空间向量与几何高考题汇总

例1(2010辽宁理19））已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ； 审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法. 证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,12,0） 111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=-- ,因为110022CM SN ∙=-++= ， 所以CM ⊥SN .【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19) 在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA =1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭已知(1,2,1)AF = ,131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.例 3 （2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证：平面EFG ⊥平面PDC .审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C (－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,12),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴EG=(-1,0,12),GF=(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =（x ，y ，z ），则 EG ∙ m =12x z -+=0且GF ∙ m =x -=0，取y =1，则x =z =0，∴m =（0，1,0）,易证面PDC 的法向量为DA=(2,0,0), ∵DA ∙ m =200100⨯+⨯+⨯=0,∴m ⊥DA, ∴平面EFG ⊥平面PDC【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直. 考点2.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.例4（2010 湖南理18）在正方体1111ABCD A BC D -，E 是棱1DD 的中点。

在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ?证明你的结论。

审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解.解析：以A 为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),1A (0,0,2),1B (2,0,2)，∴BE =(－2,2,1),1BA=（－2，0，2）， 设面1BEA 的法向量为m =（x ，y ，z ），则BE ∙m =22x y z -++=0且1BA ∙ m =22x z +=0，取x =1，则z =－1，y =32，∴m =（1，32，－1）, 假设在棱11C D 上存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ，设F(0x ，2，2)（0≤0x ≤2）,则BF =（02x -，2，2）， 则BF ∙ m =031(2)2(1)22x ⨯-+⨯+-⨯=0，解得0x =1， ∴当F 为11C D 中点时，1B F ∥平面1A BE .【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例5在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 上一点，且1A B ∥面1AC D ，1D 为11B C 的中点，求证：面11A BD∥面1AC D .审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法.解析：以B 点为原点，如图建立坐标系，设AB=a ，BC=2b ，1BB =c ，则A （a ,0,0），1C (0，2b ，c )，1B (0,0, c )，1A (a ，0，c )， ∴1D (0，b ，c )，设D(0，0y ，0)（0≤0y ≤2b ），∴AD=(－a ，0y ，0)，1AC =(－a ，2b ，c )，1BA =(a ，0，c )，1BD=（0，b ，c ）， 设面1A C D的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则AD ∙m =101ax y y -+=0且1AC ∙ m =1112ax by cz -++=0，取1y =a ，则1x =0y ，1z =02ay abc-， 则m =（0y ，a ，02ay abc-）， 又∵1A B ∥面1AC D ， ∴1BA ∙ m =002ay ab ay c c -+⨯=0，解得0y =b ， ∴m =（b ，a ，abc-）， 设面11A BD 的法向量为n =(2x ,2y ,2z ),则1BA ∙ n =22ax cz +=0且1BD ∙n =22by cz +=0，取2z =1，则2x =c a -，2y =c b -，则n =(c a -，cb-，1)， ∴n =cab-m ， ∴m ∥n ， ∴面11A BD ∥面1AC D . 【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.考点3利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度.例6(2010天津理19) 在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；（2）求二面角1A ED F --的正弦值。

审题要津：本题坐标系易建立，可以向量法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭(1)证明：易得10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1(0,2,4)A D =- ,于是1113c o s ,5E F A D E F A D E F A D ==-, 所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为35(2)解：设平面EFD 的法向量n =(,,)x y z ，则EF ∙ n =12y z +=0且ED ∙ n =12x y -+=0，不妨令x =1,可得n =(1,2,－1),设平面1A ED 的法向量m =（m ，n ，p ）则ED ∙m =12m n -+=0且1DA ∙ m =24n p -+=0， 取p =1,则n =2，m =1，则m =（1,2,1） 于是2cos ,==|3∙n m n m n ||m |，从而sin ,nm ，所以二面角1A -ED-F的正弦值为3【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m 、n ，在求出m 、n 的夹角，设两异面直线的夹角θ，利用cos θ=|cos |m,n 求出异面直线的夹角，注意：（1）异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角l αβ--的大小问题，先求出平面α、β的法向量m 、n ，再求出m 、n 的夹角，在α内取一点A ，在β内取一点B ，设二面角l αβ--大小为θ，若AB ∙ n 与AB ∙ m 同号，则θ=m,n ，若AB ∙ n 与AB∙ m 异号，则θ=π-m,n ，注意二面角大小与法向量夹角的关系.例7（ 2010全国卷I 理7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为23D 审题要津：本题是正方体中的线面关系问题，可用空间向量法求解.解析：如图建立坐标系，设正方体棱长为1，1BB 与面1ACD 的夹角为θ，则D(0,0,0),C(0,1,0)，B(1,1,0),A(1,0,0),1D (0,0,1),1B (1,1,1), ∴AC =（－1，1,0），1AD =(－1,0,1),1BB =(0,0,1),设面1ACD 的法向量n =（x ，y ，z ），则0=AC ∙ n =x y -+且0=1AD ∙ n =x z -+，取x =1，则y =1，z =1， ∴n =（1,1,1），∴sin θ=11||||BB BB ∙∙n |n |cos θD.【点评】对于线面夹角问题，若容易建立坐标系，则常用坐标法，建立坐标系，求出线面夹角问题中三位直线的方向向量m 和平面法向量n ，设线面角为θ，则直线方向向量m 在平面法向量n 方向上的投影的长度|∙|m n |n |与直线方向向量m 的模之|m |比||∙|m n |m |n |就是线面夹角的正弦值，即sin θ=||∙|m n |m |n |.历届高考中的空间向量与立体几何试题选讲1.(2008海南、宁夏理)如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。