【配套K12】2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程试题理北师大版
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第九章 平面解析几何 9-1 直线与方程 含答案 精品
第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线与方程(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(4)理解数形结合的思想．(5)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝__________________________．②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠1．(1)|x 2-x 1| (2)①()x 2-x 12＋()y 2-y 12②x 1＋x 22y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90°解：由图可知，α2＝α1＋90°＝1＝tan30°＝33，直线tan120°＝- 3.故填33；【点拨】①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程解法一：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得，当且仅当3a ＝2b时等号成立，这时，从而所求直线l 的方程为2x 解法二：依题意知，直线l 的斜率的方程为y -2＝k (x -3)(，B (0，2-3k )，)⎝ ⎛⎭⎪⎫3-2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（-9k ）＋4-k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（-9k ）·4-k＝12×(12＋12)＝12，当且仅当-9k ＝4-k ，即k ＝-23时，等号成立．所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y -12＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x -y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x -y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.因为A 1与A 关于直线l ：2x -y ＋2＝0对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1-5x 1-4×2＝-1，2×x 1＋42-y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.所以A 1(0，7)．易求得A 2(4，-5)，所以△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4-0）2＋（-5-7）2＝410.。
【配套K12】2018年高考数学总复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程学案
第8讲 曲线与方程最新考纲 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知 识 梳 理1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y ). (3)列式——列出动点P 所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x ，y 的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.两曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解.若此方程组无解，则两曲线无交点.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件.( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线.( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线.( )解析 对于(2)，由方程得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y ＝x 是曲线x ＝y 2的一部分，错误.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A.满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上B.方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程C.方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是曲线CD.以上说法都正确解析 曲线C 可能只是方程f (x ，y )＝0所表示的曲线的一部分，因此答案C 正确. 答案 C3.已知M (－1，0)，N (1，0)，|PM |－|PN |＝2，则动点P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线D.双曲线右支解析 由于|PM |－|PN |＝|MN |，所以D 不正确，应为以N 为端点，沿x 轴正向的一条射线. 答案 C4.已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________. 解析 连接OP ，则|OP |＝2，∴P 点轨迹是去掉M ，N 两点的圆，∴方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2). 答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5.(选修2－1P35例1改编)曲线C ：xy ＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________. 解析 曲线xy ＝2上任取一点(x 0，y 0)，则x 0y 0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x 0||y 0|＝|x 0y 0|＝2. 答案 26.(2017·宁波月考)设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，(1)当a ＝3时，点P 的轨迹是________； (2)当a ≠3时，点P 的轨迹是________. 解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a ＝6(a >0).(1)当a ＝3时，a ＋9a＝6，此时|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，P 点的轨迹为线段F 1F 2， (2)当a ≠3，a >0时，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|. 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆. 答案 (1)线段F 1F 2 (2)椭圆考点一 直接法求轨迹方程【例1】 (2017·义乌模拟)已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l 过定点.(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )， 由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点. ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝（x －4）2＋y 2，∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0).当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1，0). 规律方法 利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简. (2)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13，则动点P 的轨迹方程为________.解析 因为点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1).设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1).故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1).答案 x 2＋3y 2＝4(x ≠±1) 考点二 定义法求轨迹方程【例2】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.解 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x 24＋y23＝1(x ≠－2).规律方法 (1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程. (2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.【训练2】 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4，动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2，0)，O 2(2，0). 设动圆M 的半径为r ， 则由动圆M 与圆O 1内切， 有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点， 实轴长为3的双曲线的左支. ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－ 4y 27＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. 考点三 相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点.求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0).设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝ －y 0x 0－3(x －3).②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 2＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0).规律方法 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）；(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程. 【训练3】 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D.x 2＋4y 23＝1(y ≠0) 解析 依题意知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y3即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入x 204＋y 203＝1，得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0).答案C[思想方法]求轨迹方程的常用方法1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.3.相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. [易错防范]1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.。
