4.3 麦克斯韦速率分布律
第四章-maxwell速度分布率
12.8% 12.8%
6.2%
6.2% 0 90 140 190
4.0% 240 290 340 390
v
8
∆N N∆v
∆N N∆v
速率分布曲 线
v
O f ( v ) = dN 速率分布函数 O 速率分布函数
Ndv
v
面积大小代表速率v附 面积大小代表速率 附 近dv区间内的分子数 区间内的分子数 占总分子数的比率 dN dN ⋅ dv = Ndv N v
4-3 麦克斯韦分子速率分布率
一、分子速率分布的实验测定 分子速率的规律早在1859年由麦克斯韦应用统计 年由麦克斯韦应用统计 分子速率的规律早在 概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。 概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。
平衡态下， 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律 这个规律叫麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦速度分布律。 的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑 麦克斯韦速率分布律。 分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律 分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
T1 < T2 < T3
vp
v
20
氧气分子分布函数和温度的关系 f (v)
73K
O2
273K 1273K
500 1000 1500
v
21
2、质量与分子速率 、 分子质量越大， 分子质量越大，分布曲线中的最 可几速率v 所对应的速率就越小， 可几速率 p所对应的速率就越小， 但归一化条件要求曲线下总面积 不变，因此分布曲线宽度减小， 不变，因此分布曲线宽度减小， 高度升高。 高度升高。
9
O
vp v
总分子数-----N 总分子数 f(v) f(vp)
v2 ∆N = ∫ f (v)dv v1 N
麦克斯韦速率分布函数
=21/2N0xexp(x2)xdx2 =21/2N0xxd[exp(x2)] =21/2N[xexp(x2)|0x
+0xexp(x2)dx]
=N[21/2xexp(x2) +21/20xexp(x2)dx]. 定义误差函数erf(x)为
erf(x)=21/20xexp(x2)dx,
器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx 在从0到的区间内积分，就能
得到分子通量J.
而从(6)式可以看出：式 中的两个积分内的被积函 数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv 的地位相当，它们的物理 意义相似，因而在这两者 之间可以进行类比推理。
现在既然(n/4)vf(v)dv在从0 到的区间内积分，也能得到 分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv 就表示速率取值在 v到 v+dv间 隔内的气体分子在单位时间内 对单位面积器壁的碰撞次数。 据此处理某些相关问题，有时 往往会比较简捷。
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时，根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同，来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况，可以取分子速率 v 为 横坐标值，画出速率取值在v至v ＋v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图（条形统 计图）。
因此，如果在热学 中学习速率分布函数 时，类比力学中的速 率－时间函数，就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此，用 f(v) 类比 f(t)，还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个？如果非要这样问， 那这种分子其实一个都没 有。”
麦克斯韦速率分布律的推导
麦克斯韦速率分布律的推导
麦克斯韦速率分布律是一种有用的概念，其可以帮助我们对问题的复杂性进行评估，
包括对问题的解决方案的可行性进行评估。
通常，当我们正在设计一个程序，并面临着复
杂和不可预测的问题时，麦克斯韦速率分布律就可以派上用场了。
麦克斯韦速率分布律是由美国数学家麦可·斯韦尔博士提出的。
斯韦尔提出了一套基
于序列分析法的分析工具，以对 inerconnected events 的速率进行统计分析。
他认为，
复杂系统中的事件有若干 nested stages：这些阶段之前的事件可能会影响后续的事件，
产生一种 cascade effect。
因此，他提出了一种分布式的统计模型，来描述这种指数级
跌落的现象，即 ------------->
麦克斯韦速率分布律。
该模型指出，问题的复杂性在问题维度上是以指数方式递增的，这一模型可以以下形式表达： problem complexity = C * z ^ n , 其中C 为一个常数，
z 为问题的附加复杂维度， n 为问题的基础复杂度等级。
这种模型可以帮助我们评估问题的复杂性是否可控、可维护，以及是否满足事件驱动
的应用通用性要求。
例如，如果一个系统的维度太多，其复杂程度就会指数级增长，那么
就需要对这一系统进行重构，以简化其复杂性并可持续维护。
此外，它也可以帮助我们推
断出某些系统是否有效解决会议解决方案。
总而言之，麦克斯韦速率分布律有助于识别可能会遇到的问题，并给出比较有效的解
决方案。
这种概念可以为我们设计可持续高性能系统提供一定的指导作用，进而有助于实
现系统的稳定和可靠性。
-麦克斯韦速率分布律
0
x x x
