【步步高高考数学总复习】§ 113 几何概型.
高考数学(理)总复习讲义：古典概型与几何概型
第五节古典概型与几何概型扇霾歳議■基础——在批注中理解透 (单纯识记无意楚，深刻理解提能力)1. 古典概型(1) 古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性.(2) 古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为 A ；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A) = m，求出事件A的概率.(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(2) 几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.(3) 计算公式：构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积*几何概型应用中的关注点1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性［小题查验基础］、判断题(对的打“V” ，错的打“X” )(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有 限.()(3) 掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面”，这三个事件是等可能事件.()A 中基本事件构成集合 A ,所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为詈f .(答案：(1)X (2)X 二、选填题C. i解析：选D 一枚硬币连掷2次可能出现(正，正卜(反，反)、(正，反)、(反，正)四种 2 1情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P =4=-.2.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的, 超过2分钟的概率是()1.一枚硬币连掷2次, 只有 次出现正面的概率为()解析：选C 试验的全部结果构成的区域长度为 5,所求事件的区域长度为2,故所求2概率为P =-.53.已知四边形 ABCD 为长方形，AB = 2, BC = 1, O 为AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 0的距离大于1的概率为( n A・n nB _ n n D /I —n解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的 2 — nS 阴影2n面积比，即所求概率P = S—= -=1—nS 长方形ABCD 2 4 4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 (4)在古典概型中，如果事件 Dl则他候车时间不解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), 2 1(2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5),共 10 种，故所求概率P =命=5.5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为答案：5 在细解明规律(题目千变总有报，梳干理枝究其本)考点一古典概型［师生共研过关］［典例精析］(1)(2018全国卷n )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30= 7+ 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )(2)(2019武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次， 得到的点数依次记为a 和b ,则方程ax 2 + bx + 1= 0有实数解的概率是()1 B.1［解析］(1)不超过30的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个 不同的数，共有C% = 45种情况，而和为30的有7+ 23,11 + 19,13+ 17这3种情况，所以所 3 1求概率P =—=—.45 15K a < 6, a € N *,⑵投掷骰子两次，所得的点数 a 和b 满足的关系为* 所以a 和b 的b < 6, b € N ,组合有36种.若方程ax 2+ bx + 1 = 0有实数解， 贝U △= b 2-4a >0，所以 b 2>4a.解析:A.7_ 36C. 19 36P = 1-56.1 1取1,2,3,4 ;当b= 5 时，a 可取1,2,3,4,5,6 ;当b= 6 时，a 可取1,2,3,4,5,6.1911满足条件的组合有19种，则方程ax2+ bx +1=0有实数解的概率P =两［答案］⑴c(2)C［解题技法］1.古典概型的概率求解步骤3.将A , B , C , D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“ A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是()(1)求出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A 包含的所有基本事件的个数m.⑶代入公式2.基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法 (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题 中基本事件数的探求.(4)运用排列组合知识计算.1.(20佃益阳、 减函数的概率是( ［过关训练］湘潭调研)已知 a € { — 2,0,1,2,3}, b € {3,5}，则函数 f(x)= (a 2— 2)e x + b 为3A — A.103B.3 1 %若函数 f(x)= (a 2— 2)e x + b 为减函数，则 a 2— 2v 0, 又 a € { — 2,0,1,2,3},故只有a = 0, a = 1满足题意，又b € {3,5}，所以函数f(x)= (a 2— 2)e x + b 为减函数的概率是解析：选C2.从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是4 B.4C "57 D.7解析：选C 由题意得，所求概率 5 X 4X 2 5 P= 9X 8 = 9.f （x ）的图象与 x 轴有公共点的概率等于（2 A — A.15C .3［解析］11 D •亦•/ f(x) =— x 2+ mx + m 的图象与 x 轴有公共点，二 △= m 2+ 4m > 0,「. m < — 4或m >0,二在［—6,9］内取一个实数 m ，函数f （x ）的图象与 x 轴有公共点的概率 P = 琴貴严”故选D. ［答案］D类型（二）与面积有关的几何概型［例2］ （1）（2018潍坊模拟）如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形,2 C.23 DQ（2）（2019洛阳联考）如图，圆O : x 2 + y 2= n 内的正弦曲线 y = sin x 与 x 轴围成的区域记为 M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域M 内的概率是（A. nn4 B.~3 nC . nnD . nn［解析］（1）设正六边形的中心为点 O , BD 与AC 交于点G , BC = 1,2 2 2BGC = 120° 在厶 BCG 中，由余弦定理得 1= BG + BG — 2BG cos 120°则 BG = CG ,/得 BG = ~33, 所1 1 \[3 V 3 "T 3 \[3 1以 S A BCG = 2XBG X BG X sin 120° = 寸 X 寸X 寸=材,因为 S 六边形 ABCDEF = S A BOC X 6 = ?1 1 %%解析：选B A , B , C , D 4名同学排成一排有 A 4= 24种排法.当A , C 之间是B 时, 4 + 2 1 D 时，有2种排法，所以所求概率P =吒-=£24 4考点二几何概型［全析考法过关［考法全析］类型（一）与长度有关的几何概型（2019濮阳模拟）在［—6,9］内任取一个实数 m ,设f （x ） = — x 2+ mx + m ,则函数有2X 2 = 4种排法，当A , C 之间是 [例1]x 1X 1 x Sin 60。
11-6几 何 概 型
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[答案] C
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第六节
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[点评] 与体积有关的几何概型由公式 构成事件A的区域体积 P(A)＝ 可求之． 试验的全部结果构成的区域体积
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在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从 中随机取出 10 mL ，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概 率是多少？ [分析] 本题主要考查与体积有关的几何概型问题．
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3．(2011· 福建理，4)如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点．若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自 △ABE 内部的概率等于( 1 A. 4 1 C. 2 ) 1 B. 3 2 D. 3
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[答案] C
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7．某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客
车均为每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概 率．
[解析] 设 A＝{等车的时间不多于 10 分钟}，事件 A 恰 好是到站等车的时刻位于[50,60] 这一段时间内，因此由几何 60－50 1 概型的概率公式得 P(A)＝ ＝ ，即此人等车时间不多 60 6 1 于 10 分钟的概率为 . 6
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第11章 计数原理与概率
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文科第三节
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2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第十二章 12.2几何概型
§12.2几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．概念方法微思考1．古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( √ ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( × )题组二 教材改编2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝13，∴P (A)>P (C)＝P (D)>P (B)．4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4 答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D. 题组三 易错自纠5.(2020·江西重点中学联盟联考)如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子(大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23 D ．无法计算 答案 B解析 设阴影部分的面积为S ， 由几何概型可知S 4＝23⇒S ＝83.6．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________． 答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2)． 由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0， 解得0<x <4或8<x <12.在数轴上表示，如图所示．由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝2 3.与长度(角度)有关的几何概型1．设x ∈[0，π]，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13. 2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．