c++递推算法详解
C++函数、递推、递归ppt课件
i = 7 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(7) = 2 * (S(8) + 1) // s2 = s1 = S(7)
i = 6 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(6) = 2 * (S(7) + 1) // s2 = s1 = S(6)
看一个简单的例子：
1 4
第九讲——函数、递推、递归
递归
有 5 个人坐在一起，问第 5 个人多少岁？ 他说比第 4 个人 大两岁。问第 4 个人岁数，他说比第 3 个人大两岁。问第 3 个人，又说比第 2 个人大两岁。问第 2 个人，说比第 1 个人 大两岁。最后问第 1 个人，他说是 10 岁。请问第 5 个人多 大？
3
第九讲——函数、递推、递归
解题思路：
假设用 S(i) 表示第 i 天没吃之前的桃子数目；
则
S(1) 即为第 1 天所摘的桃子数； S(2) = S(1) * 1/2 – 1 第 2 天没吃之前的桃子数
S(3) = S(2) * 1/2 - 1 第 3 天没吃之前的桃子数
…
…
S(9) = S(8) * 1/2 - 1 第 9 天没吃之前的桃子数
= age(2) + 2 + 2 + 2 // c = age(2) + 2
= age(1) + 2 + 2 + 2 + 2；// c = 10;
2 2
计算年龄程序
第九讲——函数、递推、递归
2 3
第九讲——函数、递推、递归
递归算例（2）
用递归方法计算 n! 算法思路：
《c语言递归算法》课件
C语言递归算法是一种强大的编程技巧，通过函数自身调用实现问题的解决。 本课件将介绍递归算法的概念、实现方式、应用场景、优缺点以及与循环的 区别，同时还会通过案例演示帮助理解。
什么是递归算法？
基本概念
递归是指函数直接或间接地调用自身的过程。
递归特点
递归算法需要有基准条件和递推关系，用于结 束递归和推进递归过程。
递归算法的实现方式
递归函数
通过函数自身调用实现递归，需要定义递归函数和 递归终止条件。
递归流程图
通过流程图展示递归算法的执行过程，帮助理解递 归逻辑。
递归算法的应用场景
1 数学计算
递归算法可以用于解决数学问题，如斐波那契数列、阶乘等。
2 数据结构
递归算法在树、图等数据结构的遍历和搜索中有广泛应用。
递归算法的优点和缺点
优点
• 简化问题复杂度 • 代码结构清晰
缺点
• 执行效率较低 • 内存占用较高
递归算法与循环的区别
1
循环
2
迭代操作
3
递归
函数自身调用
区别
递归更直观，但消耗资源较多；循环更 高效，但代码可读性差。
递归算法的注意事项
1 递归终止条件
保证递归过程能够结束，否则可能导致死循 环。
2 堆栈溢出
过深的递归调用可能导致堆栈溢出，需要注 意递归深度。
递归算法的案例演示
斐波那契数列
通过递归实现斐波那契数列的计算。
二叉树遍历
通过递归遍历二叉树的各种方式。
递推算法(C 版)2017
【参考程序】
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,i,j,a[101][101];
cin>>n;
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=i;j++) cin>>a[i][j];
//输入数字三角形的值
for (i=n-1;i>=1;i--)
递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都 有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。 这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知 条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算 时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式）， 那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无 论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的 方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出 计算机擅长于重复处理的特点。
【算法分析】 （1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解答是相当
困难的。可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。 （2）当n=1时，只能是一种铺法，铺法总数有示为x1=1。 （3）当n=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，
如下左图所示，因此，铺法总数表示为x2=2；
如上例：输入：2 3
输出：8 10
【算法分析】
1.计算正方形的个数s1
边长为1的正方形个数为n*m
边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1)
边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2)
…………
边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1)
递推算法(C++版)