x
太原理工大学物理系
一、 速率分布函数
o
+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N
N + 间隔内分子数与分子总数N之比 N
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2
3kT m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
2kT m
3 2
v
2 p
太原理工大学物理系
f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )
2
e
1 2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
太原理工大学物理系
四、分子速率的实验测定
速率分布函数 f(v)可写为
f (v) 4 (
m
)3
2
v2e
mv2 2kT
2 kT
4
1
3
2
v2 v3p
ev2
v
2 p
4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
太原理工大学物理系
f (v)
4
2
v ev2
v
2 p
v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (vp )
4 1 e1
mol用于讨论速率分布用于计算分子的平均平动动能三种速率的使用场合地球形成之初大气中应有大量的氢氦但很多分子和he原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率112kms故现今地球大气中已没有氢和氦了
麦克斯韦速率分布律
理气
d(m )F (器 dt壁）
真实气体 d (m ) (F 器 壁 f 内 部 )d t 分 子
pi
β
a
修正为
RT
Pb Pi
由于分子之间存在引力 而造成对器壁压强减少 内压强 P i
基本完成了第二 步的修正
内压强 1) 与碰壁的分子数成正比 2) 与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比
解： 已知 T27 K,3 p1.0at m 1.01 1350 P,a d3.51 0 1m 0
kT 2d 2 p
1 .4 1 3 .1 1 . 3 4 (3 .5 8 1 1 2 0 3 1 0 2 )0 1 7 .0 3 150 6 .9 1 8 0 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C时，氢气和氧气分子的方均
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
m ( H 2 ) m ( O 2 )
o
2000 v/ms1 vp(H 2)vp(O 2)
vp(H2) vp(O2)
麦克斯韦气体速率分布律
v Z
二、平均自由程和平均碰撞次数的计算
1、平均碰撞次数 假定 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。
只有某一个分子A以平均速率 其余分子都静止。
d d d
v
运动，
v
A
v
v
A
v
d
d d 球心在圆柱 体内的分子
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 2 2 d v n Z d v n 分子数
vf (v )dv
8kT 8 RT RT v 1.60 m M M
3、方均根速率 (1)定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做 方均根速率。 (2)计算：
v2
2 v dN
N
2
2 v Nf (v )dv
N
v 2 f (v )dv
vrms
3kT 3 RT RT v 1.73 m M M
麦克斯韦 速率分布函数
3 2
mv 2
v
2
m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量
三、三种统计速率
1、最可几速率vP (1) 定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最可几 速率或最概然速率。 (2) 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的
小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。
速率分布函数
(2) 物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总
分子数的概率，或概率密度。
dN f (v )dv N v2 N ＝ f (v)dv N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的 分子数占总分子数的概率
课件：麦克斯韦速率分布律
Nf (v) a
o
解：（1）由图可写出分子速率分布函数：
v0
2v0 v
a
Nv0
v
f
(v)
a N
0
(0 v v0 )
(v0 v 2v0 ) (v v0 )
由归一化条件，得
f (v)dv 1
，即
0
v0 a vdv 2v0 a dv 1
0 Nv0
N v0
2N a
3v0
（2）速率在区间[1.5v0，2.0v0]内的分子数：
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
N dN f ( v )dv 1
0N
0
f (v)
dN f (v)dv dS
N
S
速率位于v v dv 内分子数
o
v1 v2 v
dN Nf (v)dv
速率位于
v1
v2
区间的分子数 N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
v
v f (v)dv
v0 v f (v)dv
v v0 1 dv v0
0
0
0 v0
2
2、导体中自由电子的运动，可看作类似气体分子 的运动（称为电子气）。设导体中共有N个自由电