答案 16解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.3．(2017·江苏)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形有关的几何概型例1 (2018·全国Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案 A解析 ∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝π8BC 2，∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ，S Ⅱ＝⎝⎛⎭⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝⎛⎭⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC . ∴S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总.∴p 1＝p 2. 故选A.命题点2 与简单的线性规划有关的几何概型例2 在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825 答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎨⎧0<x <1，0<y <1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.命题点3 与定积分有关的几何概型例3 (2020·四川双流中学检测)如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为( )A ．1－2π B.2π C.2π2 D ．1－2π2答案 A解析 S 矩形＝π×1＝π，又ʃπ0sin x d x ＝－cos x |π0＝－(cos π－cos 0)＝2， ∴S 阴影＝π－2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.思维升华 (1)与平面图形有关的几何概型，应利用平面几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率． (2)与简单的线性规划有关的几何概型，先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求解．(3)与定积分有关的几何概型，先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．跟踪训练1 (1)(2020·广西六市联合调研)如图所示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2 cm 的圆形铜片，中间有边长为1 cm 的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水(水滴的大小忽略不计)，则水滴正好落入孔中的概率是( )A.2πB.1πC.12πD.14π 答案 D解析 由题意知S 铜片＝π×22＝4π， S 方孔＝12＝1，故所求概率为14π. (2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________． 答案 34解析 设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，通电y 秒后第二串彩灯闪亮． 依题意得0≤x ≤4,0≤y ≤4，∴S ＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y |≤2，如图可知，符合要求的S ′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴由几何概型的概率公式得P ＝S ′S ＝1216＝34.(3)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆(大小忽略不计)，则它落到阴影部分的概率为________．答案2e 2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.与体积有关的几何概型例4 (1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为( )A.π24B.π12C.π8D.π6 答案 A解析 以AB 为直径作球，球在正方体内的区域体积为V ＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P ＝π38＝π24.(2)(2020·贵州省贵阳一中适应性考试)在正三棱锥A －BCD 中，△BCD 的边长为2，点E ，F ，G 分别是棱AD ，BD ，CD 的中点，且EF ＝FG ，随机在该三棱锥中任取一点P ，则点P 落在其内切球中的概率是________． 答案3π18解析 ∵点E ，F ，G 分别是棱AD ，BD ，CD 的中点， ∴EF ＝12AB ，FG ＝12BC ，又∵EF ＝FG ，∴AB ＝BC ＝2， ∴正三棱锥A －BCD 为正四面体，其体积V ＝13×12×2×2×sin 60°×263＝223，表面积S ＝4×12×2×2×sin 60°＝43，内切球的半径r ＝3V S ＝2243＝66，内切球的体积V 球＝43πr 3＝627π，∴所求概率P ＝V 球V ＝3π18.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．跟踪训练2 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π 答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π， 则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.1．在区间(0,100)内任取一数x ，则lg x >1的概率为( ) A ．0.1 B ．0.5 C ．0.8 D ．0.9 答案 D解析 由lg x >1，得x >10， 所以所求概率为P ＝100－10100＝0.9.2．在区间[0，π]上随机取一个数x ，使cos x 的值介于－32与32之间的概率为( ) A.13 B.23 C.38 D.58 答案 B解析 cos x 的值介于－32与32之间的区间长度为5π6－π6＝2π3. 由几何概型概率计算公式，得P ＝2π3π－0＝23.3．(2020·四川资阳、眉山、遂宁、广安联考)中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明．三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”．用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在“赵爽弦图”中，以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成．如图，正方形ABCD 是某大厅按“赵爽弦图”设计铺设的地板砖，已知4个直角三角形的两直角边分别为a ＝30 cm ，b ＝40 cm.若某小物体落在这块地板砖上任何位置的机会是均等的，则该小物体落在中间小正方形中的概率是( )A.125B.112C.625D.2425 答案 A解析 由题意可知S 正方形ABCD ＝2 500(cm 2)，中间的小正方形边长为b －a ＝10(cm)，S 小正方形＝100(cm 2)，故落在小正方形区域的概率为1002 500＝125.4.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.4π81 B.81－4π81 C.127 D.827 答案 C解析 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.6．某水池的容积是20立方米，向水池注水的水龙头A 和水龙头B 的水流速度都是1立方米/小时，它们在一昼夜内随机开0～24小时，则水池不溢出水的概率约为( ) A ．0.30 B ．0.35 C ．0.40 D ．0.45 答案 B解析 设水龙头A 开x 小时，水龙头B 开y 小时，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，若水池不溢出水，则x ＋y ≤20，记“水池不溢出水”为事件M ，则M 所表示的区域面积为12×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576，由几何概型的概率公式得P (M )＝200576≈0.35.7．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的阴影区域的面积为()()ππππ44sin cos d cos sin |x x x x x -=--⎰ ＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2. 又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.8．(2020·四川省成都七中模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.14 答案 B解析 ∵a ，b 使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点， ∴Δ＝4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π.所有事件是Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，∴该区域面积S 1＝(2π)2＝4π2，满足条件的事件是{(a ，b )|a 2＋b 2≥π}， ∴满足条件的区域面积S 2＝4π2－π2＝3π2， 则所求概率P ＝34.9．(2020·云南省昆明一中双基检测)将一段长为3米的木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为________． 答案 13解析 只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，所求概率为13.10.如图所示，M 是半径为R 的圆周上的一个定点，在圆周上任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．答案 12解析 当弦MN 的长度恰为2R 时，∠MON ＝π2，如图，当点N落在半圆弧NMN 上时，弦MN的长度不超过2R，故所求概率为P＝12. 11．(2020·西南名校联盟适应性考试)在区间(－1,1)内随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2－nx＋m＝0有实数根的概率为________．答案1 2解析如图，点(m，n)所在区域D为边长为2的正方形，关于x的一元二次方程x2－nx＋m＝0有实根的条件是n－4m≥0，满足条件的可行域如图阴影部分，其面积为2，所以所求概率为P＝24＝1 2.12．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<12V S －ABC 的概率是________． 答案 78解析 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求， 由几何概型知，P ＝1－18＝78.13．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m (易知m >0)．当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.故m ＝3.14．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________． 答案1 0131 152解析 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y－x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.15．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥13”的概率，p 2为事件“|x －y |≤13”的概率，p 3为事件“xy ≤13”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥13”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，事件“|x －y |≤13”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤13”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整个图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以此点取自空白部分的概率P ＝2π.。
2023版高考数学一轮总复习11-1随机事件古典概型与几何概型课件
Ω的几何度量
考法一 古典概型概率的求法 1.求解古典概型概率的步骤
2.基本事件个数的确定方法 1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. 2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标 法.
