统计学中几个容易混淆的问题
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一、直方图与条形图 直方图是统计学中对数据描述的一个图形，在高 中教材中也有介绍，但有一部分学生对这个概念理解 不清。曾对学习统计学一年以后的大三学生做过一项 统计学方面的调查，班级共有68名学生，有36名学生 对直方图与条形图不能很好地区分开来，约占53%。 有的学生把二者混为一谈，对于二者的应用范围分不 清楚。条形图是用宽度相同的条形的高来表示数据多 少的图形，每一矩形表示一个类别，其宽度没有实际 意义，每个小矩形不相连。条形图有单式条形图和复 式条形图之分，它一般适应于品质数据。 直方图是用于展示定量数据分布的一种常用图 形，它是用矩形的宽度和高度来表示频数的分布，矩 形的宽度表示分组数据的组距，由于分组数据具有连 续性，所以每个矩形是相连的，通过直方图可以观察 数据分布的大致情况。一般用每个小区间内的频率比 上组距来表示小矩形的高度，这样做是为了使得直方 图围成的面积为1，因为一维连续型随机变量的概率 密度函数与x轴围成的面积为1，通过对直方图的折线 近似拟合，观察这条折线与已知分布的哪个概率密度 函数拟合得比较好，可得出这组数据的大致分布。 但是，在有的教材中，往往把直方图的高这一数 据标错，给学生理解带来困难。右图为某公司电脑销 售额分布的直方随机变量X、Y的相关系数一般用rXY （简记为r）或
ρ XY 表 示 ，定 义 为 r XY =
Cov（X，Y） ，这里随机变 姨D（X）姨D（Y）
比较分散。方差的开平方 姨D（X）称为标准差或均方 差。方差和标准差是否有单位，应该怎样定义单位呢？ 关于这个问题有很多人认识不清，方差和标准差是否 有单位，取决于“样本数据”，若“样本数据”有单位，那 么方差和标准差均有单位；若“样本数据”是没有单位
收稿日期：2018-11-24 基金项目：本文系河南大学民生学院教育教学改革研究项目“统计学课程教学改革与实践探究”（项目编号：MSJG2014018）研究成果 作者简介：张明亮，教授，硕士生导师，研究方向为概率统计、数学教育。
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2019 年 6 月 第 24 期
教育教学论坛 EDUCATION TEACHING FORUM
Jun. 2019 NO.24
的数值，那么方差和标准差均没有单位。由方差的定 关系；相关系数为1，也只能说明随机变量X与Y之间以
义知，一个随机变量X的方差，是这个随机变量与它的 概率1存在着线性关系，直观来说，就是几乎所有的点
2019 年 6 月 第 24 期
【学法指导】
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Jun. 2019 NO.24
统计学中几个容易混淆的问题
张明亮 （河南大学 民生学院，河南 开封 475004）
摘要：统计学是一门重要的学科，在日常生活中有着极其广泛的应用。本文对统计学教学中几个容易混淆
个明显的错误。
四、无限与不可数
可数和无穷多是两个不同的概念。可数可以简单
地认为是可以按一定顺序排列出来，所以也称为可
列。如所有自然数{0，1，2，3，…}是可数个，只要能与自
然数一一对应就是可数的，如所有奇数、所有偶数、所
有有理数都是可数的。不可数就是没有办法一一排列
出来，如区间［0，1］内的所有实数就是不可数的。
例：根据例4.1的数据，计算9名员工月工资收入的 方差和标准差。
解 ： 根 据 式 （4.9） 得 ：s 2 = （1500-1200）2+（750-1200）2+…+（1630-1200）2
9-1 =186350（元）
根据式（4.11）得标准差为：s= 姨186350 =431.683
（元）。
这里方差与标准差的单位都写成了“元”，这是一
的问题进行阐明，旨在帮助学生对统计学中的一些概念有个正确的理解。
关键词：统计学；直方图；总体；相关系数
中图分类号：C81
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2019）24-0188-02
统计学是一套处理和分析数据的方法和技术，是 一门数据分析的学科。统计学作为一门基础课程，越 来越受到人们的重视，呈现着新的发展趋势及活力。 但是，学生往往对一些概念产生模糊认识，甚至一些 教科书中，也出现对一些概念表述不清的情况，这里 就学生在学习中容易产生混淆的几个问题进行阐述， 旨在帮助学生对一些概念有一个正确的理解。
高度都不是频率与组距的比，直方图围成的面积自然 也不能保证是1。
二、对总体的理解 总体是指研究的对象的全体或试验的全部可能 的观察值。由此可见，总体是指研究对象，一般是一些 具体的数值。如，要考察一个班级《统计学》期末的考 试成绩，不能把这个班的学生看作总体，而应是每个 学生的《统计学》成绩组成的集合为总体，因为这里考 察 的 仅 仅 是《统 计 学》的 成 绩 ，而 不 是 其 他 学 科 的 成 绩。有的学生对总体理解不到位，甚至一些教材上也 犯有同样的错误。 三、方差与标准差的单位 随机变量X的方差用D（X）或Var（X）表示，若 E [X-E（X）]2存在，则D（X）=E[X-E（X）]2称为随机变量X 的方差。它刻画了随机变量X的取值与其数学期望E （X）的偏离程度，若方差较小，意味着随机变量X的取 值比较集中在E（X）附近，反之，说明随机变量X取值
