第7章 方差分析
第七章方差分析与F检验
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
17
3
10
9
13
4
13
12
14
5
11
7
18
6
9
9
14
7
8
6
16
8
15
8
19
试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
第7章 方差分析-1
第一节 方差分析的基本原理
在科学研究中进行多个平均数间的 差异显著性检验，即方差分析。 方差分析的基本思想是将测量数据 的总变异按照变异原因不同分解为处 理效应和试验误差，并作出其数量估 计。
一、数学模型
假设有k组观测数据，每组有n个观 测值，则用线性可加模型来描述每 一个观测值，有：
xij i ij
F检验 若实际计算的F值大于 F0.05( df ,df )，则 F 值在α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 代表的总体方差大于 S t2 S e2 代表的总体方差。这种用F值出现概率 的大小推断两个总体方差是否相等的 方法称为 F检验。 无效假设把各个处理的变量假设来自 同一总体，即H0:σt2=σe2，对HA:σt2≠σe2 。
在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项 目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲
料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，
整个试验共有3×3=9个水平组合，实施在试 验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某
种饲料的结合。所以，在多因素试验时，试验
因素的一个水平组合就是一个处理。
5、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试 验载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中， 一只家禽、 一头
2 ( x xi )( xi x ) 0
1
2
(x x)
1
n
2
( x x ) ( xi x )
2 1 1
n
n
2
把 k 个处理的离均差平方和累加，得：
( x )
1 1
k
n
2
n ( xi x ) ( x x )
第七章方差分析与F检验
• 5、主效应：实验中由一个因素的不 同水平引起的变异。
• 6、交互作用：当一个因素的水平在 另一个因素的不同水平上变化趋势 不一致时，称两个因素之间存在交 互作用。
• 7、处理效应：指实验的总变异中由 自变量引起的变异。如主效应、交 互作用。
• 8、误差变异：指总变异中不能由自变量或 明显的无关变量解释的那部分变异。包括 单元内误差和残差。
1、计算离差平方和：
1总平方和 :
SSt
X
2
X
N
2
2组间平方和 :
SSb
X
n
2
X
N
2
3组内平方和 :
SSw
X
2
X
n
2
（二）计算自由度
总自由度：dft=N-1 组间自由度： dfb=k-1 组内自由度： dfw=k（n-1) （三）计算均方
组间均方：MSb=MSA=SSb/dfb 组内均方：MSw=MSE=SSw/dfw （四）计算F值
一、几个基本术语
• 1、因素：指研究者在实验中感兴趣 的一个变量，研究者通过操纵、改 变它，来估价它对因变量的影响， 也叫自变量。
• 2、因素的水平：实验中所操纵的变 量的每个标定的值。这些值既可以 是数量的，如时间、年龄，也可以 是类别的，如职业、性别等。
• 3、因素设计：通常指多于一个因素的 实验设计。如一个含有两个因素，每个
F= MSb/ MSw
（五）查F值表进行检验并做出决断
假如拒绝虚无假设的p值定为0.05，如 果计算的值大于所确定的显著性水平 的临界值，表明F值出现的机率小于 0.05，就可拒绝虚无假设，可以说不 同组的平均数之间在统计上至少有一 对有显著差异。
如果计算的F值小于p为0.05的临界值， 就不能拒绝虚无假设，只能说不同组 的平均数之间没有显著差异。
统计学-方法、数据与R的应用 第7章 方差分析
——方法、数据与R的应用
第7章 方差分析
上课之前的话
t检验用于检验两个独立正态总体均值是否相 等。例如，检验对照组和处理组之间是否存在 差异 当要同时检验多个总体的均值是否存在差异时 ，此时就不能用t检验了，而需要使用方差分 析（Analysis of Variance，简称ANOVA）
基本引概言念
基本引概言念
做一些假定把所研究的问题归结为一个统计问题 ，然后用方差分析方法进行分析