子，其中电子的最大速率为vF（称为费米速率）。
电子速率分布函数为
f
(v
)
4 A
N
v
2
0
0 v vF v vF
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N
vdN vNf (v)dv
v 0
0
麦克斯韦速率分布定律
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦速率分布定律ΔN
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2(> μ1) μ1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
例 氦气的速率分布曲线如图所示。
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况； (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。
解 (2) v p
2RT M
RT 2 103
1、速率分布函数 f(v)
设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f (v) dN Ndv
f(v)
称为速率分布函数
分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率
讨论 分子束中的速率分布和容器中的是否相同？
2、 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下，分子速率分布函数
df (v ) 0 dv vvp
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
2. 平均速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf (v
)dv
v
v f (v )dv
8kT 1.60
RT
0
π
M
3. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v
)dv
3kT
0
μ
说明
v 2 3kT 1.73 RT
分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
(7)曲线下面的总面积, 等
麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布律介绍麦克斯韦速率分布律是描述理想气体粒子速度分布的统计物理学定律。
它是由19世纪物理学家詹姆斯·麦克斯韦提出的，通过分析气体分子的碰撞和运动，揭示了粒子速度的分布规律。
麦克斯韦速率分布律在理解和研究气体的性质和行为方面起着重要作用。
物理背景在理想气体状态下，气体分子间无相互作用力，分子之间碰撞时可以视为弹性碰撞，满足动量守恒和能量守恒。
根据统计物理学的理论，在给定温度下，气体粒子的速度具有一定范围的分布。
麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数是描述理想气体速度分布的函数，可以用来计算在给定温度下不同速度范围内气体分子的数量。
麦克斯韦速率分布函数的形式为：[f(v)=4()^{3/2} v^2 e^{-}]其中，[f(v)]为速度为[v]的气体分子的数量，[m]为分子的质量，[k]为玻尔兹曼常数，[T]为气体的温度。
速度分布特点根据麦克斯韦速率分布律，气体分子的速度分布具有以下特点：1. 最概然速度最概然速度是指在给定温度下，气体粒子速度分布函数的峰值对应的速度值[v_p]。
最概然速度与温度无关，只取决于粒子的质量。
最概然速度可以通过对速度分布函数求导并令导数等于零来求得。
2. 平均速度平均速度是指在给定温度下，所有速度可能取值的加权平均值。
根据麦克斯韦速率分布律，平均速度与温度成正比，与粒子质量无关。
3. 方均根速度方均根速度是指在给定温度下，速度平方的平均值的开平方。
方均根速度与温度成正比，与粒子质量无关。
麦克斯韦速率分布律的应用麦克斯韦速率分布律在研究气体性质和行为时具有广泛的应用。
以下是一些麦克斯韦速率分布律的应用：1. 气体的热容根据麦克斯韦速率分布律可以计算出给定温度下气体分子的平均动能和热容。
热容是指单位物质在温度变化下吸收或释放的热量。
通过麦克斯韦速率分布律，我们可以计算气体的平均动能，并根据统计物理学的理论将其与热容联系起来。
2. 气体的扩散速率扩散是指气体中各个分子在温度梯度下的运动。
普通物理PPT课件4.3 麦克斯韦速率分布律
v2 区间的分子数N 占分子总数
v2 N ＝ f (v )dv v1 N
它对应于曲线下阴影部分的面积
0
f (v )dv＝1
——速率分布函数的归一化
*由麦克斯韦速率分布函数表示一些平均值
v
v
2
vdN N
2
0
0
dN v N
vf (v )dv
0
在v = vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1）内 的分子数总数为
6.02 1023 105 0.2 0 0 1.2 1026 个
在v = 10vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1） 内的分子数总数为
6.02 1023 105 2.0 1042 0 0 1.2 10
速率在区间的分子数占分子总数的百分比为它对应于曲线下阴影部分的面积速率分布函数的归一化432最概然速率平均速率和方均根速率最概然速率定义速率分布曲线上速率分布函数f最大值对应的速率叫做最概然速率
4.3 麦克斯韦速率分布律
4.3.1 麦克斯韦速率分布律 4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率 4.3.4 例题分析
v2
k 玻耳兹曼常数 m 分子的质量 T－热力学温度
以v为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲线叫 做气体分子的速率分布曲线．
f (v )
dN f ( v )dv N