3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. 4)运用排列组合知识计算.
A39 7
答案 D
创新 生活中的概率问题 1.概率问题常与生活实际或数学文化相结合,主要考查学生的逻辑推 理、数据分析、数学抽象等核心素养. 2.解决这类问题的关键:①认真审题,把握信息;②弄清提供的问题情境的 意义;③抽象转化成数学问题,应用熟悉的数学知识解决.
例1 (2021湖南湘潭一模,7)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习 之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐 渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音 节字母组成,能够读出,但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料,用 节省法计算保持和遗忘的数量,并根据试验结果绘成描述遗忘进程的曲 线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单 词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代 替概率,不考虑其他因素,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
m=5+4+3+2+1=15,则取到的整数十位数字比个位数字大的概率P= m =15
n 25
=3.
5
答案 B
考法二 几何概型概率的求法
例2 (2021辽宁辽南协作体联考,9)1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰 教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形 ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之 和等于直角梯形的面积”,可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲 尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、易 懂的证明,就把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠ECB=60°,在梯 形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△CDE(阴影部分)中的概率 是() A.2(2- 3 ) B.2- 3 C. 3 -1 D.2( 3-1)
2020届【步步高】高考文科数学一轮总复习讲义
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集
符号
N
N*(或 N＋)
Z
有理数集 Q
实数集 R
答案 (1)C (2)0 或98
解析 (1)∵2－3 x∈Z，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，
又∵x∈Z，∴x 值分别为 5,3,1，－1，
故集合 A 中的元素个数为 4.
(2)若 a＝0，则 A＝23，符合题意； 若 a≠0，则由题意得 Δ＝9－8a＝0，解得 a＝98.
综上，a 的值为 0 或98. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数
2.集合间的基本关系 关系
子集
自然语言
集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即 若 x∈A，则 x∈B)
符号语言 A⊆B(或 B⊇A)
Venn 图
真子集 集合相等
集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中
集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集
A B(或 B A) A＝B
A．{－1,1,5}
B．{－1,5}
C．{1,5}
D．{－1}
答案 A
解析 ∵A＝{－1,5}，B＝{－1,1}，
∴A∪B＝{－1,1,5}．
3．已知集合 A＝{x|x2－x－2≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B 等于( )
A．{－1,0,1,2}
【步步高】2015届高考数学总复习 12.3几何概型课件 理 新人教B版
求解几何概型的概率问题， 一 定 要正 确 确定试 验 的全 部结果构成的区域，从而正 确选择合理的测度，进而利 用概率公式求解．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为 a，b， 则函数 f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2 有零点的概率为 π π π A．1－ B．1－ C．1－ 8 4 2 ( 3π D．1－ 4 )
AD 所以 BD＝ ＝1， tan 60° ∠BAD＝30° .
【例 1】 (1)在区间[－1,1]上随机 π 取一个数 x， 求 cos x 的值介于 2 1 0 到 之间的概率． 2 (2)如图所示， 在△ABC 中， ∠B
记事件 N 为“在∠BAC 内作射 BM<1”， 则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生．
1 ×2 2 1 由几何概型公式得：P(A)＝ 2 ＝2.
到弦的距离小于 OF，
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2 】
与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)(2012· 北京)设不等式组 0≤x≤2， 表示的平面区域为 D， 在 0 ≤ y ≤ 2 区域 D 内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是 ( ) π－ 2 4－ π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆 心，在这个圆柱内随机取一点 P，则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________．
由几何概型的概率公式， 30° 2 得 P(N)＝ ＝ . 75° 5
＝60° ，∠C＝45° ，高 AD＝ 3， 线 AM 交 BC 于 点 M ， 使 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率．
届步步高大一轮复习讲义
§12.3 模拟方法——概率的应用2018高考会这样考1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2.和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主．复习备考要这样做1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练．b5E2RGbCAP1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积>成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．p1EanqFDPw2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A>＝错误!.DXDiTa9E3d3．要切实理解并掌握几何概型实验的两个基本特点(1>无限性：在一次实验中，可能出现的结果有无限多个；(2>等可能性：每个结果的发生具有等可能性．[难点正本疑点清源]1．几何概型的实验中，事件A的概率P(A>只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积>成正比，而与A的位置和形状无关．RTCrpUDGiT2．求实验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．3．几何概型的两种类型(1>线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2>面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．5PCzVD7HxA1．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．答案错误!解读如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝错误!＝错误!.jLBHrnAILg 2．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧错误!的长度小于1的概率为________．xHAQX74J0X答案错误!解读如图可设l错误!＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是错误!.3．已知直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________．答案错误!解读区域D为区间[－2,3]，d为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P＝错误!.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是( >LDAYtRyKfEA.错误!B.错误!C.错误!D.错误!Zzz6ZB2Ltk答案B解读以时间的长短进行度量，故P＝错误!＝错误!. 5．(2018·湖北>如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( >dvzfvkwMI1A．1－错误!B.错误!－错误!C.错误!D.错误!rqyn14ZNXI答案A解读方法一设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝错误!＋错误!×1×1－错误!＝1，EmxvxOtOco所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝错误!×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝错误!＝1－错误!.方法二连接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面积．设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝错误!×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝错误!×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝错误!＝错误!＝1－错误!.SixE2yXPq5题型一与长度有关的几何概型例1在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋错误!m＋1＝0无实根}中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为________．