2007年重庆南开中学高三数学下学期3月月考试题(文)
重庆市南开高三数学下学期3月月考试题 理 旧人教版
高三（下）3月月考数学试题（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在等差数列{}n a 中，若4566a a a ++=，则该数列的前9项的和为（ ） A 、17B 、18C 、19D 、202、点()1,1-到直线10x y -+=的距离为（ ）A 、12B 、32C D 3、已知1cos()44πα-=，则sin 2α=（ ） A 、78-B 、78C 、3132-D 、31324、设集合3{|0},{|log 1}1xP x Q x x x =≤=<-，那么“m P ∈”是“m Q ∈”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5、设空间中两条直线m 、n 和两个平面α、β，则下列命题中正确．．的是（ ） A 、若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 B 、若//,,,m n m n αβαβ⊂⊥⊥则 C 、若,,,//m m n n αβαβ⊥⊥⊂则D 、//,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥则.6、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3B π=，且不等式2680x x -+<的解集为{|}x a x c <<，则b =（ ）A 、2B 、C 、D 、127、已知()f x 是定义在(0,3)上的函数，()f x 的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（ ）A 、(0,1)(2,3)B 、(1,)(,3)22ππC 、(0,1)(,3)2πD 、(0,1)(1,3)8、已知正三棱锥A BCD -，E 为侧棱AB 中点，CE AD ⊥，若底面BCD ∆边长为2，则此三棱锥的体积为（ ） A 、23BCD9、圆心角23AOB π∠=的扇形AOB ，半径2,r C =为弧AB 的中点，12OD OB =-，则CD AB ⋅=（ ）A 、2-B 、3-C 、3D 、210、如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（ ） A、4+ B、2 C、D、第II 卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
重庆市南开中学2007级高三年级3月月考w
重庆南开中学2007级高三下学期3月月考语文试题语文试题卷共8页。
考试时间150分钟。
第1至11题为选择题，33分；第12至23题为非选择题，117分。
满分150分。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。
2．答第1至11题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第12至23题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第一部分选择题一、（本大题共4小题，每小题3分，共12分）1．下列各组词语，加点字的注音完全正确的一组是（）A．称．（châng）职尽．（jǐn）快奸佞．（nìn）相．（xiàng）机行事B．汲．（jí）取靡．（mí）费半打．（dǎ）泥．（ní）古不化C．烘焙．（pãi）蜿．（wǎn）蜒玉簪．（zān）堪称翘．（qiáo）楚D．惊蛰．（zhã）玩弄．（nîng）啮．（niâ）齿鬼蜮．（yù）伎俩2．下列各组词语，写法完全正确的一组是（）A．雏形协迫宏图修养生息B．偏袒缪种妇孺涣然一新C．阖家精炼景致螳臂当车D．元凶孪生伙食直接了当3．下列各句，加点的成语使用正确的一项是（）A．听到这个杀人不眨眼、惨绝人寰．．．．的刽子手被处决，人们都拍手称快。
B．面对奄奄一息．．．．的国势，难道我们不需要众多仁人志士大声疾呼并为祖国抛头颅洒热血吗？C．这次会议，希望大家都能开诚布公．．．．。
有什么问题，我们可以摆到桌上来谈清楚吗？D．到了雪域高原，你的心灵自然而然会变得透明纯粹。
不管生活给过你怎样的苦痛，这时你都会觉得可以将它们一笔抹煞．．．．了。
4．下列各句，标点符号使用不正确的一项是（）A．好的文章应像苏轼所说的“大低如行云流水，初无定质，但常行于所当行，常止于不可不止”，以忠实、诚恳的表达来取得流畅、生动的效果。
重庆市南开中学高三数学3月月考试卷 理(1).doc
重庆南开中学高高三3月考试卷数 学（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间1．第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在机读卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上．3．考试结束，监考人员将机读卡和答题卷一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在机读卡上． 1．233lim9x x x →-+=-（ ）A ．13B ．0C ．16D ．16-2．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．424．过抛弧线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．若函数812 (,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则使01()4f x >的0x 的取值范围为 （ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(,2)(3,)-∞+∞C ．(,2](4,)-∞+∞ D ．(,3)(4,)-∞+∞6．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2),(1)()0f x f x x f x '=--<，设(0)a f =，1()2b f = ，(3)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．已知D 是不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为（ ）A.4πB.2π3C. 4π 3D. 2π8．已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈我们把使乘积123n a a a a 为整数的数n 叫做“成功数”，则在区间(1,2011)内的所有成功数的和为 （ ） A ．1024 B ． C ． D ．9．若x y R +∈、≤a 的最小值是 （ ）A. 1 D. 12+10．如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，,,AD BC AD AB PA ⊥=∥32,,2AD BC ==60,ADC O ∠=为四棱锥P ABCD -内一点，1,AO =若DO 与平面PCD 成角最小角为α，则α=（ ）A. 15B. 30C. 45D.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）．11．已知(0,1),(1,1)a b ==，且()a nb a +⊥，则n = ；12．在等比数列}{n a 中，12341,2,a a a a +=+=，则5678a a a a +++= ；13．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,2a A B ==，则cos B = ；14．在体积的球的表面上有,,A B C 三点，1,,AB BC A C ==两点的球面距离为，则球心到平面ABC 的距离为 ； 15．已知过点(,0)(2)A t t >且倾斜角为60的直线与双曲线22:145x y C -=交于,M N 两点，交双曲线C 的右准线于点P ，满足3PA AN =，则t = ．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．已知函数2()sin(2)cos .6f x x x π=-+（1）若()1,f θ=求sin cos θθ的值； （2）求函数()f x 的单调区间．17．己知21(1,),(1,)a x m b m x=-+=+，当0m >时，求使不等式0a b >成立的x 的取值范围．18．如图所示， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60,2,ABC PA AB N ∠===为PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ． （2）求二面角B AN C --的正切值．19．（本小题12分）已知1x =为函数2()(1)xf x x ax e =-+的一个极值点． （1）求a 及函数)(x f 的单调区间；（2）若对于任意2[2,2],[1,2],()22x t f x t mt ∈-∈≥-+恒成立，求m 取值范围．本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点，P 为椭圆C 上的动点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA PB 与的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；（3）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若(1)3OP OM λλ=≤<，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．（本小题12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)4,2(2,)2n n n n a S na n n N -==+-≥∈． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：2*114,(1)2()n n n b b b n b n N +==---∈且，求证：*(2,)n n b a n n N >≥∈；（3）求证：*23344511111(1)(1)(1)(1)2,).n n n n N b b b b b b b b +++++<≥∈重庆南开中学高高三月考（3月）数学参考答案 （理科）一、选择题：DCDBA BBCCA二、填空题： 11．－1 12．12 13．4514．3215．3 三、解答题：16．解：(1)1cos 2()sin 2coscos 2sin662xf x x x ππ+=-+122x=+ ………………………………………………5分 由,1)(=θf 可得sin 2θ=所以1sin cos sin 22θθθ==. …………9分(2)当222,,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即[,],44x k k k Z ππππ∈-++∈时，)(x f 单调递增．所以，函数)(x f 的单调增区间是[,],.44k k k Z ππππ-++∈ (13)分17．解：22(1)(1)()(1)0x m x m x m x x m a b m x x x+-++--=-++==> ………………4分∴当0<m <l 时，(0,)(1,)x m ∈+∞；…………………………7分当m =l 时，(0,1)(1,)x ∈+∞； ………………………………10分当m >l 时，(0,1)(,)x m ∈+∞⋅ ………………………………13分18．解：(1) ABCD BD AC PA ABCD BD PA BD PAC BD ABCD PA AC A ⇒⊥⎫⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎭是菱形平面平面平面 ………5分(2)由(l)可知，BO ⊥平面P AC ，故在平面P AC 内，作OM ⊥A ， 连结BM （如图），则∠BMO 为二面角B AN C --的平 面角．在Rt BMO ∆中，易知22,3==OM AOtan BMO ∴∠=即二面角B AN C --………………13分19．解：(1)2()[(2)(1)](1)(1),xxf x x a x a e x x a e '=+-+-=++- ……………………2分由(1)0f '=得：,2=a (3)分()(,1),(1,)f x ∴-∞-+∞在上单调递增，)(x f 在(－1,1)上单调递减 (6)分(2))2,2(-∈x 时，)(x f 最小值为0 ………………………………8分2220t mt ∴-+≤对]2,1[∈t 恒成立，分离参数得：tt m 12+≥易知：]2,1[∈t 时,2312≤+t t 23≥∴m ………………………12分 ：(1)由题意可得圆的方程为 ,222b y x =+直线02=+-y x 与圆相切，,22b d ==∴即,2=b又c e a==即222,,a a b c ==+得,1,3==c a 所以椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………4分(2)设),0)(,(000=/y y x P ),0,3(),0,3(B A -则,1232020=+y x 即,3222020x y -=则1k =2k =即22200012222000222(3)233.3333x x y k k x x x --====---- 12k k ∴的值为2.3- ………………………………………………8分(3)设(,)M x y ，其中[x ∈由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得,)(3632222222222λ=++=+-+y x x yx x x 整理得,63)13(2222=+-y x λλ其中[x ∈ ………………10分①当33=λ时，化简得,62=y 所以点M 的轨迹方程为),33(6≤≤-±=x y轨迹是两条平行于x 轴的线段；…………………………………………11分 ②当133<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足33≤≤-x的部分．…………………………………………………………12分21．解：(1)当3≥n 时，(1)2,2n n n n S na -=+-11(1)(2)(1)2,2n n n n S n a ----=-+- 可得：11(1)2,2n n n n a na n a --=---⨯*11(3,)n n a a n n N -∴-=≥∈⋅.3,1222221=∴-+=+a a a a 可得，*4,(1)1(2,)n n a n n n N =⎧=⎨+⋅≥∈⎩……………4分 (2)1当n =2时，,31422212a b b =>=-=不等式成立．2假设当*(2,)n k k k N =≥∈时，不等式成立，即.1+>k b k 那么，当1+=k n 时，21(1)2(1)2222(1)222,k k k k k k b b k b b b k b k k k +=---=-+->->+-=≥+所以当n =k +l 时，不等式也成立．根据(1),(2)可知，当*2,n n N ≥∈时，.n n b a >………………8分(3)设1()ln(1),()10,11x f x x x f x x x-'=+-=-=<++ )(x f ∴在),0(+∞上单调递减，.)1ln(),0()(x x f x f <+∴<∴ 当*2,n n N ≥∈时，,1111+=<n a b n n ,2111)2)(1(11)11ln(11+-+=++<<+∴++n n n n b b b b n n n n 23341111ln(1)ln(1)ln(1)n n b b b b b b +∴++++++31213121114131<+-=+-+++-<n n n .)11()11)(11(314332e b b b b b b n n <+++∴+ ……………………………12分。
重庆市南开中学2010届高三下学期3月月考数学试题及答案详解(文科)
数
学 ( 文科 )
本试题分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 共 150 分，考试时间 120 分钟 .