o
vp
v v dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
3.麦克斯韦速率分布曲线
面积：
f(v)
意义：分布在区间v~ v+v 内的分子数的百分率 面积：
麦克斯韦速率分布律共49页文档
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
麦克斯韦速率分布律.pptx
麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(1)nf (v)dv
f (v) dN , n N
Ndv
V
nf (v)dv
dN V
表示单位体积内分布在速率区间 v 内v的 dv
分子数。
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麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(2)Nf (v)dv
f (v) dN Ndv
Nf (v)dv dN
表示分布在速率区间 v v 内的dv分子数。
第5页/共20页
麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(3)n v2 f (v)dv
v1
f (v)
dN
,n
N
Ndv
V
n v2 f (v)dv N N N
把这些量值代入，即得
W v＝ 1 v p 50
N＝
N
4
99 100
2
e
99 100
2
1 50
1.66%
第19页/共20页
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
第15页/共20页
气体的三种统计速率
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速
率大的分子数越多
。
m3
O
v
第16页/共20页
麦克斯韦速率分布律和平动动能分布律
麦克斯韦速率分布律和平动动能分布律大禹2班 姚轶 1019010216 寇磊摘要：麦克斯韦速率分布律和平动动能分布律是热力学部分两个非常重要的概念，在学习的过程中我们可以感觉到其之间千丝万缕的联系。
我们都知道麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。
并比较相似点和不同点。
关键词：麦克斯韦速率分布律 平动动能分布律 最概然值及平均值 前言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。
这是对于大量气体分子才有的统计规律。
现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。
方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在ε附近的单位动能区间内的分子数与总分子数的比的函数)(εf 的表达式。
并由此进一步推出与麦克斯韦分布函数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。
麦克斯韦速率分布律NdvdN v f =)( 这个函数称为气体分子的速率分布函数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为2223224)(v ekT m Ndv dN v f kTmvπππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛==式中T 是气体系统的热力学温度，k 是玻耳兹曼常量，m 是单个分子的质量。
式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。
图像如下图1 麦克斯韦速率分布函数图1画出了f (v )与v 的关系曲线，这条曲线称为速率分布曲线。
由图可见，曲线从坐标原点出--发，随着速率的增大，分布函数迅速到达一极大值，然后很快减小，随速率延伸到无限大，分布函数逐渐趋于零。
速率在从v 1到v 2之间的分子数比率∆N /N ，等于曲线下从v 1到v 2之间的面积, 如图中阴影部分所示。
麦克斯韦速率分布律的物理意义
麦克斯韦速率分布律的物理意义
麦克斯韦速率分布律是概率论中的一个重要定律，它描述了随机变量的分布。
对于任意一个随机变量 X，它的分布律可以用麦克斯韦速率分布律来描述。
麦克斯韦速率分布律的物理意义可以从以下几个方面来理解:
1. 描述随机变量的分布：麦克斯韦速率分布律描述了随机变量 X 的取值在一个区间内出现的概率密度。
例如，如果随机变量 X 的取值为 [a, b],那么它在 [a, b] 区间内出现的概率密度就是 f(x) = dx/(b-a),其中 dx 是 X 取值[a, b] 区间内的微小区间。
2. 解释随机现象：麦克斯韦速率分布律可以用来解释随机现象。
例如，如果我们掷一枚硬币，硬币正面朝上的概率是 0.5，那么硬币正面朝上的概率密度就是 f(x) = 0.5 * dx/(1-0.5)。
我们可以用 f(x) 来描述硬币正面朝上的取值范围，从而解释掷硬币正面朝上的概率分布。
3. 计算随机变量的概率：麦克斯韦速率分布律可以用来计算随机变量的概率。
例如，如果我们想要计算随机变量 X 的取值 [a, b] 区间内的概率，我们可以用 f(x) = dx/(b-a) 来计算 X 在 [a, b] 区间内出现的概率。
麦克斯韦速率分布律是概率论中的一个重要定律，它可以用来描述随机变量的分布，解释随机现象，计算随机变量的概率。
它对于理解随机过程、随机变量的分布等方面都有重要的作用。
高二物理竞赛麦克斯韦速率分布律课件4
(3)曲线下的总面积就是曲线下所有窄条矩形面积的总和， 即
0 f (v)dv 1
★ 三种统计速率
利用麦克斯韦速率分布函数 f (v)，可以导出反映分子热运 动状态具有代表性的三种速率的统计平均值。
解他：在已 概知率氧论气基和础氢上气导的出摩了尔分质子量速分度别的按为分：布以规律上。数据可分别计算出氧气和氢气的方均根速率为：
但是，现在地球大气层里几乎没有氦气和氢气而富含有氧气和氮气，为什么?
