数列、不等式、函数函 综合题

1已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．2、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为.（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.3、已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点P的横坐标为.（1）求证：点P的纵坐标是定值;（2）若数列的通项公式为, 求数列的前m 项和；（3）设数列满足:，设，4、（本小题14分）设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，（1）求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；（2）设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小。

5、已知定义在上的奇函数满足，且对任意有．（Ⅰ）判断在上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令，，求数列的通项公式．（Ⅲ）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值．6、对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“M类数列”．（I）若，，，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；（II）若数列满足，．(1)求数列前项的和．(2)已知数列是“M类数列”，求.7、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）．8、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）．9、（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．10、已知函数f(x)的导函数是。

对任意两个不相等的正数，证明：（Ⅰ）当时，；（Ⅱ）当时，。

11、已知数列中，，且（1）求证：；（2）设，是数列的前项和，求的解析式；（3）求证：不等式对于恒成立。

12、设为正整数，规定：，已知．（1）解不等式：；（2）设集合，对任意，证明：；（3）求的值；（4）若集合，证明：中至少包含有个元素．13、已知函数满足下列条件：①函数的定义域为[0，1]；②对于任意；③对于满足条件的任意两个数（1）证明：对于任意的；（2）证明：于任意的；（3）不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.15、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为.（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.16、函数的定义域为{x| x ≠1}，图象过原点，且．（1）试求函数的单调减区间；（2）已知各项均为负数的数列前n项和为，满足，求证：；答案1、解：（1）（法一）在中，令，，得即……………………………………2分解得，，………………………………………3分．，．……………………5分（法二）是等差数列，．…………………………2分由，得，又，，则．………………………3分(求法同法一)（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．…………………………………6分，等号在时取得．此时需满足．…………………………………………7分②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．…………………………………8分是随的增大而增大，时取得最小值．此时需满足．…………………………………………9分综合①、②可得的取值范围是．…………………………………………10分（3），若成等比数列，则，即．…11分（法一）由，可得，即，…………………………………12分．……………………………………13分又，且，所以，此时．因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．…………14分（法二）因为，故，即，，（以下同上）．2、（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴ -----------------2分当时，取值为1，2，3，…，共有个格点当时，取值为1，2，3，…，共有个格点∴ -----------------4分⑵-------------5分当时，当时，------------------6分∴时，时，时，∴中的最大值为. ------------------8分要使对于一切的正整数恒成立，只需∴ -------------------9分⑶. ---------------10分将代入，化简得，（﹡）-------------------11分若时，，显然-------------------12分若时（﹡）式化简为不可能成立 --------------13分综上，存在正整数使成立3、解：（1）当时，在上单调递减，又的最小值为，∴，得t=1 ;当时，在上单调递增，又的最小值为，∴，得t=2（舍） ;当t = 0时，（舍），∴t = 1, .∵∴，∴，即p点的纵坐标为定值。

（2）由(1)可知, , 所以, 即由, …①得…②由①＋②, 得∴（3）∵, ……③∴对任意的. ……④由③、④, 得即.∴.∵∴数列是单调递增数列.∴关于n递增. 当, 且时, .∵∴∴即∴∴m的最大值为6.5、解：（Ⅰ）．对任意有…………①令得；………………………………………………１分令由①得，用替换上式中的有………………………………………２分在上为奇函数．………………………………………………３分（Ⅱ）．满足，则必有否则若则必有，依此类推必有，矛盾………………………………………………５分，又是为首项，为公比的等比数列，…………………………………７分………………………………………………８分（Ⅲ）．………………………………………………９分故……………………………………②………………………③②③得………………………………………………１１分………………………………………………１２分若对恒成立须，解得……………………１３分的最大值为-．………………………………………………１４分6、解：（I）因为则有故数列是“M类数列”，对应的实常数分别为．………2分因为，则有故数列是“M类数列”，对应的实常数分别为．……………………………4分（II）（1）因为则有，，……………..6分故数列前项的和++++………………9分（2）数列是“M类数列”，存在实常数，使得对于任意都成立，…………………………………………..10分且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，而，且则有对于任意都成立，即对于任意都成立，因此，………………………………12分此时，………………………………13分7、解：（1）当时，，定义域是，，令，得或．…2分当或时，，当时，，函数在、上单调递增，在上单调递减．……………4分的极大值是，极小值是．当时，；当时，，当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分（2）当时，，定义域为．令，，在上是增函数．…………………………………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．…………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，．……………12分．……………………………………14分(法二)当时，．，，即时命题成立．………………………………10分设当时，命题成立，即．时，．根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．………………………………14分（法三）如图，根据定积分的定义，得．……11分，．………………………………12分，又，，．．…………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．8、解：（1）当时，，定义域是，，令，得或．…2分当或时，，当时，，函数在、上单调递增，在上单调递减．……………4分的极大值是，极小值是．当时，；当时，，当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分（2）当时，，定义域为．令，，在上是增函数．…………………………………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．…………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，．……………12分，[来源:学科网ZXXK]．……………………………………14分(法二)当时，．，，即时命题成立．………………………………10分设当时，命题成立，即．时，．根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．………………………………14分（法三）如图，根据定积分的定义，得．……11分，．………………………………12分，又，，．．…………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．9、解：（Ⅰ）由，解得或，∴函数的定义域为当时，[来∴在定义域上是奇函数。

………4分（Ⅱ）由时，恒成立，∴∴在成立令，，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时，∴………8分（Ⅲ）=证法一：设函数,则时，，即在上递减，所以，故在成立，则当时,成立. ………14分证法二：构造函数，当时，，∴在单调递减，………12分当（）时，…14分10、证明：（Ⅰ）由得而①又∴②∵∴∵∴③由①、②、③得即（Ⅱ）证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立∵设，则令得，列表如下：极小值∴∴对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得∴∵是两个不相等的正数∴设则，列表：极小值∴即∴即对任意两个不相等的正数，恒有二、计算题11、解：（1），又因为，则，即，又，，（2），因为，所以当时，当时，，①，②①-②：，.综上所述，（3），又，易验证当时不等式成立；假设，不等式成立，即，两边乘以3得又因为所以即时不等式成立.故不等式恒成立.12、解：（1）①当0≤≤1时，由≤得，≥．∴≤≤1．②当1＜≤2时，因≤恒成立．∴1＜≤2．由①，②得，≤的解集为{|≤≤2}．（2）∵，，，∴当时，；当时，；当时，．即对任意，恒有．（3），，，，一般地，（）．（4）由（1）知，，∴．则．∴．由（2）知，对，或1，或2，恒有，∴．则0，1，2．由（3）知，对，，，，恒有，∴，，，．综上所述，，0，1，2，，，，．∴中至少含有8个元素．13、（1）证明：对于任意的即对于任意的（2）证明：由已知条件可得所以对于任意的（3）解：取函数则显然满足题目中的（1），（2）两个条件，任意取两个数即不等式15、（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴ -----------------2分当时，取值为1，2，3，…，共有个格点当时，取值为1，2，3，…，共有个格点∴ -----------------4分⑵-------------5分当时，当时，------------------6分∴时，时，时，∴中的最大值为. ------------------8分要使对于一切的正整数恒成立，只需∴ -------------------9分⑶. ---------------10分将代入，化简得，（﹡）-------------------11分若时，，显然-------------------12分若时（﹡）式化简为不可能成立 --------------13分综上，存在正整数使成立. - --------------14分16、解：（1）由己知.且∴。