第Ⅰ卷 ( 选择题，共 50 分)
注意事项：
1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上
.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
0 知 A(
p ,(1
4
2
3 22
2) p), B(
p,(1
2
2) p)
所以 (1 2) p y0 (1 2) p, 则当 y0 p 时， dmax
2 p
2
1
2
则 ( S ABM ) max
4p
p
2 p2
2
2
21． (1) 解： a1 1, a2 3,a3 7 事实上，要将 n 个圆盘全部转移到 C 柱上，只需先将上面 n 1 个圆盘转移到 B 柱上，需
(1) 求函数的单调区间及最值；
D C
B
(2) a 为何值时，方程 f (x) 0 有三个不同的实根 .
20．(12 分 ) 如图，斜率为 1 的直线过抛物线 y 2 M 为抛物线弧 AB 上的动点 .
2 px( p
0) 的焦点，与抛物线交于两点
y
A、 B,
(1) 若 | AB | 8, 求抛物线的方程；
12． -2
13． 2n
14 ． 22 3
三、解答题
16．解： f ( x) a b 2cos x (sin x cos x) 1
15 ． 3 5 , 5
sin 2 x 1 cos2 x 1
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重庆南开中学2007级高三下学期3月月考数学（文）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
总共三个大题，22 个小题，总分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|>2,x ∈R }，全集U=R ，则集合P ∩（C U Q ）=（ ） A ．{1，2} B ．{3，4} C ．{1} D ．{—2，—1，0，1，2} 2．已知,532sin =θ则cos θ的值为 （ ）A ．257-B ．257C ．54 D ．54- 3．双曲线1322=-y x 的渐近线方程为（ ）A ．y =±3xB ．x y 3±=C ．x y 31±= D ．x y 33±= 4．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．在等比数列{a n }中，a 5、a 4、a 6成等差数列，则公比q 等于 （ ）A ．1或2B ．－1或－2C ．1或－2D ．－1或2 6．函数)01(12≤≤--=x x y 的反函数是（ ）A ．)10(12≤≤-=x x yB ．)10(12≤≤--=x x yC ．)12(12-≤≤---=x x yD ．)01(12≤≤---=x x y7．室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线 （ ） A ．异面 B ．相交 C ．垂直 D ．平行 8．函数54)(3++=x x x f 的图象在x=1处的切线与圆22y x +=50的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交但不过圆心D ．过圆心9．函数x x x f cos sin )(⋅图象沿x 轴向左平移4π个单位，再将各点横坐标压缩为原来的 21，则所得函数是（ ）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 10．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题 （ ）①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m ②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③11．已知椭圆b a b a by a x 2),0(12222≤>>=+满足，若椭圆的离心率为e ，则221e e +的最小值（ ）A ．27B ．25 C ．3D ．412．如图，△PAB 所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD=4， BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB ， 则点P 在平面α内的轨迹是（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量k k //),1,(),2,13(且=-=，则实数k = .14．若实数x 、y 满足y x z y x x y -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤则,0212的最大值是 .15．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值是 . 16．设C ：y=x 2（x>0）上的点为P 0（x 0,y 0），在P 0处作曲线C 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 1（x 1,y 1），然后在P 1作曲线C 的切线与x 轴交于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 2（x 2,y 2），依次类推，作出以下各点：Q 3，P 3，…Q n ，P n …。
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高中数学学习材料唐玲出品2015-2016学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．2 C．3 D．52．如果复数是实数，则实数m=（）A．﹣1 B．1 C．D．3．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣1（n∈N+），且a2+a4+a6=18，则a5的值为（）A．8 B．7 C．6 D．54．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到直线的距离为2，则抛物线C的方程为（）A．B．C．y2=16x D．y2=8x5．已知命题p：x+y≠﹣2，命题q：x，y不都是﹣1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．与a的取值有关7．函数y=2sin+1的部分图象如图所示，则（+2）•=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．108．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．过点A（3，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣20=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．6条B．7条C．8条D．9条10．如图1点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1D1CC1的中点，过点D，M，N做截面去截正方体得到的新几何体（体积较大部分），则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（）A．①④⑤ B．②③⑥ C．①③⑤ D．②④⑥11．已知点A为双曲线右支上一点，F1，F2为双曲线的左右焦点，AF1交双曲线左支于点B，若AB=BF2，则=（）A．B．C．D．212．已知函数g（x）=x﹣1，函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______．14．已知x，y满足的条件，则z=y﹣2x的最大值为______．15．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2016=______．16．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为4，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且；（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．18．某统计部门随机抽查了3月1日这一天新世纪百货童装部100名顾客的购买情况，得到如图数据统计表，已知购买金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．购买金额频数频率（0，500] 5 0.05（500，1000]x p（1000，1500]15 0.15（1500，2000]25 0.25（2000，2500]30 0.3（2500，3000]y q合计100 1.00（1）确定x，y，p，q的值；（2）为进一步了解童装部的购买情况是否与顾客性别有关，对这100名顾客调查显示：购物金额在2000元以上的顾客中女顾客有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的顾客中男顾客有20人；①请将列联表补充完整：女顾客男顾客合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表，判断是否有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关？参考数据：P（K2≥k）0.01 0.05 0.025 0.01k 2.706 3.841 5.024 6.635．19．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，面AA1B1B⊥面ABC，且∠A1AB=60°，AA1=2，△ABC为边长为2的等边三角形，G为△ABC的重心，取BC中点F，连接B1F与BC1交于E点：（1）求证：GE∥面AA1B1B；（2）求三棱锥B﹣B1EA的体积．20．已知椭圆的离心率，点P在椭圆上运动，当∠F1PF2=60°，；（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点直线l与椭圆交于A，B，斜率为k1，直线OP斜率为k2，，判断△APB的面积是否为定值，若为定值，则求出这个定值，若不为定值，则说明理由．21．已知函数f（x）=x﹣ae x；（1）若函数g（x）=f（x）+f′（x）在点（0，g（0））处的切线方程为x+y+1=0，求实数a 的值；（2）当a＞0时，函数f（x）存在两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：lnx1﹣lnx2＜lna+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f （x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立．（1）求实数a的最大值m；（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．2015-2016学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．2 C．3 D．5【考点】交集及其运算．【分析】集合A与集合B的公共元素构成A∩B，由此利用A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，能求出A∩B的元素个数．【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}={x|}={x|1＜x≤3}，∴A∩B={2，3}，故选B．2．如果复数是实数，则实数m=（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，利用纯虚数，实部为0，求出m的值即可．【解答】解：复数==，复数是实数，所以1﹣m3=0，解得m=1故选B．3．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣1（n∈N+），且a2+a4+a6=18，则a5的值为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知可得数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，再由a2+a4+a6=18结合等差数列的性质求得a4，则a5的值可求．【解答】解：由a n+1=a n﹣1，得数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，又a2+a4+a6=18，得3a4=18，a4=6，∴a5=a4+d=6﹣1=5．故选：D．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到直线的距离为2，则抛物线C的方程为（）A．B．C．y2=16x D．y2=8x【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标，代入点到直线的距离公式列方程得出p．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），∴F到直线的距离d==2，解得p=8．∴抛物线方程为y2=16x．故选：C．5．已知命题p：x+y≠﹣2，命题q：x，y不都是﹣1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题的等价性先判断￢q是￢p充分不必要条件即可得到结论..【解答】解：￢p：x+y=2，￢q：x，y都是﹣1，则当x，y都是﹣1时，满足x+y=﹣2，反之当x=1，y=﹣3时，满足x+y=﹣2，但x，y都是﹣1不成立，即￢q是￢p充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性知p是q的充分不必要条件，故选：A6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．与a的取值有关【考点】几何概型．【分析】欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解．【解答】解：利用几何概型求解，图中阴影部分的面积为：，则他击中阴影部分的概率是：=1﹣，故选A．7．函数y=2sin+1的部分图象如图所示，则（+2）•=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】根据根据函数的部分图象，求得A、B的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得要求式子的值．【解答】解：根据函数的部分图象，可得sin x=0，由五点作图法知x=π，故x=2，∴A（2，1）．令y=2sin x+1=﹣1，求得sin x=﹣1，求得x=3，故B（3，﹣1）．∴=（8，﹣1）•（1，﹣2）=8+2=10，故选：D．8．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】循环结构．【分析】题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+1，y=y﹣1，i=i﹣1，然后判断i与0的关系满足条件继续执行，不满足条件算法结束．【解答】解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值﹣2和6，打印点（﹣2，6），执行x=﹣2+1=﹣1，y=6﹣1=5，i=3﹣1=2，判断2＞0；打印点（﹣1，5），执行x=﹣1+1=0，y=5﹣1=4，i=2﹣1=1，判断1＞0；打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=4﹣1=3，i=1﹣1=0，判断0=0；不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个．故选B．9．过点A（3，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣20=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．6条B．7条C．8条D．9条【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数即可．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=5，∵（3，2）到圆心的距离d==4，∴最短的弦长为2=6，最长的弦长为10，另外弦长为整数7、8、9的各有2条，共3×2+2=8条．故选：C．10．如图1点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1D1CC1的中点，过点D，M，N做截面去截正方体得到的新几何体（体积较大部分），则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（）A．①④⑤ B．②③⑥ C．①③⑤ D．②④⑥【考点】简单空间图形的三视图．【分析】作出截面多边形，根据截面与正方体的棱的交点位置进行判断．【解答】解：过N作NE∥DM交B1C1于E，则E为B1C1的靠近C1的四等分点，连结ME，则梯形DNEM为截面四边形．∴多面体BCNEB1﹣ADMA1为新得到的几何体．∴新几何体的主视图为①，左视图为④，俯视图为⑤．故选：A．11．已知点A为双曲线右支上一点，F1，F2为双曲线的左右焦点，AF1交双曲线左支于点B，若AB=BF2，则=（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出双曲线的图象，利用双曲线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的定义得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，得|AF1|﹣|AF2|=|BF2|﹣|BF1|，即|AB|+|BF1|﹣|AF2|=|BF2|﹣|BF1|，∵AB=BF2，∴|BF1|﹣|AF2|=﹣|BF1|，则|AF2|=2|BF1|，则=2，故选：D12．已知函数g（x）=x﹣1，函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为（）A．B． C． D．【考点】全称命题．【分析】函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，∀x1∈（1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f（x1）=﹣2f（x1﹣1）﹣1﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=0，解得m．