• 一般情况下，把年龄分组这样的离散型变量称为因素或因子(factor) ，记为A。因素的取值称为水平(level)或处理(treatment)。这里， 因素就是变量，水平就是该变量的取值，这些名词是分类或属性变量 所特有的。对于本例，三个年龄段称为因素A的水平，分别记为A1， A2，A3。xij表示第i组的第j个职工的保险消费额，其中i=1，2，3； j=1，2，…，12
方差分析是英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher） 在20世纪20年代提出并逐渐发展起来的一种在 实践中广泛运用的统计方法
• 形式上，方差分析是比较多个总体的均值是否相等 • 本质上，它所研究的是分类型自变量对数量型因变量
的影响，这使得它与后面介绍的回归分析关系密切， 但又不完全相同
基本引概言念
通过总离差平方和分解公式，我们发现若SSB明显大于SSW ，说明各总体（或各水平）之间的差异显著大于抽样误差， 那么零假设可能并不成立
SSB/SSW的比值大到什么程度，可以否定零假设呢？由于 SSB的自由度为r-1，而SSW的自由度为N-r，其中r是组数，
r
N是所有的观测数，即 N ni
i 1
7.1.1 基本思想
i1 j 1
7.1.1 基本思想
生物统计第7章 单因素方差分析
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
2020/6/19
7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
2020/6/19
7.4 多重比较(multiple comparison)
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7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
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7.2.3 均方期望与统计量F
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7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
生物统计学7-方差分析5-ok
一、多重比较的方法
1.最小显著差数法(Least Significant Difference , LSD法)
实质是两个平均数相比较的成组数据t检验，方法如下：
有时候固定因素与随机因素很难区分，除上述所讲的 原则外，还可以从另一个角度考虑： 固定因素是指因素的水平可以严格地人为控制，
在水平固定之后，它的效应值也是固定的。 随机因素的水平是不能严格地人为控制，在水平
确定之后，它的效应值并不固定。
五、平方和与自由度的分解
由于方差 = 平方和 / 自由度，表示变异的程度。
因为
所以
SST
SSA
SSe
an
SSe
( xij xi )2 ；
i1 j1
dfe a(n 1)
SSe是样本观测值与处理平均数的离差平方和，即反映处理 内变异（即误差引起的变异）的平方和，称为误差平方和、 处理内平方和、组内平方和；
误差项自由度：每一处理均有n-1个自由度，共有α个处理。
a
另一种是检验几个样本平均数的方差是否足够大。
如果样本平均数的方差足够大，远大于由随机误差所产生的方差，说明这几 个样本平均数之间的离散程度很高，除了误差效应外，必然还存在不同的处 理效应。我们可以推断抽出这几个样本的总体属于不同的总体，总体平均数 是不同的。
方差分析的基本思想是分析变异，也就是分解变异。 即：将数据总的变异分解为处理因素引起的变异和随
2.最小显著极差法(Least Significant ranges, LSR法)
是比较α个处理平均数的有序排列中两极端平均数间的差异 显著性。检验步骤如下：
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
第7章 方差分析
第7章 方差分析7.2单因素方差分析（单因变量单因素方差分析）基本描述：设影响某个指标的因素只有一个A ，相应的水平为A 1, A 2, …,A k ，假设各个水平所对应的总体服从正态分布，方差相等.单因素方差分析的目的之一就是检验012:k H μμμ=== .若拒绝原假设,则认为至少有两个水平间存在着差异,到底是那些水平间存在差异呢?这时可以进行多重比较,一致性子集检验(把均值间不存在差异的水平划分为一类).若不知方差是否相等,还可以进行方差齐性检验.方差分析是对总平方和进行分解,分解为因素的平方和,残差平方和, 然后在此基础上构造统计量, 从而对原假设进行检验功能：分析一个因素的各个水平之间是否存在差异；进行多重比较，一致性子集检验；进行方差齐性检验。
方法：Analyze →Compare Means →ANOV A注1：在数据文件时,因变量(即指标)只有一个,各个水平下的观测量通过分类变量来区分.注2：因变量一般要求服从正态分布。
