第七课时导学案解一元二次方程(4)
一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)
一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)初三数学备课组备课时间：上课时间：课型：任课班级：主备人：导学案：一元二次方程研究目标：1.理解方程是数学模型，能够将实际问题转化为一元二次方程；2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
研究重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
研究过程：活动一：知识链接（5分钟）1.下列方程中是一元二次方程的是：1) 2x+3x=9，(2) (x+1)(x-1)=0，(3) 2y^2=0，(4) 2x+3/x-1=0。
5) 3m=2，(6) 2x^2+3y-5=0.2.把方程(2y-1)(2y+1)=1 化为一般形式为：ax^2+bx+c=0；其二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c。
3.若(m-3)x^n-2+3nx+3=0 是关于x的一元二次方程，则m=？n=？4.下面哪些数是方程x^2-x-6=0 的根？-4，-3，-2，-1，1，2，3，4.活动二：自主交流探究新知（25分钟）1.自学教材P17-19，回答以下问题：1) 一元二次方程的定义：只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2) 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax^2+bx+c=0，其中a≠0，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
注意：方程ax^2+bx+c=0 只有当a≠0 时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0 时就是一元一次方程了。
所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
活动五：拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）2.二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
1.当a不等于0时，关于x的方程a(x^2+x)=3x^2-(x+1)是一元二次方程。
2.一元二次方程的解是方程中使等号左右两边值相等的未知数的值。
数学《一元二次不等式》教学设计(优秀4篇)
数学《一元二次不等式》教学设计（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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新人教版九年级数学上册第22章一元二次方程导学案
第22章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容。
概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需19课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程8课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时《一元二次方程》小结与复习2课时《一元二次方程》单元测试 4课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法第9课时一元二次方程的根与系数的关系（1）第10课时一元二次方程的根与系数的关系（2））第11课时实际问题与一元二次方程（1）第12课时实际问题与一元二次方程（2）第13课时实际问题与一元二次方程（3）由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，第14--15课时《一元二次方程》小结与复习一元二次方程单元测试题（一）一、填空题（每题2分，共计12分）1.把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________.2.已知关于x 的二次方程4x 2+4kx+k 2=0的一个根是-2，那么k=__________________.3.若分式12322-+-x x x 的值为0，则x 的值是________________.4.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，则x 2+bx+c 分解因式的结果为___________________.5.如果关于x 的一元二次方程2x 2-（4k+1）x+2k 2-1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是________________.6.已知关于x 的方程x 2-（a ＋b)x ＋ab-2=0.x 1、x 2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：（1）x 1≠x 2;（2）x 1x 2＞ab;(3) x 12＋x 22＞a 2＋b 2.则正确结论的序号是________________.（在横线上填上所有正确结论的序号） 二、选择题（每题5分，共计20分）7.方程x 2+3x-6=0与x 2-6x+3=0所有根的乘积等于（ ）A.-18B.18C.-3D.3 8.以1，-2为根的一元二次方程是（ ） A.x 2+x-2=0 B.x 2-x+2=0 C.x 2-x-2=0 D.x 2+x+2=09.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A.9B.11C.13D.11或1310.某钢厂今年1月份生产某种钢2 000吨，3月份生产这种钢2 420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x ，则可列方程为（ ）A.2 000（1+2x ）=2 420B.2 000（1+x 2）=2 420C.2 000（1+x ）2=2 420D.2 420（1-x ）2=2 000 三、解答题11.不解方程判断根的情况. （每题3分，共计9分） （1）x 2-2x-4=0; （2）2x 2+4x+2=0; （3）21x 2-x+2=0.12.解下列方程（每题5分，共计15分）（1）3x 2+x-2=0; （2）4（x-3）2=25; （3）x 2+6x-10=0(配方法).13.（10分）已知x 1，x 2是方程3x 2+5x-1=0的两个根，求下列各式的值.（1）x 12x 2+ x 22x 1; （2）21x x +12x x .14.列方程解实际问题（第一小题10分，第二小题12分，共计22分）（1）在一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53 m2，那么小路的宽为多少？（2）△ABC中，∠B=90°,AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，①如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2？②如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2？15.（12分）已知关于x的方程x2-2（a-2）x+a2=0，是否存在实数a，使方程两个实数根的平方和为56?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.一元二次方程单元测试题（二）一、选择题1、一元二次方程032=+x x 的解是（ ）A ．3-=xB ．3,021==x xC ．3,021-==x x D ．3=x ２、方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x ３、如果2是方程02=-c x 的一个根，那么c 的值是( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2４、已知1x =是方程220x a x ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3５、某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是（ ）A ．2100(1)120x -=%B ．2100(1)120x +=%;C 2100(12)120x +=%D ．22100(1)120x +=%６、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A ．238x x =-B ．2510x x +=-C ．271470x x -+=D ．2753x x x -=-+ ７、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2+ 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根; B ．可能有且只有一个实数根; C ．有两个相等的实数根; D ．有两个不相等的实数根８、如果关于x 的一元二次方程22(21)10kx k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k ＞ B.k ＞且0k ≠ C.k ＜且0k ≠ ９、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．011、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％ D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=12、已知代数式2346x x -+ 的值为9 A ．18 B ．12 C ．9 D ．713、如果x ＝4是一元二次方程223a x x =-的一个根，那么常数a 的值是（ ）． A.2 B.－2 C.±2 D.±414、5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（ ）15、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （ ）A.甲B.乙C.丙D. 乙或丙 二、填空题16、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为17、若12,x x 为方程210x x +-=的两个实数根，则12x x +=___18、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．19、在一幅长50cm ，宽30cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为.20、三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．21、方程02=-x x 的解是 .22、若x ＝1是一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0的一个解，则c 2＝ ．23、阅读材料：设一元二次方程2a xb xc ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如，x 1.2x =已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的的值为___ __ 24、关于x 的一元二次方程220x x m -+= 有两个实数根，则m 的取值范围是 ．25、一元二次方程(1)xx x -=的解是 ． 26、已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根，则k的取值范围t t Ｂ． C ． D ．是 .28、已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p30、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是一个一次方程是 ．31、等腰ABC △两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形的周长是 ．32、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上一个符合条件的方程即可）． 三、解答题33、（1）解方程：2620x x --=（配方法）34、解方程：（1）2410x x +-=． （2）250x x --=35在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
九年级数学上册第21章第7课时一元二次方程根与系数的关系(2)导学案(新版)新人教版