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，∀x1∈（1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f（x1）=﹣2f（x1﹣1）﹣1=﹣2﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=25﹣8（5+m）=0，解得m=．∴两条平行线y=x﹣1与y=x﹣的距离d==．∴（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．14．已知x，y满足的条件，则z=y﹣2x的最大值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=y﹣2x为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1．故答案为：1．15．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2016=．【考点】数列的求和；二次函数的性质．【分析】通过向量相等、求导并解方程可知b=，进而裂项可知=﹣，并项相加即得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，∴f′（0）=0+2b=1，即b=，∴f（x）=x2+x，==﹣，∴S2016=1﹣+﹣+…+﹣=，故答案为：．16．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为4，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为或﹣．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO 内运动（含边界），由空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：V==或V=﹣=﹣．故答案为：或﹣．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且；（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得：sinBcosC=sinCsinB，结合sinB≠0，可得：tanC=，结合范围C∈（0，π），即可得解C的值．（2）利用正弦定理可得：，利用三角函数恒等变换的应用化简可得：三角形的周长l=2sin（A+）+，根据A的范围，和正弦函数的图象和性质即可解得△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴利用正弦定理可得：sinBcosC=sinCsinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴可得：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵由（1）及题意可得：，∴三角形的周长l=a +b +c=2sinA +2sinB +=2sinA +2sin （﹣A ）+=2sin （A +）+，∵A ∈（0，），A +∈（，），∴sin （A +）∈（，1]，l=2sin （A +）+∈（2，3]．故△ABC 周长的取值范围为（2，3]．18．某统计部门随机抽查了3月1日这一天新世纪百货童装部100名顾客的购买情况，得到如图数据统计表，已知购买金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4． 购买金额 频数 频率（0，500]5 0.05 （500，1000] xp （1000，1500] 150.15 （1500，2000] 250.25 （2000，2500] 300.3 （2500，3000] yq 合计100 1.00 （1）确定x ，y ，p ，q 的值；（2）为进一步了解童装部的购买情况是否与顾客性别有关，对这100名顾客调查显示：购物金额在2000元以上的顾客中女顾客有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的顾客中男顾客有20人； ①请将列联表补充完整： 女顾客 男顾客 合计购物金额在2000元以上35 购物金额在2000元以下20 合计100 ②并据此列联表，判断是否有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关？ 参考数据：P （K 2≥k ） 0.01 0.05 0.025 0.01 k 2.706 3.841 5.024 6.635 ．【考点】独立性检验的应用． 【分析】（1）根据数据统计表，计算q 、y 、x 和p 的值； （2）①根据题意，补充完整列联表即可；②根据列联表计算观测值，对照临界值表即可得出结论． 【解答】解：（1）根据数据统计表知，q=0.4﹣0.3=0.1， y=100×0.1=10，x=100﹣5﹣15﹣25﹣30﹣10=15，p==0.15；（2）①根据题意，补充完整列联表如下： 女顾客 男顾客合计购物金额在2000元以上35 5 40购物金额在2000元以下40 20 60合计75 25 100②根据列联表，计算观测值K2=≈5.56＞5.024，所以有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关．19．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，面AA1B1B⊥面ABC，且∠A1AB=60°，AA1=2，△ABC为边长为2的等边三角形，G为△ABC的重心，取BC中点F，连接B1F与BC1交于E点：（1）求证：GE∥面AA1B1B；（2）求三棱锥B﹣B1EA的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AF，由题意知，G在AF上，AG=2GF，由F为BC中点可得三角形相似．再由G为△ABC的重心，得到GE∥AB1，由线面平行的判定得答案；（2）由==得答案．【解答】（1）证明：连结AF，由题意知，G在AF上，AG=2GF，∵F为BC的中点，∴△B1EC1∽△FEB，且BE=，∴BF=BC，则点F为BC中点．∵G为△ABC的重心，∴=，∴GE∥AB1，又AB1⊂面AA1B1B，GE⊄面AA1B1B，∴GE∥面AA1B1B；（2）解：=====．20．已知椭圆的离心率，点P 在椭圆上运动，当∠F 1PF 2=60°，；（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点直线l 与椭圆交于A ，B ，斜率为k 1，直线OP 斜率为k 2，，判断△APB 的面积是否为定值，若为定值，则求出这个定值，若不为定值，则说明理由． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m +n=2a ，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos60°，可得3mn=4b 2．已知=mnsin60°，解得b 2．又b 2=a 2﹣c 2，=，联立解出即可得出．（2）设直线AP 的方程为：y=kx +m ，A （x 1，y 1），P （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4=0，=，再利用根与系数的关系可得m ，k 的关系，利用点到直线的距离公式可得点O 到直线AP 的距离．利用S △AOP =|AP |d ，及其S △APB =2S △AOP 即可得出．【解答】解：（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m +n=2a ，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos60°=（m +n ）2﹣3mn ， ∴3mn=4b 2．由题意可得： =mnsin60°=b 2，解得b 2=2．又b 2=a 2﹣c 2，=，联立解得a 2=4，c=．∴椭圆的标准方程为： +=1．（2）设直线AP 的方程为：y=kx +m ，A （x 1，y 1），P （x 2，y 2）．联立，化为：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4=0，△=8（4k 2﹣m 2+2）＞0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=．∵=，∴y 1y 2=﹣x 1x 2=﹣，又y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=，∴﹣=，∴m2=2k2+1．∴S△AOP=|AP|d===，∴S△APB=2S△AOP=2．为定值．21．已知函数f（x）=x﹣ae x；（1）若函数g（x）=f（x）+f′（x）在点（0，g（0））处的切线方程为x+y+1=0，求实数a 的值；（2）当a＞0时，函数f（x）存在两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：lnx1﹣lnx2＜lna+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得g（x）的解析式，由切线的方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a=1；（2）求得f（x）的单调区间和极值、最值，由题意可令最大值大于0，可得ae＜1，可得x1＜1＜ln＜x2，即有x2﹣x1＞ln﹣1，再由零点的定义，结合不等式的性质和指数函数的单调性，即可得证．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣ae x，∴g（x）=f（x）+f′（x）=x﹣2ae x+1，由切线的方程x+y+1=0，可得g（0）=1﹣2a=﹣1，∴a=1．（2）证明：当a＞0时，f′（x）=1﹣ae x，由f′（x）＞0，可得x＜﹣lna；由f′（x）＜0，可得x＞﹣lna．f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递增，在（﹣lna，+∞）单调递减，即有f（x）在x=﹣lna处取得极大值，且为最大值f（﹣lna）=﹣lna﹣1．由题意可知有两个零点，则f（﹣lna）=﹣lna﹣1＞0，即ae＜1，又∵f（1）=1﹣ae＞0，∴x1＜1＜ln＜x2，∴x2﹣x1＞ln﹣1，又∵x1=a，x2=a，∴==＜=e lnae=ae，∴lnx1﹣lnx2＜lna+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由弦切角定理，得∠BAC=∠D．由同弧所对的圆周角，得∠BAC=∠E，所以∠D=∠E，最后由平行线的判定得AD∥EC；（2）在⊙O1中利用切割线定理，算出PB=3．再在⊙O2中由相交弦定理，得出PE=4，最后在⊙O2利用切割线定理，即可算出AD的长．【解答】解：（1）连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D．又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，可得AD∥EC；（2）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O2的割线，∴PA2=PB•PD，即62=PB（PB+9），解之得PB=3．又∵⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=PB•PE，∴6×2=3×PE，得PE=4．∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16=144，解得AD=12．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=a，利用互化公式可得可得直角坐标方程．由曲线C2的参数方程，利用平方关系：cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，注意y的取值范围．（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，数形结合可得：圆心（﹣1，﹣1）到直线的距离d=＜1，且a≥﹣1，解出即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=a，可得直角坐标方程：x+y﹣a=0．曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π），可得普通方程：（x+1）2+（y+1）2=1，（﹣1≤y≤0）．（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，圆心（﹣1，﹣1）到直线的距离d=＜1，且a≥﹣1，解得﹣1≤a＜﹣2．24．已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f （x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立．（1）求实数a的最大值m；（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得实数a的最大值．（2）由条件利用二维形式的柯西不等式，求得a2+b2+c2的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立，故2|x+sin2θ|≥a﹣2|x﹣cos2θ|恒成立，即2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥a 恒成立．∵2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥|2x+2sin2θ﹣（2x﹣2cos2θ）|=2，∴2≥a，即a≤2，∴a的最大值为m=2．（2）∵a+2b+3c=2m=4，∴16=（a+2b+3c）2≤（a2+b2+c2）•（12+22+32）=14•（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥=，即a2+b2+c2的最小值为．2016年9月20日。
重庆南开中学高考理科数学复习第三次月考试卷
学校 班级 姓名_________________座号______________ 装 订 线 内 不 要 答 题 ···············装························订··················线···········重庆南开中学高考理科数学复习第三次月考试卷第Ⅰ卷一．选择题：(每小题5分,共40分)1．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ｂ．34Ｄ．233. 设方程20x px q --=的解集为A ，方程20x qx p +-=的解集为B,若{}1A B ⋂=， 则p+q= ( )A 、２B 、０C 、１D 、－１ 4．如图，正方形AB 1 B 2 B 3中，C ，D 分别是B 1 B 2 和B 2 B 3的中点，现沿AC ，AD 及CD 把这个正方形折成一个四面体， 使B 1 ，B 2 ，B 3三点重合，重合后的点记为B ，则四面体A —BCD 中，互相垂直的面共有（ ）Ａ．4对 Ｂ．3对 Ｃ．2对 Ｄ．1对5．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） Ａ．2000 Ｂ．4096 Ｃ．5904 Ｄ．8320 6．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）Ａ．(0)(2)2(1)f f f +<B . (0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≤D ．(0)(2)2(1)f f f +≥7．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为（ ） Ａ．2Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．148．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） Ａ．(10)-，Ｂ．(01)，Ｃ．(0)-∞，Ｄ．(0)(1)-∞+∞ ，，二．填空题：(每小题5分,共30分)9. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则()f x =10．若向量a、的坐标满足)1,2(--=+b ，a)3,4(-=-，则a ·b 等于11、22023x x dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ 。
重庆市南开中学高三数学3月月考试题 理
重庆南开中学高2016级高三（下）3月月考数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若集合{}1,2,3,4,5A =，集合(){}40B x x x =-<，则图中阴影部分表示（ ） A 、{}1,2,3,4B 、{}1,2,3C 、{}4,5D 、{}1,4 2、等比数列{}n a 满足2379a a π⋅=，则5cos a =（ ） A 、12- B 、12 C 、12± D 、3± 3、设i 为虚数单位且z 的共轭复数是z ，若4,8z z z z +=⋅=，则z 的虚部为（ ）A 、2±B 、2i ±C 、2D 、2-4、现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（ ）A 、27B 、54C 、108D 、1445、执行右图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、86、在ABC ∆中6AC =，AC 的垂直平分线交AB 边所在直线于N 点，则AC CN ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A 、63-B 、152-C 、9-D 、18-7、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的各侧面中最大的侧面的面积为（ ）A 、4B 、8C 、22D 、268、已知圆22:1C x y +=，在线段():2023AB x y x -+=-≤≤上任取一点M ，过点M 作圆C 的切线，则“点M 与切点的距离不大于3”的概率P 为（ ）A 、13B 、35C 、23D 、459、如图，将绘有函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB 之间的空间距离为17，则()1f -=（ ）A 、2-B 、2C 、3-D 、310、直三棱柱111ABC A B C -的各顶点均在同一个球面上，若12AB AC AA ===且120BAC ∠=o ，则此球的表面积为（ ）A 、20πB 、16πC 、8πD 、4π11、已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=且,124ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A 、(2,2⎤⎦ B 、(1,2⎤⎦ C 、()2,+∞ D 、()2,+∞12、已知函数()21ln 2f x x bx a x =-+存在极大值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极大值恒小于0，则a 的最大值为（ ）A 、1eB 、eC 、2eD 、3e 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
