2015年高考第一轮复习数学：10.1 分类计数原理、分步计数原理

第十章 排列、组合和二项式定理

●网络体系总览

计数原理

排列数公式二项式定理组合数公式 通项公式

二项式系数性质排列

组合

排列与组合组合数性质

●考点目标定位

1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.

2.理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.

3.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.

●复习方略指南

排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上，运用两个基本原理，解决计数应用题.

二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用.

本章内容高考所占比重不大，经常以选择题、填空题的形式出现，但对思维能力要求较高，在复习中，要注意通过典型例题，掌握分析问题的方法，总结解题规律.

10.1 分类计数原理、分步计数原理

●知识梳理

分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点.

特别提示 正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成.

●点击双基

1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_____________种行车路线.

A.24

B.16

C.12

D.10

解析：起点为C 1

4种可能性，终点为C 13种可能性，因此，行车

路线共有C1

4×C1

3

=12种.

答案：C

2.（2002年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

A.8种

B.12种

C.16种

D.20种

解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C1

3·C1

4

=12

种.

答案：B

3.某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是

A.9×8×7×6×5×4×3

B.8×96

C.9×106

D.81×105

解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106.∴可增加的电话部数是9×106－9×105=81×105.

答案：D

4.72的正约数（包括1和72）共有__________个.

解析：72=23×32.

∴2m·3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N）都是72的正约数.

m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个.

答案：12

5.（2005年春季北京，13）从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）

解析：一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.

若二次函数为偶函数，则b=0.

同上共有3×2=6个.

答案：18 6

●典例剖析

【例1】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？

解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.

评述：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，

一般情况是先分类再分步.

思考讨论 本题为什么要先分类？由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立.

【例2】 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?

解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，

所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.

评述：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解.

深化拓展

上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?

答案：C 45·24=80个.

【例3】 （2003年新课程卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答）

1

234

5

6

解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.

（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种；

（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种；

（3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种. 所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种.

解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 3

4种

不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.

4

56C C C C D D

D

D D B

B