第7课时一元二次方程根与系数的关系（2）总结：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则有1212,b cx x x xa a+=-⋅=．这是著名的韦达定理.已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.练1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x1•x2﹣x12﹣x22≥0，求k的取值范围.【例2】（2015•丹江口市一模）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．总结：1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式△的关系如下：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两实数根x1，x2又有如下关系：1212,b cx x x xa a+=-⋅=，所以已知关于x1，x2的关系等式可以求原方程中的字母参数.3. 注意使用1212,b cx x x xa a+=-⋅=的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△≥0.练2（2015•广水市模拟）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1、x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为负整数，求出m的值，并解出方程的根．3．根据一元二次方程求含两根的代数式的值【例3】（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值.注意1212,b cx x x x a a +=-⋅=中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混. 如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：（1）222121212(x x )2x x x x +=+- （2）22121212()(x x )4x x x x -=+-（3）12121211x x x x x x ++=（4）22221121212121212(x x )2x x x x x x x x x x x x ++-+==（5）1(x 1)+21212（x +1）=x x +(x +x )+1（6）2212121212(x x )(x x )4x x x x -=-=+-练3（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x 的方程x 2+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求的值.五、课后小测 一、选择题1.（2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是－2 B. 2 C. 5 D. 62. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 23.（2013四川泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 二、填空题4．（2015•泸州）设x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值为________．5．（2013贵州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab 的值是 ．6.（2015•日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015=___________． 三、解答题7．（2015•梅州）已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．8. 已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.9．（2015•南充）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）10．（2015•华师一附中自主招生）已知m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根 （1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．11．（2015•孝感校级模拟）已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a ，使﹣x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由．12．（2014•广东模拟）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围； （2）求证：x 1+x 2=2（k ﹣1），；（3）求（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的最小值．13.（2010•黄州区校级自主招生）已知方程x2﹣2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m 的取值范围．14.（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC 的三边a 、b 、c 满足，m 2+a 2m ﹣8a=0，m 2+b 2m ﹣8b=0． 求：（1）m 的值；（2）△ABC 的面积．典例探究答案：【例1】分析：先考虑判别式>0，根据题意得2803k ∆=+>，这说明k 取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，代入12122()x x x x +>即可求得k 的取值范围.解：根据题意，得22184(2)033k k ∆=-⨯⨯-=+>， 所以k 为任意实数，方程都有两个不相等的实数根. ∵x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，且12122()x x x x +>，∴236k ⨯>-，解得k>-1. 综上，k 的取值范围是 k>-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.练1．【解析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ，变形后代入即可得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ，∵x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立，∴x 1•x 2﹣（x 12+x 22）≥0，即x 1•x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2]≥0， ∴k 2+2k ﹣[（2k+1）2﹣2（2k+1）]≥0， ∴k≤﹣或k≥1.点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于k 的不等式．【例2】【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3，代入（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=26，计算即可求解．解：（1）根据题意，得△=4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0， 解得m≥﹣2；（2）当m≥﹣2时，x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3．则（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣5x 1x 2=[2（m+1）]2﹣5（m 2﹣3）=26，即m 2﹣8m+7=0，解得m 1=1＞﹣2，m 2=7＞﹣2， 所以m 1=1，m 2=7．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．练2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×2×（m ﹣1）≥0，然后解不等式； （2）先根据根与系数的关系得x 1+x 2=1，x 1•x 2=，把7+4x 1x 2＞x 12+x 22变形得7+6x 1•x 2＞（x 1+x 2）2，所以7+6×＞1，解得m ＞﹣3，于是得到m 的取值范围﹣3＜m≤﹣，由于m 为负整数，所以m=﹣2或m=﹣1，然后把m 的值分别代入原方程，再解方程．解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m﹣1）≥0，解得m≤﹣；（2）根据题意得x1+x2=1，x1•x2=，∵7+4x1x2＞x12+x22，∴7+6x1•x2＞（x1+x2）2，∴7+6×＞1，解得m＞﹣3，∴﹣3＜m≤﹣，∵m为负整数，∴m=﹣2或m=﹣1，当m=﹣2时，方程变形为2x2﹣2x﹣1=0，解得x1=，x2=；当m=﹣1时，方程变形为x2﹣x=0，解得x1=1，x2=0．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．练3．【解析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 课后小测答案： 一、选择题 1. B 2. B3.【解析】由已知得x 1+x 2＝－3，x 1×x 2＝－3，则原式＝21212212)(x x x x x x -+＝3)3(2)3(2--⨯--＝－5．故选B ．点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法． 二、填空题4．【解析】首先根据根与系数的关系求出x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，然后把x 12+x 22转化为x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，最后整体代值计算．解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根， ∴x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+2=27， 故答案为：27． 点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．5. 【解析】将x=1代入到x 2+ax+b=0中求得a+b 的值，然后求代数式的值即可．解：∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根， ∴12+a+b=0， ∴a+b=﹣1， ∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1． 故答案为：1． 点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．6.【解析】由于m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，可知m ，n 是x 2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n 2=n+3，利用它们可以化简2n 2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n ）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解：由题意可知：m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，所以m ，n 是x 2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n 2=n+3，则2n 2﹣mn+2m+2015 =2（n+3）﹣mn+2m+2015 =2n+6﹣mn+2m+2015 =2（m+n ）﹣mn+2021 =2×1﹣（﹣3）+2021 =2+3+2021 =2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值． 三、解答题7．【解析】（1）关于x 的方程x 2﹣2x+a ﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根．解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 8.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m 的方程，从而得到m 的值，但前提条件是方程得有实数根.解：原方程可变形为：0)1(222=++-m x m x . ∵1x 、2x 是方程的两个根，∴△≥0,即：4（m +1）2-4m 2≥0, ∴ 8m+4≥0, m≥21-. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0, 由△=0,即8m+4=0,得m=21-. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当12x x =时，m 的值为21-. 点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值. 9．【解析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）要是方程有整数解，那么x 1•x 2=4﹣p 2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．解；（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有整数解，∴x1•x2=4﹣p2为整数即可，∴当p=0，±1时，方程有整数解．点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．10．【解析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m=，n=，∴m＜n＜0，原式=•﹣=﹣=﹣6﹣2m﹣=∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m2+3m+1=0，∴原式=0；（2）∵m＜0，n＜0，∴+=﹣m﹣n=+=（），∵m+n=﹣3，mn=1，∴原式=9﹣2=7．点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．11．【解析】由x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，可得x1+x2=﹣，x1•x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，又由﹣x1+x1x2=4+x2，即可求得a的值．解：存在．∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1•x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，∴a＞0，∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+x2+x1，即=4﹣，解得：a=24．点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．12．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，然后解不等式即可；（2）利用求根公式得到x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣，然后分别计算x1+x2，x1x2的值即可；（3）利用（2）中的结论得到（x1﹣1）•（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．（1）解：依题意得△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，解得k≤；（2）证明：∵△=4﹣8k，∴x=，∴x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣∴x1+x2=k﹣1++k﹣1﹣=2（k﹣1）；x1•x2=（k﹣1+）（k﹣1﹣）=（k﹣1）2﹣（）2=k2；（3）解：（x1﹣1）•（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1=（k﹣1）2+2，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+2≥2，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）的最小值为2．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．13.【解析】由于方程x2﹣2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2|≤3就又可以得到m的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m的取值范围．解：根据题意可得△=b2﹣4ac=4﹣4×1×（m+2）≥0，解得m≤﹣1，而x1+x2=2，x1x2=m+2，①当m≤﹣2时，x1、x2异号，设x1为正，x2为负时，x1x2=m+2≤0，|x1|+|x2|=x1﹣x2==≤3，∴m≥﹣，而m≤﹣2，∴﹣≤m≤﹣2；②当﹣2＜m≤﹣1时，x1、x2同号，而x1+x2=2，∴x1、x2都为正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2＜3，符合题意，m的取值范围为﹣2＜m≤﹣1．故m的取值范围为：﹣≤m≤﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．14.【解析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．。