6ewMyirQFL思维启迪：通过转化集合A和lgm有意义将问题转化成几何概型．答案错误!解读由Δ＝m2－4错误!<0得－1<m<4.kavU42VRUs即A＝{m|－1<m<4}．由lgm有意义知m>0，即使lgm有意义的范围是(0,4>，故所求概率为P＝错误!＝错误!.探究提高解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长>之比．y6v3ALoS89在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．M2ub6vSTnP答案错误!解读记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点>，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：0YujCfmUCwP(A>＝错误!＝错误!.题型二与面积有关的几何概型例2设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1>若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；eUts8ZQVRd(2>若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思维启迪：(1>为古典概型，利用列举法求概率．(2>建立a－b平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1>基本事件共有12个：(0,0>，(0,1>，(0,2>，(1,0>，(1,1>，(1,2>，(2,0>，(2,1>，(2,2>，(3,0>，(3,1>，(3,2>．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A>＝错误!＝错误!.sQsAEJkW5T(2>实验的全部结果所构成的区域为{(a，b>|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b>|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A>＝错误!＝错误!.GMsIasNXkA探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出实验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：TIrRGchYzgP(A>＝错误!.(2018·湖南>函数f(x>＝sin(ωx＋φ>的导函数y＝f′(x>的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，A，C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点．7EqZcWLZNX(1>若φ＝错误!，点P的坐标为错误!，则ω＝________；lzq7IGf02E(2>若在曲线段错误!与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．zvpgeqJ1hk答案(1>3 (2>错误!解读(1>∵f(x>＝sin(ωx＋φ>，∴f′(x>＝ωcos(ωx＋φ>．当φ＝错误!时，f′(x>＝ωcos错误!.NrpoJac3v1又该函数过点P错误!，故错误!＝ωcos错误!.1nowfTG4KI∴ω＝3.(2>设A(x0,0>，则ωx0＋φ＝错误!，∴x0＝错误!－错误!.fjnFLDa5Zo又y＝ωcos(ωx＋φ>的周期为错误!，∴|AC|＝错误!，C错误!.tfnNhnE6e5依题意曲线段错误!与x轴围成的面积为S＝－ʃ错误!－错误!＋错误!错误!－错误!ωcos(ωx＋φ>dx＝2.HbmVN777sL∵|AC|＝错误!，|yB|＝ω，∴S△ABC＝错误!.∴满足条件的概率为错误!.题型三与角度、体积有关的几何概型例3如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝错误!，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．V7l4jRB8Hs思维启迪：根据“在∠BAC内作射线AM”可知，本题的测度是角度．解因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝错误!，∠B＝60°，所以BD＝错误!＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N>＝错误!＝错误!.探究提高几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC上找一点M”，则相应的测度变成线段的长度．83lcPA59W9一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为mZkklkzaaP( >A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!AVktR43bpw答案C解读由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为错误!＝错误!.ORjBnOwcEd转化与化归思想在概率中的应用典例：(12分>已知向量a＝(2,1>，b＝(x，y>．(1>若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；(2>若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．审题视角(1>向量a∥b转化为x＝2y，而x、y的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2>和(1>中条件类似，但x、y的值有无穷多个，应转化为几何概型问题．2MiJTy0dTT规范解答解(1>设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件空间为Ω＝{(－1，－1>，(－1,0>，(－1,1>，(0，－1>，(0,0>，(0,1>，(1，－1>，(1,0>，(1,1>，(2，－1>，(2,0>，(2,1>}，共包含12个基本事件；[3分]gIiSpiue7A其中A＝{(0,0>，(2,1>}，包含2个基本事件．则P(A>＝错误!＝错误!，即向量a∥b的概率为错误!.[5分]uEh0U1Yfmh(2>设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.[7分]IAg9qLsgBX基本事件空间为Ω＝错误!，WwghWvVhPEB＝错误!，asfpsfpi4k[10分]则P(B>＝错误!＝错误!＝错误!，ooeyYZTjj1即向量a，b的夹角是钝角的概率是错误!.[12分]温馨提醒(1>对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．BkeGuInkxI(2>本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.PgdO0sRlMo方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将实验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．失误与防范1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分>一、选择题(每小题5分，共20分>1．(2018·辽宁>在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为( >3cdXwckm15A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!h8c52WOngM答案C解读设AC＝x，CB＝12－x，所以x(12－x><32，解得x<4或x>8.所以P＝错误!＝错误!.2．(2018·北京>设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( >v4bdyGiousA.错误!B.错误!C.错误!D.错误!J0bm4qMpJ9答案D解读如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是错误!.XVauA9grYP3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( >A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!bR9C6TJscw答案C解读∵S阴影＝ʃ错误!(错误!－x>dx＝错误!错误!pN9LBDdtrd ＝错误!－错误!＝错误!，又S正方形OABC＝1，DJ8T7nHuGT∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为错误!＝错误!.QF81D7bvUA4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin错误!的值介于－错误!与错误!之间的概率为( >4B7a9QFw9hA.错误!B.错误!C.错误!D.错误!ix6iFA8xoX答案D解读∵－1≤x≤1，∴－错误!≤错误!≤错误!.wt6qbkCyDE由－错误!≤sin错误!≤错误!，得－错误!≤错误!≤错误!，Kp5zH46zRk即－错误!≤x≤1.故所求事件的概率为错误!＝错误!.Yl4HdOAA61二、填空题(每小题5分，共15分>5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．ch4PJx4BlI答案错误!解读如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为错误!.qd3YfhxCzo6．设p在[0,5]上随机地取值，则方程x2＋px＋错误!＋错误!＝0有实根的概率为________．E836L11DO5答案错误!解读一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p2－4错误!＝(p＋1>(p－2>，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为P＝错误!＝错误!.S42ehLvE3M7．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x>＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为________．501nNvZFis 答案错误!解读根据函数f(x>＝x2＋2ax－b2＋π有零点得4a2－4(π－b2>≥0，即a2＋b2≥π，建立如图所示的平面直角坐标系，则实验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部，使函数f(x>有零点的区域为图中阴影部分，且S阴影＝4π2－π2＝3π2.jW1viftGw9故所求概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.xS0DOYWHLP三、解答题(共22分>8．