第3章 时域分析法

第3章 线性系统的时域分析法所谓时域分析法，就是对系统外施一个给定输入信号，通过研究控制系统的时间响应来评价系统的性能。

由于系统的输出量取的是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。

3.1 时域响应及典型输入信号首先我们给出瞬态响应和稳态响应的定义。

瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应，瞬态响应过程也称为过渡过程。

稳态响应——当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态称为稳态响应，稳态也称为静态。

在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号。

所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统，经常遇到的输入信号，并在数学描述上经过理想化处理后，用简单的函数形式表达出来的信号。

选择某些典型函数作为系统输入信号，不仅使问题的数学处理系统化，而且典型输入信号的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。

常见的典型输入信号如下。

1、 阶跃信号这是指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等等，如图3-1所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t a t r （3-1）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位阶跃信号。

2、 斜坡信号这是指输入变量是等速度变化的，如图3-2所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t at t r （3-2）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位斜坡信号。

图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号3、 脉冲信号脉冲信号的数学表达式可表示为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=→000/0,00,lim )(0t t t t t t a t r t （3-3）其中，a 为常数，因此当00t t <<时，该信号值为无穷大。

脉冲信号可以表示为如图3-3所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a ，因此，通常脉冲强度是以其面积a 衡量的。

当面积a =1时，脉冲信号称为单位脉冲信号。

当系统输入为单位脉冲信号时，其输出响应称为单位脉冲响应。

由于单位脉冲信号有个很重要的性质，即其拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应的象函数。

4、 正弦信号正弦信号如图3-4所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,00,sin )(t t t a t r ω （3-4）3.2 线性系统的瞬态性能分析 3.2.1 一阶系统的瞬态分析凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为一阶系统。

图3-5为一阶系统的方框图。

它的典型形式是一阶惯性环节，即11)()(+=Ts s R s C （3-5） 1、 一阶系统的单位阶跃响应设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数)(1)(t t r =，其象函数为ss R 1)(=，则 Ts sTs T s s Ts s R s R s C s C 11111111)()()()(+-=+-=⋅+=⋅=（3-6）进行拉氏反变换得图3-3 脉冲信号 图3-4 正弦信号0,1)(≥-=-t et c Tt （3-7）由式（3-7）可见，一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零，以指数规律上升到终值1)(=∞c 的曲线，为非周期响应，如图3-6所示。

由图可以得出：（1） 一阶系统总是稳定的，无振荡；（2） 经过时间T 曲线上升到0.632的高度，反过来，用实验的方法测出响应曲线达到稳态值的63.2%高度点所用的时间，即是惯性环节的时间常数T ；（3） 经过时间3T ~4T ，响应曲线达到稳态值的95%~98%，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间为（3~4）T ； （4） 在0=t 处，响应曲线的斜率为Tdt t dc t 1)(0==，初始斜率特性也是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一。

（5） 稳态误差为0。

（6） 由于时间常数T 反映系统的惯性，所以一阶系统的惯性越小，其响应过程越快；反之，惯性越大，响应越慢。

3.2.2 二阶系统的瞬态分析以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。

从物理意义上讲，二阶系统起码包含两个储能元件，能量有可能在两个元件之间交换，引起系统具有往复振荡的趋势，当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性。

所以，典型的二阶系统也称为二阶振荡环节。

在控制工程中，不仅二阶系统的典型应用极为普遍，而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。

因此，着重研究二阶系统的分析和计算方法，具有较大的实际意义。

1、 二阶系统的数学模型二阶系统的典型传递函数可表示为2222)()()(nn n s s s R s C s G ωζωω++== （3-8） 图3-6 一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线图3-5 一阶系统框图式中，ζ为阻尼比；n ω为无阻尼自然振荡频率。

相应的方框图如图3-7所示。

令式（3-8）的分母多项式为零，得二阶系统的特征方程0222=++n n s s ωζω （3-9）其两个根（闭环极点）为122,1-±-=ζωζωn n s （3-10）下面将根据式（3-9）这一数学模型，研究二阶系统时间响应及动态性能指标的求法。

2、 二阶系统的单位阶跃响应（1） 当0<ζ<1时，称为欠阻尼此时，二阶系统特征方程有一对具有负实部的共轭复根，22,11ζωζω-±-=n n j s ，在s 平面上的分布如图3-9（a ）所示。