-重庆市南开中学高三(下)3月月考数学试卷(文.docx
2015-2016学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．2 C．3 D．52．如果复数是实数，则实数m=（）A．﹣1 B．1 C．D．3．已知数列{an }满足an+1=an﹣1（n∈N+），且a2+a4+a6=18，则a5的值为（）A．8 B．7 C．6 D．54．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到直线的距离为2，则抛物线C的方程为（）A．B．C．y2=16x D．y2=8x5．已知命题p：x+y≠﹣2，命题q：x，y不都是﹣1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．与a的取值有关7．函数y=2sin+1的部分图象如图所示，则（+2）•=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．108．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．39．过点A （3，2）作圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣20=0的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条10．如图1点M ，N 分别是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱A 1D 1CC 1的中点，过点D ，M ，N 做截面去截正方体得到的新几何体（体积较大部分），则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（ ）A ．①④⑤B ．②③⑥C ．①③⑤D ．②④⑥11．已知点A 为双曲线右支上一点，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，AF 1交双曲线左支于点B ，若AB=BF 2，则=（ ）A ．B ．C ．D ．212．已知函数g （x ）=x ﹣1，函数f （x ）满足f （x+1）=﹣2f （x ）﹣1，当x ∈（0，1]时，f （x ）=x 2﹣x ，对于∀x 1∈（1，2]，∀x 2∈R ，则（x 1﹣x 2）2+（f （x 1）﹣g （x 2））2的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______．14．已知x，y满足的条件，则z=y﹣2x的最大值为______．15．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为Sn ，则S2016=______．16．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为4，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且；（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．18．某统计部门随机抽查了3月1日这一天新世纪百货童装部100名顾客的购买情况，得到如图数据统计表，已知购买金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．购买金额频数频率（0，500] 5 0.05（500，1000] x p（1000，1500] 15 0.15（1500，2000] 25 0.25（2000，2500] 30 0.3（2500，3000] y q合计100 1.00（1）确定x，y，p，q的值；（2）为进一步了解童装部的购买情况是否与顾客性别有关，对这100名顾客调查显示：购物金额在2000元以上的顾客中女顾客有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的顾客中男顾客有20人；①请将列联表补充完整：女顾客男顾客合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表，判断是否有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关？ 参考数据：P （K 2≥k ） 0.01 0.05 0.025 0.01k 2.706 3.841 5.024 6.635．19．如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，面AA 1B 1B ⊥面ABC ，且∠A 1AB=60°，AA 1=2，△ABC 为边长为2的等边三角形，G 为△ABC 的重心，取BC 中点F ，连接B 1F 与BC 1交于E 点：（1）求证：GE ∥面AA 1B 1B ；（2）求三棱锥B ﹣B 1EA 的体积．20．已知椭圆的离心率，点P 在椭圆上运动，当∠F 1PF 2=60°，；（1）求椭圆的标准方程； （2）过原点直线l 与椭圆交于A ，B ，斜率为k 1，直线OP 斜率为k 2，，判断△APB 的面积是否为定值，若为定值，则求出这个定值，若不为定值，则说明理由．21．已知函数f （x ）=x ﹣ae x ；（1）若函数g （x ）=f （x ）+f ′（x ）在点（0，g （0））处的切线方程为x+y+1=0，求实数a 的值；（2）当a ＞0时，函数f （x ）存在两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：lnx 1﹣lnx 2＜lna+1． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22．如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ．（1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立．（1）求实数a的最大值m；（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．2015-2016学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．2 C．3 D．5【考点】交集及其运算．【分析】集合A与集合B的公共元素构成A∩B，由此利用A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，能求出A∩B的元素个数．【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}={x|}={x|1＜x≤3}，∴A∩B={2，3}，故选B．2．如果复数是实数，则实数m=（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，利用纯虚数，实部为0，求出m的值即可．【解答】解：复数==，复数是实数，所以1﹣m3=0，解得m=1故选B．3．已知数列{an }满足an+1=an﹣1（n∈N+），且a2+a4+a6=18，则a5的值为（）A．8 B．7 C．6 D．5 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知可得数列{an }是公差为﹣1的等差数列，再由a2+a4+a6=18结合等差数列的性质求得a4，则a5的值可求．【解答】解：由an+1=an﹣1，得数列{an}是公差为﹣1的等差数列，又a2+a4+a6=18，得3a4=18，a4=6，∴a5=a4+d=6﹣1=5．故选：D．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到直线的距离为2，则抛物线C的方程为（）A．B．C．y2=16x D．y2=8x【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标，代入点到直线的距离公式列方程得出p．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），∴F到直线的距离d==2，解得p=8．∴抛物线方程为y2=16x．故选：C．5．已知命题p：x+y≠﹣2，命题q：x，y不都是﹣1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题的等价性先判断￢q是￢p充分不必要条件即可得到结论..【解答】解：￢p：x+y=2，￢q：x，y都是﹣1，则当x，y都是﹣1时，满足x+y=﹣2，反之当x=1，y=﹣3时，满足x+y=﹣2，但x，y都是﹣1不成立，即￢q是￢p充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性知p是q的充分不必要条件，故选：A6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．与a的取值有关【考点】几何概型．【分析】欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解．【解答】解：利用几何概型求解，图中阴影部分的面积为：，则他击中阴影部分的概率是：=1﹣，故选A．7．函数y=2sin+1的部分图象如图所示，则（+2）•=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】根据根据函数的部分图象，求得A、B的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得要求式子的值．【解答】解：根据函数的部分图象，可得sin x=0，由五点作图法知x=π，故x=2，∴A（2，1）．令y=2sin x+1=﹣1，求得sin x=﹣1，求得x=3，故B（3，﹣1）．∴=（8，﹣1）•（1，﹣2）=8+2=10，故选：D．8．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】循环结构．【分析】题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+1，y=y﹣1，i=i﹣1，然后判断i与0的关系满足条件继续执行，不满足条件算法结束．【解答】解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值﹣2和6，打印点（﹣2，6），执行x=﹣2+1=﹣1，y=6﹣1=5，i=3﹣1=2，判断2＞0；打印点（﹣1，5），执行x=﹣1+1=0，y=5﹣1=4，i=2﹣1=1，判断1＞0；打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=4﹣1=3，i=1﹣1=0，判断0=0；不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个．故选B ．9．过点A （3，2）作圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣20=0的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数即可．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y ﹣2）2=25，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=5，∵（3，2）到圆心的距离d==4， ∴最短的弦长为2=6，最长的弦长为10，另外弦长为整数7、8、9的各有2条，共3×2+2=8条．故选：C ．10．如图1点M ，N 分别是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱A 1D 1CC 1的中点，过点D ，M ，N 做截面去截正方体得到的新几何体（体积较大部分），则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（ ）A ．①④⑤B ．②③⑥C ．①③⑤D ．②④⑥【考点】简单空间图形的三视图．【分析】作出截面多边形，根据截面与正方体的棱的交点位置进行判断．【解答】解：过N 作NE ∥DM 交B 1C 1于E ，则E 为B 1C 1的靠近C 1的四等分点，连结ME ，则梯形DNEM 为截面四边形．∴多面体BCNEB 1﹣ADMA 1为新得到的几何体．∴新几何体的主视图为①，左视图为④，俯视图为⑤．故选：A ．11．已知点A 为双曲线右支上一点，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，AF 1交双曲线左支于点B ，若AB=BF 2，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出双曲线的图象，利用双曲线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的定义得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，|BF 2|﹣|BF 1|=2a ，得|AF 1|﹣|AF 2|=|BF 2|﹣|BF 1|，即|AB|+|BF 1|﹣|AF 2|=|BF 2|﹣|BF 1|，∵AB=BF 2，∴|BF 1|﹣|AF 2|=﹣|BF 1|，则|AF 2|=2|BF 1|， 则=2，故选：D12．已知函数g （x ）=x ﹣1，函数f （x ）满足f （x+1）=﹣2f （x ）﹣1，当x ∈（0，1]时，f （x ）=x 2﹣x ，对于∀x 1∈（1，2]，∀x 2∈R ，则（x 1﹣x 2）2+（f （x 1）﹣g （x 2））2的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】全称命题．【分析】函数f （x ）满足f （x+1）=﹣2f （x ）﹣1，当x ∈（0，1]时，f （x ）=x 2﹣x ，∀x 1∈（1，2]，x 1﹣1∈[0，1]，则f （x 1）=﹣2f （x 1﹣1）﹣1﹣1=+6x 1﹣5．设直线y=x+m 与抛物线y=﹣2x 2+6x ﹣5相切，化为2x 2﹣5x+5+m=0，令△=0，解得m ．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：函数f （x ）满足f （x+1）=﹣2f （x ）﹣1，当x ∈（0，1]时，f （x ）=x 2﹣x ， ∀x 1∈（1，2]，x 1﹣1∈[0，1]，则f （x 1）=﹣2f （x 1﹣1）﹣1=﹣2﹣1=+6x 1﹣5．设直线y=x+m 与抛物线y=﹣2x 2+6x ﹣5相切，化为2x 2﹣5x+5+m=0，令△=25﹣8（5+m ）=0，解得m=．∴两条平行线y=x ﹣1与y=x ﹣的距离d==．∴（x 1﹣x 2）2+（f （x 1）﹣g （x 2））2的最小值为．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 54 ．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36． 由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32． 由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54． 故答案为54．14．已知x ，y 满足的条件，则z=y ﹣2x 的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=y ﹣2x 为y=2x+z ，由图可知，当直线y=2x+z 过点A （0，1）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为1．故答案为：1．15．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为Sn ，则S2016= ．【考点】数列的求和；二次函数的性质．【分析】通过向量相等、求导并解方程可知b=，进而裂项可知=﹣，并项相加即得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，∴f′（0）=0+2b=1，即b=，∴f（x）=x2+x， ==﹣，∴S2016=1﹣+﹣+…+﹣=，故答案为：．16．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为4，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为或﹣．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），由空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：V==或V=﹣=﹣．故答案为：或﹣．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且；（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得： sinBcosC=sinCsinB，结合sinB≠0，可得：tanC=，结合范围C∈（0，π），即可得解C的值．