int main()
{
int n,i,j,a[101];
cout<<"input n:";
//输入骨牌数
cin>>n;
a[1]=1;a[2]=2;
cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl;
cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl;
for (i=3;i<=n;i++)
//递推过程
{
int n,m; cin>>m>>n; int m1=m,n1=n,s1=m*n; while (m1!=0&&n1!=0) {
m1--;n1--; s1+=m1*n1; } int s2=((m+1)*(n+1)*m*n)/4-s1; cout<<s1<<" "<<s2<<endl; }
//计算正方形的个数s1 // 计算长方形的个数s2
其实，本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过 来（我们称之为左点）或是从上面过来（我们称之为上点），所以根据加 法原理，到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径 数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起点到 终点的路径数目。障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该点的 路径数目设置为0即可。
个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。
例如：当 N=2， M＝3时：
正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269
C语言入门必学—10个经典C语言算法
C语言入门必学—10个经典C语言算法C语言是一种广泛使用的编程语言，具有高效、灵活和易学的特点。
它不仅在软件开发中被广泛应用，也是计算机科学专业的必修课。
在学习C语言的过程中，掌握一些经典的算法是非常重要的。
本文将介绍10个经典C语言算法，帮助读者更好地了解和掌握C语言。
一、冒泡排序算法（Bubble Sort）冒泡排序算法是最简单、也是最经典的排序算法之一。
它通过不断比较相邻的元素并交换位置，将最大（或最小）的元素逐渐“冒泡”到数组的最后（或最前）位置。
二、选择排序算法（Selection Sort）选择排序算法是一种简单但低效的排序算法。
它通过不断选择最小（或最大）的元素，并与未排序部分的第一个元素进行交换，将最小（或最大）的元素逐渐交换到数组的前面（或后面）。
三、插入排序算法（Insertion Sort）插入排序算法是一种简单且高效的排序算法。
它通过将数组分为已排序和未排序两个部分，依次将未排序部分的元素插入到已排序部分的合适位置。
四、快速排序算法（Quick Sort）快速排序算法是一种高效的排序算法。
它采用了分治的思想，通过将数组分为较小和较大两部分，并递归地对两部分进行排序，最终达到整个数组有序的目的。
五、归并排序算法（Merge Sort）归并排序算法是一种高效的排序算法。
它采用了分治的思想，将数组一分为二，递归地对两个子数组进行排序，并将结果合并，最终得到有序的数组。
六、二分查找算法（Binary Search）二分查找算法是一种高效的查找算法。
它通过不断将查找范围折半，根据中间元素与目标值的大小关系，缩小查找范围，最终找到目标值所在的位置。
七、递归算法（Recursive Algorithm）递归算法是一种通过自我调用的方式解决问题的算法。
在C语言中，递归算法常用于解决树的遍历、问题分解等情况。
八、斐波那契数列算法（Fibonacci Sequence）斐波那契数列是一列数字，其中每个数字都是前两个数字的和。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
【例6】过河卒（Noip2002） 【问题描述】 棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向 下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马 所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点 和P1，„„，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点 (0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给 出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【例3】棋盘格数
设有一个N*M方格的棋盘（ l≤ N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少 个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。 例如：当 N=2， M＝3时： 正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。 长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长 方形有2个：3*2的长方形有1个： 程序要求：输入：N，M 输出：正方形的个数与长方形的个数 如上例：输入：2 3 输出：8 10 【算法分析】 1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1) 边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2) ………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出
