4.2.1直线与圆的位置关系(上课用)
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4.2.1 直线与圆的位置关系
已 知 圆 C ： (x-1)2+(y-2)2=25, 直 线 l ： (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
练习：P132习题4.2 A组4、5、6、7.
1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.
相离： Δ<0
Cr
l
d
Cr
l d
Cr
d
l
步骤：1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值. 4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相交；若Δ=0,则直线与
圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相离.反之也成立.
练习1
【例1】已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y4=0,判断直线l与圆的位置关系.如果相交,求出它们的 交点坐标.
__D_2+_E_2_-_4_F_＞__0___,圆心坐标为___(_ _D_, _E_)__，
半径为__r __1__D_2 _E_2__4F_____
22
2
探究
直线与圆的位置关系
依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆
的位置关系. （几何法）
相交：d<r 相切： d=r
相离： d>r
Cr
l
d
Cr
l d
Cr
d
l
强调：1.当直线与圆相交时，注意利用弦心距、弦长、
半径之间的关系来求解问题. 2.注意数形结合解决问题.
d 2 ( l )2 r2 2
3.过圆外一点与圆相切的直线l必有两条.
练习：P132习题4.2 A组4、5、6、7.
1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.
相离： Δ<0
Cr
l
d
Cr
l d
Cr
d
l
步骤：1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值. 4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相交；若Δ=0,则直线与
圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相离.反之也成立.
练习1
【例1】已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y4=0,判断直线l与圆的位置关系.如果相交,求出它们的 交点坐标.
__D_2+_E_2_-_4_F_＞__0___,圆心坐标为___(_ _D_, _E_)__，
半径为__r __1__D_2 _E_2__4F_____
22
2
探究
直线与圆的位置关系
依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆
的位置关系. （几何法）
相交：d<r 相切： d=r
相离： d>r
Cr
l
d
Cr
l d
Cr
d
l
强调：1.当直线与圆相交时，注意利用弦心距、弦长、
半径之间的关系来求解问题. 2.注意数形结合解决问题.
d 2 ( l )2 r2 2
3.过圆外一点与圆相切的直线l必有两条.
4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时，
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中，接到气象台
的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域．已知泉州港口位
于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风莫拉克的影响？ y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度．
直线与圆的位置关系
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
4.2.1直线与圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系：
图a 图b
图c
(1)图a直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 相交，这时直线叫圆的割线。 (2)图b直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 相切， 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做 切点。 (3)图c直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离。
2
r
2
x y Dx0 Ey0 F
4.2.1 直线与圆的位置关系
2 2
练习: 过点A(2,4)向圆x y 4引切线， 求切线长。
y A( 2 ,4 )
d
x0 y0 4
2 2 2 2
2 4 4 4 4
2
o
x
4.2.1 直线与圆的位置关系 三、已知斜率的切线方程:
4.2.1 直线与圆的位置关系
仿照点和圆位置关系的 判定，怎样判断直线和 圆的位置关系呢？
4.2.1 直线与圆的位置关系
二、直线与圆的位置关系的判定：
方法1：定义法 判断方法： (1)△＞0 直线与圆相交； 方法2：几何法
圆心到直线的距离d与 (3)△＜0 直线与圆没有交点 直线与圆相离. 半径r的大小关系
2
o
x
3 2 k 4
但斜率不存在时，x 2 故切线方程为： 4 y 10 0或x 2 3x
4.2.1 直线与圆的位置关系
结论：过圆外一点P x0 , y0 引圆 标准方程、一般方程 的切线长为: d
x0 a y0 b
2 2 0 2 0
(d>r) 1、相离 (2)△ = 0 直线与圆相切；
2、相切 (d=r)
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系：
图a 图b
图c
(1)图a直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 相交，这时直线叫圆的割线。 (2)图b直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 相切， 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做 切点。 (3)图c直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离。
2
r
2
x y Dx0 Ey0 F
4.2.1 直线与圆的位置关系
2 2
练习: 过点A(2,4)向圆x y 4引切线， 求切线长。
y A( 2 ,4 )
d
x0 y0 4
2 2 2 2
2 4 4 4 4
2
o
x
4.2.1 直线与圆的位置关系 三、已知斜率的切线方程:
4.2.1 直线与圆的位置关系
仿照点和圆位置关系的 判定，怎样判断直线和 圆的位置关系呢？
4.2.1 直线与圆的位置关系
二、直线与圆的位置关系的判定：
方法1：定义法 判断方法： (1)△＞0 直线与圆相交； 方法2：几何法
圆心到直线的距离d与 (3)△＜0 直线与圆没有交点 直线与圆相离. 半径r的大小关系
2
o
x
3 2 k 4
但斜率不存在时，x 2 故切线方程为： 4 y 10 0或x 2 3x
4.2.1 直线与圆的位置关系
结论：过圆外一点P x0 , y0 引圆 标准方程、一般方程 的切线长为: d
x0 a y0 b
2 2 0 2 0
(d>r) 1、相离 (2)△ = 0 直线与圆相切；
2、相切 (d=r)
必修2：4.2.1直线与圆的位置关系课件
直线 l是⊙A的
割线
r
r
d
d
C
C
l
直线 l与⊙A
相切 d ＝r
直线 l与⊙A
相离 d ＞r
唯一公共点
直线 l是⊙A的
切线 点C是切点
没有公共点
例１：k为何值时直线2x+y=k①与圆x2+y2=4② 相交；相切；相离。 解：利用直线与圆的位置关系判定d与r大小
思考:能否①代入②求解方程组，判定Δ，从而确 定直线与圆的位置关系？
5、已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于4的点的个数为 .
