《电动力学》讲义第03章静磁场
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电动力学第三章
µI 1 ∂Az =− ∂R 2π R
,
∂Az =0 ∂θ
µI ˆ ∴∇× A = eθ 2π R
习题解答
P132/7
半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分 布于截面上，试解矢势 A 的微分方程，设导体的磁 导率为 µ ，导体外的磁导率为 µ 。
0
解:
ˆ ez
∇ A = −µ J
2 0
2 1 2 1 2 1 f
n i( B − B ) = 0
2 1
非铁磁性物质
磁场的边值关系
矢势的边值关系
n
m2
A
2
Dh 0
A
m1
1
∆l
t
A2 t = A1t
∫ ∫
L
Aidl = ( A − A ) ∆l
2t 1t
L
Aidl = ∫ B • dS → 0 若取∇ • A = 0, 可得A2 n = A1n
2
0 1
=0
2 2
1 ∴− µ Ja + d = c lna + d =0 4 1 ∴d = µ Ja ，c2 lna + d2 = 0 4 1 1 1 ∴A = − µ Jr + µ Ja = µ J ( a − r 4 4 4
2 1 0
2 2 2 1 0 0 0
2
)
1 A == µ J ( a − r 4 即 A = c lnr+d 2
µ I z + z 2 + R2 lim A ( P ) − A ( P0 ) = M →∞ ln 4π z + z 2 + R0 2
−M + µ I M + M 2 + R2 = M →∞ lim ln − ln 2 2 4π M + M + R0 −M +
电动力学 3第三章 静 磁 场
2
1．在稳恒场中有
W
1 2
A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
②
1
A
J
不是能量密度。
2
因为能量分布于磁场中，而不仅仅存
在 中于的电A 是流由分电布流区域J 激内发。的另。外，能量式
③ 导出过程
( f g) ( f ) g f ( g)
B H ( A) H
由此可看到矢势 A 的物理意义是：
矢势 A 沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为
界的任一曲面的磁通量。
dS1
B
而每点的A无直接物理意义。
（b）磁通量只与曲面L的边 界有关，与其具体形状无关
L
dS2
３、矢势的不唯一性
②矢势
A
可确定磁场 B
，但由B并不能唯一地确定A，
这是因为对任意函数 。
(
A
4．A 的边值关系 *
磁场的边值关系
n
(H 2
H1 )
n (B2 B1) 0
n
2
（a） n (B2 B1) 0
n ( A2 A1) 0
1
Δl
A dl L
( A2t
A1t )l
L A dl S B dS 0
A2t A1t
A dl L
( A2t
A1t )l
②
若分界面为球面，当
A Ae e
z
A
11 [
r 1
r
(rA1 )
1
2
r
(rA2 )]
x
y
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和V边2 A界S上的J
合肥工业大学电动力学第三章静磁场
第三章
静磁场
可编辑ppt
1
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不
随时间变化的磁场。
基本方程
H
J
B 0
边值关系
n(H2 H1)
n(B2 B1) 0
本节仅讨论 BH情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
y
可编辑ppt
8
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和 V边2A 界S 上的JA和t 或 边界B t
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
W1
BHdV
2
1．在稳恒场中有
W12A
JdV
可编辑ppt
9
③ 导出过程
( f g ) ( f) g f( g )
1．引入磁标势区域磁场满足的场方程
B BH0H00
0M
f
(H)
不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可
讨论铁磁介质或非线性介质。
2．引入磁标势 m
H m
可编辑ppt
15
3． m 满足的泊 松 方程
B 0 ( H M ) 0 H 0 M 0
与 2静 H m电 场 2 m2 0 m 0 比 M 较 引 H入 m m0磁2 荷m 密 度0 M M
可编辑ppt
3
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关
BdS0 S
S1BdS 1S 2BdS 20 dS1
B
(dS2dS1dS)
静磁场
可编辑ppt
1
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不
随时间变化的磁场。
基本方程
H
J
B 0
边值关系
n(H2 H1)
n(B2 B1) 0
本节仅讨论 BH情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
y
可编辑ppt
8
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和 V边2A 界S 上的JA和t 或 边界B t
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
W1
BHdV
2
1．在稳恒场中有
W12A
JdV
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9
