1.1.2弧度制2

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1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算

3.圆心角的求法：
l
r （其中是弧度制的角）
如：圆周角3600 2r 2
r
思考：
弧度制和角度制如何转化？
弧度制和角度制互换
180 rad
写出一些特殊角的弧度数
角度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3 2
2
2
1、弧长公式:
n r
l
l
180
2、扇形的面积公式：
S扇形
Hale Waihona Puke n360R2
l
n°
r
扇形的弧长和面积公式：
弧度制下扇形弧长和面积公式：
1、弧长公式:
l r
l
（其中ɑ是弧度制的角）
r
2、扇形的面积公式：
S 1 lr 1 r2
22
例3. 扇形AOB中,弧AB所对的圆心角是60º，
半径是50米，求弧AB的长l（精确到0.1米）
情境导思
度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决不同的问题带来方便，那么角的度量都有什么不同的单位制呢？
在初中几何里，我们学习过角的度量，回忆一下：1度的角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种以角度作单位来度量角的制度叫做角度制，角度制是六十进制，很多时候不方便运算，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
57°18′，
1°= 180 rad=0.01745 rad
（教材10页例4）

原创2：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.
引入课题
在平面几何中，1°的角是怎样定义的？将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角. 在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？
l 2 r n
第一章三角函数 §1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1．了解弧度制的有关概念 2. 记住角度制与弧度制的互化 3. 牢记圆心角、弧长与弧度数之间的关系 4. 学会弧度制的相关应用
引入课题
长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.
探究点4 元素与集合的关系
正角的弧度数负角的弧度数零角的弧度数
正数负数
零
典例精讲：
在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？
终边x轴上： β = α + 2kπ(k Z) kπ(k ∈ Z)
终边y轴上：
π + kπ(k Z) 2
拓展提升：
请用弧度制表示下列角度所在区间。锐角：{θ|0°＜θ＜90°}
合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是
多少？
弧AB的长
r 2r
r
2r 3 r
OB旋转的方向逆时针逆时针顺时针顺时针顺时针
∠A后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角. 思考：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？

1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算演示教学

思考7：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种以1º角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
例1.把6730化成弧. 度
解： 63 7 0 6.5 7 67.5 rad 3 rad
180 8
例2.把2rad化成角. 度
解：2rad（2180）（ 18） 0
通常，“弧度r” a” d和可“省略 2，sin sin60
3
练习
把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例4. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
ห้องสมุดไป่ตู้
l
r
问：360度=______弧度
360=2 rad 这是弧度制和角度制互换的根基。
写出一些特殊角的弧度数请总结出通法
角度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360