公式法解一元二次方程导学案
一、预习引领1．用配方法解下列方程（1）6x 2-7x +1=0 （2）4x 2-3x =52请总结用配方法解一元二次方程的步骤： 2.如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+b x+c =0（a ≠0），请用上面配方法的步骤求出它的两根．小结:一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：()042422≥--±-=ac b aac b b x二、课堂练习：用公式法解下列方程：（1）0542=--x x （2）01322=-+x x （3）07232=-+x x(4）01842=+--x x （5）0222=-+n mx x （6）01722=++x x三、一元二次方程的根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是： 性质：（1）当b 2－4ac ＞0时， ；（2）当b 2－4ac ＝0时， ； （3）当b 2－4ac ＜0时，练习：1.不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。
2．若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
四、达标检测：用适当的方法解下列方程： (1) 01522=+-x x(2) 1842-=--x x(3) 02322=--x x(4)()()()0112=-++-y y y y（5）1252+=y y（6）()()213=-+y y （7）03)13(2)13(2=----x x（8）020122=+-x x（9）02452=--x x（10）0101732=++x x（11）035442=--x x（12）05)4(3)4(22=----x x五、拓展提高已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？。
最新人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m.根据题意，得x(0.5-x)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2-4=0.解得x=±2.即方程的另一个根为-2.21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题：情景：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为x dm，请列出方程并化简.问题3：根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标：(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点：重点：运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点：降次的数学思想.4.自学指导：(1)自学内容：教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①根据平方根的意义，解方程：x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6，x2=2，x2=4，x1=6，x2= -6. x=±2，x2=±2，x1=，x2= -. x1=2，x2= -2.②当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根：因为(x+3)2=5，所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3；解x+3=-,得x2= --3.于是，方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生：同桌之间互相批改，相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范：解方程x2+4x+4=1.分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：由已知，得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以，方程的两根为x1= -1，x2= -3.2.练习：解下列方程：3.上面的方程都能化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会解哪些形式的一元二次方程？怎样解？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本课时通过创设问题情景，激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. －3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0，则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81；(2) (x＋6)2－9=0；解：由已知，得：x2=，解：由已知，得：(x+6)2=9，直接开平方，得x=±，直接开平方，得x+6=±3，所以方程的两根为x1=，x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4；(4) 9x2+6x+1=4.解：由已知，得：(x+1)2=4，解：由已知，得：(3x+1)2=4，直接开平方，得x+1=±2，直接开平方，得3x+1=±2，所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根，则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得x+m=±，方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.21.2.1配方法第2课时配方法一、新课导入1.导入课题：情景：请把方程(x+3)2=5化成一般形式，并由一名学生口答.问题：(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗？由此导入课题.(板书课题)2.学习目标：(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.3.学习重、难点：重点：用配方法解一元二次方程.难点：配方的方法.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：完成下面的探究提纲，如果觉得有困难就先完成②，③，再完成①.(4)探究提纲：①解方程x2+6x+4=0.移项：把常数项移到方程的右边，得x2+6x= -4；配方：两边都加9，使得左边配成x2+2b x+b2的形式，得x2+6x+9=；变形：把左边写成完全平方形式，得(x+3)2=5；降次：运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程，得x+3=±；求解：解两个一元一次方程，得x1=-3, x2= --3.②回忆完全平方公式填空：a2+2ab+b2=(a+b )2，x2+6x+9=(x+3)2.③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方时的难点和易错点.②差异指导：根据具体情况指导学生配方.(2)生助生：小组内相互交流研讨，订正错误.4.强化：(1)配方的依据和步骤.(2)试一试：对下列各式进行配方：1.自学指导：(1)自学内容：教材第7页到第9页的例1.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：认真阅读分析和解答过程，注意把方程转化为你能解的形式.(4)自学参考提纲：①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1)，然后对照课本纠错.②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的？方程两边同除以原二次项的系数③方程(3)没有实数根的依据是什么？实数的平方是非负数.④用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.⑥解方程(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：主要了解学生解方程配方时是否存在困难，计算是否错误，书写格式是否规范.②差异指导：针对学生在学习中出现的问题予以指导.(2)生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.(2)用配方法解方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会用配方法解一元二次方程吗？本节课你学习了哪些知识？2教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课，重在让学生自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认知冲突，激发兴趣，建立自信心.(2)在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高了自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为(B)A. (x+3)2=16B. (x-3)2=16C. (x+3)2=2D. (x-3)2=22.(20分)填空.(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2(2) x2－x+=(x-)23.(40分)用配方法解下列方程.(1)x2+10x+9=0；(2)4x2-12x－7=0;解：移项,x2+10x=-9, 解：移项，4x2-12x=7,配方,x2+10x+25=16, 系数化为1，x2-3x=,(x+5)2=16, 配方，x2-3x+=4,x+5=±4, ( x-2=4,方程的两个根为x1=-1，x2= -9. x-=±2,方程的两个根为x1=72，x2= -12.(3) x2+4x－9=2x－11; (4) x(x+4)=8x+12解：移项,x2+2x= -2, 解：化简移项,x2-4x=12,配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,(x+1)2= -1, (x-2)2=16,方程没有实数根. x-2=±4,方程的两个根为x1=6,x2= -2.二、综合应用(10分)4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.三、拓展延伸(20分)5.(20分) 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值. 解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17∵(a+1)2≥0,∴当a= -1时，原式有最小值为17.21.2.2公式法——根的判别式及求根公式一、新课导入1.导入课题：(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么？(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)吗？我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.2.学习目标：(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.(2)会用公式法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用求根公式解一元二次方程.难点：计算时的符号处理.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第9页到11页例2之前的内容.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：认真阅读书上的内容，并动手推导出求根公式.(4)自学参考提纲：②Δ=b2－4ac叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2－4ac>0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当b2－4ac=0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)无实数根.注意：上述的叙述，反过来也成立.③当Δ≥0时，一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的求根公式.④不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0 Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.2x2+4x－3=2x－4；x(x+4)=8x+12.方程化为2x2+2x+1=0 方程化为x2-4x-12=0Δ=b2-4ac=22-4×2×1=-4<0 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×(-12)=64>0方程无实数根. 方程有两个不等的实数根.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.②差异指导：指导学生配方变形；指导学生对b2－4ac的符号进行讨论.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)公式的推导，判别式定义解读；(2)练习：不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.1.自学指导：(1)自学内容：教材第11页到第12页的例2.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读解答过程，注意解题步骤和格式.