v rms,O2
3RT M O2
38.31 273 32.0 103
0.461103 m/s
v rms,H2
1．最概然速率 vp
在平衡态下，温度为T 的一定量气体中，与 f (v) 的极大 值相对应的速率，称为最概然速率。并以 vp 表示。
f’(v) = 0
vp
2kT m
2RT 1.41 RT
M
M
f
(v p
)
8m
kT
1/
2
e
分布函数极大值
2．平均速率 v
在平衡态下，N个气体分子速率的算术平均值，称为平均 速率，用 v 表示：
vrms
3RTR地
将 O2、H2、He和 N2 的摩尔质量和公式中的常量数据代入 上式，得各种气体 K 值如下表：
O2
H2
He
N2
K值 25
6
8
25
比值K 越小表明引力势能越小，分子较容易逃脱地球 引力场空间，扩散到太空中去，于是经过几十亿年演 变，地球大气层就保留了含有大气质量约 23％的氧气 和约占大气质量 76％的氮气。而氢气和氦气几乎就没 有了。
大学物理04麦克斯韦速率分布律
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13
3
f v 4 m 2 emv2 2kT v2
2kT
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5
讨论：
1. f(v)~v曲线
v 0时 f (v) 0 v 时 f (v) 0
3
f v 4 m 2 emv2 2kT v2
2kT
2.在 dv 速率区间内分子出现的概率
3
f (v) dN Ndv
f (v)dv dN 4 m 2 emv2 2kT v2dv N 2kT
例如速率间隔取100m/s , 整个速率分为0—100；100—200；…等区间。
2.总分子数为N，在v v v区间内的分子数为N
在v
v
v区间内的概率为N 第1页/共13页
i
/
N
1
2.总分子数为N，在v v v区间内的分子数为N
在v v v区间内的概率为 N i / N
则可了解分子按速率分布的情况。
式：
g (v )
0
g(v)f (v)dv
利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的平均
平动动能等。
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11
3.方均根速率 v 2
利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利 用计算统计平均值公式：
g(v
)
0
g(v)f (v)dv
v 2 0 v 2 f (v )dv
利用广义积分公式
0
x
围内， 取v1 0, v2 ,则有 :
f (v)dv
0
N dN 1 0
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归一化条件
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（1）作出速率分布曲线并求出常数a ； （2）分别求速率大于v0 和小于v0 的粒子数 ；
（3）求粒子的平均速率.
解（1）作出速率分布曲线如图所示. f (v )
a
0
v0
2v0 v
根据速率分布函数的归一化条件，有 v 0 av 2 v0 0 v0 dv v0 adv 1 2 所以 a 3v0
4.3 麦克斯韦速率分布律 三种统计速率
4.3.1 麦克斯韦速率分布律 4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率 4.3.3 例题分析
4.3.1 麦克斯韦速率分布律
1. 定义： 对于单个分子而言，其运动方向，大小都 具有偶然性；对于大量分子而言，其速率的分 布却有其规律性；
偶然性 规律性 1859年，麦克斯韦从理论上导出了气体分子 的速率分布规律，——麦克斯韦速率分布律.