数学期望的差的平方的数学期望，若这个随机变量X （X、Y）都在直线Y=aX+b上，允许个别点不在这条直线
有单位，它的数学期望就与这个随机变量具有相同的 上，不在这条直线上的点的概率应为0，但不能说二者
单位，二者差的平方的单位应该是原单位的平方，再 求数学期望则单位不变，因此，方差的单位应该是“样 本数据”单位的平方，而标准差是由方差开方得到，所 以标准差的单位与“样本数据”的单位相同。如果数据 的单位是千克，方差的单位就是千克的平方，标准差 的单位就是千克；如果数据的单位是秒，方差的单位 就是秒的平方，标准差的单位就是秒。只是现在教科 书中对方差的单位比较淡化，一般考试中，所求的方 差不要求写单位。但是，在有的教材中仍会出现单位 标注错误。有本教材给出的例题是这样的：
ρ XY 表 示 ，定 义 为 r XY =
Cov（X，Y） ，这里随机变 姨D（X）姨D（Y）
比较分散。方差的开平方 姨D（X）称为标准差或均方 差。方差和标准差是否有单位，应该怎样定义单位呢？ 关于这个问题有很多人认识不清，方差和标准差是否 有单位，取决于“样本数据”，若“样本数据”有单位，那 么方差和标准差均有单位；若“样本数据”是没有单位
收稿日期：2018-11-24 基金项目：本文系河南大学民生学院教育教学改革研究项目“统计学课程教学改革与实践探究”（项目编号：MSJG2014018）研究成果 作者简介：张明亮，教授，硕士生导师，研究方向为概率统计、数学教育。
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的数值，那么方差和标准差均没有单位。由方差的定 关系；相关系数为1，也只能说明随机变量X与Y之间以
义知，一个随机变量X的方差，是这个随机变量与它的 概率1存在着线性关系，直观来说，就是几乎所有的点
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统计学中几个容易混淆的问题
张明亮 （河南大学 民生学院，河南 开封 475004）
摘要：统计学是一门重要的学科，在日常生活中有着极其广泛的应用。本文对统计学教学中几个容易混淆
个明显的错误。
四、无限与不可数
可数和无穷多是两个不同的概念。可数可以简单
地认为是可以按一定顺序排列出来，所以也称为可
列。如所有自然数{0，1，2，3，…}是可数个，只要能与自
然数一一对应就是可数的，如所有奇数、所有偶数、所
有有理数都是可数的。不可数就是没有办法一一排列
出来，如区间［0，1］内的所有实数就是不可数的。
例：根据例4.1的数据，计算9名员工月工资收入的 方差和标准差。
解 ： 根 据 式 （4.9） 得 ：s 2 = （1500-1200）2+（750-1200）2+…+（1630-1200）2
9-1 =186350（元）
根据式（4.11）得标准差为：s= 姨186350 =431.683
（元）。
这里方差与标准差的单位都写成了“元”，这是一
的问题进行阐明，旨在帮助学生对统计学中的一些概念有个正确的理解。
关键词：统计学；直方图；总体；相关系数
中图分类号：C81
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2019）24-0188-02
统计学是一套处理和分析数据的方法和技术，是 一门数据分析的学科。统计学作为一门基础课程，越 来越受到人们的重视，呈现着新的发展趋势及活力。 但是，学生往往对一些概念产生模糊认识，甚至一些 教科书中，也出现对一些概念表述不清的情况，这里 就学生在学习中容易产生混淆的几个问题进行阐述， 旨在帮助学生对一些概念有一个正确的理解。
高度都不是频率与组距的比，直方图围成的面积自然 也不能保证是1。
二、对总体的理解 总体是指研究的对象的全体或试验的全部可能 的观察值。由此可见，总体是指研究对象，一般是一些 具体的数值。如，要考察一个班级《统计学》期末的考 试成绩，不能把这个班的学生看作总体，而应是每个 学生的《统计学》成绩组成的集合为总体，因为这里考 察 的 仅 仅 是《统 计 学》的 成 绩 ，而 不 是 其 他 学 科 的 成 绩。有的学生对总体理解不到位，甚至一些教材上也 犯有同样的错误。 三、方差与标准差的单位 随机变量X的方差用D（X）或Var（X）表示，若 E [X-E（X）]2存在，则D（X）=E[X-E（X）]2称为随机变量X 的方差。它刻画了随机变量X的取值与其数学期望E （X）的偏离程度，若方差较小，意味着随机变量X的取 值比较集中在E（X）附近，反之，说明随机变量X取值
数学期望的差的平方的数学期望，若这个随机变量X （X、Y）都在直线Y=aX+b上，允许个别点不在这条直线
有单位，它的数学期望就与这个随机变量具有相同的 上，不在这条直线上的点的概率应为0，但不能说二者
单位，二者差的平方的单位应该是原单位的平方，再 求数学期望则单位不变，因此，方差的单位应该是“样 本数据”单位的平方，而标准差是由方差开方得到，所 以标准差的单位与“样本数据”的单位相同。如果数据 的单位是千克，方差的单位就是千克的平方，标准差 的单位就是千克；如果数据的单位是秒，方差的单位 就是秒的平方，标准差的单位就是秒。只是现在教科 书中对方差的单位比较淡化，一般考试中，所求的方 差不要求写单位。但是，在有的教材中仍会出现单位 标注错误。有本教材给出的例题是这样的：