双曲线
双曲线【知识要点】双曲线的定义第...
双曲线【知识要点】1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质M(x 0,y 0)为22a x -22b y =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.【基础训练】1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是 ( )A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =13.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（ ）A.10B.7732 C.27 D.5324.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）实轴长为16，离心率为45e（4）经过两点P )7,26()72,3(---Q题型二:双曲线的定义及应用例2、（2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.例3、如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是，|||PA PF 最小值是 ．题型三:双曲线的性质及应用例4、 已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。
双曲线知识点
双曲线知识点
双曲线是解析几何中的一类曲线，它们具有与椭圆相似的性质，但形状略有不同。
以下是关于双曲线的一些常见知识点：
1. 双曲线的定义：双曲线是平面上一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
2. 双曲线的方程：双曲线的一般方程形式为：$\frac{x^2}{a^2} -
\frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是双曲线的半轴长度。
3. 双曲线的性质：双曲线有两个分支，分别称为左支和右支。
左支和右支的形状相似，但是方向相反。
双曲线的中点称为顶点，两个焦点与顶点连线的中点称为中心。
4. 双曲线的焦点和离心率：双曲线的焦点与顶点的距离称为焦距，焦距的两倍等于双曲线的半轴长度。
双曲线的离心率定义为焦距与半轴长度的比值。
5. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两支无限接近。
这两条渐近线的方程为$y = \pm \frac{b}{a}x$。
6. 双曲线的对称性：双曲线关于$x$轴和$y$轴对称，也关于原点对称。
7. 双曲线的参数方程：双曲线的参数方程为$x = a\cosh(t)$和$y =
b\sinh(t)$，其中$\cosh(t)$和$\sinh(t)$分别是双曲函数的余弦和正弦。
这些是双曲线的一些基本知识点，双曲线还有更多的性质和应用，如双曲线的焦点和直线的关系、双曲线的切线和法线等。
双曲线的基本知识点总结
双曲线的基本知识点总结双曲线基本知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是由一个平面和一个双圆锥面相交，除去与锥面的两个交点（焦点）所得到的曲面。
在笛卡尔坐标系中，标准形式的双曲线方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 或 \( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，且 \( a > 0 \) 和 \( b > 0 \)。
2. 几何性质- 焦点：双曲线有两个焦点，位于主轴上，且距离为 \( 2c \)，其中 \( c^2 = a^2 + b^2 \)。
- 实轴：通过双曲线中心的一条轴，且与双曲线的两个分支相切。
- 虚轴：垂直于实轴并通过双曲线中心的轴。
- 半焦距：焦点到双曲线中心的距离，等于 \( c \)。
- 半实轴：实轴的一半，长度为 \( a \)。
- 半虚轴：虚轴的一半，长度为 \( b \)。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线的分支趋近于这些线。
渐近线的方程为 \( y = \pm \frac{b}{a}x \)。
3. 标准方程- 横向双曲线：\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，且 \( a^2 < b^2 \)。
- 纵向双曲线：\( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，且 \( a^2 < b^2 \)。
4. 双曲线的类型- 右双曲线：中心在原点，实轴向右延伸。
- 左双曲线：实轴向左延伸。
- 上双曲线：实轴向上延伸。
- 下双曲线：实轴向下延伸。
5. 双曲线的性质- 双曲线的两个分支是对称的。
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是二次函数的一种，其图像为两支分别向左右无限延伸的曲线，且这两支曲线在坐标原点处对称。
双曲线在数学、物理、工程和计算机等领域中都有广泛的应用，因此掌握双曲线的相关公式非常重要。
本文将对双曲线相关公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用双曲线。
一、基本概念1. 双曲线方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
2. 对称轴双曲线的对称轴为直线 $y=0$。
3. 渐近线双曲线存在两条渐近线，分别为 $y=\frac{b}{a}x$ 和 $y=-\frac{b}{a}x$。
4. 焦点和准线双曲线有两个焦点 F1 和 F2，它们和双曲线的准线距离相等，且准线在对称轴上方，焦点在对称轴的上方。
二、性质1. 双曲线是一种对称曲线，对称轴为 $y=0$。
2. 双曲线图像被横轴、纵轴和两条渐近线所限定。
当 $x$ 趋于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于0。
当 $y$ 趋于正无穷或负无穷时，$x$ 趋近于无穷大。
3. 双曲线有两个焦点，与双曲线的准线距离相等。
4. 双曲线的渐近线斜率为 $\frac{b}{a}$。
5. 双曲线的离心率为 $\epsilon=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，且$\epsilon>1$。
6. 双曲线的曲率半径为 $r=\frac{a^2}{b}$。
