完全平方公式[下学期](1)
完全平方公式(1)
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2
两数和(或差)的平方,等于 它们的平方和,加上(减去)
它们的积的2倍
(2) (a-b)2等于什么？
小颖写出了如下的算式：
（a-b)2 =[a+(-b)] 2
a2 2 • a • b b2
a2 2ab b2
她是怎么想的？ 你能继续做下去吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2 -2ab+b2
(3) (2ab-1) 2 =4a2 b2 -42ab+1
(4) (- a-b) 2 =-a²a+²-2aabb+b2
练习1：运用完全平方公式计算：
(1)( 1 x 2 y)2 (2)(2xy 1 x)2
2
5
(3)(-2x+5y)2； (4)(-2m-3n)2
列各式中哪些可运用完 全平方公式进行计算(C )
A.(a+b)(a+c) B.(x+y)(-y+x) C.(ab-3x)(-3x+ab) D.(-m-n)(m-n)
2.下列各式中不能运用完全 二全项相平式同方与或公二两式项项式都进相互行乘为计，相算若反的两数是项，(完则 ) A用.完(3全a-1平)(方3a公-1式) ，B若.(一x+项y相)(-同y+、x)
练习2：运用完全平方公式计算：
(1)(2 3a2 )(2 3a2 )
(2) －(5+2x)2 (3) (x-2y)(2y-x) (4) (3a+2b)(-3a-2b)
北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式》公开课课件
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/222021/7/222021/7/227/22/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/222021/7/22July 22, 2021
•
随随堂堂练练习习
p34
1、计算：
(1) ( 1 x − 2y)2 ；
2
(2) (2xy+1 x )2 ;
5
(3) (n +1)2 − n2.
接纠错练习
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1)
∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。
(4) 右边应为: (4a−1)(4a+1)。
本节课本你节的课收你获学是到了什什么么？?
注意完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同．
= a 2 + 2a (−b) +(−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
初 识 完全平方 公式
(a+b)22 = a2+2ab+b22 .(aa−−bb)22= a2−22aabb++b2b2 结构特(a征−:b)2 = a2−2ab+b2 .
完全平方公式(1)
“用”公式，综合应用
(1)x 1x 1 x 1
2
2
(2)x 1 x 1 x 1
2 2 2
2 =x -4xy
+4y2
6
“拓”公式，思维拓展
想
+4y2
2 =x -4xy
6
“拓”公式，思维拓展
想一想
a b
3
+4y2
2 =x
两数和的平方，等于这两数的平方和， 说一说两公 加上这两数积的2倍。 式的特征 (a-b) 2 =a2 -2ab+b2
-
两数差的平方，等于这两数的平方和， 减去这两数积的2倍。
-
5
“用”公式，学以致用
(1)2x 3
2
(2)4 x 5
义务教育课程标准七年级下册
第一章
整式的乘除
1.6
完全平方公式（1）
授课人：方敏
从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依 老爷。巴依老爷有两块地，一块面积 2 2 为 a ，另一块面积为 b 而阿凡提只有一块地，面积为 (a b)
2
有一天，巴依老爷眼珠一转对阿凡提说： “我用我的两块地换你的一块地，可以 吗?”阿凡提答应了吗？
法3
利用化归思想 (a-b) =[a+(-b)]
2
2
2 2
“证”公式，以形推数 合作交流，探求新知
利用“几何图形的面积”
b
a
b
4
“说”公式，提炼提升
2 (a+b) +
=a2 + 2ab+b2
1
“识”公式，以形推数
b
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]
![6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]](https://img.taocdn.com/s3/m/6eb0435f3b3567ec102d8afb.png)
1．分解因式： 分解因式：
1) 9a 2 − 6ab + b 2 ) − a 2 − 10a − 25 ( (2 3 ) 49b 2 + a 2 + 14ab ) 4x 3y + 4x 2y 2 + xy 3 ( (4
( 5 ) x 4 − 18x 2 + 81
2 2
2.下面因式分解对吗？为什么？ 2.下面因式分解对吗？为什么？ 下面因式分解对吗
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 两个数的平方和， 平方和 或减去） 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a
2
− 2ab + b
2
= (a − b )
2
两个数的平方和，加上（或减去） 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 平方和 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
1．判别下列各式是不是完全平方式． ．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x + y ； 不是
2 2
(2) x + 2 xy + y ； 是
2 2
(3) x − 2 xy + y ； 是
2 2
(4) x + 2 xy − y ； 不是
2 2
(5) − x + 2 xy − y ． 是
2 2
你能总结出完全平方式的特点吗？ 你能总结出完全平方式的特点吗？
± 2 × 首 × 尾+ 首 尾
2
2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 判别下列各式是不是完全平方式， 判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
（1）完全平方公式
（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。
完全平方公式(人教版)(含答案) (1)