(10分>已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于错误!的概率．LOZMkIqI0w解如图，正方体ABCD－A1B1C1D1.设M－ABCD的高为h，则错误!×SABCD×h<错误!，又SABCD＝1，∴h<错误!，即点M在正方体的下半部分，∴所求概率P＝错误!＝错误!. 9．(12分>已知关于x的一元二次函数f(x>＝ax2－4bx＋1.设点(a，b>是区域错误!内的随机点，求函数y＝f(x>在区间[1，＋∞>上是增函数的概率．ZKZUQsUJed解因为函数f(x>＝ax2－4bx＋1的图像的对称轴为x＝错误!，要使f(x>＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞>上为增函数，当且仅当a>0且错误!≤1，即2b≤a.dGY2mcoKtT依条件，可知实验的全部结果所构成的区域为错误!.rCYbSWRLIA构成所求事件的区域为错误!.FyXjoFlMWh由错误!得交点坐标为错误!，TuWrUpPObX 所以所求事件的概率为P＝错误!＝错误!.7qWAq9jPqEB组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分>一、选择题(每小题5分，共15分>1．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x>＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( >A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!llVIWTNQFk答案C解读要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b>(a－2b><0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0.作出错误!的可行域，yhUQsDgRT1易得该函数无零点的概率P＝错误!＝错误!.MdUZYnKS8I2.如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过错误!R的概率为( >09T7t6eTnoA.错误!B.错误!C.错误!D.错误!e5TfZQIUB5答案D解读如图，在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD＝MC＝错误!R，当点N不在半圆弧错误!上时，MN>错误!R，故所求的概率P(A>＝错误!＝错误!.s1SovAcVQM3．(2018·陕西>如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的算法框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( >GXRw1kFW5sA．P＝错误!B．P＝错误!C．P＝错误!D．P＝错误!答案D解读∵xi，yi为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当x错误!＋y错误!≤1时，点(xi，yi>均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的错误!圆内，当x错误!＋y错误!>1时对应点落在阴影部分中(如图所示>．UTREx49Xj9∴有错误!＝错误!，Nπ＝4M－Mπ，8PQN3NDYyPπ(M＋N>＝4M，π＝错误!.二、填空题(每小题5分，共15分>4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使错误!≤1成立的概率为________．mLPVzx7ZNw答案错误!解读D为直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝1围成的正方形区域，而由错误!≤1，即x2＋y2≤1(x≥0，y≥0>知d为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆>，故所求概率为错误!＝错误!.AHP35hB02d5．(2018·江西>小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于错误!，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于错误!，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．NDOcB141gT答案错误!解读∵去看电影的概率P1＝错误!＝错误!，1zOk7Ly2vA去打篮球的概率P2＝错误!＝错误!，fuNsDv23Kh∴不在家看书的概率为P＝错误!＋错误!＝错误!.tqMB9ew4YX 6．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．HmMJFY05dE答案1－错误!解读弦长不超过1，即|OQ|≥错误!，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超ViLRaIt6sk过1}．由几何概型的概率公式得P(A>＝错误!＝错误!.9eK0GsX7H1∴弦长不超过1的概率为1－P(A>＝1－错误!.三、解答题7．(13分>设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外>，将线段AB分成了三条线段，(1>若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2>若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解(1>若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝错误!.naK8ccr8VI(2>设其中两条线段长度分别为x、y，则第三条线段长度为6－x－y，故全部实验结果所构成的区域为错误!，即错误!，B6JgIVV9ao所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形，则还要满足错误!，P2IpeFpap5即为错误!，3YIxKpScDM所表示的平面区域为△DEF，由几何概型知，所求概率为P＝错误!＝错误!.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
【步步高】高考数学大一轮复习 12.3几何概型名师课件 理 苏教版
径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，
就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于
CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得： P(A)＝12×2 2＝12.
题型二 与面积、体积有关的几
出的概率.
(4)结论：将解出的数学模型
跟踪训练3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该 校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人 在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至 少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答) 解析 在平面直角坐标系中画出由小王(x)和小张(y)到校的 时间对应的点(x，y)所构成的平面区域，再画出小张比小 王至少早到5分钟对应的点(x，y)所构成的平面区域，计算 出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可.
思维点拨
解析
思维升华
A的面积 所求概率为 P(A)＝Ω的面积
一可昼能夜的内.如到果达甲该船码停头泊的时时间刻为是1等h，＝24－12×122＋4224－22×12
乙船停泊时间为2 h，求它们中 的任意一艘都不需要等待码头空
＝550766.5＝11
013 152.
出的概率.
题型三 生活中的几何概型问题 例3 甲、乙两船驶向一个不能 同时停泊两艘船的码头，它们在
思维升华
例3 甲、乙两船驶向一个不能 A为图中阴影
同时停泊两艘船的码头，它们在 部分，全部结
一昼夜内到达该码头的时刻是等 果构成集合Ω 可能的.如果甲船停泊时间为1 h，为边长是24 乙船停泊时间为2 h，求它们中 的正方形及其内部. 的任意一艘都不需要等待码头空
步步高高考数学总复习目录.ppt
人教A版数学（文）
第十编 统计、统计案例
§10.1 随机抽样
§10.2 用样本估计总体
§10.3 变量间的相关关系 §10.4 统计案例
单元检测十
第十一编 概率 §11.1 随机事件的概率
§11.2 古典概型
§11.3 几何概型
单元检测十一
下一页
人教A版数学（文）
第十二编 算法初步、推理与证明、复数 §12.1 算法与程序框图 §12.2 基本算法语句、算法案例 §12.3 流程图与结构图
§12.4 合情推理与演绎推理 §12.5 直接证明与间接证明 §12.6 数系的扩充与复数的引入 单元检测十二
返回
三角函数模型的简单应用 §4.5 两角和与差的正弦、余弦和正
切 单元检测四
§5.1 平面向量的概念及线性运算 §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 §5.3 平面向量的数量积 §5.4 正弦定理和余弦定理 §5.5 正弦定理、余弦定理的应用 单元检测五
第六编 数 列 §6.1 数列的概念及简单表示法 §6.2 等差数列及其前n项和
§6.3 等比数列及其前n项和 下一页
人教A版数学（文）§6.4 数 Nhomakorabea的通项及求和 §6.5 数列的综合应用 单元检测六
第七编 不等式 §7.1 不等关系与不等式 §7.2 一元二次不等式及解法 §7.3 二元一次不等式（组）与简单的 线性规划问题 §7.4 基本不等式: ab a b
2
单元检测七
人教A版数学（文）
第一编 集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念及其基本运算 §1.2 命题及其关系、充分条件与必 要条件 §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词 单元检测一
第二编 函数与基本初等函数Ⅰ §2.1 函数及其表示 §2.2 函数的单调性与最大（小）值 §2.3
高考数学复习：几 何 概 型
()
(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有
关. ( )
提示:(1)√.这是几何概型与古典概型的区别. (2)√.这是几何概型与古典概型的共同点. (3)×.从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是0. (4)×.无论长度、角度、面积、体积、“测度”只与大 小有关,而与形状和位置无关.
3
6
=6 . 1
3
2
【规律方法】 长度、角度等测度的区分方法 (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表 示,则把题中所表示的几何模型转化为长度,然后求解. 解题的关键是构建事件的区域(长度).