三、常用公式1. 双曲线的面积公式双曲线的面积可以通过定积分求解，公式为：$S=\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2+x^2}\cdot\frac{b}{a}dx=b\int_{-a}^{a}\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}dx=2b\left[\sqrt{a^2+x^2}\ln\left( x+\sqrt{a^2+x^2}\right)-a\ln\left(\sqrt{a^2}+a\right)\right]_{-a}^{a}=4b\left(\sqrt{a^2}+\ln\frac{2a}{a+\sqrt{a^2}}\right)$2. 双曲线的周长公式双曲线的周长公式为：$L=4a\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2\operator name{sech}^2 t}dt=4aE(\frac{b}{a})$，其中 $E(x)$ 是第一类椭圆积分。
高中数学双曲线
双曲线一、知识梳理1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a题型一双曲线的定义及标准方程例1△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 例2 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.引申探究：本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？跟踪训练 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________.(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B.210 C. 5 D.25题型二 求双曲线方程例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1) 虚轴长为12，离心率为54； (2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)过两点P (－3,27)和Q (－62，－7).(4)过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线,题型三 双曲线的几何性质例4 (1)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0(2) 已知O ，F 分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的中心和右焦点，点G ，M 分别在E 的渐近线和右支上，FG ⊥OG ，GM ∥x 轴，且|OM |＝|OF |，则E 的离心率为( )(3) A.52 B.62 C.72D.2 跟踪训练 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3D.2三、课时作业1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )2已知双曲线x 2a 2－y 2＝1的一条渐近线方程是y ＝33x ，则双曲线的离心率为( ) A.33 B.63 C.32 D.2333.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.624.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1D.x 24－y 26＝1 5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1,3) B.(－1，3) C.(0,3) D.(0，3) 6.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A.32B.16C.84D.47. 已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( ) A.233 B. 2 C. 2 D.2638.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc 3，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.53 C.132 D.1339.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG 平行于x 轴，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.3C.2D.58.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52B.⎝⎛⎦⎤1，72C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ 10.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.11.设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为____________. 12.设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 13.已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( ) A.3 B.2 C.－3 D.－2 14.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠P AQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C 的离心率为( ) A.213 B.2 C.72D.3 15.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.。
【高中数学】双曲线
则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4. [答案] B
5，＋∞ D. 3
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a，由双曲 3
线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得2a≥c－a，解得c≤5， 即 e≤5，又双曲线的离心
3
a3
3
1，5 率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
高中数学学科
(1)求 a，b，c 的值，由ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关 于 e 的方程(或不等式)求解． 2．求离心率的口诀归纳 离心率，不用愁，寻找等式消 b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
＝0，则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的 标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的 标准方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．
圆锥曲线（双曲线）