③ 导出过程
( f g ) ( f) g f( g )
1．引入磁标势区域磁场满足的场方程
B BH0H00
0M
f
(H)
不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可
讨论铁磁介质或非线性介质。
2．引入磁标势 m
H m
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15
3． m 满足的泊 松 方程
B 0 ( H M ) 0 H 0 M 0
与 2静 H m电 场 2 m2 0 m 0 比 M 较 引 H入 m m0磁2 荷m 密 度0 M M
可编辑ppt
3
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关
BdS0 S
S1BdS 1S 2BdS 20 dS1
B
(dS2dS1dS)
第三章静磁场
ur f
1 r
f z
f z
ur er
fr z
f z r
uur e
1 r
r
rf
1 r
fr
ur ez
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
一些特殊对称情况下的结果：
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
本章内容
在给定自由电流分布及介质分布的情况下如何求解 稳恒磁场。由于稳恒磁场的基本方程是矢量方程，求 解很难，并不直接求解的稳恒磁场磁感应强度，一般 是通过磁场的矢势来求解。在一定条件下，可以引入 磁标势及磁标势满足的方程来求解。我们先引入静磁 场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁 标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
r
4
r3
Idl
r
4 r 3
以上形式正是比奥萨法 尔定律的形式。
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
一些特殊对称情况下的结果：
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
目录
§3.1 矢势及其微分方程 一，稳恒电流磁场的矢势 二，矢势满足的方程及方程的解 三，稳恒电流磁场的能量 四，应用举例
电动力学-第三章 静磁场
一，稳恒电流磁场的矢势 （一）稳恒电流磁场的基本方程
基本方程
边值关系
电动力学-第三章 静磁场
一，稳恒电流磁场的矢势 （二）矢势
第三章 静磁场
若电流分布为体分布 ， 。
二、磁偶极子的场与标势
由磁偶极子的势 可计算出磁偶极子的场，
（其中， ， ）
由于
所以
如果定义 为磁偶极子的磁标势。
则 ，
总之，一个小范围内的电流分布在远处产生的磁场的最初级近似为磁偶极近似，
矢势的最初级近似 。
磁场的最初级近似 。
三、小区域电流在外场中的能量
1、电流分布 在外场中的相互作用能
当研究介质中的磁场时，必须考虑介质的磁化对场的影响。自由电流产生磁场，磁场作用于介质产生磁化电流，又激发磁场，场再作用于介质……也必须象静电学问题一样，求解反映场与介质相互作用的微分方程（在一定边界条件下求解）。
我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
球内磁场是
铁球内外的 和 。 线总是闭合的，而 线则不然。 线从右半球面的正磁荷发出，止于左半球的负磁荷。在铁球内部， 和 反向，说明磁铁内部的 和 是有很大的差异。
代表磁铁内的总宏观磁场，即在物理小体积内对微观磁场的平均值，而 仅为一辅助场量。
静电场
静磁场
无旋场
无源场
（由此，历史上人们错误地认为 与 相对应）
2、矢势的一级近似
恒定电流可以分成许多闭合电流管，我们就一个电流管计算上式。若线圈电流为 ，则有
由于 为线圈上各点的坐标，因此 （ 表示对带撇的变量微分）。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，得
因此
则
其中 ，是电流体系的磁偶极矩。电流分布是一个小线圈，则 ， 是线圈的面积矢量， ， 为线圈法线方向单位向量， 与电流方向满足右手螺旋关系。
若考虑外场变化的情况，设外场是由另一带有电流 的线圈 产生。
二、磁偶极子的场与标势
由磁偶极子的势 可计算出磁偶极子的场，
（其中， ， ）
由于
所以
如果定义 为磁偶极子的磁标势。
则 ，
总之，一个小范围内的电流分布在远处产生的磁场的最初级近似为磁偶极近似，
矢势的最初级近似 。
磁场的最初级近似 。
三、小区域电流在外场中的能量
1、电流分布 在外场中的相互作用能
当研究介质中的磁场时，必须考虑介质的磁化对场的影响。自由电流产生磁场，磁场作用于介质产生磁化电流，又激发磁场，场再作用于介质……也必须象静电学问题一样，求解反映场与介质相互作用的微分方程（在一定边界条件下求解）。
我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
球内磁场是
铁球内外的 和 。 线总是闭合的，而 线则不然。 线从右半球面的正磁荷发出，止于左半球的负磁荷。在铁球内部， 和 反向，说明磁铁内部的 和 是有很大的差异。
代表磁铁内的总宏观磁场，即在物理小体积内对微观磁场的平均值，而 仅为一辅助场量。
静电场
静磁场
无旋场
无源场
（由此，历史上人们错误地认为 与 相对应）
2、矢势的一级近似
恒定电流可以分成许多闭合电流管，我们就一个电流管计算上式。若线圈电流为 ，则有
由于 为线圈上各点的坐标，因此 （ 表示对带撇的变量微分）。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，得
因此
则