变1：已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于h的点的个数只有3个，则h的值＝——.
解：设P(x, y), O(0,0) y y 0 表示直线OP的斜率。 x x0 又由题义可知 P在圆(x 2)2 y2 1上。 问题转化为：在圆上作 一点P，使直线 OP的斜率 最大，求此斜率的最大 值。
课堂小结：
1、通过本课学习，应知道直线与圆有三种位置关系。
2、会根据数量关系和几何关系来判断直线与圆的位置 关系。
3、掌握切线的最基本的判定方法：d=r，会求圆的切 线；注意讨论直线的斜率； 4、掌握直线被圆所截的得弦长求法： ⑴几何法：用弦心距，半径及半径构成
直角三角形的三边 ⑵代数法：弦长公式：
y
受台风影响的圆形区域的圆的方程：
x2+y2=9 轮船航线所在直线的方程为：
4x+7y-28=0
港口
轮船
O
x
问题归结为：圆与直线有无公共点？
直线与圆的位置关系
观察
思考：
割线
r
r
d
d
C
C
l
直线 l与⊙A
相切 d ＝r
直线 l与⊙A
相离 d ＞r
唯一公共点
直线 l是⊙A的
切线 点C是切点
没有公共点
例１：k为何值时直线2x+y=k①与圆x2+y2=4② 相交；相切；相离。 解：利用直线与圆的位置关系判定d与r大小
思考:能否①代入②求解方程组，判定Δ，从而确 定直线与圆的位置关系？
5、已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于4的点的个数为 .
变1：已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于h的点的个数只有3个，则h的值＝——.
解：设P(x, y), O(0,0) y y 0 表示直线OP的斜率。 x x0 又由题义可知 P在圆(x 2)2 y2 1上。 问题转化为：在圆上作 一点P，使直线 OP的斜率 最大，求此斜率的最大 值。
课堂小结：
1、通过本课学习，应知道直线与圆有三种位置关系。
2、会根据数量关系和几何关系来判断直线与圆的位置 关系。
3、掌握切线的最基本的判定方法：d=r，会求圆的切 线；注意讨论直线的斜率； 4、掌握直线被圆所截的得弦长求法： ⑴几何法：用弦心距，半径及半径构成
直角三角形的三边 ⑵代数法：弦长公式：
y
受台风影响的圆形区域的圆的方程：
x2+y2=9 轮船航线所在直线的方程为：
4x+7y-28=0
港口
轮船
O
x
问题归结为：圆与直线有无公共点？
直线与圆的位置关系
观察
思考：
课件1 ：4.2.1 直线与圆的位置关系
的取值范围为(
A．R
C.
(− , )
解析：由题意可知
)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D.(− , )
|−|
+
＜1，即此不等式恒成立，故选A.
或直线y＝k(x－2)过定点(2,0)，定点(2,0)在圆(x－3)2＋y2＝1
上．由于斜率k存在，故总有两个交点．
答案：A
圆相切；当d<r时，直线与圆相交．
跟 踪 训 练
1．直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是
(
)
A．相离
B．相切
C．相交且过圆心
D．相交但不过圆心
解析：圆心(2,3)在直线3x－4y＋6＝0上，即直线与圆相交
且过圆心，故选C.
