初二寒假数学基础版草稿(含答案)

第1课全等三角形的概念和性质【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质基本概念梳理回顾】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质例13】3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB的对应边为DE，∵△ABC ≌△DEC ， ∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ， 即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 举一反三： 【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在位置，A 点落在位置，若，则的度数是____________.【答案】70°；提示：＝∠＝90°－20°＝70°.【巩固练习】 一、选择题1. （2016•长沙模拟）如图所示，△ABC ≌△DEC ，则不能得到的结论是（ ） A. AB ＝DE B. ∠A ＝∠D C. BC ＝CD D. ∠ACD ＝∠BCE2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，则AD 的长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 以上都不对3. 下列说法中正确的有（ ）①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ，△DEF ≌△MNP ，△ABC ≌△MNP. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4. （2014秋•庆阳期末）如图，△ABC ≌△A ′B ′C ，∠ACB=90°，∠A ′CB=20°，则∠BCB ′的度数为（ ）B 'A 'AC A B ''⊥BAC∠BAC ∠B A C ''cm cm cm cm cmcmA.20°B.40°C.70°D.90° 5. 已知△ABC≌△DEF，BC ＝EF ＝6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是（ ） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 分别为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°二、填空题7.（2014秋•安阳县校级期末）如图所示，△AOB ≌△COD ，∠AOB=∠COD ，∠A=∠C ，则∠D 的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．8.（2016•成都）如图，△ABC ≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___________.9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23，BC ＝4，则△DEF 的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A ＝46°，则∠D ＝________.cm cm11.已知△ABC ≌△，若△ABC 的面积为10 ，则△的面积为________，若△的周长为16，则△ABC 的周长为________．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______. 三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14. （2014秋•射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A 和D 、B 和E 是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）； （2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】因为△ABC ≌△DEC ，可得：AB=DE ，∠A=∠D ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，故选C ．2. 【答案】B ；'''A B C 2cm '''A B C 2cm '''A B C cmcm【解析】AD 与BC 是对应边，全等三角形对应边相等. 3. 【答案】C ；【解析】③和④是正确的； 4. 【答案】C ；【解析】解：∵△ACB ≌△A ′CB ′，∴∠ACB=∠A ′CB ′，∴∠BCB ′=∠A ′CB ′﹣∠A ′CB=70°． 故选C ．5. 【答案】A ；【解析】EF 边上的高＝； 6. 【答案】C ；【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解. 二.填空题7.【答案】∠OBA ，OA=OC 、OB=OD 、AB=CD ；【解析】解：∵△AOB ≌△COD ，∠AOB=∠COD ，∠A=∠C ，∴∠D=∠OBA ，OA=OC 、OB=OD 、AB=CD ， 故答案为：∠OBA ，OA=OC 、OB=OD 、AB=CD ．8.【答案】120°；【解析】∵△ABC ≌△A ′B ′C ′，∴∠C=∠C ′=24°，∴∠B=180°﹣∠A ﹣∠B=120°． 9.【答案】4或9.5；【解析】DE ＝DF ＝9.5，EF ＝4；10.【答案】AB ＝DE 、AC ＝DF 、BC ＝EF 、BE ＝CF ， 46°； 11.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等； 12.【答案】40°；【解析】见“比例”设，用三角形内角和为180°求解. 三.解答题 13.【解析】解： 在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠A －∠B ， 又∠A ＝30°，∠B ＝50°， 所以∠ACB ＝100°. 又因为△ABC ≌△DEF ，所以∠ACB ＝∠DFE ，BC ＝EF （全等三角形对应角相等，对应边相等） 所以∠DFE ＝100°EC ＝EF －FC ＝BC －FC ＝BF ＝2. 14. 【解析】 解：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ； （3）BC ∥EF ，AB ∥DE ，理由是：∵△ABC ≌△DEF ，18266⨯=cm cm cm cm k∴∠A=∠D ，∠ACB=∠DFE ， ∴AB ∥DE ，BC ∥EF ．15. 【解析】 AE ＝DE ,且AE ⊥DE 证明： ∵△ABE ≌△ECD ，∴∠B ＝∠C ，∠A ＝∠DEC ，∠AEB ＝∠D ，AE ＝DE 又∵AB ⊥BC∴∠A ＋∠AEB ＝90°，即∠DEC ＋∠AEB ＝90° ∴AE ⊥DE∴AE 与DE 垂直且相等.