小学奥数知识名师点拨 例题精讲 解题思路 平移、旋转、割补.教师版

A1 B6
B1
A2
B2
A6
A3
B5
B3
A5
B4
A4
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【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14 题 【解析】如图，设 B6 A2 与 B1 A3 的交点为 O ，则图中空白部分由 6 个与 △A2OA3 一样大小的三角形组成，只要
【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点 P 为中心转动一个正方形．当 AB 5 厘米， BC 13 厘米， CA 12 厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积 (注意，图的尺寸不一定准确)．
P
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的 8 个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于
3
3
⑵ 拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的 1 . 3
根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以 2 ，商不变.所以原题阴影部分占整个图形 面积的 1 .
3
⑶ 等分法 将原图等分成 9 个小三角形(见右上图)，阴影部分占 3 个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的 31. 93 注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条 件不变，结论仍然成立. 【答案】 1 3
腰梯形．于是,∠ ADC =180° 110°=70°；又∠ CDC =30°,所以∠ ADC =70° 30°=40°.
【答案】 40 °
【例 13】 如图所示的四边形的面积等于多少？
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
∠ACD=70°于是∠ AC C =∠ ACD +∠ DC C =∠ ACD +∠ ABC =70°+40°=110°；
A
B
D
C
A1
B1
C1
即∠ AC C =110°=∠ CCD ；又因为 CA 只是 CA 移动的变化,所以 CA = CA ；则 ABCA 是一等
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重合到图中的 AG 了．这样就组成了一个长方形 BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长 方形 BGFD 的面积为 24 18 432 平方厘米，所以六边形 ABCDEF 的面积为 432 平方厘米． 【答案】 432
【例 5】 如图 2，六边形 ABCDEF 为正六边形， P 为对角线 CF 上一点，若 PBC 、 PEF 的面积为 3 与 4 ， 则正六边形 ABCDEF 的面积是 ．
A
I
A1
B
D
C
因为∠ABD+∠BDC=9000 而∠ABD=∠ A DB=900,所以有∠ A DB+∠BDC=900．
那么 A CD 为直角三角形,由勾股定理知 AC 2 AB2 CD2 =2500,所以 AC 50 . 而在△ A BC 中,有 A B=AD=48,有 482+142=2500,即 A B2+BC2= A C2,即△ A BC 为直角三角形．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】如图所示，将道路平移后的 16 2 10 2 112 。
【答案】112
【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是 1 厘米，空白部分是等边三角形，一共有 12 个．请算出阴影 部分的面积．
1cm
1cm
1cm
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和 12 个小三角形，再把正六边形分割成 6 个正三角形，由于
有
SA ACD
SA ABC
30 40
1 2
14 48
1 2
936 .
而| S四边形ABCD SA ACD SA ABC 936 .
评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=900 突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形
Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD 作 L 的对称图形.如下：
A l
B
D
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长为 13 的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形 OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12 的正方形，且这个正方形的面积就 是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12 144 .(也可以用勾股定理) 【答案】144
正 十 二 边 形 的 每 个 内 角 为 180 12 2 12 150 ， 所 以 阴 影 小 三 角 形 的 顶 角 等 于
150 60 2 30 ，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是 30 60 90 ，所
以通过如右上图所示的平移可以组成 6 个边长为 1 厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为12 6 6 平方厘米． 【答案】 6
△B1 A2 A3 的面积为 2
根据蝴蝶定理， B1O
A O S ∶S 3
△B1 A2 B6
△ A3 A2 B6
1∶6 ，故 S△A2OA3
1
6
6
S△B1
A2
A3
12 7
，
所以
S ∶S △A2OA3
梯形A1A 2 A3 A 6
12∶12∶1∶7 7
，
即
△
A2OA3
的
面
积
为
梯
形
A1 A2 A3 A6 面积的
正方形面积减去 4 个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为 5 13 12 30 厘米，所以 重叠部分的面积为： 302 4 (5 12 2) 780 (平方厘米)． 【答案】 780
【例 10】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知 BD 10 厘米， DC 7 厘米，求阴影部分的面积．
【例 3】 如图所示，梯形 ABCD 中， AB 平行于 CD ，又 BD 4 ， AC 3 ， AB CD 5 ．试求梯形 ABCD 的面积．
A
B
A
B
D
C
D
C
E
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答
【 解 析 】 如 右 图 ， 将 AB 沿 AC 平 移 至 CE ,连 接 BE ,在 三 角 形 BDE 中 ， 有 BD 4 ， BE AC 3 ，
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例题精讲
图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形． 【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是 10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平
行四边形，它们的宽都是 2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？
C
C1
【答案】 936
【例 12】 如图,在三角形 ABD 中,当 AB 和 CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．
A
30°
40°
B
C
? D
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】因为 AB=CD,于是可以将三角形 ABC 的边 BA 边与 CD 对齐,如下图． 在下图中有∠BCA=110°,所以
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【例 11】 四边形 ABCD 中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=900,求四边形 ABCD 的面积．
A
B
D
C
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】如下图,以 BD 的垂直平分线为对称轴 L,做△ABD 关于 L 的对称图形△ A BD.连接 A C．
C
D
O
B
E
C B
D
O E
C BP
D E
A
F
图 图 1图
A
F
图 图 2图
所以，由 △PBC 、 △PEF 的面积分别为 3 与 4，
可知正六边形 ABCDEF 的面积是 (3 4) 3 21 ．
【答案】 21
A
F
图 图 3图
【例 6】 正六边形 A1A2A3A4A5A6 的面积是 2009 平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点； 那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
1 7
，故为六边形
A1 A2 A3 A4
A5 A6
面积的
1 14
，那么空白部分的面积为正六边形面积的
1 14
6
3 7
，所以阴影部分面积为
2009
1
3 7Βιβλιοθήκη 1148(平方厘米).
【答案】1148
【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角 边分别为 2cm 和 4cm ，乙三角形两条直角边分别为 3cm 和 6cm ，求图中阴影部分的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】绕 D 点逆时针旋转 CED ，使 E 与 F 重合，则 C 点落在 AB 边上的 C ' 点处，且 C ' D CD ．则阴影
部分面积转化为直角三角形 BC ' D 的面积，所以阴影部分的面积为10 7 2 35 平方厘米． 【答案】 35
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