答案：C
跟 踪 训 练
2．若直线y＝kx－2k与圆(x－3)2＋y2＝1恒有两个交点，则实数k
2．下列说法中正确的是(
)
A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切
B．与半径垂直的直线与圆相切
C．过半径外端的直线与圆相切
D．过圆心且与切线垂直的直线过切点
解析：A为相交，B、C中的直线有无数条．
答案：D
自 测 自 评
3．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离
为(
)
A．2
C．l与C与相离
D．以上三个选项均有可能
解析：32＋02－4×3＝－3<0，所以点P(3,0)在圆C内部，
故选A.
答案：A
)
题型二 圆的切线方程
例2 求过点P(3,2)的圆x2＋y2＝9的切线方程．
分析：法一，利用点到切线的距离等于圆的半径求直
A．R
C.
(− , )
解析：由题意可知
)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D.(− , )
|−|
+
＜1，即此不等式恒成立，故选A.
或直线y＝k(x－2)过定点(2,0)，定点(2,0)在圆(x－3)2＋y2＝1
上．由于斜率k存在，故总有两个交点．
答案：A
圆相切；当d<r时，直线与圆相交．
跟 踪 训 练
1．直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是
(
)
A．相离
B．相切
C．相交且过圆心
D．相交但不过圆心
解析：圆心(2,3)在直线3x－4y＋6＝0上，即直线与圆相交
且过圆心，故选C.
答案：C
跟 踪 训 练
2．若直线y＝kx－2k与圆(x－3)2＋y2＝1恒有两个交点，则实数k
2．下列说法中正确的是(
)
A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切
B．与半径垂直的直线与圆相切
C．过半径外端的直线与圆相切
D．过圆心且与切线垂直的直线过切点
解析：A为相交，B、C中的直线有无数条．
答案：D
自 测 自 评
3．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离
为(
)
A．2
C．l与C与相离
D．以上三个选项均有可能
解析：32＋02－4×3＝－3<0，所以点P(3,0)在圆C内部，
故选A.
答案：A
)
题型二 圆的切线方程
例2 求过点P(3,2)的圆x2＋y2＝9的切线方程．
分析：法一，利用点到切线的距离等于圆的半径求直
课件5：4.2.1 直线与圆的位置关系
例 3 求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得的弦长． 解：法一 圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为 x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径 r＝ 5. 点(0,1)到直线 l 的距离为 d＝|3×03＋2＋1－126|＝ 210， l＝2 r2－d2＝ 10，所以截得的弦长为 10.
所以|3k－1k－2＋31－4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， 所以 k2＋8k＋16＝k2＋1，解得 k＝－185. 所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)， 即 15x＋8y－36＝0.
(2)若直线斜率不存在， 圆心 C(3,1)到直线 x＝4 的距离也为 1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x＝4. 综上，所求切线方程为 15x＋8y－36＝0 或 x＝4.
预习自测 1.直线 3x＋4y－5＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【解析】 圆心(0,0)到直线 3x＋4y－5＝0 的距离 d＝ |3－2＋5|42＝1， 又圆 x2＋y2＝1 的半径 r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切． 【答案】 B
题型探究 类型 1 直线与圆的位置关系的判定 例 1 已知直线方程 mx－y－m－1＝0，圆的方程 x2＋y2 －4x－2y＋1＝0.当 m 为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．
课堂检测
1．直线 3x＋4y＋12＝0 与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9 的位置
关系是( )
A．过圆心
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心
【解析】 圆心(1，－1)到直线 3x＋4y＋12＝0 的距离 d＝|3×1＋43×2(＋－412)＋12|＝151＜r. 【答案】 D
4.2.1 直线与圆的位置关系
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),问过点P的直线的斜
率为多少时,这条直线与已知圆:(1)相切;(2)相交;(3)相离.
解:(方法一)由题意知点P在圆外,设过点P的直线的斜率为k(由已
知条件知k存在),则其方程为y=k(x-4).
由
������ = ������(������-4), ������2 + ������2 = 8
果|AB|=8,求直线l的方程.
解:将圆的方程配方得(x+1)2+(y-2)2=25,由圆的性质可得,圆心
到直线 l 的距离 d=
(
25)2-
8 2
2
= 3. 当l 的斜率不存在时,x=-4 满
足题意.当 l 的斜率存在时,设方程为 y=k(x+4),即 kx-y+4k=0.由点到
直线的距离公式,得
所以|AB|=
1
+
1 ������ 2
|������1
−
������2|
= 1 + 3 (������1 + ������2)2-4������1������2=2 3.