C语言-递推递归
2012-3-20
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伯努利装错信封问题
某人给不同地址不同姓名的n位朋友写信，信 某人给不同地址不同姓名的n位朋友写信， 信封都分别写好了。请问：所有信笺、 笺、信封都分别写好了。请问：所有信笺、 信封全都装错的情况有多少种？ 信封全都装错的情况有多少种？ 信封：A B 信封： 信笺： 信笺：a b C c D d E e F f … …
信封：A B C D E F … 信封： 信笺： 后 封也都装错 封也都装错) 信笺：b a (后n-2封也都装错
错误2： 错误 ：
信封： 信封：A B C D E F … 信笺： 封也都装错) 信笺：b 非a (后n-2封也都装错 后 封也都装错
2012-3-20
装错情况 种数Sn-1
14
Sn= （n-1)(Sn-1+ Sn-2)
A B C
2012-3-2024 Nhomakorabea递归
• 当有n个盘子需要移动时，通常的方法如下： （1）把A柱上n-1个盘子借助C柱移动到B柱上。只有 这样，C柱才能为空，则A柱上的第n个盘子（最大 的那个）才能直接移动到C柱上。 （2）将A柱上的剩下的第n个盘子移动到C柱上。这个 盘子已最后到位，不需要再移动了。 （3）再将B柱上的n-1个盘子借助A柱移动到C柱。
2012-3-20 19
递归
f (1) = 1 n =1 f ( n) = f ( 2) = 1 n=2 f (n) = f (n − 2) + f (n − 1) n ≥ 3
int func(int n) /*求斐波那契数列的第n个数*/ { int result; if(n==1) result=1; else if(n==2) result=1; else result=func(n-1)+func(n-2); /*递归*/ return result; } 2012-3-20
C语言递推与递归PPT课件
• void qsort(int array[], int start, int end) • 把数组下标为start到end的元素进行快速排序第18页/共25页快速排序问题5
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汉诺塔问题
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快速排序问题
• 快速排序思路如下
• 将要排序的数据放在数组array中 • 取a[0]变在变量m中，通过分区处理把m排在适当的位置，使
m左边的数都比m小，m右边的数都比m大 • 按照常上面的思路分别处理m左边和右边的数据 • 如果分区长度是1，停止处理
• 思路提示
• m个球取出来的n个，包含两种情况：n在其中和n不在其中
• 编程实现
• 使用递归思想 • 编写递归函数 int cmn(int m, int n)
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计算组合数
第13页/共25页
汉诺塔问题
• 据说在古代印度bramah神庙中，有个和尚整天把3根 柱子上的金盘倒来倒去。初始在柱子A上有64个盘子串 在一起，每一个盘子都比它下面的盘子小，可以在ABC 三个柱子之间互相移动，最终要全部移动到柱子C上。 移动规则如下：每次只允许移动一个，且较大的盘子永 远不能放在较小的盘子上。
c++递推算法详解
有2行n列的长方形方格，要求用n个1*2的骨牌铺满。有多少种铺法？ 如n=3时有以下3种覆盖方法：
方法一
状态：f[i]表示铺满2*i的长方形的方案数 找规律,手工或搜索求出i=1,2,3,4,5的方案数分别为1，2，3，5，8,容易发现 f[i]=f[i-1]+f[i-2](i>=3) 边界条件：f[1]=1,f[2]=2 递推关系式 1 i=1 f[i]= 2 i=2 f[i-1]+f[i-2] i>=3 答案为f[n]，时间复杂度为O(n)。
方法一
根据二项式定理可知： (ax+by)k= = 取i=n,xnym的系数为 其中an和bm可以用快速幂来计算，在lg(n)+lg(m)内完成。 计算 可以用递推来求解。 状态：f[i,j]表示从i个数中选j个数的方案数。f[k,n]就是答案。 根据第i数选还是不选来进行分析： 1.选择第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j-1个数的方案数即f[i-1,j-1]; 2.不选第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j个数的方案数即f[i-1,j] 所以f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i-1,j] 边界条件：f[i,0]=1,f[i,i]=1。 计
【问题描述】 栈是常用的一种数据结构，有n个元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。 【输入】 【输出】 就一个数n(1≤n≤1000)。 一个数，即可能输出序列的总数目。 【样例】 stack.in stack.out 3 5
c语言求组合数递推法