圆锥曲线（双曲线）圆锥曲线（双曲线）一．双曲线的定义（第一定义）平面内与两定点F1、F2距离之差的绝对值等于定长2a注意：⑴当2a＜|21FF|时动点P的轨迹表双曲线的轨迹表双曲线若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
⑵当2a=|21FF|时动点P的轨迹表以F1、F2为端点的两条射线为端点的两条射线⑶当2a＞|21FF|时点P不存在不存在二．双曲线的标准方程及几何性质222bac+=标准方程标准方程22221(0,0)x ya ba b-=>>22221(0,0)y xa ba b-=>>图像图像焦点坐标焦点坐标 )0,(),0,(21cFcF-)0,(),0,(21cFcF-顶点坐标顶点坐标 )0,(),0,(21aAaA-),0(),,0(21aBaB-取值范围取值范围|x|≥a，RyÎ|y|≥a，RxÎ对称轴对称轴 x轴，y轴实轴为a2、虚轴为b2准线方程准线方程cax2±=cay2±=渐近线渐近线xaby±=xaby±=离心率离心率 )1(>=eace（离心率越大，开口越大）（离心率越大，开口越大）通径通径ab22三、双曲线常规题型1．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：⑴经过两点（⑴经过两点（227,3,3））、（-7-7，，-62） ⑵双曲线经过点（⑵双曲线经过点（3,93,92），离心率为310⑶双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(⑷与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且经过点（2，－2） ⑸过点P （2，－1），渐近线方程是y ＝±3x. 2．双曲线221102x y -=的焦距为（的焦距为（） A ．32B ．42C ．33D ．433．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为的轨迹方程为（（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -+= C ．221(3)169x y y -+=≥ D ．221(3)169x y y -+=-≤4．到两定点(3,0))0,3(21F F 、-的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（的轨迹是（ ） A ．椭圆．椭圆 B ．线段．线段 C ．双曲线．双曲线 D ．两条射线．两条射线5．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为的值为( ( )A ．－14B B．－．－．－4C 4 C 4 C．．4 D.146．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为的值为 ．7．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（的渐近线方程是（ ） A ．x y32±=B ．x y94±=C ．x y23±= D ．x y 49±=8．已知双曲线的方程为1222=-2b y a x，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点2F ，m AB =||，1F 为另一焦点，则1ABF D 的周长为（的周长为（ ） A ． m a 22+ B ． m a 24+ C ．m a + D ． m a 42+9．已知双曲线4422=-y x上一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P 点到另一焦点的距离等于（一焦点的距离等于（ ） A ．10 B ．10或2 C ．526+D ．526±10．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（的取值范围是（ ） A ．1-＜k ＜1 B ．k ＞0 C ．k ≥0 D ．k ＞1或k ＜1-11．双曲线14122222=--+my m x 的焦距是（的焦距是（ ） A ．4 B ．22C ．8 D ．与m 有关有关12．过双曲线191622=-y x 左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABFD （F 2为右焦点）为右焦点） 的周长是（的周长是（ ）A ．28 B ．22 C ．14 D ．12 13．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．与曲线1492422=+yx 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（共渐近线的双曲线方程为（）A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x16．方程151022=-+-ky k x 表示双曲线，则Îk （ ） A ．（5，10） B ．（5,¥-） C ．（10，¥+） D ．),10()5,(+¥È-¥17．双曲线112422=-y x 上点P 到左焦点的距离为6，则这样的点P 的个数为（的个数为（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 1818．双曲线．双曲线)0,1(,x 122222222¹¹=-=-l l l by a b y a x 与双曲线有相同的（有相同的（ ）） A ．焦点．焦点 B ．准线．准线C ．离心率．离心率D ．渐近线．渐近线19．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件．充分不必要条件C ．充要条件．充要条件D ．非充分非必要条件．非充分非必要条件20．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为（都外切，则动圆心的轨迹为（ ）A ．抛物线．抛物线B ．圆．圆C ．双曲线的一支 D ．椭圆．椭圆21．方程22142x y t t +=--所表示的曲线为C ，有下列命题：，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则24t <<；②若曲线C 为双曲线，则4t >或2t <； ③曲线C 不可能为圆；不可能为圆； ④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线，则4t >。
双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义及其标准方程
双曲线是一个平面曲线，其形状类似于两个向外开口的抛物线。
它的定义是：点F（称为焦点）到平面上任意一点P的距离与点P到一条直线L（称为准线）的距离之差为定值e（称为离心率）的点P的轨迹。
双曲线的离心率e大于1。
双曲线的标准方程是：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a是双曲线的横轴长度的一半，b是双曲线的纵轴长度的一半。
焦点到准线的距离为c，有以下关系式：$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