(方法三)联立方程组
������ + 3������-2 = 0, ������2 + ������2 = 4,
解之,得
������1 ������1
答案:D
代数法与几何法的比较 剖析1.判断直线与圆的位置关系,一般有两种方法:代数法(判别 式法)和几何法.代数法将直线与圆的公共点个数问题转化为一元 二次方程根的个数问题,利用判别式加以判断,往往计算量比较大, 但它是判断直线与圆的位置关系的通用方法;几何法是结合几何图 形,充分利用圆的几何性质,将直线与圆的位置关系转化为圆心到 直线的距离与圆的半径之间的大小关系,是判断直线与圆的位置关 系的一般方法. 2.在判断直线与圆的位置关系方面,几何法运算量小,是常用方法. 但几何法无法求直线与圆的交点(或切点)坐标.而代数法可以将直 线与圆的交点(或切点)坐标转化为一元二次方程的根,进而求得交 点(或切点)的坐标,因此代数法和几何法都要熟练掌握.
4.2.1直线与圆的位置关系
y
l B
C. A
O
x
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆
x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的
方程。
y
M. .O
x
小结
练习:
3、如图,已知∠AOB= 30°,M为OB上一点,且OM=5cm，若以M 为圆心,r为半径作圆,那么: 1)当直线AB与⊙M相离时, r的取值范围是_0_c_m__<__r_<_2_._5_c_m_; 2)当直线AB与⊙M相切时, r的取值范围是____r__=_2_._5_c_m___;
那么直线和圆的位置关系有哪几种呢？
新授讲解 1、直线与圆相离、相切、相交的定义。
相离
切点
切线
相切
交点
交点 割线
相交
直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来 定义的，即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两 个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。
思考：一条直线和一个圆，如果有公共点能不能多
3)当直线AB与⊙M有公共点时, r的取值范围是___r_≥_2_.5_c_m___.
A C
2.5
O
30°
5
M
B
小结
㈠方法探索
y xb
y
解法一(利用△)：解方程组
x2
y2
4
消去 y 得： 2x2+2bx+b2-4=0 ①
方程①的判别式
⊿=(2b)2-4×2(b2-4)=4(2 2 +b)(2 2 - b).
知识回顾
点和圆的位置关系有几种？
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b) 到P(x0，y0)的距离为d,则 点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 d<r, 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 d=r, 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2 d>r.
l B
C. A
O
x
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆
x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的
方程。
y
M. .O
x
小结
练习:
3、如图,已知∠AOB= 30°,M为OB上一点,且OM=5cm，若以M 为圆心,r为半径作圆,那么: 1)当直线AB与⊙M相离时, r的取值范围是_0_c_m__<__r_<_2_._5_c_m_; 2)当直线AB与⊙M相切时, r的取值范围是____r__=_2_._5_c_m___;
那么直线和圆的位置关系有哪几种呢？
新授讲解 1、直线与圆相离、相切、相交的定义。
相离
切点
切线
相切
交点
交点 割线
相交
直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来 定义的，即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两 个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。
思考：一条直线和一个圆，如果有公共点能不能多
3)当直线AB与⊙M有公共点时, r的取值范围是___r_≥_2_.5_c_m___.
A C
2.5
O
30°
5
M
B
小结
㈠方法探索
y xb
y
解法一(利用△)：解方程组
x2
y2
4
消去 y 得： 2x2+2bx+b2-4=0 ①
方程①的判别式
⊿=(2b)2-4×2(b2-4)=4(2 2 +b)(2 2 - b).
知识回顾
点和圆的位置关系有几种？
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b) 到P(x0，y0)的距离为d,则 点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 d<r, 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 d=r, 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2 d>r.
人教必修二数学《4.2.1直线与圆的位置关系》(课件).ppt
探究2：已知直线l：Ax By C 0，圆C： ( x a)2 ( y b)2 r 2，试判断直线l与圆C的位 置关系。
学法小结
直线l：Ax By C 0，圆C：( x a)2 ( y b)2 r 2的位置关系。
自我检测
已知直线4x 3 y 35 0与圆心在原点直线l倍圆x2 y2 4 y 21 0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
[家庭作业]
《考向标》P89－ P91
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知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 圆的一般方程； 3. 点 P0 (x0，y0)与圆 (x - a)2 + (y - b)2 = r2
的位置关系判断。
问题探究
探究1：（1）直线l：y x 6，圆C：x2 y2 2 y 4 0，试判断直线l与圆C的位置关系，若有交点， 请求其坐标。 （2）直线l： 3x 4 y 2 0，圆C：x2 y2 2x 0，试 判断直线l与圆C的位置关系，若有交点，请求其坐标。 （3）直线l： 3x 4 y 6 0，圆C：x2 y2 2 y 4 0， 试判断直线l与圆C的位置关系，若有交点，请求其坐 标。
高一必修2多媒体教案4.2.1_直线与圆的位置关系
2
5.