c语言求组合数递推法是一种通过已知的几个起始值，然后通过一定的规则逐步推导出其他值的方法。
在计算组合数时，我们可以使用如下递推公式：
C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
下面是一个使用C语言实现组合数递推法的示例代码：
在上面的代码中，我们定义了一个combination函数，用于计算组合数。
该函数采用递归的方式实现，如果k等于0或等于n，则返回1，否则调用自身计算C(n-1, k-1)和C(n-1, k)的和。
在main函数中，我们调用combination函数计算组合数，并输出结果。
需要注意的是，递推法虽然简单易懂，但是当n和k较大时，递归的深度会非常大，可能会导致栈溢出等问题。
因此，在实际应用中，可以考虑使用其他算法，如动态规划等来计算组合数。
c++斐波那契数列递推算法
斐波那契数列是一个经典的数学问题，在计算机编程中也有着重要的应用。
C++作为一种常用的编程语言，有很多种实现斐波那契数列的方法。
其中，递推算法是一种高效的实现方式，本文将介绍C++中斐波那契数列递推算法的实现原理和具体代码。
一、斐波那契数列的定义斐波那契数列是一个经典的数学问题，其定义如下：•斐波那契数列的第一个和第二个数分别为0和1；•之后的每一个数都是前两个数的和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
斐波那契数列的前几个数字依次是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...二、递推算法的原理递推算法是一种自底向上的计算方法，通过将问题分解成子问题并保存子问题的解，从而避免了重复计算，提高了效率。
对于斐波那契数列，可以使用递推算法来计算第n个斐波那契数F(n)。
具体原理如下：•首先定义一个数组f[]，用来保存斐波那契数列的结果；•然后通过循环计算从第三个数开始的每一个斐波那契数，并保存到数组中；•最终得到第n个斐波那契数F(n)的值即为数组f[n]的值。
三、C++中的递推算法实现在C++中，可以使用递推算法来实现斐波那契数列的计算。
以下是C++中斐波那契数列递推算法的具体实现代码：```cpp#include <iostream>using namespace std;int fibonacci(int n) {if (n == 0) {return 0;}if (n == 1) {return 1;}int f[n+1];f[0] = 0;f[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f[i] = f[i-1] + f[i-2];}return f[n];}int m本人n() {int n;cout << "请输入斐波那契数列的项数n：";cin >> n;cout << "第" << n << "项斐波那契数为：" << fibonacci(n) << endl;return 0;}```以上代码首先定义了一个名为fibonacci的函数，该函数用来计算斐波那契数列的第n项。
c几取几的计算方法(一)
c几取几的计算方法(一)C几取几的计算方法概述在组合数学中，C几取几（表示为C(n,m)）是指从n个元素中选择m个元素的组合数。
它在概率统计、排列组合、离散数学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍几种计算C几取几的方法。
直接计算法直接计算法是最简单直观的计算方法，根据组合数的定义，可以使用以下公式进行计算：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，“!”表示阶乘运算。
这种方法适用于n和m较小的情况，计算量大。
递推公式法递推公式法使用递推公式进行计算，可以极大地减少计算量。
递推公式如下：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)其中，C(n,m)表示从n个元素中选择m个元素的组合数。
递推公式法需要先计算出边界条件（例如C(0,0) = 1）来开始递推计算。
杨辉三角法杨辉三角是一种构建组合数的有效方法，其特点是每个数等于它上方两数之和。
我们可以利用杨辉三角形的性质来计算C几取几。
以下是一个示例的杨辉三角形：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1在这个三角形中，每个数值代表C(n,m)的值。
可以通过不断求和上方两数的值，逐层构建杨辉三角形来计算C几取几。
这种方法可以有效地减少计算量。
公式化简法公式化简法是一种通过对组合数的公式进行化简来计算的方法。
例如，我们有以下的等式：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)我们可以将其化简为：C(n,m) = C(n-1,m) * (n-m+1) / m通过不断应用公式化简，可以将复杂的组合数计算简化为较简单的乘法和除法运算。
递归法递归法是一种将问题分解为子问题来解决的方法。
对于C几取几的计算，可以使用递归法来进行计算：if m = 0 or m = n:return 1else:return C(n-1,m-1) + C(n-1,m)递归法的执行效率较低，但是代码较简洁，可以用于理解问题的本质和递推关系。
递推与递归算法的异同c语言
递推与递归算法的异同c语言递推与递归算法是计算机科学中两种重要的算法思想，本篇文章将从概念，特点，使用场景等多个方面来详细阐述它们的异同，希望能为初学者提供一些帮助。
一、概念递推算法是指通过已知的起始值和递推关系式来确定数列中每一项的值。
