高中数学人教b版高二选修2-3课时作业：2.3.1_离散型随机变量的数学期望(1)_ 含解析
2.3.1离散型随机变量的数学期望
3 0.73
(2)因为，X～B(3,0.7)，所以，X的数学期望为
E ( X ) 3 0.7 2.1
射手 甲
8环 0.3
9环 0.1
10环 0.6
乙 Bqr6401@
0.2
0.5
0.3
四、应用举例
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Liangxiangzhongxue
例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得 分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选 择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成 绩的期望。
引例1： 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10 换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布 列： 权数
X P
X 1 4 10
1
4 10
2
3 10
3
2 10
p1 p1 p 2 p i p n 1 n
n 这说明数学期望与平均值具有相同的含义。
Bqr6401@
E ( X ) ( x1 x 2 x i x n )
1
三、概念形成
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Bqr6401@
五、课堂练习
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课本第64页，习题2-3A，1，2，3，4，5，6，7
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人教新课标版数学高二人教B版选修2-3学案 离散型随机变量的数学期望
2.3随机变量的数字特征2．3.1 离散型随机变量的数学期望[对应学生用书P34]设有12个西瓜，其中重5 kg 的有4个，重6 kg 的有3个，重7 kg 的有5个．问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 可以取哪些值？ 提示：X ＝5,6,7.问题2：X 取上述值时对应的概率分别是多少？ 提示：13，14，512.问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？ 提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值或数学期望设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n 则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ；若离散型随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN.1．对离散型随机变量均值的理解：(1)离散型随机变量的均值E (X )是一个数值，是随机变量X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．[对应学生用书P34]求离散型随机变量的期望盒中装有5池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及期望．明确X 的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望． X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35310110E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.求离散型随机变量的均值的步骤：(1)根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由期望的定义求出E (X )．1．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E (X )＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.52．(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.二项分布与超几何分布的均值和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．(1)利用对立事件发生的概率去求；(2)X 服从二项分布，列出X 的值并求其概率，列出概率分布列，并求其数学期望． (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ， 那么P (C )＝1－P (C )＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.故P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000故随机变量X 的数学期望：E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望．2．常见的三种分布的均值 设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np ；(3)超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nMN.3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35 B.815C.1415D ．1解析：法一：P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115.∴E (X )＝1×715＋2×115＝35.法二：由题意知X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，则E (X )＝nM N ＝35.答案：A4．若将例1中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X 的数学期望．解：每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B (5，35)，则E (X )＝5×35＝3.5．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.离散型随机变量期望的实际应用 (12利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲 乙首次出现故障的时间x (年)0＜x ≤1 1＜x ≤2 x ＞2 0＜x ≤2 x ＞2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．对(1)、(2)根据表中的数据利用古典概型概率公式求概率和分布列．对(3)分别求出X 1、X 2的期望，比较大小作出判断．(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2分)(2)依题意得，X 1的分布列为X 1 1 2 3 P125 350 910(4分)X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110 910(6分)(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．(8分)因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． (12分)解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．6．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P (X ＝5)＝C 550.55＝132. (2)X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P13253210321032532132于是Y 的分布列为Y －2 0 40 P2632532132E (Y )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)．7．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：X 1 1 2 3 P0.40.10.5X 2 1 2 3 P0.10.60.3根据均值公式，得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. E (X 2)>E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．1．随机变量的期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把期望最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量．[对应课时跟踪训练(十五)]1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2， 所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案：B2．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )＝( ) A ．15 B ．20 C ．5D ．10解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E (X )＝n2，又E (X )＝15，则n ＝30.