的深入研究
2．求由两条曲线 f ( x ) 和 g( x ) ，直线 x a, x b,(a b) ，所围成平面图形的面积s，
主要有以下两种类型：
S [ f ( x ) g ( x )]d x f ( x) g ( x) 0 ，所以图中阴影部分面积为_______________. （1）图④中， a
点拨：1.由多条曲线围成的较为复杂的图形求面积，应根据交点将积分区间进行分段，然后根据图像对各段求面积进而求出需要求的图形面积. y x 2.若积分变量选取运算较为复杂，可以尝试选为积分变量，同时注意更改积分的上、下限.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一：定积分在几何中的应用
活动二：探索利用定积分求平面图形的面积的方法. 例3．在曲线 y x
S 法一：选作积分变量，由图可知：
2
S1 S2 ，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y 2x ，在
3 2 2 16 S [ 2 x ( 2 x )]d x (2 2 x ) 所以，1 0 8 3 3 0 8 1 2 2 2 38 S 2 [4 x ( 2 x )]d x (4 x x ) 又， 2 2 3 2 3

人教A版高中数学选修2-2课件1.7定积分的简单应用(27张PPT).pptx

b
W a F (x)dx
F
y F (x)
Oa
x
b
例1：如图1.7 - 4, 在弹性限
度内 , 将一弹簧从平衡位置
拉到离平衡位置 l m 处, 求弹
力所作的功.
解在弹性限度内,拉伸(或
Q
l
压缩) 弹簧所需的力Fx与
图1.7 - 4 F
弹簧拉伸或压缩的长度 x
成正比,即Fx kx,其中常
思考
定如图, 一桥拱的形状为抛
积物线, 已知该抛物线拱的高为分常数h, 宽为常数b. 的
h
简求证: 抛物线拱的面积 S 2 bh
b
单
3
应
用建立平面直角坐标系确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
定
y -ax2 (a 0) 代抛物线上一点入方程
C t/s o 10 20 30 40 50 60
图1.7 - 3
解由速度时间曲线可知: v/m/s
3t,
0 t 10 ; 30 A
B
vt 30,
10 t 40; 20
10
-1.5t 90,40 t 60.
C t/s
因此汽车在这1min 行驶的路 o 10 20 30 40 50 60
程是 :
图1.7 - 3
S
10
3tdt
40
30dt
60
-
1.5t
90
dt
0
10
40
3 t2 2
10 0
30t 40 10
3 t2 4
60
90t 40

高中数学人教A版选修2-2第一章 1.7定积分的简单应用课件

4
[(4
2
y)
1 2
y2 ]dy
(4 y
1 2
y2
1 6
y3 ) |42
18
练习 3：计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
(0,0), (2,4), (3,9).
A1
0 2
(x3 6x x2 )dx
y x2
图2.如图
y
y f2(x)
oa
bx
b
A1 a f ( x)dx
图y3.如图
a
b
0
x
y f (x)
b
A3 a f ( x)dx
y f1( x)
oa
bx
b
A2 a [ f2 ( x) f1( x)]dx
图4.如图
y
y f2(x)
a
0
bx
b y f1( x)
A4 a [ f2 ( x) f1( x)]dx
类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
(1)
(2)
b
(1) S a f (x)dx
oa c b x
(3)
b
(2) S a f (x)dx
b
c
(3) S c f (x)dx a f (x)dx
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点

