海南省五指山中学2016届高三下学期第五次月考理科数学

海南省五指山中学2016届高三第五次月考理科数学试题注意事项：1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径若2(,)X N μδ～则()0.6827P X μδμδ-<<+=，(22)0.9545P X μδμδ-<<+=第Ⅰ卷 选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{|lg(3)}A x R y x =∈=-，{|ln(1)B x R y x =∈=-，则A B =（ ）A ．∅B ．(2,1)-C ．(3,4)D ．(4，)+∞ 2．命题p ：(0x ∃∈，)+∞，ln 1x x >-，则命题p 的否定是（ ）A ．p ⌝：(0x ∀∉，)+∞，ln 1x x ≤-B ．p ⌝：(0x ∀∈，)+∞，ln 1x x ≤-C ．p ⌝：(0x ∀∉，)+∞，ln 1x x ≥-D ．p ⌝：(0x ∃∈，)+∞，ln 1x x ≤-3．已知函数()131(),12log (1),1x x f x x x -⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩，不等式()110f x +->的解集是（ ）A ．{|0x x <或1}x >B ．{|1x x <或2}x >C ．{|2x x <或3}x >D ．{|0x x <或3}x >4．设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是（） A. a b =B. a b ∙=C. //a bD. a b -与b 垂直5．已知cos(30)sin αα-+=cos(60)α-=（ ） A ．45- B ．35- C ．45 D ．356．已知等比数列{}n a 满足：233a a +=，346a a +==（ ） A ．128 B ．81 C ．64 D ．49 7．已知△ABC 的周长为20，面积为60A =，则a 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．58．设O 为坐标原点，点(2A ，1)，若动点M (x ，)y 满足不等式组21204301x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则使OA OM ∙取得最大值的动点M 的个数是（ ）A ．存在唯一1个B ．存在无数多个C ．恰好2个D ．至多存在3个9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，11AA =，线段1AC 的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值为（ ）A ．15 B ．25C10．直线l ：(1)(1)0x m y n ++-=与圆222x y +=的位置关系是（ ） A ．相切或相交 B ．相切或相离 C ．相切 D ．相离 11．设函数()1x af x x -=-，集合(){|0}Q x f x =<，(){|0}P x f x '=>，如果Q P ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1)B ．(1，)+∞C ．(0，1]D ．[1，)+∞12．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），没有放回地依次摸出2个球，如果第1次摸出的是红球，则第2次也摸出红球的概率是（ ） A ．925B ．35C ．13D ．59第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分；请把答案填在答题卷．．．中指定的位置）． 13．已知11xy =-+i i（i 是虚数单位），其中x ，y R ∈，则x y +i 的共轭复数是．14．变力()kF s s=（k 是常数）是路程s 的反比例函数的图像如图所示，变力()F s 在区间[1,]e 内做的功是焦耳． 15. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为16．点P 为双曲线22112y x -=上一点，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，如果1||PF ：2||3PF =：2，则△12F PF 的面积是．三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ．已知3a =，2c =，1cos 4B =． （Ⅰ）求sin A ；（Ⅱ）设()2sin cos f x b x x x =（x R ∈），求()f x 的最小正周期和对称轴的方程．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC ∠=，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求二面角D AS B --的大小．19．（本小题满分12分）某城市个人家庭用车的月均消费汽油费~(900,400)X N （单位：元），试求：（Ⅰ）该城市个人家庭用车的月均消费汽油费在(900,920)（单位：元）范围内的人数所占的百分比；（Ⅱ）该城市个人家庭用车的月汽油消费超过940元的人数所占的百分比；（Ⅲ）如果该城市个人家庭用车的人数是10万人，市政府想利用经济手段控制汽油消耗，制定了下列专项税收如下表：请用数据说明该城市在此税收上设计是否合理．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22194x y +=和定点(6,0)A ，O 是坐标原点，动点P 在椭圆C 移动，OA PB =，点D 是线段PB 的中点，直线OB 与AD 相交于点M ，设OM OB λ=．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求点M 的轨迹E 的方程，如果E 是中心对称图形，那么类比圆的方程用配方求对称中心的方法，求轨迹E 的对称中心；如果E 不是中心对称图形，那么说明理由．21．（本小题满分12分）设函数()2ln(21)f x x m x =-+，其中1(,1]2x ∈-，且0m >．（Ⅰ）若函数()f x 在区间1(,1]2-上是减函数，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）函数()f x 是否存在最小值，若存在最小值，求出取最小值时的x 的值；若不存在，请说明理由．四．选做题：（考生从第22～24题中选择一题作答．作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分．满分10分）22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AB 和DC 相交于E ，EG 平分E ∠，且与BC ，AD分别相交于F ，G ．证明： （Ⅰ）△EAG ∽△ECF ； （Ⅱ）CFG DGF ∠=∠．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲直角坐标系原点与极坐标系的极点重合，x 的正半轴为极轴．