由于Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，可得Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E (Y )＝30×13＝10. 答案：D3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．12解析：设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12,9,6.P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P (X＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E (X )＝7.8.答案：B4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.答案：C5．设随机变量X 等可能地取1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则E (X )等于________． 解析：根据题意，X 取1,2,3，…，n 的概率都是1n ，则P (X <4)＝3n ＝0.3，解得n ＝10，则E (X )＝1×110＋2×110＋…＋10×110＝5.5.答案：5.56．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，所以E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：537．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )． 解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为X 3 4 5 6 P5421021514121(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. 8．小明家住C 区，他的学校在D 区，从家骑自行车到学校的路有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为23；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求至少遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．解：(1)法一：设“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A ， 则P (A )＝C 13×23×(13)2＋C 23×(23)2×13＋C 33×(23)3×(13)0＝2627， 所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627.法二：设“走L 1路线没有遇到一次红灯”为事件A ，则“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A －，故P (A )＝(1－23)(1－23)(1－23)＝13×13×13＝127，所以P (A －)＝1－P (A )＝1－127＝2627，高中数学-打印版校对打印版 所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110， P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，Y ～B (3，23)，所以E (Y )＝3×23＝2>E (X )，所以应选择L 2路线．。
选修2-3：2.3.1离散型随机变量的均值(1)
2. 若X服从两点分布，则EX=p
3.若X～B（n , p），则 E( X ) np
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题 选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生 甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
例题5
根据气象预报,某地区近期有小洪水的概 率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某 工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失 60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设 备,有以下3种方案:
4.例题讲解
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的概率分布； （2）求X的数学期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2) E（X） 0 0.33 1 C310.7 0.32 2 C320.72 0.3 3 0.73
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项， 其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作 出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
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数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式。
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人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。
高二数学期望值
一般地： 对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已 知 P ( i )(i 0,1,2, ,10), 则可以预计他任意n次射击的
思考下面的问题: 某射手射击所得环数
的分布列如下：
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知, 在 100 次射击之前,估计得 i 环的次数为 P( i ) 100 .
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列. 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征，最常用的有期望与方差.
前面,我们认识了随机变量的分布列. 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 ,, xi ,,
课外思考:
彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色 不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的 规则为： 6个全红 赢得100元 5红 1白 赢得50元 4红 2白 赢得20元 3红 3白 输100元 2红 4白 赢得20元 1红 5白 赢得50元 6个全白 赢得100元
你动心了吗?
结论1： 若 a b, 则 E aE b ;
高中数学人教A版高二选修2-3教学案：2.3.1_离散型随机变量的均值_Word版含解析
2．3．1离散型随机变量的均值预习课本P60～63，思考并完成以下问题1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出均值？2．离散型随机变量的均值有什么性质？3．两点分布、二项分布的均值是什么？[新知初探]1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n_量取值的平均水平．2．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2，…，n，E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．3．两点分布与二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np．[点睛]两点分布与二项分布的关系(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1, 二项分布中随机变量的取值X＝0,1，2，…，n．②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7．()答案：(1)×(2)×(3)√2．已知离散型随机变量X的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．32B ．2C ．52D ．3答案：A3．设随机变量X ～B (16，p ), 且E (X )＝4, 则p ＝________． 答案：144．一名射手每次射击中靶的概率均为0．8, 则他独立射击3次中靶次数X 的均值为________． 答案：2．4[典例] 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及均值E (ξ)．[解] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，那么 P (A )＝P (B )＝P (C )＝16．P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16×56×56＝25216．故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216．(2)ξ的可能取值为0,1,2,3．P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫16k ⎝⎛⎭⎫563－k，k ＝0,1,2,3．