（2）利用正弦定理可得：，利用三角函数恒等变换的应用化简可得：三角形的周长l=2sin（A+）+，根据A的范围，和正弦函数的图象和性质即可解得△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴利用正弦定理可得： sinBcosC=sinCsinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴可得：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵由（1）及题意可得：，∴三角形的周长l=a+b+c=2sinA+2sinB+=2sinA+2sin（﹣A）+=2sin（A+）+，∵A∈（0，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，l=2sin（A+）+∈（2，3]．故△ABC周长的取值范围为（2，3]．18．某统计部门随机抽查了3月1日这一天新世纪百货童装部100名顾客的购买情况，得到如图数据统计表，已知购买金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．购买金额频数频率（0，500] 5 0.05（500，1000] x p（1000，1500] 15 0.15（1500，2000] 25 0.25（2000，2500] 30 0.3（2500，3000] y q合计100 1.00（1）确定x，y，p，q的值；（2）为进一步了解童装部的购买情况是否与顾客性别有关，对这100名顾客调查显示：购物金额在2000元以上的顾客中女顾客有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的顾客中男顾客有20人；①请将列联表补充完整：女顾客男顾客合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下 20 合计 100②并据此列联表，判断是否有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关？ 参考数据：P （K 2≥k ） 0.01 0.05 0.025 0.01 k 2.706 3.841 5.024 6.635 ．【考点】独立性检验的应用． 【分析】（1）根据数据统计表，计算q 、y 、x 和p 的值； （2）①根据题意，补充完整列联表即可；②根据列联表计算观测值，对照临界值表即可得出结论． 【解答】解：（1）根据数据统计表知，q=0.4﹣0.3=0.1， y=100×0.1=10，x=100﹣5﹣15﹣25﹣30﹣10=15， p==0.15；（2）①根据题意，补充完整列联表如下： 女顾客 男顾客合计 购物金额在2000元以上 35 5 40 购物金额在2000元以下 40 20 60 合计 75 25 100②根据列联表，计算观测值K 2=≈5.56＞5.024，所以有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关．19．如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，面AA 1B 1B ⊥面ABC ，且∠A 1AB=60°，AA 1=2，△ABC 为边长为2的等边三角形，G 为△ABC 的重心，取BC 中点F ，连接B 1F 与BC 1交于E 点： （1）求证：GE ∥面AA 1B 1B ； （2）求三棱锥B ﹣B 1EA 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连结AF ，由题意知，G 在AF 上，AG=2GF ，由F 为BC 中点可得三角形相似．再由G 为△ABC 的重心，得到GE ∥AB 1，由线面平行的判定得答案； （2）由==得答案．【解答】（1）证明：连结AF ，由题意知，G 在AF 上，AG=2GF ， ∵F 为BC 的中点，∴△B 1EC 1∽△FEB ，且BE=，∴BF=BC ，则点F 为BC 中点． ∵G 为△ABC 的重心，∴=，∴GE ∥AB 1，又AB 1⊂面AA 1B 1B ，GE ⊄面AA 1B 1B ， ∴GE ∥面AA 1B 1B ； （2）解：=====．20．已知椭圆的离心率，点P 在椭圆上运动，当∠F 1PF 2=60°，；（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点直线l 与椭圆交于A ，B ，斜率为k 1，直线OP 斜率为k 2，，判断△APB 的面积是否为定值，若为定值，则求出这个定值，若不为定值，则说明理由． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m+n=2a ，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos60°，可得3mn=4b 2．已知=mnsin60°，解得b 2．又b 2=a 2﹣c 2，=，联立解出即可得出．（2）设直线AP 的方程为：y=kx+m ，A （x 1，y 1），P （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣4=0，=，再利用根与系数的关系可得m ，k 的关系，利用点到直线的距离公式可得点O 到直线AP 的距离．利用S △AOP =|AP|d ，及其S △APB =2S △AOP 即可得出．【解答】解：（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m+n=2a ，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos60°=（m+n ）2﹣3mn ， ∴3mn=4b 2． 由题意可得： =mnsin60°=b 2，解得b 2=2． 又b 2=a 2﹣c 2，=，联立解得a 2=4，c=．∴椭圆的标准方程为： +=1．（2）设直线AP 的方程为：y=kx+m ，A （x 1，y 1），P （x 2，y 2）．联立，化为：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=8（4k2﹣m2+2）＞0．∴x1+x2=，x1x2=．∵=，∴y1y2=﹣x1x2=﹣，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∴﹣=，∴m2=2k2+1．∴S△AOP=|AP|d===，∴S△APB =2S△AOP=2．为定值．21．已知函数f（x）=x﹣ae x；（1）若函数g（x）=f（x）+f′（x）在点（0，g（0））处的切线方程为x+y+1=0，求实数a的值；（2）当a＞0时，函数f（x）存在两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：lnx1﹣lnx2＜lna+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得g（x）的解析式，由切线的方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a=1；（2）求得f（x）的单调区间和极值、最值，由题意可令最大值大于0，可得ae＜1，可得x 1＜1＜ln＜x2，即有x2﹣x1＞ln﹣1，再由零点的定义，结合不等式的性质和指数函数的单调性，即可得证．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣ae x，∴g（x）=f（x）+f′（x）=x﹣2ae x+1，由切线的方程x+y+1=0，可得g（0）=1﹣2a=﹣1，∴a=1．（2）证明：当a＞0时，f′（x）=1﹣ae x，由f′（x）＞0，可得x＜﹣lna；由f′（x）＜0，可得x＞﹣lna．f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递增，在（﹣lna，+∞）单调递减，即有f（x）在x=﹣lna处取得极大值，且为最大值f（﹣lna）=﹣lna﹣1．由题意可知有两个零点，则f（﹣lna）=﹣lna﹣1＞0，即ae＜1，又∵f（1）=1﹣ae＞0，∴x 1＜1＜ln ＜x 2， ∴x 2﹣x 1＞ln ﹣1， 又∵x 1=a，x 2=a，∴==＜=e lnae =ae ，∴lnx 1﹣lnx 2＜lna+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22．如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ． （1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长．【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）由弦切角定理，得∠BAC=∠D ．由同弧所对的圆周角，得∠BAC=∠E ，所以∠D=∠E ，最后由平行线的判定得AD ∥EC ；（2）在⊙O 1中利用切割线定理，算出PB=3．再在⊙O 2中由相交弦定理，得出PE=4，最后在⊙O 2利用切割线定理，即可算出 AD 的长． 【解答】解：（1）连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC=∠D ． 又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E ，可得AD ∥EC ；（2）∵PA 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 2的割线， ∴PA 2=PB •PD ，即62=PB （PB+9），解之得PB=3． 又∵⊙O 2中由相交弦定理，得PA •PC=PB •PE ， ∴6×2=3×PE ，得PE=4．∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， ∴AD 2=DB •DE=9×16=144，解得AD=12．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=a，利用互化公式可得可得直角坐标方程．由曲线C2的参数方程，利用平方关系：cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，注意y的取值范围．（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，数形结合可得：圆心（﹣1，﹣1）到直线的距离d=＜1，且a≥﹣1，解出即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=a，可得直角坐标方程：x+y﹣a=0．曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π），可得普通方程：（x+1）2+（y+1）2=1，（﹣1≤y≤0）．（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，圆心（﹣1，﹣1）到直线的距离d=＜1，且a≥﹣1，解得﹣1≤a＜﹣2．24．已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立．（1）求实数a的最大值m；（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得实数a的最大值．（2）由条件利用二维形式的柯西不等式，求得a2+b2+c2的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立，故 2|x+sin2θ|≥a﹣2|x﹣cos2θ|恒成立，即 2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥a 恒成立．∵2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥|2x+2sin2θ﹣（2x﹣2cos2θ）|=2，∴2≥a，即a≤2，∴a 的最大值为m=2．（2）∵a+2b+3c=2m=4，∴16=（a+2b+3c）2≤（a2+b2+c2）•（12+22+32）=14•（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥=，即a2+b2+c2的最小值为．2016年9月20日。
高中套题高三模拟重庆南开中学届高三3月月考(全套五科)
重庆南开中学高2009级3月月考数学试题（文科）一、选择题1．已知集合{|(3)0},{|||2},P x x x Q x x =-<=<则PQ =( ))0,2(-⋅A )2,0(⋅B .(2,3)C .(2,3)D -2．已知等比数列}{n a 中，4a ,3=则53a a 的值是( )A ．3B ．6C ．9D ．123．已知直线m ，n 和平面α则m//n 挖的必要非充分条件是( ).////Am n αα且 .B m n αα⊥⊥且 .//C m αα⊂且n . ,D m n α与成等角4．函数)(x f y =为偶函数，则函数)1(+=x f y 的一条对称轴是( ) A. x=－1 B. x=0 C. x=l D. x=25．己知函数),0()(2=/+=a bx ax x f 其导函数的图像过二、三、四象限，则函数()f x 的 图像不．经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( )A 2.B 3C 234.D 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A(-6，0)和C(6，O)，顶点B 在双曲线1112522=-y x 的左支上，则sin sin sin A C B -=( ) 65.A 21.B 53.C 54.D 8．过空间两点作一直线的垂面，则( )A ．一定可作一垂面B ．最多可作一垂面C ．可作一个或两个垂面D ．可作无数个垂面9．已知数列}{n a 为等差数列，若11011-<a a且它们的前n 项和n S 有最大值,则使得n S >0的n 的最大值是( )A.21B.20C.19D.11 10．已知,0||2||=/=且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则 a 与b 的夹角范围为( ))6,0[π⋅A ],3(ππ⋅B ]32,3(ππ⋅C ],6(ππ⋅D11.点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上的一个动点，N 是边BC 中点，则.AM AN 的最大值是( )4.A5.B6.C 8.D12.已知球O 的半径为，两个平面分别截球面得到两个圆1O 与2,O 若121260,OO OO OOO ==∠=则1O 与2,O 的公共弦长为( ) 3.A 22.B 3.C 24.D二、填空题==-=-ααββαtan ,41)tan(,21)2tan(.13 14．已知),()(3R x x x x f ∈+=则不等式0)(log 2>x f 的解集为 15.直三棱柱11DCC ABB -中，190,4,ABB AB ∠==DC CC BC ,1,21==上有一动点P ，则1AP C ∆周长的最小 值为16.设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 作它的弦AB ， 若 90=∠CBF ，则||||AF BF -的长为三、解答题17．若2()s i n s i n c o s (0)f x a x a x a x a =->图像与直线)0(>=m m y 相切，并且切点横坐标依次成公差为2π的等差数列 (1) 求a 和m ;(2) 若),(00y x A 是)(x f y =的图像的对称中心，求A 的坐标。
重庆南开中学2007级高三年级3月月考文 综 试 题
重庆市南开中学 2007级高三下学期3月月考文 综 试 题第Ⅰ卷（选择题 共35题，140分）一、选择题（在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的。
）某日，重庆南开中学课外活动小组利用旗杆影子测经纬度。
图中的黑色线段表示一天中旗杆影子的朝向和长短。
读图1，回答1—3题。
1．与该日重庆旗杆影子变化吻合的示意图是 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 2．该日旗杆影子最短时，位于重庆正南且与重庆正午太阳高度相同点为 （ ） A ．19.5°S, 106°E B ．23.5°N, 120°E C ．69°S, 106°E D ．29.5°S, 120°E 3．该日前后，下列地理现象可信的是 （ ） A ．该日后，北半球的极夜范围逐步扩大 B ．美国硅谷处于旱季 C ．从地中海航行到大西洋的船舶顺风顺流 D ．到东南亚旅游的北欧游客较多4．图2中的A 、B 两点分别表示1950年和1990年我国某地人口数量、耕地面积、粮食单产的情 况，据图中信息判断，下列各数据趋于减少的 是 （ ） A ．粮食产量 B ．人均粮食占有量 C ．耕地面积D ．粮食单产读图3，回答5—6题。
图 1图25．四地中，分别是世界和我国重要的棉产区的为（）A．乙与丙B．甲与丙C．甲与丁D．乙与丁6．关于甲、乙、丙、丁四图的描述正确的是（）A．甲图示湖泊由于有河流注入，为淡水湖B．乙图示大部分地区为干旱的热带沙漠气候，气温的日较差和年较差都很大C．丙图所示C农业区的主要农作物为冬小麦、甜菜D．丁图示地区位于暖温带，耕作制度多为一年一熟图4是中国、英国、印度、俄罗斯、日本5个国家的土地利用示意图，联系所学知识判断7—9题。
7．林地面积最大的国家是（）A．甲国B．乙国C．丙国D．丁国8．从自然条件看，甲国最适宜发展的农业地域类型是（）A．商品谷物农业B．大牧场放牧业C．水稻种植业D．乳畜业9．中国耕地比重远低于丙国的主要原因是（）①国土面积小于丙国②山区面积广大③干旱半干旱面积广大④人口密度大于丙国A．①④B．②④C．①③D．②③图5是我国城市甲（25°N）和城市乙（26°35′N）所作的地形剖面图，图中丙河是发源于我国三江源自然保护区的一条国际河流；回答10—11题。
重庆市南开中学2020届高三下学期3月月考数学(文)试题及答案