对照：12342μμμμ++= 例：data07-01.sav 例：data07-02.sav7.3单因变量多因素方差分析基本描述：设影响某个指标的因素有多个，假设各个水平组合所对应的总体服从正态分布，方差相等.单因变量多因素方差分析的目的之一就是检验0:H某个因素的各个水平之间无差异。
或0:H某些因素间不存在交互作用。
主效应: 反映一个因素对指标的影响性的一个度量.主效应的作用可通过相应的平方和来体现.交互效应: 两个以上因素间的相互作用对指标的影响性的一个度量.方差分析是对总平方和进行分解,分解为各个因素的平方和,交互作用的平方和,残差平方和, 然后在此基础上构造统计量, 从而对原假设进行检验功能：分析一个变量是否受多个因素影响？检验因素之间是否存在交互作用；进行协方差分析。
要求：（1）因变量和协变量（或伴随变量）：数值型变量。
二者之间存在线性关系。
（2）因子变量：分类变量。
第七篇 方差分析(stata统计分析与应用)
主要选项
描述
category(varlist) class(varlist) repeated(varlist) partial sequential noconstant regress [no]anova
分类变量
分类变量，与上同义。如不注明，Stata默 认所有变量都是分类变量。
重复观测因子
使用边际平方和，默认选项
描述
bonferroni 多重比较检验 scheffe 多重比较检验 sidak 多重比较检验 产生列表 [不]显示均值 [不]显示标准差 [不]显示频数 [不]显示观测个数 不显示方差分析表 以数值形式显示，而不是以标签形式 列表不隔开 将缺失值作P为age一类10
STATA从入门到精通
■ longway命令的基本格式如下： ■ loneway response_var group_var [ i f ] [ i n ] [weight] [ , options]
■ 表7-15 员工信息表
minority educ
salary
beginsalar y
gender
0
8
15750
10200
Female
0
8
15900
10200
Female
0
8
16200
9750
Female
0
8
16650
9750
Female
0
8
16800
10200
Female
0
8
16950
10200
喝减肥茶后体 重（公斤） 63 71 79 73 74 65 67 73 60 76 71 72 75 62
第7章 方差分析
表7-5 改革方案效益表
图7-12 “重复方差分析”工作表
图7-13 “方差分析：可重复双因素分析”对话框
表7-6 猪仔重量数据
图7-14 可重复双因素分析结果
图7-16 有重复双因素方差分析结果
图 7-15 “ 分 组 试 验 ” 工 作 表
8.1.1 回归分析的概念
首先要区分两种主要类型的变量：一种变量相 当于通常函数关系中的自变量，对这样的变量 能够赋予一个需要的值（如室内的温度、施肥 量）或者能够取到一个可观测但不能人为控制 的值（如室外的温度），这样的变量称为自变 量；自变量的变化能引起另一些变量（如水稻 亩产量）的变化，这样的变量称为因变量。
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8.2.1 利用图表进行分析
例8-1 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数之间 存在一定关系，图8-1所示（“线性回归分析” 工作表）是实测12个纤维样品的强度y与相应 的拉伸倍数x的数据记录。试求出它们之间的 关系。 （1）打开“线性回归分析”工作表。 （2）在工具栏上选择“图表向导”按钮，单 击打开图表向导对话框，如图8-2所示，在 “图表类型”列表框中选择“XY散点图”， 单击“下一步”按钮进入图表向导步骤2。
Excel分析工具中具有方差分析模块，利用它分析例7-1 可以产生与7.1节操作相同的结论。具体方法如下： （1）打开“方差分析”工作表。 （2）选择“工具”菜单中的“数据分析”选项，弹出 “数据分析”对话框，选择“方差分析：单因素方差 分析”选项，单击“确定”按钮，进入“方差分析： 单因素方差分析”对话框。 （3）在“输入区域”中输入“$B$1: $D$6”，选中 图7-4 方差分析表 “标志位于第一行”复选框，在“”区域中输入0.1， 表明显著性水平。选中“输出区域”，输入“$A$16”， 表明以A16为起点放置方差分析结果，如图7-5所示。 （4）单击“确定”按钮，输出结果如图7-6所示。 返回本节
第七章SPSS方差分析
1-1
方差分析概述
一、问题的提出 通过参数检验可以解决两两总体均值的比较 多个总体均值的检验如何作？(如：钻卡、金卡和银 卡客户的平均移动话费的比较）
可以多次采用两样本t检验方法实现 产生的问题：犯第一类错误的概率明显增大