它可以看作是一种“自下而上”的计算方法，从已知的数值出发，根据数列中每一项之间的递推关系依次求解出数列其他项的值。
递归算法则是一种“自上而下”的计算方法，它将问题分解成若干个规模更小、相互之间存在递推关系的子问题。
每次递归调用都将问题的规模逐渐减小，直到最终问题的规模被缩小到某个基本问题规模以下时，问题不再继续递归，而由程序直接返回结果。
二、特点1.递推算法的迭代次数等于所求数列的项数，具有迭代次数确定、计算效率高的特点。
2.递归算法的调用次数与所求问题的规模有关，递归深度较高时，递归所用的栈空间较大，可能存在栈溢出等问题，但对于一些特定问题，递归算法能够简化问题的解决方法，提高算法的可读性和易于理解性。
三、使用场景1.递推算法适用于求解一些较为简单的数列，如斐波那契数列等。
2.递归算法适用于一些相对复杂的问题，如数学运算中的阶乘、幂等运算等等。
四、示例代码下面分别给出递推算法和递归算法的示例代码。
(1)递推算法：```c#include<stdio.h>int main(){int n, a[100] = {0, 1};printf("请输入需要求的斐波那契数列的项数：");scanf("%d", &n);for(int i = 2; i < n; i++){a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];}for(int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", a[i]);}return 0;}```(2)递归算法：```c#include<stdio.h>int fabonacci(int n){if(n == 1 || n == 2){return 1;}else{return fabonacci(n - 1) + fabonacci(n - 2);}}int main(){int n;printf("请输入需要求的斐波那契数列的项数：");scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; i++){printf("%d ", fabonacci(i));}return 0;}```五、总结递推算法和递归算法在实际编程中都具有广泛的应用，掌握它们的异同点，能够更好地选择合适的算法思想，提高程序的效率和可读性。
递推法在C语言中的简单应用
10
确定约瑟夫问题的基线情况：
想确定约瑟夫问题的基线情况，只需要证明递推式对于 人数n小于出列编号m的情况依然满足即可。 分界处 n-k+1 m=c*n+k n-k n n-k-1 n-1 n-k-2 n-2 分界处 k+1 k k-1 1 n-1 1 n-k+2 2 将图分为两部分，由于 n-k+3 两部分编号均递增且增 3 值为1，所以只需证明两 4 n-k+4 部分开头满足递推 (1+c*n+k)%n=k+1成立 (n-k+1+c*n+k)%n=1成立
即a(1)为基线情况
11
用例：有n个标牌成圆排列，编号1,2,3…n,用4种不同的颜色染色， 要求相邻两标牌颜色不同，求有多少种染色方法？ 建立递推：a n = 2 * a n – 1 + 3 * a n – 2 n个标牌染色方法数为a(n),去掉n号标牌，n-1号标牌有两种情况 （与1颜色相同或不同）； 若与1号颜色相同，n-2号与1号不同，n号标牌有3种染色方式， 去掉n-1号，转化为n-2个标牌的情景，所以方法数为3*a(n数=两个数的乘积 （2）3000以上没有数满足类似水仙花数的性质 可见，数学技巧的应用可以起到锦上添花的作用，但是…… 数学只能解决一部分问题
数学只是一门工具学科，所以我们要应用数学而不是依赖数学。 数学绝对可以帮助优化程序，学好编程，但是不会让你学会编 程。学好是建立在学会的基础上。所以，希望同学们在有意积 累数学知识的同时，更加重视C语言基本课程的学习。
7
用a(i) 代替 a i，补充定义a(0)=0; 构建递推式如下： a(n) = a(0) * a(n-1) + a(1) * a(n-2) + … + a(k-1) * a(n-k) + … +a(n-2) * a(1) + a(n-1) * a(0) 且 a(0) = 1 , a(1) = 1
c语言递推法
c语言递推法递推法是通过已知的一些值，推算出其他未知值的方法。
在C语言中，递推法可以用循环语句实现。
常见的递推法有斐波那契数列、杨辉三角等。
下面以斐波那契数列为例，介绍一下C语言中递推法的实现。
斐波那契数列是指： 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....数列中第0项为0，第1项为1，从第2项开始，每一项都是前两项的和。
通过递推法可以利用前两项的值计算出后面的值。
具体实现可以使用循环语句，代码如下：```c#include <stdio.h>int main() {int n, i, f1 = 0, f2 = 1, f3; // 定义n为要计算的项数, f1, f2为前两项的值，f3为要计算的当前项数的值printf("请输入要计算的项数：");scanf("%d", &n);printf("斐波那契数列的前%d项为：\n", n);printf("%d %d ", f1, f2); // 输出前两项的值for (i = 0; i < n-2; i++) { // 从第三项开始循环f3 = f1 + f2; // 计算当前项的值printf("%d ", f3); // 输出当前项的值f1 = f2; // 更新前两项的值f2 = f3;}printf("\n");return 0;```在上述代码中，通过定义变量f1、f2和f3，分别表示斐波那契数列的前两项和当前要计算的项。