双曲线有两条渐近线，分别是直线y=±b/a×x。
双曲线的形状和位置可以通过a、b和c的值来确定。
当a>b时，双曲线开口方向沿着横轴；当b>a时，双曲线开口方向沿着纵轴。
双曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
在数学中，双曲线是一种基本的曲线形式，被广泛用于微积分、代数和几何学中；在物理学中，双曲线的形状出现在许多问题中，如天体力学和电磁学中的场线。
高二年级双曲线的知识点
高二年级双曲线的知识点双曲线是高中数学中的一个重要概念，它在几何图形和函数中都有广泛的应用。
本文将介绍高二年级学生所需了解的双曲线的基本知识点，包括定义、性质和图像特征。
一、定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它可以由以下方程表示：$(\frac{x^2}{a^2}) - (\frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中 a 和 b 是正实数。
二、焦点和准线双曲线的图像由两个焦点 F1 和 F2，以及两条与 x 轴垂直的准线 L1 和 L2 组成。
焦点到准线的距离等于焦点之间的距离，即F1L1 = F2L2 = c，其中 c = $\sqrt {a^2 + b^2}$。
三、主轴和顶点对于双曲线，它的主轴是通过焦点的直线，与主轴垂直的线段称为次轴。
主轴的长度为 2a，焦点所在的直线被称为对称轴。
双曲线的顶点是主轴与对称轴的交点。
四、渐近线双曲线与两条直线分别称为渐近线。
渐近线与双曲线的距离在无限远处趋于零。
对于双曲线，渐近线与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 $\theta$ 和 90° - $\theta$。
五、图像特征双曲线的图像特点有以下几点：1. 图像在 x 轴和 y 轴上有对称性，即关于 x 轴和 y 轴对称。
2. 图像是无界的，即没有边界或端点。
3. 图像趋向于渐近线，当 x 趋于正无穷或负无穷时，双曲线的图像将无限接近于渐近线。
4. 图像可能有多个分支，每个分支都有一个焦点和两条准线。
六、经典双曲线在双曲线的研究中，有两种经典的双曲线，分别是椭圆双曲线和双曲双曲线。
它们在 a 和 b 的取值不同情况下呈现不同的图像特征。
1. 椭圆双曲线：当 a > b 时，双曲线的图像类似于两个向外张开的弯曲叶子。
2. 双曲双曲线：当 a < b 时，双曲线的图像类似于两个向内凹陷的弓形。
七、应用领域双曲线在数学的几何图形、物理学、电子工程等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，双曲线可以描述光线在折射过程中的轨迹；在电子工程中，双曲线可以用于描述电子流的传输特性。
双曲线的性质
双曲线的性质双曲线是二次曲线的一种，由于其独特的形状和数学性质，被广泛研究和应用于各个领域。
本文将介绍双曲线的定义、特点以及相关性质。
1. 定义双曲线是平面上的一类曲线，它由一个固定点F（焦点）和一条固定直线d（准线）所确定。
对于平面内的任意点P，其到焦点F的距离减去到准线d的距离的差值是一个常数。
2. 形状特点与椭圆和抛物线相比，双曲线的形状更为特殊。
它具有两个分离的不封闭曲线分支，这使得双曲线在图像上呈现出两个向外开放的“臂膀”的形状。
而且，双曲线的两个分支无限延伸，永不相交。
3. 方程表达双曲线的方程有多种表达形式，其中最常见的是标准方程和参数方程。
标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是与双曲线相关的参数。
参数方程则可以通过参数化x和y的函数得到，例如x = a*secθ，y = b*tanθ。
4. 焦点与准线双曲线的焦点与准线是定义双曲线的两个重要元素。
焦点是曲线上所有点到焦点的距离与准线距离之差值相等的点，而准线是曲线上所有点到准线的距离与焦点距离之差值相等的直线。
这种关系使得焦点与准线在双曲线上具有对称性。
5. 渐近线双曲线还具有一对渐近线，即曲线在无穷远处趋近的直线。
对于标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的双曲线，其渐近线为y = (b/a)x和y = -(b/a)x。
渐近线与双曲线的关系十分特殊，它们无限接近但永远不会相交。
6. 对称性双曲线具有许多对称性质。
首先，双曲线关于x轴和y轴均对称，这意味着曲线上的任意两个点关于x轴或y轴的对称点也在曲线上。
其次，双曲线对于焦点和准线也具有对称性，这意味着双曲线上的任意两个点关于焦点或准线的对称点也在曲线上。
7. 相交与切线双曲线与直线和其他曲线的相交及切线问题也是研究的重点之一。
双曲线与直线的相交可能有零个、一个或两个交点，其具体情况取决于直线与曲线的位置关系。
而双曲线与其他曲线的切线问题则涉及到曲线的斜率和导数概念，在求解过程中需要运用微积分的知识。
双曲线定义及性质整合
双曲线定义及性质的应用一、双曲线的定义双曲线第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.例1.已知F 是双曲线22:122x y C -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，()0,2A .求APF ∆周长的最小值及此时P 的坐标.【解析】双曲线左焦点1(2,0)F -，则有12PF PF a -=，则12AF AP PF AF AP PF a ++=+++12AF AF a ≥++1262AF AF a =++=，当且仅当1,,A P F 共线时取等号，即APF ∆周长最小为62.此时直线1AF 方程为2y x =+，与双曲线联立得到031(,)22P -.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时，常利用双曲线的第一定义及三角形三边关系. 2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.练习1. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点,则PF PA +的最小值为________.9【解析】双曲线右焦点2(4,0)F -，22229PF PA a PF PA a AF +=++≥+=，当且仅当2,,A P F 共线时取等号.练习 2.P 为双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆22(4)4x y ++=，和22(4)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为__________．【答案】5.提示：例2. 已知双曲线22:14x C y -=，P 是C 右支上的任意点.（1）设点A 的坐标为(3,0)，求PA 的最小值，及此时P 点坐标. （2）设右焦点为2F ，求2PF 的最小值，及此时P 点坐标.【解析】（1）设P 的坐标为(,)x y ，则2x ≥，2222(3)(3)14xPA x y x =-+=-+-225512468()4455x x x =-+=-+，又因为2x ≥，则当125x =时PA 最小值为255，此时1211(,)55P ±. （2）设P 的坐标为(,)x y ，则2x ≥，右焦点2(5,0)F ，2222(5)(5)14xPA x y x =-+=-+-2545()45x =-，又因为2x ≥，则当2x =时PA 最小值为52-（即c a -），此时(2,0)P . 