即 3k 1 5 5k 2 ,
两边平方，并整理得到 2k2-3k-2=0,
解得k=
1 ，或k=2. 2
所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为 y+3= (x+3),或 y+3=2(x+3). 即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.
1 2
发现结论： 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)判断直线与圆的方程组是否有解 a、有解,直线与圆有公共点. 有一组则相切; 有两组,则相交
2 2
5 2 2
5
所以直线l与圆Ｃ无公共点．
例2
已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0
所截得的弦长为 4 5 ，求直线l的方程. 解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25, 所以，圆心的坐标是（0，-2）半径长r=5. 如图，因为直线l被圆所截得 的弦长是 4 5 ，所以弦心距为
B．d<3
C．d ≤3
D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线 和⊙O的位置关系是（ C ）： A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公
共点.( √ ) 相离 ,以A为圆心,
4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.7 的圆与直线BC的位置关系是
2 2 2
圆心C到直线的距离为d .则有几何特征：
（1）d r 直线与圆相离，没有公共点；
（2）d r 直线与圆相切，只有一个公共点； （3）d r 直线与圆相交，有两个公共点．
( x a) 2 ( y b) 2 r 2， 消去y，得到关于x一元二次方程, Ax By C 0 其判别式为．则有代数特征：
5.
即 3k 1 5 5k 2 ,
两边平方，并整理得到 2k2-3k-2=0,
解得k=
1 ，或k=2. 2
所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为 y+3= (x+3),或 y+3=2(x+3). 即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.
1 2
发现结论： 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)判断直线与圆的方程组是否有解 a、有解,直线与圆有公共点. 有一组则相切; 有两组,则相交
2 2
5 2 2
5
所以直线l与圆Ｃ无公共点．
例2
已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0
所截得的弦长为 4 5 ，求直线l的方程. 解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25, 所以，圆心的坐标是（0，-2）半径长r=5. 如图，因为直线l被圆所截得 的弦长是 4 5 ，所以弦心距为
B．d<3
C．d ≤3
D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线 和⊙O的位置关系是（ C ）： A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公
共点.( √ ) 相离 ,以A为圆心,
4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.7 的圆与直线BC的位置关系是
2 2 2
圆心C到直线的距离为d .则有几何特征：
（1）d r 直线与圆相离，没有公共点；
（2）d r 直线与圆相切，只有一个公共点； （3）d r 直线与圆相交，有两个公共点．
( x a) 2 ( y b) 2 r 2， 消去y，得到关于x一元二次方程, Ax By C 0 其判别式为．则有代数特征：
4.2.1.直线与圆的位置关系
方法一：判断直线与圆的位置关系，就是看 由它们的方程组成的方程组有无实数解； 方法二：可以根据圆心到直线的距离与半径长的 关系判断直线与圆的位置关系。
解法1：几何法 x2 y 2 2 y 4 0 2 2 x ( y 1) 5
圆心(0,1), 半径r 5 设C到直线l的距离为d.则
|2＋b|
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4.圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+14=0的距 离的最大值为 .
答案：7
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小 结：
判定方法 位置关系 图形 几 何特 征 方程特征
几何法
代数法
相交
有两个公共点
圆心坐标为（2，0），r=2
2k 0 5 4k k 2 1 2, k 21 20
切线方程为21x-20y+16=0
当直线的斜率不存在时还有一条切线x=4
四、练习
1、已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C 相切，求圆C的方程。
2、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0 的位置关系。
几何法：判断圆C的圆心到 直线l的距离d与圆的半径r的 关系（大于、小于、等 于）．
y 所以 的最大值为 3 . x
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(2)设y－x＝b，即为直线y＝x＋b，b为该直线在y轴上的 截距，如图所示．当直线y＝x＋b与圆有公共点时，当且仅当
直线与圆相切，且切点在第四象限时b最小，此时圆心(2,0)到
解法1：几何法 x2 y 2 2 y 4 0 2 2 x ( y 1) 5
圆心(0,1), 半径r 5 设C到直线l的距离为d.则
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4.圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+14=0的距 离的最大值为 .
