第六章《实数》总复习课件,PPT
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人教版初中七年级(下册)数学《第六章实数复习课件》ppt课件
-√5、-3
两正数比较，平方值大的数 课本 大，平方值小的数小。
求差比较
同号实数
对于同号实数a、b， 若a-b≧0，则a ≧b
（略）
求商比较
同号正实数
对于同号正实数a、b， 若a∕b≧1，则a ≧b
（略）
计算近似值比较
含无理数的 牢牢记住
课本
实数
的近似值，直接计算比较
、 2、 3、 5。。。
实数的大小比较方法多种，要具体观察实数的特点，灵活选择最好的比较方法
本章知识结 构图
乘 互为逆运算 开
方
方
开平方 开立方
算术平方根
平方根 立方根 负的平方根
有理数 无理数
实数
平方根、立方根 概念及性质
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于
a,即 x 2 =a,那么这个正数x叫做a的
算术平方根。a的算术平方根记为 ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
不 要 遗 漏 哦！
解下列方程：
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4
9
3 y 4
9
y 3 2
3
y21或y32
3
3
2. 2（ 7x5） 380 解: 27(3x5)3 8
3
(x5)3 8 3 27
5
8
x 3
3 27
x52
33
x 1
如图是两个边长1的正方形
拼成的长方形, 其面积是2.
√2
现剪下两个角重新拼成一个
正方形, 新正方形的边长是√__2___
下图数轴中, 正方形的对角线长
为√_2___, 以原点为圆心, 对角线长为
第6章《实数》 小结与复习 人教版七年级数学下册课件(21张ppt)
(1) 25； (2) 6 1 ；(3) ( 10)2.
36
4
2. 求下列各数的立方根：
(1) 8 ；(2) 0.027；(3)1 7 .
125
8
解1题.答时案，：要(1注) 意56题；目(2)的要52；求(，3)是±求10平. 方根、立方根还是
求2算.答术案平：方(1根) ，52要；注(2意)0.所3；求(3结) 12果. 处理.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【注意】 3，, π 不属于分数而是无理数. 23
考点三 实数的估算与数轴的结合 【例3】(1) 20 位于相邻整数 4 和 5 之间.
(2) 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
a b (b a)2 -2a .
a 0b
1. 实数与数轴上的点是一一对应的关系； 2. 在数轴上表示的数，右边的数总是比左边的数大.
深学细悟 请回顾、整理你曾在实数运算中出现的错误，通过错 题本等形式并尝试分类归纳，总结若干关于实数运算 的经验教训，并与其他同学分享. 错题本示例：
开立方运算时要注意小数点的变化规律，开立方是三 位与一位的关系，开平方是二位与一位的关系.
【例6】计算：
2 2
2 3
2 4
5 2 12
.
练一练
4. 用计算器计算：
(1) 7 π (精确到0.01)；
(2) 6 π (精确到0.01)；
答案：(1) 5.79； (2) 5.48.
练一练 5.(1) 2 2 的相反数是__2__2__，2 3 的相反数是_3____2_，
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据 结果去判断.
练一练 2.（1）在 23，0.618，π，3 8， 3 中，
第六章实数复习(公开课)ppt课件
在几何图形中，我们也需要使用在绘制函数图像时，我们需要使用实 数。例如，绘制一次函数、二次函数 、三角函数等图像时都需要用到实数 。
科学问题中的实数应用
物理测量
在物理学中，许多物理量都是用 实数来表示的。例如，物体的速 度、加速度、力等都需要用到实
总结词
实数减法的运算律
详细描述
实数减法具有一些重要的运算律，如差不变性质、减法结 合律和减法交换律等。这些运算律可以帮助我们简化复杂 的减法计算，提高计算的准确性和效率。
实数的乘法
总结词
实数乘法的定义与性质
详细描述
实数乘法是数学中的基本运算之一，它具有结合律、交换 律和分配律等性质。实数乘法可以用来解决许多实际问题 ，如计算面积、解决概率问题等。
根式的化简
化简根式是指将根式化简为一个最简 形式的过程。例如，√8=2√2，因为8 可以分解为4×2，而4的平方根是2， 所以√8=2√2。
Part
05
实数的应用
生活中的实数应用
长度测量
在日常生活中，我们经常需要测 量物体的长度、宽度和高度等， 这些都需要用到实数。例如，测 量房间的尺寸、家具的大小等。
总结词
实数乘法的几何意义
详细描述
实数乘法的几何意义可以理解为将数轴上的点进行拉伸或 压缩。在数轴上，一个数乘以另一个数的结果等于一个数 覆盖另一个数的长度。
总结词
实数乘法的运算律
详细描述
实数乘法具有结合律、交换律和分配律。结合律是指 (ab)c=a(bc)；交换律是指ab=ba；分配律是指 a(b+c)=ab+ac。这些运算律可以帮助我们简化复杂的乘 法计算，提高计算的准确性和效率。