完全平方公式(人教版)一、单选题(共15道，每道6分)1.(x+2)²=r²+( )x+4,括号中的数为( )A.2B.-2C.4D.-4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式2.计算(3x-y)²的结果为( )A.9x²-37y+y2B.9x²-6y-y²C.9x2-6<y+y²D.9x²+6y-y²答案：C 解题思路：原式=(3x)²-2 ·3x:y+y²-9x²-6xy+y²故选C.试题难度：三颗星知识点：完全平方公式3.计算的结果为().答案：B解题思路：故选B.C试题难度：三颗星知识点：完全平方公式(首项为负)4.计算(-ab-c)²的结果为()A.a²g²-2abc+c²B.a²g²-abc+c²C.a²g²+c²D.a²B²+2xbc+c2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式(首项为负)5.计算(-a+2b)²-46²的结果为()A.a²-4abB.d²-2abC.a²-4ab-8b²D.d²+4ab答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式(首项为负)6.计算199²的结果为( )A.27501B.29501C.39601D.49501答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用7.计算(a-2b+c)2的结果为()A.a²+4b²+c²-4ab+4ac-2bcB.a²+4B²+c²-4ab+2ac-4bcC.a²-4B²+c²+2acD.a²+2b²+c²-2ab+2ac-4bc答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式8.若,则k的值为()A.6B.-6C.±6D.36答案：C解题思路：观察式子特征，先把等式左边用完全平方公式展开，然后和等式右边的式子对比确定字母&的值.(所以k²=36,又因为6²=36,(-6)²=36,所以=土6. 故选C . 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式9.若(xm+3m)²=m²-6mm+91²,则*的值为()A.1B.- 1C.-2D.±1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式10.若(4m-n)²=a²m²-8mn+n2,则a的值为()A.4B.-4C.±4D.16答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式11.若(2x-5p》-4x¹-m+25p²,则m的值为()A.20B.10C.-20D.±20答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式12.若(3x-w)-9x²+12y+4p²,则*的值为()A.2B.-2C.-4D.±2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式13.若(x-yj²=(x+p)²+1d,则M为( )A.2nB.-2x′C.4yD.-4xy答案：D解题思路：观察式子特征，先把等式左边和等式右边的完全平方式用完全平方公式展开，然后求出M.(x-y)²=x²-2xy+y2,(x+y)²=x²+2xy+y².:x²-2xy+y²=x²+2xy+y²+M-2x³=2xy+M-M=4xyM=-4y故选D . 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式14.若4a²+b²=(2a-b)²+M,则M为( )A.2abB.±2abC.4abD.±4ab答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式15.若x+y=4,xy=-3,则(x-y)' 的值为( )A.28B.22C.16D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用。
7年级数学北师大 版下册教案第1章《完全平方公式》
教学设计完全平方公式一、教材内容的分析（一）教材的地位和作用完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分之一，学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的延伸，同时为以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算有着举足轻重的作用，也充分体现出数学的螺旋上升的显著特点。
学习本课时可发展学生的思维品质，培养学生自主学习、合作探究、合理猜想、推理论证、学以致用的能力，提高学生将现实模型数学化的能力，增强学生对数学的理解和解决实际问题的能力，体验成功的乐趣。
（二）教学目标的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1、知道完全平方公式与多项式乘法的关系，理解完全平方公式的意义。
2、经历完全平方公式的探求过程，熟悉完全平方公式的特征，会运用完全平方公式解决一些简单问题。
3、使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。
鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力。
（三）教学重难点重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
难点：判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方。
二、学情分析初一学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难。
但学生进校以来，一直采用围坐式自主合作学习教学模式。
经过专门的小组合作学习培训，学生已具备了独立自学，合作学习和自评互评的能力，并能在导学案的引导下自主学习、合作学习、展示交流及组内组间评价。
因此，本节内容任采用围坐式自主合作学习进行内容的探究，发展学生的合情推理能力、合作交流能力。
三、教法与学法（1）教法：结合学情及本节课目标，我采用以教师为主导，学生为主体的“围坐式”小组合作学习，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。
从学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次引导学习，让不同层次的学生都能主动参与并通过爬黑板让他们得到充分的展示。
湘教版七年级下册第2章2.2.2完全平方公式第1课时(课件)
（1）下列多项式是完全平方式的是
（ D）
A. 4x²+9
B. x²+2x+4
C. x²-4x+2
D. 4x²-4x+1
解析：A只有两项，显然不是完全平方式。B中4是2²， x²+4是两数x、2的平方和，则第三项为2·x·2=4x，故B 不是完全平方式。C中-4x可写成-2·x·2，则另两项为x²， 4，而不是x²，2，因此也不是完全平方式。D是(2x-1)² 的计算结果，符合题意。
2. 运用完全平方公式计算：
(1) (x+4)²；
(3) 5m 1 2 . 2
答案：(1) x²+8x+16；
3 25m2 5m 1 .