双曲线第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)1(>e e ，则动点M 的轨迹叫做双曲线.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），左、右准线分别为2a x c=±，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.例1.已知点P 为2213y x -=上一点，右焦点2F ，(5,3)A ，（1）求21||||2PA PF +的最小值，及此时P 点坐标. （2）求21||||2PA PF -的最大值，及此时P 点坐标.【解析】（1）易知2e =，设点P 到与右焦点2F 相应的右准线12x =的距离为d ，则2||2PF e d ==，则21||||||2PA PF PA d +=+，则当直线垂直于准线时合题意，且点P 在双曲线的右支上，此时点P 纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P 的坐标为(2,3).（2）21||||||2PA PF PA d -=-，即在双曲线上求点P ，使得点P 到定点A 的距离与到右准线12x =的距离之差最大，则点P 在双曲线的左支上，直线垂直于准线时符合题意，且此时点P 的纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P 坐标为(2,3)-.练习1. 已知点(3,2),(2,0)A F 在双曲线2213y x -=上求一点P ，使1||||2PA PF +的值最小.【答案】21(,2)3. 例2.已知P 是双曲线221169y x -=右支上的动点，点F 是双曲线的右焦点，定点()8,4A ，求45PF PA +的最小值.24【解析】如图，设1P 为P 在右准线165x =上的投影，1A 为A 在右准线165x =上的投影，154F PP P e ==，45PF PA +155PP PA =+1116)55(85()245PP PA AA ≥=⨯-==+，此时P 与1A ，A 共线，在如图0P 位置.练习2. 已知P 是双曲线2211620y x -=右支上的动点，点P 是双曲线的右焦点，定点()7,6A ，求23PF PA +的最小值. 【答案】19.双曲线第三定义第三定义：在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是双曲线上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-==⋅e ab k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PBPA =⋅） 推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=-b y a x ①，1221221=-b ya x ②；由①－②得22122212b y y a x x -=-，所以22212212a b x x y y =--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==-+-为定值． 例1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长为4，若点P 是双曲线上一点，过原点的直线l 与双曲线相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121=⋅k k ，则双曲线的方程为 . 1422=-y x 【解析】由第三定义知4122=a b ，且42=a ，则双曲线方程为1422=-y x . 二、双曲线的性质（1）双曲线的通经长为22b a；（2）设P 双曲线右支上一点，12,F F 分别是左右焦点，则1PF c a ≥+，2PF c a ≥-，当且仅当P 为右支顶点时取等号；（3）双曲线的焦点到准线的距离为b ；（4）双曲线上的任意点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值222a b c；（5）设P 为双曲线上任一点，三角形21F PF ∆的内切圆与x 轴的切点为)0,(a 或)0,(a -（内切圆圆心在直线a x =或a x -=上）；推导过程：（3）)0,0(12222>>=-b a by a x 双曲线的右焦点为(,0)c ，准线为0bx ay ±=，焦点到渐近线的距离bcd b c===；（4）设双曲线上的点00(,)P x y ，则有1220220=-by a x ，即22202202b a y a x b =-，渐近线分别为0bx ay -=，0bx ay +=，则点00(,)P x y 到渐近线的距离0000122bx ay bx ay d cb a --==+，002bx ay d c+=，则22222200000012222()()b x a y bx ay bx ay a b d dc c c--+===. （5）证明：设21F PF ∆的内切圆与三条边分别相切与点S R Q ,,.P 是双曲线右支上的点，由双曲线的定义知a PF PF 221=-，a SF PS QF PQ 2)()(21=+-+①，因为S R Q ,,为切点，则2211,,RF SF RF QF PS PQ ===，则①式即为a RF RF 221=-，设切点)0,(R x R ，则有a x c x c R R 2)(=--+，则a x R =，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴的切点为)0,(a .当P 是双曲线左支上的点时，同理可证切点为)0,(a -.离心率问题1.基本方法：从定义出发，找到,,a b c 的等式或不等式；2.几何法：根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如等腰、钝角、锐角，中垂线，垂直、内外切等.（双曲线本身所具有的不等关系）例1：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别是12,F F ，若P是其上的一点，且122PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是______.(1,3]e ∈【解析】122PF PF a -=，122PF PF =，则124,2PF a PF a ==，则P 在双曲线的右支上，则有可知2PF c a ≥-，即2a c a ≥-，则3e ≤，则(1,3]e ∈.（或由1PF c a ≥+解得(1,3]e ∈）.例2.如图，12,F F 是椭圆2214x y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.62e =【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面124AF AF +=，在12Rt AF F ∆中满足2221212AF AF F F +=，解得1222,22AF AF =-=+，则在双曲线中2,3a b ==，则62e =. （直线和双曲线的位置关系）例3.