(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时, 应以角度的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线 段的长度代替,这是两种不同的度量手段.
【题组练透】
1.(2019·西宁模拟)函数f(x)=2x(x<0),其值域为D,在
区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是 ( )
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
2
3
4
3
【解析】选B.函数f(x)=2x(x<0)的值域为(0,1),即
D=(0,1),则在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的
【解析】以A为圆心,以AD=1为半径作圆弧 DB 交 AC,AP,AB分别为C′,P′,B′.
依题意,点P′在 B上D任何位置是等可能的,且射线AP
与线段BC有公共点,则事件“点P′在 B上C”发生.
又在Rt△ABC中,易求∠BAC=∠B′AC′= .
故所求事件的概率P=BA=C
BAD
答案: 1
=75(s)的时间长度.根据几何概型的概率公式 可得,事件A发生的概率P(A)= 40 = 8 .
【步步高 高中理科数学 教学资料】13.1
§13.1合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题.1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)题组二教材改编2．[P71例1]已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案 C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.3．[P84A组T5]在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．题组三易错自纠4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．5．(2017·济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．(填序号)答案①④解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．6．(2018·中山模拟)在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立；在凸四边形ABCD中，不等式1A＋1 B＋1C＋1D≥162π成立；在凸五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立…依此类推，在凸n边形A1A2…A n中，不等式1A1＋1A2＋…＋1A n≥____________________成立．答案n2(n－2)π(n∈N*，n≥3)解析∵1A＋1B＋1C≥9π＝32π，1 A＋1B＋1C＋1D≥162π＝422π，1 A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π＝523π，…，∴1A1＋1A2＋…＋1A n≥n2(n－2)π(n∈N*，n≥3).题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 典例 (2016·山东)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________.答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理典例 (2017·济宁模拟)已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；…照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______.答案na 1a 2…a n解析 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．命题点3 与数列有关的推理典例 (2017·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；…可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 答案1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 解析 根据式子中的规律可知，等式右侧为 15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (n ∈N *)． 命题点4 与图形变化有关的推理典例 (2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 答案 D解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D. 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．跟踪训练 (1)将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是( )答案 A解析 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层． 题型二 类比推理典例 (1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A.q2 B ．q 2 C.q D.nq答案 C解析 由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n n nb q-.∴nT n ＝121n b q-，∴等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练 (2018·晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是____________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n －1n C n n图1 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16…1C 1n ＋1C 0n1C 1n ＋1C 1n…1C 1n ＋1C r n…1C 1n ＋1C n －1n 1C 1n ＋1C n n图2答案1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1解析 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n ＋1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，有1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1.题型三 演绎推理典例 (2018·保定模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案 D解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.(2)已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：①b 2 018是数列{a n }的第________项； ②b 2k －1＝________.(用k 表示)(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N *，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 018＝⎝⎛⎭⎫2 0182×5⎝⎛⎭⎫2 0182×5＋12＝a 5 045.②由①知b 2k －1＝⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×5－1⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2.(2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①；对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②；对于③，取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫πx －π2(0<x <1)， 所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③.④不符合，故填④.答案 (1)①5 045 ②5k (5k －1)2(2)④1．(2018·衡水模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 答案 B解析 A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C ，D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C ，D 都不正确，只有B 正确，故选B.2．(2018·武汉模拟)观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2答案 B解析 由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n －1项，且第一项为n ，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方．3．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析 取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.4．(2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…等于( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52答案 C解析 设1＋11＋11＋…＝x ，则1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍. 故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 5．(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( )A ．甲、丙B ．乙、丁C ．丙、丁D ．乙、丙答案 D解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为D.6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n…可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________.答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10 ＝1 100－100＝1 000.8．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有__________________．答案 b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝1 解析 类比已知条件中等差数列的等式(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，结合等比数列通项公式可得出等比数列的结论为：b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝1.9．(2017·青岛模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝______.答案 n ＋22n ＋2解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝34⎝⎛⎭⎫1－19＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23⎝⎛⎭⎫1－116＝58， 推测f (n )＝n ＋22n ＋2. 10．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为____________________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 11．(2018·济南模拟)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， f (x 1)＋f (x 2)12．(2018·温州模拟)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图所示，由三角形相似得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2. 猜想，四面体A —BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .123333x x ++()()()121212121233333323333333333x x x x x x x x x x ++++==+++++()()121212123323332333332333323x x x x x x x x ++++==++⨯++∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.13．(2017·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为____________．答案 26＋27＋…＋212解析 由题意，如果2n －1是质数，则2n －1(2n －1)是完全数，n ≥2，n ∈N *，∴令n ＝7，可得一个四位完全数为64×(128－1)＝8 128，∴8 128＝26＋27＋ (212)14．(2017·厦门模拟)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明：(1)a >0且－2<b a<－1； (2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．证明 (1)因为f (0)>0，f (1)>0，所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<b a<－1. (2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 3a ，3ac －b 23a ，又因为－2<b a <－1，所以13<－b 3a <23. 因为f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝⎛⎭⎫－b 3a ＝3ac －b 23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a ＝－⎝⎛⎭⎫a －c 22＋3c 243a <0，所以方程f (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，－b 3a 与⎝⎛⎭⎫－b 3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．15．(2017·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．答案 43πb 2a 解析 椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝⎛⎭⎫π×b 2×a －13π×b 2a ＝43πb 2a . 16．(2017·青岛模拟)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017. 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 017＝2， …，f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2. 所以f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.。
21-22版：§3.3 几何概型（步步高）
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解析 ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只 是一个数字，不能构成区域长度； ②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限 性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)； ③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足 无限性特征； ④是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数 多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和 等可能性.
第三章 概 率
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义. 2.会求一些简单的几何概型的概率. 3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率.
内容索引
NEI RONG SUO YIN
知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练
1 知识梳理
PART ONE
3 随堂演练
PART THREE
1.下列概率模型中，几何概型的个数为 ①从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到1的概率； ②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm 的概率.
反思 感悟
几何概型特点的理解 (1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个， 即基本事件有无限多个； (2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性 相等，即基本事件的发生是等可能的.
跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型. (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
高考数学一轮复习 123几何概型课件 文
●两种类型 (1)线型几何概型：基本事件只受一个连续的变量控制的概 型． (2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一 般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事 件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
1．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a，则这
个实数满足17＜a＜20的概率是( )
1
1
A.3
B.2
3
7
C.10
D.10
解析：∵a∈(15,25]， ∴P(17＜a＜20)＝2205－ －1175＝130.