答案：7
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小 结：
判定方法 位置关系 图形 几 何特 征 方程特征
几何法
代数法
相交
有两个公共点
圆心坐标为（2，0），r=2
2k 0 5 4k k 2 1 2, k 21 20
切线方程为21x-20y+16=0
当直线的斜率不存在时还有一条切线x=4
四、练习
1、已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C 相切，求圆C的方程。
2、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0 的位置关系。
几何法：判断圆C的圆心到 直线l的距离d与圆的半径r的 关系（大于、小于、等 于）．
y 所以 的最大值为 3 . x
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(2)设y－x＝b，即为直线y＝x＋b，b为该直线在y轴上的 截距，如图所示．当直线y＝x＋b与圆有公共点时，当且仅当
直线与圆相切，且切点在第四象限时b最小，此时圆心(2,0)到
(原创)4.2.1直线与圆的位置关系
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
理论迁移
例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和 圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判 断直线l与圆的位置关系；如果相交， 求两个交点的坐标．
P128 练习2、3、4题
例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦 长为4 5，求直线l的方程.
若d＞r，则直线与圆相离； 若d＝r，则直线与圆相切； 若d＜r，则直线与圆相交．
思考3:如何根据直线与圆的公共点 个数判断直线与圆的位置关系？
两个公共点 一个公共点 没有公共点
方法二：代数法
1.将直线方程与圆方程联立成方程组；
2.通过消元，得到一个一元二次方程； 3.求出其判别式△的值；
4.比较△与0的大小关系： 若△＞0，则直线与圆相交； 若△＝0，则直线与圆相切； 若△＜0，则直线与圆相离．
知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定
思考1:在平面几何中，直线与圆的 位置关系有几种？
思考2:在平面几何中，我们怎样判 断直线与圆的位置关系？
d
d
d
r
r
r
d<r
d=r
d>r
方法一：几何法 1.把直线方程化为一般式，并求出 圆心坐标和半径r；
2.利用点到直线的距离公式求圆心 到直线的距离d；
3.比较d与r的大小关系：
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法或公式法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
高中数学4.2.1直线与圆的位置关系课件
(1)求与圆x2＋y2＝13相切于点P(－3,2)的切线方程；
(1)求与圆x2＋y2＝13相切于点P(－3,2)的切线方程；
(1)求与圆x2＋y2＝13相切于点P(－3,2)的切线方程；
(1)解法3：∵(－3,2)在圆x2＋y2＝13上， ∴切线方程为－3x＋2y＝13. 即3x－2y＋13＝0.
dr
直线和圆相交
d< r
r
直线和圆相切
d= r
d
∟ ∟
r
d
直线和圆相离
d> r
数形结合： 位置关系
数量关系
练习： 教材P128 1，2，3，4
知识像一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
公共点的名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
直线名称
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 交点 割线
O
l
相交
O
l
A
相切
O
l 相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间 的位置关系？
y
• 解法一：(利用圆心到直线距离判定) l
B
x2(y1)2 ( 5)2 其 圆 心 C (半0 ,径1长 ) ,5为
C. A
O
x
d|3016| 5 5 3212 10
所以,直线l与圆相交，有两个公共点.
解法二:(利用直线与圆公共点个数判定 )
由直线l与圆的方程，得
4.2.1直线与圆的位置关系
4.2.2圆与圆的位置关系
、教学目标
1、知识与技能
(1)理解直线与圆的位置的种类；
(2)禾U用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2、过程与方法
设直线I : ax亠by、c= 0 ,圆C : x2亠y2亠Dx亠Ey亠F=0，圆的半径为r，圆心 (斗 -号)到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1)当d r时，直线I与圆C相离；
(2)当d 时，直线I与圆C相切；
(3)当d ::: r时，直线I与圆C相交；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.