第2课 全等三角形的判定一（ASA ，SAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】 要点一、全等三角形判定1——“角边角” 全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A ＝∠，AC ＝ ，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.'A ''A B 'B '''A BC ''A B 'A ''A C '''A B C【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】1、（2015•渝中区模拟）如图，已知AD，BC相交于点O，OB=OD，∠ABD=∠CDB求证：△AOB≌△COD．【思路点拨】由OB=OD，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA证明即可．【答案与解析】解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA）．【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出∠ABO=∠CDO．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE. 在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）. 类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、（2016•泉州）如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CE=CD ，BC=AC ，∴∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ， ∴∠ECB=∠DCA ， 在△CDA 与△CEB 中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90° ∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等. 举一反三： 【变式】（2015春•揭西县期末）如图，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB 连接EF ，证明△AED≌△AEF．【答案】证明：∵△AFB 是△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到的，∴AD=AF，∠FAD=90°， 又∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=90°﹣45°=45°=∠DAE， 又AE=AE ，在△ADE 与△AFE 中，，∴△ADE≌△AFE（SAS ）．类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB ，点C 是碉堡的底部，点D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠ABC ＝90°.在△ABD 和△ABC 中，∴△ABD ≌△ABC （ASA ） ∴BD ＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决. 【巩固练习】 一、选择题 1.（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF ，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）A.AB=CDB.EC=BFC.∠A=∠DD.AB=BC2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是 （ ）图4－3A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙3．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD ＝AB ，则（ ） A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF ＝DF ＝CD D.FD∥BCABD ABC AB ABBAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩5.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去6. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边二、填空题7.（2015•台州一模）如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AE∥BC．添加一个条件，使△AEF≌△BCD．8. 在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且AC＝，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）'AA'BB'AA'BB''A B''OA B'''A B C'C'B''B C9.（2016•牡丹江）如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE （只添一个即可），你所添加的条件是．10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．12.已知:如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件（2）若以“SAS”为依据，还缺条件三、解答题13．（2015•晋江市一模）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD上，且AE=DF．求证：△ABE≌△DCF．14. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝ DF.求证：EB∥CF.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】解：∵AE∥FD，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AC=BD，在△AEC和△DFB中，，∴△EAC≌△FDB（SAS），故选：A．2. 【答案】B；【解析】乙可由SAS证明，丙可由ASA证明.3. 【答案】D；【解析】可由SAS证全等，再利用直角三角形中两锐角互余可得D选项是正确的.4. 【答案】A；【解析】通过等量加等量得到∠BCA=∠DCE, 从而由SAS定理判定全等.5. 【答案】C；【解析】由ASA定理，可以确定△ABC.6. 【答案】A；【解析】将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，说明OA＝OA′，OB＝OB′，再由对顶角相等可证.二、填空题7. 【答案】AF=DB ； 【解析】解：AF=DB ，理由是：∵AE ∥BC ， ∴∠A=∠B ，在△AEF 和△BCD 中∴△AEF ≌△BCD （SAS ）， 故答案为：AF=DB ．8. 【答案】一定；【解析】由题意，△ABC ≌△B′A′C′，注意对应角和对应边. 9. 【答案】AE=CE ；【解析】由题意得，BE=DE ，∠AEB=∠CED （对顶角），可选择利用SAS 进行全等的判定，答案不唯一．10.