直线l 经过点(1,1)P -，直线的倾斜角56πα=，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ∙的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1||2|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()4f x ≥的解集；（Ⅱ）不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围．海南省五指山中学2016届高三第五次月考理科数学试题答案一、选择题答案（每小题5分）二、填空题答案（每小题5分） 13.2i -． 14.3．15310x y -+=．16.12三、解答题（共6小题，选做题10分，共70分）17. 解：（Ⅰ）由余弦定理得，222132223104b =+-⋅⋅⋅=，得bsinB =，由正弦定理得，sin sin a BA b=153=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b =()cos 2)2f x x x =-+，()12cos 2)2f x x x =-)6x π=-+()f x 的最小正周期22T ππ==，对称轴：262x k πππ-=+，即()f x 的对称轴的直线方程是32x kππ=+（k Z ∈）．18. （Ⅰ）证明：作SH BC ⊥，垂足为H ，连结AH ，∵ 平面SBC ⊥平面ABCD ，且SH BC ⊥， ∴ SH ⊥平面ABCD ， 又 ∵ AS BS =，∴ AH BH =，又∵45ABC ∠=， ∴ △AHB 是等腰三角形， ∴ AH BC ⊥，又 ∵ SH ，AH 是平面AHS 内的两相交直线，∴ BC ⊥平面AHS ，∵ SA ⊂平面AHS ，∴ SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）和已知条件，易知HA ，HB ，HS 两两垂直，且HA HB HC ===1HS =，建立如图所示空间直角坐标系H xyz -，则0,0)A，B，D -，(0,0,1)S ，因为y 轴∥平面ADS ，设平面ADS 的法向量(,0,1)x =n，因为(AS =，210AS =-+=n，解之x ==n ，设平面ABS 的法向量(,,1)x y ''=m ，由于(AS =，(0,BS =，由00BS AS ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩mm ，即1010⎧'+=⎪⎨'+=⎪⎩，解之x '=y '=，所以=m ，设二面角D AS B --的为θ（θ为钝角），|||cos |||||θ∙=n m nm =cos θ=，即150θ=， 故二面角D AS B --的大小是150．19解：（Ⅰ）因为~(900,400)X N ，所以900μ=，20σ=，因此，城市个人家庭用车的月均消费汽油费在(480,920)范围内的概率为0.6826，城市个人家庭用车的月均消费汽油费在(900,920)的概率为0.3413，即）该城市个人家庭用车的月均消费汽油费在(900,920)（单位：元）范围内的人数所占的百分比是34.13%；（Ⅱ）(940)(860)P X P X >=≤1[1(860940)]2P X =-<≤1(10.9544)2=-0.0228=，即该城市个人家庭用车的月汽油消费超过940元的人数所占的百分比是2.28%；（Ⅲ）设计合理，因为约占15.87%，即15870人没有纳税，约占68.26%，即68260人为多数人纳了较低的0.01的税，约占13.59%，即13590人纳税为0.02，约占2.28%，即2280人为少数人纳了较高的0.05的税．20.解：（Ⅰ）因为OB OA OP =+，OM OB λ=，所以OM OA OP λλ=+，又因为点D 是线段PB 的中点，且OA PB =，则12OP OD OA =-， 所以，2OM OD OA λλ=+，由于A ，M ，D 三点共线，所以 112λλ+=，解之23λ=； （Ⅱ）设00(,)P x y ，(,)M x y ，由（Ⅰ）知，2233OM OA OP =+2022(4,)33x y =+， 则 0024323x x y y⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即003(4)232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点00(,)P x y 在椭圆C 上， 所以 2200194x y +=，得2219(4)1416x y -+=，即点M 轨迹E 也是椭圆，对称中心为(4,0)．21.解：（Ⅰ）∵()2221m f x x x '=-+22(2)21x x m x +-=+，∵函数()f x 在区间1(,1]2-上是减函数，∴()0f x '≤在1(,1]2-上都成立，即22m x x ≥+在1(,1]2-上都成立，∴3m ≥，即实数m 的取值范围是[3,)+∞；（Ⅱ），令()0f x '=，得1x =，2x =，令21x =，得3m =．（i ）若03m <<时，12112x x <-<<，当21(,)2x x ∈-时，()0f x '<；当2(,1)x x ∈时，()0f x '>，所以当x =时，()f x 存在最小值为()2f x ；（ii ）当3m ≥时，由（Ⅰ）知，()f x 在区间1(,1]2-上是减函数，当1x =时，()f x 的最小值是()1f ．22. 证明：（Ⅰ）在△EAG 和△ECF 中，∵EG 平分E ∠， ∴FEC GEA ∠=∠， ∵四边形ABCD 内接于圆， ∴FCE GAE ∠=∠， ∴△EAG ∽△ECF ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知∵△EAG ∽△ECF ， ∴CFE AGE ∠=∠，又∵CFG CFE π∠=-∠，DGF AGE π∠=-∠，∴CFG DGF ∠=∠．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲解：（Ⅰ）直线l的参数方程为1112x y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），由变换公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得，曲线C 的直角坐标方程2240x y y +-=；（Ⅱ）把参数方程代入圆方程中，21)20t t +-=，设1PA t =e ，2PB t =e ，其中e 1()2=，则PA PB ∙12t t =∙2=-． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）()3,(2)4,(21)3,(1)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪>⎩，令44x -+=或34x =，得0x =，43x =，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3x x x ≤≥或．（Ⅱ）()f x 在(,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，()(1)3f x f ≥=，由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以|2|3m ->，解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1][5,)-∞-+∞．。