(4)自学参考提纲：①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因.x2-4x-7=0；2x2-22x+1=0；5x2-3x=x+1；x2+17=8x.x1=2+x1=x2=x1=1 无实数根x2=2-x2= -②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？先将方程化为一般形式，确定a,b，c的值；计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，若Δ<0，方程无实数根.计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.③解答本章引言中的问题.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件.(2)生助生：同桌之间互相找错，分析错因.4.强化：(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.(2)解下列方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？你知道一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.(2)在教学设计中，引导学生自主探究一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式法解一元二次方程.(3)整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探究活动，体验到成功的喜悦.(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是(B)A. b2-4ac=0B. b2-4ac＞0C. b2-4ac＜0D. b2-4ac≥02.(10分)已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.下列说法正确的是(B)A. ①②都有实数解B. ①无实数解，②有实数解C. ①有实数解，②无实数解D. ①②都无实数解3.(10分)利用求根公式求5x2+＝6x的根时，a，b，c的值分别是(C)A. 5，，6B. 5，6，C. 5，-6，D. 5，-6，-4.(20分)不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x2－3x－32=0；(2) 16x2－24x+9=0；方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.(3)x2－42x+9=0；(4)3x2+10=2x2+8x.解：Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9= -4<0, 解：方程化为x2-8x+10=0方程无实数根. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0方程有两个不等的实数根.5.(30分)用公式法解下列方程：二、综合应用(10分)6.(10分)解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.解：有错误，方程化为标准形式x2-3x-2=0, ∴a=1,b= -3,c= -2, b2-4ac=17.三、拓展延伸(10分)7.(10分)无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为x2-5x+6-p2=0.∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0.∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.21.2.3 因式分解法一、新课导入1.导入课题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度(单位：m)为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？(板书课题)2.学习目标：(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：选择合适的方法解一元二次方程.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第12页到第13页的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：可先解答②，再解答①.(4)自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0，降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=.②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？提公因式法，公式法，十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则a=0或u.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：移项，合并同类项，因式分解，写出一元二次方程的根.④解下列方程：(x-2)·(x-3)=0；4x2－11x=0.x1=2, x2=3 x1=0, x2=2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，是否掌握用因式分解法解方程的步骤.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：(1)用因式分解法解方程的一般步骤：第一步，把方程变形为x2+p x+q=0的形式；第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；第四步，解两个一次方程，求出方程的根.(2)点两名学生板演第④题，并点评.1.自学指导：(1)自学内容：教材第14页例3及“归纳”.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：先独立作业，然后小组互相改正.(4)自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用提公因式法进行因式分解，分解为(x+1)(x-2).②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项，无法因式分解，因此，可先将其化为一般形式4x2-1=0，再用平方差公式法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.④解下列方程:2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.(2)生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：(1)点6名学生板演自学参考提纲第④题，并点评.(2)说说运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.1.自学指导：(1)自学内容：选择合适的方法解一元二次方程.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①直接开平方法适用于哪种形式的方程？x2=p；配方法适用于哪种形式的方程？(m x+n)2=p；公式法适用于哪种形式的方程？a x2+b x+c=0(a≠0)；因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0.②前面这些解法各有什么优缺点？③解一元二次方程的基本思想是什么？④选择适当的方法解下列方程：。
用因式分解法求解一元二次方程导学案
用因式分解法求解一元二次方程导学案一、学习目标1、理解因式分解法解一元二次方程的概念。
2、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤。
3、能根据方程的特点，选择合适的方法解一元二次方程。
二、重点难点1、重点：掌握用因式分解法解一元二次方程的方法。
2、难点：如何正确地将一元二次方程进行因式分解。
三、知识回顾1、我们已经学习了一元二次方程的一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$）。
2、解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法。
四、新课导入我们知道，乘法运算中，如果两个数的乘积为 0，那么这两个数中至少有一个为 0。
例如，若$ab ＝ 0$，则$a ＝ 0$或$b ＝ 0$。
那么，对于一元二次方程，如果方程的一边可以因式分解为两个一次因式的乘积，而另一边为 0，我们是不是可以利用这个原理来求解方程呢？这就是我们今天要学习的因式分解法解一元二次方程。
五、探究新知1、示例一：方程$x^2 5x ＝ 0$，可以因式分解为$x(x 5) ＝ 0$，则$x ＝ 0$或$x 5 ＝ 0$，解得$x_1 ＝ 0$，＄x_2 ＝ 5$。
2、示例二：方程$（x ＋ 2)（x 3) ＝ 0$，则$x ＋ 2 ＝ 0$或$x 3 ＝ 0$，解得$x_1 ＝－2$，＄x_2 ＝ 3$。
3、一般步骤：（1）将方程的右边化为 0。
（2）将方程的左边进行因式分解，化为两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
六、典型例题例 1：解方程$x^2 4x ＋ 3 ＝ 0$解：因式分解，得$（x 1)（x 3) ＝ 0$所以$x 1 ＝ 0$或$x 3 ＝ 0$解得$x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝ 3$例 2：解方程$4x^2 9 ＝ 0$解：因式分解，得$（2x ＋ 3)（2x 3) ＝ 0$所以$2x ＋ 3 ＝ 0$或$2x 3 ＝ 0$解得$x_1 ＝＼frac{3}｛2}＄，＄x_2 ＝＼frac{3}｛2}＄七、课堂练习1、解方程：＄x^2 6x ＝ 0$2、解方程：＄x^2 ＋ 5x ＋ 6 ＝ 0$3、解方程：＄9x^2 4 ＝ 0$八、易错点分析1、因式分解时要分解彻底，确保方程左边能够化为两个一次因式的乘积。
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九年级数学上册全册导学案（人教版含答案）---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 九年级数学上册全册导学案(人教版含答案) 本资料为WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第二十一章一元二次方程21(1 一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题(2(掌握一元二次方程的一般形式ax2，bx，c,0(a?0)及有关概念( 3(会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念(重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索( 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项(一、自学指导((10分钟)问题1:如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒(如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形,1 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 分析:设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__(100,2x)cm__，宽为__(50,2x)cm__(列方程__(100,2x)•(50,2x),3600__，化简整理，得__x2,75x，350,0__(?问题2:要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场(根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛,分析:全部比赛的场数为__4×7,28__(设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x,1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x(x,1)2__场(列方程__x(x,1)2,28__，化简整理，得__x2,x,56,0__(?探究:(1)方程??中未知数的个数各是多少,__1个__((2)它们最高次数分别是几次,__2次__(归纳:方程??的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程( 1(一元二次方程的定义等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程( 2(一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式: ax2，bx，c,0(a?0)(2 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 这种形式叫做一元二次方程的一般形式(其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项( 点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号(二次项系数a?0是一个重要条件，不能漏掉(二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((6分钟)1(判断下列方程，哪些是一元二次方程,(1)x3,2x2，5,0; (2)x2,1;(3)5x2,2x,14,x2,2x，35;(4)2(x，1)2,3(x，1);(5)x2,2x,x2，1;(6)ax2，bx，c,0.解:(2)(3)(4)(点拨精讲:有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程(2(将方程3x(x,1),5(x，2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项(解:去括号，得3x2,3x,5x，10.移项，合并同类项，得3x2,8x,10,0.其中二次项系数是3，一次项系数是,8，常数项是,10. 点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整(3 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(求证:关于x的方程(m2,8m，17)x2，2mx，1,0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程(证明:m2,8m，17,(m,4)2，1，?(m,4)2?0，?(m,4)2，1>0，即(m,4)2，1?0.?