例如：K个变量两两进行t检验，需要作N=k! ÷(2! ×(k-2)!)次， 如果为0.05，那么每次比较不犯第一类错误的概率为0.95。N 次检验均不犯第一类错误的概率为0.95N，而犯第一类错误的 概率为1-0.95N，远远大于设定的0.05
1 - 14
单因素方差分析
(四)基本操作步骤 (1)菜单选项: analyze->compare means->one-way ANOVA (2)选择一个或多个变量作为观察变量到 dependent list 框
(3)选择一个变量作为控制变量到factor框
(4) option中的statistics项:
1-3
方差分析概述
(三)涉及的概念 (1)观察因素:作为观测的对象,称为观测变量(如：
移动话费、学生成绩等).
(2)影响因素：两类
人为可以控制的因素(如:资费、促销策略、投入学 习的时间等)，在方差分析中称为控制因素.将控制 因素的不同情况称为控制因素的不同水平. 人为很难控制的因素(如:消费习惯、个体智力差异 、抽样误差等)，在方差分析中称为随机因素.
1 - 27
单因素方差分析中的先验对比
(一)目的 先凭经验确定各水平均值之间的对比系数,以正负符号分别 代表两组,然后判定这两组均值的线性组合是否存在显 著差异.如：1/3 (k1+k2+k3)=1/2 (k4+k5)
第7章方差分析
3. 组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
方差分析的基本思想和原理
(方差的比较)
2. 如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和 SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由 度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于 组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误 差，还有系统误差
3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比 较组间方差与组内方差之间差异的大小
i1 j1
x
i1
n
n
式中：n n1 n2 nk
构造检验的统计量
(例题分析)
构造检验的统计量
(计算总误差平方和 SST)
1. 全部观察值 x i与j 总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
k ni
SST xij x2
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
观察值 ( j )
水平A1
因素(A) i
水平A2
…
水平Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
n
x1n
x2n
…
xkn
提出假设
1. 一般提法
H0 ： 1 = 2 =…= k 自变量对因变量没有显著影响
第七章 方差分析
15
三、方差分析的原理
所有数据的误差称总平方和（
sum of squares for total），或总变异，记为SST。
SST xij x
c j 1 i 1
nj
2
例如：所抽取的20家专卖市场销售额之间的误差 平方和称总变异，反映全部观测值的离散程度。
SST=SS因子+SSE
商业区
超市位置
居民小区
写字楼
3个以上 470 500 390 430 420 530 240 270 320
2
第七章 方差分析
你是一名研究人员，会考虑从哪几方面进行分析呢？
你可以考虑单独分析超市位置的影响、竞争者数量的 影响，或是超市位置和竞争者数量搭配在一起的影响。
如果只考虑超市位置对销售额是否有显著的影响，实 际上也是要判断不同位置超市的销售均值是否相同。 若它们的均值相同，就意味着超市位置对销售额没有 显著影响；若均值不相同，则意味着超市位置对销售 额有显著的影响。 在这里超市位置和竞争者数量是定性自变量，销售额 售额是定量因变量。
2
…
N r ,
2
x11 , x12 ,...,x1n j x21 , x22 ,...,x2n j
…
xr1, xr 2 ,...,xrn j
x1 , s
2 1
x2 , s
2 2
…
xr , s
2 r
Back 20
二、单因素方差分析的步骤
Step1：建立假设
H0 : 1 2
r
16
三、方差分析的原理
将各类误差除以自身的自由度，以消除观测值对 其影响，得到均方（mean square），分别称为组 间方差或因子均方(MS因子)、组内方差或残差均方 (MSE)。 如果因子中不同水平对因变量没有影响，则组间 方差只有随机误差而没有系统误差，此时，组间 误差和组内误差应该很接近，两个比值接近1。 当H0为真时，两个比值可建构检验统计量F 进行 假设检验。
第七章 方差分析与回归分析
Se
2
~ 2 (n r)，还可证明，在 H0 为真时
SA
2
~
2 (r 1) ，且与 Se 相互独立.