其中 ，是电流体系的磁偶极矩。电流分布是一个小线圈，则 ， 是线圈的面积矢量， ， 为线圈法线方向单位向量， 与电流方向满足右手螺旋关系。
若考虑外场变化的情况，设外场是由另一带有电流 的线圈 产生。
第3章 静磁场
µ0 I Ax = − 4π
2π
(
)
18
= Ra sin θ cos φ ′
第三章 静 磁 场
µ0 I Ax = − 4π µ0 I =− 4π
∫ ∫
2π 2 2
a sin φ ′dφ ′ R + a − 2 Ra sin θ cos φ ′ a sin φ ′dφ ′ a + ρ + z − 2a ρ cos φ ′
=0
1 R2 µI M2 2 lim ln =− 2 M →∞ 1 R0 4π M2 2
1 1+ x = 1+ x 2
µ I R2 µI R ln 2 = − ln =− 4π R0 2π R0
r µI R r A( p ) = − ln ez 2π R0
15
第三章 静 磁 场
r r µI R r B = ∇ × A = −∇ × ( ln e z ) 2π R0
第三章 静 磁 场
第三章 静磁场
Static Magnetic Field
1
第三章 静 磁 场
§3.1 矢势及其微分方程
1、矢势
稳恒电流磁场的基本方程 比较 静电场：有源、无旋 静电场：有源、无旋——引入标势 ϕ 引入标势 无源、有旋——不能引入一个标势， 不能引入一个标势， 磁 场：无源、有旋 不能引入一个标势 r 可引入一个矢量 A
r r r = x1 − x2 r r = x2 − x1
∫
V1
r r je ⋅ Adτ 1 =
r r µ ∫ V∫ je ( x1 ) ⋅ 4π V1 2
∫
V2
r r j ⋅ Ae dτ 2 =
r r µ ∫ V∫ j ( x2 ) ⋅ 4π V1 2
电动力学 第三章 静电磁场
均与通过L所围绿色曲面的通量相等
若取整个球面向外的法线为正方向，则通过
的S1与S2通量符号相反，那么总通量为0，即 磁场无通量源
电动力学
例 求无限长、载电流为I的直导线的 矢势和磁感应强度
A
Az ez
0 Iez 4
dz R2 z2
0Iez ln z z2 R2
4
zI dz
R0 P0 RP
电动力学
基本方程
第二篇 静电磁场 —不随时间变化
D
E 0
B 0
H J
电动力学
第三章 静电磁场的基本理论 和研究方法
电动力学
§3.1 静电磁场的势函数
一、静电场的标势
E 0
C2
P2
E dl 0
L
P1
C1
E dl
单位正电荷P1P2，电场力作功：
C1
E dl
将P1C1 P2-C2 P1作为闭合 路径L
2. 第一节中得到的矢势
A(x)
0 4
J(x)dV r
是矢势微分方程的一个特解
电动力学
§3.3 静电磁场势的边值关系
2
一、静电场、磁场标势
静电场
en en
D2 D1 E2 E1
f;
0
P2
P1
1
单位正电荷：P1→P2点，电场力做功？ W12 2 1
(
P1P2→0，故W12→0
2 1 即分界面两侧电势是连续的
Notice
已知矢势的话，磁感应强度即可唯一确定
已知磁感应强 度，矢势？
A B
任意标量场的梯度，皆为无旋场
(A ) B
() 0
A A 规范变换
电动力学第3章课件
一、矢势1. 矢势的概念恒定电流磁场的基本方程是:上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础JΗ=×∇0=⋅∇B §3.1 矢势及其微分方程所包围的区域内没有磁感矢势A 的物理意义是：●它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量●只有A的环量才有物理意义，而每点上A的值没有直接的物理意义我们不难看出有解：,00y B A A A x y z −===同时还可以看出有另一解：xB A A A y x z 0 ,0===除了这两个解，还存在其他的解3. 确定A的辅助条件由于A的这种任意性，要确定A ，必须加一个辅助条件，最常用的办法就是令∇A⋅=对描述磁场的矢势加上约束条件总是可以的，即总是可以找到一个矢势A ，满足证明：设有一个A ，满足0=⋅∇A AB ×∇=但0≠=⋅∇u A 我们另取一个矢势ψ∇+=′A A 显然A ’可以描述磁场，即A B ′×∇=ψψ22∇+=∇+⋅∇=′⋅∇u A A 现在只要取为泊松方程ψu−=∇ψ2对A 所加的辅助条件称为规范条件的一个解，就可以满足0=′⋅∇A二、矢势微分方程1. A 的微分方程在均匀线性介质内，B =∇×A =μH ，代入方程JA μ=×∇×∇)(得矢势A 的微分方程∇×H = J由矢量分析公式AA A 2)()(∇−⋅∇∇=×∇×∇得J A A μ=∇−⋅∇∇2)(若取A 满足规范条件∇⋅A = 0，得矢势的微分方程0)( 2=⋅∇−=∇A J A μA 的每个直角分量A i 满足泊松方程：)321( , 2，，=−=∇i J A i i μne K 另一方面，由于回路面积趋于零，有2B 1B n e由对称性，Aφ只依赖′−′′φθφφcos sin 2d cos Ra 上式的积分可用椭园积分表示ϕ′x较为方便22sin zR R +==ρρθ§3.2 磁标势◆一般情况下，磁场不能用标势描述，而需要用矢势描述◆但解矢势的边值问题比较复杂因此我们需要考虑是否在某些情况下可以引入磁标势，使问题变得简单例如：(3) 对于永磁体，磁场是由分子电流激发的，没有自由电流，全空间均可以引入磁标势描述磁场(1) 如果空间中有自由电流，则挖去电流及电流线所围着的一个曲面S ，在剩下的空间中可以引入磁标势（2）电磁铁：在两磁极间隙处可以引入磁标势二、磁标势的引入及其方程1. 磁标势的引入在J =0 的区域，磁场满足方程)()(000H M H B B H f =+==⋅∇=×∇μ(2.1)(2.2)(2.3)把(2.3)式代入(2.2)，得MH ⋅−∇=⋅∇如果我们把分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，则物质磁化后就会出现假想磁荷分布M⋅∇−=0m μρ与电场情形类似pρ−=⋅∇P张开的立体角点在线圈所围曲面的上方时，则Ω>0 ；有不连续值△Ω=4π。