无论m取何值，该方程都是一元二次方程(点拨精讲:要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2,8m，17?0即可(2(下面哪些数是方程2x2，10x，12,0的根,,4，,3，,2，,1，0，1，2，3，4.解:将上面的这些数代入后，只有,2和,3满足等式，所以x,,2或x,,3是一元二次方程2x2，10x，12,0的两根( 点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可(二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((9分钟)1(判断下列方程是否为一元二次方程((1)1,x2,0;(2)2(x2,1),3y;(3)2x2,3x,1,0;(4)1x2,2x,0;4 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(5)(x，3)2,(x,3)2;(6)9x2,5,4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是(2(若x,2是方程ax2，4x,5,0的一个根，求a的值( 解:?x,2是方程ax2，4x,5,0的一个根，?4a，8,5,0，解得a,,34.3(根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. 解:(1)4x2,25，4x2,25,0;(2)x(x,2),100，x2,2x,100,0. 学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟) 1(一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程( 2(一元二次方程的一般形式ax2，bx，c,0(a?0)，特别强调a?0. 3(要会判断一个数是否是一元二次方程的根(学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2 解一元二次方程21(2.1 配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程(2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能(5 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 重点:运用开平方法解形如(x，m)2,n(n?0)的方程;领会降次——转化的数学思想(难点:通过根据平方根的意义解形如x2,n(n?0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x，m)2,n(n?0)的方程(一、自学指导((10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗, 设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2,1500__，由此可得__x2,25__，根据平方根的意义，得x,__?5__，即x1,__5__，x2,__,5__(可以验证__5__和,5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x,1)2,5及方程x2，6x，9,4?方程(2x,1)2,5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x,1,?5__，即将方程变为__2x6 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- ,1,5和__2x,1,,5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x,1)2,5的两个解为x1,__1，52，x2,__1,52__(在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了(方程x2，6x，9,4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x，__3__)2,4，进行降次，得到__x，3,?2__，方程的根为x1,__,1__，x2,__,5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程(如果方程能化成x2,p(p?0)或(mx，n)2,p(p?0)的形式，那么可得x,?p或mx，n,?p.二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((6分钟)解下列方程:(1)2y2,8; (2)2(x,8)2,50;(3)(2x,1)2，4,0;(4)4x2,4x，1,0.解:(1)2y2,8， (2)2(x,8)2,50，y2,4， (x,8)2,25，y,?2， x,8,?5，?y1,2，y2,,2; x,8,5或x,8,,5，?x1,13，x2,3;(3)(2x,1)2，4,0， (4)4x2,4x，1,0，(2x,1)2,,4<0， (2x,1)2,0，7 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- ?原方程无解; 2x,1,0，?x1,x2,12.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2,p(p?0)或(mx，n)2,p(p?0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解(一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(用直接开平方法解下列方程:(1)(3x，1)2,7;(2)y2，2y，1,24;(3)9n2,24n，16,11.解:(1),1?73;(2),1?26;(3)4?113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx，n)2,p(p?0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根(2(已知关于x的方程x2，(a2，1)x,3,0的一个根是1，求a的值( 解:?1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x,1)2,6,0;(2)x2,4x，4,5;(3)9x2，6x，1,4;(4)36x2,1,0;(5)4x2,81;(6)(x，5)2,25;(7)x2，2x，1,4.8 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 解:(1)x1,1，2，x2,1,2;(2)x1,2，5，x2,2,5;(3)x1,,1，x2,13;(4)x1,16，x2,,16;(5)x1,92，x2,,92;(6)x1,0，x2,,10;(7)x1,1，x2,,3.学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)1(用直接开平方法解一元二次方程(2(理解“降次”思想(3(理解x2,p(p?0)或(mx，n)2,p(p?0)中，为什么p?0? 学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2.1 配方法(2)1(会用配方法解数字系数的一元二次方程(2(掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程(重点:掌握配方法解一元二次方程(难点:把一元二次方程转化为形如(x,a)2,b的过程( (2分钟)1(填空:(1)x2,8x，__16__,(x,__4__)2;9 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(2)9x2，12x，__4__,(3x，__2__)2;(3)x2，px，__(p2)2__,(x，__p2__)2.2(若4x2,mx，9是一个完全平方式，那么m的值是__?12__(一、自学指导((10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少米,设场地的宽为xm，则长为__(x，6)__m，根据矩形面积为16m2，得到方程__x(x，6),16__，整理得到__x2，6x,16,0__( 探究:怎样解方程x2，6x,16,0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2，6x，9,4，可以发现方程x2，6x，9,4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程;而方程x2，6x,16,0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗, 解:移项，得x2，6x,16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2，bx，(b2)2的形式，得__x2__，6__x__，9,16，__9__，左边写成平方形式，得__(x，3)2,25__，开平方，得10 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- __x，3,?5__， (降次)即__x，3,5__或__x，3,,5__，解一次方程，得x1,__2__，x2,__,8__(归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法;配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程(问题2:解下列方程:(1)3x2,1,5; (2)4(x,1)2,9,0;(3)4x2，16x，16,9.解:(1)x,?2;(2)x1,,12，x2,52;(3)x1,,72，x2,,12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax2，bx，c,0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解(二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((8分钟)1(填空:(1)x2，6x，__9__,(x，__3__)2;11 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(2)x2,x，__14__,(x,__12__)2;(3)4x2，4x，__1__,(2x，__1__)2. 2(解下列方程:(1)x2，6x，5,0;(2)2x2，6x，2,0;(3)(1，x)2，2(1，x),4,0.解:(1)移项，得x2，6x,,5，配方得x2，6x，32,,5，32，(x，3)2,4，由此可得x，3,?2，即x1,,1，x2,,5. (2)移项，得2x2，6x,,2，二次项系数化为1，得x2，3x,,1，配方得x2，3x，(32)2,(x，32)2,54，由此可得x，32,?52，即x1,52,32，x2,,52,32.(3)去括号，整理得x2，4x,1,0，移项得x2，4x,1，配方得(x，2)2,5，x，2,?5，即x1,5,2，x2,,5,2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式(一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((5分钟)12 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------如图，在Rt?ABc中，?c,90?，Ac,8m，cB,6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿Ac，Bc方向向点c匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后?PcQ的面积为Rt?ABc面积的一半,解:设x秒后?PcQ的面积为Rt?ABc面积的一半(根据题意可列方程:12(8,x)(6,x),12×12×8×6，即x2,14x，24,0，(x,7)2,25，x,7,?5，?x1,12，x2,2，x1,12，x2,2都是原方程的根，但x1,12不合题意，舍去( 答:2秒后?PcQ的面积为Rt?ABc面积的一半(点拨精讲:设x秒后?PcQ的面积为Rt?ABc面积的一半，?PcQ也是直角三角形(根据已知条件列出等式(二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((8分钟)1(用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2,4x,8,0; (2)x2,4x，2,0;(3)x2,12x,1,0;(4)2x2，2,5.解:(1)x1,1，5，x2,1,5;(2)x1,2，2，x2,2,2;13 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(3)x1,14，174，x2,14,174;(4)x1,62，x2,,62.2(如果x2,4x，y2，6y，z，2，13,0，求(xy)z的值( 解:由已知方程得x2,4x，4，y2，6y，9，z，2,0，即(x,2)2，(y，3)2，z，2,0，?x,2，y,,3，z,,2.?(xy)z,[2×(,3)],2,136.学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)1(用配方法解一元二次方程的步骤(2(用配方法解一元二次方程的注意事项(学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2.2 公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念(2.会熟练应用公式法解一元二次方程(重点:求根公式的推导和公式法的应用(难点:一元二次方程求根公式的推导((2分钟)用配方法解方程:(1)x2，3x，2,0; (2)2x2,3x，5,0.解:(1)x1,,2，x2,,1; (2)无解(14 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------一、自学指导((8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2，bx，c,0(a?0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,问题:已知ax2，bx，c,0(a?0)，试推导它的两个根x1,,b，b2,4ac2a，x2,,b,b2,4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去( 探究:一元二次方程ax2，bx，c,0(a?0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此:(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2，bx，c,0，当b2,4ac?0时，将a，b，c代入式子x,,b?b2,4ac2a就得到方程的根，当b2,4ac,0时，方程没有实数根((2)x,,b?b2,4ac2a叫做一元二次方程ax2，bx，c,0(a?0)的求根公式((3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法( (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根((5)一般地，式子b2,4ac叫做方程ax2，bx，c,0(a?0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ,b2,4ac.