【答案】5；【解析】△ABO ≌△CDO ，△AFO ≌△CEO ，△DFO ≌△BEO ，△AOD ≌△COB ，△ABD ≌△CDB. 11.【答案】20°；【解析】△ABE ≌△ACD （SAS ） 12.【答案】（1）∠A ＝ ∠D ； (2) BC ＝EF.三、解答题13.【解析】证明：∵AB ∥CD ，∴∠A=∠D ，在△ABE 和△DCF 中，∴△ABE ≌△DCF （SAS ）．14.【解析】证明：在△ADC 与△BCD 中，15.【解析】 证明：∵AB ∥CD, ∴∠CDO ＝∠BAO 在△OAB 和△ODC 中，,,,DC CD ADC BCD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()...ADC BCD SAS ACD BDC OC OD ∠=∠=∴△≌△∴∴∴△OAB ≌△ODC （ASA ） ∴OC ＝OB 又∵AE ＝ DF ，∴AE ＋OA ＝DF ＋OD ，即OE ＝OF 在△OCF 和△OBE 中∴△OCF ≌△OBE （SAS ） ∴∠F ＝∠E ， ∴CF ∥EB.第3课 全等三角形的判定二（SSS ，AAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”； 2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.CDO BAO OD OADOC AOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩OC OB DOC AOB OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩''A B ''A C ''B C '''A BC如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“边边边”1、（2016•蓝田县一模）如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【思路点拨】首先证明△ABE≌△AEC，再证明△AEC≌△ADC，△ABE≌△ADC．【答案与解析】解：在△ABE和△AEC中，，∴△ABE≌△AEC（SSS），在△AEC和△ADC中，，∴△ABO ≌△ADO （SSS ）， ∴△ABE ≌△ADC ， 故选D【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定. 举一反三：【高清课堂：379109 全等三角形的判定（一） 同步练习6】 【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定4——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】2、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ． 求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD. 【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ， ∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD 在△BAC 和△EAD 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△BAC ≌△EAD （AAS ） ∴AC ＝AD 【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴∠BED ＝∠CFD ＝90°， 在△BED 和△CFD 中∴△BED ≌△CFD （AAS ） ∴BE ＝CF3、（2015春•雅安期末）如图：AB=A ′B ′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C ′，则还需添加的一个条件有（ ）种．A.1B. 2C.3D.4【思路点拨】本题要证明△ABC≌△A′B ′C ′，已知了AB=A ′B ′，∠A=∠A′，可用的判别方法有ASA ，AAS ，及SAS ，所以可添加一对角∠B=∠B ′，或∠C=∠C ′，或一对边AC=A ′C ′，分别由已知与所添的条件即可得证． 【答案与解析】解：添加的条件可以为：BAC EAD B ECB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A ′C ′，共3种． 若添加∠B=∠B′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B ′C ′（ASA ）； 若添加∠C=∠C′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS ）； 若添加AC=A ′C ′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C ′（SAS ）． 故选C.【总结升华】此题考查了全等三角形的判定，是一道条件开放型问题，需要由因索果，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件，解决这类问题要注意挖掘隐含的条件，如公共角、公共边、对顶角相等，这类问题的答案往往不唯一，只有合理即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，∴△DEH ≌△DFH(SSS) ∴∠DEH ＝∠DFH ．DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝【总结升华】证明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS”定理就能解决问题.举一反三：【变式】（2014秋•紫阳县期末）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE= AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．【答案】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，在△AOE与△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（SSS），∴∠BAD=∠CAD．【巩固练习】一、选择题1. （2015•奉贤区二模）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．∠B=45° B.∠BAC=90° C. BD=AC D．AB=AC2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC3. （2016•金华）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED＋AB＝DBD.DC＝CB二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根据是 ，再证△BDE ≌△，根据是．9. （2016•石景山一模） 如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．10. 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.11. 