在循环中，先计算出当前项的值，并输出。
然后更新前两项的值，继续循环下一项的计算，直到计算完成。
第6章函数递推递归(C++版)
在此例中,因为swap函数的参数为引用参数，所以，在函数swap 中修改a,b的值相当于在主函数main中修改c,d的值。
• 3.const形参 使用const修饰参数可避免在函数执行中修改参数。 举个例子：
void solve(const int &a) { a=1; } //该函数是错误的，因为a是 const形参，所以在函数体中不能被修改。
现在的问题是：C++不提供js(x)这样一个标准函数，这个程序是 通不过的。如果是C++的标准函数，我们可以直接调用，如abs(x)， sqrt(x)．．．．．．而C++提供给我们的可供直接调用的标准函数不 多。没关系，我们编写自己的函数！
一、函数的定义----【函数】
• 1.函数定义的语法形式 数据类型 函数名（形式参数表） { 函数体 //执行语句 } 关于函数的定义有如下说明： 函数的数据类型是函数的返回值类型（若数据类型为 void ,则无返 回值）。 函数名是标识符，一个程序中除了主函数名必须为main外，其余函数 的名字按照标识符的取名规则可以任意选取，最好取有助于记忆的名 字。 形式参数（简称形参）表可以是空的（即无参函数）；也可以有多个 形参，形参间用逗号隔开，不管有无参数，函数名后的圆括号都必须 有。形参必须有类型说明，形参可以是变量名、数组名或指针名，它 的作用是实现主调函数与被调函数之间的关系，通常将函数所处理的
例6.1 求：1!+2!+3!+„„+10！
#include<iostream> using namespace std; int main() { int sum=0; for (int i=1; i<=10; i++) sum+=js(i); cout<<"sum="<<sum<<endl; return 0; }
C语言-递推求解
2021/8/18
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例:（2050）折线分割平面
再来看如果把每次加进来的平行边让它 们一头相交，情况又如何呢？
我们看到，平面1、3已经合为一个面，既少了一个面。 因此，每当一组平行线相交后，就会减少一个面。 因此，本题所要求的折线分割平面，自然就是上面求的 的平行线分割平面数减去N 即增加4n - 3 个。
int f[40]; f[0] = 0; f[1] = 1; for(int i = 2;i <= 30;++ i) {
f[i] = f[i-1] + f[i-2]; } int k; while(scanf("%d", &k) != EOF && k !='\n') {
printf("%d\n", f[k]); } return 0; }
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是不是这个——
F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n;
化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1;
2021/8/18
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太简单了?
来个稍微麻烦一些的☺
2021/8/18
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例:（2050）折线分割平面
问题描述： 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割 成多少块?
样例输入 1 2
Sample Output 0 1 1 2
2021/8/18
3
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5
Fibnacci 数列：
f[0] = 0 f[1] = 1 f[n] = f[n-1]+f[n-2]
即： 0、1、1、2、3、5、8、13、21、
34…
2021/8/18
C++ 递推
拓展
1、一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。 每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从 家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ 2、括号化问题 矩阵链乘:P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改 变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方 案？ 3、给顶节点组成二叉树的问题。 给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？ 4、有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一 张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多 少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找 零？
递推
递推定义
从初始的一个或若干数据项出发，通过 递推关系式逐步推进，从而得到结果。
简单的递推
1、计算阶乘之和n!+(n-1)!+...+1!