因而，由 F 分布的构造可知，在 H0 为真时，（21）
式给出的检验统计量 F ~ F(r 1, n r) ，当取 c F1 (r 1, n r)
便有 P(F c} ，故得拒绝域为 W {F F1 (r 1 n r)}.
i 个总体获得容量为 mi 叫的样本yi1, yi2 ,, yimi , i 1,2,, r
各样本间还是相互独立的.这些样本可以通过试验或某种
观察获得.为方便起见，本章对样本及其观察值都用同一
符号 y 加下标表示，其含义可从上下文理解.
在 Ai 水平下获得的 yij 与 i 不会总是一致的，记
A 的各水平间无显著差异，简称因子 A不显著；
反之，当 H0 不真时，各i 不全相同，这时称因子 A 的各水平间有显著差异，简称因子 A显著.图（1）
示意了这两种说法的含义.
(a)A 不显著
图（1）
(b)A 显著
定义1 用于检验假设（1）式的统计方法称为方差分 析法，其实质是检验若干个具有相同方差的正态总体的 均值是否相等的一种统计方法.在所考察的因子仅有一 个的场合，称为单因子方差分析. 为检验假设（1）式需要从每一总体中抽取样本.设从第
二、单因子方差分析的统计模型
在例1中所考察的因子只有一个，称其为单因子试验.
通常在单因子试验中，设因子 A有 r 个水平A1, A2,, Ar ,
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体，现有 r 个
水平，故有 r 个总体，并假定：
（1）每一总体均服从正态分布； （2）每一总体的方差相同； （3）从每一总体中抽取的样本相互独立.
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按 0.05 水准，拒绝 H 0 ，接受 H 1 ，3 组 均数差异有统计学意义，可认为 3 组的总体均 数不全等或全不等，即不同的实验处理对大鼠 骨量有影响。
表7.2 股骨重量（mg） Sum of Squares Between Groups Within Groups Total 47421.067 133164.300 180585.367 df 2 27 29
一、基本思想
本例中灭蚊剂的灭蚊效果数据间的变异 主要由不同灭蚊剂厂家、不同蚊群地区 和随机误差引起，因此总变异可分解为 处理组（灭蚊剂厂家）间变异、区组 （蚊群地区）间变异和误差变异。
SS区组 n j ( X j X ) ,
2 j 1
b
v区组 b 1
在随机区组设计中总变异分解为
ANOVA
Mean Square 23710.533 4932.011
F 4.807
Sig. .016
SPSS软件实现
第三节 例 7.2
多个相关样本均数的比较
为研究比较甲、乙和丙 3 个厂家生产的某
种灭蚊剂的灭蚊效果， 某市疾病预防控制中心以该市 11 个不同地区的蚊群进行了室内灭蚊实验，测试了不同厂 家灭蚊剂对蚊的半数击倒时间（KT50） ，资料如表 7.3， 试分析。 （数据集：例 07-02.sav）
SS总 ，计算公式为
SS总 = ∑ ∑( xij - X ) ,
2 i =1 j =1 k ni
ν总 = N - 1
（7.1）
（2）组间变异
3 组大鼠彼此组间股骨重量均数的
变异程度，这种变异称为组间变异（ variation between 。它反映了实验处理因素引起的变异。其大小用 groups） 各组均数与总均数的离差的平方和表示，记为 SS组间 ，计 算公式为
1. 建立检验假设，确定检验水准
H 0 ：3 个厂家灭蚊剂的灭蚊效果相同
H1 ：3 个厂家灭蚊剂的灭蚊效果不同或不全相同
0.05
2. 计算检验统计量