在数轴上进行乘法运算时，将数 轴上的每个点乘以一个正数或负 数，长度会相应地扩大或缩小。
第六章实数复习(公开课)ppt课件
19世纪
数学家逐步完善实数理论 ，形成了完备的实数体系 ，为数学分析、连续函数 等研究奠定了基础。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
总结词
减法运算的运算律
详细描述
减法运算同样满足交换律和结合律，即a-b=b-a和(ab)-c=a-(b+c)。
总结词
减法运算的运算性质
详细描述
减法的可逆性也是减法的一个重要性质，每一个数都有 唯一的相反数；另外，0是减法的单位元，任何数与0 相减都等于它本身。
总结词
加法运算的运算律
详细描述
加法运算还有一些特殊的运算律，例如，任何数与0相加 都等于它本身，即a+0=a；相反数相加等于0，即a+(a)=0。
总结词
加法运算的运算性质
详细描述
加法运算还有一些重要的运算性质，例如，加法的可逆性 ，即每一个数都有加法逆元，与它相加等于0；加法的单 位元，即有一个特殊的数0，任何数与它相加都等于它本 身。
实数在几何学中有着广泛的应用，例如在计算长度 、面积和体积时，需要使用实数表示测量值。
函数定义域与值域
实数可以用来定义各种数学函数，包括代数函数、 三角函数、指数函数和对数函数等，同时函数的值 域也由实数构成。
数学分析基础
实数对于数学分析来说是必不可少的基础，极限、 连续性和可微性的定义都离不开实数。
在物理中的应用
80%
测量与计算
在物理学中，实数常被用于表示 和计算各种物理量，如长度、时 间、质量、电荷等。
100%
物理定律的数学表达
许多物理定律可以用实数表示的 数学公式来描述，例如牛顿第二 定律 F=ma。
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$a times (b + c) = a times b + a times c$
。
特别注意
乘法中负负得正，即负 数乘以负数结果为正。
除法运算规则
除数为0的情况
任何数除以0都是无意义的，结果不确定。
被除数为0的情况
0除以任何非零数都等于0。
特别注意
在除法中，负负得正，即负数除以负数结果为正 。
03
3完备性Βιβλιοθήκη 实数集具有完备性，即任何实数域上的柯西序列 都收敛于一个实数，这保证了数学分析的严密性 。
无理数和有理数在解决实际问题中应用
几何应用
物理应用
在几何学中，无理数常常出现，如√2代表 对角线长度与边长之比为√2的等腰直角三 角形的边长。
在物理学中，许多常数都是无理数，如圆 周率π和自然对数的底e等，这些常数在描 述自然现象时具有重要作用。
开方运算应用
开方运算在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如求解方程、计算面积和体积等。
05
无理数和有理数在实数范 围内地位和作用
无理数和有理数定义及分类
有理数定义
01
可以表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循
环小数。
无理数定义
02
无法表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。
分类
03
数值大小与结果
正数减去正数结果可能为 正也可能为负，负数减去 负数结果为正，正数减去 负数结果为正。
特别注意
减法没有交换律，即$ab$和$b-a$的结果不同。
乘法运算规则
乘法交换律
$a times b = b times a$。
乘法结合律
乘法分配律
$(a times b) times c = a times (b times c)$。
人教版七年级下册数学第六章 实数复习课课件共20张
２．判断对错，并说明理由。
如果把所有的有理数都标到数轴上， 那么数轴将被填满了。（ ）
实数 a
-2
-1 A 0
1
2
数 点 ? 每一个实数都可用数轴上的一个点来表示．
? 数轴上的每一个点都表示一个实数．
数形结合
点数
一一对应
实数
数轴上的点
填空
（1）? 3的倒数是 1/3 ；
（2） 3 －2的绝对值是 2 － 3；
5,? 3 8,
无理数集合：
有理数集合：
…
整数集合：
…
自然数集合：
…
正数集合：
化简
1 ? x ? x ? 1 ? x2 ? 1 ? ______
Hale Waihona Puke 填空（1） ? 3 的倒数是
1
3；
（2） 3 －2的绝对值是 2 － 3；
（3）若 x ? 1, y ? 2 ，且xy>0，x+y=
3或－ 3 。
(4) 点A在数轴上表示的数为 3 5，
点B在数轴上对应的数为 ? 5，
则A，B两点的距离为
45
?a
3
a
(1)4的算术平方根是±2. (2)4的平方根是2. (3)8的立方根是2. (4)－1的立方根是－1 (5)－1的平方根是±1
(6) 16的平方根是 ? 4
(7) ? 6表示 6的算术平方根的相反数
(8)任何数都有平方根
(9) ? a 2一定没有平方根
常见错误：
1、 (? 9) 2的平方根 2、３a ? 1有意义，则a的取值范围＿＿＿
1、理解方根的概念
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
最新人教版七年级数学下册第6章《实数》优质复习课件