重庆南开中学高2020级高三（下）3月考试数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数421i z i -=+的虚部为( ) A. 1- B. 3- C. 1 D. 22.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米4.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A. 15 B. 23 C. 79- D. 595.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，a =则ABC ∆面积为（ ）A. B. C. D.6.若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（ ）A. 0B. 32C. -3D. 3 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 42B. 45C. 46D. 48 8.已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =u u u v u u u v ，13CE CB =u u u v u u u v ，则向量AD uuu v 与AE u u u v 的关系是（ ） A. 2AD AE =u u u v u u u vB. 12AD AE =u u u v u u u v C . AD AE ⊥u u u vu u u vD. AD uuu v 与AE u u u v 成60︒夹角 9.已知函数()cos 3x f x π=，根据下列框图，输出S 的值为( ) A. 670B. 16702C. 671D. 672 10.奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2x-＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ）A. （﹣1，0）∪（0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 11.在ABC ∆中，sin 3sin 2B C =，60BAC ∠=︒，D 是BC 的中点.若AE EC λ=u u u r u u u r ，且AD BE ⊥，则实数λ=（ ）A. 75B. 712C. 43D. 4712.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A. 34B. 234C. 517D. 317第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知集合{}2|60A x x x =--≤，{}|2B x x =≤，则A B =U ______.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，则n a =______. 15.已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________．16.把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：①该函数的解析式为；2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3，则23a =． 其中，正确判断的序号是______．三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件开始，计件工资每件5元.该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据.将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件的概率；（2）若甲、乙选择了日工资方案一，丙、丁选择了日工资方案二.现从上述4名工人中随机选取2人.求至少有1名工人选择方案一的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，110BB =，D ，E 分别是线段1BB ，1AC 的中点.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥A DCE -的体积.19.已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20.已知抛物线C ：()220x py p =>，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且当直线l 倾斜角为45︒时，与抛物线相交所得弦的长度为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）若分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由. 21.已知函数()()ln 11f x x x a x =-++，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若方程()()121120f x a a x x x⎛⎫-+++++= ⎪⎝⎭有三个解，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，求2C 的参数方程； （2）若M ，N 分别是直线l 与曲线2C 上的动点，求MN 的最小值.23.已知()|1||1|f x x ax =-++,()|1|2g x x =++（Ⅰ）若12a =,求不等式()2f x <的解集； （Ⅱ）设关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为A ,若集合(0,1]A ⊆,求a 的取值范围.重庆南开中学高2020级高三（下）3月考试数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数421i z i -=+的虚部为( ) A. 1-B. 3-C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案. 【详解】()()()()42142426131112i i i i z i i i i -----====-++-, 则复数z 的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi 的虚部为b ，不要误写为bi .2.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米 【答案】C【解析】【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案．【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．4.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A. 15 B. 23 C. 79- D. 59【答案】C【解析】【分析】 利用三角函数的诱导公式化简得22cos(2)cos[(2)]cos[2()]336πππαπαα-=---=-+，再利用余弦的倍角公式，即可求解． 【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336ππππαπααα-=---=-+=-+ 22172sin ()12()1639πα=+-=⨯-=-，故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，a =则ABC ∆面积为（ ）【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到2c =，再根据余弦定理得到3cos 4C =，再计算面积得到答案.【详解】sin 2sin A B =，故2a b ==()cos cos 2sin cos sin cos 2sin 2a B b A R A B B A R C c +=+===， 所以2223cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =，1sin 22ABC S ab C ∆==.故选：C .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.6.若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（） A. 0 B. 32 C. -3D. 3 【答案】D【解析】【分析】做出可行域，根据图象求出目标函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】做出可行域如图所示，目标函数过A 点时取得最大值，由2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ， 所以z x y =-的最大值0M =当z x y =-过(0,3)B 时，取得最小值为3m =-，所以3M m -=.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】 先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF, 所以该几何体的体积为11434-(23)24824632⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=.故选C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =u u u v u u u v ，13CE CB =u u u v u u u v ，则向量AD uuu v 与AE u u u v的关系是（ ） A. 2AD AE =u u u v u u u v B. 12AD AE =u u u v u u u v C. AD AE ⊥u u u v u u u vD. AD uuu v 与AE u u u v 成60︒夹角【答案】A【解析】【分析】 先求出=6,8AD u u u r （），=3,4AE u u u r （），所以2AD AE =u u u r u u u r，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r (3,4)=，所以2AD AE =u u u r u u u r .故选：A.【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数()cos 3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A. 670B. 16702C. 671D. 672【答案】C【解析】【分析】 根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos 32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos 32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =，直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos 3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．10.奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2x -＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ）A. （﹣1，0）∪（0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【答案】C【解析】【分析】根据当x ＜0时，()f x ¢2x-＜f （x ）的结构特征，构造函数()()2h x x f x =，求导得()()()(2)h x x xf x f x ''=+，由当x ＜0时，()f x ¢2x -＜f （x ），得()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数，再根据f （x ）奇函数，则()()2h x x f x =也是奇函数，()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导数()f x ¢， 所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，将（x 2﹣1）f （x ）＜0转化为()21()0x h x -<求解.【详解】设()()2h x x f x =， 所以()()()(2)h x x xf x f x ''=+，因为当x ＜0时，()f x ¢2x-＜f （x ）， 即()()20xf x f x '+>，所以()()()(2)0h x x xf x f x ''=+<，所以()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数. 又因为f （x ）奇函数，所以()()2h x x f x =也是奇函数， 所以()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数， 又因为函数f （x ）在R 上存在导数()f x ¢， 所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，所以（x 2﹣1）f （x ）＜0()21()0x h x ⇔-<210()0x h x ⎧->⇔⎨<⎩或210()0x h x ⎧-<⎨>⎩解得1x >或10x -<<故选：C【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 11.在ABC ∆中，sin 3sin 2B C =，60BAC ∠=︒，D 是BC 的中点.若AE EC λ=u u u r u u u r ，且AD BE ⊥，则实数λ=（ ） A. 75 B. 712 C. 43 D. 47【答案】A【解析】【分析】 由已知可得32b c =，以,AB AC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，再由AD BE ⊥u u u r u u u r ，建立λ方程，即可求解. 【详解】sin 333,,sin 222B b b c C c =∴==Q ， D 是BC 的中点，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ,1AE EC AE AC λλλ=∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r Q ， 1BE AE A AB AC B λλ=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u u r r u u ， ,AD BE AD BE ⊥⊥u u u r u u u r Q ，1()()21AC AB AD B AC E AB λλ+⋅+-⋅=u u u r u u u u u u u ur u u u r u u r u u r r 221[(]01121)AC AB AC AB λλλλ=+=++⋅--u u u r u u u r u u u r u u u r 2201)cos6011(b bc c λλλλ∴+-︒++=-， 整理得77,1125λλλ=∴=+. 故选:A.【点睛】本题考查正弦定理、共线向量、向量基本定理、垂直向量的应用，考查计算求解能力，属于中档题.12.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A. 34B. 234C. 517D. 317 【答案】D【解析】【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ，且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅==. 故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知集合{}2|60A x x x =--≤，{}|2B x x =≤，则A B =U ______.【答案】[]2,3-【解析】【分析】化简集合,A B ，按并集定义即可求解.【详解】{}2|60[2,3]A x x x =--≤=-， {}|2[2,2]B x x =≤=-，[2,3]A B ⋃=-.故答案为:[]2,3-【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，则n a =______.【答案】2n n a =-【解析】【分析】利用n a 和n S 的关系计算得到答案.【详解】11122222+22(2)n n n n n n n n S S S a n ++-⇒=-=-=--≥=-当1n =时，112a S ==- 满足通项公式故答案为2n n a =-【点睛】本题考查了n a 和n S 的关系，忽略1n =的情况是容易发生的错误.15.已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________．【答案】2【解析】【分析】由题意首先求得点P 的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.【详解】设()()()12,0,,00F c F c c ->，F 1关于直线y x =-的对称点P 坐标为（0，c ），点P 在椭圆上，则：2201c a+=，则c =b =1,2222a b c =+=，则a =故12PF F △的周长为：1212222PF PF F F a c ++=+=.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．16.把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为；2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a =． 其中，正确判断的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin[2()]2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象，再根据三角函数的图象与性质逐项判定，即可求解． 【详解】把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数2sin[2()]2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象， 由于()2sin(2)3f x x π=+，故①不正确； 令2,3x k k Z ππ+=∈，求得,26k x k Z ππ=-∈，故函数的图象关于点(,0)26k ππ-对称，故函数的图象关于点(,0)3π对称，故②正确； 令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数的增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，故函数[0,]6π上不是增函数，故③不正确；当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈，故当4233x ππ+=时，()f x 取得最小值为函数()y f x a =+取得最小值为a =a =故答案为②④．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件开始，计件工资每件5元.