[推荐学习]2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程试题理新人教版
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2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线. 答案 D2.(2017·衡水模拟)若方程x 2＋y 2a＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A.任意实数a 方程表示椭圆B.存在实数a 方程表示椭圆C.任意实数a 方程表示双曲线D.存在实数a 方程表示抛物线解析 当a >0且a ≠1时，方程表示椭圆，故选B. 答案 B3.(2017·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1D.4x 225＋4y221＝1 解析 ∵M 为AQ 的垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆. ∴a ＝52，∴c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴M 的轨迹方程为4x 225＋4y221＝1.答案 D4.设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A.y 2＝2xB.(x －1)2＋y 2＝4C.y 2＝－2xD.(x －1)2＋y 2＝2解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案 D5.平面直角坐标系中，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.圆D.双曲线解析 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝ y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5 ，所以点C 的轨迹为直线，故选A. 答案 A 二、填空题6.已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为__________. 解析 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |， 得（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π. 答案 4π7.已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为________.解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1， y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . ∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x . 答案 y ＝2x8.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________.解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点.则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |， |AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2， ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2).答案x 22－y 22＝1(x ＞2) 三、解答题9.如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点.求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3).② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 2＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).10.(2017·广州模拟)已知点C (1，0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点. (1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.解 (1)连接CP ，OP ，由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ， ∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2， 即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9， 化简，得x 2－x ＋y 2＝4.(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，其中p2＝1.∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4得x 2＋3x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－4，由x ≥0， 故取x ＝1，此时y ＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4)解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6<10＝|AB |，根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 29－y 216＝1(x >3). 答案 C12.已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝－8x C.y 2＝4xD.y 2＝－4x解析 MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y ).∴|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2).根据已知条件得4（x ＋2）2＋y 2＝4(2－x ).整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 答案 B13.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________.解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案 x 24a 2＋y 24b2＝114.(2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.解 由题设F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以 AR ∥FQ .(2)设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去). 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b2＝y ， 所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合. 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.。
2018版高考数学文北师大版大一轮复习讲义教师版文档
第3课时 定点、定值、探索性问题题型一 定点问题例1 (2016·长沙模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．(1)解 设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3. ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得直线l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点． 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．(2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝22，F 是右焦点，A 是右顶点，B 是椭圆上一点，BF ⊥x 轴，|BF |＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：x ＝ty ＋λ是椭圆C 的一条切线，点M (－2，y 1)，点N (2，y 2)是切线l 上两个点，证明：当t ，λ变化时，以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点坐标． 解 (1)由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，①焦点F (c,0)，因为c a ＝22，②将点B (c ，22)的坐标代入方程①得c 2a 2＋12b 2＝1.③由②③结合a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，b ＝1. 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋λ得(2＋t 2)y 2＋2tλy ＋λ2－2＝0.因为l 为切线，所以Δ＝(2tλ)2－4(t 2＋2)(λ2－2)＝0， 即t 2－λ2＋2＝0.④设圆与x 轴的交点为T (x 0,0)，则TM →＝(－2－x 0，y 1)，TN →＝(2－x 0，y 2)． 因为MN 为圆的直径， 故TM →·TN →＝x 20－2＋y 1y 2＝0.⑤ 当t ＝0时，不符合题意，故t ≠0. 因为y 1＝－2－λt ，y 2＝2－λt，所以y 1y 2＝λ2－2t2，代入⑤结合④得TM →·TN →＝(x 20－2)t 2＋λ2－2t 2＝(x 20－1)t 2t 2，要使上式为零，当且仅当x 20＝1，解得x 0＝±1. 所以T 为定点，故动圆过x 轴上的定点(－1,0)与(1,0)， 即椭圆的两个焦点． 题型二 定值问题例2 (2016·广西柳州铁路一中月考)如图，椭圆有两顶点A (－1，0)，B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程； (2)当点P 异于A ，B 两点时，求证：OP →·OQ →为定值． (1)解 ∵椭圆的焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得b ＝1，c ＝1，∴a ＝2， ∴椭圆的方程为y 22＋x 2＝1.当直线l 的斜率不存在时，|CD |＝22，与题意不符； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，化简得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0, 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2.∴|CD |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·(－2k k 2＋2)2＋4·1k 2＋2＝22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2.∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0，k ≠±1)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， ∴点P 的坐标为(－1k，0)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，且直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y ， 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1). ∵－1<x 1<1，－1<x 2<1，∴x ＋1x －1与y 2y 1异号，(x ＋1x －1)2＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2 ＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1－2k k 2＋2－1k 2＋21＋2k k 2＋2－1k 2＋2＝(k －1k ＋1)2，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝k 2(－1k 2＋2)＋k (－2kk 2＋2)＋1＝－2(1＋k )2(k －1)(k 2＋2)(k ＋1)，∵k －1k ＋1与y 1y 2异号，∴x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k ，故点Q 的坐标为(－k ，y 0)， OP →·OQ →＝(－1k ，0)·(－k ，y 0)＝1，故OP →·OQ →为定值．思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．(2016·大庆质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是12，其左，右顶点分别为A 1，A 2，B 为短轴的一个端点，△A 1BA 2的面积为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：x ＝22与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的动点，直线A 1P ，A 2P 分别交直线l 于E ，F 两点，求证：|DE |·|DF |为定值．(1)解 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)． 设P (x 0，y 0)，由题意可得－2<x 0<2，所以直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝22，得y ＝(22＋2)y 0x 0＋2，即|DE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2，同理，直线A 2P 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝22，得y ＝(22－2)y 0x 0－2，即|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2，所以|DE |·|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2＝4y 20|x 20－4|＝4y 204－x 20， 将y 20＝3(4－x 20)4代入上式，得|DE |·|DF |＝3，故|DE |·|DF |为定值3. 题型三 探索性问题例3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD→＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3. 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．(2016·景德镇质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点与F 2重合，A 为曲线C 和E 的一个交点，|AF 1|＝73，|AF 2|＝53，且∠AF 2F 1为锐角．(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)若动点M 在椭圆C 上，动点N 在直线l ：y ＝23上，若OM ⊥ON ，探究原点O 到直线MN 的距离是否为定值，并说明理由．解 (1)2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，a ＝2， 设A (x ，y )，F 2(c,0)，⎩⎨⎧(x ＋c )2＋y 2＝(73)2，(x －c )2＋y 2＝(53)2⇒cx ＝23，由x ＋c ＝53得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，c ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，c ＝23，(∠AF 2F 1为锐角，应舍去)，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线方程为y 2＝4x .(2)①若直线ON 的斜率不存在， |ON |＝23，|OM |＝2，|MN |＝4， d ＝|OM |·|ON ||MN |＝ 3.②若直线ON 的斜率存在，设直线OM 方程为y ＝kx ，代入x 24＋y 23＝1，得x 2＝123＋4k 2，y 2＝12k 23＋4k 2，直线ON 的方程为y ＝－1k x ，代入y ＝23，得N (－23k,23) |MN |2＝|ON |2＋|OM |2＝12(1＋k 2)3＋4k 2＋(－23k )2＋(23)2， |MN |2＝48(1＋k 2)23＋4k 2.设原点O 到直线l 的距离为d ，|MN |·d ＝|OM |·|ON |⇒d 2＝|OM |2·|ON |2|MN |2＝3，d ＝3，故原点O 到直线l 的距离为定值 3.20．设而不求，整体代换典例 (12分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值． 规范解答解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.[2分](2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.[4分]因为－3<m <3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m2－32x 0， 所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.[6分](3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0).整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.[10分] 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[12分]1．(2016·北京西城区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，短轴长为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．解 (1)由短轴长为22，得b ＝2，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)． 证明如下：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4， 因为A (－2,0)，所以直线P A 方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M (0，2y 0x 0＋2)，直线QA 方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)，所以N (0，2y 0x 0－2)，以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋(y －2y 0x 0＋2)(y －2y 0x 0－2)＝0，即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 20x 20－4＝0，因为x 20－4＝－2y 20，所以x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0， 令y ＝0，则x 2－2＝0，解得x ＝±2. 所以以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．2．(2016·安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点(3，2)为椭圆上的一点． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若斜率为k 的直线l 过点A (0,1)，且与椭圆E 交于C ，D 两点，B 为椭圆E 的下顶点，求证：对于任意的k ，直线BC ，BD 的斜率之积为定值． (1)解 因为e ＝33，所以c ＝33a ，a 2＝b 2＋(33a )2.① 又椭圆过点(3，2)，所以3a 2＋2b 2＝1.②由①②，解得a 2＝6，b 2＝4， 所以椭圆E 的标准方程为x 26＋y 24＝1.(2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(3k 2＋2)x 2＋6kx －9＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－6k 3k 2＋2，x 1x 2＝－93k 2＋2，易知B (0，－2)， 故k BC ·k BD ＝y 1＋2x 1·y 2＋2x 2＝kx 1＋3x 1·kx 2＋3x 2＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9x 1x 2＝k 2＋3k (x 1＋x 2)x 1x 2＋9x 1x 2＝k 2＋3k ·2k3－(3k 2＋2)＝－2.所以对于任意的k ，直线BC ，BD 的斜率之积为定值．3．(2016·赣州一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 24－v ＋y 21－v ＝1(1<v <4)有公共焦点，过椭圆C 的右顶点B 任意作直线l ，设直线l 交抛物线y 2＝2x 于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →. (1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点R (m ，n )使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M ，N ，且△OMN 的面积最大？若存在，求出点R 的坐标及对应的△OMN 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)∵1<v <4，∴双曲线的焦点在x 轴上， 设焦点F (±c,0)，则c 2＝4－v ＋v －1＝3， 由椭圆C 与双曲线共焦点，知a 2－b 2＝3， 设直线l 的方程为x ＝ty ＋a ， 代入y 2＝2x ，可得y 2－2ty －2a ＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2a ， ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝a 2－2a ＝0，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)在△MON 中，S △OMN ＝12·|OM |·|ON |·sin ∠MON＝12sin ∠MON . 当∠MON ＝90°时，12sin ∠MON 有最大值12，此时点O 到直线l 的距离为d ＝1m 2＋n 2＝22， ∴m 2＋n 2＝2. 又∵m 2＋4n 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＋4n 2＝4，解得m 2＝43，n 2＝23， 此时点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫233，±63或⎝⎛⎭⎫－233，±63，△MON 的面积为12.4.已知椭圆C1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)， 则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4,4)在C 2上， 易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝1，2a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，①x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝k 2[4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2，③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0， 得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*)将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0， 解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.。