P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫160×⎝⎛⎭⎫563＝125216； P (ξ＝1)＝C 13×16×⎝⎛⎭⎫562＝2572；P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫162×56＝572， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫163×⎝⎛⎭⎫160＝1216． 所以中奖人数ξ的分布列为P125216 2572 572 1216E (ξ)＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12．求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求概率：求X 取每个值的概率； (3)写分布列：写出X 的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E (X )．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．[活学活用]1．甲、乙两人各进行3次射击， 甲每次击中目标的概率为12， 乙每次击中目标的概率为23， 记甲击中目标的次数为X, 乙击中目标的次数为Y ，(1)求X 的概率分布列； (2)求X 和Y 的数学期望．解：(1)已知X 的所有可能取值为0,1,2,3． P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫123－k ． 则P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＝18；P (X ＝1)＝C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝38； P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×12＝38； P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123＝18． 所以X 的概率分布列如下表：X 0 1 2 3 P18383818(2)由(1)知E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1．5，或由题意X ～B ⎝⎛⎭⎫3，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， ∴E (X )＝3×12＝1．5，E (Y )＝3×23＝2．2．某运动员投篮投中的概率P ＝0．6． (1)求一次投篮时投中次数ξ的数学期望． (2)求重复5次投篮时投中次数η的数学期望．解：(1)ξ的分布列为：ξ0 1P 0．40．6则E(ξ)＝0×0．4＋1×0．6＝0．6，即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0．6．(2)η服从二项分布，即η～B(5,0．6)．∴E(η)＝np＝5×0．6＝3，即重复5次投篮时投中次数η的数学期望为3．离散型随机变量均值的性质[典例]X －2－101 2P141315m120若Y＝－2X，则E(Y)＝________．[解析]由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1, 解得m＝16，∴E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730．由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×⎝⎛⎭⎫－1730＝1715．[答案]1715[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y)．解：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－1730得，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×⎝⎛⎭⎫－1730－3＝－6215．2．[变条件，变设问]本例条件不变，若ξ＝aX＋3, 且E(ξ)＝－112，求a的值．解：∵E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112，∴a＝15．与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX ＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．均值的实际应用[典例]的分布列为ξ1234 5P 0．40．20．20．10．1250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及均值E(η)．[解](1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(A)＝(1－0．4)3＝0．216，P(A)＝1－P(A)＝1－0．216＝0．784．(2)η的可能取值为200元，250元，300元．P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0．4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0．2＋0．2＝0．4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0．1＋0．1＝0．2，因此η的分布列为η200250300P 0．40．40．2E(η)＝200×0．4＋250×0．4＋1．实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．[活学活用]甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中， 则P (A k )＝13，P (B k )＝12，(k ＝1,2,3)．ξ的所有可能值为1,2,3． 由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B1A 2B 2)＝23×12×13＋⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P (A1B1A2B 2)＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫122＝19．综上知，ξ的分布列为数学期望为E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139．层级一 学业水平达标1．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无法求 B ．0 C ．E (X )D ．2E (X )解析：选B ∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0． 2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E (ξ)的值为( )A ．118B ．19C ．209D ．920 解析：选C 根据概率和为1，可得x ＝118，E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x ＝40x＝209． 3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0．8，则射击一次得分X 的期望是( )A ．0．2B ．0．8C ．1D ．0解析：选B 因为P (X ＝1)＝0．8，P (X ＝0)＝0．2，所以E (X )＝1×0．8＋0×0．2＝0．8． 4．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5， 14，则E (－ξ)的值为( ) A ．14B ．－14C ．54D ．－54解析：选D ∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D ．5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( ) A ．35B ．815C ．1415D ．1解析：选A X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115．所以E (X )＝1×715＋2×115＝35． 6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0．6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0．6；P (X ＝2)＝0．4×0．6＝0．24； P (X ＝1)＝0．42×0．6＝0．096； P (X ＝0)＝0．43＝0．064．所以E (X )＝3×0．6＋2×0．24＋1×0．096＋0×0．064 ＝2．376． 答案：2．3767．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________．解析：∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ， ∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3．①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1．②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16．答案：－168．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0．8，则其第一大题得分的均值为________．解析：设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ， 则X ～B (12,0．8)，E (X )＝np ＝12×0．8＝9．