已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.[2,)+∞【解析】过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线和右渐近斜率的关系，如果这条直线的斜率为k 小于等于右渐近线by x a=的斜率，则与右渐近线只有一个交点，如上图所示可得 3ba≥，解不等式可求出2e ≥. 练习1.设双曲线2221x y a -=与直线:1l x y +=相交于不同的点,A B ，求双曲线的离心率的取值范围.6(,2)(2,)2⋃+∞【解析】联立化简得2222(1)220a x a x a -+-=，所以210,0a -≠∆>，即02,1a a <<≠，22111a e a a+==+，所以62e >且2e ≠. 例4.已知12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
高考数学知识点总结：双曲线知识汇总
高考数学知识点总结：双曲线知识汇总双曲线方程双曲线的第一定义:⑴①双曲线标准方程:. 一般方程:.⑵①i. 焦点在x轴上: 顶点: 焦点: ?准线方程渐近线方程:或ii. 焦点在轴上:顶点:. 焦点:. 准线方程:. 渐近线方程:或,参数方程:或 .②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则:构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:.⑸共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.例如:若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程?解:令双曲线的方程为:,代入得.⑹直线与双曲线的位置关系:区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m︰n.简证: =.常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。
解析几何中的双曲线
解析几何中的双曲线双曲线是解析几何中的一类曲线，由一对焦点和一条连接两个焦点的直线构成。
本文将对双曲线的定义、性质以及应用进行详细的解析。
一、双曲线的定义双曲线是与两个焦点F1和F2的连线长度之和为常数的点P的轨迹。
这意味着对于双曲线上的任意一点P，它到焦点F1的距离加上到焦点F2的距离等于常数。
二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b为常数。
该方程描述了具有两个焦点和两条渐近线的双曲线。
三、双曲线的性质1. 双曲线是关于x轴和y轴对称的。
即，如果点P(x, y)在双曲线上，则点P'(-x, y)、P(x, -y)和P'(-x, -y)也在双曲线上。
2. 双曲线有两条渐近线，分别与x轴和y轴相交于原点，并且与曲线无限趋近于平行。
3. 双曲线的离心率定义为c/a，其中c为焦点之间的距离，a为半焦距。
离心率决定了双曲线的形状，当离心率小于1时，双曲线的形状较为扁平；当离心率大于1时，双曲线的形状较为狭长。
4. 双曲线上不存在对称中心，没有对称轴和顶点。
四、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有许多应用。
1. 光学中的反射定律：双曲线被广泛应用于光学中的反射定律研究中。
根据反射定律，光线从一个焦点入射于双曲线，并反射到另一个焦点上。
2. 天体力学中的轨道：行星的运动轨迹可以用双曲线描述。
行星围绕太阳运动时，在一些特定的情况下，其轨道可以近似为一个双曲线。
3. 电磁学中的电场和磁场：在电磁学中，电场和磁场的密度分布常常呈现出双曲线的形状。
通过双曲线的性质，我们可以更好地理解电磁场的行为规律。
综上所述，双曲线作为解析几何中的重要曲线之一，具有独特的定义、特点和应用。
通过深入研究和理解双曲线的性质和公式，我们能够更好地应用双曲线解决问题，并在相关领域中取得更多的研究成果。
数学双曲线讲解
双曲线是几何学中的一种重要曲线，它定义在平面上的一个点集，这个点集由满足某种条件的点的集合组成。
具体来说，双曲线是由平面与一个固定焦点的距离和另一个固定点（称为中心）的距离之差等于常数的点的集合。
这个常数可以是正数、负数或零，这决定了双曲线的形状和性质。
当常数大于零时，双曲线有两个分支，它们像两个翼片一样展开，并随着接近无穷远处而趋于平行。
双曲线的两个分支在焦点之间相遇，形成一个封闭的曲线。
双曲线的离心率是一个重要的几何量，它表示双曲线与直线之间的偏离程度。
双曲线的标准方程是(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a 和b 是常数，它们决定了双曲线的形状和大小。
离心率 e = c/a，其中c 是焦点到中心的距离，a 是中心到顶点的距离。
双曲线的应用非常广泛，包括天文学、光学、工程学和物理学等领域。
在天文学中，行星和卫星的运动轨迹可以用双曲线或椭圆来描述。
在光学中，透镜的形状和光学路径可以用双曲线来描述。
在工程学中，桥梁、建筑和航空器的设计可以涉及到双曲线的应用。
在物理学中，双曲线用于描述粒子的运动轨迹和波的传播路径。
总之，双曲线是一种重要的几何曲线，它具有丰富的性质和应用。
通过深入了解双曲线的性质和方程，我们可以更好地理解其应用和解决问题。
双曲线知识点
双曲线知识点双曲线在数学中是一个非常重要且广泛应用的概念。
它被广泛用于物理、经济学、工程学等领域，其中最广为人知的应用就是双曲线的参数方程在计算机图形学中的使用。
首先，我们来了解一下什么是双曲线。
双曲线是由一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的所有点的集合。
这两个给定点被称为焦点，而这个常数则被称为双曲线的离心率。
根据离心率的不同取值，双曲线分为以下几种情况：当离心率小于1时，双曲线呈现出两支扭曲的形状；当离心率等于1时，双曲线变成两条平行的直线；当离心率大于1时，双曲线再次呈现出两支扭曲的形状。
在物理学中，双曲线被广泛用于描述光线的传播。
光线在两个不同介质之间传播时，其传播路径可以用双曲线来描述。
这是因为在两个介质之间存在着折射现象，而根据光的折射定律，我们可以得到光线在不同介质中传播的路径方程就是一个双曲线。
这在光学仪器的设计和光通信等领域发挥了重要作用。
在经济学中，双曲线被用于描述效用函数和边际效用的关系。
效用函数描述了人们对不同物品或服务的偏好程度，而双曲线则可以用来描述效用函数中边际效用的变化。
这对于经济学家来说，是解释消费者行为和制定政府政策的有力工具。
在工程学中，双曲线被用于描述一些物理过程中的变化。
例如，在无线通信中，信号的传播路径通常可以用双曲线方程来描述。
这对于设计和优化无线通信网络的覆盖范围和信号强度分布非常有帮助。
除了上述应用领域外，双曲线还被广泛应用于计算机图形学中。
计算机图形学是一门研究如何生成、表示和处理计算机图像的学科。
在计算机图形学中，双曲线被广泛用于描述曲面的形状和路径。