电动力学 第三章 静磁场
→
n = ez
→
1 R ∇′ = R R3
(d)
→
将式(d)代入式(c)得 将式(d)代入式(c)得: (d)代入式(c)
∫
J
→
x
V
( r ′) dV ′ R ( r ′) d V ′（ R
→ →
→
ρ ∇ ϕ =− ε 电位 ϕ 的解：
2
y
∫ ∫
J
→
y
V
I） ϕ ( r ) = ）
→
1 4πε
∫
ρ ( r ′) d V ′
R
→
V
J
z
z
V
( r ′) dV ′ R
→ →
将式(I) 代入式(g)， 的矢量形式： 将式 代入式 ，得矢势的矢量形式： 的矢量形式
例2. 教材P.80 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 教材 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 圆环
载流为I 半径为a 载流为I、半径为a的圆
→ →
电流位于xy平面， 电流位于xy平面，将圆 xy平面 电流称为磁偶极子，其 电流称为磁偶极子， 磁偶极子 磁矩 m ：
→
n
m
m = I π a n = IS n
→
→
∫
V
J ( r ′) dV ′ R
→ →
→
磁感应强度为
→
µ J (r ′) µ B = ∇ × A= 4π ∇ × ∫V R dV ′ = 4π
1→ → ∫V ∇ × [ R J (r ′)]dV ′
→
µ = 4π
1 → → µ ∫V (∇ R ) × J (r ′)dV ′ = 4π
→ → →
µ0I µ0I l 2 l ） Az ≈ ln( ) = ln( ) （e） 4π r 2π r
n = ez
→
1 R ∇′ = R R3
(d)
→
将式(d)代入式(c)得 将式(d)代入式(c)得: (d)代入式(c)
∫
J
→
x
V
( r ′) dV ′ R ( r ′) d V ′（ R
→ →
→
ρ ∇ ϕ =− ε 电位 ϕ 的解：
2
y
∫ ∫
J
→
y
V
I） ϕ ( r ) = ）
→
1 4πε
∫
ρ ( r ′) d V ′
R
→
V
J
z
z
V
( r ′) dV ′ R
→ →
将式(I) 代入式(g)， 的矢量形式： 将式 代入式 ，得矢势的矢量形式： 的矢量形式
例2. 教材P.80 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 教材 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 圆环
载流为I 半径为a 载流为I、半径为a的圆
→ →
电流位于xy平面， 电流位于xy平面，将圆 xy平面 电流称为磁偶极子，其 电流称为磁偶极子， 磁偶极子 磁矩 m ：
→
n
m
m = I π a n = IS n
→
→
∫
V
J ( r ′) dV ′ R
→ →
→
磁感应强度为
→
µ J (r ′) µ B = ∇ × A= 4π ∇ × ∫V R dV ′ = 4π
1→ → ∫V ∇ × [ R J (r ′)]dV ′
→
µ = 4π
1 → → µ ∫V (∇ R ) × J (r ′)dV ′ = 4π
→ → →
µ0I µ0I l 2 l ） Az ≈ ln( ) = ln( ) （e） 4π r 2π r
《电动力学(第三版)》静磁场chapter3_5
0 H0 x H0R cos
1
H0R cos
b R2
cos
2 R cos
边值关系式在球面R=R0上, 有
H1t H2t ,
B1n B2n 0
用磁标势表出边值关系为
1 2 ,
1 0
R
R R0
H0R0
b R02
aR0,
H0
2b R03
0
a 3H0 ,
b H0R03
2
2
释迈斯纳效应.
超导体电磁性质方程
描述超导体现象的超导体电磁性质方程为
J s
E
t
Js B
nse2 me
J
n
E
J Jn Js
两个方程的系数应该一致，因为：
t
(
Js)
1
B t
1
E
Js t
1E
0
Js t
1E
为任意标量场
欲与伦敦第一方程自洽, 应该取：1 , 0
第三章 静磁场
§3.5 超导体的电磁性质
内容概要
1. 超导的基本电磁现象 2. 超导体的电磁性质方程
1 超导体的基本电磁现象 R/ 0.15
1911年，昂纳斯发现超导现象. 0.10
超导电性：电阻率为零，电导
率为无穷大
0.05
0 4.00 4.10
4.20
4.30
T/K 4.40
开始出现超导电性的温度称为临界温度TC. 在TC 以上, 物体处于正常态,在TC以下为超导态.
n ns nn
超导电子是结成库珀对的电子(L. N. Cooper,1957). 库珀电子对具有相反的动量，总动量为零. 库珀对形成必须借助晶格振动(声子),形成引力而关联.
电动力学-第3章-静磁场
第一节 静磁场的矢势及其微分方程 (8) 矢势 A 的微分方程： ∇2 Ar = −µ Jr
（1）稳恒电流静磁场矢势 A 满足 (矢量) 泊松方程；
（2）与静电场中电势方程 ∇ 2ϕ = − ρ 形式相同； ε
（3）矢势为无源有旋场。
矢势 A 的每个直角分量 Ai 满足泊松方程：
∇2 Ai = −µ Ji , (i = 1,2,3)
dz ↑I z
∫ ∫ 的垂直距离为R，电流元 Idz 到
的距离为：r =
利用
Ar(
xr)
=
µ 4π
RJr2( x+r′)zd2V r
′
=
µ 4π
P点
oR P
I
dlr r
（I
d
lr替代
JrdV
′）
∫ ⇒
Az
=
µI 4π
∞ −∞
dz R2 + z2
积分是发散的!!!
