6.1-集合与映射

a ∈ P
(是单射,但不是满射) 是单射,但不是满射)
5)M,M为任意非空集合,a0 ∈ M ′为固定元素 ) , 为任意非空集合, σ:σ(a)=a0, a ∈ M : =
(既不单射,也不是满射) 既不单射,也不是满射)
6)M=M=P[x],P为数域 ) = , 为数域 σ:σ(f ( ))=f ( ), f ( x ) ∈ P[ x ](是满射,但不是单射) : ( (x))= (x), 是满射,但不是单射) 7)M是一个集合,定义 : ) 是一个集合 定义I: 是一个集合, I(a)=a, a ∈ M = , 8)M=Z,M=2Z, ) , σ:σ(n)=2n, : = n ∈ Z
a1 , a2 ∈ M , 若a1 ≠ a2 , 则σ (a1 ) ≠ σ (a2 ) ( ) ) σ ( a2 则 1 a a a , , a2 M , , (或 1a1a2 ∈∈ M若σ (a1a1 = = (a2 ),), a1a= = 2 2 ),
单射( 则称 σ是M到M的一个单射(或称 σ 为1—1的); 到 的一个单射 的 3)若 σ 既是单射,又是满射,则称 σ 为双射 ) 既是单射,又是满射, 双射. 对应) (或称 σ 为 1—1对应) 对应
σ σ : M → M '或 M M ' M到M的一个映射, 映射, 到 的一个映射 记作 : →
下的像 称 a为 a 在映射 σ 下的像,而 a 称为 在映射 σ 下的 称为a在映射 原像, 原像, 记作 σ (a ) = a′ 或 σ : a a′.
§6.1 集合 映射
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例1
判断下列M 到M 对应法则是否为映射 判断下列
则τ是一个 到M的映射 且对 x ∈ M , 若σ ( x ) = y , 是一个M 的映射, 是一个 的映射
则 τ σ ( x ) = τ (σ ( x )) = τ ( y) = x = I M ( x ), 即τ σ = I M ; y ∈ M ′, 若y= σ ( x ), 有τ (y)= x
第六章 线性空间
§1 集合映射 集合 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数基与坐标 维数 §4 基变换与坐标变换
§6.1 集合映射 集合
一,集合 二,映射
§6.1 集合 映射
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一,集合
1,定义
☆
集合 ☆ 元素 空集
常用大写字母A, , 等表示集合; 常用大写字母 ,B,C 等表示集合; 用小写字母a, , 等表示集合的元素. 用小写字母 ,b,c 等表示集合的元素. 不含任何元素的集合,记为φ. 不含任何元素的集合,记为 . 注意:{φ}≠φ :{φ
τ:τ(a)=aE, a ∈ (E为n级单位矩阵) (是) : 级单位矩阵) = , P 为 级单位矩阵 5)M,M为任意两个非空集合,a0是M中的一个 ) , 为任意两个非空集合, 固定元素. 固定元素 σ:σ(a)=a0, a ∈ M : 6)M=M=P[x](P为数域) ) = 为数域) ( 为数域 σ:σ(f (x))=f (x), f ( x ) ∈ P[ x ] : = ,
§6.1 集合 映射
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4,可逆映射
定义: 定义:设映射 σ : M → M ', 若有映射 τ : M ' → M , 使得 τ σ = I M , σ τ = I M ′ 可逆映射, 逆映射, 则称 σ 为可逆映射,τ 为 σ 的逆映射, 记作 σ 1.
注:
σ的逆映射是由 唯一确定的 的逆映射是由σ唯一确定的 的逆映射是由
§6.1 集合 映射
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注
① 设映射 σ : M → M ' , 集合
σ ( M ) = {σ (a ) a ∈ M }
称之为M在映射 下的像 称之为 在映射 σ 下的像,通常记作 Im σ .
Imσ M '
集合M 自身的映射称为M 的一个变换 变换. ② 集合 到 M 自身的映射称为 的一个变换.