三、教学设想。
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点M最长的弦所在的直线方程是( C ) A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0
C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 3、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点， 则以P为中点的弦所在的直线方程是 ________________________ x+y-5=0 2.直线l过点P(0,2)且被圆x2+y2=4截得弦长为2， 求l的斜率
P132 A组1,2,5,B组4
直线与圆的位置关系的判定方法 直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断： 直线与圆相离 d>r
Ax By C 0 设方程组 的解的个数为 n 2 2 2 ( x a ) ( y b) r
1.在平面几何中直线与圆的位置关系有几种？
相交(二个公共点) 相切(一个公共点)
相离(没有公共点)
圆心到直线的距离d与半径r的比较
2.在初中我们怎样判断直线与圆的位置关系？
d r r d
d r
相交
相切
相离
d<r
d=r
d>r
3.如何用直线方程和圆的方程判断它们之间 的位置关系？
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦 长为4 5 ，求直线l的方程.
y A M
半径2 = d 2 + 半弦长2 o 求过一点的直线方程 x 可设为点斜式方程
圆心C
B
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
1、点到直线的距离公式
A B 2、圆的标准方程
2
d
| Ax0 By0 C |
2
( x a) ( y b) r
2 2
2
x y Dx Ey F 0( D E 4F 0)
一艘轮船在沿直线返回港口的途中， 接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船 正西70 km处，受影响的范围是半径长为 30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那 么它是否会受到台风的影响？ 港口 y l 圆心为O的圆 与直线l是否 台风 轮船 有公共点？ O x
方法一:根据直线与圆的联立方程组的公共解 个数判断； 方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径的大 小关系判断.
题型一：判断直线与圆的位置关系 代数法： 1.联立方程组 2.消元得到一个一元二次方程； 3.求出其判别式△的值； △＞0 △＝0 直线 圆
相交
相切 相离
△＜0
题型一：判断直线与圆的位置关系 几何法： 1.直线化为一般式：Ax+By+C=0 圆化为标准方程: (x-a)2 + (y-b)2 =r2 圆心坐标(a,b)和半径r Aa Bb C 2.求圆心到直线的距离 d 2 2 A B d＜r 相交 d＝r 相切 d＞r 相离
Ax By C 0 设方程组 的解的个数为 n 2 2 2 ( x a ) ( y b) r
△<0 △=0 △>0
n=0 n=1 直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
n=2
例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求两个交点的坐标和弦长．
例3:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上， 在y=x上截得弦长为 2 7 ，求此圆的方 程。 解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，
圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是
d 2 | 3b b | 2
2
2 |b|
2
r=|3b|
r d ( 7 ) b 1
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
14 1、直线x-y-1=0被圆x2+y2=4截得的弦长是=_____.
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9。
1、m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2 + y2 =5 （1）无公共点 （2）截得弦长为2 2、过圆(x-1)2 + (y+2)2 = 1外一点M(2,1)作 圆的切线，求圆的切线方程 且与直线x-y-1＝0相切的圆方程.
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
P133 B组3，4
3、求过点P（2，1），圆心在直线2x＋y=0上，
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
△<0
n=0 n=1 n=2 直线与圆相离 直线与圆相切
A B 直线与圆相交 (2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
d<r
2
d=r
直线与圆相切
d
Aa Bb C
2
△=0
△>0
直线与圆相交
（1）直线3x-4y+6=0和圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置 关系是（ C ） A.相离 B.相切 C.过圆心 D.相交但不过圆心
2, 得m 2 2或m 2 2
2, 得m 2 2
较
d 与
6 m 1
2
r
相离
d>r
6 m 1
2
2, 得 2 2 m 2 2
例 2:已知圆 C:X2+y2=1和过点 P( -1 ,2) 的直线L. (1)试判断点P的位置. (2)若直线L与圆C相切 ,求直线L的方程. (3)若直线L与圆相交于A 、B两点,求直线 L 的斜率范围. (4)当直线L的斜率为-1时,试判断它们的 位置关系. (5)若直线L与圆相交于A 、B两点 ,且满足 OA⊥OB, 求直线L的方程.
例1 求实数m，使直线 x-my+3=0 和圆 x2+y2-6x+5=0 （1）相交；（2）相切；（3）相离。
x 2 y 2 6x 5 0
( x 3) 2 y 2 4
r=2 圆心（3，0） 直线x-my+3=0
d
6 m2 1
比
相交 相切
d<r d=r
6 m 1
2
2.直线x 3 y 2 0被圆( x 1) 2 y 2 1所截得的
（C ） 线段长为
A.1
B. 2
C. 3
D.2
3.直线l经过点M (3,3),且和圆C : x 2 y 2 4 y 21 0相交, 截得的弦长为 4 5 , 求l的方程.