1、下列各数中，最小的实数是（ C）
A. -
3；
B.- 1
2
；
C.-2；
D. 1
3
2、 3.14 的值是（C ）
A.0 B. 3.14- C.п-3.14 D.0.14
广东省怀集县大岗镇大岗中学 石迎伦
六、课堂小结
正___有__理__数
__有__理__数 0
_有__限___小__数__或__无___限__循__环___小__数
、27
无理数的个数是
( C)
A.1 B.2 C.3 D.4
2、如图,在数轴上表示实数 15 的点
可能是( C )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
广东省怀集县大岗镇大岗中学 石迎伦
三、强化训练
3、3 7 的相反数是 3 7 ， 绝对值等于 3 的数是 3 ．
4、已知 a 2 b 3 0，则(a-b)2=
实数
负___有__理__数
_无__理____数
正__无___理__数 负___无__理__数
__无__限__不___循__环__小___数___
七、课后练习
1.完成课本P61页复习题第6、7、8题； 2.完成《学考精练》P36页习题第1、3、 4、7、10、12、13、14题。
课堂小结
25 ；
广东省怀集县大岗镇大岗中学 石迎伦
三、强化训练 5、比较大小：
（1） 3 _<___ 5 （2）- 5 __>__ - 26 （3）3 2 __>__2 3
广东省怀集县大岗镇大岗中学 石迎伦
三、强化训练
6、计算：
（1）2 2 3 2 2 解：原式 （2+3-1） 2 4 2
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4.立方根的定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就
叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记作 .
3a
其中a是被开方数，３是根指数，符号“ “３三次根号”．
”读做
5.立方根的性质：
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别
特殊：0的算术平方根 是0。
记作： 0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a
平方根（或二次方根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的
平方根．a的平方根记为
3.平方根的性质：
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
中，无理数的个数是（ ） B
(A) 2 ( B) 3 (C) 4 (D) 5
选择题： 6、已知一个正方形的边长为a，面积为S， 则（ C）
(A) S a (B ) S的 平 方 根 是 a (C) a是S的平方根 (D)a S
计算题：
1 、 已 知a 2b 3 0 ,求 （ a b )2
的 值 。 2 、 计 算 ： 1 x x 1 x 2
1.
64 3 64 9
(1) 2. 2
2007
92
3
3.
2 3
4. 3 222323
解答
1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这个数
2.已知y=
1 2x1求12 （2xx+y）的平方根
表示方法
a的取值
性 正数
0
质
负数
【新】人教版七年级数学下册第六章《实数》复习公开课课件.ppt
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
算术平方根 平方根 立方根 表示方法 a的取值
性质 是本身的数
二、题型讲解 请把你的想法 与师傅交流
1、根据被开放数的取值确定字母的取值范围。
（高效课堂跟踪训练P31页4、6题)
（1） 3 a （2） a 2 （3） 3 a 1
二、题型讲解
2、实数比较大小
请把你的想法 与师傅交流
(1) 7 与2.5
。2021年1月10日星期日2021/1/102021/1/102021/1/10
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/102021/1/102021/1/101/10/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/102021/1/10January 10, 2021
1.进一步掌握平方根、立方根的有关概念、表 示方法和性质。 2.能熟练地进行开平方和开立方运算，掌握几 种基本公式。 3.熟练掌握实数的有关运算
一、知识回顾 请把你的想法 与师傅交流
复习整理本章知识，完成下列问题： 1、梳理本章知识结构，熟记算术平方根；平方 根；立方根；开平方；开立方；无理数；实数。 2、（二）算术平方根、平方根、立方根的区别 与联系
第6章实数复习-人教版七年级数学下册课件(共17张PPT)
解：(1)点 B 表示的数是 5－2. (2)点 C 表示的数是 2－ 5. (3)由题可知，点 A 表示 5，点 B 表示 5－2，点 C 表示 2－ 5， ∴OA＝ 5，OB＝ 5－2，OC＝|2－ 5|＝ 5－2，∴OA＋OB＋OC ＝ 5＋ 5－2＋ 5－2＝3 5－4.