递推式：
a[1]=a[0]=1
a[n]=n*a[n-1]
int main() { int n,i; long a[100]={1},s=0; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) s=s+i*a[i-1]; cout<<s; return 0; }
Pn-2
int main() { long long c[100]={0}; cin>>n; c[2]=c[3]=1;//初始值，n=2和n=3的凸边形 for(int i=4;i<=n;i++) { for (int j=2;j<i;j++) c[i]=c[j]+c[i-j-1]; } return 0; }
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参考题解
• 首先我们定义一个表pri[max],pri[i]表示第i个质数， 第一个质数为2.设数组max，其中max[i]记录i的最 大质因子。定义f(b,x1,x2)表示区间[x1,x2]之间不包 括大于第b个质数的质因子的所有正整数，则有如 下递归关系： F(b,x1,x2)=f(b-1,x1,x2)+f(b,(x1-1) div pri[b]+1,x2 div pri[b]) • 该递归式的边界条件为： • F=0 x1>x2 • F=x2-x1+1 x2<=pri[b] • 可直接验证 x1=x2 • F=trunc(log2(x2))-trunc(log2(x1)) b=1
例3：出栈序列统计
• 【问题描述】 • 栈是常用的一种数据结构，有n个元素在栈顶端一侧等待进 栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两种： push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。 现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出 序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1 ，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。 • 【输入】 【输出】 • 就一个数n(1≤n≤1000)。 一个数，即可能输出序列的总数目。 • 【样例】 • stack.in stack.out • 3 5
• 答案为f[n]，时间复杂度为O(n)。
方法二
• 对于i>=3,分析第一列的两个格子覆盖情况，有两种情 况： 1.用1*2的骨牌竖着覆盖第一列，这种情况的方案数等 于后面2*(i-1)的长方形的覆盖方案数，即f[i-1]；
2.用两个1*2的骨牌横着覆盖，这种情况的方案数等于 后面2*(i-2)的长方形的覆盖方案数，即f[i-2]。
【算法分析】
• C(2n,n)/(n+1) • =2n*(2n-1)*(2n-2)…*(n+1)/n!/(n+1) • =2n*(2n-1)*(2n-2)*…*(n+2)/n!。 • 考虑到这个数据可能比较大，所以用高精度 运算来计算这个结果。 • 本题实际是一个经典的Catalan数模型。有关 Catalan数的详细解释请参考《组合数学》等书 。
方法二
• 当k达到106的时候，方法一会超时。 • 由于10007是素数，在计算C(k,n)mod 10007时可以采用扩展GCD来解决。 • 时间复杂度为O(k)。
参考代码：
#include <iostream> #include <fstream> using namespace std; ifstream fin("factor.in"); ofstream fout("factor.out"); const int MAXN=1005; int dp[MAXN][MAXN],a,b,k,n,m,ans;
例2：B光滑数
• 【问题描述】 • B为一个正整数，如果一个自然数N的质因子分解式中没有大于B的因子， 我们就称N是一个B光滑数。请你编一个程序，求出某个区间中所有的B光 滑数的个数。 • 输入： • 输入文件名为bnum.in，仅有一行，包含三个用空格隔开的整数N,M,B,其 中1<=N<=2，000，000，000,1<=M<=100，000，000,1<=B<=1，000 ，000。 • 输出：输出文件名为bnum.out，仅一行。一个整数，表示区间[N,N+M]之 间的B光滑数的个数。 • 【样例输入】 • 30 10 5 • 【样例输出】 • 4
【思考与提高】
【思考与提高】
再设f(a,b)为从状态(a,b)通过移动火车变为状态(0,0) 的所有移动方法。类似于动态规划的状态转移方程，我 们可写出以下递归式：
边界值：f(0,0)=1。 有了这个递归公式后，再写程序就比较简单了。
例4：骨牌覆盖问题
• 有2行n列的长方形方格，要求用n个1*2的 骨牌铺满。有多少种铺法？ • 如n=3时有以下3种覆盖方法：
递推算法
确定状态 确定递推关系和边界条件
day2)
• 【题目描述】给定一个多项式(ax+by)k,请求出多项式展 开后xnym项的系数 • 【输入】共一行，包含5个整数，分别为a,b,k,n,m，每 两个整数之间用一个空格隔开。 • 【输出】输出共1行，包含一个整数，表示所求的系数 ，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。 • 【输入输出样例】 factor.in factor.out 11312 3 • 【数据范围】 对于 30%的数据，有0≤k≤10； 对于 50%的数据，有a = 1，b = 1； 对于 100%的数据，有0≤k≤1,000，0≤n, m≤k， 且n + m = k，0≤a，b≤1,000,000。