6， E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9．6＝48． 答案：489．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：(1)抽取次数X 的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X 取值为1,2,3． P (X ＝1)＝35；P (X ＝2)＝25×34＝310；P (X ＝3)＝25×14＝110．所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1．5，即平均抽取1．5次可取到好电池．10．如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．解：(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0．1＋x ＋0．37＋0．39＝1，解得x ＝0．12． (2)由题意知，X ～B (3,0．1)．因此P (X ＝0)＝C 03×0．93＝0．729； P (X ＝1)＝C 13×0．1×0．92＝0．243； P (X ＝2)＝C 23×0．12×0．9＝0．027；P (X ＝3)＝C 33×0．13＝0．001．故随机变量X 的分布列为故X 的数学期望为E (X )＝3×0．1＝0．3．层级二 应试能力达标1．已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，∴m ＝16．∴E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13．∴E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝－13a ＋3＝73，∴a ＝2．2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A ．89B ．35C ．25D ．13解析：选A ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴－b 2a<0，即ba >0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89．3．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2解析：选A 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21， P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，解得x ＝3．4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定( ) A ．甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量相同D ．无法判定解析：选A E (ξ)＝0×0．7＋1×0．1＋2×0．1＋3×0．1＝0．6， E (η)＝0×0．5＋1×0．3＋2×0．2＋3×0＝0．7． ∵E (η)>E (ξ)，故甲比乙质量好．5．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：则E (X )的最大值为________．解析：由表可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ≤1，0≤p ≤1，从而得P ∈⎣⎡⎦⎤0，12，期望值E (X )＝0×⎝⎛⎭⎫12－p ＋1×p ＋2×12＝p ＋1，当且仅当p ＝12时，E (X )最大值＝32．答案：326．节日期间，某种鲜花的进价是每束2．5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1．6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0．20＋300×0．35＋400×0．30＋500×0．15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1．6×(500－ξ)－500×2．5＝3．4ξ－450，所以E(η)＝3．4E(ξ)－450＝3．4×340－450＝706(元)．答案：7067．(重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14．(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115．综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0．999104．(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0．999104，故p＝0．001．(2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出：104ξ＋5×104，盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104)，由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－105－5×104．由E(η)≥0⇔104a－105－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．。
人教高中数学选修2-3第二章 2.3.1离散型随机变量的数学期望(共24张PPT)
B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购 买甲种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种 保险中的1种；
D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不 购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝AUB，
P(C)＝P(AUB)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝ C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
练习：
1、某射手射击所得环数ξ 的分布列如下：
ξ p 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22
能否估计出该射手n次射击的平均环数？
8.32
2、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下， 他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表 示， X1，X2的概率分布下：
甲选项正确的个数X~B(12，0.9) E(X)=10.8
甲得分Y=5X E(Y)=54
乙的选项正确的个数Z~B(12,0.25) E(Z)=3 乙得分Z`=5Z E(Z`)=15
例4 一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑
球，从中任取3个，求其中所含白球个数的期望.
X P
0 4/84
1 30/84
离散型随机变量的数学期望
某校为了解学生迟到情况，每天记录迟到人 数.下表是在100天中的记录.计算每天平均有 问题：已知分布列如何求均值？ 多少人迟到？
人数 天数 0 30 1 30 2 20 3 20
解法1:(0×30+1×30+2×20+3×20)/100=1.3
X P 0
30/100
1
30/100
事件首次发生所需要的试验次数X服从几何分布. 超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中 有一类物品的件数为M，从所有物品中任取n件 （n不超过N），这n件中所含的这类物品的件数
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1.3 二项式定理
本章小结
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型
2Байду номын сангаас1.3 超几何分布
2.2.2 事件的独立性
2.3 随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变
2.4 正态分布
阅读与欣赏 关于“玛丽莲问题”的争论
3.1 独立性检验
本章小结
附表
后记
第一章 计数原理
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1.2.2 组合
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2020人教版高三数学选修2－3(B 版)电子课本课件【全册】目录
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第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
1.3 二项式定理
1.1 基本计数原理
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1.2 排列与组合 排列
1.2.1
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人教版高中数学选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
当堂自测
[答案] A
当堂自测
3.设随机变量X~B(3,0.2),则
E(2X+1)= ( )
A.0.6
B.1.2
C.2.2
D.3.2
[答案] C
[解析] ∵随机变量 X~B(3,0.2),∴E(X)=3×0.2=0.6,∴E(2X+1)=2E(X)+1 =2×0.6+1=2.2,故选C.