互为逆运算
乘方
开方
2、填空
（1）因为 4 的立方是64，所以64的立方根是 4 ， -27的立方根是 -3 。
（2） 0 的平方根是它本身， 1和0 的算术平方根是它本 身， 1和0 的立方根是它本身。
（3）下列说法中：① 3 都是27的立方根，
② 3 y 3 y， ③ 64 的立方根是2， ④ 3 82 4 ⑤两数互为相反数，则这两数的立方 根也互为相反数，正确的有 ②③⑤（填序号）。
3
9
0,
5, 3 8,
0.3737737773 （相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
1 , 5 , 42
4, 9
0,
3 8,
有理数集合
3 2, 7, , 2, 20 , 3
5, 0.3737737773
无理数集合
3、填一填
(1)
2 2
的相反数是
2 2
， 7 3 3
7 ， 的倒数是
1
（1）按定义分
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
分数
数
无理数： 无限不循环小数
含开方开不尽的数
π 含有 的数
有规律但不循环的小数
【例2】在-7.5，
, 4,
,
gg
,0.15 ,
中，无理数
的个数是（ B ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个
互为逆运算
乘方
开方
2、填空
（1）因为 4 的立方是64，所以64的立方根是 4 ， -27的立方根是 -3 。
（2） 0 的平方根是它本身， 1和0 的算术平方根是它本 身， 1和0 的立方根是它本身。
（3）下列说法中：① 3 都是27的立方根，
② 3 y 3 y， ③ 64 的立方根是2， ④ 3 82 4 ⑤两数互为相反数，则这两数的立方 根也互为相反数，正确的有 ②③⑤（填序号）。
3
9
0,
5, 3 8,
0.3737737773 （相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
1 , 5 , 42
4, 9
0,
3 8,
有理数集合
3 2, 7, , 2, 20 , 3
5, 0.3737737773
无理数集合
3、填一填
(1)
2 2
的相反数是
2 2
， 7 3 3
7 ， 的倒数是
1
（1）按定义分
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
分数
数
无理数： 无限不循环小数
含开方开不尽的数
π 含有 的数
有规律但不循环的小数
【例2】在-7.5，
, 4,
,
gg
,0.15 ,
中，无理数
的个数是（ B ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个
第六章《实数》总复习课件
2、判断下列说法是否正确：
（1）实数不是有理数就是无理数。 （ ）
（2）无限小数都是无理数。
（3）无理数都是无限小数。
（
（
）
）
（4）带根号的数都是无理数。
（
）
）
（5）两个无理数之和一定是无理数。（
（6）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过 来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
三、相反数、（负）倒数、绝对值、
练习：计算下列各式的值:
(1) 2 2 2
3 3
(2) 2 2 (1 2)
(3)、 2 9 2
5 2
补充练习
x 1、 x 3 y 3 0， 求 y
x 2、 x 3 3 y 3 0， 求 y
3
3、 | x 3 | y 2 0， 求x 2 xy y
3 （1） － 8 的相反数是2
绝对值是 2 .
1 ； 倒数是 2
；
（2） 3 的倒数是 3
；
（3） 3 －2的绝对值是 2－ 3 ；
若 x 2 5, y 1 2，且xy 0，则x＋y＝ 8或－5 （4）
2、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图1－1 －1 所示， 则它们从小到大的顺序是 c<d<b<a 。
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有 理数的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如： a、b互为相反数，c与d互为倒数
则a+1+b+cd= 2 。
练习：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示。 化简：
a b (a b) －2b
2
实数复习ppt课件
金融中的利率与利息计算
利率计算
在金融领域中，利率的计算是必不可 少的。利率通常用百分数表示，但实 际上是实数。通过利率的计算，我们 可以确定借款或储蓄的回报率。
利息计算
利息的计算是基于本金和利率的乘积 。通过利息的计算，我们可以确定资 金在使用一定时间后所获得的回报或 损失。
物理学中的速度与加速度
数学运算的基础
实数是数学运算的基础，几乎所有数学分支 都离不开实数。实数的四则运算、函数、极 限、导数等概念是数学分析、代数、几何等 领域的基础。
物理世界中的数学模型
实数在描述物理世界的现象和规律时具有重 要作用。例如，长度、时间、质量等物理量 都可以用实数表示，而物理定律往往可以通 过实数的数学表达式来描述和推导。
实数的性质
实数是封闭的，即任意两个实数的和 、差、积、商（分母不为零）仍然是 实数。
实数具有完备性，即实数集在加法、 减法、乘法和乘方下是封闭的。
实数的分类
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数和分数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 如圆周率π和自然对数的底数e。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
实数的指数运算通过幂的性质进行，例如$a^m times a^n = a^{m+n}$和$(a^m)^n = a^{mn}$等 。根号运算则是求一个数的平方等于给定值的数，需要注意根号的定义域。在进行指数和根号运算时 ，需要注意处理负指数和根号下的表达式，以及在解决实际问题时考虑单位的换算。
极限理论。
现代数学中的实数研究与应用
实数在现代数学中的地位
实数已成为现代数学的基础，许多数学分支都建立在实数理论之 上。
实数在物理学中的应用
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第六章 实数
复习课
一、知识点归纳
1、基本概念
被开方数、算术平方根、平方根、立方根 有理数、无理数、实数
2、基本运算 开平方、开立方、绝对值 3、基本运用
求算术平方根、求平方根、求立方根、求绝对值、 解二次方程、解三次方程、解绝对值方程、 比较大小、化简、估算、应用题（面积、体积）
二、知识点分解－－总
算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平 方根是0。
记 作 ： 0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这 个数就叫做a 的平方根（或二次方根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根．a的平方根记为 a
的 值 。 2 、 计 算 ： 1 x x 1 x 2 1 。
1. 643 64 9
(1) 2. 2
2007
92
3
3.