苏教数必修四同步讲义：1.1 1.1.2 弧度制 Word含答案

1．1.2 弧度制1.了解弧度制的意义．2.能正确的将弧度与角度互化．3.掌握弧长公式和扇形面积公式．1．角度制规定周角的1360为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)弧度数①正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．②角α的弧度数的绝对值|α|＝lr (其中l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)．3．角度与弧度之间的互化及关系(1)度化弧度：360°＝2π rad ，180°＝π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad.(2)弧度化度：2π rad ＝360°，π rad ＝180°，1 rad ＝180°π≈57.30°.4．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：l ＝|α|·r ，(r 为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝l r ，r ＝l|α|.(2)面积公式：S 扇形＝12l ·r (r 为扇形半径，l 为扇形的弧长)，两个变形：S 扇形＝12|α|·r 2，S 扇形＝12l 2|α|(α为扇形圆心角的弧度数)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( )(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．★答案★：(1)× (2)√ 2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°★答案★：C3．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3★答案★：C4．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．★答案★：(1)π10(2)54°角度与弧度的互化(1)将下列各角度化成弧度： ①1 080°，②－750°； (2)将下列各弧度化成角度： ①－7π9，②512.【解】 (1)①1 080°＝1 080×π180 rad ＝6π rad ，②－750°＝－750×π180 rad ＝－25π6 rad.(2)①－7π9 rad ＝－7π9×180°π＝－140°，②512 rad ＝512×180°π＝75°π.角度制与弧度制的互化原则(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×180°π＝360°π.1.将下列角度与弧度进行互化．①20°＝________； ②－15°＝________； ③－115π＝________．解析：①20°＝20×π180＝π9.②－15°＝－15×π180＝－π12.③－115π＝－115π×180°π＝－396°.★答案★：π9 －π12－396°终边相同的角和区域角的弧度制表示(1)设角α1＝－570°，α2＝750°，将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3 是不是第二象限角．【解】 (1)因为－570°＝－19π6＝－4π＋5π6， 750°＝25π6＝4π＋π6.所以α1在第二象限，α2在第一象限． (2)在[0，2π)范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以终边落在第二象限的所有角可表示为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π，所以－10π3是第二象限角．熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时，通常转化为解不等式去求对应的k 值．[注意] 用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如β＝2k π－60°(k ∈Z )这种写法是不正确的．2.(1)在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A ．π5B ．2π5C ．4π5D ．6π5(2)①把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π；②在[0，4π]中找出与2π5角终边相同的角．解：(1)选D ．因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D ．(2)①因为－1 480°＝－1 480×π180 rad＝－749π rad ，又－749π＝－10π＋169π，其中α＝169π，所以－1 480°＝169π－10π.②终边与2π5角相同的角为θ＝2π5＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝2π5；当k ＝1时，θ＝12π5，所以在[0，4π]中与2π5角终边相同的角为2π5，12π5.弧长与扇形面积公式的应用已知一扇形的圆心角是α，半径是r .(1)若α＝60°，r ＝10 cm ，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？【解】 (1)设弧长为l ，弓形的面积为S 弓．因为α＝60°＝π3，r ＝10 cm ，所以l ＝αr ＝103π(cm)，所以S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－34×102＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm2)．(2)由已知2r＋l＝c，所以r＝c－l2(l<c)，所以S＝12rl＝12·c－l2·l＝14(cl－l2)＝－14⎝⎛⎭⎫l－c22＋c216，所以当l＝c2时，S max＝c216，此时α＝lr＝c2c－c22＝2，所以当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值c216.(1)求扇形的弧长和面积①记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．(2)扇形周长及面积的最值问题①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数，用基本不等式可求得扇形周长的最小值．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.3.(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积．(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝lr＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S＝12lr＝12×18×12＝108(cm2)．(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l ＝40－2r ，所以S＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.“度”与“弧度”的区别与联系区别(1)定义不同 (2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关 (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．【解】设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0，解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1 cm 时，l ＝8 cm ，此时θ＝8 rad>2π rad(舍去)；当r ＝4 cm 时，l ＝2 cm ，此时θ＝24＝12(rad)．有关扇形的弧长l ，圆心角α，面积S 的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l ＝|α|r ，S ＝12lr ＝12|α|r 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．1．1 920°转化为弧度数为( )A ．163B ．323C ．163πD ．323π解析：选D ．因为1°＝π180，所以1 920°＝1 920·π180＝32π3.2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cmB ．203π cmC ．2003π cmD ．4003π cm解析：选A ．根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．3．一钟表的分针长为5 cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm. 解析：经过40分钟，分针转过的角是α＝－4×π3＝－43π，则l ＝|α|r ＝5×43π＝203π(cm)．★答案★：203π[学生用书P79(单独成册)])[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C ．由于1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，所以3π4＝34π×⎝⎛⎭⎫180π°＝135°，故选C ．2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z 解析：选D ．150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A ．π2B ．π3C ． 2D ． 3解析：选C ．设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C ．4．钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143 πB ．－143πC ．718πD ．－718π解析：选B ．显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的圆心角大小不变 B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A ．设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________．解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.★答案★：π5，π3，7π157．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3 m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：因为分针20 min 转过的角为－2π3，所以由l ＝|α|r ，得r ＝l|α|＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.★答案★：0.58．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km/h 的速度通过，10 s 内转过的弧度为________．解析：10 s 内列车转过的圆形弧长为103 600×30＝112(km)．转过的角α＝1122＝124(弧度)．★答案★：1249．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ，即l ＝(π－2)r . 因为|α|＝lr ＝π－2，所以α的弧度数是π－2，从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2.10．设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ， B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B ．解：由集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，可知A ＝…∪⎣⎡⎦⎤－9π4，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4 ∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪ ⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，9π4∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．可得集合A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－6，－7π4∪ ⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，6.[B 能力提升]1．设角α的终边为射线OP ，射线OP 1与OP 关于y 轴对称，射线OP 2与OP 1关于直线y ＝－x 对称，则以OP 2为终边的角的集合是( )A ．{β|β＝k ·2π＋α，k ∈Z }B ．{β|β＝(2k ＋1)·π＋α，k ∈Z }C ．{β|β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z }D ．{β|β＝k ·2π＋32π＋α，k ∈Z }解析：选C ．依题意，射线OP 1所对应的角γ满足α＋γ＝k 1·2π＋π，k 1∈Z ，① 射线OP 2所对应的角β满足γ＋β＝k 2·2π－π2，k 2∈Z ，②②－①得β－α＝(k 2－k 1)·2π－32π，即β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z .2．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，则(1)P ，Q 第一次相遇时所用的时间为________． (2)P ，Q 点各自走过的弧长为________，________．解析：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆的交点位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆的交点位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π. ★答案★：(1)4秒 (2)163π 83πRuize 3．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π，所以AB ︵的长为4π.(2)因为S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.(D 为AB 中点) 所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.4．(选做题)将一条绳索绕在半径为40 cm 的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B ，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B 的位置向上提升100 cm ，那么需要多长时间才能完成？解：如图，设将物体向上提升100 cm ，需要的时间为t s.当BB ′＝100 cm 时，AA ′︵的长是100 cm ，AA ′︵所对的圆心角∠AOA ′＝10040＝52(rad)．因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过6×2π60＝π5(rad)．于是t s 转过π5t rad ，所以π5t ＝52，得t ＝252π≈4(s)．。