通过将双曲线方程与三维空间中的平面或曲面方程相结合，可以实现对物体的仿真和渲染。
总结起来，双曲线是一个重要且广泛应用的数学概念。
它不仅在物理学、经济学和工程学中有着重要的应用，还在计算机图形学中发挥了重要作用。
通过深入学习双曲线知识，我们可以更好地理解和应用这个概念，推动各个领域的发展和创新。
双曲线的全部知识点
双曲线的全部知识点双曲线是一种重要的数学曲线，它是由平面上一个动点到两个定点距离之差等于常数的轨迹生成的。
双曲线有许多重要的性质，被广泛应用于物理、工程和经济等领域，下面将为大家介绍双曲线的全部知识点。
1. 导出双曲线方程双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a和b分别为双曲线方程中心点到焦点的距离和横轴半长轴和纵轴半长轴。
2. 双曲线的几何性质双曲线有许多重要的几何性质，例如双曲线的中心点为坐标原点，两个确定双曲线的定点称为焦点，距离为2a，双曲线的两条渐近线分别是y=b/a*x和y=-b/a*x。
双曲线横轴和纵轴之间的夹角为θ，而双曲线方程中的公式则为tanθ=b/a。
3. 双曲线的应用双曲线在物理、工程和经济学等领域中都有广泛的应用。
例如，在天文学中，双曲线用于描述球面反射器的光学性质；在工程领域，双曲线用于计算冲击波的速度和位置；在经济学中，双曲线用于描述罕见事件的概率分布。
4. 双曲线的变形双曲线可以通过平移、旋转和伸缩等方式进行变形。
其中，平移和旋转会保持双曲线的基本形状不变，而伸缩则会导致双曲线的长轴和短轴比例发生变化，从而改变其整体形状。
5. 双曲线的图像和性质双曲线的图像是一条典型的曲线，其形状特征为两个分离的弧形与两条渐近线。
双曲线具有许多特殊的性质，例如其对称轴为x、y轴，其上每个点的切线均垂直于通过焦点的两直线。
总之，双曲线是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用价值，对于学习和掌握其相关知识点，对于计算机学习、经济学和天文学等学科领域的学生和从业者来说都非常重要。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
三、双曲线的简单几何性质
焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2
焦点在 y 轴上
y2 x2 a2 b2
- =1(a>0,b>0) a2 b2
- =1(a>0,b>0)
图形
范围 对称性 顶点 焦点 轴 焦距
|x|≥a,y∈R
关于 x 轴、y 轴、原点对称 顶点(±a,0) (±c,0)
第八章
从教材中双曲线的定义入手,重视双曲线标准方程的应用,重视 与平面几何、 向量等基础知识的融合,加大教材中待定系数法求双曲 线标准方程的改编力度. 已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=(
1 换成 0 得来的.
3.了解双曲线的简单应用,了解双曲线的实际背景,了解双曲线 第八章 高考第一轮复习用书²数学(理科) 在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
������ 2 ������ 2 E: 9 -16 =1
1.(2015 年福建卷)若双曲线
的左、右焦点分别为 F1、F2, ). D.3
的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
【解析】(1)∵点 P(2,1)在双曲线 C 的渐近线 y=������ x 上,
������
∴1= ������ ,∴a=2b.又∵ ������2 + ������ 2 =5,即 4b2+b2=25,
������ 2 ������ 2 ∴b =5,a =20,故所求双曲线的标准方程为20- 5 =1. ������ 2 2 (2)设所求双曲线的方程为 -y =λ, 4 ������ 2 ������ 2 当λ>0 时,双曲线的标准方程为 - =1, 4������ ������
【答案】A
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
根据下列条件,分别求双曲线的标准方程. (1)已知双曲线 上; (2)渐近线方程为 y=± x,焦距为 10; (3)经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-,离心率等于
3 . 2 1 2 ������ 2 ������ 2 C:������ 2 -������ 2 =1
第八章
3.(2015 年广东卷)已知双曲线
������ 2 ������ 2 A. 4 - 3 =1 ������ 2 ������ 2 C. - =1 16 9 ������ 2 ������ 2 B. 9 -16 =1 ������ 2 ������ 2 D. - =1 3 4
������ 2 ������ 2 C:������ 2 -������ 2 =1
点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( A.11 B.9 C.5
【答案】B
2.(2014 年新课标全国Ⅰ卷)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一 个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( ). A. 3 B.3 C. 3m D.3m
【答案】A
高考第一轮复习用书²数学(理科)
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
二、双曲线的标准方程 (1)焦点在 x
2 2 2
������ 2 ������ 2 轴上的双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0),其 ������ ������ ������ 2 ������ 2 轴上的双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0),其 ������ ������
的左、右焦点分别为 F1、F2, ). D.3
点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( A.11 B.9 C.5
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
一、双曲线的定义 平面内到两个定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a (小于 |F1F2|)的点的集合叫作双曲线,这两个定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点, 两焦点 F1,F2 间的距离叫作双曲线的焦距. (1)定义的数学表达式为||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). (2)在双曲线的定义中,当 2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线; 当|F1F2|>2a 时,动点的轨迹是不存在的.