取 P0 (R0, 0, 0) 点为矢势的参考点，计算 P 和 P0 两点间
∫
∇
1 r
×
Jr ( xr′)dV
′
=
(∇
µ 4π
∫
1r Jrrr×=3 rr−drV3
) ′
对于线电流情形，设 I 为导线上的电流强度，作代换
JdV→Idl，得：
Br
=
µ 4π
∫
Idlr × rr r3
这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。
第一节 静磁场的矢势及其微分方程 (14)
讨论：
∫L Ar ⋅ dlr = ( A2t − A1t )∆l ∫L Ar ⋅ dlr = ∫SBr ⋅ dSr → 0
第一节 静磁场的矢势及其微分方程 (3)
静磁场
∇×H =0
∇·B =0
(4)
B = µ0(H + M ) = f (H)
(5)
将(5)式带入(4)式可得：
∇ · H = −∇ · M
★将分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，与∇ · P = −ρp对 应，假想磁荷分布为：
ρm = −µ0∇ · M
铁磁介质的磁标势方程（续）
∇ · H = ρm µ0
H · dS = 0
L
S
★ 举例：无限长直导线：H的旋度仅在r = 0点不为零，但任一绕原点的闭 合曲线环量不为零；
★ 这也就是说：∇ × H是局域的，仅和当地J有关；但H并不是局域的；
★ 同理：∇ · E是局域的，仅和当地ρ有关；但E并不是局域的：∇ · E ? ⇒ E · dS = 0
★ 同理：∇ × A = B = 0 (r = 0)，但： A · dl = B · dS? = 0
L
S
★ 考虑如何选取适当的条件，解决该矛盾。
§ 2.2 关于环量积分的讨论
★ 对于任一点x ∈ L有H(x) = 0，则 H · dl = 0
L
★ 对于任一点x ∈ L有∇ × H(x) = 0，未必 H · dl = 0
L
★ 事实上应该为：对于任一点x ∈ S有∇×H(x) = 0，则 H ·dl = ∇×
+
15 8
r3a3 sin3 θ (r2 + a2)7/2
eφ
在远场条件下(r a)取第一项：
A(r, θ)
=
µ0 4π
I πa2 ez r3
×r
=
µ0 4π
m×r r3
★上式(3)相当于磁偶极子产生的矢势；
∇·B =0
(4)
B = µ0(H + M ) = f (H)
(5)
将(5)式带入(4)式可得：
∇ · H = −∇ · M
★将分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，与∇ · P = −ρp对 应，假想磁荷分布为：
ρm = −µ0∇ · M
铁磁介质的磁标势方程（续）
∇ · H = ρm µ0
H · dS = 0
L
S
★ 举例：无限长直导线：H的旋度仅在r = 0点不为零，但任一绕原点的闭 合曲线环量不为零；
★ 这也就是说：∇ × H是局域的，仅和当地J有关；但H并不是局域的；
★ 同理：∇ · E是局域的，仅和当地ρ有关；但E并不是局域的：∇ · E ? ⇒ E · dS = 0
★ 同理：∇ × A = B = 0 (r = 0)，但： A · dl = B · dS? = 0
L
S
★ 考虑如何选取适当的条件，解决该矛盾。
§ 2.2 关于环量积分的讨论
★ 对于任一点x ∈ L有H(x) = 0，则 H · dl = 0
L
★ 对于任一点x ∈ L有∇ × H(x) = 0，未必 H · dl = 0
L
★ 事实上应该为：对于任一点x ∈ S有∇×H(x) = 0，则 H ·dl = ∇×
+
15 8
r3a3 sin3 θ (r2 + a2)7/2
eφ
在远场条件下(r a)取第一项：
A(r, θ)
=
µ0 4π
I πa2 ez r3
×r
=
µ0 4π
m×r r3
★上式(3)相当于磁偶极子产生的矢势；
理工大学电动力学第三章静磁场
该两式相等，因此电流 j 在外场 Ae 中的相互作用能量
为
Wi j Ae dv
V
5、举例讨论用 A 计算
[例1]无穷长直导线载电流I，求空间的矢势 A 和磁场
B。
Solution :
dz z o
↑I
取导线沿z轴，设p点
到导线的垂直距离为R，电
R
P
流元Idz到p点距离为 R2 z 2
作变换
j d Idl ，即得
B 4
Idl r r3
L
这就是毕奥——萨伐尔定律。 当全空间中电流 j 给定时，即可计算磁场B ，对
于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的
边值问题。 3、矢势边值关系 在两介质分界面上，磁场的边值关系为 ˆ n ( B2 B1 ) 0 ˆ (H H ) n 2 1 f 对应矢势 A 的边值关系为
( c ) ( c E外 )
(3)
由此可见，假若 E 给定，即可由（3）式求出电势 。 外 在 E外 0 区域，（3）式变为
相应的边值关系为：
( c ) 0
(4)
ˆ n ( j2 j1 ) 0 ˆ ( j2 j1 ) 0 n c 2 c1
§3.2 稳恒电流体系的电场
Electric field of steady current system
根据Maxwell's equation,稳恒电流 及其电场所满 足的方程为：
D E 0 j c (E E外 ) j 0
电动力学 第三章 静态电磁场及其边值问题的解
最后得
所以
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
18
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷
能力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
将
两端点乘 ，则有
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
两点间电位差有定值
《电动力学》讲义第03章静磁场
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 2 2 3 3 4 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
2
静磁标势 2.1 磁标势的引入 . . . . . . . . . 2.2 关于环量积分的讨论 . . . . . . 2.3 引入磁标势的条件 . . . . . . . 2.4 铁磁介质的磁标势方程 . . . . . 2.5 磁标势公式与静电场公式的对比 2.6 例一 . . . . . . . . . . . . . . 2.7 几种特殊的电磁介质 . . . . . . 2.8 小结 . . . . . . . . . . . . . . 磁多极矩 3.1 磁矢势的多极展开 . . . . . . . 3.2 磁零极矩形成矢势为零 . . . . . 3.3 磁偶极矩矢势的计算 . . . . . . 3.4 电流线圈的磁偶极矩 . . . . . . 3.5 磁偶极矩产生的磁场以及磁标势 3.6 电流分布在外磁场中的能量 . . 3.7 磁偶极子在外磁场中的有效势能 3.8 有效势能与相互作用能 . . . . . 3.9 小结 . . . . . . . . . . . . . .
1 r 1 r2
↔ϕ∝
1 r
II E ∝ 1 ↔ ϕ ∝ ln r r
不存在无限长的导线
↔ A ∝ ln r
r ln R 0
µI 2π
ez 中，当r → ∞时A → ∞
由∇ × A = B 与∇ × B = µ0 J 方程的相似性：安培环路定理
θ 两个常用公式：∇ × ( e )=0 r
(螺 线 管 、 长 导 线)、(均 匀 磁场、均匀电流)
电动力学讲稿-第三章
势，引入磁标势的第一个条件是空间无传导电流。
（2）空间应为单连通区域
其次考虑整体行为， 根据积分式子 LHdlI，无
论怎样选择L，如果I为零，则可以引入标势。
H 0只说明该区域内没有涡旋场的源，而 不能说明场是无旋的。许多情况下，区域内虽然没有 电流分布，但磁场仍然是涡旋的，它就不是保守场， 故不能引入磁标势。特例：无限长载流导线周围的场
12A
jd
注意：1.