4
(2) (2a-3)²； (2) 4a²-12a+9；
3. 下面计算正确的是
（B）
A. (m＋n)²=m²＋n² C. -x(2x＋1)=-2x²＋1
5. 我们把计算和或差的平方得到的二次三项式叫做 完 全 平 方 式 ， 例 如 计 算 (x+1)²=x²+2x+1 ， 则 x²+2x+1 叫做一个完全平方式；同样x²-2x+1也是一个完全平 方式。完全平方式的结构特征是：共有三项，其中 两项是两个数（式）的平方和，一项是加或减这两 数（式）的积的2倍。请你根据完全平方式的结构特 征解决问题：
（2）若x²＋kx+16是一个完全平方式，则k=（ D ）
A. 4
B. 8 C. 4或-4 D. 8或-8
解析：∵ x²＋kx+16是一个完全平方式， ∴ x²＋kx+16=x²±2·x·4+4²=x²±8x+16 . ∴ k=±8. 故选D.
完全平方公式(1)
完全平方公式（1）【学习目标】1、了解完全平方公式几何背景。
会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。
2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
【学习重点】会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。
【学习过程】（教师寄语：热爱生命的人一定心中充满希望，飞舞在我们人生的舞台。
）一、课前预习：学习任务一：阅读教材第36—38页内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写在下面的横线上：学习任务二：阅读课本36页---例题1以上的部分, 了解完全平方公式几何背景。
会推导完全平方公式1、思考：完全平方公式有几种推导的方法？把它们写在下面。
（1）写出完全平方公式字母表达式：（2）写出完全平方公式文字表达式：（3）分析公式左右两边的特点：左边：右边：（4）概括成口诀学习任务三：阅读课本36页例题1，完成下列问题。
1、分别指出例题1两式中的a，b。
2、总结使用完全平方公式进行计算应分几步？二、例题与训练例1.利用完全平方公式计算：(1)( 2x-3)2 (2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2 (4)2331⎪⎭⎫⎝⎛-yx当堂练习1：⑴2)6(+a⑵2)7(-x⑶2)418(y-⑷2)3(ba+例2.利用完全平方公式计算：(1) (-2x+3y)2 (2) (-2x-3y)2当堂练习2:⑴2)34(yx+-⑵2)(ba--⑶ 2)3243(y x - ⑷2533⎪⎭⎫ ⎝⎛-y xy(5)()222m m --三、拓展与探究：1.(a-b)2与(b-a)2 的关系(a-b)2=__________(b-a)2=__________ 所以(a-b)2_____ (b-a)22. (a+b)2与(-a-b)2的关系(a+b)2=__________ (-a-b)2=__________ 所以(a+b)2_____ (-a-b)2四、跟踪练习1.计算：(13x+3y)2=_____________2. 计算：26x x ++_____2(3)x =+3.填上适当的数，使等式成立：24x x -+ =(x - 2) 4.( )2=14y 2-y+15.如果a 2+ma+9是一个完全平方展开的形式,那么m=_________.6.22()()a b a b +--=________.7.下列运算中,错误的运算有( )①(2x+y)2=4x 2+y 2, ②(a-3b)2=a 2-9b 2 ,③(-x-y)2=x 2-2xy+y 2 ,④(x-12)2=x 2-2x+14,A.1个B.2个C.3个D.4个8.运用公式计算①2)32y x + ②2)631(-t③2)2(n m -- ④2)42(-mn⑤2353⎪⎭⎫⎝⎛-y xy ⑥221⎪⎭⎫⎝⎛+-cd。
15.2.2完全平方公式(1)课件
(a ± b)2=a2±2ab+b2
2=a2+b2 (1)（a+b)
(2)
2=a2-b2 (a-b)
(a ± b)2=a2±2ab+b2 运用完全平方公式计算 (1) (4m+n)2 (2)(y 1 2 2)
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2
(a ± b)2=a2±2ab+b2
完全平方公式的应用: (1) 1022 ; (2)992
解:(1) 1022 =(100+2)2
(2) 992
=1002+2×100×2+22 =10000+400+4=10404 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1=9801
2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
自己做
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.