二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((5分钟)15 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论, (1)2x2,3x,0;(2)3x2,23x，1,0;(3)4x2，x，1,0.解:(1)x1,0，x2,32;有两个不相等的实数根;(2)x1,x2,33;有两个相等的实数根;(3)无实数根(点拨精讲:Δ,0时，有两个不相等的实数根;Δ,0时，有两个相等的实数根;Δ,0时，没有实数根(一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(方程x2,4x，4,0的根的情况是( B )A(有两个不相等的实数根B(有两个相等的实数根c(有一个实数根D(没有实数根2(当m为何值时，方程(m，1)x2,(2m,3)x，m，1,0， (1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根,解:(1)m,14; (2)m,14; (3)m,14.3.已知x2，2x,m,1没有实数根，求证:x2，mx,1,2m必有两个16 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 不相等的实数根.证明:?x2，2x,m，1,0没有实数根， ?4,4(1,m),0，?m,0.对于方程x2，mx,1,2m，即x2，mx，2m,1,0，Δ,m2,8m，4，?m,0，?Δ,0，?x2，mx,1,2m必有两个不相等的实数根( 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((10分钟)1(利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x2,3x,32,0;(2)16x2,24x，9,0;(3)x2,42x，9,0;(4)3x2，10x,2x2，8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根(2(用公式法解下列方程:(1)x2，x,12,0; (2)x2,2x,14,0; (3)x2，4x，8,2x，11; (4)x(x,4),2,8x; (5)x2，2x,0; (6)x2，25x，10,0. 解:(1)x1,3，x2,,4;(2)x1,2，32，x2,2,32;(3)x1,1，x2,,3;17 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(4)x1,,2，6，x2,,2,6;(5)x1,0，x2,,2;(6)无实数根(点拨精讲:(1)一元二次方程ax2，bx，c,0(a?0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的;(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2,4ac?0的前提下，把a，b，c的值代入x,,b?b2,4ac2a(b2,4ac?0)中，可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根( 学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)1.求根公式的推导过程(2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定a，b，c的值，再算出b2,4ac 的值、最后代入求根公式求解(3.用判别式判定一元二次方程根的情况(学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2.3 因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程(2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性(重点:用因式分解法解一元二次方程(18 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想((2分钟)将下列各题因式分解:(1)am，bm，cm,(__a，b，c__)m;(2)a2,b2,__(a，b)(a,b)__;(3)a2?2ab，b2,__(a?b)2__(一、自学指导((8分钟)问题:根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度(单位:m)为10x,4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗,(精确到0.01s) 设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x,4.9x2,0， ?思考:除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程?, 分析:方程?的右边为0，左边可以因式分解得:x(10,4.9x),0，于是得x,0或10,4.9x,0， ??x1,__0__，x2?2.04(上述解中，x2?2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1,0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方19 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法( (2)如果a•b,0，那么a,0或b,0，这是因式分解法的根据(如:如果(x，1)(x,1),0，那么__x，1,0或__x,1,0__，即__x,,1__或__x,1(二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((5分钟)1(说出下列方程的根:(1)x(x,8),0; (2)(3x，1)(2x,5),0.解:(1)x1,0，x2,8; (2)x1,,13，x2,52.2(用因式分解法解下列方程:(1)x2,4x,0;(2)4x2,49,0;(3)5x2,20x，20,0.解:(1)x1,0，x2,4;(2)x1,72，x2,,72;(3)x1,x2,2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(用因式分解法解下列方程:(1)5x2,4x,0; (2)3x(2x，1),4x，2;(3)(x，5)2,3x，15.解:(1)x1,0，x2,45;20 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(2)x1,23，x2,,12;(3)x1,,5，x2,,2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式(2(用因式分解法解下列方程:(1)4x2,144,0;(2)(2x,1)2,(3,x)2;(3)5x2,2x,14,x2,2x，34;(4)3x2,12x,,12.解:(1)x1,6，x2,,6;(2)x1,43，x2,,2;(3)x1,12，x2,,12;(4)x1,x2,2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法( 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((10分钟)1(用因式分解法解下列方程:(1)x2，x,0;(2)x2,23x,0;(3)3x2,6x,,3;(4)4x2,121,0;(5)(x,4)2,(5,2x)2.解:(1)x1,0，x2,,1;(2)x1,0，x2,23;21 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(3)x1,x2,1;(4)x1,112，x2,,112;(5)x1,3，x2,1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解( 2(把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径(解:设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2,π(x，5)2.解得x1,5，52，x2,5,52(舍去)(答:小圆形场地的半径为(5，52)m.学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)1(用因式分解法解方程的根据由ab,0得a,0或b,0，即“二次降为一次”( 2(正确的因式分解是解题的关键(学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.理解并掌握根与系数的关系:x1，x2,,ba，x1x2,ca.22 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------2.会用根的判别式及根与系数的关系解题(重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用( 难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用(一、自学指导((10分钟)自学1:完成下表:方程x1x2x1，x2x1x2x2,5x，6,02356x2，3x,10,02,5,3,10问题:你发现什么规律,?用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项( ?x2，px，q,0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答:x1，x2,,p，x1x2,q.自学2:完成下表:方程x1x2x1，x2x1x22x2,3x,2,02,1232,13x2,4x，1,01314323 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------13问题:上面发现的结论在这里成立吗,(不成立) 请完善规律:?用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比(?ax2，bx，c,0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律( 答:x1，x2,,ba，x1x2,ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系((韦达定理) ax2，bx，c,0的两根x1,__,b，b2,4ac2a__，x2,__,b,b2,4ac2a__(x1，x2,,ba，x1x2,ca.二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积((1)x2,3x,1,0; (2)2x2，3x,5,0;(3)13x2,2x,0.解:(1)x1，x2,3，x1x2,,1;(2)x1，x2,,32，x1x2,,52;(3)x1，x2,6，x1x2,0.24 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((10分钟)1(不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积((1)x2,6x,15,0;(2)3x2，7x,9,0;(3)5x,1,4x2.解:(1)x1，x2,6，x1x2,,15;(2)x1，x2,,73，x1x2,,3;(3)x1，x2,54，x1x2,14.点拨精讲:先将方程化为一般形式，找对a，b，c. 2(已知方程2x2，kx,9,0的一个根是,3，求另一根及k的值( 解:另一根为32，k,3.点拨精讲:本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x,,3代入方程先求k，再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答( 3(已知α，β是方程x2,3x,5,0的两根，不解方程，求下列代数式的值((1)1α，1β; (2)α2，β2; (3)α,β.解:(1),35;(2)19;(3)29或,29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((8分钟)1(不解方程，求下列方程的两根和与两根积:(1)x2,3x,15;(2)5x2,1,4x2;(3)x2,3x，2,10;(4)4x2,144,0.25 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 解:(1)x1，x2,3，x1x2,,15;(2)x1，x2,0，x1x2,,1;(3)x1，x2,3，x1x2,,8;(4)x1，x2,0，x1x2,,36.2(两根均为负数的一元二次方程是( c )A(7x2,12x，5,0B(6x2,13x,5,0c(4x2，21x，5,0D(x2，15x,8,0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数(学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值( 1(先化成一般形式，再确定a，b，c.2(当且仅当b2,4ac?0时，才能应用根与系数的关系(3(要注意比的符号:x1，x2,,ba(比前面有负号)，x1x2,ca(比前面没有负号)( 学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(3 实际问题与一元二次方程(1)1(会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解(26 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 2(能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理( 3(进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键(重点:列一元二次方程解决实际问题(难点:找出实际问题中的等量关系(一、自学指导((12分钟)问题1:有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人,分析:?设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x，1)__人患了流感; ?