21ζωω-=n d ，称为阻尼振荡频率。

输入信号为单位阶跃函数)(1)(t t r =，其象函数为ss R 1)(=，则 =)(s C s s s n n n 12222⋅++ωζωωsj s j s d n d n n 1))((2⋅-+++=ωζωωζωω -=s 122)(d n n s s ωζωζω+++－22)(dn n s ωζωζω++ （3-11） 对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为=)(t c t e t e d t d t n n ωζζωζωζωsin 1cos 12-----图3-7 二阶系统方框图图3-9 二阶系统的闭环极点分布＝)sin cos 1(1122t t e d d t n ωζωζζζω+----＝)sin(112βωζζω+---t e d t n (3-12)),1(tan 21ζζβ-=-或ζβ1cos -=，称为阻尼角。

由式（3-12）可知，当0<ζ<1时，二阶系统的单位阶跃响应是以d ω为角频率的衰减振荡。

其响应曲线如图3-9所示，由图可见，随着ζ的减小，其振荡幅度加大。

（2）当ζ=1时，称为临界阻尼此时，二阶系统特征方程有两个相等的负实根，n s ω-=2,1，在s 平面上的分布如图3-11（b ）所示。

输入信号为单位阶跃函数)(1)(t t r =，则=)(s C ss n n 1)(22⋅+ωω-=s 12)(n n s ωω+－n s ω+1 （3-13） 对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为=)(t c t t n n n e te ωωω----1 （3-14）其响应曲线如图3-10所示，由图可见，系统没有超调。

（3）当ζ>1时，称为过阻尼此时，二阶系统特征方程有两个不相等的负实根，122,1-±-=ζωζωn n s ，在s 平面上的分布如图3-8（c ）所示。

输入信号为单位阶跃函数)(1)(t t r =，则图3-10 临界阻尼系统的单位阶跃响应曲线图3-9 欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线=)(s C s s s n n n 12222⋅++ωζωωs s s n n n n n 1)1)(1(222⋅--+-++=ζωζωζωζωω -=s11)11(21222-+++---ζωζωζζζn n s －1)11(21222-+++-+-ζωζωζζζn n s （3-15）对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为tn e t c ωζζζζζ)1(222)11(211)(---+----=tn e ωζζζζζ)1(222)11(21-+-+----（3-16）其响应曲线如图3-11所示，由图可见，系统没有超调，且过渡过程时间较长。

（4）当ζ=0时，称为零阻尼此时，二阶系统特征方程有一对纯虚根，n j s ω±=2,1，在s 平面上分布如图3-8（d ）所示。

输入信号为单位阶跃函数)(1)(t t r =，则=)(s C s s n n 1222⋅+ωω221ns s s ω+-= （3-17） 对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为t t c n ωcos 1)(-= （3-18） 其响应曲线如图3-12所示，由图可见，系统为无阻尼等幅振荡。

（5）当ζ<0时，称为负阻尼此时，二阶系统特征方程有两个具有正实部的共轭复数根或两个正实根，即22,11ζωζω-±-=n n s ，在s 平面上的分布如图3-8(e)(f)所示。

其单位阶跃响应为=)(t c )sin(112βωζζω+---t e d t n （3-19）),1(tan 21ζζβ-=-或者ζβ1cos -=图3-11 过阻尼系统的单位阶跃响应曲线 图3-12 零阻尼系统的单位阶跃响应曲线其响应曲线如图3-13，3-14所示，由图可见，系统为发散的。

综上，二阶欠阻尼系统的阶跃响应是以d ω为角频率的衰减振荡，随着ζ的减小，其振荡幅度加大。

临界阻尼和过阻尼系统的阶跃响应均没有超调，对于过阻尼系统，阻尼比越大过渡过程时间越长。

零阻尼系统的阶跃响应为等幅振荡。

负阻尼系统的阶跃响应为发散的。

3.2.3 二阶系统的瞬态性能指标系统性能指标可以在时间域里提出，也可以在频率域里提出。

时域内的指标比较直观。

对于具有储能元件的系统（即大于或等于一阶的系统）受到输入信号作用时，一般不能立即反应，一般表现出一定的过渡过程。

时域分析性能指标是由系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的，如图3-15所示。

瞬态响应性能指标包括：（1） 上升时间r t ：响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零上升到稳态值所需的时间。

有些系统没有超调，理论上到达稳态值时间需要无穷大，因此，也将上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。

（2） 峰值时间P t ：响应曲线从零时刻到达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所需要的时间。

（3） 超调量P M ：单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值和稳态值的差与稳态值的比的百分数。

超调量亦称为最大超调量或百分比超调量。

（4）调整时间S t ：响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。