(2) (3) .
纠
错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
请同学们完成导学案P93 问题探究一 问题探究二
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计算下列各式，你能发现什么？ (1) (p+1)2 =(p+1)(p+1)= p2+2p+1 2= (m+2)(m+2)=m2+4m+4 (2) (m+2) 2 =(p-1)(p-1)= p2-2p+1 (3) (p-1) 2 = (m-2)(m-2)=m2- 4m+4 (4) (m-2)
1.6完全平方公式第1课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
四、当堂练习
4.若(x+a)2=x2-8x+b,则a,b的值分别为( D )
A.4,16
B.-4,-16
C.4,-16
D.-4,16
5.如图所示，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个
大的正方形,根据图形用两种不同的方法表示这个大
正方形的面积,则可以得出一个等式为( D )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
=m2+2×3m+9
=4+2×2×3x+9x2
=m2+6m+9.
=4+12x+9x2.
二、新知探究
由以上计算可得： (m+3)2=m2+6m+9,
(2+3x)2=4+12x+9x2.
思考:观察算式左边和右边，你发现了什么规律？
算式左边是一个二项式（两数和）的平方；
右边是两数的平方和加上这两数乘积的两倍.
=a2-2ab+b2
b b(a-b)
a
a
二、新知探究
知识归纳
完全平方公式 （a+b)2= a2+2ab+b2 .
（a-b)2= a2-2ab+b2
.
简记为：
首平方，尾平方，
积的两倍放中央，
同号加异号减
语言描述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上
（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
=(4x)2+2·4x·0.5+0.52 =() − · · + ( ) =(2x2)2-2·2x2·3y2+(3y2)2
学好完全平方公式的三点提示
学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，供参考．一、意义特征要牢记 1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”指的是b ．这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误．要注意从以下几个方面进行区别：（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a -b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a -b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a -b)2的运算顺序是先算a -b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a -b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析：把23xy -看成a ，y x 221看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式．解：222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+（y x 221）2=2433424139y x y x y x ++例2、计算：（a-2b-c ）2分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式． 解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- ＝2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-． 说明：本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分，它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中，却经常出现这样或那样的错误，现将典型错例进行评析．一、漏掉“中间项” 例1 计算：(a+3)2 错解：(a+3)2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的2倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．正解：(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算（2y+21）2错解：（2y+21）2 = 4y 2+2y ×21+41 分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义，2y 中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍．防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a ，哪个代表字母b ．正解：（2y+21）2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41＝4y 2+2y+41三、“－”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析：本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方，应把-t 看做一个整体． 正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12＝t 2＋2t+1. 四、系数未平方 例4 计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析：首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方． 正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式，则m= 错解：因为12＝1由乘积项－2mx=2x ×1得m=-1．分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由－2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1. 正解：m=±1. 六、运算顺序错误 例6 计算2(a-) 2 错解：2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析：由乘方的定义知：2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b)，这与(2a-b) 2的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．正解：2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个：2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1，大正方形的面积可以表示为2)(b a +，也可以表示为IV III II I S S S S S ++=，同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）。
1[1].8完全平方公式2012最新
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一、完全平方公式
1、公式： (a+b)2=a2+2ab+b2；
(a-b)2=a2-2ab+b2；
2、法则：
两数和（或差）的平方，等于它们的 平方和加上（或减去）它们的积的2 倍。
3、特点：首平方，尾平方，两倍乘 积放中央，同加异减看前方。
4、注意.