如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，若∠B＝20°，则∠C ＝_______．12. 已知，如图，AB ＝CD ，AC ＝BD ，则△ABC ≌，△ADC ≌.EDCBA三、解答题13.（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．14. 如图，已知D、E、B 三点共线，AE=CE ,AE⊥CE，∠D=∠B=90°．求证：CD+AB=DB．15. 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：当AB=AC时，△ABD≌△ACD，∵AD是△ABC的边BC上的高，AB=AC，∴BD=CD，∵在△ABD 和△ADC 中，∴△ABD≌△ACD（SSS ）.2. 【答案】D ；【解析】连接AC 或BD 证全等. 3. 【答案】A【解析】解：由题意，得∠ABC=∠BAD ，AB=BA ， A 、∠ABC=∠BAD ，AB=BA ，AC=BD ，（SSA ）三角形不全等，故A 错误；B 、在△ABC 与△BAD 中，，△ABC ≌△BAD （ASA ），故B 正确；C 、在△ABC 与△BAD 中，，△ABC ≌△BAD （AAS ），故C 正确；D 、在△ABC 与△BAD 中，，△ABC ≌△BAD （SAS ），故D 正确；故选：A ．4. 【答案】C ；【解析】△DOF ≌△COE ，△BOF ≌△AOE ，△DOB ≌△COA. 5. 【答案】A ；【解析】将两根钢条，的中点O 连在一起，说明OA ＝，OB ＝，再由对顶角相等可证.6. 【答案】D ； 【解析】△ABC ≌△EDC ，∠ECD ＋∠ACB ＝∠CAB ＋∠ACB ＝90°，所以EC ⊥AC ，ED ＋AB ＝BC ＋CD ＝DB.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝， 所以∠DCB ＝ ∠ABC ＝25°＋41°＝66°.8. 【答案】ASA ，CDE ，SAS ；【解析】△AEB ≌△AEC 后可得BE ＝CE.9.【答案】答案不唯一，B C ∠=∠或AC AB =等； 【解析】'AA 'BB 'OA 'OB 82412︒=︒10.【答案】56°；【解析】∠CBE ＝26°＋30°＝56°. 11.【答案】20°；【解析】△ABE ≌△ACD （SAS ）. 12.【答案】△DCB ，△DAB ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上. 三.解答题 13.【解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5， ∴∠3=∠5，在△ACD 中，∠ACD=90°， ∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠D，在△ABC 和△DEC 中，，∴△ABC≌△DEC（AAS ）．14. 【解析】证明：∵AE ⊥CE ，∴∠AEB+∠CED=90°， 又∵∠B=90°∴∠A+∠AEB=90°， ∴∠A=∠CED ， 在△AEB 与△ECD 中，∴△AEB ≌△ECD （AAS ） ∴AB=DE ，BE=CD ∵DE+BE=DB ∴CD+AB=DBA CEDB D AE CE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中∴△ABC ≌△DCB （SSS ） ∴∠ABC ＝∠DCB ， 在△ABE 和△DCE 中∴△ABE ≌△DCE （SAS ） ∴AE ＝DE.第4课 直角三角形全等判定【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL ”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 【要点梳理】【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，知识点讲解】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”. 【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ABC DCB AB DC BE CE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行. 【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠ABD ＝∠CDB ＝90° 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ） ∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等） （2）由∠ADB ＝∠CBD ∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. 举一反三：【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例3】 【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴∠DAE ＝∠CBA ＝90° 在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ） ∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90° 即ED ⊥AC ．AD BCBD DB⎧⎨=⎩＝ED ACAE AB ⎧⎨⎩＝＝，2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“³”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （3）两直角边对应相等； （ ） （4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：【变式】下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； （3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等； （4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． A.2个 B.3个 C.4个D.5个 【答案】C ． 解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．3、（2016春•深圳校级月考）如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠A=∠DB ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【答案与解析】解：∵AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ∴∠A=∠D=90°（A 正确） 又∵AC=DB ，BC=BC ∴△ABC ≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB （B 正确）OB CDA。