2 3
4. 3222323
解答
1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这个数
2.已知y= 1 2x1 12x 求2（x+y）的平方根
11
中，无理数的个数是（ B ）
(A) 2 ( B) 3 (C) 4 (D) 5
选择题： 6、已知一个正方形的边长为a，面积为S， 则（ C ）
(A) S a (B) S的 平 方 根 是 a (C) a是S的平方根 (D)a S
计算题：
1、 已 知a2b30,求 （ ab)2
(X为任意实数) (X为任意实数)
a2 a =
a 2 a
a a0 0 a0 a (a0) a0
3 a 3 a a为任何数
复习课
一、知识点归纳
1、基本概念
被开方数、算术平方根、平方根、立方根 有理数、无理数、实数
2、基本运算 开平方、开立方、绝对值 3、基本运用
求算术平方根、求平方根、求立方根、求绝对值、 解二次方程、解三次方程、解绝对值方程、 比较大小、化简、估算、应用题（面积、体积）
二、知识点分解－－总
算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平 方根是0。
记 作 ： 0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这 个数就叫做a 的平方根（或二次方根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根．a的平方根记为 a
的 值 。 2 、 计 算 ： 1 x x 1 x 2 1 。
1. 643 64 9
(1) 2. 2
2007
92
3
3.
2 3
4. 3222323
解答
1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这个数
2.已知y= 1 2x1 12x 求2（x+y）的平方根
11
中，无理数的个数是（ B ）
(A) 2 ( B) 3 (C) 4 (D) 5
选择题： 6、已知一个正方形的边长为a，面积为S， 则（ C ）
(A) S a (B) S的 平 方 根 是 a (C) a是S的平方根 (D)a S
计算题：
1、 已 知a2b30,求 （ ab)2
(X为任意实数) (X为任意实数)
a2 a =
a 2 a
a a0 0 a0 a (a0) a0
3 a 3 a a为任何数
人教版初中七年级(下册)数学《第六章实数复习课》ppt课件
C） 的 值 是 （ ( A )1 ( B )5
( C )2 5
( D )不 能 确 定
三、知识点应用
选择题：
2 2 3 、 已 知 x 2 y 80 , 则 x 2 x y y
的 值 是 ( C)
( A )6 ( C )1 0
( B ) 1 0 ( D )不 能 确 定
4、下列运算正确的是（ A ）
唯一对应
数轴上一个点
性质：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示
的数大.
二、知识点分解－－实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的 意义和有理数的相反数、倒数、绝对值的意义 完全一样。即
a a
相反数 倒数
a
1 (a 0) a , a0 a | a | 0 , a0 a , a0
(× 10)任何数都有平方根
( 11 ) a 一定没有平方根 ×
2
三、知识点应用
填空：将下列各数分别填入下列的集合括号中
3
9,
1 , 4
7,
4 , 9
3
5 , 7
2,
1 , 3
16 ,
1 , 3 1 , 4
3
8 ,
0 .
…｝
,
9,
5, 5,
4 , 9
无理数集合：｛
7,
16 ,
3
2 , ,
三、知识点应用
1、a、b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋1＋b＋cd
＝ 2 。
2、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则 （1）它们从小到大的顺序是 （ 2 ） a b a +b c<d<b<a 。
( C )2 5
( D )不 能 确 定
三、知识点应用
选择题：
2 2 3 、 已 知 x 2 y 80 , 则 x 2 x y y
的 值 是 ( C)
( A )6 ( C )1 0
( B ) 1 0 ( D )不 能 确 定
4、下列运算正确的是（ A ）
唯一对应
数轴上一个点
性质：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示
的数大.
二、知识点分解－－实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的 意义和有理数的相反数、倒数、绝对值的意义 完全一样。即
a a
相反数 倒数
a
1 (a 0) a , a0 a | a | 0 , a0 a , a0
(× 10)任何数都有平方根
( 11 ) a 一定没有平方根 ×
2
三、知识点应用
填空：将下列各数分别填入下列的集合括号中
3
9,
1 , 4
7,
4 , 9
3
5 , 7
2,
1 , 3
16 ,
1 , 3 1 , 4
3
8 ,
0 .