该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据.将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件的概率；（2）若甲、乙选择了日工资方案一，丙、丁选择了日工资方案二.现从上述4名工人中随机选取2人.求至少有1名工人选择方案一的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【答案】（1）0.4（2）56（3）新聘工人应选择方案一，详见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出[)65,75，[)75,85，[]85,95的频率，即可求出结论；（2）列出4人中随机选取的所有情况，确定满足条件基本事件的个数，按古典概型的概率求法，即可求解；（3）求出该工厂的人均产量的平均数，分别求出两种日新方案的平均值，选择选择高的方案即可.【详解】（1）设事件A为”随机选取一天，这一天该工厂的人均生产量不少于65件”，依题意，该工厂的人均生产量不少于65件的频率分别为：0.2，0.15，0.05，∴()0.20.150.050.4P A=++=.（2）设事件B为“从4名工人中随机选取2人，至少有1名工人选择方案一”，从4名工人中随机选取2人，所有情况有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共有6种情况，其中至少有1名工人选择方案一的情况有5种情况，∴()5 6P B=.（3）由频率分布直方图可知：该工厂的人均产量的平均数为：300.05400.05500.2600.3⨯+⨯+⨯+⨯700.2800.15900.0562+⨯+⨯+⨯=.∴方案一平均工资约为：50623236+⨯=，方案二平均日工资约为：()10062445190+-⨯=.可知方案二平均工资低于方案一平均日工资.故新聘工人应选择方案一.【点睛】本题考查由频率分布直方图求频率和平均数、古典概型，属于基础题.18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，110BB =，D ，E 分别是线段1BB ，1AC 的中点.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥A DCE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2033 【解析】【分析】（1）取AC 中点为H ，连接HE ，BH ，证明四边形HEDB 是平行四边形，可得//HB DE ，即可证明结论；（2）利用等体积法结合E 是线段AC 中点，可得111122A DCE E ACD C ACD C ABC V V V V ----==⨯=，即可求解. 【详解】（1）取AC 中点为H ，连接HE ，BH ，∴1//BD CC ，112BD CC =，1//HE CC ， 112HE CC =，∴四边形HEDB 是平行四边形， ∴//HB DE ，HB ⊂平面ABC ，DE ⊄平面PAD ，∴//DE 平面ABC .（2）E 是线段AC 中点，则112A DCE E ACD C ACD V V V ---==111111222A CDC A BCC C ABC V V V ---=⨯⨯=⨯=. 11120323410232=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面平行的证明以及求椎体的体积，合理应用等体积法是解题的关键，属于中档题.19.已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）12112222n n S n n +=++- 【解析】 【分析】（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122n n n n n a na +++=+,即可证明结论;（2）由（1）可求得2n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】（1）证明:因为11221n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112a =, 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112n nna n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232n n =++++++++L()232222(123)n n =+++++++++L L ()212(1)122nn n ⨯-+=+-12112222n n n +=++-. 【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20.已知抛物线C ：()220x py p =>，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且当直线l 倾斜角为45︒时，与抛物线相交所得弦的长度为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）若分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）24x y =（2）存在；最小面积为4π【解析】【分析】（1）根据题意求出直线l 倾斜角为45︒时的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系和焦半径公式，求出弦长，即可求出p ；（2）点P 关于直线AB 的对称点为Q ，可得ABP ABQ ≅V V ，从而有APB AQB ∠=∠，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，只需判断是否有2APB π∠=，即,PA PB 是否垂直，根据切线的几何意义，求出,PA PB的斜率，即可得出结论，如果存在外接圆，外接圆的直径为AB ，要使外接圆面积最小，即求||AB 最小，利用根与系数关系和相交弦长公式，即可求解.【详解】（1）由题意知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线l 倾斜角为45︒时，直线l 的方程为2p y x =+， 由222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得：22304p y py -+=， 所以123y y p +=.又由128y y p MN =++=，所以2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）四边形PAQB 存在外接圆.设直线AB 方程为1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，则216160k ∆=+>，且124x x k +=，124x x =-， 所以()222112()441x AB y y k x k =+=+=+++， 因为C ：24x y =，即24x y =，所以'2x y =. 因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222x k =， 由于121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB ∆是直角三角形， 所以PAB ∆的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径，所以点Q 一定在PAB ∆的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆. 又因()241AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦点弦长、切线的几何意义的应用，要熟练掌握焦点弦长求法，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.21.已知函数()()ln 11f x x x a x =-++，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若方程()()121120f x a a x x x⎛⎫-+++++= ⎪⎝⎭有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）调递减区间是()0,a e ，单调递增区间是(),a e +∞，()f x 的极小值为1a e -，无极大值（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出()f x '，求解不等式()0,()0f x f x ''><，得出单调区间，进而求出极值； （2）设()()()12112f x a a x x x xh ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭，()h x 有三个零点，()h x 至少有三个单调区间，求出()h x '，对a 分类讨论，求出至少有三个单调区间a 的范围， 再结合零点存在性定理，确定区间存在零点的不等量关系，即可求解.【详解】（1）()'ln f x x a =-，令ln 0x a -=，解得a x e =，当0a x e <<时，()'0f x <；当a x e >，()'0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是()0,a e，单调递增区间是(),a e +∞， 所以()f x 的极小值为()1a a f e e =-，无极大值.（2）设()()()12112f x a a x x x xh ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭， 即()()l 2212n a x x xh x a +=-++， ()()2222122121'x a x a a a x x xh x +---=-+= ()()()2120x x a x x -+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点. ②若12a =-，则()0,x ∈+∞，()'0h x ≥， （仅()'10h =），()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点. ③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时， ()'0h x >，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立， 由()10h <，得32a <-， 这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点.④若12a <-，则21a ->，当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()'0h x >， ()h x 单调递增：当()1,2x a ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立， 由()10h >，得32a >-， 由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-， 得2e a <-，∴322e a -<<-. 且当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-， ()()()2222242242h e e a e e e e --=++-<+--4150e <+-<，()()()222222232h e e a e e e --=++>-+2226370e e e -=-->->.综上，a 的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、零点问题，以及零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理和计算求解能力，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，求2C 的参数方程； （2）若M ，N 分别是直线l 与曲线2C 上的动点，求MN 的最小值.【答案】（1）cos 42sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）. 【解析】【分析】（1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到cos 2sin 2x y αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，变形后可得2C 的参数方程；（2）由sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式及三角函数求最值得答案.【详解】解析：（1）曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，2cos :2sin 2x C y αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），即cos 42sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）. （2）直线:sin 04l πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，sin cos 022ρθρθ∴⨯+⨯+=， ∴直线l 的直角坐标方程为80x y ++=，||MN d ∴≥== ∴当sin()1αϕ+=-时，min ||MN ==． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查普通方程化参数方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题.23.已知()|1||1|f x x ax =-++,()|1|2g x x =++ （Ⅰ）若12a =,求不等式()2f x <的解集； （Ⅱ）设关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为A ,若集合(0,1]A ⊆,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 4|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；(Ⅱ) []5,3-． 【解析】【分析】（Ⅰ）利用零点分区间法去掉绝对值，转化为不等式组求解即可．（Ⅱ）根据题意将问题转化为“对于(]0,1x ∈，不等式1112x ax x -++≤++恒成立”求解，通过去掉绝对值得到3122a x x--≤≤+对(]0,1x ∈恒成立，求出最值可得结果．【详解】（Ⅰ）当12a =时，不等式()2f x <即为1122x x -++<， 等价于1322x x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩或21222x x -≤<⎧⎪⎨-<⎪⎩或2322x x <-⎧⎪⎨-<⎪⎩ 解得413x ≤<或01x <<， 所以403x <<． 所以原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）由题意可知，对于(]0,1x ∈，不等式1112x ax x -++≤++恒成立， 故不等式113x ax x -++≤+对于(]0,1x ∈恒成立， 化简得122ax x +≤+所以(]23210,1x ax x x --≤≤+∈对于恒成立，， 即3122a x x--≤≤+对于(]0,1x ∈恒成立， 又当(]0,1x ∈时，123x +≥，且325x --≤-， 所以53a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]5,3-．【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．。
重庆南开中学第三月考精华试题(含答案)