则σ τ ( y ) = σ (τ ( y )) = σ ( x ) = y = I M ′ ( y ), 即 σ τ = I M ′
为可逆映射. ∴σ为可逆映射. 为可逆映射
§6.1 集合 映射
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反之,设 σ : M → M ′ 为可逆映射,则 反之, 为可逆映射,
y ∈ M ′, 有y = σ σ 1 ( y ) = σ (σ 1 ( y ))
1)M={ ,b,c}, ={ 2, 3, 4} ) ={ ={a, , }, ={1, },M } σ:σ(a)=1,σ(b)=1,σ(c)=2 : = , = , = δ:δ(a)=1,δ(b)=2,δ(c)=3,δ(c)=4 : = = = = τ:τ(b)=2,τ(c)=4 : = , = 2)M=Z,M=Z+, ) = , σ:σ(n)=|n|, : = τ:τ(n)=|n|+1, : = +
§6.1 集合 映射
双射) (双射)
(双射) 双射)
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注:
① 对于有限集来说,两集合之间存在 对于有限集来说,两集合之间存在1—1对应 对应 件是它们所含元素的个数相同; 的充要条 件是它们所含元素的个数相同; ② 对于有限集A及其子集 , 对于有限集 及其子集B,若B≠A(即B为A 及其子集 ( 为
§6.1 集合 映射
(是)
(是)
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例2
M是一个集合,定义I: 是一个集合,定义 : 是一个集合 I(a)=a , =
a ∈ M
上的元素映到它自身, 是一个映射, 即 I 把 M 上的元素映到它自身,I 是一个映射, 上的恒等映射 单位映射. 恒等映射或 称 I 为 M 上的恒等映射或单位映射. 任意一个在实数集R上的函数 例3 任意一个在实数集 上的函数 y=f(x) 都是实数集R到自身的映射, 都是实数集 到自身的映射,即,函数可以看成是 到自身的映射 映射的一个特殊情形. 映射的一个特殊情形.
: M → M ' ,有
IM = σ
IM′ σ = σ
有
②设映射σ : M → M ', τ : M ' → M '', ψ : M '' → M ''' ,
(ψ τ ) σ =ψ (τ σ ).
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§6.1 集合 映射
3,映射的性质: 设映射 σ : M → M ' 映射的性质:
即对于任意 y ∈ M ' ,均存在 1)若 Imσ = M ' , ) x ∈ M ,使 y = σ ( x ), 则称 σ 是M到M的一个满射 到 的一个满射 映上的); (或称 σ 为映上的); 2)若M中不同元素的像也不同,即 ) 中不同元素的像也不同, 中不同元素的像也不同
的真子集),则 , 之间不可能存在 之间不可能存在1—1对应; 对应; 的真子集),则 A,B之间不可能存在 ), 对应 但是对于无限集未必如此. 但是对于无限集未必如此 如例7中的 ), 对应, 如例 中的8), 是1—1对应,但2 Z是Z 的真子集. 中的 ),σ是 对应 是 的真子集. M=Z,M=2Z, , σ:σ(n)=2n, n ∈ Z : =
§6.1 集合 映射
(是) (不是) 不是) (不是) 不是)
n ∈ Z
(不是) 不是) (是)
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n ∈ Z
3)M= P ) =
n×n
,M=P,(P为数域) 为数域) 为数域 (是)
n×n
σ:σ(A)=|A|, A ∈ P n×n : = , 4)M=P,M= P ) = , 为数域) ,(P为数域) 为数域
§6.1 集合 映射
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例4
判断下列映射的性质
(既不单射, 既不单射, 也不是满射) 也不是满射) (双射) 双射)
1)M={a,b,c }, M={ 2, 3} ) = , , ={1, } σ:σ(a)=1,σ(b)=1,σ(c)=2 : = , = , = τ:τ(a)=3,τ(b)=2,τ(c)=1 : = , = , = 2)M=Z,M=Z+, ) , τ:τ(n)=|n|+1, : = +
§6.1 集合 映射
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2,映射的乘积
设映射σ : M → M ', τ : M ' → M '', 乘积 τ σ
τ 定义为: 定义为: σ ( a ) = τ (σ ( a )) a ∈ M
τ 的结果, 即相继施行 σ 和 τ 的结果,
映射. 映射. 注: 对于任意映射σ ①
σ 是 M 到 M" 的一个
☆
☆
2,集合间的关系
☆
子集
相等
3,集合间的运算
§6.1 集合 映射
交: ∩ B = { x x ∈ A且x ∈ B } A 并:A ∪ B = { x x ∈ A或x ∈ B }
3/16二,映射源自1,定义设M,M是给定的两个非空集合, 如果有 一个对 , 是给定的两个非空集合, 对于M中的每一个元素 中的每一个元素a, 应法则 σ , 通过这个法则 σ 对于 中的每一个元素 , 都有M中一个唯一确定的元素a与它对应 则称 σ 为 都有 中一个唯一确定的元素 与它对应,
为可逆映射, 也为可逆映射, ① 若 σ 为可逆映射,则 σ 1也为可逆映射,且 (σ 1 )1 = σ ② σ : M → M ' 为可逆映射,a ∈ M,若 σ (a ) = a ', 为可逆映射, 1 σ ( a′ ) = a . 则有 对应. ③ σ 为可逆映射的充要条件是 σ 为1-1对应. 对应
所以σ为满射 为满射. 即, x = σ ( y ) ∈ M , 使y = σ ( x ). 所以 为满射