答案：C
2．有一杯2 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中 取0.1 L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( )
A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.1 解析：因为取水是随机的，而细菌在2 L水中的任何位置是等 可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P＝02.1＝0.05.
能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的 思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以
用“事件A包含的基本事件 □4 __________________”与“试验的 基本事件所占的□5 ______________________”之比来表示．
3．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下
P(A)＝12×2 2＝12. 答案：12
考点二 与面积有关的几何概型 【例2】 设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中
任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个
解析：由Δ＝m2－434m＋1<0得－1<m<4. 即A＝{m|－1<m<4}． 由lg m有意义知m>0，即使lg m有意义的范围是(0,4)， 故所求概率为P＝4－4－－01＝45.
【步步高】2021届高考数学总温习 几何概型学案 理 北师大版(1)
学案62 几何概型导学目标： 1.了解随机数的意义，能运用模拟方式估量概率.2.了解几何概型的意义． 自主梳理 1．几何概型若是每一个事件发生的概率只与组成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称如此的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝____________________________________________________________________.求实验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何气宇，然后代入公式即可求解． 3．要切实明白得并把握几何概型实验的两个大体特点： (1)无穷性：在一次实验中，可能显现的结果有无穷多个； (2)等可能性：每一个结果的发生具有等可能性． 4．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：大体事件发生的可能性都是________；(2)不同点：古典概型的大体事件是有限个，是可数的；几何概型的大体事件是________，是不可数的． 自我检测1．(2020·南阳调研)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，而且以线段AM 为边作正方形，那么那个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.14B.13C.427D.4152．(2020·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，假设在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，那么点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.233.如下图，A 是圆上必然点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，取得一条弦，那么此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.144．(2020·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，那么|x |≤1的概率为________．5．(2020·江西)小波通过做游戏的方式来确信周末活动，他随机地往单位圆内抛掷一点，假设此点到圆心的距离大于12，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于14，那么去打篮球；不然，在家看书．那么小波周末不．在家看书的概率为________． 探讨点一 与长度有关的几何概型例1 国家平安机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发觉30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包括两间谍犯法的信息．后来发觉，这段谈话的一部份被某工作人员擦掉了，该工作人员宣称他完满是无心中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯法的内容的谈话被部份或全数擦掉的概率有多大？变式迁移1 在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过那个点作垂直于直径的弦，那么弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．探讨点二 与角度有关的几何概型例2 (2020·承德模拟)如下图，在等腰Rt △ABC 中，过直角极点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．变式迁移2假设将例2题目改成：“在等腰Rt △ACB 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率”，答案还一样吗？探讨点三 与面积有关的几何概型例3 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，而且先到者必需等迟到者40分钟方可离去，若是两人动身是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约按时刻内相见的概率．变式迁移3 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一日夜内任何时刻抵达是等可能的．若是甲船和乙船的停泊时刻都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想的应用例 (12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R .(1)假设a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)假设a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率． 多角度审题 此题第(1)问是古典概型问题，第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题．【答题模板】解 (1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情形有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即大体事件总数为12.[3分]设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a >b .当a >b 时，a ，b 取值的情形有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A 包括的大体事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率为P (A )＝612＝12.[6分](2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，那么实验的全数结果组成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.[8分]设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，那么事件B 所组成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部份的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[10分]由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[12分]【冲破思维障碍】1．古典概型和几何概型的区别在于实验的全数结果是不是有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对实验的确认和分析．2．用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”． 【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举大体事件应不重不漏．2．计算几何概型的概率时，区域的几何气宇要准确无误．1．几何概型：假设一个实验具有两个特点：①每次实验的结果是无穷多个，且全部结果可用一个有气宇的几何区域来表示；②每次实验的各类结果是等可能的．那么如此的实验称为几何概型．2．由概率的几何概念可知，在几何概型中，“等可能”一词应明白得为对应于每一个实验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何气宇成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的大体事件空间可表示成可气宇的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示(A ⊆Ω)，那么P (A )＝A 的度量Ω的度量.(总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1．(2020·辽宁)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4B ．1－π4C.π8D ．1－π82．(2020·天津和平区模拟)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，那么△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.233．(2020·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如下图的阴影部份，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影部份的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π44．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )知足⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤12f －1≤3的事件为A ，那么事件A 的概率为( )A.58B.12C.38D.145．(2020·滨州模拟)在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，那么点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2B.π8C.π6D.π4二、填空题(每题4分，共12分) 6．(2020·陕西)从如下图的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，那么点M 落在阴影部份的概率为________．7．如下图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，那么硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．(2020·济南模拟)在可行域内任取一点，规那么如程序框图所示，那么能输出数对(x ，y )的概率是________． 三、解答题(共38分) 9．(12分)已知等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM <30°的概率； (2)在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM <30°的概率．10．(12分)甲、乙两艘轮船都要停泊在同一个泊位，它们可能在一日夜的任意时刻抵达．设甲乙两艘轮船停泊泊位的时刻别离是4小时和6小时，求有一艘轮船停泊泊位时必需等待一段时刻的概率．11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .(1)假设a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率； (2)假设a ，b 都是从区间[0,4]任取的一个数，求f (1)>0成立时的概率． 学案62 几何概型 自主梳理2.构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 4．(1)相等的 (2)无穷个自我检测1．A [∵AM 2∈[36,81]，∴AM∈[6,9]， ∴P＝9－612＝312＝14.]2．C [这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABE S 矩形ABCD ＝12·|AB|·|AD||AB|·|AD|＝12.应选C .]3．C [当∠A′OA＝π3时，AA′＝OA ，∴P＝23π2π＝13.]4.23解析 由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.5.1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.课堂活动区例1 解题导引 解决概率问题先判定概型，此题属于几何概型，知足两个条件：大体事件的无穷性和每一个大体事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特点，即与长度有关．