int main() { fin>>a>>b>>k>>n>>m;
dp[1][1]=dp[1][2]=1; for (int i=2;i<=k;i++) for (int j=1;j<=i+1;j++) dp[i][j] = (dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]) % 10007; ans = dp[k][m+1];
【思考与提高】
我们知道，在某个状态下，所能做的操作(移动方法)无非 有两种： （1）将右方的等待进栈的第一个元素进栈； （2） 将栈顶的元素出栈，进入左边的出栈序列。 设此时右方、栈、左方的元素个数分别为a，b，c。我 们就能用(a,b,c)表示出当前的状态。显然n=a+b+c，则 c=n-a-b。即已知a和b，c就被确定，所以我们可以用(a,b) 来作为状态的表示方法。则起始状态为(n,0)，目标状态为 (0,0)。 又由上面的两种移动方法，我们可类似的得到两种状 态转移方式：
参考程序： #include <iostream>
#include <cstdio> using namespace std; typedef long long lld; lld i,n,ans; lld h[1000]; int main() { freopen ("stack.in","r",stdin); freopen ("stack.out","w",stdout); h[2]=1; cin>>n; n=n+2; for (lld i=3;i<=n;i++) for (lld k=2;k<i;k++) h[i]=h[i]+h[k]*h[i-k+1]; cout<<h[n]<<endl; return 0; }
方法一
• 状态：f[i]表示铺满2*i的长方形的方案数 • 找规律,手工或搜索求出i=1,2,3,4,5的方案数 分别为1，2，3，5，8,容易发现 f[i]=f[i-1]+f[i-2](i>=3) • 边界条件：f[1]=1,f[2]=2 • 递推关系式 • 1 i=1 • f[i]= 2 i=2 f[i-1]+f[i-2] i>=3
方法一
• 根据二项式定理可知： k k i k i k i i i i k i i k * * * * *x * y C (ax+by) = = k (ax) (by) C k a b i 0 i 0 n n m n m • 取i=n,x y 的系数为 C k * a * b • 其中an和bm可以用快速幂来计算，在lg(n)+lg(m)内完成。 n • 计算 C k 可以用递推来求解。 • 状态：f[i,j]表示从i个数中选j个数的方案数。f[k,n]就是答案。 • 根据第i数选还是不选来进行分析： 1.选择第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j-1个 数的方案数即f[i-1,j-1]; 2.不选第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j个数 的方案数即f[i-1,j] 所以f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i-1,j] • 边界条件：f[i,0]=1,f[i,i]=1。 时间复杂度为O(n*k)。
方法四
• 分治，一分为二来考虑,左边为n div 2列， 右边为n-n div 2列，如果左右独立则方案数 为f[n div 2]*f[n-n div 2],如果有横向覆盖第n div 2列和第n div 2+1列，则方案数为f[n div 2-1]*f[n-n div 2-1] • 所以f[n]= f[n div 2]*f[n-n div 2]+f[n div 21]*f[n-n div 2-1]
所以f[i]=f[i-1]+f[i-2]
方法三
• 分析用1*2的骨牌覆盖列的位置来计算方案数 • 1.如果i为偶数，覆盖方案分为两类： (1)没有竖立覆盖其中一列的情况：全部用横向覆盖的方 案，方案数为1； (2)有竖立覆盖的情况：为了避免重复，考虑第一次竖立 覆盖的位置在x列，x必须是奇数，而且前1到x-1列覆盖方 法唯一，全部采用横向覆盖，方案数等于后面i-x列的覆盖 情况，即f[i-x]。 • 所以当i为偶数时,f[i]=1+f[1]+f[3]+...+f[i-3]+f[i-1] • 2.如果i是奇数，一定有竖立覆盖的情况， f[i]=1+f[2]+f[4]+.....+f[i-3]+f[i-1] • 如何证明该递推关系式等价于f[i]=f[i-1]+f[i-2]？ • 试着用横向覆盖的来分析递推关系式。
【算法分析】
• 我们通过回溯的方法计算并输出不同的出栈序列，这里只 要求输出不同的出栈序列总数目，所以我们希望能找出相 应的递推公式进行处理。 • 从排列组合的数学知识可以对此类问题加以解决。 • 我们先对n个元素在出栈前可能的位置进行分析，它们 有n个等待进栈的位置，全部进栈后在栈里也占n个位置， 也就是说n个元素在出栈前最多可能分布在2*n位置上。 • 出栈序列其实是从这2n个位置上选择n个位置进行组合 ，根据组合的原理，从2n个位置选n个，有C(2n,n)个。但 是这里不同的是有许多情况是重复的，每次始终有n个连 续的空位置，n个连续的空位置在2n个位置里有n+1种， 所以重复了n+1次。所以出栈序列的种类数目为：