当堂自测
故选D. (2)设该学生在这次测验中选对的题数 为X,该学生在这次测验中成绩为Y,则 X~B(20,0.9),Y=5X.由二项分布的均值公
式得E(X)=20×0.9=18.由随机变量均值 的线性性质得E(Y)=E(5X)=5×18=90.
考点类析
考点三 利用随机变量均值的性质解决问题
[导入] 若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,试分析随机变量Y的均值E(Y)和E(X) 的关系.
考点一 随机变量X均值定义的应用
ξ012345 P 2x 3x 7x 2x 3x x
[答案] C
考点类析
例2 袋中有4只红球、3只 黑球,现从袋中随机取出4 只球,设取到1只红球得2分, 取得1只黑球得1分,试求得 分X的均值.
X5678 P
考点类析
考点二 两点分布、二项分布的均值
例3 (1)设X~B(40,p),且E(X)=16,则p=
的均值. (2)随机变量的均值是常数,其值不随X的变化而变化.
预习探究
[探究] 随机地抛掷一枚骰子,怎样求向上的点数X的均值?
X123456 P
预习探究
知识点二 离散型随机变量均值的性质
若Y=aX+b(a,b为常数),则E(Y)=E(aX+b)=
人教B版选修2-3——2.3.1数学期望
一、复习引入 必修阶段，我们知道了样本的数字特征： 必修阶段，我们知道了样本的数字特征： 均值与方差。 均值与方差。 选修阶段，类似于必修中通过数字来反映 选修阶段，类似于必修中通过数字来反映 样本的某些特征， 样本的某些特征，我们将在已学的分布列 基础上研究离散型随机变量的数字特征： 基础上研究离散型随机变量的数字特征： 均值（期望）与方差。 均值（期望）与方差。
三、课堂小结 一、数学期望： 数学期望：
X P
x1
x2
··· ···
xi
··· ···
xn
p1
p2
pi
pn
E( X ) = x1 p1 + x2 p2 +L+ xi pi +L+ xn pn
二、期望性质： 期望性质： 线性性质） E (aX + b ) = aE ( X ) + b（线性性质）
四、随堂检测 1、随机变量X的分布列是: 随机变量X的分布列是:
nM 则有: 则有 E ( X ) = N
二、新课讲授 计算与X是线性相关的离散型随机变量的 计算与X是线性相关的离散型随机变量的 数学期望： 数学期望： ①列出与X线性相关的随机变量的分布列； 列出与X线性相关的随机变量的分布列； ②求与X线性相关的随机变量的数学期望。 求与X线性相关的随机变量的数学期望。
X P
x1
p1
p2
x2
··· ···
pi
xi
··· ···
xn
pn
xi x1 x2 X xn ··· ··· Y ax1 + b ax2 + b ··· axi + b ··· axn + b pi pn p1 p2 ··· ··· P
高中数学人教B版教材目录
高中数学人教B版教材目录高中数学（B版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累──自学成才的华罗庚第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程本章小结（1）阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）实习作业本章小结阅读与欣赏对数的发明对数的功绩附录1科学计算自由软件──SCILAB简介附录1部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体实习作业1．2点、线、面之间的位置关系本章小结第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例本章小结附录参考程序第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性实习作业本章小结阅读与欣赏附录随机数表第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用本章小结阅读与欣赏后记高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质数学建模活动本章小结阅读与欣赏第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用本章小结阅读与欣赏第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例实习作业本章小结阅读与欣赏第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列本章小结阅读与欣赏第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修1-1选修1－1扉页本册导引编写人员版权页目录第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑联结词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线级其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修1-2封面扉页编写人员版权页本册导引目录第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法本章小结阅读与欣赏复平面与高斯第四章框图4.1 流程图4.2 结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-1选修2-1扉页本册引导编写人员版权页目录第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑联结词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 两个向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-2选修2-2版权页编写内容本册引导目录第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与冥函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-3选修2-3扉页本册导引版权页目录编写人员第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3 二项式定理1.3.2 杨辉三角本章小结第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记。
高中数学人教版选修2-3同步练习：2.1.1《离散型随机变量及其分布列》