第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x，1)(x，1)__人患了流感( 则列方程:__(x，1)2,121__，解得__x,10或x,,12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人(再思考:如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感, 问题2:一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数( 分析:设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6,27 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- x)__，则原两位数为__10(6,x)，x，新两位数为__10x，(6,x)__(依题意可列方程:[10(6,x)，x][10x，(6,x)],1008__，解得x1,__2__，x2,__4__，?原来的两位数为24或42. 二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A(x(x，1),2550B(x(x,1),2550c(2x(x，1),2550D(x(x,1),2550×2分析:由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x,1)张相片，全班共送出x(x,1)张相片，可列方程为x(x,1),2550.故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支, 解:设每个支干长出x个小分支，则有1，x，x2,91，28 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 即x2，x,90,0，解得x1,9，x2,,10(舍去)，故每个支干长出9个小分支(点拨精讲:本例与传染问题的区别(2(一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为:__x2，(x，4)2,10(x，4)，x,4__(二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((7分钟)1(两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( c ) A(2和4 B(6和8 c(4和6 D(8和10 2(教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑((3分钟)1(列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量; (2)“设”:即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题(2.对于数字问题应注意数字的位置(29 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(3 实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解(2(能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理( 3(进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键(重点:如何解决增长率与降低率问题(难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1?x)n,b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量(一、自学指导((10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大,(精确到0.01) 绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000,3000)?2,1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000,3600)?2,1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大( 相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢,也就是能30 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢,下面我们通过计算来说明这个问题( 分析:?设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1,x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1,x)2__元( 依题意，得__5000(1,x)2,3000__(解得__x1?0.23，x2?1.77__(根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__( ?设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程:__6000(1,y)2,3600__(解得__y1?0.23，y2?1.77(舍)__(答:两种药品成本的年平均下降率__相同__(点拨精讲:经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格(二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少,【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1，x)__元，12月份的营业额为__5000(1，x)(1，x)__元，即__5000(1，x)2__元( 由此就可列方程:__5000(1，x)2,7200__(31 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 点拨精讲:此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比(增长率,增长数?基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1，x);二月(或二年)后产量为a(1，x)2;n月(或n年)后产量为a(1，x)n;如果已知n月(n年)后产量为m，则有下面等式:m,a(1，x)n. 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程(一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率((利息税20%)。
人教版初中九年级上册数学导学案
人教版初中九年级上册数学导学案导学案《人教版初中九年级上册数学》本教材由国家教育部主管，人民教育出版社编写。
在九年级学生数学基础知识的基础上，以小组合作和课堂探讨为主要教学方式。
本教材的主要内容包括：实数、平面直角坐标系、一次函数、相似与全等、三角形、勾股定理、解二次方程、函数及其图像、直线和圆、统计初步等。
这些内容涵盖了初中数学的核心知识点，对于学生未来在高中数学学习和生活中有重要意义。
本教材的教学特点在于，倡导小组合作和课堂探讨，注重学生的实际操作和思考能力，让学生从被动接受变为主动探索，实现知识的理解和掌握。
同时，本教材注重培养学生的创新思维、动手能力和实际运用能力，帮助学生更好地适应未来的学习和工作。
本教材的教学目标是：通过学习数学知识和解决实际问题，培养学生的创新思维和实际运用能力，提高学生的综合素质和学科水平。
同时，学生在掌握数学知识和技能的基础上，更好地适应未来的高中数学学习和生活实践。
教材内容与课时安排本教材共分为十个单元，约需45个课时。
第一单元：实数(6课时)1.实数与实数的比较2.实数的概念及分类3.实数的运算4.实数的应用5.勾股定理6.课题小结第二单元：平面直角坐标系(6课时)1.平面直角坐标系及其构造2.坐标系中的距离和斜率3.图形的对称性及平移和旋转4.关于坐标系的初步应用5.一次函数与斜率6. 课题小结第三单元：一次函数(7课时)1.函数的概念2.一次函数的图像3.一次函数的特征及表示4.一次函数与图象的位置关系5.函数与方程的互相转化6.一次函数的应用7.课题小结第四单元：相似与全等(6课时)1.相似与全等的概念2.相似的判定3.相似的性质及应用4.全等的基本条件5.全等的分类6.课题小结第五单元：三角形(7课时)1.三角形的基本概念2.中线、高线和中心线3.角平分线和内心4.垂心、外心和内切圆5.勾股定理的证明6.三角形的面积7.课题小结第六单元：勾股定理(4课时)1.勾股定理2.勾股定理的证明3.勾股定理的应用4.课题小结第七单元：解二次方程(4课时)1.二次方程的概念2.解二次方程的方法3.关于二次方程的注记4.课题小结第八单元：函数及其图像(5课时)1.函数的概念及基本性质2.函数的图像与变化规律3.函数的平移与反演4.函数的合成和分解5.课题小结第九单元：直线和圆(5课时)1.直线的概念和性质2.直线的位置关系3.圆的概念及性质4.圆的位置关系5.课题小结第十单元：统计初步(5课时)1.统计的基本概念2.统计数据的描述3.频数、频率和频率分布图4.统计调查及其误差5.课题小结总结通过对《人教版初中九年级上册数学》的学习，应该加强对实数、平面直角坐标系、函数、相似与全等、三角形等的重视，加强创新思维的培养，充分利用小组合作和课堂探讨，掌握数学基础知识和实际运用能力，帮助学生更好地适应未来的学习和工作。
《用因式分解法求解一元二次方程》导学案
用因式分解法求解一元二次方程（导学案）学习目标：1、学会用分解因式法（提公因式法、公式法）解一些简单的一元二次方程；2、能根据具体的一元二次方程的特征灵活选择适当的解法，体会解决问题方法的多样性和选择性。
重点：分解因式法解一元二次方程。
难点：根据具体的方程灵活的选择适当的解法。
学习过程一、复习旧知，导入新课1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3、选择合适的方法解下列方程：①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0二、情景引入、探究新知1、自主探究·解决问题一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。
“且”是“二者同时成立”的意思。
分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。
一般步骤如下：(1) 把方程整理使其右边化为0；(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
三、例题赏析；展示交流，1、例：解下列方程：(1). 5x2=4 x (2). x -2= x (x -2)２、试一试，我能行（1）x²－4=0; (2)( x +1)2-25=0快速回答：下列各方程的根分别是多少？（出示幻灯片）四、达标检测，反馈矫正1、解下列方程：（1） (X+2)(X-4)=0（2） 4X(2X+1)=3(2X+1)（3） 3x(x-1)=2-2x(4) 2y²+4y=y+22、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？五、拓展与延伸1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2 小球何时能落回地面？六、感悟与收获（师生互相交流总结）1、因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键。
新人教版第二十一章一元二次方程全章导学案
x21.1 一元二次方程一、一元二次方程问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？思考：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是_________，方程中含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____. 归纳：1.一元二次方程定义：2. 一元二次方程的一般形式: 二、应用举例:例：1.将方程(82)(52)18x x --=化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．2.下列方程是一元二次方程的是有 ： （1），（2）(x+1)(x-1)=0， （3），（4）01122=-+xx ，（5）， （6）05322=-+y x3. 若21(3)50m m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．4.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则（ ）.A m≠0，n=3B m≠3，n=4C m≠0，n=4D m≠3，n≠0 5.已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k .（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.6.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; ⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x 。
三.一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
新人教版九年级数学第21章一元二次方程教案导学案(全章)
第21章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需18课时，具体分配如下：21．1 一元二次方程2课时21．2 降次──解一元二次方程9课时21．3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结 4课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法（1）第9课时解一元二次方程—因式分解法（2）第10课时一元二次方程的解法复习课的数学思想。
一元二次方程解法专题训练导学案(直接开平方、配方法、求根公式、十字相乘、因式分解)
鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案《直接开平方法》专题班级 姓名不要被失败吓到，不要被胜利冲昏头脑。
例：用直接开平方法解方程：22)6(16)3(49+=-x x 解：开平方得，7(3)4(6)x x -=±+∴7(3)4(6)x x -=+由或7(3)4(6)x x -=-+由 ∴115.x =得，23.11x =-【点评】直接开平方法的要点是：通过等式变形变出2x n =或2()x m n -=的形式，再直接开平方； 另外注意方程解得书写格式1x 、2x . 用直接开平方法解下列一元二次方程2435x -= (2)(2)21x x -+= 2(2=9x ）;51)12(212=-y 4（x -3）2=25 24)23(2=+x()21-350x -= x 2+2x+1=4 2269(52)x x x -+=-2216(1)9(1)x x -=+ 2249(3)16(6)x x -=+22((1x =x 2+4x+4=0 x 2-6x+9=16 x 2-4x+4=10 x 2+x+14=4鸡西市第十九中学学案《配方法》专题班级 姓名空想会想出很多绝妙的主意，但却办不成任何事情。