…｝
,
9,
5, 5,
4 , 9
无理数集合：｛
7,
16 ,
3
2 , ,
三、知识点应用
1、a、b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋1＋b＋cd
＝ 2 。
2、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则 （1）它们从小到大的顺序是 （ 2 ） a b a +b c<d<b<a 。
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3 3
已知 5.25 1.738 , 52.5 3.744 , 则 5250的值是 17 .38
3
注意平方根和立方根的移位法则
学以致用
1.若 12 .5 3.535，1.25 1.118
11.8； 0.125 0.3535 。 那么 125
2.若 已 知 7.45 2.729 ， y 272.9；
｛
X-2≥0 2-x≥0 ∴x=2
当x=2时，y=3
y x 3 2 1
四、扩大，缩小
已知 1.7201 1.311 , 17.201 4.147, 那么 0.0017201 的平方根是 0.04147
掌 握 已 知 2.36 1.536, 23.6 4.858, 规 若 x 0.4858, 则x是 0.236 律
正数 ，负 2、正数的立方根是一个______ 负数 ，0 的立 数的立方根是一个_______ 0 ；立方根是它本身的数 方根是____ 、-1、0 平方根是它本身的数是__ 是1 ______. 0 0、1 算术平方根是它本身的数是______.
(1)立方根的特征 正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？ 零呢？ 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。 （2）平方根和立方根的异同点 被开方数 平方根 立方根 有两个互为相反数 有一个,是正数 正数 有一个,是负数 负数 无平方根 零 零 零
9
3 2 3 125 (x ) 3 27
2 3 125 x 3 27
2 y 3 3
x 1
2 5 x 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 个数？ 3.已知y=
1 2x 1 1 2x 2
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根
D. a 一定没有平方根
2
练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8； 8 64 _____
9
2、
-4 3 -64的立方根是_____ 9 ____
的平方根是
。3
64
的立方根是（
2 ），
的平方根是 （
3）
X=7 4.若 （x7） 7 x,则x的值是______
实 数
复习回顾
1、概念、分类
2、绝对值、相反数、倒数、负倒数
3、扩大、缩小的变化规律
4、比较大小
5、计算 6、解方程 7、明确表示一个数的小数部分和整数部分 8、式子有意义的条件
一、概念
算术平方根，平方根，
被开方数，根指数， 开平方，开立方，
无理数，实数
乘方
互 为 逆 运 算
有理数
整数
有理数
实 数
分数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
无限不循环小数 一般有三种情况
正无理数 负无理数
(1)、
2、 “
”， “
3
”开不尽的数
(3)、 类似于0.0100100010 0001
下列各数中有理数是
3
:
22 2 ， 7 ， ， ， 2， 7 20 4 3 ， - 5 ， - 8 ， ， 0. 3 9
求这
求2（x+y）的平方根
4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7的小数部分为n,求m+n的值
23
5.已知满足 3 a a 4 a ,求a的值
二、分类
1、实数的定义，分类：
有理数和无理数 统称为实数
2、实数的性质符号，分类：
有理数
实数 无理数
正实数 实数
零 负实数
有限小数及无限循环小数
有理化法
估算法
求差法
1、有理化法比较大小
(1) 5
>2
6 (2) 2 3
<3
2
2、估算法比较大小
1 比较 和4 的大小 . 5
3、求差法比较大小
4 2 5 与 2 3 5 例：比较大小：
解： （4 2 5） （2 3 5）
4 2 5 23 5
2 5
0
0,1,-1
a a=
2
a
a
3
3
2
a
a
0
a 0 a 0
a 0
(a 0)
a a
3
a 为任何数 a a
3
a为任何数
（1）
（4）
169
10 2
（2）
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
0.16
（ 3） 2 14 25
（5） 2
7 9
（1）169
3、如果一个数的平方根是a＋3和 2a－15，求这个数的立方根。
8是 64
64的平方根是
的平方根
±8
不 要 64的值是 8 搞 错 64的立方根是 了
-4
大于 17小于
-4,-3,-2,-1, ＿＿＿ 11 的所有整数为＿＿＿ 0,1,2,3 .