重庆南开中学第三月考精华试题（含答案）第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.5的倒数是（ ）.A ． -5B ．5C ．1/5D ．-1/52．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）A ．﹣10℃B ．﹣6℃C ．10℃D ．6℃3．如图，∠AOB =70°，射线OC 是可绕点O 旋转的射线，当∠BOC =15°时，则∠AOC 的度数是（ ）A ．55°B ．85°C ．55°或85°D ．不能确定5．2014年5月21日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了《中俄东线供气购销合同》，这份有效期为30年的合同规定，从2018年开始供气，每年的天然气供应量为380亿立方米，380亿立方米用科学记数法表示为（ ）A ．3.8×1010m 3B ．38×109m 3C ．380×108m 3D ．3.8×1011m 35．下列计算正确的是…………………………………………………………………（ ）A ．－3(a +b )=－3a +3bB ．2(x +12y )=2x +12y C ．x 3+2x 5=3x 8 D ．－x 3+3x 3=2x 3 6.在△ABC 中，已知AB=AC=4cm ，BC=6cm ，D 是BC 的中点，以D 为圆心作一个半径为3cm 的圆，则下列说法正确的是…………………………………………………………（ ）A. 点A 在⊙D 外B. 点B 在⊙D 内C. 点C 在⊙D 上D. 无法确定7、某商品价格a 元，降低10％后，又降低了10％，销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为 （ ）A ．a 元B ．1.08a 元C ．0.972a 元D ．0.96a 元8．在下列各数：-3, +8, 3.14, 0, π,1/7 , -0.4, 2.75%, 0.1010010001……中，有理数的个数是（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个9．据报道，5月28日参观2010上海世博会的人数达35.6万﹒用科学记数法表示数35.6万是（）A．3.56×101B．3.56×104C．3.56×105D．35.6×10410．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3 B．C．5 D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．已知∠＝50°，则∠的补角的度数为．12.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则＋a的化简结果为.13．多项式 3xy44+3x+26的最高次项系数是__________．14．若方程（m2＋m－2）x^m*m-4－3＝0是一元一次方程，则m的值为_______．15．请阅读一小段约翰·斯特劳斯的作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时间长应为______ ( )三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题16分）计算：⑴ 7－(－3)＋(－4)－|－8| ⑵ －81÷32×(－23)÷3⑶ (79－116－718)÷(－136) ⑷ －14－(1－14)×[4－(－4)2]17.解方程（1）3（2－x ）=12-5x （2）18．先化简，再求值：已知5x y 2－[x 2 y －2( 3xy 2－x 2 y )]－4 x 2y ，其中x 、y 满足(x －2)2 +∣y +1∣=0．19．小强买了张50元的乘车IC 卡，如果他乘车的次数用m 表示，则记录他每次乘车后的余额n （元）如下表：次数 m 余额 n （元）1 50﹣0.82 50﹣1.63 50﹣2.44 50﹣3.2……（1）写出乘车的次数m表示余额n的关系式．（2）利用上述关系式计算小强乘了13次车还剩下多少元？（3）小强最多能乘几次车？20．情景：试根据图中信息，解答下列问题：（1）购买6根跳绳需元，购买12 根跳绳需元．小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由．21．学校会议室采用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第一次铺2块，如图1，第二次把第一次铺的部分完全围起来，如图2，第三次把第二次铺的部分完全围起来，如图3……依次类推．如果把从开始到第n次铺完后总共用的木块数记作a n，把第n次镶嵌时用来围铺前一次木块所用的木块（即周围一圈的木块）数记作b n．则(1) a3 = ___________；b3 =____________；(2) b n = ________________________(用含n的代数式表示)(3) a99 + b100 = _______________．图1 图2 图322.一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成.如果1立方米木料可以做方桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？23.三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a ＋b 、a 的形式，又可以表示为0、b a、b 的形式，求a 2014＋b 2013的值.。
南开中学-度高三数学第三次月考试卷
南开中学2006-2007年度高三数学第三次月考试卷一、选择题：（每题5分`，共50分）1设3sin ,,,522ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan α的值为 ( ) A 34 B 34- C 43 D 43- 2在等差数列{}n a 中，499,6,n a a s ==-是其前n 项和，则 （ ）A 67s s =B 68s s =C 78s s =D 57s s = 3设数列{}n a 的前n 项和1()3n n s a b =-+，（a,b 为常数），若{}n a 是等比数列，则有 （ ） A 0,0a b ≠= B 0a b == C 0a b =≠ D 0a b +=且0a ≠ 4函数sin(2)5cos(2)66y x x ππ=-++-的最小正周期是 （ ） A 2π B π C 2π D 4π 52!(1)!(2)!n n a n n n +=++++,n s 为其前n 项和，则lim n n s →∞=（ ） A 0 B12 C 23 D 不存在 6为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象 （ ） A 向右平移6π个单位长度 B 向右平移3π个单位长度 C 向左平移6π个单位长度 D 向左平移3π个单位长度 7某等差数列首项为(0)a a ≠，第二项为b ，则这个数列中有一项为0的充要条件为 （ ）A 0k ≠a b N -∈B a b N +∈C b N a b ∈-D a N a b∈- 8数列{}n a 中，21n a n =+，另一个数列{}n b ，11b a =，并且当2n ≥时，1n n b b a -=，{}n b 的前n 项和为n s ，则lim n n ns b →∞= （ ） A 0 B12 C 2 D 89数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足222,()n n s na n n n N *=+-∈，则1010a a -为（ ） A –90 B –180 C –360 D –40010已知函数()sin()53kx f x π=+，其中0k ≠，使得自变量x 在任意两个整数之间包括正整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个最大值和一个最小值，则最小自然数k 为 （ ）A 15B 16C 31D 32二、填空题：（每题4分，共2 4分）112tan α=，则α的范围_________________________ 12已知213sin cos 22y x a x a =+--的最大值为1，则a=_______________________ 13已知数列{}n a ()n N *∈满足： 1log (2)n n a n +=+()n N *∈，定义使123...k a a a a 为整数的k ()k N *∈叫做企盼数，则区间[]1,2007内所有企盼数的和为____________ 14 1122121,2,n n n n n a a a a a a a +++===+，则lim n a a →∞=_________________________________ 15 2(4)n n ≥个正数排成n 行n 列如下：13241232423123413 (26)......................n n nn n n n nn a a a a a a a a a a a a其中每一行成等差数列，每一列成等比数列，则12233489...a a a a ++++=_________ 16已知函数sin ,(sin cos )()cos ,(sin cos ){x x x f x x x x ≤=>，给出下列四个结论： （1） 当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最小值（2） ()f x 是周期函数 （3）()f x 的值域是[]1,1-（4） 且仅当222,()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()f x <０其中正确的结论序号是________________________(把正确的结论序号都写上)。
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2007年重庆南开中学高三数学下学期3月月考试题（文）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
总共三个大题，22 个小题，总分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|>2,x ∈R }，全集U=R ，则集合P ∩（C U Q ）=（ ）A ．{1，2}B ．{3，4}C ．{1}D ．{—2，—1，0，1，2} 2．已知,532sin =θ则cos θ的值为（ ）A ．257-B ．257C ．54 D ．54- 3．双曲线1322=-y x 的渐近线方程为（ ）A ．y =±3xB ．x y 3±=C ．x y 31±= D ．x y 33±= 4．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在等比数列{a n }中，a 5、a 4、a 6成等差数列，则公比q 等于（ ）A ．1或2B ．－1或－2C ．1或－2D ．－1或2 6．函数)01(12≤≤--=x x y 的反函数是（ ） A ．)10(12≤≤-=x x y B ．)10(12≤≤--=x x yC ．)12(12-≤≤---=x x yD ．)01(12≤≤---=x x y7．室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线 （ ）A ．异面B ．相交C ．垂直D ．平行8．函数54)(3++=x x x f 的图象在x=1处的切线与圆22y x +=50的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交但不过圆心D ．过圆心9．函数x x x f cos sin )(⋅图象沿x 轴向左平移4π个单位，再将各点横坐标压缩为原来的21，则所得函数是 （ ）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 10．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题 （ ）①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m ②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③11．已知椭圆b a b a by a x 2),0(12222≤>>=+满足，若椭圆的离心率为e ，则221e e +的最小值（ ）A ．27B ．25 C ．3D ．412．如图，△PAB 所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD=4， BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB ， 则点P 在平面α内的轨迹是（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量k k //),1,(),2,13(且=-=，则实数k = .14．若实数x 、y 满足y x z y x x y -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤则,0212的最大值是 .15．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值是 .16．设C ：y=x 2（x>0）上的点为P 0（x 0,y 0），在P 0处作曲线C 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y轴的直线与曲线C 交于P 1（x 1,y 1），然后在P 1作曲线C 的切线与x 轴交于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 2（x 2,y 2），依次类推，作出以下各点：Q 3，P 3，…Q n ，P n …。
已知x 0=2，则数{x n }的通项公式是 .三、解答题（共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（13分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对分别为a 、b 、c ，若),2sin ,2cos(A A m -= ),2sin ,2(cosA A =且.21=⋅ （1）求角A ；（2）若ABC c b a ∆=+=求,4,32的面积.18．（13分）已知F （x ）=kx+b 的图象与直线x －y －1=0垂直且在y 轴上的截距为3， （1）求F （x ）的解析式；（2）设a>2，解关于x 的不等式.1)(32)3(2<+++-x f a x a x19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足.0,)1(412>+=n n n a a S 且 （1）求a 1,a 2及{a n }的通项公式；（2）令b n =20－a n ,问数列{b n }的前多少项的和最大？20．（12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CB =1，CA=3，AA 1=6M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥A 1C ； （1）求证：B 1C 1//平面A 1BC ； （2）求异面直线A 1B 与AC 所成的角的余弦值；（3）求点C 到平面ABM 的距离.21．（12分）如图，ABCD 是一块边长为4km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，河流经过路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计），某公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN （如图），问如何施工才能使游乐园面积最大，并求出最大值.22．（12分）如图，设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 两点坐标为（x 1,y 1），（x 2,y 2），y 1>0,y 2<0,P 是此抛物线的准线上的一点，0是坐标原点.（1）求证：221p y y -=（2）若直线PA 、PF 、PB 的方向向量分别为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ）， 求证：实数a 、b 、c 成等差数列；（3）若,0=⋅PB PA ∠APF =α，∠BPF =β，∠PFO =θ，求证：θ=|α－β|.参考答案一、选择题ABDAC BCCDD BA 二、填空题 13．1 14．2 15．22 16．1)21(-n三、解答题 17．解：（1）∵21),2sin ,2(cos ),2sin ,2cos(=⋅=-=n m A A n A A m 且 ∴),,0(,21cos ,212sin 2cos22π∈=-=+-A A A A 又即 ∴π32=A（2）由余弦定理得bc c b bc c b bc c b a -+=++=︒-+=222222)(120cos 2代入4:,4,32==+=bc c b a 得∴ABC bc A bc S ABC ∆=⋅=⋅=∆即,332sin 21sin 21π的面积为3. 18．解：（1）由已知，得k =－1，b =3∴f （x ）=－x+3（2）由,032)2(,01332)3(22<-=+-<--+++-xax a x x a x a x 得 .03)2)((>---x x a x 即当a >3时，不等式解集为（2，3）∪（a ,+∞） 当a =3时，不等式解集为（2，3）∪（a ,+∞） 当2<a <3时，不等式解集为（2，a ,）∪（3+∞） 19．解：（1）,3)1(41,1)1(412222112111=⇒+=+=⇒+==a a a a a a S a 当2≥n 时，])1()1[(412121+-+=-=--n n n n n a a S S a),(21)(411212---+-=n n n n a a a a 由此得0))((11=-+--n n n n a a a a ∵01≠+-n n a a ∴21=--n n a a∴}{n a 是公差为2的等差数列. 即}{n a 的通项公式为.12-=n a n（2）b n =2n －1，易见b 1>0，{b n }是递减数列令,021902211⎩⎨⎧<-=>-=+n b n b n n∴n=10，即{b n }是前10项和最大；（另解：求出{b n }的前n 项和T n =－n 2+2n ，可见当n=10时T n 最大） 20．解：（1）证明：在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1//BC ，B 1C 1⊄平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ∴B 1C 1//平面A 1BC.（2）在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC//A 1C 1，∴∠BA 1C 1或其补角是异面直线A 1B 与AC 所成的角. 连接BC 1，∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥A 1C 1，又∠A 1C 1B 1=∠ACB=90°，即A 1C 1⊥B 1C 1 ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∴BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥BC 1，在Rt △BCC 1中，BC=1，CC 1=AA 1=6，∴BC 1=7212=+CC BC在Rt △ABC 1中，A 1C 1=3，BC 1=7， ∴A 1B=1021211=+BC C A∴.1030cos 11111==∠B A C A C BA （3）过点C 作CD ⊥AB 于N ，连接MD ，过点C 作CH ⊥MD 于H ，∵CC 1⊥平面ABC ，∴由三垂线定理，得MD ⊥AB ， ∴AB ⊥平面MCD ， ∴AB ⊥CH ，又CH ⊥MD ，∴CH ⊥平面ABM ，即CH 为点C 到平面ABM 的距离。
在平面A 1ACC 1中，由A 1C ⊥AM ，易得△A 1AC ∽△ACM ， ∴,1CMACAC AA = ∴,2612==AA AC CM在Rt △ABC 中，AB=.222=+BC AC∴,23=⋅=AB BC AB CD ∴,2222=-=CD BC BD 在Rt △MCD 中，MD=.23\22=+CD MC ∴.22=⋅=MD CD CM CH21．解：M 为原点，AB 为y 轴，以垂直于AB 的直线x 轴建立坐标系，由题意得点D 的坐标为D （4，2），则抛物线的方程为x y =2令P （t 2，t ），则,2||,4||,202+=-=≤≤t PQ t PN t所以)20(842)4)(2()(232≤≤++--=-+=t t t t t t t S 求导得：0443,44322=++-=+--=t t S t t S 令 得函数S （t ）的可疑点为2,32-==t t 比较可疑点和端点的函数值得：S （t ）的最大值为27256，答略。