解 包括两个间谍谈话录音的部份在30 s 和40 s 之间，当按错键的时刻在这段时刻之内时，部份被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全数被擦掉，即在0到40 s 之间，即0到23 min 之间的时刻段内按错键时含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉，而0到30 min 之间的时刻段内任一时刻按错键的可能性是相等的，因此按错键使含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉的概率只与从开始到谈话内容终止的时刻段长度有关，符合几何概型的条件．记A ＝{按错键使含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉}，A 的发生确实是在0到23min 时刻段内按错键．P(A)＝2330＝145. 变式迁移1 12解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如下图，不妨在过等边三角形BCD 的极点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，确实是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12. 例2 解题导引 若是实验的结果所组成的区域的几何气宇可用角度来表示，那么其概率公式为 P(A)＝构成事件A 的角度试验的全部结果所构成区域的角度. 解 在AB 上取AC′＝AC ，连接CC′，那么 ∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作出一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM<AC}， 那么μΩ＝90°，μA ＝67.5°，P(A)＝μA μΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2 解 不一样，这时M 点可取遍AC′(长度与AC 相等)上的点， 故此事件的概率应为AC′长度AB 长度＝22.例3 解题导引 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．关于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A 对应的几何图形，利用几何图形的气宇来求随机事件的概率，依如实际问题的具体情形，合理设置参数，成立适当的坐标系，在此基础上将实验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，即可构造出气宇区域．解 设两人别离于x 时和y 时抵达约见地址，要使两人能在约定的时刻范围内相见．当且仅当|x －y|≤23.两人在约按时刻内抵达约见地址的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约按时刻内相见的所有可能结果可用图中的阴影部份(包括边界)的点来表示．因此阴影部份与单位正方形的面积比就反映了两人在约按时刻范围内相遇的可能性的大小，也确实是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13212＝89. 变式迁移3 解 设甲、乙两船抵达时刻别离为x 、y ， 那么0≤x≤24,0≤y≤24且y －x≥4或y －x≤－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤24，0≤y≤24，y －x≥4或y －x≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 那么P(A)＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．B [当以O 为圆心，1为半径作圆，那么圆与长方形的公共区域内的点知足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝μAμΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.]2．C [由于△ABC、△PBC 有公共底边BC ，因此只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即组成一个几何概型，∴所求的概率为|AE||AB|＝34.]3．A [S 矩形OABC ＝2π，S 阴影＝⎠⎜⎛0πsin x d x ＝2，由几何概型概率公式得P ＝22π＝1π.]4．A [知足0≤b≤4,0≤c≤4的区域的面积为4×4＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤12f －1≤3， 得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c≤8－b ＋c≤2，其表示的区域如图中阴影部份所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.]5．D [区域为△ABC 内部(含边界)，那么概率为P ＝S 半圆S △ABC ＝π212×22×2＝π4.] 6.13解析 阴影部份的面积为S ＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，因此点M 落在阴影区域的概率为13.7.7781解析 由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上， 圆环的面积为π×92－π×22＝77π， 故所求概率为77π81π＝7781.8.π4解析 依照题意易知输出数对(x ，y)的概率即为知足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x＋y≤1，－1≤x－y≤1所表示的平面区域面积的比，即P(A)＝π×122＝π4.9．解 (1)设CM ＝x ， 那么0<x<a(不妨设BC ＝a)． 假设∠CAM<30°，那么0<x<33a ，故∠CAM<30°的概率为P(A)＝区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，33a 的角度区间0，a 的角度＝33.(6分)(2)设∠CAM＝θ，那么0°<θ<45°. 假设∠CAM<30°，那么0°<θ<30°， 故∠CAM<30°的概率为P(B)＝区间0°，30°的长度区间0°，45°的长度＝23.(12分)10．解设事件A ＝{有一艘轮船停泊泊位时必需等待一段时刻}，以x 轴和y 轴别离表示甲、乙两船抵达泊位的时刻，那么点(x ，y)的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A 发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥y，y ＋6≥x，0≤x≤24，0≤y≤24.(8分)作出那个二元一次不等式组表示的平面区域为如下图的阴影部份．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(10分) ∴P(A)＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288. 因此，甲、乙两船有一艘停泊泊位时必需等待一段时刻的概率为107288.(12分) 11．解 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的大体事件总数为N ＝5×5＝25(个)．(2分) 函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b≥0，即a 2≥4b.因为事件“a 2≥4b”包括(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．因此事件“a 2≥4b”的概率为P ＝1225.(7分) (2)∵a，b 都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a －b>0，∴a－b>1，此为几何概型，因此事件“f(1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.(14分)。
版高中全程复习方略配套课件：11.3几何概型(数学文人教A版湖南专用)(共50张PPT)
大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小
于OF(此时F为OE的中点)，
1
由几何概型概率公式得：P(A)= 2
2
1
.
22
答案: 1
2
(2)射线CD在∠ACB内是均匀分布的，
故∠ACB＝90°可看成试验的所有结果
构成的区域，在线段AB上取一点E，使
AE＝AC，则∠ACE＝180－45＝ 67.5°，可看成事件构成的区
4
义，必须使m>0.
在数轴上表示为
，故所求概率为
4.
5
答案：(1)0.05 (2) (3)
4
16
5
与长度(角度)有关的几何概型
【方法点睛】
1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概
率的计算公式为
P(A)=
构 成 事 件 A 的 区 域 长 度 .
试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度
2.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大 小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不 同的度量手段. 【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出, 而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.
【例1】(1)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个 点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概 率为_____________. (2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与 线段AB交于点D，则AD<AC的概率为___________. 【解题指南】(1)问题可转化为：直径上到圆心O的距离小于 1
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 2:07:35 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
18版：§12.3 几何概型（步步高）
1．几何概型的定义事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的________________成正比，而与A 的________和________无关，满足以上条件的试验称为几何概型． 2．几何概型的概率公式P (A )＝________，其中________表示区域Ω的几何度量，________表示子区域A 的几何度量．【知识拓展】 几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D ．12．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13D.143．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )4．(2016·南昌模拟)一个边长为3π cm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm 的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm 的区域内的概率等于________．5．(高考改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38D.310(2)(2017·太原月考)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题 例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．命题点3 与定积分交汇命题的问题例4 (2015·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825D.925(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．题型三 与体积有关的几何概型例5 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．16．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， ∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错：纠错心得：答案精析基础知识 自主学习 知识梳理1．几何度量(长度、面积或体积) 位置 形状 2.μAμΩ μΩ μA 思考辨析(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)× 考点自测1．B 2.A 3.A 4.12 5.π4题型分类 深度剖析 例1 (1)B (2)13(3)解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式， 得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3， P (BM <1)＝11＋3＝3－12.跟踪训练1 (1)B (2)16例2 C 例3 78例4512 跟踪训练2 (1)D (2)2e2 例5 (1)C (2)A 跟踪训练3 23现场纠错系列 现场纠错 (1)33(2)C 解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.(2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.纠错心得(1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．。