下列说法正确的是(
B)
A. 16的平方根是 4
3
；
6、已知 3 a a 4 a ，求 a 的值。 解得a≥4 解：由题意得：a-4≥0
a4 3 ∴ a-3+ a 4 a ∴a-4=9 ∴a=13 7、已知 y x 2 2 x 3 ，求 y-x的算术
平方根
解：由题意，得： x≥2 解得： x≤2
｛
11、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图1－1所示，则 它们从小到大的顺序是 。 c<d<b<a
c
d
0
b
a
图 1－ 1－ 1 其中：
a b
a+b
d c
-d-c a-d
c b
b-c
ad
32 2 2 3 2 3
化 简 绝 对 值 要 看 它
是负数 是负数 里 是正数 等于本身 面 等于它的相反数 的 3 2 2 2 3 2 3 数 2 2 3 3 2 的 符 原式 2 2 3 2 3 （ 3 2） 号
（2）0.16
13和13
（4）100
2.说出下列各数的立方根：
（1） -0.008
27 （3） 64
10和10
0.4和0.4 25 5 5 （5） 和 9 3 3
（2） 0.512
5 （4） -15 8
64 （3） 25
8 8 和 5 5
4、下列运算中，正确的是（ A） 25 1 (A） 1 1 144 12
4、已知 a 5，b2 7，且 a +b a b，则a b的值为（ D ）
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5、已知5 7的小数部分是a？ 5 7的小数 部分是b？求a b的值
求a b的相反数的立方根
1
1
<0
4 2 5
< 23 5
六、无理数的整数部分与小数部分
Hale Waihona Puke 1、π的整数部分为3，则它的 小数部分是 π－3 ； 2、 5 的整数部分是2 ，
则它的小数部分是5 2 ；
3、 记2 3 的 整 数 部 分 为 a，小数 部分为 b ,求代数 式 a(a b) 的 值.
0.3737737773…… 0.3 21;
判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数；
（5）无理数都是实数;
（6）没有根号的数都是有理数.
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2 2 3 2 3 3 2
4 2 3
2 2 2 2 3 3 3
12、π的整数部分为3，则它 的小数部分是 π-3 ； 10、比较大小：
(1) 3
2 (2)
13
3 2
3 2
(3) 5
2 6
(4) 2 3
典型例题解析 1
例1、（1） 3 的倒数是 。
（2） 3 －2的绝对值是 2 3 ；
3 3
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1
, x=
4
2 3 （x ） 125 0 1. 9(3 y) 4 2. 27 3 2 3 4 2 解: 解: 27 ( x ) 125
2
(3 y )
4 3 y 9
1 2 y 2 或y 3 3 3
1 1
3
3
3
3 3
3
(D)
1 1
3
1、化简：
49 169
3
0.008
4 2 ( ) 13
2、 若M＝a b 2 a＋8是 （a＋8） 的 算 术 平 方 根 ， N＝2a b 4 b 3是 （b 3） 的 立 方 根 ， 求 ： M N的 值 .
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？ 算术平方根
表示方法
平方根
立方根
3
a的取值
性
正数 0 负数
a≥
0
a
0
a a≥ 0
0 没有
a 是任何数
0 负数（一个）
a
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
质
已知 5.25 1.738 , 52.5 3.744 , 则 5250的值是 17 .38
3
注意平方根和立方根的移位法则
学以致用
1.若 12 .5 3.535，1.25 1.118
11.8； 0.125 0.3535 。 那么 125
2.若 已 知 7.45 2.729 ， y 272.9；
｛
X-2≥0 2-x≥0 ∴x=2
当x=2时，y=3
y x 3 2 1
四、扩大，缩小
已知 1.7201 1.311 , 17.201 4.147, 那么 0.0017201 的平方根是 0.04147
掌 握 已 知 2.36 1.536, 23.6 4.858, 规 若 x 0.4858, 则x是 0.236 律
正数 ，负 2、正数的立方根是一个______ 负数 ，0 的立 数的立方根是一个_______ 0 ；立方根是它本身的数 方根是____ 、-1、0 平方根是它本身的数是__ 是1 ______. 0 0、1 算术平方根是它本身的数是______.