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第九章 平面解析几何 9-8
－8km 4m2－12 ∴x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ .① 4k ＋3 4k2＋3 ∵以 MN 为直径的圆过点 A，A 点的坐标为(2，0)， → ·AN → ＝0，即(x －2)(x －2)＋y y ＝0.② ∴AM 1 2 1 2 ∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m， ∴y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.③ 将①③代入②得 7m2＋16km＋4k2＝0. m 2 m ∴ k ＝－7或 k ＝－2，且都满足 Δ＞0.
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲 线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无 解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交
点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
【答案】 (x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)
题型一 定义法求轨迹方程
【例1】 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切 ，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
【解析】 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1； 圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半 径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN| ＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2＝|MN|. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左，右焦点，长半 x2 y2 轴长为 2， 短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)， 其方程为 4 ＋ 3 ＝ 1(x≠－2)．
线叫做___________．
这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程教师用书
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.8曲线与方程教师用书1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2016·广州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一个射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0) C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0) D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0) 答案 C解析 由角的平分线性质定理得|PA |＝2|PB |， 设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)，故选C.4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________________．答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析 设MN 的中点为P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a 2＋y 2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0).题型一 定义法求轨迹方程例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a2＝74. ∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1 (x >3) D.x 216－y 29＝1 (x >4) 答案 C解析 如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6<10＝|AB |.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 29－y 216＝1 (x >3)． 题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y24＝1，得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226. ⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝fx ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上， ∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．24．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (15分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，[2分]其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. [5分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点， 所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.[7分]由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[9分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段； 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分； [12分]当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示实轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分． [15分]1．(2016·绍兴质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9a(其中a 是正常数)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在答案 C解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9a>6时，点P 的轨迹是椭圆，故选C.2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．3．(2016·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．(2016·太原模拟)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时， 有4－m 2＝12，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时， 有m －4m＝12，∴m ＝163； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8 D ．y ＝2x ＋4答案 B解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2016·西安模拟)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________．答案x 225＋y 29＝1(x ≠±5) 解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有－x22a 2＋－y22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________． 答案x 24＋y 23＝1(y ≠0) 解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |， ∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．11．已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m,0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？ 解 (1)设S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0x －m. 由题意，得y 2x 2－m2＝－1m2，即x 2m2＋y 2＝1(x ≠±m )．∵m >1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.(2)m ＝2，则曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2－2＝0.令Δ＝64t 2－36×2(t 2－1)＝0，得t ＝±3. ∵t >0，∴t ＝3.此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点．12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M (1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解 (1)因为椭圆E 的离心率为22， 所以a 2－b 2a ＝22.解得a 2＝2b 2，故椭圆E 的方程可设为x 22b 2＋y 2b2＝1， 则椭圆E 的左焦点坐标为(－b,0)，过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l ′：y ＝x ＋b . 设直线l ′与椭圆E 的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋b消去y ，得3x 2＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.因为|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝42b 3＝423， 解得b ＝1.故椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且只有一个交点， 所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0. 