1
A
j
不是能量密度。因为能量分布于磁场
2
中，而不仅仅存在于电流分布区域内。
2. 1 A j 能量式中的 A 是由电流 j激发的。
2
两个独立电流系之间的相互作用能:
设电流系
j、e j,分布于V1和V2，建立矢势Ae
、 A，
j 总 ( x ) j e ( x 1 ) j ( x 2 ) ( x V 1 V 2 V )
另一方面，由于回路面积趋于零，有
LAdlB ds 0
S
所以
A 2 tA 1 t
(3)
b、取 A 0在一区域V内积分，可得
A 2 n A 1 n ( A 0 ) (6)
A2S A1S
矢势连续
4、静磁场的能量
磁场的总能量为
W1
BHd
为 此，引入以电流环为边界的任意曲面，并规定 积分路径不允许穿过此曲面。任何闭合积分路径都不 穿过曲面，这样， m 就是一个单值的。从曲面的一侧 穿过曲面到另一侧，磁标势 m不是连续的。存在着大 小为I的跃变，由此可见，若电流是环形分布的，只能
在挖去环形电流所围成的曲面之后剩下的空间才能可
（2）空间应为单连通区域
其次考虑整体行为， 根据积分式子 LHdlI，无
论怎样选择L，如果I为零，则可以引入标势。
H 0只说明该区域内没有涡旋场的源，而 不能说明场是无旋的。许多情况下，区域内虽然没有 电流分布，但磁场仍然是涡旋的，它就不是保守场， 故不能引入磁标势。特例：无限长载流导线周围的场
12A
jd
注意：1.
1
A
j
不是能量密度。因为能量分布于磁场
2
中，而不仅仅存在于电流分布区域内。
2. 1 A j 能量式中的 A 是由电流 j激发的。
2
两个独立电流系之间的相互作用能:
设电流系
j、e j,分布于V1和V2，建立矢势Ae
、 A，
j 总 ( x ) j e ( x 1 ) j ( x 2 ) ( x V 1 V 2 V )
另一方面，由于回路面积趋于零，有
LAdlB ds 0
S
所以
A 2 tA 1 t
(3)
b、取 A 0在一区域V内积分，可得
A 2 n A 1 n ( A 0 ) (6)
A2S A1S
矢势连续
4、静磁场的能量
磁场的总能量为
W1
BHd
为 此，引入以电流环为边界的任意曲面，并规定 积分路径不允许穿过此曲面。任何闭合积分路径都不 穿过曲面，这样， m 就是一个单值的。从曲面的一侧 穿过曲面到另一侧，磁标势 m不是连续的。存在着大 小为I的跃变，由此可见，若电流是环形分布的，只能
在挖去环形电流所围成的曲面之后剩下的空间才能可
电动力学-第三章
3、矢势边值关系 、
v v n ⋅ ( B2 − B1 ) = 0 ˆ v v v n × ( H 2 − H 1 ) = α ˆ
v v ∇ × A = B v ∇ ⋅ A = 0
A2t = A1t A2 n = A1n
v v A2 = A1
S
S
§3.1 静磁场的矢势及其微分方程
v v B = ∇× A
（ ）.
v v v v v v ∫ B ⋅ ds = ∫ (∇ × A) ⋅ ds = ∫ A ⋅ dl
S S L
v 矢势 A
的
的
的磁
（ ）.
v ∇⋅ A = 0
§3.1 静磁场的矢势及其微分方程
2、矢势满足的微分方程 、
v v ∇ A = − µJ v (∇ ⋅ A = 0)
① 静电场可在全空间引入 ， 无限制条件 ； 静磁场要求在 静电场可在全空间引入，无限制条件； 无自由电流分布的单连通域中才能引入。 无自由电流分布的单连通域中才能引入。 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。 ② 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。
因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式 存在的自由磁荷。 存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁 偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。 偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。
P R r θ o φ' a x
v Id l ′
dz
z o R
z
[例2]半径为 的导线圆环载 例 半径为 半径为a的导线圆环载 电流为I， 电流为 ，求空间的矢势和磁
y
感应强度。 感应强度。
§3.2 磁标势
一、引入磁标势的两个困难
1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。 磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。 2．在电流为零区域引入磁标势可能非单值。 在电流为零区域引入磁标势可能非单值。
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ρ ，可得 对比静电势的方程∇2 ϕ = − ε 0
,
(i = 1, 2, 3)
A(x) =
µ 4π
J (x ) dV r
由于在第一章中已经证明过∇ · A = 0，故此上式确为矢势方程的解。 由给出的A的表达式，可以求出B 为： B =∇×A=∇× µ 4π µ = 4π = 也就是毕奥|萨伐尔定律。 ∇ µ 4π J (x ) dV r
6
3
9 10 10 11 11 12 12 12 13
9
3 5
阿哈罗诺夫{玻姆(Aharonov{Bohm)效应 超导体的电磁性质 5.1 超导体的基本电磁现象 . . . . . . . . . 5.2 超导体的电磁性质方程|伦敦第一方程 5.3 超导体的电磁性质方程|伦敦第二方程 5.4 超导体作为完全抗磁铁 . . . . . . . . .