人教版数学高二选修2-2讲义1.7定积分的简单应用

1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用1．会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2．会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分与平面图形面积的关系阅读教材P 56～P 58“练习”以上部分，完成下列问题．曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系：(1)如图1-7-1①，阴影部分的面积为S ＝－⎠⎛0a g (x )d x ＋⎠⎛0a f (x )d x ＝_____.① ②图1-7-1(2)如图1-7-1②，阴影部分的面积为S ＝______________.所以，曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．【答案】 (1)⎠⎛0a [f (x )－g (x )]d x (2)⎠⎛0b [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛ba [f (x )－c (x )]d x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y＝sin x，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，与x轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛π22πsin x d x.()(2)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为⎠⎛1x3d x＋⎠⎛12(2－x)d x.()(3)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为⎠⎛-22(4－x2)d x.() 【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 定积分在物理中的应用阅读教材P58～P59“练习”以上部分，完成下列问题．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为____________________.【答案】 1.⎠⎛ab v(t)d t 2.W＝⎠⎛ab F(x)d x一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.【解析】由题意可知，力F(x)所作的功W＝⎠⎛13F(x)d x＝⎠⎛13(4x－1)d x＝(2x2－x)|31＝14 J.【答案】14[小组合作型]利用定积分求平面图形的面积(1)由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A.53B ．1 C.52 D.23(2)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图1-7-2所示)的面积为43，则k ＝________ .图1-7-2【自主解答】 (1)由图可知，所求面积S ＝⎠⎛-10(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪ 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝56＋16＝1.(2)由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.【答案】 (1)B (2)2求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．[再练一题]1．(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A．2 2 B．4 2C．2 D．4(2)由直线y＝12，y＝2，曲线y＝1x及y轴所围成的封闭图形的面积是()【导学号：62952056】A．2ln 2 B．2ln 2－1C.12ln 2 D.54【解析】(1)由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛2(4x－x3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x4⎪⎪⎪2＝4.(2)由题知，x的范围为[0,2]．所以S＝12×32＋⎠⎜⎛1221x d x－32×12＝⎠⎜⎛1221x d x＝ln 2－ln12＝2ln 2.【答案】(1)D(2)A求变速直线运动的路程、位移2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求点P 从原点出发，当t ＝6时，点P 离开原点的路程和位移．【精彩点拨】解不等式v (t )>0或v (t )<0→确定积分区间→求t ＝6时的路程以及位移【自主解答】由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s ＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.1．求变速直线运动的物体的路程(位移)(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛a b |v (t )|d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t . (2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．(3)注意路程与位移的区别．2．求变力做功的方法(1)要明确变力的函数F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算． (3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位换为焦耳．[再练一题]2．在上例题设条件不变的情况下，求P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【解】依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．[探究共研型]变力作功问题探究一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成60°方向做直线运动，则由x ＝1 m 运动到x ＝3 m 时F (x )做的功为多少J .【提示】 W ＝⎠⎛13F (x )cos 60°d x ＝⎠⎛1312F (x )d x ＝⎠⎛1312(5－x 2)d x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3| 31＝23(J )．如图1-7-3所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B ，C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，C D ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5，0≤x ≤90，20，90<x ＜120，(单位：N )，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在C D 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)图1-7-3【精彩点拨】先求出在AB 段、BC 段上拉力F 沿运动方向的分力，再利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 求出各段上功的大小．【自主解答】在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°.由变力做功公式得：W ＝⎠⎛050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30° d x ＋⎠⎛5090⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600 ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x ⎪⎪⎪ 500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x ⎪⎪⎪9050＋600 ＝1 1254 3＋4502＋600≈1 723(J)．所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J.求变力所做功的步骤1．根据物理学的实际意义，求出变力F (x )的表达式．2．由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移到x ＝b (a <b )，因此，求功之前应求出位移的起始位置与终止位置．3．根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x ，求出变力F (x )所做的功．[再练一题]3．在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功．【解】设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ，所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛00.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪ 0.10＝10(J)．1．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]【解析】如图，作出三个函数y ＝e x ，x ＝2，y ＝1的图象，由三者围成的曲边梯形如图阴影部分，若选择x 的积分变量，则积分区间应为[0,2]．【答案】 B2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m /s )的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m【解析】 s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m )．【答案】 B3．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.【解析】如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 【答案】 144．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.【解析】由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.【答案】 49 5．一物体在变力F (x )＝36x 2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功.【导学号：62952057】【解】由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1⎪⎪⎪188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J ．。

1.7 定积分的简单应用课件-高中数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用

下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8处运动到x＝18处，求
力F(x)在这一过程中所做的功．解：由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在[8,18] 上的定积分，从而
18
W＝18F(x)dx＝－36x－1
8
8
＝(－36×18－1)－(－36×8－1)
＝(－2)－－92＝52(J)．
从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为52 J.
0
0
3
3
xdx－ 2 sin xdx＝－cos x ＋cos x 2 ＝3.
0
(4)上下之差：
若在区间[a，b]上 f(x)＞g(x)，则曲线 f(x)与 g(x)所围成
的图形的面积 S＝b[f(x)－g(x)]dx. a 例（2）：求由曲线 y2＝x，y＝x3 所围图形的面积 S.
解：作出曲线 y2＝x，y＝x3 的草图，如右图所示，所求面积为图中阴影部分
A．46 m
B．46.5 m
C．87 m
D．47 m
解析：s＝6 3
(3t＋2)dt＝32t2＋2t 6
3
＝(54＋12)－227＋6＝46.5(m). 答案：B
3．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝________. 解析：图形如右图所示，
S＝1x2dx－114x2dx
0
0
＝134x2dx 0
a
问题3：如何求阴影的面积S? 提示：S＝S1－S2.
[导入新知]
平面图形的面积
由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围
图形的面积．
(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 b[f(x)－g(x)]dx

( 人教A版)高中数学选修22：1.7.2定积分在物理中的应用课件 (共24张PPT)

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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探究一求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
0
答案：45 J
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 6:43:55 PM
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90，在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
[解析] 设活塞活动的距离为 x m，则活塞受到的压强为： P＝8V0＝0.01π800.8－x…………………………………………………………………3 分从而活塞受到的压力为： F＝PS＝0.01π800.8－x×0.01π＝0.88－0 x，……………………………………………6 分 ∵温度保持不变，气体的体积缩小一半． ∴活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W＝0.40.88－0 xdx＝[－80ln(0.8－x)]00.4 ＝80ln 2.

【数学】1.7.2《定积分在物理中的应用》课件(人教A版选修2-2)

1.7.2定积分在物理中的应用
一、变速直线运动的路程
设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s = v(t )dt
a
b
例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽车在这 1 min 行驶的路程。
v/m/s A
30

B
C t/s
O 10 40 60
二、变力所做的功
W = F ( x)dx =
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx = kx |0 = kL 2 2
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a<b），那么变力Ｆ（x）所作的功
W = F ( x)dx
a
b
例：如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力Ｆ（x）与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比．即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有

人教A版高中数学选修22课件：第一章 1.7.2定积分的简单应用(共42张PPT)

•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10ห้องสมุดไป่ตู้ 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:06:44 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10