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
(3)设双曲线方程为 mx -ny =1(mn>0).
2
2
∴
9������-28������ = 1,
解得 72������-49������ = 1, ������ =
������ = -
1 , 75 1 - 25 .
������ 2 ������ 2 ∴双曲线的标准方程为25 -75=1.
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
§8.3 双 曲 线
1.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用,了解双曲线的实际背景,了解双曲线 在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
������ 2 ������ 2 E: 9 -16 =1
1.(2015 年福建卷)若双曲线
C 的渐近线方程为(
).
(2)(2015 年山东省日照市高考数学二模试卷理科)如果双曲线
������ 2 ������ 2 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 ������ 2 ������ 2
3x-y+ 3=0 平行,则双曲线
的离心率为
. ������ 2 ������ 2 (3)已知双曲线������ 2 -������ 2 =1(a>0,b>0)的离心率 e= 2,则一条渐近线
轴上,渐近线的斜率为± ,当焦点在 y 轴上,渐近线的斜率为± .
������ 2 ������ 2 ������ ������ 5.双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程 y=± x 可变形为 =± ������ ������ ������ ������ ������ ������ 2 ������ 2 ,即������ 2 -������ 2 =0,所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的 ������ ������ ������ ������ ������
第八章
双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点,归 纳起来常见的命题有:已知离心率求渐近线方程;已知渐近线求离心 率;利用渐近线与已知直线的位置关系求离心率范围;已知离心率确 定渐近线夹角等问题.
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
(1)(2013 年新课标全国Ⅰ卷)已知双曲线
������ 2 ������ 2 5 C:������ 2 -������ 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2 ,则 1 1 A.y=±4x B.y=±3x 1 C.y=± x D.y=±x 2
2 2
2������
∴c= 5������=5,即λ=5.
当λ<0 时,双曲线的标准方程为 ������ 2 ������ 2 -������ -4������
=1,
∴c= -5������=5,即λ=-5,
������ 2 ������ 2 ∴所求双曲线的标准方程为20 - 5 =1 ������ 2 ������ 2 或 5 -20 =1.
(4)由双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),知 c=3. 由离心率 e=2,知������ =2,则 a=2,故 b2=c2-a2=9-4=5, 故双曲线 C
������ 2 ������ 2 的标准方程为 4 - 5 =1. 3 ������ 3
双曲线的渐近线与离心率问题
高考第一轮复习用书²数学(理科)
. y=2x 有交点,则双曲线
������ 2 ������ 2 (4)已知双曲线������ 2 -������ 2 =1(a>0,b>0)与直线
与实轴所成锐角的值是
的离心率的取值范围为
.
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
������ ������ 2 +������ 2 5 【解析】(1)根据双曲线的离心率 e= = = 2 ,解得 ������ ������ ������ 1 1 以������ =2,所以双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x. ������ (2)由题意可知������ = ������ 2 ������ 2 -������ 2 ������ 2 3,得������ 2 =3,即 ������ 2 =3,∴������ 2 =4,
曲线上一点和两端点构成的三角形)研究它们之间的相互关系.
高考第一轮复习用书²数学(理科)
第八章
1.应用双曲线的定义时要注意“绝对值等于常数”“且该常数 小于两焦点间的距离”,若无“绝对值”三字,则为双曲线的一支. 2.双曲线的标准方程中对 a、b 的要求只是 a>0,b>0,与椭圆的 标准方程中对 a、b 的要求不相同;在椭圆中 a2=b2+c2;而在双曲线中 c2=a2+b2;双曲线的离心率 e>1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). 3.双曲线与椭圆的标准方程均可记为 mx2+ny2=1(mn≠0),其中 m>0,n>0,且 m≠n 时表示椭圆;mn<0 时表示双曲线,合理使用这种形 式可避免讨论. 4.双曲线渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在 x
的离心率 e=4,且其右焦点
5
为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为(
).
【答案】C
4.(2015
������ 2 ������ 2 年安徽省黄山市二模)已知双曲线������ 2 -������ 2 =1