SS总 29.93 v总 33 - 1 32
SS处理 5.06 v处理 3 - 1 2 SS区组 18.79 v区组 11-1 10
对比组 A与B （ 1） 甲与乙厂 甲与丙厂 乙与丙厂 （ 2） 0.90 0.16 0.74 （ 3） 5.42 0.96 4.46
XA XB
统计量 q 值
第二节 多个独立样本均数的比较 多个独立样本均数的方差分析， 属 单因素方差分析（one-way ANOVA） ， 适用于完全随机设计分组或从不同总 体抽样的多组独立样本均数的比较。
一、基本步骤
例 7.1 属 3 个独立样本均数的比较，其基本 思想如上节所述。在假设各组数据服从正态分布 并方差齐性的前提下， 按公式 （7.1） 至公式 （7.5） 可计算统计量 F 值。其假设检验过程如下。 1. 建立检验假设，确定检验水准
SPSS软件实现
第四节 多个独立样本均数的多重比较
当方差分析的结果为拒绝H0，接受H1，即样本均数差 异有统计学意义时，认为多个总体均数不等或不全等， 即至少有两个总体均数不等。如果要进一步说明多组 中究竟哪两组总体均数有差别，需要进一步作多个样 本均数的两两比较，如直接用t检验方法，将增加犯Ⅰ 类错误的概率。因此，多个均数间两两比较应采用下 面所介绍的多重比较（multiple comparison）。
（2） 计算差值的标准误。 本例中各组例数均为 11，
MS误 0.30；因此任 2 组均数差值的标准误相等
S x A xB
0.30 1 1 ( ) 0.166 2 11 11
（3）计算 q 统计量
3. 确定 P 值，作出统计推断
表 7.5 例 7.2 的 SNK 检验计算表
q 界值
H 0 ： 1 2 3 ，即 3 组大鼠股骨重量的
总体均数相等 3 组大鼠股骨重量的总体均数不相等或 H1 ： 不全相等（或至少有 2 组的总体均数不相等）
0.05
2. 计算检验统计量
SS总 180585 .37
SS组间 47421 .07
SS误差 133164.3
MS组间 SS组间 / 组间 F MS误差 SS误 / 误 v1 组间 ， v2 v组内 v误差
若各组的总体均数不同（即处理因素 有效应） ， 则组间变异不仅反映随机误 差，还包括处理因素的效应，此时组 间均方应明显大于误差均方，即
MS组间 MS误差 ， F 1
能认为各组的总体均数不等（即尚不能认为处理因 素有效应） 。
方差分析的基本思想是：根据资料的设 计类型确定变异的来源种类，将全部观察值 之间的总变异相应地分解为两个或多个部 分，除随机误差外，其余每个部分的变异都 可由某个因素的作用加以解释，通过比较不 同变异来源的均方，借助 F 分布作出统计推 断，以判断某因素是否有效应。
nj
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Xj
3.82 4.56 4.02 4.66 5.34 3.34 3.18 5.47 4.47 5.37 4.74
ni
Xi Si
11 4.10 0.91
11 5.00 1.00
11 4.26 0.81
N 33
X 4.45
S 0.97
本例中将灭蚊效果的资 料按灭蚊剂生产厂家和 受试蚊群来源地区两个 因素进行整理。 其中不同 厂家间的灭蚊剂是要研 究的因素即处理因素， 蚊 群地区间的差别是要控 制的因素， 此称为区组因 素。 不同厂家间的灭蚊剂 在同一地区使用， 这样的 设计类似为随机区组设 计(randomized block design) 。 也称为多个相关样本均 数的比较。
H 0 ： A B ，即任两厂灭蚊剂（A、B 组）的灭蚊效果相同
H 1 ： A B ，即任两厂灭蚊剂（A、B 组）的灭蚊效果不同
0.05