高中数学人教版选修2-3同步练习：2.1.1《离散型随机变量及其分布列》第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量课时训练6 离散型随机变量一、选择题1.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为().A.掷硬币的次数B.出现正面向上的次数C.出现正面向上或反面向上的次数D.出现正面向上与反面向上的次数之和答案:B解析:出现正面向上的次数为0或1,是随机变量.2.下列随机变量是离散型随机变量的是().①抛5颗骰子得到的点数和;②某人一天内接收到的电话次数;③某地一年内下雨的天数;④某机器生产零件的误差数.A.①②③B.④C.①④D.②③答案:A解析:由离散型随机变量的定义知①②③均是离散型随机变量,而④不是,由于这个误差数几乎都是在0附近的实数,无法一一列出.3.已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是().A.①②③B.②③④C.①②④D.③④答案:C解析:③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为().A.X=4B.X=5C.X=6D.X≤4答案:C解析:第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.5.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为().A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品答案:D6.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为().A.20B.24C.4D.18答案:B解析:由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24(种).二、填空题7.在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是.答案:-300,-100,100,300解析:若答对0个问题得分-300;若答对1个问题得分-100;若答对2个问题得分100;若问题全答对得分300.8.一袋中装有5个同样的球,编号依次为1,2,3,4,5,从该袋中随机取出3个球.记三个球中最小编号为ξ,则“ξ=3”表示的试验结果是.答案:取出编号为3,4,5的三个球9.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,取后不放回,抽取次数为X,则“X=3”表示的试验结果是.答案:前两次均取到正品,第三次取到次品三、解答题10.写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ;(2)从4张已编号(1~4号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ.解:(1)ξ可取0,1,2,3.ξ=i表示取出i支白粉笔,3-i支红粉笔,其中i=0,1,2,3.(2)ξ可取3,4,5,6,7.其中ξ=3表示取出编号为1,2的两张卡片.ξ=4表示取出编号为1,3的两张卡片.ξ=5表示取出编号为2,3或1,4的两张卡片.ξ=6表示取出编号为2,4的两张卡片.ξ=7表示取出编号为3,4的两张卡片.11.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型.解:(1)ξ0 1 2 3结果取得3个黑球取得1个白球2个黑球取得2个白球1个黑球取得3个白球(2)由题意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3},则η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,故η的可能取值为{6,11,16,21},显然η为离散型随机变量.12.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)离开天安门的距离η;(2)袋中有大小完全相同的红球5个,白球4个,从袋中任意取出一球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数ξ.解:(1)η可取[0,+∞)中的数.η=k表示离开天安门的距离为k(km).不是离散型随机变量.(2)ξ可取所有的正整数.{ξ=i}表示前i-1次取出红球,而第i次取出白球,这里i∈N*.。
高三数学选修2-3(B版)_《离散型随机变量的数学期望》导学案
2.3.1离散型随机变量的数学期望【学习要求】1．通过实例理解离散型随机变量数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的数学期望。
2．理解离散型随机变量数学期望的性质。
3．掌握两点分布、二项分布的数学期望。
4．会利用离散型随机变量的数学期望，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题。
【学法指导】离散型随机变量的数学期望是离散型随机变量取值的平均水平，可以利用离散型随机变量的分布列求得数学期望。
利用随机变量的数学期望可以帮助我们对实际问题做出决策。
【知识要点】1．离散型随机变量的数学期望或期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝为随机变量X的数学期望或期望，它反映了离散型随机变量取值的。
2．离散型随机变量的数学期望的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝x i)＝，i＝1，2，3，…，n，E(Y)＝＝。
3．两点分布与二项分布的数学期望（1）如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝(p为成功概率)。
（2）如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝。
【问题探究】探究点一离散型随机变量的数学期望公式及性质问题1某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题2离散型随机变量的均值有什么作用？问题3若一组数据x i(i＝1,2，…，n)的平均数为x，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的平均数为a x＋b。
那么离散型随机变量Y＝aX＋b 是否也具有类似性质？如何证明？例1已知随机变量X的分布列如下：（1）求m的值；（2）求E(X)；（3）若Y＝2X－3，求E(Y)。
小结对于aX＋b型的随机变量，可利用数学期望的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便。
2.3.1离散型随机变量均值和方差(3课时)(选修2-3)习题全
方案 1:运走设备,需花费 3800 元; 方案 2:建一座保护围墙,需花费 2000 元;但围墙不能 防御大洪水,如遇大洪水,损失费为 60000 元; 方案 3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大洪水, 损失费为 60000 元; 如遇小洪水,损失费为 10000 元;
分析:⑴如下月没有洪水,那么方案 3 最好
(2)两点分布的均值 若X~B(1，p)， 则E(X)= p (3)二项分布的均值 若X~B(n，p)， 则E(X)= np
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
新疆 王新敞
奎屯
23
解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布：
X1～B(20，0.9)
X2～B(20，0.25)
所以：EX1= n p =20×0.9=18
EX2= n p =20×0.25=5
甲所得分数的均值为：18×5=90
乙所得分数的均值为： 5×5=25
X
x1
（第一课时）
1
一．随机变量的分布列.