x 2 y 9 0或2 x y 3 0
C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 3、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点， 则以P为中点的弦所在的直线方程是 ________________________ x+y-5=0 2.直线l过点P(0,2)且被圆x2+y2=4截得弦长为2， 求l的斜率
P132 A组1,2,5,B组4
直线与圆的位置关系的判定方法 直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断： 直线与圆相离 d>r
Ax By C 0 设方程组 的解的个数为 n 2 2 2 ( x a ) ( y b) r
1.在平面几何中直线与圆的位置关系有几种？
相交(二个公共点) 相切(一个公共点)
相离(没有公共点)
圆心到直线的距离d与半径r的比较
2.在初中我们怎样判断直线与圆的位置关系？
d r r d
d r
相交
相切
相离
d<r
d=r
d>r
3.如何用直线方程和圆的方程判断它们之间 的位置关系？
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦 长为4 5 ，求直线l的方程.
y A M
半径2 = d 2 + 半弦长2 o 求过一点的直线方程 x 可设为点斜式方程
圆心C
B
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
1、点到直线的距离公式
A B 2、圆的标准方程
2
d
| Ax0 By0 C |
2
( x a) ( y b) r
2 2
2
x y Dx Ey F 0( D E 4F 0)
一艘轮船在沿直线返回港口的途中， 接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船 正西70 km处，受影响的范围是半径长为 30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那 么它是否会受到台风的影响？ 港口 y l 圆心为O的圆 与直线l是否 台风 轮船 有公共点？ O x
方法一:根据直线与圆的联立方程组的公共解 个数判断； 方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径的大 小关系判断.
题型一：判断直线与圆的位置关系 代数法： 1.联立方程组 2.消元得到一个一元二次方程； 3.求出其判别式△的值； △＞0 △＝0 直线 圆
相交
相切 相离
△＜0
题型一：判断直线与圆的位置关系 几何法： 1.直线化为一般式：Ax+By+C=0 圆化为标准方程: (x-a)2 + (y-b)2 =r2 圆心坐标(a,b)和半径r Aa Bb C 2.求圆心到直线的距离 d 2 2 A B d＜r 相交 d＝r 相切 d＞r 相离
Ax By C 0 设方程组 的解的个数为 n 2 2 2 ( x a ) ( y b) r
△<0 △=0 △>0
n=0 n=1 直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
n=2
例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求两个交点的坐标和弦长．
例3:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上， 在y=x上截得弦长为 2 7 ，求此圆的方 程。 解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，
圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是
d 2 | 3b b | 2
2
2 |b|
2
r=|3b|
r d ( 7 ) b 1
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
14 1、直线x-y-1=0被圆x2+y2=4截得的弦长是=_____.
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9。
1、m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2 + y2 =5 （1）无公共点 （2）截得弦长为2 2、过圆(x-1)2 + (y+2)2 = 1外一点M(2,1)作 圆的切线，求圆的切线方程 且与直线x-y-1＝0相切的圆方程.
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
P133 B组3，4
3、求过点P（2，1），圆心在直线2x＋y=0上，
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
△<0
n=0 n=1 n=2 直线与圆相离 直线与圆相切
A B 直线与圆相交 (2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
d<r
2
d=r
直线与圆相切
d
Aa Bb C
2
△=0
△>0
直线与圆相交
（1）直线3x-4y+6=0和圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置 关系是（ C ） A.相离 B.相切 C.过圆心 D.相交但不过圆心
2, 得m 2 2或m 2 2
2, 得m 2 2
较
d 与
6 m 1
2
r
相离
d>r
6 m 1
2
2, 得 2 2 m 2 2
例 2:已知圆 C:X2+y2=1和过点 P( -1 ,2) 的直线L. (1)试判断点P的位置. (2)若直线L与圆C相切 ,求直线L的方程. (3)若直线L与圆相交于A 、B两点,求直线 L 的斜率范围. (4)当直线L的斜率为-1时,试判断它们的 位置关系. (5)若直线L与圆相交于A 、B两点 ,且满足 OA⊥OB, 求直线L的方程.
例1 求实数m，使直线 x-my+3=0 和圆 x2+y2-6x+5=0 （1）相交；（2）相切；（3）相离。
x 2 y 2 6x 5 0
( x 3) 2 y 2 4
r=2 圆心（3，0） 直线x-my+3=0
d
6 m2 1
比
相交 相切
d<r d=r
6 m 1
2
2.直线x 3 y 2 0被圆( x 1) 2 y 2 1所截得的
（C ） 线段长为
A.1
B. 2
C. 3
D.2
3.直线l经过点M (3,3),且和圆C : x 2 y 2 4 y 21 0相交, 截得的弦长为 4 5 , 求l的方程.
x 2 y 9 0或2 x y 3 0