2. 计算检验统计量 （1）将三个样本均数按由小到大的顺序依次排列，并编上组次。 组别 均数 组次 甲厂 4.10 1 丙厂 4.26 2 乙厂 5.00 3
SS组间 =∑ni ( X i - X ) ,
2 i =1 k
ν组间 = k - 1
（7.2）
（3） 组内变异
各组内大鼠股骨重量个体间的变
异程度，仅反映随机误差，这种变异称为组内变异 （variation within groups） ，又称误差变异，用组内各 鼠的股骨重量与该组均数的离差的平方和表示（也称 误差平方和） ，记为 SS误差 ，计算公式为
第七章
计量资料多组均数的比较：方差分析
学习目标： 1. 能够描述方差分析的基本思想与步骤。 2. 能够运用不同设计类型资料的方差分析方法。 3. 能够运用多样本间两两比较的检验方法。 4. 能够理解方差分析的应用条件及检验方法。 5. 能够运用统计软件对实际资料进行方差分析。
例 7.1 绝经后骨质疏松症是原发性骨质疏松症中 最常见的类型，其特点是骨量减少。有研究者为探 讨雌激素在预防骨质疏松症的作用， 用去卵巢雌性 SD 大鼠建立绝经后骨质疏松症动物模型，观察卵 巢切除后补充 17 -雌二醇对大鼠骨量的影响。该 研究者将 30 只 10 月龄 SD 雌性大鼠随机分为假手 术组、卵巢切除组和卵巢切除后补充 17 -雌二醇 组，每组 10 只，12 周后处死大鼠，取其股骨测定 重量，结果见表 7.1
表 7.1
三组大鼠股骨重量（mg） 卵巢切除组 （i 2 ） 730 638 713 691 522 667 625 596 611 540 假手术组 （i 3） 736 802 722 685 754 633 813 616 624 818 合计
卵巢切除后补充雌激素组 （i 1） 744 722 806 645 785 652 728 668 632 765
SS误差 29.93- 5.06 - 18.79 6.08
v误差 32 - 2 - 10 20
MS处理 SS处理 / v处理 F MS误差 SS误差 / v误差 5.06 / 2 8.33， v1 2， v2 20 6.08 / 20
3. 确定 P 值，作出统计推断 查 F 界值表 （附表 4） ，ν1 = 2， ν2 = 20 时, F0.05,( 2, 20) 3.49 ， 本例 F > 3.49 ， P 0.05 。 按 0.05 水准，拒绝 H 0 ，接受 H 1 ，3 组均数差异有统计 学意义，可认为 3 个厂家灭蚊剂的灭蚊效果不同或不全相同。
表 7.3 不同厂家灭蚊剂的测试结果 KT50（min） 蚊群 甲厂 乙厂 丙厂 （地区编号） 1 3.34 4.20 3.92 2 3.63 5.69 4.35 3 3.70 4.44 3.93 4 4.29 4.24 5.45 5 5.07 5.72 5.24 6 2.51 3.87 3.63 7 3.03 4.05 2.45 8 5.12 6.72 4.56 9 4.69 4.43 4.30 10 5.18 6.41 4.53 11 4.54 5.21 4.47
。
F 值要大到何种程度才有统计学意义，可以通
过查 F 界值表（附表 4 方差分析用表）确定 P 值， 作出统计推断。若 F F ,( , ) ，则 P ，按 水 1 2 准拒绝 H 0 ，接受 H 1 ，可以认为各组的总体均数不 等或不全相等（即处理因素有效应） ；反之，若
F F ,(1 , 2 ) ，则 P ，按 水准不拒绝 H 0 ，尚不
SS总 SS处理 SS区组 SS误差 ,
v总 v处理 v区组 v误差
据此，计算出 Leabharlann S误差 及其 v误差 ，计算统计量 F 值