设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 ,L , xi ,L ,
取每一个值 xi (i 1, 2,L ) 的概率 P( xi ) pi则称表
L L L L P
px11
x2
p2
xi
pi
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.
对于离散型随机变量，确定了它的分布列， 就掌握了随机变量取值的统计规律.
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高中数学人教b 版高二选修2-3课时作业：2.3.1_离散型随
机变量的数学期望(1)_ 含解析
第二章 §2.3 课时作业41
一、选择题
1．设随机变量ξ的分布列为P (X ＝k )＝1
4，k ＝1,2,3,4，则E (X )的值为( )
A ．2.5
B ．3.5
C ．0.25
D ．2
解析：E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝1
4×10＝2.5.
答案：A
2．若X ，Y 是离散型随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则有E (Y )＝aE (X )＋b .利用这个公式计算E (E (X )－X )＝( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不确定
解析：∵E (X )是常数，
∴E (E (X )－X )＝E (X )＋E (－X )＝E (X )－E (X )＝0. 答案：A
3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )
A ．2.44
B ．3.376
C ．2.376
D ．2.4 解析：X ＝k 表示第(4－k )次命中目标， P (X ＝3)＝0.6， P (X ＝2)＝0.4×0.6， P (X ＝1)＝0.42×0.6， P (X ＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，
∴E (X )＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376.
答案：C
4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )
A ．7.8
B ．8
C ．16
D ．15.6
解析：X 的取值为6,9,12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 2
2
C 310＝115
.
E (X )＝6×715＋9×715＋12×1
15＝7.8.
答案：A 二、填空题
5．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则E (ξ)＝__________.
解析：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以
⎩⎨⎧
1
2
＋1－2q ＋q 2＝≤1－2q ≤
q 2≤1，解得q ＝1－
22
. 于是，ξ的分布列为
所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(3
2－2)＝1－ 2.
答案：1－ 2
6．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是__________．
解析：设此人获利为随机变量X ，则X 的取值是300，－100，其概率分布列为：
所以E (X )＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140. 答案：140
7．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是__________．
解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是
110，∴E (X )＝1
10
×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5. 答案：8.5 三、解答题
8．已知随机变量X 的分布列，求：
(1)E (X )；(2)若Y ＝2X －3解：由分布列的性质得
14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝1
6
. (1)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.
(2)法一：因为Y ＝2X －3，所以Y 的分布列为
所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－62
15.
法二：利用离散型随机变量的性质求解． E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×(－1730)－3＝－62
15
.
9．[2014·大纲全国卷]设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，
D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． (1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C ，
P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C ) ＝P (A 1 ·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )
＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.31.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为
P(X＝0)＝P(B·A0·C)
＝P(B)P(A0)P(C)
＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)
＝0.06，
P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)
＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)
＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)
＝0.25，
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)
＝1－0.06－0.25－0.25－0.06
＝0.38，
数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06
＝2.。