(1)立方根的特征 正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？ 零呢？ 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。 （2）平方根和立方根的异同点 被开方数 平方根 立方根 有两个互为相反数 有一个,是正数 正数 有一个,是负数 负数 无平方根 零 零 零
9
3 2 3 125 (x ) 3 27
2 3 125 x 3 27
2 y 3 3
x 1
2 5 x 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 个数？ 3.已知y=
1 2x 1 1 2x 2
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根
D. a 一定没有平方根
2
练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8； 8 64 _____
9
2、
-4 3 -64的立方根是_____ 9 ____
的平方根是
。3
64
的立方根是（
2 ），
的平方根是 （
3）
X=7 4.若 （x7） 7 x,则x的值是______
实 数
复习回顾
1、概念、分类
2、绝对值、相反数、倒数、负倒数
3、扩大、缩小的变化规律
4、比较大小
5、计算 6、解方程 7、明确表示一个数的小数部分和整数部分 8、式子有意义的条件
一、概念
算术平方根，平方根，
被开方数，根指数， 开平方，开立方，
无理数，实数
乘方
互 为 逆 运 算
有理数
整数
有理数
实 数
分数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
无限不循环小数 一般有三种情况
正无理数 负无理数
(1)、
2、 “
”， “
3
”开不尽的数
(3)、 类似于0.0100100010 0001
下列各数中有理数是
3
:
22 2 ， 7 ， ， ， 2， 7 20 4 3 ， - 5 ， - 8 ， ， 0. 3 9
求这
求2（x+y）的平方根
4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7的小数部分为n,求m+n的值
23
5.已知满足 3 a a 4 a ,求a的值
二、分类
1、实数的定义，分类：
有理数和无理数 统称为实数
2、实数的性质符号，分类：
有理数
实数 无理数
正实数 实数
零 负实数
有限小数及无限循环小数
有理化法
估算法
求差法
1、有理化法比较大小
(1) 5
>2
6 (2) 2 3
<3
2
2、估算法比较大小
1 比较 和4 的大小 . 5
3、求差法比较大小
4 2 5 与 2 3 5 例：比较大小：
解： （4 2 5） （2 3 5）
4 2 5 23 5
2 5
0
0,1,-1
a a=
2
a
a
3
3
2
a
a
0
a 0 a 0
a 0
(a 0)
a a
3
a 为任何数 a a
3
a为任何数
（1）
（4）
169
10 2
（2）
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
0.16
（ 3） 2 14 25
（5） 2
7 9
（1）169
3、如果一个数的平方根是a＋3和 2a－15，求这个数的立方根。
8是 64
64的平方根是
的平方根
±8
不 要 64的值是 8 搞 错 64的立方根是 了
-4
大于 17小于
-4,-3,-2,-1, ＿＿＿ 11 的所有整数为＿＿＿ 0,1,2,3 .
下列说法正确的是(
B)
A. 16的平方根是 4
3
；
6、已知 3 a a 4 a ，求 a 的值。 解得a≥4 解：由题意得：a-4≥0
a4 3 ∴ a-3+ a 4 a ∴a-4=9 ∴a=13 7、已知 y x 2 2 x 3 ，求 y-x的算术
平方根
解：由题意，得： x≥2 解得： x≤2
｛
11、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图1－1所示，则 它们从小到大的顺序是 。 c<d<b<a
c
d
0
b
a
图 1－ 1－ 1 其中：
a b
a+b
d c
-d-c a-d
c b
b-c
ad
32 2 2 3 2 3
化 简 绝 对 值 要 看 它
是负数 是负数 里 是正数 等于本身 面 等于它的相反数 的 3 2 2 2 3 2 3 数 2 2 3 3 2 的 符 原式 2 2 3 2 3 （ 3 2） 号
（2）0.16
13和13
（4）100
2.说出下列各数的立方根：
（1） -0.008
27 （3） 64
10和10
0.4和0.4 25 5 5 （5） 和 9 3 3
（2） 0.512
5 （4） -15 8
64 （3） 25
8 8 和 5 5
4、下列运算中，正确的是（ A） 25 1 (A） 1 1 144 12
4、已知 a 5，b2 7，且 a +b a b，则a b的值为（ D ）
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5、已知5 7的小数部分是a？ 5 7的小数 部分是b？求a b的值
求a b的相反数的立方根
1
1
<0
4 2 5
< 23 5
六、无理数的整数部分与小数部分
Hale Waihona Puke 1、π的整数部分为3，则它的 小数部分是 π－3 ； 2、 5 的整数部分是2 ，
则它的小数部分是5 2 ；
3、 记2 3 的 整 数 部 分 为 a，小数 部分为 b ,求代数 式 a(a b) 的 值.
0.3737737773…… 0.3 21;
判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数；
（5）无理数都是实数;
（6）没有根号的数都是有理数.
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2 2 3 2 3 3 2
4 2 3
2 2 2 2 3 3 3
12、π的整数部分为3，则它 的小数部分是 π-3 ； 10、比较大小：
(1) 3
2 (2)
13
3 2
3 2
(3) 5
2 6
(4) 2 3
典型例题解析 1
例1、（1） 3 的倒数是 。
（2） 3 －2的绝对值是 2 3 ；
3 3
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1
, x=
4
2 3 （x ） 125 0 1. 9(3 y) 4 2. 27 3 2 3 4 2 解: 解: 27 ( x ) 125
2
(3 y )
4 3 y 9
1 2 y 2 或y 3 3 3
1 1
3
3
3
3 3
3
(D)
1 1
3
1、化简：
49 169
3
0.008
4 2 ( ) 13
2、 若M＝a b 2 a＋8是 （a＋8） 的 算 术 平 方 根 ， N＝2a b 4 b 3是 （b 3） 的 立 方 根 ， 求 ： M N的 值 .
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？ 算术平方根
表示方法
平方根
立方根
3
a的取值
性
正数 0 负数
a≥
0
a
0
a a≥ 0
0 没有
a 是任何数
0 负数（一个）
a
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
质