高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制

(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇形的半径)．要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角．解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角．答案：三

学案4：1.1.2 弧度制

1.1.2弧度制【课标要求】1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能进行弧度与角度的互化．3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【核心扫描】1．对弧度制概念的理解．(难点)2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)新知导学1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值lr与半径的大小无关，仅与角的大小有关．2．角度制与弧度制的换算(1)温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π3＋k ·180°或60°＋2k π等这类错误的写法．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则温馨提示：扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．互动探究探究点1 角α＝2这种表达方式正确吗？探究点2 弧度制与角度制有何区别与联系？探究点3 如何用弧度制表示直角坐标系中的角？题型探究类型一角度制与弧度制的换算【例1】将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．【活学活用1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角； (2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．[规律方法] 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【活学活用2】设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．类型三扇形的弧长及面积公式的应用【例3】已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[规律方法] (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数．【活学活用3】已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．易错辨析角的度量单位不统一及角的大小不清楚【示例】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．[错解] (1)330°＋2k π<θ<75°＋2k π(k ∈Z )，(2)225°＋2k π<θ<135°＋2k π(k ∈Z )．[错因分析] 在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式．[正解] (1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z . (2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z . [防范措施] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式.课堂达标1．下列说法中，错误的说法是( )． A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．α＝－2，则α的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．－2312π rad 化为角度应为________．4．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．5．已知集合A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，求A ∩B .课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.参考答案新知导学1．(2)①半径长②正数负数2．角度制与弧度制的换算(1) 2π 360° π 180°(2) 90° 180°3．α·R互动探究探究点1提示正确．用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角α＝2就表示α是2 rad的角．探究点2提示(1)区别：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指等于周角的1360的角，二者大小显然不同．③用弧度制表示角时，单位“弧度”两个字可以省略不写，但用角度制表示角时，单位“°”不能省略．(2)联系：无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．探究点3提示(1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.(2)类型一角度制与弧度制的换算【例1】【解】(1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.【活学活用1】【解】(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型二用弧度制表示终边相同的角【例2】【解】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°.【活学活用2】【解】(1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.类型三扇形的弧长及面积公式的应用【例3】【解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，为a 216.【活学活用3】【解】设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9， ∴扇形的弧长为4π9r ，由已知，得4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2， ∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.课堂达标1．D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 2．C【解析】1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限． 3．－345°【解析】－2312π＝－2312×180°＝－345°.4．34【解析】由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .5．【解】∵A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，令k ＝1，有2π<α<3π，而2π>4；令k＝0，有0<α<π；令k＝－1，有－2π<α<－π.而－2π<－4<－π，故A∩B＝{α|－4≤α<－π或0<α<π}．。