化简并整理，得m 2＝2k 2＋1. 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k(x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x －，y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km1＋k2，y ＝k ＋m1＋k 2，所以x 2＋y 2＝－km2＋k ＋m 2＋k22＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1＋k22＝k 2＋m 2＋＋k22＝m 2＋11＋k2， 把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*) ②当切线l 的斜率为0时，此时Q (1,1)或Q (1，－1)，符合(*)式．③当切线l 的斜率不存在时，此时Q (2，0)或Q (－2，0)符合(*)式． 综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.*13.(2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S的取值范围． 解 (1)连接QF ，根据题意， |QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP | ＝4>|EF |＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点， 长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝a 2－b 2＝3，则b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得，(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝m 2－1＋4k 2. ∵k 1，k ，k 2构成等比数列， ∴k 2＝k 1k 2＝kx 1＋mkx 2＋mx 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12.此时Δ＝16(2－m 2)>0， 解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)． 故S ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12x 1＋x 22－4x 1x 2·|m |＝2－m 2|m |. 又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1， 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22)＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值． ∴S 1＋S 2S ＝5π4×1－m2m 2≥5π4， 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。
2018版高考数学文北师大版大一轮复习讲义教师版文档 第九章 平面解析几何 9.8 第2课时 含答案 精品
第2课时 范围、最值问题题型一 范围问题例1 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围． 解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c .由|FM |＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2＞2，解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－ 2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2016·黄冈模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32.又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2⇒－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12.又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ， 则S △OMN ＝12|MN |d＝12·|m |1＋k 2·1＋k 2·|x 1－x 2| ＝12|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝－(m 2－1)2＋1.故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)． 题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 (2016·锦州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4.命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为__________________________ ______________________________________________． 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4 (2016·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B . ①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k 为定值；②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4,2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线P A 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0＋m .同理x 2＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0，y 2＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m .所以x 2－x 1＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0－2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0＝－32k 2(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0， y 2－y 1＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m －2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0－m＝－8k (6k 2＋1)(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(2016·沧州模拟)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.2．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125 C ．4 D ．5 答案 B解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，所以所求的距离d ＝125，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3] D ．(1,2]答案 C解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ， 在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， 即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca ≤3.又e >1，所以1<e ≤3.故选C.4．(2016·邢台摸底)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________． 答案 5解析 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形(图略)可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.5．(2017·郑州质量预测)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________． 答案 (22，1) 解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1， ∴e 21＝1－1m ＋2.由m >0得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1m ＋2>－12，∴1－1m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1， ∴22<e 1<1. 6．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值． 解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1， 半焦距c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3. 又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3. 两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6， 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2， 当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号， 因为|GF 2|＝(1－2)2＋22＝5， 所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2， 故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围． 解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1， 整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0， 可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2.由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k(k ≠0，m ≠0)．整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4. 又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 8．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0. 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e . (1)若e ＝32，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，若AF 2→·BF 2→＝0，且22<e ≤32，求k 的取值范围． 解 (1)由右焦点F 2(3,0)，知c ＝3，又e ＝32＝c a，所以a ＝2 3. 又由a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k 2. 又AF 2→＝(3－x 1，－y 1)，BF 2→＝(3－x 2，－y 2)， 所以AF 2→·BF 2→＝(3－x 1)(3－x 2)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0， 即－a 2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0， 整理得k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2. 由22<e ≤32及c ＝3， 知23≤a <32，12≤a 2<18.所以a 4－18a 2＝(a 2－9)2－81∈[－72,0)，所以k 2≥18，则k ≥24或k ≤－24， 因此实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－24∪⎣⎡⎭⎫24，＋∞.。