(a + b )2≠a2 + b2 (a – b )2 ≠a2 - b2
=#43;p2
(a−b+c)2所得的 结果吗?
=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2
=m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np 把所得结果作为推广了的完全平方公式， 试用语言叙述这一公式：
三个数和的完全平方等于这三个数 的平方和，再加上每两数乘积的2倍。
b
a
b
b
b
a
a
a
b
图1
图2
你能从这两个图形中得到什么结论呢？
6、变式
例1.已知:a+b=5,ab=-6,
求下列各式的值：
(1)(a+b)2 (2)a2+b2
2.若条件换成a-b=5,ab=-6, 你能求出a2+b2的值吗?
例2、若9x2+mxy+4y2是一个完全平
方式，则m的值是（
）
A、12 C、±12
解: (a+b+3) (a+b−3)
= [ (a+b) +3] [ (a+b) -3] =( a+b )2− 32 =a2 +2ab+b2－9
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课堂小结：
引导学生自己归纳，总结。 我学会了什么？我能解决一些什么问题？
课后作业：
课本36页：习题1.13 1、2、3，
试一试。
感谢各位老师莅临指导
复习
a
a b c
面积： a(b+c+d)
Hale Waihona Puke 四.讲过程 例一：计算 a(b+c+d)
探索
a
Ⅰ
b
Ⅱ
Ⅲ
d
c
a(b+c+d) = ab+ac+ad
s总
S1
S2
S3
例2：计算(a+b)(c+d).
(a+b)(c+d)=
d
Ⅱ Ⅰ
Ⅳ Ⅲ
S总
ac+ad+bc+bd
S1 S2
c
a
S3 S 4
b
讲授新课
b
Ⅱ
Ⅳ
a
Ⅰ
a
Ⅲ
b
分析完全平方公式的特征：
b
Ⅱ a
b Ⅳ b
a
Ⅰ
a
a Ⅲ b
分析完全平方公式的特征：
☆
Ⅳ SⅣ=b2 b
b
Ⅱ a
SⅡ=ab b
a
Ⅰ
a
SⅠ=a 2
a Ⅲ SⅢ=ab b
思考：
1. (a+b)2=(a+b)(a+b)
2 2 =a +ab+ba+b
代数角度
2 2 =a +2ab+b
？公式中的a与b 只能代表单独一个字母
完全平方公式
农三师中学 马丽娜
一.说教材
本节是北师大版七年级数学下 册第一章第八节的内容，共需两课 时完成，本节课是第一课时，主要 是探索完全平方公式的过程，了解 公式的几何背景。并在此基础上能 进行简单的计算。
二.析学情
刚学完多项式的乘法。
易出现的错误： （1）（a+b)(c+d)=ac+bd （2） x y x y 或
2 2 2
2
x y
2
2
x2 xy y 2
（3） 2m n 2m2 4mn n2 （4） a b a 2ab b
2 2
三. 说教法
任务教学法 ＋ 探究式教学法 ＋ 课堂小组评议 ＋ 多媒体教学课件
复习 探索 讲解 练习
四.讲过程
例一：计算 a(b+c+d)
吗？可不可以是正数、负数、0、单项式 （如mn)或多项式呢？
想一想，试一试：
(2a+b)2
b
〔(x+y)+z〕2
z
x y
2a 2a
b
x y
z
例题：
计算：(x+5)2
练习：(m+n)2 ， (y+2)2 计算：(2a+b)2 练习：(2x+3)2 ， (mn+a)2 计算：(n+1)2-n2 （两种解法） 思考：(a-b)2 =？
由正方形面积的表示方法引入：
几何角度
b
b
Ⅱ Ⅰ
Ⅳ
a
a
a
b
2
Ⅲ
a ba b a b
b 2 2 aa ba ab bb a 2ab b
a
讲授新课
比较两种方法即可得出：
完全平方公式：
2 2 2 (a+b) =a +2ab+b
分析完全平方公式的特征：