例：用配方法解方程： x 2+2x -3=0 解：移项得： x 2+2x =3两边同时加1得： x 2+2x +1=3+1配方得： 2)1(+x =4 解得： x +1=2±∴ x +1=2或x +1=2-∴ 11=x ，32-=x1、若2228170x x y y ++-+=，求,x y 的值。
2、求241x x -+的最小值。
用配方法解方程0662=--y y 0542=--x x 9642=-x xy 2+22y-4=0； x 2＋8x －2＝0 x 2－5x －6＝0.34322x x =-021232=-+x x 037322=-+x xx x 4232=- 01322=-+x x 07232=-+x x鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案一元二次方程根与系数的关系一、学习目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
初中数学《一元二次方程》导学案
21.1一元二次方程一、本节知识点讲解【知识点1】一元二次方程1.一元二次方程的定义：方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a++=≠其中2ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
【题型1】一元二次方程的定义【例1】（2022春•香坊区期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2−2x=0B．3x+1＝7x C．a2﹣2a＝0D．2x﹣5＝y【变式1】（2022春•惠山区期末）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝0B．3x+x2=7C．x2﹣2x﹣3＝0D．x+y＝6【变式2】（2022春•滨江区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．﹣3x＝0B．1x2+1x−2=0C．x3+x2＝1D．x2+2x＝2x2﹣1【变式3】（2022春•宁波期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3=2 x【例2】（2022春•通州区期末）若关于x的方程（a﹣1）x2+x＝0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a＝1B．a＞1C．a≠1D．a＜1【变式1】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式2】（2021秋•文山市期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（）A．m≠±2B．m＝﹣2C．m＝2D．m＝±2【变式3】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程(m−2)x m2−2+4x−7=0是一元二次方程，则m的值为（）A．m≠2B．m＝±2C．m＝﹣2D．m＝2【小结】【题型2】一元二次方程的一般形式【例1】（2022春•乐清市期末）把一元二次方程x（2x﹣1）＝x﹣3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3＝0B．2x2﹣2x﹣3＝0C．2x2﹣x+2＝0D．2x2﹣2x+3＝0【变式1】（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（）A．2x2+5x﹣7＝0B．2x2+5x+1＝0C．2x2﹣5x+1＝0D．x2﹣7x﹣1＝0【变式2】（2021秋•兰山区期末）把方程x2﹣3（x+1）＝2x化成一般形式正确的是（）A．x2﹣x﹣3＝0B．x2+x+3＝0C．x2﹣5x﹣3＝0D．x2﹣x+3＝0【变式3】（2022春•蜀山区期末）方程x（2x﹣5）＝4x﹣10化为一元二次方程的一般形式是（）A．2x2﹣9x+10＝0B．2x2﹣x+10＝0C．2x2+14x﹣10＝0D．2x2+3x﹣10＝0【例2】（2022春•通州区期末）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，3，﹣4B．0，3，4C．0，﹣3，4D．1，﹣3，﹣4【变式1】（2021秋•临邑县期末）方程x2﹣5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，﹣5，﹣2B．1，5，2C．1，5，﹣2D．0，﹣5，﹣2【变式2】（2022春•金华月考）一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（）A．8B．﹣1C．0D．2【变式3】（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（）A．0B．3C．﹣3D．﹣3或3【小结】【题型3】一元二次方程的解（2022春•荣昌区校级期末）若x＝1是关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣2＝0的一个根，则m﹣n+2021【例1】的值为（）A．2020B．2022C．2023D．2026【变式1】（2022春•连江县期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2b﹣2a 的值是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【变式2】（2021秋•莆田期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（）A．﹣10B．﹣2C．2D．10【变式3】（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【小结】二、当堂检测1．（2022春•岳麓区校级期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2＝0C．x2+2x=1x D．x2+y2＝02．（2022春•道外区期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．πx＝6B．x−3x=2C．xy＝1D．x2+5x＝63．（2022春•泰兴市期末）若关于x的方程（a﹣1）x2＝2为一元二次方程，则a满足（）A．a＝1B．a≠1C．a＝0D．a≠04．（2021秋•江油市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．﹣1B．2C．﹣1或3D．35．（2022春•道外区期末）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．3x2﹣6x+1＝0B．3x2+6x+1＝0C．3x2+6x﹣1＝0D．3x2﹣6x﹣1＝06．（2022春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（）A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝07．（2022春•泗阳县期末）一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（）A．1B．8C．7D．28．（2022•凤山县模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（）A．1B．1或2C．2D．±19．（2022•白银模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2018的值为（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022春•琅琊区校级月考）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx﹣2m﹣4＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣1D．−5 3三、家庭作业1．（2022春•铁岭月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．3x ﹣2＝0B ．x 2﹣3＝5C ．x +y 2＝4D ．1x +x 2＝12．（2021秋•文山市期末）已知关于x 的方程（m ﹣2）x |m |﹣3x ﹣4＝0是一元二次方程，则（ ）A ．m ≠±2B ．m ＝﹣2C ．m ＝2D ．m ＝±23．（2021春•全椒县期中）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣5x +m 2﹣4＝0的常数项为0，则m 的值是（ ）A ．0B ．±2C ．2D ．﹣24．（2021秋•新洲区期中）将方程3x （x ﹣1）＝5（x +2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）A ．3B ．﹣8xC ．﹣8D ．﹣105．（2022•新化县模拟）若a 是x 2﹣3x ﹣2022＝0的一个根，则a 2﹣3a +1的值是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20236．（2021秋•武夷山市期末）已知x ＝2是方程x 2﹣2x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．（2021秋•丰台区期末）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个解为x ＝0，那么m 的值是（ ）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣1二．填空题（共5小题）8．（2022春•碑林区校级期末）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．9．（2021秋•祁阳县期末）若（2﹣a）x a2−2−5＝0是一元二次方程，则a＝．10．（2022春•台江区校级期末）将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式为．11．（2022春•沙坪坝区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝．12．（2022•长沙县一模）如果m是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，那么代数式3m2﹣9m的值为．21.1一元二次方程一、本节知识点讲解【知识点1】一元二次方程4.一元二次方程的定义：方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程解法(4)因式分解法
1.2一元二次方程的解法（6）班级：______ 姓名：______1、 会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；2、 能根据一元二次方程的特征，选择适当的方法求解，体会解决问题的灵活性和多样性。
教学重点：会用因式分解法解一元二次方程教学难点：选择适当的方法解一元二次方程教学过程：一、自学互学某同学在解一元二次方程042=-x 发现，方程左边可以用平方差公式，因式分解为0)2)(2(=+-x x ，根据两数乘为0的情况可得02=+x 或02=-x ，也能得到2±=x ，用这种方法能解方程吗？本课我们来研究这类方程另一种解法—因式分解法。
归纳：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。
二、交流展示1、探究方程02=-x x 的几种解法三、精讲点拨用因式分解法解下列方程：（1）x x 42-= （2）0)3(3=+-+x x x （3）0)12(22=--x x学生练习：（1）0)1)(2(=-+x x （2）x x =23 （3）)12(3)12(4-=-x x x （4）22)23()12(+=-x x观察与思考:小明解方程)2(4)2(2+=+x x 方程两边都除以)2(+x ，得42=+x ，于是解得2=x 。
小明的解法正确吗？为什么？四、拓展提高请你观察下列方程的特征，说出用什么方法解方程比较简便，并解答。
（1）()5122=-x （2）022=+x x （3）4)3(=-x x（4）165)4(=-x x （5）2)12(x x =-注：在选用适当的方法解一元二次方程时，先观察方程的特征，看能否用因式分解法或用直接开平方法求解，若不能再考虑用公式法或配方法求解。
五、巩固练习：用适当的方法解下列方程（1）0652=--x x （2）63)2(2+=+x x （3）10)3(=-x x（4）4)2(222-=-x x （5）4)3)(12(=+-x x （6）08242=+-x x。
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第七课时
学习过程
一、自主学习
（一）自学教材P 12
（二）导学练习
1.甲乙两站间的路程为360千米，一列慢车从甲站开出，一列快车从乙站开出，同时开出相向而行，3小时后两车相遇，快车每小时行驶72千米，求慢车的速度。
分析：设慢车的速度是x千米每小时，则慢车3小时行驶的路程为----，快车3小时行驶的路程为-----。
题中的相等关系是-----。
根据题意可得方程----------。
2．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现调20人去支援，使甲处人数为乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
分析：抽调人后，这个问题的相等关系是：调入后甲处人数=-----×调入后乙处人数，抽调20人中，若设调入甲处x人，则调入乙处为-----人，甲处原有-----人，调入后共有-----人，乙处原有-----人，调入后共有-----人，根据题意可得方程为：---------
小组评价评价人签字
二、合作探究、小组展示
1．2008年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共100枚，金牌数列世界第一，其中金牌比银牌与铜牌之和多2枚，银牌比铜牌少7枚，问：金、银、铜牌各多少枚？
2.小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑6米，小明每秒跑4米。
(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
(2)如果小彬站在百米跑道的起点处，小明站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小彬追上小明？
三、检测反馈
根据下列条件列出方程，然后求出某数
（1）某数的5倍加上3等于某数的7倍减去5；
（2）某数的3倍减去9等于某数的1/3加上6；
（3）某数的一半加上4，比某数的3倍小21；
四、拓展提升
P13阅读部分，利用所学知识解决问题。
五、作业布置
P12习题6.2.2 ex5、6
课后反思：。