16-17版-第1章-1.1.2-弧度制和弧度制与角度制的换算

解惑：________________________________________________________
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[小组合作型] 角度与弧度的互化与应用
(1)将下列角度与弧度进行互化. ①20°＝________；②－15°＝________； ③71π2＝________；④－151π＝________. (2)把－157°30′化成弧度为________. (3)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)
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【解析】 B中k＝1时为 π，32π 显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C，D均错，只有A正确.
【答案】 A
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2.与30°角终边相同的角的集合是( )
A.αα＝k·360°＋π6
，k∈Z
B.{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C.{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
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[再练一题] 1.把56°15′化为弧度是( )
5π
5π
A. 8
B. 4
5π
5π
C. 6
D.16
【解析】 56°15′＝56.25°＝2245×1π80＝51π6.
【答案】 D
【导学号：72010003】
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用弧度数表示角
(1)与角23π终边相同的角是( ) 11 A. 3 π B.2kπ－23π(k∈Z) C.2kπ－130π(k∈Z) D.(2k＋1)π＋23π(k∈Z)
＝38π rad.
3 (2)5π
rad＝35×180°＝108°.

人教A版必修四第一章.2 弧度制

弧度
0
6
43
2 3 23 4
5 6
3
2
2
角度
0 -3 0 -4 5
-6 0 -9 0 -1 2 0 -1 3 5 -1 5 0 -180 -2 7 0 -360
弧度
0
-
6
- 4
- 3
- 2
- 2 3
- 3 4
- 5 6
-
-
3 2
-2
人教A版必修四第一章.2 弧度制
人教A版必修四第一章.2 弧度制
S扇=S圆 2
=r2 = 1 R2 = 1l R
2 2
2
人教A版必修四第一章.2 弧度制
人教A版必修四第一章.2 弧度制
例5 计算：
（1）sin ；（2） t a n
4
6
（3）c o s 3
人教A版必修四第一章.2 弧度制
人教A版必修四第一章.2 弧度制
小结
（1） 180 = 弧度；
人教A版必修四第一章.2 弧度制
[例3]
把下列各角化成 2 k0 2 ， k Ζ
的形式：
16 （1） 3
；（2）315 ；（3） 11 ．
7
人教A版必修四第一章.2 弧度制
人教A版必修四第一章.2 弧度制
例4、证明:扇形的面积：S扇=12R2
=1l 2
R
nR nR2
l = ,S= 180 360
•
2对教育来说，阅读是最基础的教学手段，教育里最关键、最重要的基石就是阅读。
•
3但是现在，我们的教育在一定程度上，还不够重视阅读，尤其是延伸阅读和课外阅读。