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第九章平面解析几何 9.8 曲线与方程试题理北师大版1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2016·广州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0) C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0) D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0) 答案 C解析 由角的平分线性质定理得|PA |＝2|PB |， 设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)，故选C.4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________．答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析 设MN 的中点为P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0)． 5．(2016·唐山模拟)设集合A ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝45}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y－4)2＝165}，C ＝{(x ，y )|2|x －3|＋|y －4|＝λ}．若(A ∪B )∩C ≠∅，则实数λ的取值范围是________． 答案 [255，4]解析 由题意可知，集合A 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝45上的点的集合，集合B 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝165上的点的集合，集合C 表示曲线2|x －3|＋|y －4|＝λ上的点的集合，这三个集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A 、B 表示圆，集合C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是[255，4]．题型一 定义法求轨迹方程例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上， 故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1(x ≤－32)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)依题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y24＝1，得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－－222p＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0， 所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝fx ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上， ∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．22．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (12分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[3分] (2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点， 所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[6分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[8分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[10分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[12分]1．(2016·宜春质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9a(其中a 是正常数)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在答案 C解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9a>6时，点P 的轨迹是椭圆，故选C.2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．3．(2016·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．(2016·太原模拟)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时， 有4－m 2＝12，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8 D ．y ＝2x ＋4答案 B解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2017·西安月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________．答案x 225＋y 29＝1(x ≠±5) 解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，所以满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有－x22a 2＋－y22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案x 24＋y 23＝1(y ≠0) 解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4>2＝|AB |，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．11．已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m,0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？ 解 (1)设S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0x －m. 由题意，得y 2x 2－m2＝－1m2，即x 2m2＋y 2＝1(x ≠±m )． ∵m >1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.(2)m ＝2，则曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2－2＝0.令Δ＝64t 2－36×2(t 2－1)＝0，得t ＝±3. ∵t >0，∴t ＝3.此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点．12．(2017·新余一中调研)设点P 是圆x 2＋y 2＝4上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的射影，动点M 满足 3 PD →＝2MD →. (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设点F (－1,0)，若直线y ＝kx ＋m 与轨迹E 相切于点Q ，且与直线x ＝－4相交于点R ，求证：以QR 为直径的圆经过定点F .(1)解 设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝23y ，∵点P 在圆上，∴x 2＋(233y )2＝4，即x 24＋y 23＝1， ∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 如图，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)， 依题意m ≠0且Δ＝0，则Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 整理得4k 2＋3＝m 2， 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4km ，y 0＝kx 0＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，∴Q (－4k m ，3m)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x ＝－4，解得y ＝－4k ＋m ， ∴R (－4，－4k ＋m )，由F (－1,0)，得QF →＝(4k m －1，－3m)，RF →＝(3,4k －m )，∴QF →·RF →＝3(4k m －1)－3m(4k －m )＝0，∴QF ⊥RF ，∴以QR 为直径的圆过定点F .13.(2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S的取值范围． 解 (1)连接QF ，根据题意， |QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP | ＝4>|EF |＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝a 2－b 2＝3，则b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得，(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝m 2－1＋4k 2. ∵k 1，k ，k 2构成等比数列， ∴k 2＝k 1k 2＝kx 1＋mkx 2＋mx 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12.此时Δ＝16(2－m 2)>0， 解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)． 故S ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12x 1＋x 22－4x 1x 2·|m |＝2－m 2|m |. 又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1，则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22)＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值． ∴S 1＋S 2S ＝5π4×1－m2m 2≥5π4， 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。