a)取第一项： A(r, θ ) = µ0 Iπa2 ez × r µ0 m × r = 4π r3 4π r 3
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14 14 14 15
1
第一节
§
静磁场的矢势
1.1
静磁场矢势的引入
描述恒定电流磁场的基本方程： ∇×H =J ∇·B =0 B = µ0 ( H + M ) 由静电场的无旋性引入静电标势⇒静磁场的无源性引入矢势 ∇·B =0⇒B =∇×A A称为磁场的矢势。
§
1.2
矢势A的物理意义
只有 环量才有物理意义
【意义】 沿任一闭合回路A的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。 A · dl =
L S
∇ × A dS =
S
B dS
正是由于B 的无源性，决定了A环量的唯一性。
§
1.3
附图：不同曲面上B 的面积 分相同。与静电场E 的线积 分相似。
矢势A的不确定性
只有横向，没z 轴方向的均匀磁场可以用多个A来描述： Bx = By = 0 ∂Ay ∂Ax − = B0 ∂x ∂y 也可以是： Ax = Az = 0 , Ay = B0 x 事实上A + ∇ψ 与A对应着同一个B ：∇ × (A + ∇ψ ) = ∇ × A 这种任意性决定了只有A的环量才有意义，A本身无直接意义 库仑规范条件：∇ · A = 0 , , Bz = B0
确定了 A ，就可以用矢势 方程描述静磁场 让方程右端为零
并带回到A 的表达式，所得到A 的满足库仑规范条件∇ · A = 0。
§
1.5
矢势的微分方程
在均匀线性介质中有B = µH ，联立B = ∇ × A以及∇ × H = J 可得： ∇ × (∇ × A) = µJ ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A (∇ · A = 0) ∇ 2 A = − µJ ∇2 Ai = −µJi
与静电能比较 自能？互能？
(2)
[∇ · (A × H ) + A · (∇ × H )] dV (A × H ) · dS + A · J dV 1 2 A · J dV
§
1.8
静磁场能量的讨论
公式(2)仅是在静磁场下才成立； A · J 决不是能量密度； 电磁场的能量是分布在场中的， 1 2 A · J 仅在求总能量时有意义。 用能量密度可以计算某区域内的电磁场能量， 1 2 在式(2)中，矢势A是由电流分布J 本身激发的。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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静磁标势 2.1 磁标势的引入 . . . . . . . . . 2.2 关于环量积分的讨论 . . . . . . 2.3 引入磁标势的条件 . . . . . . . 2.4 铁磁介质的磁标势方程 . . . . . 2.5 磁标势公式与静电场公式的对比 2.6 例一 . . . . . . . . . . . . . . 2.7 几种特殊的电磁介质 . . . . . . 2.8 小结 . . . . . . . . . . . . . . 磁多极矩 3.1 磁矢势的多极展开 . . . . . . . 3.2 磁零极矩形成矢势为零 . . . . . 3.3 磁偶极矩矢势的计算 . . . . . . 3.4 电流线圈的磁偶极矩 . . . . . . 3.5 磁偶极矩产生的磁场以及磁标势 3.6 电流分布在外磁场中的能量 . . 3.7 磁偶极子在外磁场中的有效势能 3.8 有效势能与相互作用能 . . . . . 3.9 小结 . . . . . . . . . . . . . .
,
W2 =
1 2
A · J dV
(A · Je ) dV =
1 2
(Ae · J ) dV
注意与静电能比较
所以可得电流J 在外磁场中的相互作用能： Wi = Ae · J dV
例一
【问题】 无穷长直导线载电流I ，求磁场的矢势和磁感应强度。 J (x ) 【解】 书上用A(x) = 4µ dV 积分求解，略去不讲； π r 【讨论】 用量纲分析的方法看此题： • 静电场：I E ∝ • 静磁场：B ∝ 注意公式A = −
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1 × J (x )dV r J (x ) × r dV r3
上述给出的是无界空间的解
3
§
1.6
矢势的边值关系
n · (B2 − B1 ) = 0 n × (H2 − H1 ) = αf
对于非铁磁介质H =
B ，矢势的边值关系为： µ
n · (∇ × A2 − ∇ × A1 ) = 0 n×( 当 A · dl = 1 1 ∇ × A2 − ∇ × A1 ) = αf µ2 µ1
(1)
B · dS → 0时，式(1)可以简化为： A2t = A1t
这是一个重要条件。反例： 螺线管
即A的切向分量连续。
书上关于An 的讨论不合适
§
1.7
静磁场的能量
各向同性线性介质中电磁场能量密度：ω = 1 (E · D + H · B ) 2 磁场的总能量： W = 用矢势和电流来表示总能量： W = = = = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 H · B dV = 2 (∇ × A) · H dV 1 2 H · B dV
∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az − = − =0 ∂y ∂z ∂z ∂x , Ax = −B0 y
Ay = Az = 0
可不可以加这个条件？
2
§
1.4
库仑规范条件存在性
【求证】 总可以找到一个A，既满足B = ∇ × A，又满足库仑规范条件。 【证明】 设某一解A符合B = ∇ × A，但不满足∇ · A = 0 ∇·A=u=0 设A = A + ∇ψ ，故： ∇ · A = ∇ · A + ∇2 ψ = u + ∇2 ψ 取ψ 为如下泊松方程的解 ∇ 2 ψ = −u
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1 r 1 r2
↔ϕ∝
1 r
II E ∝ 1 ↔ ϕ ∝ ln r r
,
(i = 1, 2, 3)
A(x) =
µ 4π
J (x ) dV r
由于在第一章中已经证明过∇ · A = 0，故此上式确为矢势方程的解。 由给出的A的表达式，可以求出B 为： B =∇×A=∇× µ 4π µ = 4π = 也就是毕奥|萨伐尔定律。 ∇ µ 4π J (x ) dV r
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阿哈罗诺夫{玻姆(Aharonov{Bohm)效应 超导体的电磁性质 5.1 超导体的基本电磁现象 . . . . . . . . . 5.2 超导体的电磁性质方程|伦敦第一方程 5.3 超导体的电磁性质方程|伦敦第二方程 5.4 超导体作为完全抗磁铁 . . . . . . . . .