1.1.2弧度制

l ∴α |= | r
1.1.2 弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.例如:
B 1 O r=1 A
n ⋅ π ⋅1 nπ r ∴1 = Ql = 0 0 180 180
∴n = 180
0
π
精确值
≈ 57.3
π
0
思考: 思考 1rad等于多少度等于多少度? 等于多少度
S是扇形的面积. 是扇形的面积.
1.1.2 弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.例如:
B 1 O r=1 A
r=0.5 l=0.5
nπ ⋅ 0.5 nπ r ∴ 0.5 = Ql = 0 0 180 180
不变. 不变 ∴ n不变思考: 思考半径的大小会不会对该圆心角产生影响? 半径的大小会不会对该圆心角产生影响
(57018') 近似值
0
∴1rad =
180
0
π
即π rad = 180
0
即1 =
180
rad
1.1.2 弧度制填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表. 例1:填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600 弧 0 度
π π
6
π π
3
4
2π 2 3
3π 4
5π 6:按照下列要求把67030'化成弧度按照下列要求,把化成弧度. 按照下列要求化成弧度 (1)精确值精确值; (2)精确到精确到0.001的近似值的近似值. 精确值精确到的近似值

新人教A版高一数学必修四第一章三角函数1.1.2弧度制

[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.

1.1.2 弧度制

{ | 2k , k Z } (2)终边在 x 轴非正半轴的角的集合： { | k , k Z } (3)终边在 x 轴上的角的集合：
{ | (4)终边在 y轴非负半轴的角的集合：

2 3 y (5)终边在轴非正半轴的角的集合： { | 2k , k Z } 2 { | k , k Z } (6)终边在 y轴上的角的集合： 2 k { | , k Z } (7)终边在坐标轴上的角的集合： 2
4.对称关系： (1)若与的终边关于x 轴对称，则 2k (k Z ) (2)若与的终边关于y 轴对称，则 (2k 1) (k Z ) (3)若与的终边关于原点对称，则 (2k 1) (k Z ) (4)若与的终在同一条直线，则 k (k Z )
2 解：设扇形的圆心角为，半径为 rcm ，弧长为lcm ，面积为 Scm ，则：
l 2r 40 l 40 2r 1 1 S lr (40 2r )r 20r r 2 (r 10) 2 100 2 2 ∴当r 10时，扇形的面积最大，最大值为 100cm2 ，这时 l 2 r
(4)第三象限角的集合：
3 { | 2k 2k , k Z } 2
(5)终边在象限内角的集合：
3 { | 2k 2 2k , k Z } 2 { | k

2
(k 1)

2
, k Z}
3.轴线角的集合： (1)终边在 x 轴非负半轴的角的集合： { | 2k , k Z }
180 (rad ) ( ) n n

180

【数学】1.1.2 弧度制(人教A版必修4)2

例2. 把
8
5
化成度。
解：1rad=
(180)
8 8 (180) 55
288
例3. 填写下表：
角度弧度角度弧度角度弧度
0° 30° 45° 60° 90° 120°
0
Hale Waihona Puke 2643
2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
3
5
π
4
6
270° 300° 315° 330° 360°
的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1= rad 0.01745rad
180
1
rad
180
57.30
57 18'
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式： l l r

1.1.2 弧度制(2)

三、例题分析二、例题分析
例1、已知是第三象限角，那么是第几Байду номын сангаас限角？ 3

角的终边所在象限的判断： n (1)不等式法(用于严谨的说明——解答题)； (2)几何法(作为初步判断方法——客观题).
体验：已知α是第三象限角，那么α/2是( )D (A)第一或第二象限角 (B)第一或第三象限角 (C)第一或第四象限角 (D)第二或第四象限角
体验：已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
体验：已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则 l 2r 40， l 40 2r 1 1 S lr (40 2r )r 20r r 2 (r 10)2 100 2 2 当半径r 10cm时，扇形的面积最大，最大面积为 l 40 2 10 2 100cm ，这时 2 rad r 10
2、已知角的终边与的终边相同，则在 [ , ] 3 5 1 7 内与终边相同的角的集合是 { , , } 3 9 9 9
3、弧长为 3 ，圆心角为135°的扇形半径为面积为
4
，
6
三、例题分析
例1、已知是第三象限角，那么是第几象限角？ 3 解：是第三象限角，

1800 k 3600 2700 k 3600，k Z k k 0 0 0 60 360 90 3600，k Z 3 3 3
三、例题分析
例1、已知是第三象限角，那么是第几象限角？ 3