定义 速率分布曲线上，速率分布函数f (v)的
最大值对应的速率叫做最概然速率. 由数学知
df (v ) m 4 ( ) 2ve dv vv p 2kT 0
3 2 mv 2 2 kT
mv 2 1 2kT
2kT 即 vp m
N
4 v2 3 e N vp
v2 2 vp
v
( 10 v p )2 v2 p
(10v p )2 4 e 3 vp
4
v
100 100 e 1 415
2.0 10
42 0 0
105mol 的空气中的总分子数为
N 6.02 10 10
（2）速率大于v0 的粒子数为
N dN Nf (v )dv
v0 v0
2v0
v0
2 N adv N 3 1 av N dv N 3 v0
速率小于v0 的粒子数为
N dN 0 Nf (v )dv 0
0
v0
v0
v0
（3）粒子的平均速率为
v vf (v )dv 0
（1）v = vp 附近单位速率区间(v =1m·-1)内的 s 分子数占分子总数的百分比为
N
4 v2 3 e N vp
4
v2 2 vp
v
1 e 1 1 0.2 0 0 415
（2）v =10 vp 附近单位速率区间(v =1m·-1)内的 s 分子数占分子总数的百分比为
3. 方均根速率 定义 气体分子速率平方的平均值叫做气体分 子的方均根速率.
v
2
0
v 2dN N
0
v 2 f (v )dv
3kT 3 RT m
可以看出：v p v
v2
对于一定的气体，当温度升高时，气体分子 的速率普遍增大，速率分布曲线上的最大值也向 量值大的方向上移动，亦即最概然速率增大了. 但因曲线下的面积恒为1，因此分布曲线高度降 低，曲线变得较为平坦.
从图中可以看出，速率很大和很小的分子 所占的分子数很少，大部分分子具有中等速率；
速率在v1 的百分比为
v 2 区间的分子数N 占分子总数
N
N
＝
v2
v1
f (v )dv
它对应于曲线下阴影部分的面积
0
f (v )dv＝1
——速率分布函数的归一化
4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率
1. 最概然速率
vp 2kT m 2 RT
物理意义 单位速率间隔比较，它表示在最概 然速率附近的单位速率间隔内的分子数占总分 子数的百分比最大.
2. 平均速率
定义 气体分子速率的算术平均值叫做气体分 子的平均速率.
v1dN 1 v2dN 2 vi dN i vndN n v N 0 vdN vf (v)dv 8kT 8 RT 0 m N
2. 研究方法
把速率分成若相等的区间，然后求出各区 间的分子数是多少，即在v — v +dv区间内的分 子数dN是多少，或者dN 占分子总数N的百分比 dN/N是多少.
在速率区间 dv足够小的情况下
dN f (v )dv N or dN f (v ) Ndv
f (v )
速率分布函数
物理意义 速率在 v 附近的单位速率区间的分子数占分 子总数的百分比. 麦克斯韦速率分布律的数学表达式为
23 5
在v = vp 附近单位速率区间（v =1m·-1）内 s 的分子数总数为
6.02 1023 105 0.2 0 0 1.2 1026 个
在v = 10vp 附近单位速率区间（v =1m·-1） s 内的分子数总数为
6.02 1023 105 2.0 10 42 0 0 1.2 10 25 个 0个
v0
v0
2 v0 av v dv vadv v0 v0
2. 在300K 时，空气中速率在（1）vp附近（2） 10 vp 附近单位速率区间（v =1m·-1）内的分子 s 数占分子总数的百分比各是多少？平均来讲 105 mol 的空气中这区间的分子数又各是多少？（已 知空气的摩尔质量约为2910-3kg· -1）. mol 解 麦克斯韦速率分布为
m f (v ) 4 ( ) e 2kT
3 2
mv 2 2 kT
v2
k 玻耳兹曼常数 m 分子的质量 T－热力学温度
以v 为横坐标， f (v )为纵坐标画出的曲线叫 做气体分子的速率分布曲线.
f (v )
dN f (v)dv N
o
v p v v dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
N
m 4 v 2e N 2kT
32
mv 2 kT
2
4 v2 v 3 e vp
v2 2 vp
v
2kT 2 RT 其中 v p 为最概然速率 . m
当T =300 K 时，对空气分子有
vp
2 RT
2 8.31 300 415 m s 1 29 10 3
f (v )
73K
273K
1273K
0
500
1000
1500
(m s )
v1
不同温度下的速率分布曲线
4.3.3 例题分析
1. 有N 个粒子，其速率分布函数为：
f (v ) av v0 f (v ) a f (v ) 0 ( 0 v v0 ) (v0 v 2v0 ) (v 2v0 )