a)取第一项： A(r, θ ) = µ0 Iπa2 ez × r µ0 m × r = 4π r3 4π r 3
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第一节
§
静磁场的矢势
1.1
静磁场矢势的引入
描述恒定电流磁场的基本方程： ∇×H =J ∇·B =0 B = µ0 ( H + M ) 由静电场的无旋性引入静电标势⇒静磁场的无源性引入矢势 ∇·B =0⇒B =∇×A A称为磁场的矢势。
§
1.2
矢势A的物理意义
只有 环量才有物理意义
【意义】 沿任一闭合回路A的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。 A · dl =
L S
∇ × A dS =
S
B dS
正是由于B 的无源性，决定了A环量的唯一性。
§
1.3
附图：不同曲面上B 的面积 分相同。与静电场E 的线积 分相似。
矢势A的不确定性
只有横向，没z 轴方向的均匀磁场可以用多个A来描述： Bx = By = 0 ∂Ay ∂Ax − = B0 ∂x ∂y 也可以是： Ax = Az = 0 , Ay = B0 x 事实上A + ∇ψ 与A对应着同一个B ：∇ × (A + ∇ψ ) = ∇ × A 这种任意性决定了只有A的环量才有意义，A本身无直接意义 库仑规范条件：∇ · A = 0 , , Bz = B0
确定了 A ，就可以用矢势 方程描述静磁场 让方程右端为零
并带回到A 的表达式，所得到A 的满足库仑规范条件∇ · A = 0。
§
1.5
矢势的微分方程
在均匀线性介质中有B = µH ，联立B = ∇ × A以及∇ × H = J 可得： ∇ × (∇ × A) = µJ ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A (∇ · A = 0) ∇ 2 A = − µJ ∇2 Ai = −µJi
与静电能比较 自能？互能？
(2)
[∇ · (A × H ) + A · (∇ × H )] dV (A × H ) · dS + A · J dV 1 2 A · J dV
§
1.8
静磁场能量的讨论
公式(2)仅是在静磁场下才成立； A · J 决不是能量密度； 电磁场的能量是分布在场中的， 1 2 A · J 仅在求总能量时有意义。 用能量密度可以计算某区域内的电磁场能量， 1 2 在式(2)中，矢势A是由电流分布J 本身激发的。
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2
2 2 2 3 3 4 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
2
静磁标势 2.1 磁标势的引入 . . . . . . . . . 2.2 关于环量积分的讨论 . . . . . . 2.3 引入磁标势的条件 . . . . . . . 2.4 铁磁介质的磁标势方程 . . . . . 2.5 磁标势公式与静电场公式的对比 2.6 例一 . . . . . . . . . . . . . . 2.7 几种特殊的电磁介质 . . . . . . 2.8 小结 . . . . . . . . . . . . . . 磁多极矩 3.1 磁矢势的多极展开 . . . . . . . 3.2 磁零极矩形成矢势为零 . . . . . 3.3 磁偶极矩矢势的计算 . . . . . . 3.4 电流线圈的磁偶极矩 . . . . . . 3.5 磁偶极矩产生的磁场以及磁标势 3.6 电流分布在外磁场中的能量 . . 3.7 磁偶极子在外磁场中的有效势能 3.8 有效势能与相互作用能 . . . . . 3.9 小结 . . . . . . . . . . . . . .
,
W2 =
1 2
A · J dV
(A · Je ) dV =
1 2
(Ae · J ) dV
注意与静电能比较
所以可得电流J 在外磁场中的相互作用能： Wi = Ae · J dV
例一
【问题】 无穷长直导线载电流I ，求磁场的矢势和磁感应强度。 J (x ) 【解】 书上用A(x) = 4µ dV 积分求解，略去不讲； π r 【讨论】 用量纲分析的方法看此题： • 静电场：I E ∝ • 静磁场：B ∝ 注意公式A = −
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1 × J (x )dV r J (x ) × r dV r3
上述给出的是无界空间的解
3
§
1.6
矢势的边值关系
n · (B2 − B1 ) = 0 n × (H2 − H1 ) = αf
对于非铁磁介质H =
B ，矢势的边值关系为： µ
n · (∇ × A2 − ∇ × A1 ) = 0 n×( 当 A · dl = 1 1 ∇ × A2 − ∇ × A1 ) = αf µ2 µ1
(1)
B · dS → 0时，式(1)可以简化为： A2t = A1t
这是一个重要条件。反例： 螺线管
即A的切向分量连续。
书上关于An 的讨论不合适
§
1.7
静磁场的能量
各向同性线性介质中电磁场能量密度：ω = 1 (E · D + H · B ) 2 磁场的总能量： W = 用矢势和电流来表示总能量： W = = = = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 H · B dV = 2 (∇ × A) · H dV 1 2 H · B dV
∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az − = − =0 ∂y ∂z ∂z ∂x , Ax = −B0 y
Ay = Az = 0
可不可以加这个条件？
2
§
1.4
库仑规范条件存在性
【求证】 总可以找到一个A，既满足B = ∇ × A，又满足库仑规范条件。 【证明】 设某一解A符合B = ∇ × A，但不满足∇ · A = 0 ∇·A=u=0 设A = A + ∇ψ ，故： ∇ · A = ∇ · A + ∇2 ψ = u + ∇2 ψ 取ψ 为如下泊松方程的解 ∇ 2 ψ = −u
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1 r 1 r2
↔ϕ∝
1 r
II E ∝ 1 ↔ ϕ ∝ ln r r